代换法证明数学竞赛中的分式不等式
高中数学解题技巧之分式不等式
高中数学解题技巧之分式不等式分式不等式是高中数学中的一个重要知识点，也是一种常见的解题形式。
在解决分式不等式时，我们需要掌握一些技巧和方法。
本文将以具体的题目为例，通过分析、说明和举一反三的方式，介绍解决分式不等式的一些常用技巧。
一、简化分式不等式考虑以下的例子：求解不等式$\frac{3}{x+1}>\frac{2}{x}$。
首先，我们可以通过通分的方式，将不等式转化为$\frac{3x}{x(x+1)}>\frac{2(x+1)}{x(x+1)}$。
接下来，我们可以通过消去分母的方式，将不等式转化为$3x>2(x+1)$。
然后，我们可以展开并整理不等式，得到$3x>2x+2$。
最后，我们可以解这个一元一次方程，得到$x>2$。
通过这个例子，我们可以看到，在解决分式不等式时，我们可以通过简化分式、通分、消去分母等步骤，将分式不等式转化为一元一次方程，从而求解不等式的解集。
二、分析分式不等式的定义域考虑以下的例子：求解不等式$\frac{x-2}{x+3}<0$。
首先，我们需要分析不等式的定义域。
对于分式不等式$\frac{f(x)}{g(x)}<0$，其中$f(x)$和$g(x)$为多项式，我们需要找到所有使得$g(x)\neq0$的$x$的取值。
在这个例子中，我们需要找到所有使得$x+3\neq0$的$x$的取值，即$x\neq-3$。
接下来，我们可以通过定义域的分析，将不等式分为不同的区间，并在区间上进行讨论。
当$x<-3$时，$x+3<0$，$x-2<0$，所以$\frac{x-2}{x+3}>0$。
当$x>-3$时，$x+3>0$，$x-2<0$，所以$\frac{x-2}{x+3}<0$。
综上所述，不等式的解集为$x\in(-\infty,-3)\cup(-3,2)$。
通过这个例子，我们可以看到，在解决分式不等式时，我们需要先分析分式的定义域，然后将不等式分为不同的区间，并在区间上进行讨论，最终得到不等式的解集。
分式不等式的解题方法与技巧
分式不等式的解题方法与技巧
1.解分式不等式的具体步骤：
(1) 将分式不等式化简成分母常数：将不等式变形为分式不等式，将分式不等式化简成分母常数；
(2) 将不等式转化成一般不等式：将分母常数乘以变量，将所有项收集到一边，生成相应的一般不等式；
(3) 利用一般不等式的性质，求出解集；
(4) 将解集转换成包含分式不等式的解集。
2.解分式不等式的技巧：
(1) 病跟踪：当涉及到分母的数值时，要特别注意，分母不能等于0；
(2) 将不相交子集划分到正确的方向：可将不相交的子集分成左侧大于右侧或右侧小于左侧两类，将包含在不等式符号内部的子集作为取反并划入另一边；
(3) 利用添加常数的思想解决设定了等号的不等式：在求解分式不等式时可以将左右两边的式子同时加上一个未知的常数，看看未知常数好满足分式不等式。
高中数学竞赛讲义——三角代换在证明三角形不等式问题中的应用
三角代换在证明三角形不等式问题中的应用---数学竞赛讲义预备知识1.三角代换几个公式在三角形中，有切线代换，，，x z c y x b z y a +=+=+=则有()()()()()()()()(),2cos 2cos 2cosy z x z z y x z Cx y z y z y x y Bz x y x z y x x A++++=++++=++++=，，再由二倍角公式12cos 2c 2-=A osA 得()()()()()z x y x yzxz xy x z x y x z y x x osA ++-++=-++++=212c ()()z y y x xyyz xy y B ++-++=2cos ()()z x y z yxxz zy z osC ++-++=2c2.(),sin sin cos cos cos B A B A B A -=+(),sin sin cos cos cos B A B A B A +=-得()()2cos cos cos cos B A B A B A -++=3.均值不等式abb a 222≥+3..1111mn i i i i mi nm i n i m i n i c b a c b a i ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑∑====研究的问题：在ABC ∆中，求证：.2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 23)3)2cos 2cos 2((cos 11A C C A B C B A C B A nn n n n +≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++-[分析]这是一个三角形中的不等式问题，含有角度与半角余弦，怎么证明无从下手，一开始使用基本不等式尝试放缩使得不等式简化一些，再转化为边长证明.这是解题的思路. [证明]由均值不等式要证原不等式只要证明.2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos cos 2cos 23)3)2cos 2cos 2((cos 11A C C B B A C B A C B A nn n n n ++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++-由()()2cos cos cos cos B A B A B A -++=知要证原不等式只要证明().2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos cos cos cos 3)3)2cos 2cos 2((cos 11A C C B B A C B A C B A nn n n n ++≥++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++-................................................................................................................................................（**)由柯西不等式及二倍角公式得()C B A C B A nn n n n cos cos cos 3)3)2cos 2cos 2((cos 11++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++-∑∑+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥cyc n nA A cos )3)cos2((1cyc()∑∑∑∑⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=cyccyc cyccycA A A A s cos cos 2cos 2co 12..........................① 由排序不等式得 .2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2coscyc 2∑≤++AA C CB B A ....................................② 由①②知要证原不等式（**)只要证明 .2cos cos cos222∑∑∑≥⋅cyccyccycAA A ...............................................................③ 在三角形中，有代换，，，x z c y x b z y a +=+=+=设()()()()()()()()(),2cos 2cos 2cosy z x z z y x z Cx y z y z y x y Bz x y x z y x x A ++++=++++=++++=，， 由二倍角公式12cos 2c 2-=AosA ， 得()()()()()z x y x yzxz xy x z x y x z y x x osA ++-++=-++++=212c③⇔()()()()()()()().222222∑∑∑++++≥++-++⋅++-++cyc cyc cycz x y x z y x x z x y x yz xz xy x z x y x yz xz xy x()()()()()）（4.2222222∑∑∏∑∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+-++⋅+-++cyccyccyc cyc cyc xyx y x z y yz xz xy x z y yz xz xy x 由x ，y ，z 字母对称性设，，，z v y z u x z z x +=+=≥≥,y 则（4）⇔++++63544536412124v u v u v u v u()++++++z 8941729486253443526v u v u v u v u v u ()+++++252433425z 142706706142v u v u v u v u ()++++++35423324548894210089v u 48z uv v u v u v u()+++++++454322345v 2440022642264400u 24z uv v u v u v u ()++++++54322341849761896976u 184z v uv v u v u()+++++63223u 448z v uv v u ()().032032072≥+-z uv v u (5)不等式（5）各项为正，显然成立，故原不等式成立.解题反思：本题综合了许多证明技巧，三角代换，均值不等式，换元法，等价转化，体现了划归的解题思想，值得玩味.拓展研究：根据文章的解题过程，试着研究如下几个命题的正确性，若正确请给予证明：【1】在ABC∆中，求证：232sin2sin2sin333abcCcBbAa≥++【2】在ABC∆中，求证：()cbaabcCcBbAa++≥++22sin2sin2sin444【3】在ABC∆中，求证：()22255522sin2sin2sin cbaabcCcBbAa++≥++【4】在ABC∆中，求证：()3336662coscoscos cbaabcCcBbAa++≤++【5】在ABC∆中，求证：()2225552coscoscos cbaabcCcBbAa++≤++【6】在ABC∆中，求证：()cbaabcCcBbAa++≤++2coscoscos444【7】在ABC∆中，求证：()2225552coscoscos cbaabcCcBbAa++≤++【8】在锐角ABC∆中，求证：()222252525432cos2cos2cos cbaabcCcBbAa++≥++【9】在锐角ABC∆中，求证：888282828(432cos2cos2cos cbaCcBbAa++≥++）.。
数学竞赛中的常见题型与解题技巧
数学竞赛中的常见题型与解题技巧数学竞赛一直是对学生数学能力进行综合考察和锻炼的重要途径。
在竞赛中，常见的数学题型各有特点，掌握不同题型的解题技巧可以帮助我们更好地应对挑战。
本文将介绍数学竞赛中的常见题型及其解题技巧，希望对广大竞赛学子有所帮助。
Part 1：选择题选择题是数学竞赛中最常见的题型之一。
其特点是在给定的选项中选择正确答案。
1. 完全不等式的求解完全不等式的求解是选择题中常见的类型之一。
解决这类问题的关键在于找到不等式的解集。
Case 1：线性不等式对于形如ax + b > 0的线性不等式，我们可以通过移项和分析符号的方法求解。
一般来说，解集可以表示为x > k或x < k的形式，其中k 为常数。
Case 2：分式不等式对于分式不等式，我们可以通过通分、移项、分析符号等方法求解。
在求解的过程中，需要注意分母不等于0的条件。
2. 几何题几何题既是选择题中常见的题型，也是比较具有难度的题型。
其解决方法主要包括几何关系的分析和几何定理的运用。
Case 1：平面几何在平面几何中，我们需要熟悉常见的几何关系，如垂直、平行、共线等。
通过分析这些关系，可以找到题目的关键信息，进而解决问题。
Case 2：空间几何在空间几何中，问题相对复杂一些。
我们需要通过空间图形的投影、平行面的性质等来分析和求解问题。
Part 2：填空题填空题是数学竞赛中另一种常见的题型，要求填入适当的数字或代数式。
1. 数列问题数列问题是填空题中的常见类型，涉及等差数列、等比数列等。
解决这类问题的关键是找到数列的通项公式和求和公式。
Case 1：等差数列对于等差数列，我们可以通过观察数列的差值来找到通项公式。
一般来说，等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d。
Case 2：等比数列对于等比数列，我们可以通过观察数列的比值来找到通项公式。
一般来说，等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n - 1)。
分式不等式的解法有哪些
很多同学对于分时不等式还处于不是很明白的状态，甚至有些不知道怎么做，以下是由编辑为大家整理的“分式不等式的解法(jiě fǎ)有哪些〞，仅供参考，欢送大家阅读。
分式(fēnshì)不等式的解法对于(duìyú)第一类解法如下：(1)令分子(fēnzǐ)、分母等于0，并求出解;(2)画数轴(shùzhóu)在数轴上找出解的位置;(3)判断分子、分母最高次系数乘积正负;假设乘积为正从右上向下依次穿过;假设为负从右下向上依次穿过对于第二类解法如下：(1)移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式;(2)令分子、分母等于0，并求出解;(3)画数轴在数轴上找出解的位置;(4)判断分子、分母最高次系数乘积正负;假设乘积为正从右上向下依次穿过;假设为负从右下向上依次穿过拓展阅读：如何学好数学一、数学运算运算是学好数学的根本功。
初中阶段是培养数学运算才能的黄金时期，初中代数的主要内容都和运算有关，如有理数的运算、整式的运算、因式分解、分式的运算、根式的运算和解方程。
初中运算才能不过关，会直接影响高中数学的学习：从目前的数学评价来说，运算准确还是一个很重要的方面，运算屡屡出错会打击学生学习数学的信心，从个性品质上说，运算才能差的同学往往粗枝大叶、不求甚解、眼高手低，从而阻碍了数学思维的进一步开展。
从学生试卷的自我分析上看，会做而做错的题不在少数，且出错之处大局部是运算错误，并且是一些极其简单的小运算，如71-19=68，(3+3)2=81等，错误虽小，但决不可等闲视之，决不能让一句“马虎〞掩盖了其背后的真正原因。
帮助学生认真分析运算出错的详细原因，是进步学生运算才能的有效手段之一。
在面对复杂运算的时候，常常要注意以下两点：①情绪稳定，算理明确，过程合理，速度均匀，结果准确;②要自信，争取一次做对;慢一点，想清楚再写;少心算，少跳步，草稿纸上也要写清楚。
二、数学根底知识理解和记忆数学根底知识是学好数学的前提。
分式不等式的解法分式不等式怎么解分式不等式怎么去分母
分式不等式的解法步骤将分式不等式化为整式不等式，再进行求解。
一般分式不等式的解法：第一步去分母，第二步去括号，第三步移项，第四步合并同类项，第五步化未知数的系数为1。
分式不等式解法可以用同解原理去分母，解分式不等式；如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0），则f（x）g （x）>0,或f（x）g（x）<0。
然后因式分解找零点，用穿针引线法。
分式不等式与分式方程类似，像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。
分式不等式第一种解法为：令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。
分式不等式第二种解法为：移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式；令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。
1分式不等式右边为0不等式左边不能再化简的的转化方法：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。
2分式不等式右边不为0或不等式左边还能化简的转化为整式不等式的步骤。
1、移项将不等式右边化为0。
2、将不等式左边进行通分。
3、对分式不等式进化简，变换成整式不等式。
4、将不等式未知数x前的系数都化为正数。
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解。
分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解，即。
数学解分式不等式
数学解分式不等式导入：教师可以通过提问、引入实例等形式，引起学生的兴趣，激发他们对分式不等式的思考。
主体：一、分式不等式的概念及性质（250字左右）1.1 分式不等式的定义分式不等式是含有分式的不等式，其中分子和分母都是多项式。
例如：$\frac{2}{x+1}>1$。
1.2 分式不等式的解集解分式不等式需要找出使得不等式成立的变量取值范围。
绝对值不等式的解集可以用数轴表示，也可以用区间表示。
二、解分式不等式的基本方法（500字左右）2.1 消去分母法对于一元分式不等式，可以通过乘以不等式两边的分母的乘积，然后整理化简，得到一个不等式。
例如：$\frac{2}{x+1}>1$，乘以分母$(x+1)$得到$2>(x+1)$，进一步化简得到$x<1$。
2.2 分离定点法对于含有分式的复合不等式，可以先通过分离定点法将其分为两个简单的一元分式不等式，然后用相应的方法求解。
例如：$\frac{2}{x+1}>1$与$\frac{3}{x-2}<2$联立，可以通过分离定点法将其分别转化为$x<1$和$x<2$。
综合两个不等式的解得到解集为$x<1$。
三、分式不等式的特殊情况（500字左右）3.1 分式不等式的倒数形式对于形如$\frac{1}{f(x)}>0$的分式不等式，可以通过考虑分子和分母的正负性及零点，得到不等式的解集。
例如：$\frac{1}{x-1}>0$，则当$x>1$时，不等式成立。
3.2 分式不等式的根号形式对于形如$\sqrt{f(x)}>0$的分式不等式，可以通过考虑被开方式的正负性，得到不等式的解集。
例如：$\sqrt{x-1}>0$，表示$x-1>0$，即$x>1$，所以不等式的解集为$x>1$。
四、应用实例与拓展（250字左右）4.1 实际问题中的分式不等式向学生提供一些实际问题，例如水果配送中的运费分摊问题、费用比较问题等，让他们运用所学解决实际问题。
分母为多项式的分式不等式的证法
分母为多项式的分式不等式的证法叶挺彪分母为多项式的轮换对称不等式，其证明若找不到门路，往往很难。
其原因是分母为多项式，难以参与通分运算。
这就启发我们使分母转化为单项式，采用换元法。
例１ 已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+，求证：尝试 为使分母成为单项式，我们用新的三个字母分别代换不等式中的三个分母，将原命题进行等价转化。
点拨 令ｂ＋ｃ＝Ａ、ｃ＋ａ＝Ｂ、ａ＋ｂ＝Ｃ，记s ＝ａ＋ｂ＋ｃ，则s ＝(A+B+C)/2。
于是原不等式可化为：23≥---C C s B B s A A s ++ 9≥)111)((CB AC B A ++++即 均值不等式分别用于上式左边的两个因式，即得结论。
例２ 若0＜ａ1、ａ2、…、ａn ＜１，ａ1＋ａ2＋…＋ａn ＝ａ，证明： an na a a a a a a n n -≥-1-1-12211+++ 分析 设1-ａi ＝Ａi (i=1,2,…,n)、Ａ1＋Ａ2＋…＋Ａn ＝Ａ，则ｎ－ａ＝Ａ 于是原问题可转化为：AA n n A A A A A A n n )-(≥-1-1-12211+++ 即（Ａ1＋Ａ2＋…＋Ａn ）)111(21nA A A +++ ≥n 2 上式可用均值不等式易证。
由此可见，用换元法证分母是多项式的分式不等式，其证法简单、明快.【类题】１、 已知ａ、ｂ、ｃ都是正数，证明：2≥222c b a b a c a c b c b a +++++++ ２、已知正数ａ1，ａ2，…，ａn （ｎ≥２）满足：ａ1＋ａ2＋…＋ａn ＝１， 求证：1-2≥-2-2-22211n n a a a a a a n n +++ 3、设ｘ1、ｘ2、…、ｘn 都是正数,且ｘ1＋x 2＋…＋ｘn ＝１,求证：1-1≥-1-1-12222121n x x x x x x n n +++ 23≥+++++b a c a c b c b a。
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例2 (首届“ 杯” 希望 备选题) E知二y , z ，
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比值代换
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不忿故(4)得证. ，， 例5 (2000 年国家集ill! 队V I}练题)设 a , b ,c > 0， 求证:
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例3 (《 中等数学》 数学奥林匹克高中训
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将条件中的 各分式分别用不同字 母代替. 例 6 (据 1994 年罗马尼亚集训题改编)
= 求证 一 里= = 十 对所 有 x , y , z E R +，
廿 ① 芬， 同 ， 少 玉夕 ② 理 1一 >8了 灭 石， 1一2>8丫 灭 石，.①x②x③ 二 灭夕 ③ 得
(晋 ,0)
D.
P. (n,a )都在直线， 3x +2 上 是“ }为 = ” la
等差数列” 的( ).
，个 一 对称中 心是 最正期_ 小周为 2 n
则下列结论不正确的是
A . 充分而不必要 条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 4. (理科) 函 = .x 十 数y msx 的图 象大致是
证设=y,b=z,c=}(x,y,zE 2 。 .
2}1 2， 1b2c>1cC a> +2b] + ， +2 aa '2_ 2 ,2_ 2， _ b _
又易知上不等式取“ ” 充要条件为a = = 的
量音2>1 即+”‘ + 十 ，。 + “
(x+y- z+y+z- x)2一 , y2 4 一 ’
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1 + b`
1 + c`
二1， 求证: a + b + c >
2b- c)2+(2c- a)‘
0 一 c 一 c 一 a
一了 旧 一 .、 且
45
2007 年第3 期 + X)2+ (i +y)2+ (1+ z)2 =3+x2+y2+ z2+2(x +y +z)
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6若 <_ <。 a i ， 1 b
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宗
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D . la l 一Ib l = la 一 l b
7. 已 命 :关于x 的 程x2+ ax + 4 知 题p 方 =0 有实 根;命 题q:关 于x 的 数y= x2- ax 函 十 在【 + 0o)上 增函 若 p 或q” 命 2 1, 是 数， “ 是真 题， 且q” 假 "p 是 命题， 则实数a 的 取值范围 是
1 一 茜 1 . J 1
若已 知条件为各字母之积等于1， 常可考 虑这种代换. 例 4 ( 第41 届 IMO 试题) 设 a , b , : 为
， abc=1.求 :(。 1+李 一 c ) 且 证 一 口 )(。1+工 r (4)
证 由知 2十 .2+,1_ : 得1_ 1_ 2=1.‘ 正
. 乙
1 一b 1 一c
几 ，= 5 z
一 L一 三 一i 一二 一 二 ， z 一 巴 一 一
」 ， ‘ 八 ， _ 沪 ，
者分式不等式中 各分式的 分子为1， 用 常
此法. 例1
1+ x`
1+ 犷
1 + z`
二I 丁 a "}-a + / -
1 - b "}-b + 了 几 ",r 丁
(2003 年西部数学奥林P 克试题)设 C 、。，、各 非负实数 x;,x2,x3,x4 二， W 高_ 1 ， 拼 r 1+x= z
、 3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b = c， 而此时 a = b
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例7
(第42 届 IMO 试题) 设 a , b, c E
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中学数学 研究
2007 年第3 期
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