231.因式分解公式法(一)学案(试题+参考答案)
专题18 公式法因式分解(解析版)
专题18 公式法因式分解一、单选题1．对于算式320182018-，下列说法错误的是（ ）A ．能被2016整除B ．能被2017整除C ．能被2018整除D ．能被2019整除 【答案】A【分析】根据因式分解的方法对原式进行变形后可以得解．【详解】解：∵()3220182018201820181-=-=()()20182018120181+-=201820192017⨯⨯，∵B 、C 、D 正确，A 错误，故选A ．【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．2．1824-能被下列四个数∵3；∵4；∵5；∵17整除的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【分析】用因式分解方法分解1824-，检查其是否有因数3、4、5、17，如果有该数，该数就能被整除．【详解】解：1824- 18222=-21628884484222(21)2(21)(21)4(21)(21)(21)4(21)(21)(21)(21)=-=+-=++-=++-+ 843517(21)=⨯⨯⨯+由分解的结果知1824-含有3、4、5、17四个因数，故3、4、5、17都能被1824-整除．故选：D ．【点睛】此题考查因式分解的一个应用，判定一个大的整数或算式能否被另一个数或式子整除往往要对这个大的整数或算式进行因式分解．3．下列因式不能整除322344x y x y xy ++（ ）A ．xyB ．2x y +C ．22x xy +D ．22xy y + 【答案】C【分析】先将4x 3y ＋4x 2y 2＋xy 3按照因式分解的方法进行变形，则可得出哪些整式可以整除多项式4x 3y ＋4x 2y 2＋xy 3，则问题得解．【详解】解：∵4x 3y ＋4x 2y 2＋xy 3＝xy （4x 2＋4xy ＋y 2）＝xy （2x ＋y ）（2x ＋y ）＝x （2xy ＋y 2）（2x ＋y ）∵xy 、（2x ＋y ）、（2xy ＋y 2）均能整除4x 3y ＋4x 2y 2＋xy 3，x 2＋2xy 不能整除4x 3y ＋4x 2y 2＋xy 3．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法并正确对原式变形是解题的关键．4．下列因式分解正确的是（ ）A ．22()()m n m n m n +=+-B ．()222824x x -=- C ．2(1)-=-a a a aD ．221(2)1a a a a ++=++ 【答案】C【分析】分别利用公式法和提公因式法对各选项进行判断即可．【详解】解：A ．22m n +无法分解因式，故此选项错误；B ．()2228242(2)(2)x x x x -=-=+-，故此选项错误；C ．2(1)-=-a a a a ，故此选项正确；D ．2221(1)a a a ++=+，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，一个多项式如有公因式首先提取公因式,然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项,考虑使用平方差公式,如果剩余的是三项,则考虑使用完全平方公式．同时,因式分解要彻底,要分解到不能分解为止．5．下列分解因式错误的是（ ）A ．()()()() m x y n x y x y m n -+-=-+B ．()322x x x x x x -+=- C ．()3632mx my m x y -=-D ．()()22x y x y x y -=+- 【答案】B【分析】 利用因式分解的方法计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A 、m （x -y ）+n （x -y ）=（x -y ）（m+n ），正确；B 、x 3-x 2+x=x （x 2-x+1），错误；C 、3mx -6my=3m （x -2y ），正确；D 、x 2-y 2=（x+y ）（x -y ），正确，故选：B ．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二、解答题6．因式分解：（1）34m n mn -（2）221293a ab b -+- 【答案】（1）mn(2m+1)(2m -1)；（2）()2139a b --【分析】（1）先提取公因式mn ，再用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式19-，再用完全平方公式分解即可； 【详解】解：（1）34m n mn -=mn(4m 2-1)=mn(2m+1)(2m -1)；（2）221293a ab b -+- =()221699a ab b --+ =()2139a b --． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：∵提公因式法；∵公式法；∵十字相乘法；∵分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 7．因式分解：（1）2161a -（2）34x x -（3）4224168m m n n -+（4）()()22629x y x y +-++【答案】（1）(41)(41)a a +-；（2）(2)(2)x x x +-；（3）22(2)(2)m n m n ++；（4）2(23)x y +-【分析】（1）直接运用平方差公式进行因式分解即可；（2）原式提取公因式x ，再运用平方差公式进行因式分解即可；（3）先运用完全平方公式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可；（4）把(2x+y)看成整体，再运用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：（1）2161a -=22(4)1a -=(41)(41)a a +-；（2）34x x -=2(4)x x -=(2)(2)x x x +-；（3）4224168m m n n -+=222(4)m n -=22(2)(2)m n m n ++（4）()()22629x y x y +-++=2(23)x y +-【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．因式分解（1）2()()x y a y x -+-（2）()222416a a +-【答案】（1）（x -y ）（2-a ）；（2）（a+2）2（a -2）2．【分析】（1）首先对式子变形，然后提取公因式（x -y ），即可得出答案；（2）直接利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：（1）原式=()()2x y a x y ---=（x -y ）（2-a ）；（2）原式=（a 2+4+4a ）（a 2+4-4a ）=（a+2）2（a -2）2．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．9．先阅读下面问题的解法，然后解答问题：（1）若多项式26x px +-分解因式的结果中有因式3x -，则实数p =_________． （2）若多项式3257x x x q +++分解因式的结果中有因式1x +，求实数q 的值． （3）若多项式4316x mx nx ++-分解因式的结果中有因式(1)x -和(2)x -，求实数,m n 的值．【答案】（1）-1，（2）q=3，（3）m=-5，n=20．【分析】（1）根据题目提供的信息，把x -3=0，求出x 的值，然后代入多项式进行计算即可求出p 值；（2）根据题目提供的信息，把x+1=0，求出x 的值，然后代入多项式进行计算即可求出q 值；（3）根据题目提供的信息，把x -1=0，x -2=0，求出x 的值，然后代入多项式得到关于m 、n 的二元一次方程组，解方程组即可得解．【详解】解：（1）设x 2+px -6=（x -3）•A （A 为整数），若x 2+px -6=（x -3）•A=0，则x -3=0或A=0，由x -3=0得，x=3，则x=3是方程x 2+px -6=0的解，∵32+3p -6=0，解得p=-1；故答案为：-1；（2）设x 3+5x 2+7x+q=（x+1）•B （B 为整式），若x 3+5x 2+7x+q=（x+1）•B=0，则x+1=0或B=0，由x+1=0得，x=-1，则x=-1是方程x 3+5x 2+7x+q=0的解，∵（-1）3+5×（-1）2+7×（-1）+q=0，即-1+5-7+q=0，解得q=3；（3）设x 4+mx 3+nx -16=（x -1）（x -2）•C （C 为整式），若x 4+mx 3+nx -16=（x -1）（x -2）•C=0，则x -1=0，x -2=0，C=0，由x -1=0，x -2=0得，x=1，x=2，即x=1，x=2是方程x 4+mx 3+nx -16=0的解，∵14+m•13+n•1-16=0，24+m•23+n•2-16=0，即m+n=15∵，4m+n=0∵，∵∵联立解得m=-5，n=20．【点睛】本题考查了因式分解的应用，读懂题目信息，利用方程的思想求解是解题的关键．10．因式分解：（1）3x x -；（2）22344ab a b b --【答案】（1）(1)(1)x x x +-；（2）2(2)b a b --．【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式分解；（2）先提公因式，再用完全平方公式分解．【详解】解：（1）3x x -=2(1)x x -=(1)(1)x x x +-；（2）22344ab a b b --22(44)b a ab b =--+2(2)b a b =--．【点睛】此题考查分解因式．分解因式的一般步骤是：一、能提取公因式的先提取公因式；二、再考虑用其它方法继续分解；三、要注意分解要彻底．11．因为223(3)(1)x x x x +-=+-，这说明多项式223x x +-有一个因式为1x -，我们把1x =代入此多项式发现1x =能使多项式223x x +-的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）若3x -是多项式212x kx +-的一个因式，求k 的值；（2）若(2)x -和(3)x +是多项式326x mx x n +-+的两个因式，试求m ，n 的值．（3）在（2）的条件下，把多项式326x mx x n +-+因式分解．【答案】（1）k=1（2）m=1，n=0；（3）x （x+3）（x -2）【分析】（1）根据材料把x=3代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k 值；（2）把x=2和x=-3分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m ，n 值；（3）把m 、n 值代入多项式中，因式分解即可得到结论．【详解】解：（1）∵x -3是多项式x 2+kx -12的一个因式，∵x=3时，x 2+kx -12=0，∵9+3k -12=0，∵k=1；（2）（x -2）和（x+3）是多项式x 3+mx 2-6x+n 的两个因式，∵x=2和x=-3时，326x mx x n +-+=0，∵84120279180m n m n +-+=⎧⎨-+++=⎩解得10m n =⎧⎨=⎩， ∵m=1，n=0；（3）当m=1，n=0时，326x mx x n +-+=x 3+x 2-6x=x （x 2+x -6）=x （x+3）（x -2）． 【点睛】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键．（1）328a a -（2）22mx mx m -+-（3）()22214x x +-（4）22()()a x y b y x -+-【答案】（1）2(2)(2)a a a +-；（2）2(1)m x --；（3）22(1)(1)x x +-；（4）()()()x y a b a b -+-．【分析】（1）提取公因式后，利用平方差公式因式分解即可；（2）提取公因式后，利用完全平方公式因式分解即可；（3）利用平方差公式分解后，再次利用完全平方公式因式分解；（4）提取公因式后，利用平方差公式因式分解即可；【详解】解：（1）原式=22(4)a a -=2(2)(2)a a a +-；（2）原式=2(21)m x x --+ =2(1)m x --；（3）原式22[()2]1)2]1[(x x x x +=-++ 22()(22)11x x x x +-+=+22(1)(1)x x =+-；（4）原式=22()()a x y b x y ---=22()()x y a b --=()()()x y a b a b -+-．【点睛】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解．一般因式分解时，有公因式先提取公因式，然后再看能否运用公式因式分解．（1）32232x y x y xy -+；（2）33312a b ab -．【答案】（1）2()xy x y -；（2）3(2)(2)ab a b a b +-．【分析】（1）原式提取公因式xy ，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式3ab ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：（1）32232x y x y xy -+ =22(2)xy x xy y -+=2()xy x y -；（2）33312a b ab -=223(4)ab a b -=3(2)(2)ab a b a b +-．【点睛】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．阅读下列材料，并解答相应问题：对于二次三项式222x ax a ++这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成()2x a +的形式，但是对于二次三项式2223x ax a +-，就不能直接应用完全平方式，我们可以在二次三项式2223x ax a +-中先加一项2a ，使其一部分成为完全平方式，再减去2a 项，使整个式子的值不变，于是有下面的因式分解： 2223x ax a +-()()()()()2222222223423x ax a a a x a a x a a x a x a =++--=+-=+-=+-仔细领会上述的解决问题的思路、方法，认真分析完全平方式的构造，结合自己对完全平方式的理解，解决下列问题：（1）因式分解：∵243x x -+ ；∵()()2222223x x x x +-+- ．（2）拓展：因式分解：44x +．【答案】（1）∵()()13x x --；∵()()()2131x x x -++；（2）()()222222x x x x ++-+【分析】（1）∵直接由因式分解的方法进行计算，即可得到答案；∵直接由因式分解的方法进行计算，即可得到答案；（2）直接由因式分解的方法进行计算，即可得到答案；【详解】解：（1）∵2243(44)1x x x x -+=-+-=2(2)1x --=(21)(21)x x -+--=(1)(3)x x --；∵()()2222223x xx x +-+- =()()22222214x x x x +-++- =()22214x x +--=()222212x x +--=()()222321x x x x +-++=()()()2131x x x -++；（2）44224444x x x x +=++-=222(2)(2)x x +-=()()222222x x x x ++-+．【点睛】此题考查了因式分解的应用，以及十字相乘法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 15．因式分解．（1）()()x x y y x y +-+（2）()()131x x --+【答案】（1）()()x y x y +-；（2）()22x - 【分析】（1）原式直接提取公因式（x+y ）即可；（2）先利用多项式的乘法运算法则展开，然后再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：（1）()()x x y y x y +-+=()()x y x y +-；（2）()()131x x --+=2431x x -++=244x x -+=()22x -．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．16．已知x ，y 满足：26(3)(3)105x y x y y ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，12(1)4102x y x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，求下列各式的值： （1）()2x y -．（2）32232x y x y xy ++． 【答案】（1）8；（2）32∵【分析】本题首先需要对题中给出的两个式子进行化简，化简结果分别为：2212x y +=，2xy =，化简后发现无法解出x 、y 的值，所以需要整体代入，将2212x y +=，2xy =代入所求式子即可求出结果．【详解】（1）26(3)(3)105x y x y y ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭22291012x y y -=-+2212x y +=，12(1)4102x y x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 22240xy x x -+-=2xy =，()2x y -222x y xy =+-124=-8=．（2）32232x y x y xy ++()222xy x xy y =++()2124=⨯+32=．【点睛】本题考查的是整式乘除中的平方差公式及完全平方公式的计算，化简之后需要进行整体变形代入求值． 17．（1）分解因式：()()24129x y x y +-+-（2）先化简，再求值：()()()2232a b ab bb a b a b --÷-+-，其中1,12a b ==- 【答案】（1）()2332x y -+；（2）2ab -，1【分析】（1）原式利用完全平方公式分解即可．（2）先进行整式的除法，然后利用平方差公式展开后合并同类项，继而得出最简整式，代入a 和b 的值即可．【详解】解：（1）()()24129x y x y +-+-=()223x y +-⎡⎤⎣⎦=()2332x y -+；（2）原式=()22222a ab b a b---- =22222a ab b a b ---+=2ab -当a=12，b=-1时，原式=()1212-⨯⨯-=1． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、化简求值及因式分解的知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．把下列各式因式分解：（1）﹣3a 2x 2+24a 2x ﹣48a 2 （2）（a 2+4）2﹣16a 2【答案】（1）-3a 2(x -4)2；（2）(a+2)2(a -2)2【分析】（1）原式提取公因式﹣3a 2后，再利用平方差公式分解即可；（2）原式先运用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：（1）﹣3a 2x 2+24a 2x ﹣48a 2=22(3816)a x x -+-=2234)(a x --；（2）（a 2+4）2﹣16a 2=222(4)(4)a a +-=22(44)(44)a a a a ++-+=22(2)(2)a a +- ．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．因式分解：（1）228x -；（2）224129a ab b -+【答案】（1）2(2)(2)x x +-；（2）2(23)a b -．【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可；（2）利用完全平方公式进行因式分解即可；【详解】解：（1）原式=()224x -=2(2)(2)x x +-（2）原式=()()222123a ab b -+=2(23)a b -【点睛】本题考查公因式法和公式法的综合运用，一个多项式有公因式先提取公因式，然后再用其他的方法进行因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．20．如图，正方形ABCD 中，点G 是边CD 上一点（不与端点C ，D 重合），以CG 为边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，且B 、C 、E 三点在同一直线上，设正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a 和b a b >（）． （1）分别用含a ，b 的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积12S S 、；（2）若5,3+==a b ab ，求1S 的值；（3）当12S S <时，判断2a b -值的正负．【答案】（1）222121111,2222S a b ab S ab b =+-=-；（2）18S =；（3）20a b -<． 【分析】（1）利用两个正方形的面积减去空白部分的面积列式即可；（2）把a+b=5，ab=3，整体代入S 1的代数式求得数值即可；（3）联立不等式，进一步求得答案即可．【详解】（1）222111()22S a b a b a b =+--+ =22111,222a b ab +- S 2=2211()()()22a ab b a a b a b +----+ =21.2ab b - （2）∵5,3+==a b ab ∵221111222S a b ab =+- =213259()82222a b ab +-=-=． （3）∵22211112222a b ab ab b +-≤-． ∵2213022a b ab +-<， ∵22230a b ab +-<，∵(2)()0a b a b --<，∵a ＞b ，∵20a b -＜，【点睛】此题考查列代数式，整式的混合运算，以及因式分解的实际运用，求得两个阴影部分的面积是解决问题的关键．21．解答下列各题．（1）分解因式：22()()a x y b x y ---． （2）解不等式组273(1)15(4)2x x x x -<-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①②【答案】（1）()()()x y a b a b -+-；（2）42x -<≤【分析】（1）首先提取公因式()x y -，再结合平方差公式计算，即可得到答案；（2）分别求解不等式∵和∵，即可得到不等式组的解集．【详解】（1）()()22a x y b x y ---()()22x y a b =--()()()x y a b a b =-+-；（2）273(1)15(4)2x x x x -<-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①② 解不等式∵，得4x >-解不等式∵，得2x ≤∵不等式组的解集为：42x -<≤．【点睛】本题考查了分解因式和不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握分解因式和不等式组解集的性质，从而完成求解．22．解答下列各题（1）分解因式：()()2222x x y y x y ---． （2）解不等式组()5131131622x x x x ⎧->+⎪⎨-≤-⎪⎩，并求出不等式组的整数解之和．【答案】（1）()()3x y x y -+；（2）722x <≤；整数解之和为3． 【分析】（1）先提公因式()2,x y - 再把22x y -按照平方差公式分解，即可得到答案； （2）分别解不等式组中的两个不等式，取解集的公共部分，再确定不等式组的整数解，从而可得答案．【详解】解：（1）()()2222x x y y x y --- ()()222x y x y =-- ()()()2x y x y x y -=-+()()3x y x y =-+（2）()5131{131622x x x x ->+-≤-①② 由∵得：5133,x x ->+， 24,x ∴>2x ∴>由∵得：1361,22x x +≤+ 27,x ∴≤72x ∴≤， ∴不等式组的解集为：722x <≤ ∴不等式组的整数解为3，整数解之和也为3．【点睛】本题考查的是因式分解，解一元一次不等式组，掌握以上知识是解题的关键．23．在理解例题的基础上，完成下列两个问题：例题：若2222440m mn n n ++-+=，求m 和n 的值；解：由题意得：()()2222440m mn n n n +++-+=，∵22()(2)0m n n ++-=，∵020m n n +=⎧⎨-=⎩，解得22m n =-⎧⎨=⎩． 问题：（1）若2222690x xy y y ++-+=，求x y 的值；（2）若a ，b ，c 是ABC 的边长，满足2210841a b a b +=+-，c 是ABC 的最长边，且c 为奇数，则c 可能是哪几个数？【答案】（1）127；（2）7． 【分析】 （1）将原式变形为22()(3)0x y y ++-=，利用非负数的性质求得x 、y ，从而确定代数式的值；（2）根据2210841a b a b +=+-得到22(5)(4)0a b -+-=，求得a 、b 的值，由a ，b ，c 为正整数且是∵ABC 的三边长，c 是∵ABC 的最长边，可以求得c 的取值，本题得以解决．【详解】（1）由题意得：()()2222690x xy yy y +++-+=，∵22()(3)0x y y ++-=， ∵030x y y +=⎧⎨-=⎩， 解得：33x y =-⎧⎨=⎩， ∵31327x y -== （2）由题意得：()()2210258160a a b b -++-+=，∵22(5)(4)0a b -+-=， ∵5040a b -=⎧⎨-=⎩， 解得：54a b =⎧⎨=⎩ 又∵a ，b ，c 是ABC 的边长，且c 为最长边，∵59c <<，又∵c 为奇数，∵7c =．【点睛】本题考查配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确配方法和三角形三边的关系．24．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：2()2()1x y x y ++++．解：将“x y +”看成整体，令x y A +=，则原式2221(1)A A A =++=+．再将“A ”还原，得原式()21x y =++．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：()()212x y x y +-+-=_________；（2）因式分解：()()44a b a b ++-+；（3）求证：若n 为正整数，则代数式()()()21231n n n n ++++的值一定是某一个整数的平方． 【答案】（1）(x -y+1)2；（2）(a+b -2)2；（3）见解析【分析】（1）把(x -y)看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；（2）令A=a+b ，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；（3）将原式转化为(n 2+3n)[(n+1)(n+2)]+1，进一步整理为(n 2+3n+1)2，根据n 为正整数得到n 2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．【详解】解：（1）()()212x y x y +-+-=(x -y+1)2；（2）令A=a+b ，则原式变为A(A -4)+4=A 2-4A+4=(A -2)2，故(a+b)(a+b -4)+4=(a+b -2)2；（3）(n+1)(n+2)(n 2+3n)+1=(n 2+3n)[(n+1)(n+2)]+1=(n 2+3n)(n 2+3n+2)+1=(n 2+3n)2+2(n 2+3n)+1=(n 2+3n+1)2，∵n 为正整数，∵n 2+3n+1也为正整数，∵代数式(n+1)(n+2)(n 2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 25．因式分解（1）231212x y xy y -+（2）()2x a b b a -+-【答案】（1）23(2)y x -（2）()(1)(1)a b x x -+-【分析】（1）根据提取公因式与公式法即可求解；（2）先提取()-a b ，再根据公式法即可因式分解．【详解】（1）231212x y xy y -+=()2344y x x -+=23(2)y x -（2）()2xa b b a -+- =()()2x a b a b ---=()()21a b x -- =()(1)(1)a b x x -+-．【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法与公式法的运用．26．因式分解：（1）223ab a b ab -+．（2）23232(2)a x b x +-．（3）23129ma ma m -+-．（4）2292x xy y -+-．【答案】（1）(31)ab b a -+；（2）32(2)(2)x a b a b +-；（3）3(1)(3)m a a ---；（4）(3)(3)x y x y +--+【分析】∵1∵直接运用提公因式法进行因式分解即可；（2）先进行计算，再运用提公因式、平方差公式进行因式分解即可；（3）先提公因式，再十字相乘进行因式分解；（4）先分组分解，再利用完全平方公式和平方差公式进行分解即可．【详解】解：（1）原式(31)ab b a =-+；（2）原式()232328a x b x =+- 232328a x b x =-()32224x a b =-32(2)(2)x a b a b =+-；（3）原式()2343m a a =--+ 3(1)(3)m a a =---；（4）原式()2292x xy y =--+29()x y =--(3)(3)x y x y =+--+．【点睛】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的相关方法．27．分解因式：（1）24x y y -．（2）32242m m m -+-．【答案】（1）(2)(2)y x x -+；（2）22(1)m m --【分析】24x y y -先提取公因式y ，再利用平方差公式分解可得；先提取公因式32242m m m -+-2m ，再利用完全平方公式分解可得．【详解】解：（1）24x y y -()24y x =-(2)(2)y x x =-+． （2）32242m m m -+-()2221m m m =--+22(1)m m =--． 【点睛】提取本题考查了公因式法和公式法的综合运用，一个多项式有公因式先提取公因式，然后再用其它的方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．28．因式分解：()211025x y xy y -+；()442x y - 【答案】（1）2(5)y x -； （2）()()()22x y x y x y ++-【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可.（2）平方差公式连续分解即可.【详解】()211025x y xy y -+=2(1025)y x x -+=2(5)y x -；()442x y -=2222()()x y x y +-=22()()()x y x y x y ++-【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解29．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：甲：244x xy x y -+- 乙：2222a b c bc --+()2(44)x xy x y =-+-（分成两组） ()2222a b c bc =-+-（分成两组）()4()x x y x y =-+-（直接提公因式） 22()a b c =--（直接运用公式）()(4)x y x =-+． ()()a b c a b c =+--+（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）32248m m m --+； （2）2229x xy y --+．【答案】（1）2(2)(2)m m -+；（2）(3)(3)x y x y -+--【分析】（1）将前两项和后两项分别分解因式，再进一步提取m -2分解因式，最后利用平方差公式再次分解因式即可；（2）将前两项和最后一项合起来分解因式，再利用平方差公式分解因式．【详解】解：（1）32248m m m --+ 2(2)4(2)m m m =---()2(2)4m m =--2(2)(2)m m =-+．（2）2229x xy y --+()2229x xy y =-+-2)(9y x =--3)((3)x x y y =-+--．【点睛】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的方法提公因式法和公式法并能结合题例掌握分组因式分解是解题关键．30．分解因式：（1）a 2﹣9b 2；（2）2x 2﹣16x+32．【答案】（1）()()33a b a b +-；（2）()224x -． 【分析】（1）直接利用平方差公式进行因式分解即可得；（2）综合利用提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可得．【详解】（1）原式()223a b =-， ()()33a b a b =+-；（2）原式()28216x x =-+， ()224x =-．【点睛】本题考查了因式分解，主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．31．因式分解（1）a 2-4ab +4b 2-4；（2）a 2(x －y )＋4b 2(y －x )．【答案】（1）(22)(22)a b a b -+--；（2）()()()22x y a b a b -+-.【分析】（1）先用完全平方公式分解，再用平方差公式因式分解即可；（2）先将y －x 变为-(x －y )，再提公因式，最后用平方差公式因式分解即可.【详解】（1）a 2-4ab +4b 2-4=2(2)4a b --，=(22)(22)a b a b -+--（2）a 2(x －y )＋4b 2(y －x )=22)4()(a x y b x y -－－=()()224x y a b --=()()()22x y a b a b -+-【点睛】本题考查提公因式因式分解与公式法因式分解的综合应用，注意计算时有公因式一定要先提公因式再套用其他方法分解.32．因式分解：（1）228x -；（2）3244x x x ++．【答案】（1）()()222x x +-；（2）()22x x +． 【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可得；（2）先提取公因式x ，再利用完全平方公式分解因式即可得．【详解】（1）原式()224x =-， ()()222x x =+-；（2）原式()244x x x =++， ()22x x =+．【点睛】本题考查了综合利用提取公因式法和公式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．33．分解因式：（1）3281549m m m -+；（2）()()224a b m b a n -+-． 【答案】（1）()2931m m -；（2）()()()22a b m n m n -+- 【分析】（1）先提取公因式9m ，再根据完全平方公式进行分解即可；（2）先将(b -a)转化为-(a -b)，再提取公因式(a -b)，然后利用平方差公式进行分解即可．【详解】解：（1）原式()()229961931m m m m m =-+=-． （2）原式＝()()224a b m a b n --- ()()()22a b m n m n =-+-．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．一个多项式有公因式先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，因式分解要彻底，直到不能分解为止．34．把下列各式因式分解：（1）()()222x y x y ---；（2）()222224a b a b +-．【答案】(1)()() 21x y x -+；(2)()()22 a b a b +-【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可； （2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．【详解】（1）()()222x y x y --- ()()222x y x y =-+-()()21x y x =-+；（2）()22222 4a b a b +-()()222222a b ab a b ab =+++-()()22a b a b =+-．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．三、填空题35．计算：21.99 1.990.01+⨯=___．【答案】3.98．【分析】直接提取公因式1.99，即可得答案∵【详解】1.992+1.99×0.01=1.99×（1.99+0.01）=1.99×2=3.98.故答案为：3.98．【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．36．分解因式23363a a a -+=______．【答案】()231a a -【分析】根据因式分解的步骤逐步进行，先提取公因式，再用公式法．【详解】原式()()2232131a a a a a =-+=-， 故答案为：()231a a -．【点睛】本题考查了因式分解，注意因式分解的基本步骤，先考虑提取公因式，再考虑公式法．37．因式分解：（1）3312x x -=_____________．（2）3223242a b a b ab -+=____________．【答案】3(+2)(2)x x x - 22()ab a b - 【分析】（1）原式提取公因式3x ，再运用平方差公式进行因式分解即可；（2）原式提取公因式2ab ，再运用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：（1）3312x x -=23()4x x -=3(+2)(2)x x x -；（2）3223242a b a b ab -+=222(2)ab a ab b -+=22()ab a b -故答案为：3(+2)(2)x x x -；22()ab a b -．【点睛】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．38．分解因式21x -=______；2232x y xy y -+=______．【答案】()()11x x +-； ()2-y x y ． 【分析】∵利用平方差公式因式分解即可，∵先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可．【详解】∵()()2111x x x -=+-， ∵()()22232222x y xy y y x xy y y x y -+=-+=-， 故答案为：()()11x x +-；()2y x y -．【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解基本方法，会根据多项式的特点选取恰当的因式分解的方法是解题关键． 39．分解因式：2216x y -=________．【答案】()()44x y x y +-【分析】利用平方差公式()()22a b a b a b -=+-进行因式分解即可得． 【详解】原式()224x y =-， ()()44x y x y =+-，故答案为：()()44x y x y +-．【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，因式分解的主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．40．已知2a b -=，3b c +=，222a b c ab bc ca ++-++=______．【答案】19【分析】先对原式配成完全平方的形式，再结合条件代入计算即可．【详解】222a b c ab bc ca ++-++()2221=2222222a b c ab bc ca ++-++ ()()()22222212=222a b a ac a c b bc b c ⎡⎤+++++++⎣-⎦ ()()()22212a b a c b c ⎡⎤=-++++⎣⎦ 2a b -=，3b c +=，5a c ∴+=，∴原式()2221235192=++=； 故答案为：19．【点睛】本题考查了用因式分解的方式将式子配成完全平方式，进而代入求值，能够将题中的式子进行变形成含有条件的形式是解决问题的关键．41．分解因式：2218a -=_________．【答案】()()233a a -+【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式即可解决．【详解】解：原式()()()229233a a a =-=-+． 故答案为：()()233a a -+．【点睛】本题考查了因式分解的内容，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．42．分解因式：244b -=_________．【答案】()()411b b +- 【分析】首先提取公因式，再进一步利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：4b 2-4=4（b 2-1）=4（b+1）（b -1）．故答案为：4（b+1）（b -1）．【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底． 43．在正整数中，2111111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2111111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2111111444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭利用上述规律，计算2222111111112342019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭_____． 【答案】10102019【分析】先依据题例用平方差公式展开，再利用乘法分配律交换位置后，相乘进行约分计算即可．【详解】 解：2222111111112342019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22334420192019+-+-+-+- =11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23420192342019++++⨯---- =3452020123201823420192342019⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =2020122019⨯ =10102019， 故答案为：10102019． 【点睛】本题考查运用因式分解对有理数进行简便运算．熟练掌握平方差公式是解题关键．44．已知5m n +=，2mn =，则32232m n m n mn ++的值为_______．【答案】50【分析】先将原式变形为()2mn m n +，代入5m n +=，2mn =即可求解．【详解】 32232m n m n mn ++()222mn m mn n =++()2mn m n =+，又5m n +=，2mn =，∴原式22550=⨯=．故答案为：50．【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知因式分解的方法．45．在当今“互联网+”的时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：3222x x x +--因式分解的结果是()()()112x x x -++，当取19x =时，各个因式的值是：118x -=，120,221x x +=+=，于是就可以把“182021”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式32(3)21x m n x nx +---，当取66x =时，得到密码596769，则m =______，n =________．【答案】72m = 25n =【分析】根据题意可得出因式分解的结果，再展开与原式相等即可得到所求的值．【详解】∵当66x =时，密码为596769，且3x 的系数是1∵()()()3232(3)2171332521x m n x nx x x x x x x +---=-++=--- ∵33,25m n n -=-=即72,25m n ==【点睛】此题考查因式分解，找到因式分解的结果是关键，主要是在于对题意的理解，难度一般．46．把322ax ax ax -+分解因式的结果是______．【答案】()21ax x -【分析】原式提取ax ，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：322ax ax ax -+ ()221ax x x =-+2(1)ax x =-．故答案为：2(1)ax x -．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．47．因式分解2228x y -=______．【答案】()()222x y x y +-【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可．【详解】2228x y -()2224x y =- ()()222x y x y =+-．故答案为：()()222x y x y +-．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．48．已知：22221016a b a b ab ++=-，则2()a b +的值为________．【答案】16【分析】先对等式进行移项，然后配方法因式分解求得a 、b 得值，最后计算即可.【详解】解：由22221016a b a b ab ++=-，得222281620a b ab a ab b -++-+=，即22(4)()0ab a b -+-=， 4ab a b=⎧∴⎨=⎩， 2a b ∴==±，∵=4a b +或-42()16a b ∴+=，故答案为：16.【点睛】本题主要考查配方法的应用以及偶次方非负数的性质，熟练掌握配方法因式分解是解题的关键.49．若,x y 是正整数，则2228160x xy y ---=，则x y +=____________【答案】7【分析】先把16移到等号右边，对等号左边的多项式分解因式，再根据,x y 是正整数，进行分类讨论，即可求解．【详解】∵2228160x xy y ---=，∵(2)(4)16x y x y +-=，∵x ，y 是正整数，∵x+2y 是正整数，∵∵2248x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：41x y =⎧⎨=-⎩（舍去）； ∵21416x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：652x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍去）； ∵2444x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：40x y =⎧⎨=⎩（舍去）； ∵21641x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：1152x y =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）； ∵2842x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：61x y =⎧⎨=⎩， ∵x+y=6+1=7故答案是：7【点睛】本题主要考查因式分解以及二元一次方程组的解法，熟练掌握十字相乘因式分解，是解题的关键． 50．若224613x x y y -++=-，则x y +=______．【答案】-1【分析】先分组，再化为完全平方公式，进而求出x 、y 的值即可.【详解】由x2−4x+y2+6y=−13 ，得x2−4x+y2+6y+13=0，故x2−4x+4+y2+6y+9=0，(x-2)2+(y+3)2=0，所以x-2=0，y+3=0，所以x=2，y=-3，所以x+y=2-3=-1.故答案为：-1【点睛】此题考查了分组法分解因式，掌握完全平方公式是解答此题的关键.。
因式分解练习题(有答案)
因式分解练习题(有答案)篇一：因式分解过关练习题及答案因式分解专题过关1.将以下各式分解因式22（1）3p﹣6pq（2）2x+8x+82.将以下各式分解因式3322（1）xy﹣xy （2）3a﹣6ab+3ab.3.分解因式222222 （1）a（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x+y）﹣4xy4.分解因式：222232 （1）2x﹣x（2）16x﹣1（3）6xy﹣9xy﹣y （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）5.因式分解：（1）2am﹣8a （2）4x+4xy+xy23226.将以下各式分解因式：322222 （1）3x﹣12x （2）（x+y）﹣4xy7.因式分解：（1）xy﹣2xy+y223 （2）（x+2y）﹣y228.对以下代数式分解因式：（1）n（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+19.分解因式：a﹣4a+4﹣b10.分解因式：a﹣b﹣2a+111.把以下各式分解因式：42422 （1）x﹣7x+1 （2）x+x+2ax+1﹣a22222（3）（1+y）﹣2x（1﹣y）+x（1﹣y）（4）x+2x+3x+2x+112.把以下各式分解因式：32222224445（1）4x﹣31x+15；（2）2ab+2ac+2bc ﹣a﹣b﹣c；（3）x+x+1；（4）x+5x+3x﹣9；（5）2a﹣a﹣6a﹣a+2. 3243222242432因式分解专题过关1.将以下各式分解因式22（1）3p﹣6pq；（2）2x+8x+8分析：（1）提取公因式3p整理即可；（2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.解答：解：（1）3p﹣6pq=3p（p﹣2q），222（2）2x+8x+8，=2（x+4x+4），=2（x+2）.2.将以下各式分解因式3322（1）xy﹣xy（2）3a﹣6ab+3ab.分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式开展二次分解即可；（2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式开展二次分解即可.2解答：解：（1）原式=xy（x﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）；222（2）原式=3a（a﹣2ab+b）=3a（a﹣b）.3.分解因式222222（1）a（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x+y）﹣4xy.分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解.解答：解：（1）a（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a ﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；22222222222（2）（x+y）﹣4xy，=（x+2xy+y）（x ﹣2xy+y），=（x+y）（x﹣y）.4.分解因式：222232（1）2x﹣x；（2）16x﹣1；（3）6xy ﹣9xy﹣y；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）.222分析：（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式开展因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可.2解答：解：（1）2x﹣x=x（2x﹣1）；2（2）16x﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；223222（3）6xy﹣9xy﹣y，=﹣y（9x﹣6xy+y），=﹣y（3x﹣y）；222（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y），=[2+3（x﹣y）]，=（3x﹣3y+2）.5.因式分解：2322 （1）2am﹣8a；（2）4x+4xy+xy分析：（1）先提公因式2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.22解答：解：（1）2am﹣8a=2a（m﹣4）=2a（m+2）（m﹣2）；322222（2）4x+4xy+xy，=x（4x+4xy+y），=x（2x+y）.6.将以下各式分解因式：322222（1）3x﹣12x （2）（x+y）﹣4xy.分析：（1）先提公因式3x，再利用平方差公式继续分解因式；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式.解答：解：（1）3x﹣12x=3x（1﹣4x）=3x（1+2x）（1﹣2x）；22222222222（2）（x+y）﹣4xy=（x+y+2xy）（x+y ﹣2xy）=（x+y）（x﹣y）.7.因式分解：22322（1）xy﹣2xy+y；（2）（x+2y）﹣y.分析：（1）先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方式继续分解因式；（2）符合平方差公式的构造特点，利用平方差公式开展因式分解即可.解答：解：（1）xy﹣2xy+y=y（x﹣2xy+y）=y（x﹣y）；22（2）（x+2y）﹣y=（x+2y+y）（x+2y﹣y）=（x+3y）（x+y）. 223222328.对以下代数式分解因式：（1）n（m﹣2）﹣n（2﹣m）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1.分析：（1）提取公因式n（m﹣2）即可；（2）根据多项式的乘法把（x﹣1）（x﹣3）展开，再利用完全平方公式开展因式分解. 解答：解：（1）n（m﹣2）﹣n（2﹣m）=n（m﹣2）+n（m﹣2）=n（m﹣2）（n+1）；22（2）（x﹣1）（x﹣3）+1=x﹣4x+4=（x﹣2）.229.分解因式：a﹣4a+4﹣b.分析：此题有四项，应该考虑运用分组分解法.观察后可以发现，此题中有a的二次项a，a的一次项﹣4a，常数项4，所以要考虑三一分组，先运用完全平方公式，再进一步运用平方差公式开展分解.222222解答：解：a﹣4a+4﹣b=（a﹣4a+4）﹣b=（a﹣2）﹣b=（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）.10.分解因式：a﹣b﹣2a+1分析：当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法开展分解.此题中有a的二次项，a的一次项，有常数项.所以要考虑a﹣2a+1为一组.222222解答：解：a﹣b﹣2a+1=（a﹣2a+1）﹣b=（a﹣1）﹣b=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）.11.把以下各式分解因式：42422（1）x﹣7x+1；（2）x+x+2ax+1﹣a（3）（1+y）﹣2x（1﹣y）+x（1﹣y）（4）x+2x+3x+2x+1分析：（1）首先把﹣7x变为+2x﹣9x，然后多项式变为x﹣2x+1﹣9x，接着利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解；4222（2）首先把多项式变为x+2x+1﹣x+2ax﹣a，然后利用公式法分解因式即可解；222（3）首先把﹣2x（1﹣y）变为﹣2x（1﹣y）（1﹣y），然后利用完全平方公式分解因式即可求解；222422222424322222222篇二：因式分解练习题加答案200道因式分解3a3b2c－6a2b2c2＋9ab2c3＝3ab^2 c(a^2-2ac+3c^2)3.因式分解xy＋6－2x－3y＝(x-3)(y-2)4.因式分解x2(x－y)＋y2(y－x)＝(x+y)(x-y)^25.因式分解2x2－(a－2b)x－ab＝(2x-a)(x+b)6.因式分解a4－9a2b2＝a^2(a+3b)(a-3b)7.若已知x3＋3x2－4含有x－1的因式，试分解x3＋3x2－4＝(x-1)(x+2)^28.因式分解ab(x2－y2)＋xy(a2－b2)＝(ay+bx)(ax-by)9.因式分解(x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a)＝2y(a-b-c)10.因式分解a2－a－b2－b＝(a+b)(a-b-1)11.因式分解(3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2＝[3a-b-2(a+3b)]^2=(a-7b)^212.因式分解(a＋3)2－6(a＋3)＝(a+3)(a-3)13.因式分解(x＋1)2(x＋2)－(x＋1)(x＋2)2＝-(x+1)(x+2)abc＋ab－4a＝a(bc+b-4)(2)16x2－81＝(4x+9)(4x-9)(3)9x2－30x＋25＝(3x-5)^2(4)x2－7x－30＝(x-10)(x+3)35.因式分解x2－25＝(x+5)(x-5)36.因式分解x2－20x＋100＝(x-10)^237.因式分解x2＋4x＋3＝(x+1)(x+3)38.因式分解4x2－12x＋5＝(2x-1)(2x-5)39.因式分解以下各式：(1)3ax2－6ax＝3ax(x-2)(2)x(x＋2)－x＝x(x+1)(3)x2－4x－ax＋4a＝(x-4)(x-a)(4)25x2－49＝(5x-9)(5x+9)(5)36x2－60x＋25＝(6x-5)^2(6)4x2＋12x＋9＝(2x+3)^2(7)x2－9x＋18＝(x-3)(x-6)(8)2x2－5x－3＝(x-3)(2x+1)(9)12x2－50x＋8＝2(6x-1)(x-4)40.因式分解(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)＝(x+2)(2x-1)41.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝(x+1)(2ax-3)42.因式分解9x2－66x＋121＝(3x-11)^243.因式分解8－2x2＝2(2+x)(2-x)44.因式分解x2－x＋14 ＝整数内无法分解45.因式分解9x2－30x＋25＝(3x-5)^246.因式分解－20x2＋9x＋20＝(-4x+5)(5x+4)47.因式分解12x2－29x＋15＝(4x-3)(3x-5)48.因式分解36x2＋39x＋9＝3(3x+1)(4x+3)49.因式分解21x2－31x－22＝(21x+11)(x-2)50.因式分解9x4－35x2－4＝(9x^2+1)(x+2)(x-2)51.因式分解(2x＋1)(x＋1)＋(2x＋1)(x－3)＝2(x-1)(2x+1)52.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝(x+1)(2ax-3)53.因式分解x(y＋2)－x－y－1＝(x-1)(y+1)54.因式分解(x2－3x)＋(x－3)2＝(x-3)(2x-3)55.因式分解9x2－66x＋121＝(3x-11)^256.因式分解8－2x2＝2(2-x)(2+x)57.因式分解x4－1＝(x-1)(x+1)(x^2+1)58.因式分解x2＋4x－xy－2y＋4＝(x+2)(x-y+2)59.因式分解4x2－12x＋5＝(2x-1)(2x-5)60.因式分解21x2－31x－22＝(21x+11)(x-2)61.因式分解4x2＋4xy＋y2－4x－2y－3＝(2x+y-3)(2x+y+1)62.因式分解9x5－35x3－4x＝x(9x^2+1)(x+2)(x-2)63.因式分解以下各式：(1)3x2－6x＝3x(x-2)(2)49x2－25＝(7x+5)(7x-5)(3)6x2－13x＋5＝(2x-1)(3x-5)(4)x2＋2－3x＝(x-1)(x-2)(5)12x2－23x－24＝(3x-8)(4x+3)(6)(x＋6)(x－6)－(x－6)＝(x-6)(x+5)(7)3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3)＝2(x-6)(x+2)(8)9x2＋42x＋49＝(3x+7)^2 。
因式分解公式法习题库老师版电子教案
因式分解公式法、选择题1、•分解因式(x — 1) 2— 2 (x — 1) +1的结果是(2、已知a 、b 、c 是厶ABC 的三边长，且满足a 3+ab 2+bc 2=b 3+a 2b+ac 2，则△ ABC 的形状是(「 「 24、若 x — x — m=(x - m)( x+1) 且 x ^ 0，则 二、计算题三、简答题x"+2x 〔x+m 能因式分解，且有一个因式为 x-1.当x=1时，求多项式x 4+2x 3-x+m 的值.根据(1)的结果，求m 的值.仿照(1)的方法，试判断x+2是不是多项式x 4+2x 3-x+ m 的一个因式.已知关于x 的二次三项式 x 2+mx+n 有一个因式(x+5),且m+n=17,试求m,n 的值.两位同学将一个二次三项式因式分解 ，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2(x-1)(x-9),常数项而分解成 2(x-2)(x-4),求原多项式.精品文档A .2(x — 1)( x — 2) B . xC . ( x+1 ) 22D . (x — 2)A. 等腰三角形 B . 直角三角形 等腰三角形或直角三角形等腰直角三角形3、若把多项式x 2+px+q 分解因式可以分解成 X — 3) ( x+5)，贝U p 的值是( )A . 2C . 15D . —155、分解因式: mx 2—8mx+16mm 等于().已知多项式 另一位同学因看错了9、若V为实数，且满足.求 2……的值.10、因式分解-=(/_0十(亠+5) =(3(^-1)-5(^-1)= (at- 5)请你参考上面一种解法，对多项式进 -行因式分解.(2 )阅读下面的解题过程：已知八一"-- L,试求逍与打的值.解：由已知得：忆'•匚 ' L因此得到：宀 「「•;.1所以只有当-且' '上式才能成立.因而得:亍=】且■:: = _三请你参考上面的解题方法解答下面的问题：已知：J •宀」1 ■■ I,试求卫的值.13、有若干块长方形和正方形纸片如图所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形 (1) 用两种不同方法计算图(2)中长方形的面积，由此可得岀一个等式11、 已知 a — 2b=二,ab=2,求一a 4b 2 +4 a 3b 3 —4 a 2b 4 的值.12、 阅读与理解：(1) 先阅读下面的解题过程：解：方法(1)原式一丿 丿-方法(2)原式一「 J I ■'二(口 -卯-=(«-3+2)(«-3-2)(2) 有若干块如图(3)所示的长方形和正方形硬纸片①请你用拼图方法推岀一个完全平方公式，画岀你的拼图助拼图的方法，把二次三项式一1 ‘一二一二因式分解；画岀拼图，并写岀因式分解的结果（图（图3）14、在厶ABC中,三边长a、b、c满足/ 询‘ C 加臥0 ,求证："*历.15、已知x、y是实数，且. + ( y2—6y+9) =0,若ay+3xy=0，求实数a的值16、设■"--: 「小：-】一「1( n 为大于0 的自然数)(1)探究a n是否为8的倍数(2 )若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，如：a1，a2,…，a n,…，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指岀当(不必说明理由)2 2 2 2 2 217、老师在黑板上写岀三个算式： 5 —3 = 8X 2,9 —7 = 8 X 4,15 —3 = 8 X 27,王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112—52= 8 X 12,15 2—72= 8X 22,……(1) 请你再写岀两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式;(2) 用文字写岀反映上述算式的规律；(3) 证明这个规律的正确性.18、已知x2+4x-1=0,贝U 2x4+8x3-4x2-8x+1 的值是多少?1②试借（图1）2）1, 4, 9就是完全平方数。
11.3因式分解公式法(一)导学案答案
因式分解公式法（1）一、回忆1、(a ＋b)(a-b)=a 2-b 22、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2二、1、（1）什么是因式分解？（2）判断下列变形过程，哪个是因式分解？②2、计算：(1)（x ＋3）(x －3)=x 2-9(2)(2y ＋1)(2y －1)=4y 2-1(3)(p+4)(p-4)=p 2-16(4)(y+2)(y-2)= y 2-4 (5)(x+31)(x-31)= x 2-91 (6)(2a+b)(2a-b)=4a 2-b 23、猜一猜：你能将下面的多项式分解因式吗？（1）a 2-b 2=(a+b)(a-b) (分解的过程，发展学生的逆向思维)(2) x 2-y 2=(x+y)(x-y)4、分解因式：（1）a 2－22=(a+2)(a-2)(2) a 2-4=(a+2)(a-2)（3）16m 2－9n 2=(4m+3n)(4m-3n)（4）x 2－9y 2= (x+3y)(x-3y)总结平方差公式：a 2－b 2=（ a+b ）（ a-b ）．三．学生合作（合作展示）把下列各式分解因式：1.（1）x 2－9y 2= (x+3y)(x-3y) （2）16x 4－y 4=(4 x 2+ y 2)(4 x 2- y 2)（3）12a 2x 2－27b 2y 2=3(4 a 2x 2－9b 2y 2)=3(2ax+3by)(2ax-3by)（4）（x+2y ）2－（x －3y ）2=(x+2y+x-3y)(x+2y-x+3y)=5y(2x-y)（5）m 2（16x －y ）+n 2（y －16x ）=(16-y)(m+n)(m-n)四、达标测评：（1）16a 2－9b 2 =(4a+3b)(4a-3b) （2）81x 2－y 2=(9x+y)(9x-y)（3）（x+p ）2－(x+q)2=(x+p+x+q)(x+p-x-q)=(2x+p+q)(p-q)（4）a 2b 2－0.25c 2=(ab+0.5c)(ab-0.5c)（5）（m+n+1）2－4m 2n 2=(m+n+1+2mn)(m+n+1-2mn)（6）22171429 =(429+171)(429-171)=600×258=154800公式法（2）一、创设情境独立思考1、回顾思考：(1)（a+b ）2=a 2+2ab+b 2(2)(a-b)2= a 2-2ab+b 22、归纳：【1】【2】把下列各式分解因式．（1）a 2+2ab+b 2 =(a+b)2（2）a 2-2ab+b 2=(a-b)2【5】下列各式是不是完全平方式？为什么？（1）a 2-4a+4 （2）x 2+4x+4y 2 （3）4a 2+2ab+14b 2 （4）a 2-ab+b 2 （5）x 2-6x-9 （6）a 2+a+0.25（1）（2）（3）（6）是二、归纳总结巩固新知1、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）（1）16x 2+24x+9=（ 4x ）2+2×（12x ）+（3 ）2=（ 4x + 3 ）2（2）-x 2+4xy-4y 2=-（x2-4xy+4y2）=-（x-2y）22、共同探究（1）3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2（2）（a+b）2-12（a+b）+36=(a+b-6)2三、课堂小测（约5分钟）1、下面的多项式能否用完全平方公式分解因式?请说明理由。
因式分解法解一元二次方程【学案】
学习过程复习预习1．复习提问如果a×b=0，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．即a=0或者b=0。
2．复习：将下列各式分解因式。
(1)5X2-4X (2)X2-4X+4 (3)4X(X-1)-（X-1）(4) X2-4 (5)X2+4X+3(6）X2-3X+2一、知识讲解考点1提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．考点2运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．考点3平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)三例题精析【例题1】【题干】解方程x-2＝x（x-2）【答案】 x1＝2，x2＝1．【解析】解：原方程可化为x-2-x（x-2）＝0．（x-2）（1-x）＝0∴ x-2＝0或1-x＝0．∴ x1＝2，x2＝1．【题干】（2011•泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=﹣2【答案】C【解析】考点：解一元二次方程－因式分解法。
专题：计算题。
分析：利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．解答：解：∵x2=2x，∴x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．故选C．点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．【题干】（2011湖北荆州，3，3分）将代数式x2+4x－1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x－2）2+3B、（x+2）2－4C、（x+2）2－5D、（x+2）2+4【答案】C．【解析】考点：配方法的应用．专题：配方法．分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．解答：解：x2+4x－1=x2+4x+4－4－1=x+22－5，故选C．点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．【题干】（2011•柳州）方程x2﹣4=0的解是（）A、x=2B、x=﹣2C、x=±2D、x=±4【答案】C．【解析】考点：解一元二次方程－直接开平方法。
初二【数学(人教版)】因式分解——公式法(第一课时) 教学设计
2分钟1.5分钟0.5分钟归纳总结拓展提升例：利用因式分解计算22224914.35114.3)2(202120202020)1(⨯-⨯-+分析：(1)中2220212020-可利用平方差公式分解成)20212020()20212020(-⨯+，进而再进行化简运算；（1）中可以先提取共同的因数3.14，再利用平方差公式分解计算.解：2021202120202020)1()20212020(2020)20212020()20212020(2020202120202020)1(22-=--=-⨯++=-⨯++=-+28.6210014.3)4951()4951(14.3)4951(14.34914.35114.3)2(2222=⨯⨯=-⨯+⨯=-⨯=⨯-⨯例：如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各减去一个边长为b的正方形，其中a=1.86，b=0.34，求剩余部分面积.分析：求正方形减去四角后的面积，即用大正方形的面积，减去四个小正方面即可。
先可以列出式子为a2-4b2，若直接带入数值，发现运算量较大，所以可以先将a2-4b2因式分解后，再代入数值运算，可大大简化运算过程。
解：S剩= a2-4b2=(a+2b)(a-2b)把a=1.86，b=0.34带入S剩=(1.86+2×0.34)×(1.86-2×0.34)=2.72×1 =2.72四．归纳总结问题：今天我们主要学了哪些知识？利用平方差公式分解因式：))((22bababa-+=-问题：怎样判断能否利用平方差公式因式分解？利用平方差公式分解需要满足所给多项式能够写成两项平方差的形课后作业式，或者在变形后能够写成两项平方差的形式.平方差公式中的字母a,b可以表示数、单项式或多项式.问题：在运用平方差公式分解因式时，我们应该注意哪些问题？(1)若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式；(2)因式分解要彻底，直到不能继续再分解为止.五．拓展提升如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.六．课后作业1.下列所向是能否用平方差公式分解因式？为什么？22222222)4()3()2()1(yxyxyxyx--+--+2.分解因式16)4(4)3(49)2(251)1(422222+----ayyxbaba3.已知x+2y=3, x2-4y2=-15,求x-2y的值和x, y的值.。
初中数学用公式法进行因式分解（含答案）
初中数学用公式法进行因式分解（含答案）用公式法进行因式分解一、填空题(本大题共20小题，共60.0分)1.分解因式：xy2+8xy+16x= ______ ．2.因式分解：4m2-36= ______ ．3.因式分解：2a3-8ab2= ______ ．4.将多项式mn2+2mn+m因式分解的结果是______ ．5.把多项式4ax2-9ay2分解因式的结果是______ ．6.因式分解：2x2-32x4= ______ ．7.因式分解：a2b-4ab+4b= ______ ．8.分解因式：mx2-4m= ______ ．9.分解因式a2b-a的结果为______ ．10.分解因式：2ax2-8a= ______ ．11.分解因式：2m2-8= ______ ．12.分解因式：ma2+2mab+mb2= ______ ．13.分解因式：a2b-b3= ______ ．14.分解因式：x（x-1）-y（y-1）= ______ ．15.分解因式：ax3y-1axy= ______ ．416.因式分解：3y2-12= ______ ．17.因式分解：m2n-6mn+9n= ______ ．18.因式分解：a2b-ab+1b= ______ ．419.分解因式-a3+2a2b-ab2= ______ ．20.分解因式：a2b+4ab+4b= ______ ．二、计算题(本大题共30小题，共180.0分)21.分解因式（1）a2（a-b）+4b2（b-a）（2）m4-1（3）-3a+12a2-12a3．22.把下列多项式分解因式：（1）6x2y-9xy；（2）4a2-1；（3）n2（n-6）+9n．23.把下列各式因式分解（1）ap-aq+am（2）a2-4（3）a2-2a+1（4）ax2+2axy+ay2．x+xy+xy2（1）14（2）（m+n）3-4（m+n）25.因式分解：（1）x（x-2）-3（2-x）（2）x2-10x+25．26.把下列各式进行因式分解：（1）a3-6a2+5a；（2）（x2+x）2-（x+1）2；（3）4x2-16xy+16y2．27.因式分解：（1）x2-y2（2）-4a2b+4ab2-b3．28.分解因式（1）x3-16x（2）8a2-8a+2．29.分解因式：（1）3m4-48；（2）b4-4ab3+4ab2．30.分解因式：（2）a2（x-y）-9b2（x-y）（3）4ab2-4a2b-b3 （4）（y2-1）2+6（1-y2）+9．（1）3a2+6ab+3b2（2）9（m+n）2-（m-n）2．32.因式分解：（1）a（x-y）-b（y-x）（2）3ax2-12ay2 （3）（x+y）2+4（x+y+1）33.分解因式：（1）a（x-y）-b（y-x）；（2）16x2-64；（3）（x2+y2）2-4x2y2．34.分解因式（1）4x3y-xy3（2）-x2+4xy-4y2．35.分解下列因式：（1）9a2-1（2）p3-16p2+64p．36.因式分解：（1）x2-10xy+25y2（2）3a2-12ab+12b2（3）（x2+y2）2-4x2y2（4）9x4-81y4．37.将下列各式分解因式（1）16a2b2-1（2）12ab-6（a2+b2）38.把下列各式因式分解（1）4a2-16（2）（x2+4）2-16x2．39.把下列多项式因式分解：（1）x3y-2x2y+xy；（2）9a2（x-y）+4b2（y-x）．40.分解因式（2）（x+2）（x+4）+1．41.因式分解：-3a3b+6a2b2-3ab3．42.把下列各式分解因式：①4m（x-y）-n（x-y）；②2t2-50；③（x2+y2）2-4x2y2．43.因式分解（1）x2-5x-6（2）2ma2-8mb2（3）a3-6a2b+9ab2．44.分解因式：2x2-12x+18．45.分解因式：（1）x3+2x2+x（2）x3y3-xy．46.因式分解：（1）ax2-2ax+a（2）24（a-b）2-8（b-a）47.因式分解：（1）4x2-16y2（2）x2-10x+25．48.分解因式（1）m（a-3）+2（3-a）（2）x2-6x+9．49.因式分解：6xy2-9x2y-y2．50.分解因式（1）x2（a+b）-a-b（2）a3b-2a2b2+ab3（3）y4-3y3-4y2（4）-（a2+2）2+6（a2+2）-9．用公式法进行因式分解答案和解析【答案】1.x（y+4）22.4（m+3）（m-3）3.2a（a+2b）（a-2b）4.m（n+1）25.a（2x+3y）（2x-3y）6.2x2（1+4x）（1-4x）7.b（a-2）28.m（x+2）（x-2）9.a（ab-1）10.2a（x+2）（x-2）11.2（m+2）（m-2）12.m（a+b）213.b（a+b）（a-b）14.（x-y）（x+y-1）15.axy（x+12）（x-12）16.3（y+2）（y-2）17.n（m-3）218.b（a-12）219.-a（a-b）220.b（a+2）221.解：（1）原式=a2（a-b）-4b2（a-b）=（a-b）（a2-4b2）=（a-b）（a+2b）（a-2b）；（2）原式=（m2+1）（m2-1）=（m2+1）（m+1）（m-1）；（3）原式=-3a（4a2-4a+1）=-3a（2a-1）2．22.解：（1）原式=3xy（2x-3）；（2）原式=（2a+1）（2a-1）；（3）原式=n（n2-6n+9）=n（n-3）2．23.解：（1）原式=a（p-q+m）；（2）原式=（a+2）（a-2）；（3）原式=（a-1）2；（4）原式=a（x2+2xy+y2）=a（x+y）2．24.解：（1）原式=14x（1+4y+4y2）=14x（1+2y）2；（2）原式=（m+n）[（m+n）2-4]=（m+n）（m+n+2）（m+n-2）．25.解：（1）原式=x（x-2）+3（x-2）=（x-2）（x+3）；（2）原式=（x-5）2．26.解：（1）原式=a（a2-6a+5）=a（a-1）（a-5）；（2）原式=（x2+x+x+1）（x2+x-x-1）=（x+1）2（x+1）（x-1）；（3）原式=4（x2-4xy+4y2）=4（x-2y）2．27.解：（1）原式=（x+y）（x-y）；（2）原式=2（4a2-4a+1）=2（2a-1）2．29.解：（1）原式=3（m4-16）=3（m2+4）（m+2）（m-2）；（2）原式=b2（b2-4ab+4a）．30.解：（1）原式=2x（x-2）；（2）原式=（x-y）（a2-9b2）=（x-y）（a+3b）（a-3b）；（3）原式=-b（b2-4ab+4a2）=-b（2a-b）2；（4）原式=（y2-1）2-6（y2-1）+9=（y2-4）2=（y+2）2（y-2）2．31.解：（1）原式=3（a2+2ab+b2）=3（a+b）2；（2）原式=[3（m+n）+m-n][3（m+n）-（m-n）]=（4m+2n）（2m+4n）=4（2m+n）（m+2n）．32.解：（1）原式=a（x-y）+b（x-y）=（x-y）（a+b）；（2）原式=3a（x2-4y2）=3a（x+2y）（x-2y）；（3）原式=（x+y）2+4（x+y）+4=（x+y+2）2．33.解：（1）原式=a（x-y）+b（x-y）=（x-y）（a+b）；（2）原式=16（x2-4）=16（x+2）（x-2）；（3）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2．34.解：（1）原式=4xy（x2-y2）=4xy（x+y）（x-y）；（2）原式=-（x2-4xy+4y2）=-（x-2y）2．35.解：（1）原式=（3a+1）（3a-1）；（2）原式=p（p2-16p+64）=p（p-8）2．36.解：（1）原式=（x-5y）2；（2）原式=3（a2-4ab+4b2）=3（a-2b）2；（3）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2；（4）原式=9（a2+3y2）（x2-3y2）．37.解：（1）原式=（4ab+1）（4ab-1）；（2）原式=-6（a2-2ab+b2）=-6（a-b）2．38.解：（1）原式=4（a2-4）=4（a+2）（a-2）；（2）原式=（x2+4+4x）（x2+4-4x）=（x-2）2（x+2）2．39.解：（1）原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2；（2）原式=9a2（x-y）-4b2（x-y）=（x-y）（3a+2b）（3a-2b）．40.解：（1）原式=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）；（2）原式=（x+3）2．41.解：原式=-3ab（a2-2ab+b2）=-3ab（a-b）2．42.解：①4m（x-y）-n（x-y）=（x-y）（4m-n）；②2t2-50=2（t2-25）=2（t+5）（t-5）；③（x2+y2）2-4x2y2=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2．43.解：（1）原式=（x-6）（x+1）；（2）原式=2m（a2-4b2）=2m（a+2b）（a-2b）；（3）原式=a（a2-6ab+9b2）=a（a-3b）2．44.解：原式=2（x2-6x+9）=2（x-3）2．45.解：（1）原式=x（x2+2x+1）=x（x+1）2；（2）原式=xy（x2y2-1）=xy（xy+1）（xy-1）．46.解：（1）原式=a（x2-2x+1）=a（x-1）2；（2）原式=24（a-b）2+8（a-b）=8（a-b）[3（a-b）+1]=8（a-b）（3a-3b+1）．47.解：（1）原式=（2x+4y）（2x-4y）；（2）原式=（x-3）2．49.解：原式=-y（9x2-6xy+y）．50.解：（1）原式=x2（a+b）-（a+b）=（a+b）（x2-1）=（a+b）（x+1）（x-1）；（2）原式=ab（a2-2ab+b2）=ab（a-b）2；（3）原式=y2（y2-3y-4）=y2（y-4）（y+1）；（4）原式=-[（a2+2）-3]2=-（a-1）2（a+1）2．。
因式分解的四种方法(习题及答案)
因式分解的四种方法（习题）例题示范例1：2222(1)2(1)(1)x y x y y -+-+-【思路分析】考虑因式分解顺序的口诀“一提二套三分四查”，观察式子里面有公因式2(1)y -，先提取，然后再利用公式法因式分解，分解完后要查一下是否分解彻底．【过程书写】222(1)(21)(1)(1)(1)y x x y y x -++=+-+=解：原式 巩固练习1.下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A ．232393x y z x z y =⋅B ．25(2)(3)1x x x x +-=-++C ．22()a b ab ab a b +=+D ．211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2.把代数式322363x x y xy -+因式分解，结果正确的是（）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．(3)x x y -D ．23()x x y -3.因式分解：（1）22363a b ab ab +-；（2）()()y x y y x ---；解：原式=解：原式=（3）2441a a -+；（4）256x x -+；解：原式=解：原式=（5）2168()()x y x y --+-；（6）41x -；解：原式=解：原式=（7）222(1)4a a +-；（8）25210ab bc a ac --+；解：原式=解：原式=（9）223(2)3m x y mn --；（10）2ab ac bc b -+-；解：原式=解：原式=（11）2222a b a b -++；（12）2(2)(4)4x x x +++-；解：原式=解：原式=（13）321a a a +--；（14）2244a a b -+-；解：原式=解：原式=（15）222221a ab b a b ++--+；解：原式=（16）228x x --；（17）226a ab b --；解：原式=解：原式=（18）2231x x -+；（19）32412x x x --；解：原式=解：原式=（20）2()()2x y x y +++-；（21）(1)(2)6x x ---．解：原式=解：原式=思考小结在进行因式分解时，要观察式子特征，根据特征选择合适的方法：①若多项式各项都含有相同的因数或相同的字母，首先考虑__________________．②若多项式只含有符号相反的两项，且两项都能写成一个单项式的平方，则考虑利用____________________进行因式分解．③若多项式为二次三项式的结构，则通常要考虑____________或_______________．④若多项式项数较多，则考虑_______________．【参考答案】巩固练习1.C 2.D 3.（1）3ab (a +2b -1)（2）(x -y )(y +1)（3）2(21)a -（4）(x -2)(x -3)（5）(4-x +y )2（6）(x 2+1)(x +1)(x -1)（7）(a +1)2(a -1)2（8）(b -2a )(a -5c )（9）3m (2x -y +n )(2x -y -n )（10）(b -c )(a -b )（11）(a +b )(a -b +2)（12）2(x +1)(x +2)（13）2(1)(1)a a +-（14）(a -2+b )(a -2-b )（15）2(1)a b +-（16）(x -4)(x +2)（17）(a -3b )(a +2b )（18）(2x -1)(x -1)（19）x (x +2)(x -6)（20）(x +y -1)(x +y +2)（21）(x +1)(x -4)思考小结①提公因式②平方差公式③完全平方公式，十字相乘法④分组分解法。
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公式法（一）【目标导航】能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解．【复习导入】把下列各式分解因式：1．－4m3＋16m2－26m；2．(x－3)2＋(3x－9)；3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1；4（2011福建福州）分解因式：225x-=. 5．y2－25【合作探究】1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点：2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式：【合作探究】练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？(1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2；(4)－x2－y2；(5) 14a2b2－1；(6) x4－y4.例1 把下列多项式分解因式(1) 4x2－9；(2) (x＋p)2－(x＋q)2；(3) 16－125m2；(4)－(x＋2)2＋16(x－1)2．例2 把下列多项式分解因式(1) x4－y4；(2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－9x= ．(3)－14xy3＋0.09xy；(4)a2－b2＋a－b；(5)(p－4)(p＋1)＋3p.练习：把下列多项式分解因式(1) a2－125b2；(2) 9a2－4b2；(3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因式所得的结果是（）(A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4）(C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2）(4)－a4＋16；(5) m4(m－2)＋4(2－m)例3 在实数范围内分解因式(1) x2－2；(2) 5x2－3.例4(1) 计算：9972－9(2)设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．(3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31，你能求出x、y的值吗？【课堂操练】1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b).2．分解因式:4x2－9y2= ；3x2－27y2= ；a2b－b3= ；2x4－2y4= .3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（）A. x2＋y2B. x2＋y4C. x2－y4D. x2－2x4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，这个多项式是（）A. 4a2－b2B.4a2＋b2C. －4a2－b2D. －4a2＋b25．分解因式：(1)9a2－14b2；(2)2x3－8x；(3)(m＋a)2－(n－b)2.【课后巩固】1.把下列各式分解因式：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2(2) p4－16(3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2(4)22 ()() 44a b a b +--(5) 36a4x10－49b6y8(6) b2－(a－b＋c)2(7) (3x＋y－1)2－(3x－y＋1)2(8) 4(x＋y＋z)2－(x－y－z)2(9) (21135)2－(8635)2(10) 9×1.22－16×1.42(11) －12a2m＋1b m＋2＋20a m＋1b2m＋4(12) (x－2y)(2x＋3y)－2(2y－x)(5x－y)(13) －4a2＋(2x－3y)2(14) 2(x＋1)(x＋2)－x(x＋6)－8(15) （2011山东临沂）分解因式：9a－ab2＝．(16) (a－b)2－(b－a)4(17) (2x－1)3－8x＋4(18) 4x2－9y2－(2x＋3y)(19) －(x2－y2)(x＋y)－(y－x)3(20) （2011广西梧州）因式分解x2y－4y的正确结果是（）A．y（x＋2）（x－2）B．y（x＋4）（x－4）C．y（x2－4）D．y（x－2）2(21) a4－81b4(22) a3(a－b)2－a(a＋b)2(23) (x2－y2)＋(x－y)(24) (a－b)(3a＋b)2＋(a＋3b)2(b－a)(25) a n＋1－a n－1b4（26）（2011山东枣庄）若622=-nm，且2m n-=，则=+nm．2.求证：两个连续奇数的平方差是8的倍数．3.设n是任一正整数，代入代数式n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果只可能是（）A.388947B.388944C.388953D.3889494.已知：m2=n＋2，n2=m＋2(m≠n)求：m3－2mn＋n3的值．公式法（一）参考答案【复习导入】把下列各式分解因式：1．解：原式=－2m(m²－8m+13)2．解：原式=(x－3)2＋3(x－3)=（x－3）(x－6)3．解：原式=－mn(x－y)n(m－nx＋ny)4.答案:(x＋5)(x－5) .5．解：原式==(y+5)(y－5)【合作探究】1式子是两项，能写成两个式子的平方差的形式，即两项的符号一定是相反的。
2．（a2－b2）=(a+b)(a－b)【合作探究】练习：解：（2）、（3）、（5）、（6）都能运用平方差公式进行因式分解。
因为式子是两项，能写成两个式子的平方差的形式，即两项的符号一定是相反的。
例1 把下列多项式分解因式(1)解：原式==(2x+3)(2x－3)(2)解：原式=[(x＋p)＋(x＋q)][ (x＋p)－(x＋q)]= (2x＋p＋q) (p－q)(3)解：原式=(4＋15m)( 4－15m)(4) 解：原式=16(x－1)2－(x＋2)2=(4x－4)2－(x＋2)2=[(4x－4)＋(x＋2)][ (4x－4)－(x＋2)]=(5x-2)(3x-6)=3(5x-2)( x－2)例2 把下列多项式分解因式(1)解：原式=( x2+y2) ( x2－y2)=( x2+y2) ( x+y) ( x－y)(2)答案:x ( x－3 )( x+3 )(3)解：原式=－xy(14y2－0.09)= －xy(12y+0.3)(12y－0.3)(4)a2－b2＋a－b；解：原式=( a－b) ( a＋b)＋(a－b)=(a－b)(a＋b＋1)(5)解：原式=p2－4p+p－4＋3p= p2－4=(p＋2)(p－2)练习：把下列多项式分解因式(1) 解：原式=(a＋15b) (a－15b)(2) 解：原式=(3a＋2b) (3a－2b)(3) 答案:C60(4)解：原式=16－a =(4+a 2) ( 4－a 2)=(4+a 2) (2+y ) ( 2－y )(5)解：原式= m 4(m －2)－4(m －2)=(m －2)(m 4－4)=(m －2)(m 2＋2))(m 2－2) 例3 在实数范围内分解因式 (1) 解：原式= x 2－(2)2 =(x ＋2)(x －2)(2)解：原式=(5x )2－( 3 )2=(5x ＋ 3 ) (5x － 3 )例4(1)解：原式=(977+3)(977－3) =974000（2）解：原式=(2n ＋1)2－52 =(2n ＋1)2－52=(2n ＋1＋5)(2n ＋1－5) =(2n ＋6)(2n －4)=4（n ＋3）(n －2),即能被4整除。
(3) 解：等式左边因式分解得（2x －3y ）(2x ＋3y ) 右边31是一个质数，可分解为1×31 所以2x －3y =1且2x ＋3y =31，解得x =8,y =5.【课堂操练】1．答案：b 22．答案：(2x ＋3y )( 2x －3y )、3（x ＋3y )( x －3y )、b (a ＋b )( a －b )、2 ( x 2+y ) ( x +y ) ( x －y ). 3．答案：C4．答案：D 5．分解因式：(1)解：原式=(3a ＋12b )( 4－12b )(2)解：原式=2x (x 2－4)=2x (x ＋2)(x －2)(3)解：原式=[(m ＋a )＋(n －b )][ (m ＋a )－(n －b )] =(m ＋a ＋n －b ) (m ＋a －n ＋b )【课后巩固】1.把下列各式分解因式：(1) 解：原式= (3m ＋3n )2－(m －n )2=[ (3m ＋3n )+ (m －n )][ (3m ＋3n )－(m －n )] =(4m +2n )(2m －4n ) =4(2m +n )(m －2n )(2)解：原式=( p +4) ( p －4)=( p 2+4) ( p +2) ( p －2)(3) 解：原式=(2x ＋3y )2－(x ＋2y )2=[(2x ＋3y )＋(x ＋2y )][ (2x ＋3y )－(x ＋2y )] =(3x +5y )(x +y )(4) 解：原式=14[(a +b )2－(a －b )2]=14[(a +b )＋(a －b )] [(a +b )－(a －b )] =ab(5) 解：原式= (6a 2x 5＋7b 3y ) (6a 2x 5－7b 3y ) (6)解：原式=[b ＋(a －b ＋c )][ b －(a －b ＋c )] =(a +c )(2b －a －c ) (7)解：原式=[ (3x ＋y －1)＋(3x －y ＋1)][ (3x ＋y －1)－(3x －y ＋1)] =12x (y －1)(8) 解：原式=[(2x ＋2y ＋2z )＋(x －y －z )][ (2x ＋2y ＋2z )－(x －y －z )]=(3x +y +z )(x +3y +3x ＋3z )(9) 解：原式=(21135＋8635)(21135－8635) =5360(10) 解：原式=3.62－5.62=(3.6+5.6)(3.6－5.6) =－18.4(11)解：原式=4a m +1b m +2(5b m +2－3a m )(12) 解：原式=(x －2y )[( 2x ＋3y )＋(10x －2y )]=(x －2y ) ( 12x ＋y )(13)解：原式=(2x －3y )2－4a 2 =（2x －3y +2a ）（2x －3y －2a ） (14) 解：原式=2(x 2＋3x ＋2)－x 2－6 x －8=x 2－4=(x +2)(x －2)(15) 答案:a （3＋b （3－b ）(16) 解：原式= (a －b )2－(a －b )4 =(a －b )2[1－(a －b )2]=(a －b )（1＋a －b ）（1－a ＋b ） (17)解：原式= (2x －1)3－4(2x －1)=(2x －1)[ (2x －1)2－4] =(2x －1) (2x ＋1) (2x －3)(18) 解：原式=(2x ＋3y ) (2x －3y )－(2x ＋3y ) =(2x ＋3y ) (2x －3y －1)(19) 解：原式=( x －y )3－(x 2－y 2)(x ＋y ) =( x －y )3－ (x ＋y ) 2 (x －y ) = (x －y )[ ( x －y )2－ (x ＋y ) 2] =－4xy (x －y ) (20) 答案：A(21) 解：原式=(a 2+9b 2) (a 2－9b 2)=( a 2+9b 2) (a +3b ) ( a －3b )(22) 解：原式=a [(a 2－ab )2－(a ＋b )2]=a (a 2－ab ＋a ＋b )( a 2－ab －a －b )(23) 解：原式=(x ＋y ) (x －y )＋(x －y ) =(x －y ) (x ＋y ＋1)(24) 解：原式=(a －b )[ (3a ＋b )2－(a ＋3b )2] ==8(a ＋b ) (a －b )2(25) 解：原式= a n －1(a 2－b 4)= a n －1(a ＋b 2) (a －b 2) （26）答案：32. 解：设两个连续奇数为2n -1,2n +1,n 为正整数。