数学分析习题及答案 (36)

第十五章 含参变量积分习 题 15.1 含参变量的常义积分1． 求下列极限： （1）⎰+→++ααα102201lim x dx； （2）⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→111lim nn n x dx。

解（1）由积分中值定理，可得⎰⎰⎰+++++++=++ααααα112210*********x dx x dx x dx⎰+++=10221αx dx 221αξα++ （ξ在1与1α+之间）， 于是⎰+→++ααα102201lim x dx010220lim 1lim →→⎰+++=αααx dx 221αξα++ =411102π=+⎰dx x。

（2）由连续性定理，⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→1011lim n n n x dxe ee de e dx x xx +=+-=+=⎰⎰--12ln 111010。

2．设),(y x f 当y 固定时，关于x 在],[b a 上连续，且当-→0y y 时，它关于y 单调增加地趋于连续函数)(x φ，证明⎰⎰=-→ba bay y dx x dx y x f )(),(lim0φ。

证 若能证明)(),(lim 0x y x f y y φ=-→关于],[b a x ∈是一致的，即0>∀ε，0>∃δ，),(00y y y δ-∈∀，],[b a x ∈∀：εφ<-)(),(x y x f ，则εφφ)()(),())(),((a b dx x y x f dx x y x f baba-<-≤-⎰⎰，就有⎰⎰=-→ba b a y y dx x dx y x f )(),(lim 0φ。

以下用反证法证明)(),(lim 0x y x f y y φ=-→关于],[b a x ∈是一致的。

若不然，则00>∃ε，0>∀δ，),(00y y y δ-∈∃，],[b a x ∈∃：0)(),(εφ≥-x y x f 。

依次取11δ=，1010(,)y y y δ∃∈-，1[,]x a b ∃∈：1110(,)()f x y x φε-≥；2011min ,2y y δ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，2020(,)y y y δ∃∈-，2[,]x a b ∃∈，2220(,)()f x y x φε-≥；L L011min ,n n y y n δ-⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，00(,)n n y y y δ∃∈-，[,]n x a b ∃∈，0(,)()n n n f x y x φε-≥；L L 。

由此得到两列数列{}{}n n y x ,。

由于{}{}n n y x ,有界，由Bolzano- Weierstrass 定理，存在收敛子列{}{}kkn n y x ,，为叙述方便，仍记这两个子列为{}{}n n y x ,，其中{}n y 是递增的，0lim n n y y →∞=。

设lim n n x ξ→∞=。

由)()(),(0-→→y y y f ξφξ，可知,0>∃δ0(0)y y y δ∀-<-<：2)(),(0εξφξ<-y f ，注意0lim y y n n =∞→，取足够大的K 使得00K y y δ-<-<，从而2)(),(0εξφξ<-K y f 。

又)(),(x y x f K φ-在ξ=x 点连续以及lim n n x ξ→∞=，,0>∃N 当N n >时，成立()()2)(),()(),(0εξφξφ<---K n K n y f x y x f ，于是0)(),(εφ<-n K n x y x f 。

但是对固定的n x ，当-→0y y 时，),(y x f n 关于y 单调递增地趋于)(n x φ，所以当{}K N n ,m ax >时，成立0)(),()(),(εφφ<-≤-n K n n n n x y x f x y x f ， 这与 0)(),(εφ≥-n n n x y x f ，),2,1(Λ=n 矛盾。

3. 用交换积分顺序的方法计算下列积分：（1）)0(ln 1ln sin 10>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰a b dx x xx x ab ； （2）)01(sin sin 1sin 1ln20>>-+⎰a xdxx a x a π。

解（1）⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛b a y b a y ab dx x x dy dy x dx x dx x x x x 1010101ln sin 1ln sin ln 1ln sin ， ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx x x y ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+100111ln cos 111ln sin 11dx x x y x x y y y⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=101ln cos 11dx x x y y ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+1201121ln sin )1(11ln cos )1(1dx x x y x x y yy ， 于是⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx x x y2)1(11++=y ， 所以⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln sin dx x xx x ab =++=⎰b a y dy 2)1(1)1arctan()1arctan(a b +-+。

（2）⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-+202202002220sin 12sin 12sin sin 1sin 1ln πππx y dx dy x y dy dx xdx x a x a a a ， ⎰-2022sin 1πx y dx 022220221cot arctan 111cot cot ππy x y y x x d ---=-+-=⎰212y-=π，所以=-=-+⎰⎰a ydyx dx x a x a 0221sin sin 1sin 1ln ππa arcsin π。

4. 求下列函数的导数： （1）⎰-=22)(y y yx dx e y I ；（2）⎰=2cos )(y ydx xxyy I ； （3）⎰⎰+--+=tx t x t dy t y x dx t F )sin()(22202。

解（1）--='--352)(y y eyey I ⎰-222y yyx dx ex 。

（2）--='yy y y I 23cos cos 2)(⎰2)sin(y ydx xy =yy y 23cos 2cos 3-。

（3）设 =),(t x g ⎰+--+tx tx dy t y x )sin(222，则)22sin()22sin()cos(2),(22222xt x xt x dy t y x t t x g t x tx t -+++-+-=⎰+-，所以)(t F '),(2),(202t t tg dx t x g t t +=⎰⎰⎰⎰+-+-=+-22222202cos 2sin 2)cos(2t t x tx t xtdxx dy t y x dx t⎰+-+-+tt t t dy y t t t 22)sin(2224。

5. 设⎰+=ydx x f y x y I 0)()()(，其中f 为可微函数，求)(y I ''。

解 ⎰+='ydx x f y yf y I 0)()(2)(，)(2)(3)(y f y y f y I '+=''。

6. 设)(||)()(b a dx x y x f y F ba <-=⎰，其中)(x f 为可微函数，求)(y F ''。

解 当a y ≤时，⎰-=badx y x x f y F ))(()(，于是⎰-='b a dx x f y F )()(，0)(=''y F ；当y b ≥时，⎰-=badx x y x f y F ))(()(，于是⎰='ba dx x f y F )()(，0)(=''y F ；当a y b <<时，⎰⎰-+-=byya dx y x x f dx x y x f y F ))(())(()(，于是=')(y F ⎰⎰-byyadx x f dx x f )()(，)(2)(y f y F =''。

7. 设函数)(x f 具有二阶导数，)(x F 是可导的，证明函数[]⎰+-+++-=atx atx dy y F a at x f at x f t x u )(21)()(21),(满足弦振动方程22222x u a t u ∂∂=∂∂，以及初始条件)()0,(),()0,(x F x tux f x u =∂∂=。

证 直接计算，可得[][])()(21)()(21at x aF at x aF a at x f a at x f a t u -++++'+-'-=∂∂， [][])()(2)()(2222at x F at x F aat x f at x f a tu -'-+'++''+-''=∂∂， [][])()(21)()(21at x F at x F a at x f at x f x u --+++'+-'=∂∂， [][])()(21)()(2122at x F at x F a at x f at x f xu -'-+'++''+-''=∂∂， 所以22222x u a t u ∂∂=∂∂， 且显然成立 )()0,(),()0,(x F x tux f x u =∂∂=。

8．利用积分号下求导法计算下列积分：（1）)1()sin ln(2022>-⎰a dx x a π； （2）)1|(|)cos 21ln(02<+-⎰αααπdx x ；（3）⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a 。

解（1）设=)(a I ⎰-2022)sin ln(πdx x a ，则=')(a I ⎰⎰-+-=-202222022cot 1cot 2sin 2ππx d a x a a dx x a a 02221cot arctan 12π---=a x a a 12-=a π， 于是=)(a I C a a +-+)1ln(2。

令+→1a ，则==)1(I C 2ln cos ln 220ππ-=⎰xdx ，所以=)(a I 21ln2-+a a π。

（2）设=)(αI ⎰+-παα02)cos 21ln(dx x ，则0)0(=I 。