1.2.3公式法3
一元二次方程式解题方法和技巧
一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是许多同学在学习中感到困惑的部分。
解一元二次方程需要一定的方法和技巧，下面我将从深度和广度两个方面来探讨一元二次方程的解题方法。
一、基础知识概述1.1 什么是一元二次方程一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的常数，x是未知数，且a≠0。
在解一元二次方程时，我们要找到使得方程成立的x的值。
1.2 一元二次方程的解法解一元二次方程可以通过因式分解、配方法、公式法等多种方法来进行，下面我将逐一介绍这些方法。
二、解题方法详解2.1 因式分解法当一元二次方程可以通过因式分解为两个一次因式相乘的形式时，我们可以通过因式分解法来解题。
对于方程x^2+5x+6=0，我们可以将x^2+5x+6因式分解为(x+2)(x+3)=0，再分别令x+2=0和x+3=0，解得x=-2和x=-3。
2.2 配方法对于无法直接因式分解的一元二次方程，我们可以通过配方法来解题。
对于方程x^2+6x+8=0，我们可以通过配方法将x^2+6x+8改写为(x+4)(x+2)=0，再解得x=-4和x=-2。
2.3 公式法当一元二次方程无法通过因式分解或配方法来解时，我们可以使用求根公式来解题。
一元二次方程的求根公式为x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
根据这个公式，我们可以直接求出方程的根。
三、个人观点和理解解一元二次方程的方法多种多样，每种方法都有其适用的情况。
在实际解题中，我们可以根据方程的形式和特点来选择合适的解题方法。
在解题过程中，要注意化简和检验解的步骤，以确保解的准确性。
总结回顾通过本文的介绍，我们了解了一元二次方程的解题方法，包括因式分解法、配方法和公式法。
每种方法都有其适用的情况，在实际解题中，我们应该灵活运用这些方法。
解题过程中要注意细节和检验解的步骤，以确保解的准确性。
在学习一元二次方程的过程中，我们还应该理解方程根的几何意义和二次函数的图像特点，这些都将有助于我们更深入地理解和运用一元二次方程。
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。
例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。
1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。
- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。
- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。
- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。
1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。
- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。
- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。
如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。
1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。
- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。
- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。
- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。
导数的运算法则及复合函数的导数公式
x y yu u， x
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（
A. y′=2xcosx-x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx
）
B. y′=2xcosx+x2sinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数 2 1 x 3. 求y= sin x 的导数
再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ; 2 cos x
思考？
如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？ 函数y=ln(3x+2)的导数呢？
拆分下列复合函数
1. 2. 3. 4.
y= sin(-3x+5) y=sin2x 2x y=cos x y=cos
3
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
1.2.2
导数的运算法则及复合函 数的导数公式
1．求导数的方法 (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数． (2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
基本初等函数的导数公式：
原函数 y＝C y＝xn 导函数
y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) x y′＝ex y＝e 1 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ y＝ln x
1.3公式法3
1）平方差公式：
a2-b2=(a+b)(a-b)
因式分解 的公式法
项数:是二项 特点:两项为平方且异号 2）完全平方公式：
a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2
项数:是三项
特点:其中两项是两个数的平方且符号相同， 另一项是这两个数积的两倍
1、下列多项式中，是完全平方式的 是( D ) A、x2-6x-9 B、a2-16a+3
解:原式变形为
(x 3)2 y 2 0
x 3 0, y 2 0
x 3, y 2
y x (2)3 8
拓展提高
2、已知 x 2 xy 12 ① xy y 2 15 ②
求 x y2 的值
解:由(1)+(2),得
(x 2 xy) (xy y 2 ) 12 15
因式分解: (1) -9a(x-y)2 +12a(x-y)-4a
(2)y2－4x(y－x)；
（3）16x4-8x2 y2＋y4
挑战平方差！ 挑战第一关
因式分解
1）.-25x2y2+100 2）.(x2+3x)2-(x+1)2 3）.(2a-b)2-9a2 4）.4(a-b)2-9(2a+3b)2
(2) 公式法 完全平方公式法(三项)
2.因式分解的一般思路: 一提（提公因式法） 二用（运用公式法）
快！练习： 因式分解
(1)3ax2 6axy 3ay2 (2)(a b)2 12(a b) 36
（3）－2ax2+16ax-32a
(4)、(a b)2 2(a b)(a b) (a b)2
x 2 2xy y 2 27
构造数列的方法总结
构造数列的方法总结数列是数学中一种重要的概念，它是按照一定的规律排列的一组数。
构造数列是数学学习中的重要内容之一，通过学习数列的构造方法，不仅能够培养思维能力，而且能够提高解决问题的能力。
本文将总结几种常见的构造数列的方法。
一、等差数列等差数列是一种最基本的数列形式，它的特点是数列中的每两个相邻的数之间的差值都是相等的。
例如1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，相邻两个数的差值都是2。
构造等差数列的方法有两种：1.1. 公差法公差法是通过确定数列的首项和公差来构造等差数列。
公差指的是相邻两个数之间的差值。
例如，已知数列的首项a1=3，公差d=2，可以得到数列3, 5, 7, 9, 11。
1.2. 通项公式法通项公式法是通过数列的首项和公差，得到数列的通项公式，从而可以方便地找到数列中任意一项的值。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n项。
例如，已知数列的首项a1=1，公差d=3，可以得到数列1, 4, 7, 10。
二、等比数列等比数列是一种数列，其中每个数都是前一个数与一个固定常数的乘积。
例如2, 4, 8, 16就是一个等比数列，相邻两个数的比值都是2。
构造等比数列的方法有两种：2.1. 公比法公比法是通过确定数列的首项和公比来构造等比数列。
公比指的是相邻两个数之间的比值。
例如，已知数列的首项a1=2，公比r=2，可以得到数列2, 4, 8, 16。
2.2. 通项公式法通项公式法是通过数列的首项和公比，得到数列的通项公式，从而可以方便地找到数列中任意一项的值。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项。
例如，已知数列的首项a1=2，公比r=2，可以得到数列2, 4, 8, 16。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项的和。
例如1, 1, 2, 3, 5, 8就是一个斐波那契数列。
构造斐波那契数列的方法如下：3.1. 递归法递归法是一种通过定义函数自身来构造数列的方法。
华东师大版九年级数学上册《公式法》教案及教学反思
华东师大版九年级数学上册《公式法》教案及教学反思一、教学目标1.掌握含参数的一元一次方程的解法，学会用“公式法”解决方程。
2.熟练掌握魔方的基本解法，并能够利用公式法解决较为复杂的魔方问题。
3.培养学生的创新思维和运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点1.理解含参数的一元一次方程的解法，掌握用“公式法”解决方程。
2.熟练掌握魔方的基本解法，并能够利用公式法解决较为复杂的魔方问题。
三、教学难点1.理解含参数的一元一次方程的解法，特别是在运用“公式法”时的实际操作。
2.熟练掌握魔方的基本解法，并能够在实际问题中灵活运用公式法解决问题。
四、教学内容与教学方法1. 教学内容1.1 一元一次方程的解法1.消元法2.等式移项法3.公式法1.2 魔方的解法及公式法1.魔方的基本解法2.公式法在魔方中的应用3.魔方相关实际问题的解决2. 教学方法1.讲授法：通过讲解笔记、课本知识点和必要的概念性内容，让学生对一元一次方程的解法和魔方问题有更全面的认识。
2.互动式教学法：通过小组讨论、课堂互动等方式，增强学生的参与感和探究式学习的能力。
五、教学流程1. 一元一次方程的解法1.1 自如教学主题：一元一次方程的解法步骤教师活动学生活动时间Step 1介绍公式法的概念听讲并记录课堂笔记5分钟Step 2通过例题讲解公式法的基本思路认真听讲并理解公式法的基本思路15分钟Step 3给出一些公式法解题的实例，进行求解学生跟随教师的指导，互相讨论，合作解题30分钟Step 4给一些综合的应用题，开展小组活动学生分组合作，进行讨论；教师引导学生探究复杂问题的思路和方法25分钟Step 5总结笔记学生回顾笔记，通过讲解的方式总结本节课学习的重点和难点15分钟2. 魔方的解法及公式法2.1 自由探究主题：魔方的解法及公式法步骤教师活动学生活动时间Step 1了解魔方基本的解法，自由探究学生自由探究，教师在旁边引导和点拨30分钟Step 2所有学生组成4~5人的小组，在小组内进行自由讨论并交流解法小组内自由讨论和交流解法20分钟Step 3教师再进行总结并整理魔方的基本解法和公式法学生记录重要的内容20分钟Step 4带领学生探讨魔方的应用学生在教师的引导下，讨论探究魔方在实际问题中的应用30分钟Step 5总结根据探讨的结果进行总结和归纳10分钟六、教学反思1. 教学方法在教学过程中，听取学生的意见和建议，采用互动式教学法，让学生在其中更好的掌握知识并形成持续性思考。
上海华师大一附中高一数学上册衔接教材 沪教版
华师大一附中初高中数学衔接教材目 录引 入 乘法公式第一讲 因式分解1. 1 提取公因式1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1. 3分组分解法1. 4十字相乘法（重、难点）1. 5关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．第二讲 函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用第三讲 三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）． （2）由图1．1－3，得 x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。
2013-2014学年九年级数学上册1.2.3公式法导学案
2013-2014学年九年级数学上册1.2.3公式法导学案第一篇：2013-2014学年九年级数学上册 1.2.3 公式法导学案1·2·3公式法(2)学习目标：1、熟练运用求根公式解一元二次方程。
2、运用根的判别式判断一元二次方程根的情况。
学习过程：一、快乐自学：1、自学教材P17-P18，关注b²－4ac的大小与方程根的情况的关系。
2、自学检测：(1)解方程：①x²-4x+3=0② x²-4x+4=0③x²-4x+5=0(2)上面三个方程：方程①的解的情况为，方程②的解的情况为，方程③的解的情况是。
（3）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的跟的情况为：①当﹥0时，②当﹤0时，③当=0时，（4）不解方程,判断下列方程根的情况：①2x²-3x-5=0② 9x²=30x-25③ x²+6x+10=0解a=b=c=∵b²-4ac=∴方程。
解a=b=c=∵b²-4ac=∴方程。
解a=b=c=∵b²-4ac=∴方程。
三、合作探究：当k为何值时方程x²-kx+4=0有两个相等实数根，并求此时方程的根。
四、课堂小结五、当堂检测：1、不解方程判断下列方程根的情况①x²+9x=0②4y+2y²+3=02、判断关于x的方程mx²+(2m+1)x+（m+1）=0的根的情况。
第二篇：2013-2014学年九年级数学上册 1.2.3 公式法导学案1·2·3公式法（1）学习目标：运用求根公式解一元二次方程。
学习过程：一、课前热身：方程x²－2x=1化为一般形式为，a=，b=，c=。
b²－4ac=。
二、快乐自学：1、自学P15-P17的内容。
重点掌握求根公式的推导过程。
2、把一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的二次项系数化为1得，把方程左边配方得即为。
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1.2.3 公式法
教学内容
间接即通过变形运用开平方法降次解方程．
教学目标
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
通过复习可直接化成x 2=p （p≥0）或（mx+n ）2=p （p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重难点关键
1．重点：讲清“直接降次有困难，如x 2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们解下列方程
（1）3x 2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x 2+16x+16=9
老师点评：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得
x=±p 或mx+n=±p （p ≥0）．
如：4x 2+16x+16=（2x+4）2
二、探索新知
列出下面二个问题的方程并回答：
（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？
问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．
数的18的平 大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总
方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决
这个问题吗？ 问题2：如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，•
修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的
部分作为耕
地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？
老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：x=（1
8x）2+12
整理得：x2-64x+768=0
问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500
整理，得：x2-36x+70=0
（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．
（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
x2-64x+768=0 移项→x=2-64x=-768
两边加（
64
2
）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024
左边写成平方形式→（x-32）2=•256 •降次→x-32=±16 即x-32=16或x-32=-16
解一次方程→x1=48，x2=16
可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．
学生活动：
例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．
老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=±254，x-18=254或x-18=-254，x1≈34，x2≈2．
可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．
例2．解下列关于x的方程
（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0
分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．
解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6
x-1=6，x-1=-6
x1=7，x2=-5
可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．
（2）x2-2x-1
2=0 x2-2x=
1
2
x 2-2x+12=12+1 （x-1）2=3
2
x-1=±62即x-1=62，x-1=-6
2
x 1=1+62，x 2=1-6
2
可以验证：x 1=1+62，x 2=1-6
2都是方程的根．
三、巩固练习
教材P 38 讨论改为课堂练习，并说明理由．
教材P 39 练习1 2．（1）、（2）．
四、应用拓展
例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B •两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ •的面积为Rt △ACB 面积的一半． B C A
Q
P
分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．
解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．
根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×1
2×8×6
整理，得：x 2-14x+24=0
（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2
x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．
所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．
五、归纳小结
本节课应掌握：
左边不含有x 的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，
右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
六、布置作业
1．教材P45复习巩固2．
2．选用作业设计．
一、选择题
1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
二、填空题
1．方程x2+4x-5=0的解是________．
2．代数式
2
2
2
1
x x
x
--
-的值为0，则x的值为________．
3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．
三、综合提高题
1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
2．如果x2-4x+y2+6y+2
z++13=0，求（xy）z的值．
3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
答案:
一、1．B 2．B 3．C
二、1．x1=1，x2=-5 2．2 3．z2+2z-8=0，2，-4
三、1．（x-3）（x-1）=0，x1=3，x2=1，
∴三角形周长为9（∵x2=1，∴不能构成三角形）
2．（x-2）2+（y+3）2+2
z+=0，
∴x=2，y=-3，z=-2，（xy）z=（-6）-2=1 36
3．设每台定价为x，则：（x-2500）（8+2900
50
x
-
×4）=5000，
x2-5500x+7506250=0，解得x=2750 课后教学反思。