2015苍南中学高三第一次月考试题数学(理科)
浙江省温州市2015届高三第一次适应性测试(一模)理科综合试题(扫描版,文档答案)
2015年温州市高三第一次适应性测试理科综合能力测试参考答案及评分标准 2015.2一、选择题（本题共17小题，每小题6分，共102分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，选对的得6分，选错的得0分。
）有一个选项是符合题目要求的。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
）第Ⅱ卷（非选择题，共12题，共180分）21．交流220V ，（2分） C ，（2分） 1.57，（2分） 0.616，（2分） 0.627（2分）22．（1）电流表量程应取0-0.6A ；（2分）滑动变阻器接线组错误，与P 相连的接线柱应是滑动变阻器的上面的接线柱。
（2分）（2）如图（2分）（延长线没过原点扣1分），R 与l 成正比（2分），7Ω/m （7.0Ω/m —7.1Ω/m 均得2分）23．如图，A 为飞机着陆点，AB 、BC 分别为两个匀减速运动过程，C 点停下。
A 到B 过程，依据运动学规律有： 10101a v v a v v t -=--= （3分） 1220120212)(2a v v a v v x -=--= （3分） B 到C 过程，有： 1012a v v t t t t --=-= （2分）Dv v t a v a a v v t v t v a +-=--==0111022 （3分） 1012222)(2a v v t a v a v x +-== （3分） 12001212a v vv t va x x x +-=+= （2分） 24．（1）电子在电子枪中加速，根据动能定理：221mv eU = （2分） 可得：6105.32⨯==m eU v m/s （2分） （2）电子由洛伦兹力提供圆周运动的向心力： rv m qvB 2= （2分） 由题意B=kI可得：cm ekI mv r 2== （2分） （3）联立上述方程可得kI e mU r 2= （2分） 当电压取875V 电流取0.5A 时，半径最大。
浙江省温州市十校联合体2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)
浙江省温州市十校联合体2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分．1．（5分）若全集U={﹣1，0，1，2}，P={x∈Z|x2＜2}，则∁U P=（）A．{2} B．{0，2} C．{﹣1，2} D．{﹣1，0，2}2．（5分）已知a，b是实数，则“|a﹣b|=|a|﹣|b|”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列式子中成立的是（）A．l og0.44＜log0.46 B．1.013.4＞1.013.5C．3.50.3＜3.40.3D．l og76＜log674．（5分）在等差数列{a n}中，有a6+a7+a8=12，则此数列的前13项之和为（）A．24 B．39 C．52 D．1045．（5分）函数的大致图象为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣π），g（x）=cos（x+π）则下列结论中正确的是（）A．函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为2πB．函数y=f（x）•g（x）的最大值为2C．将函数y=f（x）的图象向左平移单位后得y=g（x）的图象D．将函数y=f（x）的图象向右平移单位后得y=g（x）的图象7．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．39．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2013＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2013＞0 D．若a4＞0，则S2014＞010．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x2+2x）=a（a∈R）有六个不同的实根，则a的取值范围是（）A．（2，8]B．（2，9]C．（8，9]D．（8，9）二.填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．（4分）若函数当f（x）=，则f（x）的定义域是．12．（4分）已知等差数列{a n}满足a1=1，a3=a2﹣4，则a n=．13．（4分）若=3，则sin2α=．14．（4分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则||=．15．（4分）数列{a n}前n项和为S n，已知a1=，且对任意正整数m，n，都有a m+n=a m•a n，若S n＜a恒成立则实数a的最小值为．16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是．17．（4分）具有性质f（﹣）=﹣f（x）的函数，我们称其为满足“倒负”变换的函数，下列函数：（1）f（x）=﹣；（2）f（x）=x﹣；（3）f（x）=x+；（4）f（x）=，其中不满足“倒负”变换的函数是．三.解答题：本大题共4小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（10分）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x+a．（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为，求a的值．19．（13分）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞）且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）．（1）求f（1），f（2）；（2）解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．20．（14分）在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acsinC=（a2+c2﹣b2）sinB，（1）若，求∠A的大小．（2）若三角形为非等腰三角形，求的取值范围．21．（15分）已知函数f（x）=x2+bx+4（b∈R）（1）若函数f（x）在闭区间[1，3]有且只有一个零点，求b的取值范围；（2）对任意x1，x2∈[﹣1，1]，f（x1）﹣f（x2）≤4恒成立，求b的取值范围．浙江省温州市十校联合体2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分．1．（5分）若全集U={﹣1，0，1，2}，P={x∈Z|x2＜2}，则∁U P=（）A．{2} B．{0，2} C．{﹣1，2} D．{﹣1，0，2}考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：先解出集合P，然后根据补集的定义得出答案．解答：解：∵x2＜2∴﹣＜x＜∴P={x∈Z|x2＜2}={x|﹣＜x＜，x∈Z|}={﹣1，0，1}，又∵全集U={﹣1，0，1，2}，∴∁U P={2}故选：A．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算布2015届高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．2．（5分）已知a，b是实数，则“|a﹣b|=|a|﹣|b|”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：|a﹣b|=|a|﹣|b|得不到ab＞0，比如a=b=0；ab＞0得不到|a﹣b|=|a|﹣|b|，比如a=1，b=2，所以“|a﹣b|=|a|﹣|b|”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．解答：解：若|a﹣b|=|a|﹣|b|，不一定得到ab＞0，比如a=b=0；∴|a﹣b|=|a|﹣|b|不是ab＞0的充分条件；若ab＞0，不一定得到|a﹣b|=|a|﹣|b|，比如a=1，b=2；∴|a﹣b|=|a|﹣|b|不是ab＞0的必要条件；综上得，|a﹣b|=|a|﹣|b|是ab＞0的既不充分又不必要条件．故选D．点评：考查充分条件，必要条件，以及既不充分也不必要条件的概念，对于不成立的情况只需举反例即可．3．（5分）下列式子中成立的是（）A．l og0.44＜log0.46 B．1.013.4＞1.013.5C．3.50.3＜3.40.3D．l og76＜log67考点：幂函数的性质；指数函数单调性的应用．专题：计算题；函数思想．分析：分别构造函数，根据函数的性质，比较每组函数值的大小解答：解：对于A：设函数y=log0.4x，则此函数单调递减∴log0.44＞log0.46∴A选项不成立对于B：设函数y=1.01x，则此函数单调递增∴1.013.4＜1.013.5 ∴B选项不成立对于C：设函数y=x0.3，则此函数单调递增∴3.50.3＞3.40.3 ∴C选项不成立对于D：设函数f（x）=log7x，g（x）=log6x，则这两个函数都单调递增∴log76＜log77=1＜log67∴D 选项成立故选D点评：本题以比较大小的形式考查指数函数和幂函数的性质，要求对指数函数和幂函数的单调性熟练掌握．属简单题4．（5分）在等差数列{a n}中，有a6+a7+a8=12，则此数列的前13项之和为（）A．24 B．39 C．52 D．104考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得，a6+a7+a8=3a7可求a7，然后代入等差数列的求和公式=13a7即可求解解答：解：由等差数列的性质可得，a6+a7+a8=3a7=12，∴a7=4∴=13a7=52故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题5．（5分）函数的大致图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象；指数函数的图像与性质．专题：压轴题；数形结合．分析：观察题设中的函数表达式，应该以1为界来分段讨论去掉绝对值号，化简之后再分段研究其图象．解答：解：由题设条件，当x≥1时，f（x）=﹣（x﹣）=当x＜1时，f（x）=﹣（﹣x）=﹣（﹣x）=x故f（x）=，故其图象应该为综上，应该选D点评：本题考查绝对值函数图象的画法，一般要先去掉绝对值号转化成分段函数再分段做出图象．6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣π），g（x）=cos（x+π）则下列结论中正确的是（）A．函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为2πB．函数y=f（x）•g（x）的最大值为2C．将函数y=f（x）的图象向左平移单位后得y=g（x）的图象D．将函数y=f（x）的图象向右平移单位后得y=g（x）的图象考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：将f（x），g（x）化简，得f（x）=sin（x﹣π）=﹣sinx，g（x）=cos（x+π）=﹣cosx，再对4个选项逐一判断即可．解答：解：由题意得f（x）=sin（x﹣π）=﹣sinx，g（x）=cos（x+π）=﹣cosx，A，y=f（x）•g（x）=sin2x，最小正周期是π，故不正确．B，y=f（x）•g（x）=sin2x，最大值为，故不正确．C，f（x）=sin（x﹣π）=﹣sinx=﹣sin（x+）=﹣cosx=g（x），故正确．D，f（x）=sin（x﹣π）=﹣sinx=﹣sin（x﹣）=cosx，故不正确．故选：C．点评：本题主要考察函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的化简与应用，属于基础题．7．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．解答：解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=．故选A．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．3考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．解答：解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．故选：C．点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，2015届高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．9．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2013＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2013＞0 D．若a4＞0，则S2014＞0考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：对于选项A，B，D可通过q=﹣1的等比数列排除，对于选项C，可分公比q＞0，q ＜0来证明即可得答案．解答：解：对于选项A，可列举公比q=﹣1的等比数列1，﹣1，1，﹣1，…，显然满足a3＞0，但a2013=1＞0，故错误；对于选项B，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但a2014=1，故错误；对于选项D，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但S2014=0，故错误；对于选项C，因为a3=a1•q2＞0，所以a1＞0．当公比q＞0时，任意a n＞0，故有S2013＞0；当公比q＜0时，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013 =＞0，故C正确，故选：C．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．10．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x2+2x）=a（a∈R）有六个不同的实根，则a的取值范围是（）A．（2，8]B．（2，9]C．（8，9]D．（8，9）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：令t=x2+2x，则t≥﹣1，f（t）=．由题意可得，函数f（t）的图象与直线y=a 有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得a的取值范围．解答：解：令t=x2+2x=（x+1）2﹣1，则t≥﹣1，函数f（t）=．由题意可得，函数f（t）的图象与直线y=a 有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：由于当t=﹣1时，f（t）=8，此时，t=﹣1对应的x值只有一个x=﹣1，不满足条件，故a的取值范围是（8，9]，故选C．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题．二.填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．（4分）若函数当f（x）=，则f（x）的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以根据题中含有分式和二次根式列出x满足的条件，解关系式组得到本题答案．解答：解：∵f（x）=，∴，∴﹣1≤x＜0或x＞0．故答案为：[﹣1，0）∪（0，+∞）．点评：本题考查函数定义域的求法，主要注意题中的分式和偶次根式有意义的条件，本题难度不大，属于基础题．12．（4分）已知等差数列{a n}满足a1=1，a3=a2﹣4，则a n=5﹣4n．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a3=a2﹣4，∴a3﹣a2=﹣4．∴a n=a1+（n﹣1）d=1﹣4（n﹣1）=5﹣4n．故答案为：5﹣4n．点评：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．13．（4分）若=3，则sin2α=．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由已知等式求出tanα的值，利用万能公式求出sin2α的值即可．解答：解：∵=3，即tanα+1=3tanα﹣3，∴tanα=2，则sin2α==．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及三角函数的万能公式，熟练掌握万能公式是解本题的关键．14．（4分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则||=．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的共线定理即可得出．解答：解：∵，平面向量=（1，2），=（﹣2，m），∴﹣2×2﹣m=0，解得m=﹣4．∴=（﹣2，﹣4），∴==．故答案为：．点评：本题考查了向量的共线定理，属于基础题．15．（4分）数列{a n}前n项和为S n，已知a1=，且对任意正整数m，n，都有a m+n=a m•a n，若S n＜a恒成立则实数a的最小值为．考点：数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：由a m+n=a m•a n，令m等于1，确定此数列是首项和公比都为的等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S n，S n=（1﹣）＜，而S n＜a恒成立，即可得到a的最小值．解答：解：令m=1，得到a n+1=a1•a n，∵a1=，∴q=，∴此数列是首项为，公比也为的等比数列，则S n=（1﹣）＜，∵S n＜a恒成立，∴a≥，则a的最小值为，故答案为：．点评：此题考查了等比数列关系的确定，掌握不等式恒成立时所满足的条件，灵活运用等比数列的前n项和的公式及会进行极限的运算，是一道综合题．16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是22．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．解答：解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．17．（4分）具有性质f（﹣）=﹣f（x）的函数，我们称其为满足“倒负”变换的函数，下列函数：（1）f（x）=﹣；（2）f（x）=x﹣；（3）f（x）=x+；（4）f（x）=，其中不满足“倒负”变换的函数是（1）（2）（4）．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用“倒负”变换的函数的性质，依次对四个备选函数进行判断，由此能求出结果．解答：解：（1）∵f（x）=﹣，∴f（﹣）=﹣=x≠﹣f（x），故（1）是不满足“倒负”变换的函数；（2）∵f（x）=x﹣，∴f（﹣）=﹣+x≠﹣f（x），故（2）是不满足“倒负”变换的函数；（3）∵f（x）=x+，∴f（﹣）=﹣x﹣=﹣f（x），故（3）是满足“倒负”变换的函数；（4）∵f（x）=，∴f（﹣）x≠﹣f（x），故（1）是不满足“倒负”变换的函数．故答案为：（1）（2）（4）．点评：本题考查“倒负”变换的函数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三.解答题：本大题共4小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（10分）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x+a．（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为，求a的值．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用两角和与差的正弦函数可求得f（x）=sin（2x+）++a，从而可求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）由﹣≤x≤⇒﹣≤2x+≤⇒﹣≤sin（2x+）≤1，从而可求f（x）在区间[﹣，]上的值域为[a，a+]，继而依题意可求a的值．解答：解：（1）∵f（x）=sin2x+（1+cos2x）+a=sin（2x+）++a，∴其最小正周期T=π；由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．（2）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴a≤sin（2x+）++a≤+a，即f（x）在区间[﹣，]上的值域为[a，a+]，又f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为，∴a+a+=，解得a=0．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的单调性、周期性与闭区间上的最值，属于中档题．19．（13分）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞）且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）．（1）求f（1），f（2）；（2）解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令x=y=1易得f（1）=0；再令x=2，y=，可得f（2）值；（2）先求出f（4）=﹣2，由f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2，得到f[x（x﹣3）]≥f（4），再由函数f （x）在定义域（0，+∞）上为减函数，能求出原不等式的解集．解答：解（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）∴令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0再令x=2，y=，∴f（1）=f（2）+f（）=0，∴f（2）=﹣1（2）∵对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）．∴函数在（0，+∞）减函数，令x=y=2，∴令x=y=2得f（4）=f（2）+f（2）=﹣2，∵f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．∴f（x）+f（x﹣3）≥f（4），∴f[x（x﹣3）]≥f（4），∴，解得﹣1≤x＜0∴原不等式的解集为[﹣1，0）点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法及函数单调性的应用，突出转化思想的考查，属于中档题．20．（14分）在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acsinC=（a2+c2﹣b2）sinB，（1）若，求∠A的大小．（2）若三角形为非等腰三角形，求的取值范围．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）将已知等式变形，整理得，可得sinC=2sinBcosB=sin2B，由此可得C=2B或C+2B=π，最后结合三角形内角和定理和，即可算出∠A的大小．（2）根据三角形为非等腰三角形，结合（1）中化简的结果可得C=2B，从而将化简整理得．利用△ABC是锐角三角形，得到B∈（），结合余弦函数的图象与性质，即可得出的取值范围．解答：解：（1）∵acsinC=（a2+c2﹣b2）sinB∴…（2分）由此可得，sinC=2sinBcosB=sin2B…（3分）因此，C=2B或C+2B=π…（4分）（i）若C=2B，结合，可得，所以（舍去）…（5分）（ii）若C+2B=π，结合，则，可得…（6分）（2）∵三角形为非等腰三角形，∴可得C+2B=π不能成立，故C=2B由此可得∠A=π﹣B﹣C=π﹣3B…（8分）又∵三角形为锐角三角形，∴，A≠C，因此，可得且∠B≠…（10分）而…（12分）∵cosB∈（，）∪（，），∴可得=，）∪（，…（14分）点评：本题给出三角形中的边角关系，要求我们判断角A的大小并求的取值范围．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形内角和定理与余弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．21．（15分）已知函数f（x）=x2+bx+4（b∈R）（1）若函数f（x）在闭区间[1，3]有且只有一个零点，求b的取值范围；（2）对任意x1，x2∈[﹣1，1]，f（x1）﹣f（x2）≤4恒成立，求b的取值范围．考点：二次函数的性质；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）通过讨论△的符号，从而求出b的范围；（2）通过讨论b的范围，求出函数的极值，综合得出b的范围．解答：解：（1）①△=0时，得：b=±4，b=﹣4时，显然函数f（x）在区间[1，3]只有1个零点2，②，.．∴，（2）原式等价于f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M≤4，①﹣＜﹣1，即b＞2时，f（x）在x∈[﹣1，1]递增，∴f（x）min=f（﹣1）=5﹣b，f（x）max=f（1）=5+b，∴M=2b＞4，与题设矛盾；②﹣1≤﹣≤0，即0≤b≤2时，f（x）在x∈[﹣1，﹣]递减，在x∈[﹣，1]递增，∴f（x）min=f（﹣）=﹣+5，f（x）max=f（1）=5+b，∴结合上述条件解得0≤b≤2，③当，即﹣2≤b＜0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，∴f（x）min=f（﹣）=﹣+5，f（x）max=f（﹣1）=5﹣b，∴M=﹣b≤4，结合上述条件解得﹣2≤b＜0；④当，即b＜2时，f（x）在x∈[﹣1，1]上单调递减，∴f（x）min=f（1）=5+b，f（x）max=f（﹣1）=5﹣b，∴M=﹣2b＞4，与题设矛盾，综上所述，实数b的取值范围是[﹣2，2]．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
2015年高考理科数学全国卷1(含答案解析)
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2 2．sin20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=（ ）A ．32-B ．32C ．12-D ．123．设命题:p n ∃∈Ν，22n n ＞，则⌝p 为（ ）A ．2n n n ∀∈N 2，＞B ．2n n n ∃∈N 2，≤C ．2n n n ∀∈N 2，≤D ．=2n n n ∃∈N 2，4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3125．已知00()M x y ,是双曲线2212x C y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）A ．33()33-， B ．33()66-， C ．2222()33-， D ．2323()33-， 6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 7．设D 为ABC △所在平面内一点，=3BC CD ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-8．函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示，则f x ()的单调递减区间为（ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）,C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出 的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()()21x f x e x ax a ＝－－＋，其中a<1，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________A ．3[)21,e-B ．43[,)23e -C ．3[,)234e D ．3[,)21e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若函数2()=()ln f x x a x x +＋为偶函数，则a =________. 14．一个圆经过椭圆22=1164x y+的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.15．若x ，y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16．在平面四边形ABCD 中，==75=A B C ∠∠∠︒，=2BC ，则AB 的取值范围是________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2n n n +2=4+3a a S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n+11=b a a ，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyω28i=1()ixx -∑28i=1()iωω∑-8i=1()()iiy x x y-∑-8i=1()()ii y y ωω--∑46.65636.8289.8 1.6 1 469108.8表中i ω=i x ，ω=188i i=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c d x =＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线24C y x ：=与直线)0(l y kx a a >：=＋交于M ，N 两点.（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （Ⅱ）若OA =3CE ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -＋-（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】由1=i 1z z+-，得1i (1i)(1i)=i 1i (1i)(1i)z -+-+-===++-，故1z =，故选C ． 【提示】先化简复数，再求模即可． 【考点】复数的运算． 2.【答案】D【解析】原式1sin 20cos10cos20sin10sin302=+==，故选D ． 【提示】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 【考点】三角函数的运算． 3.【答案】C【解析】命题的否定是：22n n n ∀∈≤N ，．【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【考点】命题． 4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式可得，该同学通过测试的概率为2233C 0.60.40.6=0.648.⨯+【提示】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【考点】概率． 5.【答案】A【解析】由题知12(F F ，，220012x y -=，所以222120000000(3,)(3,)331MF MF x y xy x y y =-----=+-=-<，解得0y <<，故选A ． 【提示】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定0y 的取值范围． 【考点】双曲线． 6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则116238,43r r ⨯⨯=⇒=所以米堆的体积为 2111632035,4339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故堆放的米约为320 1.6222,9÷≈故选B ． 【考点】圆锥体积．【提示】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 7.【答案】A【解析】由题知1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+【提示】将向量AD 利用向量的三角形法则首先表示为AC CD +，然后结合已知表示为AC AC ，的形式．【考点】向量运算． 8.【答案】D【解析】由五点作图知，1π42,53π42ωϕωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得ππ,4ωϕ==，所以π()cos π,4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2ππ2ππ,,4k x k k π<+<+∈Z 解得1322,,44k x k k -<<+∈Z故()f x 的单调递减区间为132,2,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，故选D ．【提示】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ，可得()f x 的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x 的减区间． 【考点】三角函数运算． 9.【答案】C【解析】执行第1次，0.01,1,t S ==10,0.5,2n m === 0.5,0.25,2mS S m m =-===1,0.50.01n S t ==>=，是，循环，执行第2次， 0.25,0.125,2mS S m m =-===2,0.250.01n S t ==>=，是，循环，执行第3次，0.125,0.0625,2mS S m m =-===3,0.1250.01n S t ==>=，是，循环，执行第4次，0.0625,0.03125,2mS S m m =-===4,0.06250.01n S t ==>=，是，循环，执行第5次，0.03125,0.015625,2mS S m m =-===5,0.031250.01n S t ==>=，是，循环，执行第6次，0.015625,0.0078125,2mS S m m =-===6,0.0156250.01n S t ==>=，是，循环，执行第7次，0.0078125,S S m =-=2mm =0.00390625=， 7,0.00781250.01n S t ==>=，否，输出7,n =故选C ．【提示】由题意依次计算，当7,0.00781250.01,n S t ==>=停止由此可得结论． 【考点】程序框图． 10.【答案】C【解析】在25()x x y ++的五个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故52x y 的系数为212532C C C 30,=故选C ．【提示】利用展开式的通项进行分析，即可得出结论． 【考点】二项式展开式． 11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱和球的半径都是r ，圆柱的高为2r ，其表面积为222214ππ2π225π41620π2r r r r r r r r ⨯+⨯++⨯=+=+，解得r=2，故选B ．【提示】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【考点】空间几何体的表面积． 12.【答案】D【解析】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方．因为()e (21)xg'x x =+，所以当12x <-时，'()0g x <，当12x >-，()0,g'x >所以当12x =-时，12min [()]2e g x -=-．当0x =时(0)1g =-，(1)e 0g =>，直线y ax a =-恒过(1,0)且斜率a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3e g a a --=-≥--，解得312ea ≤<，故选D ．【提示】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，由导数可得函数的极值，数形结合可得(0)1a g ->=-且1(1)3e g a a --=-≥--，解关于a 的不等式组可得．【考点】带参函数．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以22ln(ln(ln()ln 0x x a x x a +-=+-==，解得 1.a =【提示】由题意可得，()()f x f x -=，代入根据对数的运算性质即可求解 【考点】函数奇偶性．14.【答案】2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭【解析】设圆心为(,0)a ，则半径为4a -，则222(4)2,a a -=+解得32a =±， 故圆的标准方程为2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭．【提示】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 【考点】圆的标准方程． 15.【答案】3【解析】做出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点(1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值3.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定y x的最大值．【考点】线性规划问题．16.【答案】【解析】如下图所示：延长BACD ，交于点E ，则可知在△ADE 中，105DAE ∠=︒，45ADE ∠=︒，30,E ∠=︒∴设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =，2BC =，sin151m ⎫∴+︒=⎪⎪⎝⎭⇒m +=∴04x <<，而2AB m x +-,2x∴AB的取值范围是．【提示】如图所示，延长BACD ，交于点，设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =m +=AB 的取值范围． 【考点】平面几何问题． 三．解答题17.【答案】（Ⅰ）21n + （Ⅱ）11646n -+ 【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +； （Ⅱ）由（1）知，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以数列{}n b 前n 项和为121111111=235572123n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11646n -+． 【提示】（Ⅰ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）求出11n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和．【考点】数列前n 项和与第n 项的关系，等差数列定义与通项公式． 18.【答案】（Ⅰ）答案见解析 【解析】（Ⅰ）连接BD ，设,BDAC G =连接EG FG EF ，，，在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由∠ABC=120°，可得AG GC ==由BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =， 又∵AE EC ⊥，∴EG EG AC =⊥，在Rt EBG △中，可得BE，故DF =在Rt FDG △中，可得FG =在直角梯形BDEF 中，由2BD =，BE，2DF =，可得2EF =， ∴222EG FG EF +=， ∴EG FG ⊥， ∵ACFG G =，∴EG ⊥平面AFC ， ∵EG ⊂平面AEC ， ∴平面AFC ⊥平面AEC ．（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得0,A （，(E，2F ⎛- ⎝⎭，C ，∴AE =，1,CF ⎛=- ⎝⎭．故cos ,3||||AE CFAE CF AE CF <>==-，所以直线AE 与CF ．【提示】（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =，连接EG EF FG ，，，运用线面垂直的判定定理得到EG ⊥平面AFC ，再由面面垂直的判定定理，即可得到.（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以GB GC ，为x 轴，y 轴，GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，求得AE F C ，，，的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【考点】空间垂直判定与性质，异面直线所成角的计算．19.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）答案见解析 （Ⅲ）(i )66.32 (ii )46.24【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型．(Ⅱ)令w =先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()108.8=68,16()iii ii w w yy d w w ==--==-∑∑ ∴56368 6.8100.6.==c y d w -⨯=-∴y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68y w ，y ∴关于x 的回归方程为y （Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销量y的预报值576.6y =， 年利润z 的预报值=576.60.249=66.32z ⨯-（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值20.12z x =x +--，∴13.66.8,2=即46.24x =，z 取得最大值，故宣传费用为46.24千元时，年利润的预保值最大．【提示】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出．（Ⅱ）先建立中间量w =y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w ，问题得以解决．（Ⅲ）（Ⅰ）年宣传费49x =时，代入到回归方程，计算即可． （ii ）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【考点】线性回归方程求法，利用回归方程进行预报预测． 20.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）由题设可得)Ma ，()N a -，或()M a-，)N a ．∵12yx '=，故24x y =在x =C在)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=，故24x y =在x =-处的导数值为，C 在()a -处的切线方程为y a x -=+，0y a ++=0y a --=0y a ++=． （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)P b 为符合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，．将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=．∴12124,4x x k x x a +==-．∴1212121212122()()()=y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+． 当b a =-时，有12k k + =0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以(0,)P a -符合题意．【提示】（Ⅰ）求出C在)a 处的切线方程，故24x y =在x =-即可求出方程．（Ⅱ）存在符合条件的点(0,)P b ，11(,)M x y，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，直线方程与抛物线方程联立化为2440x kx a --=，利用根与系数的关系，斜率计算公式可得12()=k a b k k a++=即可证明． 【考点】抛物线的切线，直线与抛物线位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）34a =- （Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-，因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在(1,)+∞无零点． 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数．(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点；当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点．(ⅱ)若30a -<<，则()f x在⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，故当x =()f x取的最小值，最小值为14f =．①若0f >，即304x -<<，()f x 在(0,1)无零点．②若0f =，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若0f <，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时， ()f x 在(0,1)有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．【提示】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=解出即可． （Ⅱ）对x 分类讨论：当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，可得函数(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，即可得出零点的个数．当1x =时，对a 分类讨论利用导数研究其单调性极值即可得出．【考点】利用导数研究曲线的切线，分段函数的零点． 22.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）60ACB ∠=【解析】（Ⅰ）连接AE ，由已知得，AE BC AC AB ⊥⊥，，在Rt AEC △中，由已知得DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠，连接OE ，OBE OEB ∠=∠， ∵90ACB ABC ∠+∠=， ∴90DEC OEB ∠+∠=，∴90OED ∠=，∴DE 是圆O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由已知得AB =，BE =，由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2x =x = ∴60ACB ∠=．【提示】（Ⅰ）连接AE 和OE ，由三角形和圆的知识易得90OED ∠=，可得DE 是O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由射影定理可得关于x的方程2x =，解方程可得x 值，可得所求角度．【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理． 23.【答案】(Ⅰ)22cos 4sin 40ρρθρθ--+= (Ⅱ)12【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（Ⅱ）将=4θπ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ12=MN ρρ-，因为2C 的半径为1，则2C MN △的面积111sin 45=22⨯．【提示】（Ⅰ）由条件根据cos sin x y ρθρθ==，求得12C C ，的极坐标方程．（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，求得12ρρ，的值，从而求出2C MN △的面积．【考点】直角坐标方程与极坐标互化，直线与圆的位置关系．24.【答案】（Ⅰ）22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）(2)+∞，【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，∴不等式()1f x >的解集为22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以ABC △的面积为22(1)3a +， 由题设得22(1)63a +>，解得2a >，所以a 的取值范围为(2)+∞，． 【提示】（Ⅰ）当1a =时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法．。
《精编》浙江省苍南中学高三数学第一次月考试题 理新人教A版.doc
2021学年第一学期苍南中学2021届高三第一次月考试卷数学〔理科〕学科一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设集合{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，那么()U C A B 等于〔 ▲ 〕A ．φB ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4}D ．{2,3,4} 2. 假设函数1)12()(22+--+=x a a ax x f 为偶函数，那么实数a 的值为 〔 ▲ 〕 A. 1 B. 21- C. 1或21- D. 0 3.实数b a ,，那么2≤ab 是422≤+b a 的 〔 ▲ 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件()cos 2cos(2)2f x x x π=+-，其中R x ∈，那么以下结论中正确的选项是 〔 ▲ 〕 A ．)(x f 的最大值为2B ．将函数x y 2sin 2=的图象左移4π得到函数)(x f 的图象 C ．)(x f 是最小正周期为π的偶函数D ． )(x f 的一条对称轴是85π=x 5. 函数22243x y x -=+的值域是 〔 ▲ 〕 A.4(,](2,)3-∞-+∞ B.4[,2]3- C. 4(,][2,)3-∞-+∞ D.4[,2)3- P 为ABC ∆所在平面上的一点，且13AP AB t AC =+，其中t 为实数，假设点P 落在ABC ∆的内部，那么t 的取值范围是 〔 ▲ 〕 A ．203t << B ．103t << C ．102t << D ．104t << 7. 锐角三角形ABC 中，边长,a b 分别是方程22320x x -+=的两个实数根，且满足条件3cos sin 4)sin(2-=-B A B A ，那么c 边的长是 〔 ▲ 〕A ．4B 6C ．23D ．328.在∆ABC ，1=•=•CB AB AC AB ，那么|AB |的值为 〔 ▲ 〕A .1 B.2 C.3 D. 2 9．函数)(x f '，)(x g '分别是二次函数)(x f 和三次函数)(x g 的导函数，它们在同一坐标系下的图象如以下列图，设函数)()()(x g x f x h -=，那么 〔 ▲ 〕A ． (1)(0)(1)h h h <<-B ．(1)(1)(0)h h h <-<C ．(0)(1)(1)h h h <-<D ．(0)(1)(1)h h h <<-10．函数2()22ln ()f x x ax a x a R =--∈,那么以下说法不正确的选项是〔 ▲ 〕A ．当0a <时，函数()y f x =有零点B ．假设函数()y f x =有零点，那么0a <C ．存在0a >，函数()y f x =有唯一的零点D ．假设函数()y f x =有唯一的零点，那么1a ≤二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．11. 53)4sin(=-x π，那么x 2sin = ▲ 12. 向量(1,2),(,4)==a b x ，且a ∥b ，那么实数x = ▲ ．13. 函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在区间为(,1),()k k k Z +∈，那么k = ▲ . 14. 函数1,1,()23,1,x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩假设()3f a =，那么a = ▲ ． 15.如以下列图，M 是ABC ∆内一点，且满足260AM BM CM ++=,延长CM 交AB 于N,那么CN =__▲__CM16. 假设函数y =)1(log 2+-ax x a 有最小值，那么a 的取值范围是__▲_____17、假设在曲线0),(=y x f 上两个不同点处的切线重合，那么称这条切线为曲线0),(=y x f的“自公切线〞.以下方程：①221x y -=；②2||y x x =-，③3sin 4cos y x x =+；④2||14x y +=-对应的曲线中存在“自公切线〞的有 ▲ .三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。
浙江省苍南县高三数学第一次月考试题 理 新人教A版
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ＝{}|14x x <<，B ＝{}2|230x x x --≤，则B A =（ ）A ．[]3,1-B ．)4,1[-C ．（1，3]D ．（1，4）2．若0a b >，，则a b >“” 是“3322a b a b ab +>+”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件3．若某程序框图如图所示，则输出的p 的值是（ ）A ．22B ． 27C ． 31D ． 56 4．已知A ，B 是两个不同的点，m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两 个不重合的平面，给出下列4个命题：①若A n m = ,α∈A ,m B ∈， 则α∈B ；②若α⊂m ，m A ∈，则α∈A ；③若α⊂m ，β⊥m ，则βα⊥；④若α⊂m ，β⊂n ，n m //，则βα//，其中真命题为（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④5．函数)32(cos 2π-=x y 的图象向左平移6π个单位，所得的图象对应的函数是（ ） A ．值域为[0，2]的奇函数 B ．值域为[0, 1]的奇函数C ．值域为[0,2]的偶函数D ．值域为[0,1]的偶函数6．已知R y x ∈,，且满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥x y y x x 0321，则x y x 622-+的最小值等于( ) A.29-B. -4C. 0D. -17．如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），则从A 到B 的最短线路有（ ）条 A ．24 B ．60 C ．84 D ．1208．过双曲线1:222=-b y x M 的左顶点A 作斜率为2的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B ．C ，且AB BC 2=，则双曲线M 的离心率是（ ） A ．5 B ．10 C ．17 D ．379．已知定义在R 上的函数f （x ）是周期为3的奇函数，当3(0,)2x ∈时，x x f πsin )(=，则函数f （x ）在区间[0，5]上的零点个数为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．610．设函数)()(2R x c bx x x f ∈++=且0)()(>+'x f x f 恒成立，则对)0(∞+∈∀，a ，下面不等式恒成立的是（ ）A ．)0()(f e a f a<- B ．)0()(f e a f a>- C ．)0()(f e a f a< D ．)0()(f e a f a> 二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
2015年浙江省温州市高考数学一模试卷(理科)
2015年浙江省温州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•温州一模）设集合P={x|y=+1}，Q={y|y=x3}，则P∩Q=（）A．∅ B．[0，+∞）C．（0，+∞）D．[1，+∞）【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出P中x的范围确定出P，求出Q中y的范围确定出Q，找出P与Q的交集即可．【解析】：解：由P中y=+1，得到x≥0，即P=[0，+∞），由Q中y=x3，得到y∈R，即Q=R，则P∩Q=[0，+∞），故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015•温州一模）已知直线l：y=x与圆C：（x﹣a）2+y2=1，则“a=”是“直线l 与圆C相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：直线与圆；简易逻辑．【分析】：根据直线和圆的位置关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解析】：解：若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离d=，即|a|=，解得a=，则“a=”是“直线l与圆C相切”充分不必要条件，故选：A【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．3．（5分）（2015•温州一模）已知sinx+cosx=，则cos（x﹣）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【专题】：三角函数的求值．【分析】：变形已知式子可得sinx+cosx=，进而可得cos cosx+sin sinx=，由两角差的余弦公式可得．【解析】：解：∵sinx+cosx=，∴sinx+cosx=，∴cos cosx+sin sinx=∴cos（x﹣）=故选：B【点评】：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．4．（5分）（2015•温州一模）下列命题正确的是（）A．垂直于同一直线的两条直线互相平行B．平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形C．锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形D．平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：A，利用墙角相互垂直的三条线可判断A；B，当平行四边形所在的平面与其射影平面垂直时，平行四边形在其射影平面上的平行投影不是平行四边形，可判断B；C，锐角三角形在一个平面上的平行投影依然是锐角三角形，可判断C；D，平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形，可判断D．【解析】：解：对于A，墙角相互垂直的三个平面的交线两两垂直相交，故A错误；B，当平行四边形所在的平面与其射影平面垂直时，平行四边形在其射影平面上的平行投影可为一直线，故B错误；C，锐角三角形在一个平面上的平行投影仍然是锐角三角形，故C错误；D，平面截正方体所得的截面图形可以是正三角形，正四边形，正六边形，但不可能是正五边形，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间直线与直线的位置关系，平行投影与截面图的应用，属于中档题．5．（5分）（2015•温州一模）若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调函数，则ω应满足的条件是（）A．0＜ω≤1 B．ω≥1 C．0＜ω≤1或ω=3 D．0＜ω≤3【考点】：正弦函数的图象．【专题】：计算题；三角函数的图像与性质．【分析】：根据函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[，]上单调，分情况讨论，建立不等式，即可求ω取值范围．【解析】：解：①若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调递减．令+2kπ≤ωx≤+2kπ（k∈Z），则+≤x≤+（k∈Z），∴≤且≥，∴ω=3②若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调递增．令﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ（k∈Z），则﹣+≤x≤+∴﹣≤且≥∴0＜ω≤1综上可得：0＜ω≤1，ω=3．故选：C．【点评】：本题考查函数的单调性，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．6．（5分）（2015•温州一模）设F为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，P是双曲线上的点，若它的渐近线上存在一点Q（在第一象限内），使得=2，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，3）B．（3，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设出双曲线的右焦点，一条渐近线，以及右顶点，求出FP的最小值，即有2a 小于c﹣a，再由离心率公式计算即可得到．【解析】：解：设双曲线﹣=1的右焦点F（c，0），一条渐近线方程为y=x，右顶点为P'（a，0），由|FP|＞|FP'|=c﹣a，当P与P'重合，Q与O重合，则有|OP'|=a，则2a＞c﹣a，即为c＜3a，即有e=＜3，由于e＞1，则1＜e＜3．故选A．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的点到焦点的距离的最小值，考查离心率的求法，属于基础题．7．（5分）（2015•温州一模）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知二面角A1﹣BD﹣A的大小为，若空间有一条直线l与直线CC1，所成的角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[0，]【考点】：直线与平面所成的角．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A1O，由三垂线定理可得BD⊥A1O，则∠AOA1为二面角A1﹣BD﹣A的平面角．把直线l平移到AM，则∠A1AM=∠MAO=．过点A作AP⊥A1O，则AP⊥平面A1BD．利用线面角的定义可得：AM（即直线l）与平面A1BD所成的最大角为∠AMA1．假设，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）与平面A1BD所成的最小角为∠ANP．【解析】：解：如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A1O，由三垂线定理可得BD⊥A1O，则∠AOA1为二面角A1﹣BD﹣A的平面角，∴∠AOA1=．把直线l平移到AM，则∠A1AM=∠MAO=．过点A作AP⊥A1O，则AP⊥平面A1BD．∴AM（即直线l）与平面A1BD所成的最大角为∠AMA1=∠MAO+∠MOA==．假设，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）与平面A1BD所成的最小角为∠ANP=∠PA1A﹣∠A1AN==．∴直线l与平面A1BD所成角的取值范围是．故选：C．【点评】：本题考查了二面角的平面角、线面角、三垂线定理、异面直线所成的角，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8．（5分）（2015•温州一模）过边长为2的正方形中心作直线l将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l翻折到另一个部分上．则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为（）A．2 B．2（3﹣）C．4（2﹣）D．4（3﹣2）【考点】：相似三角形的性质．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：A点与中轴线重合，能得到不重叠面积的最大值，不重叠为四个等腰直角三角形，且全等，其斜边的高为﹣1，即可得出结论．【解析】：解：如图：A点与中轴线重合，能得到不重叠面积的最大值若G向B靠近不重叠面积将会越来越小，G重合B，不重叠面积为0若G向C靠近不重叠面积将会越来越小，G重合C，不重叠面积为0不重叠为四个等腰直角三角形，且全等，其斜边的高为﹣1∴不重叠面积为（﹣1）2×4=12﹣8，故选：D，【点评】：本题考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分．9．（6分）（2015•温州一模）设函数f（x）=，则f（﹣2）=4；使f （a）＜0的实数a的取值范围是（0，1）．【考点】：分段函数的应用；对数函数的单调性与特殊点．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用分段函数求出函数值，通过指数与对数得到不等式求解即可．【解析】：解：函数f（x）=，则f（﹣2）==4；a＞0时，log2a＜0，可得：a∈（0，1）．a＜0时，，无解．故答案为：4；（0，1）．【点评】：本题考查分段函数的应用幂函数的值的求法，指数与对数不等式的求法，考查计算能力．10．（6分）（2015•温州一模）设{a n}为等差数列，S n为它的前n项和若a1﹣2a2=2，a3﹣2a4=6，则a2﹣2a3=4，S7=﹣28．【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：利用a1﹣2a2=2，a3﹣2a4=6，求出d=﹣2，a1=2，再求出结论．【解析】：解：∵a1﹣2a2=2，a3﹣2a4=6，∴两式相减可得2d﹣4d=4，∴d=﹣2，∴a1=2，∴a2﹣2a3=0﹣2（2﹣4）=4；S7=7×2+×（﹣2）=﹣28，故答案为：4，﹣28．【点评】：本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础．11．（6分）（2015•温州一模）如图是某几何体的三视图（单位：cm），正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆，侧视图是直角梯形．则该几何体的体积等于14πcm3，它的表面积等于20+21πcm2．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得出该几何体是半个圆台，由此求出它的体积与表面积．【解析】：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下底面为半径等于4的半圆面，上底面为半径等于1的半圆面，高为4的圆台的一部分，∴该几何体的体积为V几何体=××π（12+1×4+42）×4=14π；该几何体的表面积为S几何体=π×12+π×42+π（4+1）×+×（2+8）×4=+8π++20=20+21π．故答案为：14π；21π+20．【点评】：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积与表面积的应用问题，是基础题目．12．（6分）（2015•温州一模）抛物线y=ax2的焦点为F（0，1），P为该抛物线上的动点，则a=；线段FP中点M的轨迹方程为x2﹣2y+1=0．【考点】：圆锥曲线的轨迹问题．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由题意可得可得2p==4，由此求得a的值；设M（x，y），P（m，n），则m=2x，n=2y﹣1，利用P为抛物线上的动点，代入抛物线方程，即可得出结论．【解析】：解：抛物线y=ax2即x2=y，根据它的焦点为F（0，1）可得2p==4，∴a=，设M（x，y），P（m，n），则m=2x，n=2y﹣1，∵P为抛物线上的动点，∴2y﹣1=×4x2，即x2﹣2y+1=0故答案为：；x2﹣2y+1=0．【点评】：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查代入法求轨迹方程，属于中档题．13．（4分）（2015•温州一模）已知a，b∈R，若a2+b2﹣ab=2，则ab的取值范围是（﹣，2]．【考点】：基本不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：灵活应用基本不等式a2+b2≥2ab，即可求出ab的取值范围．【解析】：解：当ab＞0时，∵a，b∈R，且a2+b2﹣ab=2，∴a2+b2=ab+2，又a2+b2≥2ab当且仅当a=b时“=”成立；∴ab+2≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a=b=±时“=”成立；当ab＜0时，又∵a2+b2＞﹣2ab，∴ab+2＞﹣2ab，∴﹣3ab＜2，∴ab＞﹣；综上，ab的取值范围是（﹣，2]．故答案为：（﹣，2]．【点评】：本题考查了基本不等式的应用问题，解题时应注意不等式成立的条件是什么．14．（4分）（2015•温州一模）设实数x，y 满足不等式组，若|ax﹣y|的最小值为0，则实数a的最小值与最大值的和等于．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，若|ax﹣y|的最小值为0，则等价为ax﹣y=0与区域有交点，利用数形结合即可得到结论．【解析】：解：若|ax﹣y|的最小值为0，则等价为ax﹣y=0与区域有交点，作出不等式组对应的平面区域，则y=ax与区域有交点，由，解得，即B（，）．由．解得，即A（，），当直线y=ax经过A时，a=3，经过B时，a=，则≤a≤3，故实数a的最小值与最大值的和等于+3=，故答案为：【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．15．（4分）（2015•温州一模）设||=||=2，∠AOB=60°，，且λ+μ=2，则在上的投影的取值范围是（﹣1，2]．【考点】：平面向量的基本定理及其意义．【专题】：平面向量及应用．【分析】：可将•用，数量积表示出来，再由||=||=2，且∠AOB=60°，计算出•的值，即可得到在上的投影的取值范围．【解析】：解：由于，且λ+μ=2，则•=•[λ+（2﹣λ）]=λ2+（2﹣λ）•，又由||=||=2，∠AOB=60°，则•=4λ+4﹣2λ=2λ+4，==，故在上的投影为=，当λ＜﹣2时，上式=﹣=﹣=﹣∈（﹣1，0）；当λ≥﹣2时，上式==；①λ=0，上式=1；②﹣2≤λ＜0，上式=∈[0，1）；③λ＞0，上式=∈（1，2]；综上，在上的投影的取值范围是（﹣1，2]故答案为：（﹣1，2]．【点评】：本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量三角形法则，向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，本题是向量基本题．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）（2015•温州一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．【考点】：三角函数中的恒等变换应用．【专题】：计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】：解法一：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，即可由三角形面积公式求解．（II）由余弦定理可得cosA，从而可求sinA，sin2A，cos2A，由两角差的正弦公式即可求sin（2A﹣B）的值．解法二：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，又c=4，可知△ABC为等腰三角形，作BD ⊥AC于D，可求BD==，即可求三角形面积．（II）由余弦定理可得cosB，即可求sinB，由（I）知A=C⇒2A﹣B=π﹣2B．从而sin（2A ﹣B）=sin（π﹣2B）=sin2B，代入即可求值．【解析】：解：解法一：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2．cosB===．sinB===．∴S△ABC=acsinB==．（II）cosA===．sinA===．sin2A=2sinAcosA=2×．cos2A=cos2A﹣sin2A=﹣．∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．解法二：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2．又c=4，可知△ABC为等腰三角形．作BD⊥AC于D，则BD===．∴S△ABC==．（II）cosB===．sinB===．由（I）知A=C⇒2A﹣B=π﹣2B．∴sin（2A﹣B）=sin（π﹣2B）=sin2B=2sinBcosB=2××=．【点评】：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．17．（15分）（2015•温州一模）如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，（1）求证：AC⊥BD；（2）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由已知得△ABD≌△CBD，从而AD=CD，取AC的中点E，连结BE，DE，则BE⊥AC，DE⊥AC，从而AC⊥平面BED，由此能证明AC⊥BD．（2）过C作CH⊥BD于点H，由已知得CH⊥平面ABD，过H做HK⊥AD于点K，连接CK，则∠CKH为二面角C﹣AD﹣B的平面角，由此能求出二面角C﹣AD﹣B的余弦值．【解析】：（1）证明：∵∠ABD=∠CBD，AB=BC，BD=BD．∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．取AC的中点E，连结BE，DE，则BE⊥AC，DE⊥AC．又∵BE∩DE=E，BE⊂平面BED，BD⊂平面BED，∴AC⊥平面BED，∴AC⊥BD．（2）解：过C作CH⊥BD于点H．则CH⊂平面BCD，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴CH⊥平面ABD．过H做HK⊥AD于点K，连接CK．∵CH⊥平面ABD，∴CH⊥AD，又HK∩CH=H，∴AD⊥平面CHK，∴CK⊥AD．∴∠CKH为二面角C﹣AD﹣B的平面角．连接AH．∵△ABD≌△CBD，∴AH⊥BD．∵∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，∴AH=CH=，BH=1．∵BD=，∴DH=．∴AD=，∴HK==．∴tan=，∴cos，∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．【点评】：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（15分）（2015•温州一模）已知椭圆C的下顶点为B（0，﹣1），B到焦点的距离为2．（Ⅰ）设Q是椭圆上的动点，求|BQ|的最大值；（Ⅱ）直线l过定点P（0，2）与椭圆C交于两点M，N，若△BMN的面积为，求直线l 的方程．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（I）由椭圆的下顶点为B（0，﹣1）知b=1．由B到焦点的距离为2知a=2．可得椭圆C的方程为．设Q（x，y），利用两点之间的距离公式及其椭圆的方程可得|BQ|=．再利用二次函数的单调性即可得出．（II）由题设可知l的斜率必存在．由于l过点P（0，2），可设l方程为y=kx+2．与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2+16kx+12=0．由△＞0可得．设M（x1y1），N（x2，y2），解法一：利用求根公式解出x1，x2，利用=，解出k即可．解法二：，B到l的距离．利用==，解出k即可．【解析】：解：（I）由椭圆的下顶点为B（0，﹣1）知b=1．由B到焦点的距离为2知a=2．∴椭圆C的方程为．设Q（x，y），==．∴当时，．（II）由题设可知l的斜率必存在．由于l过点P（0，2），可设l方程为y=kx+2．联立消去y得（1+4k2）x2+16kx+12=0．由△=（16k）2﹣48（1+4k2）=16（4k2﹣3）＞0．（*）设M（x1y1），N（x2，y2），则．解法一：=．解法二：，B到l的距离．==．解得k2=1或均符合（*）式．∴k=±1或．所求l方程为±x﹣y+2=0与．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（15分）（2015•温州一模）对于任意的n∈N*，数列{a n}满足=n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：对于n≥2，．【考点】：数列与不等式的综合．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）由，取n=n﹣1得另一递推式，作差后即可得到n≥2时数列的通项公式，求出首项后验证得答案；（Ⅱ）当n≥2时，由，然后利用等比数列的前n项和证得数列不等式．【解析】：（Ⅰ）解：由①，当n≥2时，得②，①﹣②得．∴．又，得a1=7不适合上式．综上得；（Ⅱ）证明：当n≥2时，．∴=．∴当n≥2时，．【点评】：本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的通项公式，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．20．（14分）（2015•温州一模）已知函数f（x）=+kx+b，其中k，b为实数且k≠0．（I）当k＞0时，根据定义证明f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递增；（Ⅱ）求集合M k={b|函数f（x）有三个不同的零点}．【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：计算题；证明题；函数的性质及应用．【分析】：（I）化简当x∈（﹣∞，﹣2）时，，按定义法五步骤证明即可；（II）函数f（x）有三个不同零点可化为方程有三个不同的实根，从而化简可得方程与；再记u（x）=kx2+（b+2k）x+（2b+1），v（x）=kx2+（b+2k）x+（2b﹣1），从而转化为二次函数的零点的问题．【解析】：解：（I）证明：当x∈（﹣∞，﹣2）时，．任取x1，x2∈（﹣∞，﹣2），设x2＞x1．=．由所设得x1﹣x2＜0，，又k＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递增．（II）函数f（x）有三个不同零点，即方程有三个不同的实根．方程化为：与．记u（x）=kx2+（b+2k）x+（2b+1），v（x）=kx2+（b+2k）x+（2b﹣1）．（1）当k＞0时，u（x），v（x）开口均向上．由v（﹣2）=﹣1＜0知v（x）在（﹣∞，﹣2）有唯一零点．为满足f（x）有三个零点，u（x）在（﹣2，+∞）应有两个不同零点．∴，∴b＜2k﹣2．（2）当k＜0时，u（x），v（x）开口均向下．由u（﹣2）=1＞0知u（x）在（﹣2，+∞）有唯一零点．为满足f（x）有三个零点，v（x）在（﹣∞，﹣2）应有两个不同零点．∴∴b＜2k﹣2．综合（1）（2）可得M k={b|b＜2k﹣2}．【点评】：本题考查了单调性的定义法证明及函数的化简与转化的应用，同时考查了函数零点的判定定理的应用，属于中档题．。
高三数学月考试题及答案-2015届高三第一次诊断考试(理)
2015年甘肃省高考一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B=Z，则（∁R A）∩B=（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2，3}C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】先求出不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集A，再由补集、交集的运算求出∁R A和（∁R A）∩B．【解析】解：由x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，则集合A={x|x＜﹣1或x＞3}，所以∁R A={x|﹣1≤x≤3}，又B=Z，则（∁R A）∩B={﹣1，0，1，2，3}，故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2．（5分）设i是虚数单位，复数Z=1+为（）A．1+i B．1﹣i C．C、﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解析】解：Z=1+=1+=1﹣i，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3．（5分）设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】先分别根据定积分的计算法则求出a，b，c的值，再比较其大小．【解析】解：a=dx=lnx=ln2=ln，b=dx=lnx=ln，c=dx=lnx=ln，∵23＜32，25＞52，∴＜，＞∴＜，＞，∴＞＞，∵函数f（x）=lnx为增函数，∴c＜a＜b故选：D【点评】本题考查了的定积分的计算以及数的大小比较的方法，属于基础题．4．（5分）函数y=f（x）的图象向右平移个单位后与函数y=cos（2x﹣）的图象重合，则y=f（x）的解析式为（）A．y=cos（2x﹣）B．y=cos（2x+）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解析】解：由题意可得，把函数y=cos（2x﹣）=sin2x的图象向左平移个单位后，可得函数y=f（x）=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，体现了转化的数学思想，属于基础题．5．（5分）数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有（）个．A．21 B．22 C．23 D．24【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】分类讨论，利用排列知识，即可得出结论．【解析】解：卡片上的四位数字之和等于8，四个数字为0，1，2，5；0，1，3，4．0，1，2，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有，共1+2+2+=11个；0，1，3，4组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有，共2=12个；故共23个．故选：C．【点评】本题考查计数原理的应用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．（）π B．（）π C．（）π D．（π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为圆柱与半个圆锥组成．【解析】解：该几何体为圆柱与半个圆锥组成，其中圆柱的体积为π×12×2=2π，半个圆锥的体积为××π×12×=π；故该几何体的体积是（）π，故选C．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的n=10，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}的前11项和B．计算数列{2n﹣1}的前10项和C．计算数列{2n﹣1}的前11项和D．计算数列{2n﹣1}的前10项和【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能，当i=11时，i＞10成立，输出S=1+2+22+…+29+210，从而得解．【解析】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=0；执行S=1+2×0=1，i=0+1=1；判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=1+1=2；判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=2+1=3；…判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29+210，i=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=1+2+22+…+29+210．算法结束．故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前11项和．故选：A．【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．8．（5分）若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则•的取值范围（）A．[，5] B．[，5] C．[，4] D．[，4]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由数量积的定义计算出•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解析】解：∵向量=（3，2），=（x，y），∴•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，1），此时z max=3×1+2×1=5，经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（，），此时z min=3×+2×=，则≤z≤5故选：A．【点评】本题主要考查线性规划以及向量数量积的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．9．（5分）已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若====k，则h1+2h2+3h3+4h4=类比以上性质，体积为y的三棱锥的每个面的面积分别记为S l，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若====K，则H1+2H2+3H3+4H4=（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】由====k可得a i=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．【解析】解：根据三棱锥的体积公式V=Sh，得：S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=V即S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V，∴H1+2H2+3H3+4H4=，故选B．【点评】本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力．解题的关键是理解类比推理的意义，掌握类比推理的方法．平面几何的许多结论，可以通过类比的方法，得到立体几何中相应的结论．当然，类比得到的结论是否正确，则是需要通过证明才能加以肯定的．10．（5分）已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=84，则实数b的取值范围是（）A．[2，2] B．（2，2] C．[2，2] D．（2，2]【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由a，b，c成等差数列，设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入已知等式求出b 的最大值；由三角形三边关系列出不等式，整理后求出b的范围，即可确定出满足题意b的范围．【解析】解：设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入a2+b2+c2=84化简可得3b2+2d2=84，当d=0时，b有最大值为2，由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，整理得：b＞2d，∴3b2+2（）2＞84，解得：b＞2，则实数b的取值范围是（2，2]．故选：D．【点评】此题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：A．根据△ABC是锐角三角形，可得∠BAD＜45°，且1＞，化为，解出即可．【解析】解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=xcos，存在f（x）的零点x0，（x0≠0），满足[f′（x0）]2＜π2（λ2﹣x02），则λ的取值范围是（）A．（﹣，0）∪（0，，）B．（﹣，0）∪（0，）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】关键题意得出=kπ，k∈z，x0=kλ+，k∈z，x02的最小值为，即sin=±1，运用最小值得出：（1+λ2）＜λ4，求解即可．【解析】解：∵函数f（x）=xcos，∴f′（x）=cos﹣x sin，∵存在f（x）的零点x0，（x0≠0），∴=kπ，k∈z，x0=kλ+，k∈z，x02的最小值为即sin=±1，∴[f′（x0）]2＜π2（λ2﹣x02），转化为：＜π2（λ2﹣x02），（1+λ2）x＜λ4，即只需满足：（1+λ2）＜λ4，化简得：λ2，即λ＞或．故选：D．【点评】本题综合考查了函数的零点，综合求解不等式，关键是确定x02的最小值为，代入得出转化的不等式，难度较大，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在的展开式中，常数项等于112（用数字作答）【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】根据题意，可得其二项展开式的通项为T r+1，进而分析可得，8﹣=0时，有r=6，将r=6代入可得答案．【解析】解：根据题意，可得其二项展开式的通项为T r+1=C8r•（2x）8﹣r•（﹣）r=C8r•（﹣1）r•（2）8﹣r•，分析可得，8﹣=0时，有r=6，此时，T7=112，故答案为112．【点评】本题考查二项式定理，注意其展开式的通项公式的形式．14．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点在同一个球面上，AB=3，AC=4，AA1=2，∠BAC=90°，则球的表面积49π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】画出球的内接直三棱ABC﹣A1B1C1，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解析】解：如图，由于∠BAC=90°，连接上下底面外心PQ，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，则球的半径为OB，由题意，AB=3，AC=4，∠BAC=90°，所以BC=5，因为AA1=2，所以OP=，所以OB==所以球的表面积为：4π×OB2=49π故答案为：49π．【点评】本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力理解失误能力，是基础题．15．（5分）下面给出的命题中：①m=﹣2”是直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m﹣2）x+（m+2））y一3=0相互垂直”的必要不充分条件；②已知函数f（a）=sinxdx，则f[f（）]=1﹣cos1；③已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0，4，则P（ξ＞2）=0.2；④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y﹣1=0，则这两圆恰有2条公切线；⑤线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越小．其中是真命题的序号有②④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；高考数学专题．【分析】①由直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直，则（m+2）（m﹣2）+m（m+2）=0，从而有m=﹣2或m=1，可判断；②由定积分运算法则和函数值的求法，即可判断；③运用正态分布的特点，即曲线关于y轴对称，即可判断③；④根据圆与圆的位置关系进行判断；⑤线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强．【解析】解：①，若m=﹣2，则直线﹣2y+1=0与直线﹣4x﹣3=0相互垂直；若直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直，则（m+2）（m﹣2）+m（m+2）=0，从而有m=﹣2或m=1，则应为充分不必要条件，则①错；②，函数f（a）=sinxdx=（﹣cosx）=1﹣cosa，则f[f（）]=f（1）=1﹣cos1，则②对；③，ξ服从正态分布N（0，σ2），曲线关于y轴对称，由P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.5﹣0.4=0.1，则③错；④，∵⊙C1：x2+y2+2x=0，即（x+1）2+y2=1，表示圆心为（﹣1，0），半径等于1的圆．⊙C2：x2+y2+2y﹣1=0 即，x2+（y+1）2=2，表示圆心为（0，﹣1），半径等于的圆．两圆的圆心距等于，大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，故两圆相交，故两圆的公切线由2条，则③正确．⑤，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故不正确．故答案为：②④．【点评】本题考查充分必要条件的判断和函数的定积分运算、正态分布曲线的特点、直线与圆的位置关系的判断，考查两个变量的线性相关，考查运算能力，属于中档题和易错题．16．（5分）设数列{a n}的前n项的和为S n，已知，设若对一切n∈N*均有，则实数m的取值范围为m＜0或m≥5．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】依题意，可求得a n与b n，从而可求得b k=∈[，），利用[，）⊆（，m2﹣6m+）即可求得实数m的取值范围．【解析】解：∵++…+=，①∴当n≥2时，++…+=，②∴①﹣②得：=﹣=，∴S n=n（n+1）（n≥2）．当n=1时，==，∴a1=2，符合S n=n（n+1）（n≥2）．∴S n=n（n+1）．∴可求得a n=2n．∴b n===．∵=，b1=，∴{b n}是以为首项，为公比的等比数列．∴b k==∈[，），∵b k∈（，m2﹣6m+），∴[，）⊆（，m2﹣6m+），即，解得：m＜0或m≥5．故答案为：m＜0或m≥5．【点评】本题考查求数列的通项与数列求和，突出考查集合间的包含关系与解不等式组的能力，综合性强，难度大，属于难题．三、解答题：本大题共5小题-共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）在△ABC中，角以，A，B，C对边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=﹣2ccosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=6，且△ABC的面积为2，求边c的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosC，化简可得cosC=﹣，结合C的范围求C的值；（Ⅱ）由a+b=6得a2+b2+2ab=36，根据三角形的面积公式可求出ab的值，进而求出a2+b2的值，利用余弦定理求出c的值．【解析】解：（Ⅰ）由题意知，bcosA+acosB=﹣2ccosC，正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosC，sin（A+B）=﹣2sinCcosC，由A，B，C是三角形内角可知，sin（A+B）=sinC≠0，∴cosC=，由0＜C＜π得，C=；（Ⅱ）∵a+b=6，∴a2+b2+2ab=36，∵△ABC的面积为2，∴，即，化简得，ab=8，则a2+b2=20，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2absinC=20﹣2×=28，所以c=．【点评】本题主要考察了正弦定理、余弦定理，三角形面积公式的应用，以及整体代换求值，注意角的范围确定，属于中档题．18．（12分）多面体ABCDE中，△ABC是边长为2的正三角形，AE＞1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．（Ⅰ）若AE=2，求证：AC∥平面BDE；（Ⅱ）若二面角A一DE一B的余弦值为，求AE的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）如图所示，分别取BC，BA，BE的中点M，N，P，连接MN，NP，DP．利用三角形中位线定理与平行四边形、线面垂直的判定与性质定理可得：DP∥MN，AC∥DP，即可证明AC∥平面BDE．（II）设AE=a，则E，设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，可得，取平面ADE的法向量=（1，0，0），利用==，解得a即可．【解析】（I）证明：如图所示，分别取BC，BA，BE的中点M，N，P，连接MN，NP，DP．则，NP∥AE，NP=AE=1．∵BD=CD，BD⊥CD，M为BC的中点，BC=2，∴DM⊥BC，DM=1，又平面BCD⊥平面ABC．∴DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，∴DM∥AE，∴四边形DMNP为平行四边形，∴DP∥MN，∴AC∥DP，又AC⊄平面BDE，DP⊂平面BDE，∴AC∥平面BDE．（II）解：设AE=a，则E，=（﹣1，0，1），=，设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，取=，取平面ADE的法向量=（1，0，0），则===，解得a=4，即AE=4．【点评】本题考查了三角形中位线定理与平行四边形的判定与性质、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、二面角的计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）某市为了治理污染，改善空气质量，市环境保护局决定每天在城区主要路段洒水防尘，为了给洒水车供水，供水部门决定最多修建3处供水站．根据过去30个月的资料显示，每月洒水量X（单位：百立方米）与气温和降雨量有关，且每月的洒水量都在20以上，其中不足40的月份有10个月，不低于40且不超过60的月份有15个月，超过60的月份有5个月．将月洒水量在以上三段的频率作为相应的概率，并假设各月的洒水量相互独立．（Ⅰ）求未来的3个月中，至多有1个月的洒水量超过60的概率；（Ⅱ）供水部门希望修建的供水站尽可能运行，但每月供水站运行的数量受月洒水量限制，有如下关系：若某供水站运行，月利润为12000元；若某供水站不运行，月亏损6000元．欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建几处供水站？【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）分别考虑20＜X＜40，40≤X≤60，X＞60，求出它们的概率，再由二项分布特点，即可得到所求概率；（Ⅱ）记供水部门的月总利润为Y元，分别考虑①修建一处供水站的情形，②修建两处供水站的情形，③修建三处供水站情形，求出概率计算期望，即可得到所求．【解析】解：（Ⅰ）依题意可得P1=P（20＜X＜40）==，P2=P（40≤X≤60）==，P3=P（X＞60）==，由二项分布可得，在未来三个月中，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为P=（1﹣P3）3+（1﹣P3）2•P3=（）3+3×（）2×=，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为；（Ⅱ）记供水部门的月总利润为Y元，①修建一处供水站的情形，由于月洒水量总大于20，故一处供水站运行的概率为1，对应的月利润为Y=12000，E（Y）=12000×1=12000（元）；②修建两处供水站的情形，依题意当20＜X＜40，一处供水站运行，此时Y=12000﹣6000=6000，P（Y=6000）=P（20＜X＜40）=P1=，当X≥40，两处供水站运行，此时Y=12000×2=24000，因此P（Y=24OOO）=P（X≥40）=P2+P3=，由此得Y的分布列为则E（Y）=6000×+24000×=18000（元）；③修建三处供水站情形，依题意可得当20＜X＜40时，一处供水站运行，此时Y=12000﹣12000=0，由此P（Y=0）=P（40＜X＜80）=P1=，当40≤X≤60时，两处供水站运行，此时Y=12000×2﹣6000=18000，由此P（Y=18000）=P（40≤X≤60）=P2=，当X＞60时，三处供水站运行，此时Y=12000×3=36000，由此P（Y=36000）=P（X＞60）=P3=，由此的Y的分布列为由此E（Y）=0×+18000×+36000×=15000（元），欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建两处供水站．【点评】本题考查离散型随机变量的期望的求法，同时考查二项分布的特点和概率计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足•，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明埋由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点，求出几何量，即可得出椭圆的标准方程；（II）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量知识，即可求得结论．【解析】解：（I）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），则∵椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点，∴∵c2=a2﹣b2∴a=2，c=1，∴椭圆的标准方程为；（II）若存在过点P（2，1）的直线l满足条件，则l的斜率存在设方程为y=k（x﹣2）+1，代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k﹣8=0 设A（x1，y1），B（x2，y2），则由△=32（6k+3）＞0，可得且x1+x2=，x1x2=∵∴∴[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（1+k2）=∴[﹣2×+4]（1+k2）=∴∵，∴∴存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足•，其方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+1n（x+1）．（Ⅰ）当时a=﹣时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数口的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）将a的值代入，求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）将问题转化为ax2+ln（x+1）≤x恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0即可，通过讨论a的范围，得到函数g（x）的单调性，从而求出a是范围．【解析】解：（Ⅰ）当a=﹣时，f（x）=﹣x2+ln（x+1），（x＞﹣1），f′（x）=﹣x+=﹣，（x＞﹣1），由f′（x）＞0解得﹣1＜x＜1，由f′（x）＜0解得：x＞1，∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（1，+∞）；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上的点都在所表示的平面区域内，即当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）≤x恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0即可，由g′（x）=2ax+﹣1=，（i）当a=0时，g′（x）=，当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（0）=0成立，（ii）当a＞0时，由g′（x）==0，因x∈[0，+∞），∴x=﹣1，①若﹣1＜0，即a＞时，在区间（0，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时不满足；②若﹣1≥0，即0＜a≤时，函数g（x）在（0，﹣1）上单调递减，在区间（﹣1，+∞）上单调递增，同样函数g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时也不满足；（iii）当a＜0时，由g′（x）=，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a﹣1）＜0，∴g′（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（0）=0恒成立，综上：实数a的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】本题考查了导数的应用，考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想，本题有一定的难度．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分．选修4-3：几何证明选讲22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，点C是⊙O直径BE的延长线上一点，AC是⊙O的切线，A为切点，∠ACB的平分线CD与AB相交于点D，与AE相交于点F，（Ⅰ）求∠ADF的值（Ⅱ）若AB=AC，求的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）利用切线的性质和角平分线的性质可得∠ADF=∠AFD．再利用BE是⊙O 直径，可得∠BAE=90°．即可得到∠ADF=45°．（Ⅱ）利用等边对等角∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，即可得到∠B=30°．进而得到△ACE∽△BCA，于是=tan30°．【解析】解：（Ⅰ）∵AC是⊙O的切线，∴∠B=∠EAC．又∵DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．∵BE是⊙O直径，∴∠BAE=90°．∴∠ADF=45°．（Ⅱ）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，∴∠B=30°．∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴=tan30°=．【点评】熟练掌握圆的性质、切线的性质和角平分线的性质、弦切角定理、相似三角形的性质等是解题的关键．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a的值．【解析】解：（Ⅰ）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0（Ⅱ）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用；不等式．【分析】对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min，只需求得f（x）的最小值即可．对第（2）问，先将m的值代入原不等式中，再变形为|x﹣3|≤4+2x，利用“|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．【解析】解：（Ⅰ）要使f（x）≥m恒成立，只需m≤f（x）min．由绝对值不等式的性质，有|2x﹣1|+|2x+5|≥|（2x﹣1）+（2x+5）|=6，即f（x）min=6，所以m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=6，所以原不等式化为|x﹣3|﹣2x≤4，即|x﹣3|≤4+2x，得﹣4﹣2x≤x﹣3≤4+2x，转化为，化简，得，所以原不等式的解集为．【点评】本题属不等式恒成立问题，较为基础，主要考查了含绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式的性质求最值等，求解此类问题时，应掌握以下几点：1．若m≤f（x）恒成立，只需m≤[f（x）]min；若m≥f（x）恒成立，只需m≥[f（x）]max．2．|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x），|g（x）|≥h（x）⇔g（x）≥h（x），或g（x）≤﹣h（x）．。
2015届高考模拟试卷数学试题(理科)附答案
2015届高考模拟试卷数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足i i z -=+1)1(（i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z = A ．i -B ．i 2-C ．iD ．i 22．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋ 3 C.32π＋ 3 D.52π＋ 33.在极坐标系中，过点(2,)6π且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρθ=B.ρθ=C.sin ρθ=D.cos ρθ=4．图(1)是某高三学生进入高中三年来 的数学考试成绩茎叶图，第1次到第 14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…， A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定 范围内考试次数的一个算法流程图． 那么算法流程图输出的结果是( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知“命题p ：∃x ∈R ，使得ax 2＋2x ＋1<0成立”为真命题，则实数a 满足( ) A ．[0,1) B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]6．若函数f (x )＝(k －1)·a x －a －x (a ＞0且a ≠1) 在R 上既是奇函数，又是减函数， 则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )7.等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和记为S,由原数列各项的倒数组成一个新数列1{}n a ，则1{}na 的前n 项之和'S 是（ ）A.1SB.1n q SC.n q SD. 1n S q -8. 若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x yz +=的最小值是（ ）A ．9. 若二项式*(2)()n x n N -∈的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a ，所有项的二项式系数之和是b ，则b aa b+的最小值是（ ） A.2 B.136 C.73 D.15610.有7张卡片分别写有数字1，1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出的四位数有（ ）个A.78B. 102C.114D.120第Ⅱ卷(非选择题共100分)请用0 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014-2015年苍南中学高三第一次月考试题数学（理科）一、选择题：1．已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则AB =（ ▲ ）A.[]2,1--B.[)1,2-C.[]1,1-D.[)1,2 2．设,a b R ∈，则“a b >”是“a a b b >”的（ ▲ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若8310S S =+，则11S =（ ▲ ） A.12 B.18 C.22 D.44 4．设ααα2sin )cos (sin =+f ，则)51(f 的值为（ ▲ ） A ．2425-B ．1225-C ．2425D ．12255．函数()122log 1x f x x =-的零点个数为（ ▲ ）A.1B.2C.3D.46．已知平面向量,,不共线，且两两之间的夹角都相等,若1||,2||,2||===, 则++与的夹角为（ ▲ ）A.︒30 B.︒60 C.︒120 D.︒1507.已知函数)(x f 的定义域为R ，且2)1(=-f ，若对任意R x ∈函数)(x f 的导数2)('>x f 都成立， 则42)(+>x x f 的解集为（ ▲ ）A.)1,(--∞B.)2,(-∞C.),2(+∞D.),1(+∞-8．设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是（ ▲ ）。
A ．41 B ．21 C ．22 D ．23 9.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0M >，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称()f x 为“倍约束函数”．现给出下列函数： ①x x f -=2)(； ②12sin 3sin 2)(2--=x x x f ； ③ 2()3xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切1x ，2x 均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-． 其中是“倍约束函数”的有（ ▲ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.设集合X A ⊆，定义函数⎩⎨⎧∈∈=AC x Ax x f X A ,0,1)(，则对于集合X N X M ⊆⊆,，下列命题中不正确的是（ ▲ ）A.X x x f x f N M N M ∈∀≤⇒⊆),()(B.X x x f x f M MCX ∈∀-=),(1)(C.X x x f x f x f N M N M ∈∀=),()()(D.X x x f x f x f N M N M ∈∀+=),()()( 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<=40,2015tan 0,2)(3πx x x x x f ，则=))4((πf f ． 12．一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为__________。
13．已知点P (x ，y ) 满足条件0,,20x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若3z x y=+的最大值为8，则k = ▲ 。
14．直线134=+y x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3，这样的点P 共有 ▲ 个。
15．)120tan 3(10cos 70tan 000-= ▲ .16. 已知函数)0)(sin(6>+=ωϕωx y 的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，若tan APB ∠=2，则=ω ▲ . 17. 已知1=xy 且043>≥≥y x ，则2242x y x y+-的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c . 已知3a =，cos A =，2B A π=+.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.20．已知数列{}n b 满足11124n n b b +=+，且172b =，n T 为{}n b 的前n 项和.（Ⅰ）求{}n b 的通项公式； （Ⅱ）如果对于任意*n N ∈，不等式1227122nkn n T ≥-+-恒成立，求实数k 的取值范围.20． 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 、N 分别是1CC 、BC 的中点，点P 在直线11A B 上，且满足111()A P A B R λλ=∈uuu r uuu u r。
（1）证明：PN AM ⊥；（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45，试确定点P 的位置。
21．（本题满分15分）如图，以椭圆2221x y a+=的右焦点2F为圆心，c -1为半径作圆2F （其中c 为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ． （Ⅰ）若45=a ，P 为椭圆的右顶点，求切线长PT ； （Ⅱ）设圆2F 与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆相交于B A ,两 点，若OA OB ⊥，且≥PT )(23c a -恒成立，求直线l 被圆2F 所截得弦长的最大值．22.已知函数c bx x x f ++-=2)(2，设函数)()(x f x g =在区间[]11-,上的最大值为M ． （Ⅰ）若2=b ，试求出M ；（Ⅱ）若M k ≥对任意的b c 、恒成立，试求k 的最大值．数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共5０分）二、填空题（本大题共7小题，每小题４分，共28分）11．2- 12．π3 13．6- 14．2 15．1- 16．4π17．]5,4[三、解答题（本大题共5小题，共72分）18．（本题满分１4分）解：（Ⅰ）因0Aπ<<，故sin A===. …………………2分因2B Aπ=+，故sin sin cos2B A Aπ⎛⎫=+==⎪⎝⎭. ………………………………4分由正弦定理sin sina bA B=，得3sinsina BbA===. ………………………………7分（Ⅱ）cos cos sin2B A Aπ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭………………………………9分()()sin sin sinC A B A Bπ=-+=+⎡⎤⎣⎦sin cos cos sinA B A B=+13⎛=+=⎝⎭. ………………………………12分则ABC∆的面积为111sin32232ab C=⨯⨯=. ………………………………14分19．（本题满分１4分）解：（I）由题意得1111()222n nb b+-=-则1{}2nb-成等比数列,首项为1132b-=，公比为12………………………………4分故1113()22nnb-=⨯+………………………………6分（Ⅱ）2113(1)111123(1...)6(1)1222222212nn n nn n nT--=+++++=+=-+-……………………8分由1227(122)n k n n T ≥-+-得272nn k -≥对任意*N n ∈恒成立 设272n n n c -=，则1112(1)72792222n nn n n n n nc c ++++----=-= 当5n ≥,1n n c c +≤,{}n c 为单调递减数列，当15n ≤<,1n n c c +>,{}n c 为单调递增数列 ………………………………12分45131632c c =<=,则5n =时,n c 取得最大值332,故332k ≥ ………………………………14分（2）平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA ＝（0,0,1）．（1分） 设平面PMN 的一个法向量为m ＝（x ，y ，z ）， 由（1）得MP ＝（λ，－1，12）． （2分）21．（本题满分１5分） 解：（I ）由45=a 得43=c ， ………………………………1分则当P 为椭圆的右顶点时212=-=c a PF ， 故此时的切线长43)1(222=--=c PF PT ………………………………5分（Ⅱ）当2||PF 取得最小值时||PT 取得最小值，而2min ||PF a c =-， 由≥PT )(23c a -恒成立，得≥---22)1()(c c a )(23c a -，则143<≤c ……………7分由题意Q 点的坐标为(1,0),则直线l 的方程为(1)y k x =-，代入2221x y a+=得22222222(1)20a k x a k x a k a +-+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有22122221a k x x a k +=+，22212221a k a x x a k -=+，…………9分可得2121212[()1]y y k x x x x =-++2222(1)1k a a k -=+，又OA OB ⊥，则2212122201k a x x y y k a a k -+==⇒=+ 可得直线l 的方程为0ax y a --=， ………………………………11分圆心2F (,0)c 到直线l 的距离d =1r c =-则直线l 被圆2F 所截得弦长s = ………………………13分 设1c t -=，则410≤<t ，又1s ==则当14t =时1s 的最小值为2，即当34c =时s 的最大值为41……………15分 22．（本题满分１5分）解：（Ⅰ）当2=b 时c bx x x f ++-=2)(2在区间[]11-,上是增函数，则M 是(1)g -和(1)g 中较大的一个， ………………………2分 又(1)g -c +-=5，(1)g c +=3，则⎩⎨⎧>+≤+-=1|,3|1|,5|c c c c M ………………………5分（Ⅱ）)()(x f x g =c b b x ++--=22)(（i ）当1b >时，)(x g y =在区间[]11-,上是单调函数，则{})1(),1(max g g M -= 而(1)g -c b +--=21，(1)g c b ++-=21，则≥M 2(1)g -+(1)g 44)1()1(>=--≥b f f ，可知2M > ………………………8分 （ii ）当1b ≤时，函数)(x g y =的对称轴x b =位于区间[1,1]-之内，此时{}max (1),(1),()M g g g b =-，又c b b g +=2)(， ………………………9分① 当10b -≤≤时，有)()1()1(b f f f ≤-≤， 则{})1(),(max g b g M =21≥))1()((g b g +21≥)1()(f b f - 211(1)22b =-≥ ………………………11分 ② 当01b <≤时，有)()1()1(b f f f ≤≤-， 则{})1(),(max -=g b g M 21≥))1()((-+g b g 21≥)1()(--f b f 211(1)22b =+≥ …………………………13分 综上可知，对任意的b 、c 都有12M ≥而当0b =，12c =时，21()2g x x =-+在区间[1,1]-上的最大值12M = ， 故M k ≥对任意的b 、c 恒成立的k 的最大值为12…………………………15分。