Primf及Krusf最小成树及matlab源代码

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2013年8月21日11 Nhomakorabea
例 、一个乡有7个自然村，其间道路如图 所示，要以村为中心建有线广播网络，如 要求沿道路架设广播线，应如何架设？
a
18
19 14 16 12
b
7
8
5
c
3
e
f
g
27
21
d
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数学建模-图论
四、最小生成树问题及其算法
Prim 算法 Matlab 程序如下：
function T =Primf(a) l=length(a); a(a==0)=inf; k=1:l; listV(k)=0; listV(1)=1; e=1; while(e<l) min=inf; for i=1:l if listV(i)==1 for j=1:l if listV(j)==0 & min>a(i,j) min=a(i,j); b=a(i,j); s=i; d=j; end end end end
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数学建模-图论
四、最小生成树问题及其算法
求最小生成树的 Prim 算法的思想如下：
从连通图 G=<V,E>的某一顶点 v 出发，选择与其关联的具有最小权的边 (u0,v)，将其顶点加入到生成树的顶点集合 U 中。以后每一步从一个顶点 在 U 中而另一顶点不在 U 中的各条边中选择权值最小的边（u，v） ，把它的 顶点加入到集合 U 中，如此下去，直到图中的所有顶点都加入到生成树顶点 集合 U 中为止，这时得到一颗最小生成树。
0 2 2 0 4 4 0 8 A 8 0 4 5 3 7 8 5 3 7 8 0 3 7 3 0 6 7 6 0 4
运行结果如下：
T= 1 2 c= 2 1 6 4 6 3 3 6 5 3 6 7 6 3 4 8
6
数学建模-图论
四、最小生成树问题及其算法 例：利用Kruskal算法求出如图G的最小生成树：
v2
64
v1
68 68 61 65 54 60 45
v4
7
v3
50
50
v5
数学建模-图论
四、最小生成树问题及其算法
Kruskal 算法 Matlab 程序如下：
function T=Krusf(d,flag) if nargin==1 n=size(d,2); m=sum(sum(d~=0))/2; b=zeros(3,m); k=1; for i=1:n for j=(i+1):n if d(i.j)~=0 b(1,k)=i; b(2,k)=j; b(3,k)=d(i.j); k=k+1; end end end else b=d; end n=max(max(b(1:2,:))); m=size(b,2); [B,i]=sortrows(b',3); B=B';
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数学建模-图论
四、最小生成树问题及其算法
c=0; T=[]; k=1; t=1:n; for i=1:m if t(B(1,i))~=t(B(2,i)) T(1:2,k)=B(1:2,i); c=c+B(3,i); k=k+1; tmin=min(t(B(1,i)),t(B(2,i))); tmax=max(t(B(1,i)),t(B(2,i))); for j=1:n if t(j)==tmax t(j)=tmin; end end end if k==n break; end end T c
五 树与生成树
树是一种特殊的图, 它是图论中重要的概念之一, 它有 着广泛的应用.在计算机科学中有如判定树、语法树、分 类树、搜索树、目录树等等. 一.树 (Tree) 1.树的定义:一个连通无回路的 (a) 无向图T,称之为树. 如(a) 2.叶结点:度数为1的结点, 称为叶结点. (b) 3.分支结点(内结点):度数大于1的结点. 4.森林:一个无向图的每个连通分支都是树.如(b)
(1) 将 图G 的 边 按 权 非 减 次 序 排 成 e i1 , e i2 ,, e i | E |， 列 取 E1 ，l (v j ) j ( j 1,2,, | V |) ，k 1。
( 2) 边 e ik 连 结 的 二 点 、v 的 标 号l ( u)、l (v ) 是 否 相 等 ？ u 是 ， 取k k 1， 转 ( 2) ； 否 ， 取E1 E 1 {e ik } 。
1
5.与树定义等价的几个命题 定理给定图T, 以下关于树的定义是等价的。 ⑴无回路的连通图。 ⑵无回路且e=v-1 其中e是T的边数,v是T的 结点数。 ⑶连通的且e=v-1。 ⑷无回路但添加一条新边则得到一条仅有 的回路。 ⑸连通的,但删去任一条边,T便不连通。 ⑹每对结点之间有一条且仅有一条路。
2
二. 生成树(支撑树) 在图论的应用中,找出一个连通图的所有不 同的生成树,以及找出最小生成树是很有 意义的. 1.定义:如果图G的生成子图是树,则称此树 为G的生成树. 2.弦:图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合,称为该生成树的补. v1 定理 连通图至少有一棵生成树. v2 v3
v4 v5
3
三.赋权图的最小生成树 1.定义:一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的 权. 具有最小权的生成树,称为最小生成树. 最小生成树很有实际应用价值.例如结点是城市名,边的权 表示两个城市间的距离, 从一个城市出发走遍各个城市, 如何选择最优的旅行路线.又如城市间的通信网络问题,如 何布线,使得总的线路长度最短. 例如:右图所示 2 v3 v2 2.求最小生成树算法 3 5 1 7 1 2 ---Kruskal算法: 7 v1 8 v8 v5 3 v4 (避圈法) 4 3 4 6 2 4 v7 v6 6
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四、最小生成树问题及其算法
listV(d)=1; distance(e)=b; source(e)=s; destination(e)=d; e=e+1; end T=[source; destination]; for g=1:e-1 c(g)=a(T(1,g),T(2,g)); end T c
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四、最小生成树问题及其算法
上述例题的matlab程序如下：
b=[1 1 2 2 3 3 3 4 5 5 6;2 6 3 6 4 6 7 7 6 7 7;2 4 4 5 8 3 7 8 3 7 6]; Krusf(b,1);
v5
运行结果如下：
T= 1 3 2 6 c= 26 5 6 1 6 6 7 3 4
(3) 对一切满足 (v j ) max{ (u) , l (v )} 的 v j ，令 l l l (v j ) min{ (u) , l (v )}。 l (4) E1 | V | 1? 是 , 算法终止；否取 k k 1，转 (2) 。 ,
注：算法构造的最小生成树的边集为 E1；标号 l 具有性质： 当且仅当 u、v 之间有一条仅由 E1 中的边形成的路时，l(u) = l(v)，因此在步骤 (2) 发现 l(u) = l(v) 时，(u, v) 不 能放入 E1，否则会形成一个圈。
v1
2 v2
v6 3 4
v7 6 v3 8 7 6 7 v3 8 v4 v7
3
v5
1 1 2 2 3 3 3 4 5 5 6 b 2 6 3 6 4 6 7 7 6 7 7 2 4 4 5 8 3 7 8 3 7 6
v1 2 v2
10
4 5
4
v6 3
3
8
v4
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数学建模-图论
四、最小生成树问题及其算法 Kruskal 算法
思想：在不形成圈得条件下，优先挑选权小的边形成生成 树。
v5 v1 4 5 v6 3 3 4 v5 7 v7 7 8 v4 v1 2 v2 3 4 v6 3 v3 8 v4
v7 6
6 v3
8
2 v2
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数学建模-图论
四、最小生成树问题及其算法
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数学建模-图论
四、最小生成树问题及其算法
上述例题的 Matlab 程序如下：
a=[0 2 inf inf inf 4 inf; 2 0 4 inf inf 5 inf;inf 4 0 8 inf 3 7; inf inf 8 0 inf inf 8;inf inf inf inf 0 3 7;4 5 3 inf 3 0 6; inf inf 7 8 7 6 0];%权矩阵 Primf(a);
v5 v1
7 6 7 v3 8
4 5 v2
4
v6 3 3
v7
2
8
v4
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