第十节 连续函数的运算与性质
连续函数的运算和性质
反函数的连续性
定理2 若函数 y f ( x) 在区间 I x 上单调增加(或
单调减少)且连续, 则它的反函数 x ( y)也在对应
的区间 I y { y | y f ( x), x I x }上 单调增加(或单
调减少)且连续. 证略
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续; y arctan x 在区间(,)内单调增加且连续; y arc cot x在区间(,)内单调减少且连续. 总之, 反三角函数 arcsin x, arccos x, arctan x, arc cot x 在它们的定义域内都是连续的.
第十节 连续函数的运算与性质
定理1 若函数 f ( x), g( x)在点 x0 处连续, 则 f ( x) g( x), f ( x) g( x),
f (x) g( x)
(g( x0 )
0)
在点 x0 处也连续. 例如, sin x, cos x 在(,)内连续,故
tan
x
sin cos
x0 2 处连续 , 于是
lim
x2
e 2x
x
1
e2 22
1
e2 5
.
幂指函数
形如 f ( x) u( x)v( x)(u( x) 0)的函数称为幂指函数.
因为
u( x)v( x) e , v( x)ln u( x)
故幂指函数可化为复合函数.
易见: 若 lim u( x) a 0, lim v( x) b, 则 lim u( x)v( x) lim ev( x)ln u( x) elim[ v( x)ln u( x )] e bln a a b .
连续函数的四则运算
定理6 最大值和最小值定理 定理 一定有最大值和最小值. 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值 定理7 定理 有界性定理 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界 一定在该区间上有界. 证 设函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 于是存在 m 、 上连续,
推论1在闭区间上连续的函数 推论 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值 之间的任何值. M 与最小值 m 之间的任何值.
例 5 证明方程 x 3 4 x 2 + 1 = 0 在区间 (0, 1) 内至 少有一个实根 . 证 令 f ( x) = x 3 4 x 2 + 1 , 则 f ( x ) 在 [0, 1] 上连续 . 又 f (0) = 1 > 0 , f (1) = 2 < 0 , 由零点定理 , ξ ∈ (0, 1) , 使 f (ξ ) = 0 , 即 根ξ . 完
1 ln(1 + x ) 解 lim = lim ln(1 + x ) x x →0 x →0 x
1 x = ln lim(1 + x ) x →0
= ln e = 1 .
完
例
求 lim cos( x + 1
x →∞ x →∞
x) .
解 lim cos( x + 1
x)
( x + 1 x )( x + 1 + x ) = cos lim x →∞ x +1+ x
3 sin x
1 2x = lim (1 + 2 x ) x →0
= e6 .
完
三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续 的; 指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1) 在 ( ∞ ,+∞ ) 内单调 且连续; 且连续 对数函数 y = log a x (a > 0, a ≠ 1) 在 (0,+∞ ) 内单 调且连续; 调且连续
高等数学 第一章、第十节 连续函数的运算与性质
幂指函数 u( x)v( x) 的极限计算： 的极限计算：
若 lim u( x) = a > 0,
x→x0
x→x0
lim v( x) = b,
lim v( x)
则有 lim u( x)v( x) = [ lim u( x)] x→x0
x→x0 x→x0
= ab .
1 求 lim( x + 2ex ) x−1. 例6 x→0 1 1 lim 解： lim( x + 2e x )x−1 = [lim( x + 2e x )] x→0 x−1 x→0 x→0
∃ M > 0, 使对∀ x∈[a, b], 都有| f ( x) |≤ M （2） f (x) 在 [ a , b ] 上一定能取得它的最大值和最小值 ）
即至少一点ξ1 ∈[a, b], 使 f (ξ1 )为最大值 ,
和至少一点ξ2 ∈[a, b], 使 f (ξ2 )为最小值 . y 1 注记： 注记： （1）区间一定要是闭区间。 ）区间一定要是闭区间。 y= x 1 3 例 y = , I = (0, 1) o 1 x 在 I = (0, 1) 上连续, 但无界, 1 也无最大值和最小值。 也无最大值和最小值。
第十节 连续函数的运算与性质
• • • • • 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质 五、小结
一、四则运算的连续性
, 定理1 定理1 若函数 f ( x), g( x)在点x0处连续
f ( x) ( g( x0 ) ≠ 0) 则 f ( x) ± g( x), f ( x) ⋅ g( x), g( x) 在点x 在点 0 处也连续.
(1) lim f ( x) = A , lim f ( x) = B, 且 A⋅ B< 0,
连续函数的定义和性质
连续函数的定义和性质连续函数是数学中一个重要的概念，它在实际问题的建模和解决中起着关键的作用。
本文将讨论连续函数的定义和性质，以帮助读者更加深入地理解和应用连续函数。
一、连续函数的定义连续函数的定义是基于极限的概念的。
设函数$f(x)$在点$x=a$的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的数$\varepsilon>0$，都存在一个正数$\delta>0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-f(a)|<\varepsilon$成立，那么称函数$f(x)$在点$x=a$连续。
二、连续函数的性质1. 连续函数的四则运算性质如果函数$y=f(x)$和$y=g(x)$在点$x=a$连续，则它们的和、差、积、商函数也在点$x=a$连续。
2. 连续函数的复合性质设函数$y=f(x)$在点$x=a$连续，函数$y=g(u)$在点$u=f(a)$连续，则复合函数$y=g[f(x)]$在点$x=a$连续。
3. 连续函数的介值性质设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$和$f(b)$异号，则方程$f(x)=0$在区间$(a,b)$内至少有一个根。
4. 连续函数的最大值和最小值定理设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在该闭区间上必有最大值和最小值。
5. 连续函数在有界闭区间上的均匀连续性质设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则对于任意给定的正数$\varepsilon>0$，都存在一个正数$\delta>0$，当$|x-y|<\delta$时，有$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$成立。
三、连续函数与间断点函数可分为连续函数和间断函数两类。
连续函数在定义域内无间断点，而间断函数则存在间断点。
1. 第一类间断点函数$f(x)$在$x=a$处有第一类间断点，当且仅当存在左右极限$\lim_{x \to a^-} f(x)$和$\lim_{x \to a^+} f(x)$，且两者不相等。
连续函数的运算法则
一切初等函数在定义区 间内连续 (端点为单侧连续)
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例2. 求
解: 原式
例3. 求
解: 令 t a x 1, 则 x log a (1 t) ,
原式 lim
t
t0 log a (1 t)
说明: 当
时, 有
ln(1 x) ~ x
ex 1 ~ x
在其定义域内连续
定理2. 连续单调递增
(递函减数) 的反函数
也连续单调
递增 (递减).
(证明略)
例如, y sin x 在
上连续单调递增，
其反函数
y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
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又如, 其反函数
在 在
上连续 单调 递增, 上也连续单调递增.
x1
x1
故
在点 x = 1 不连续 ,
x = 1为第一类间断点 .
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例6. 求函数
x3 3x2 x 3 的连续区间, 并求 f (x) x2 x 6
lim f ( x), lim f ( x), lim f ( x).
x0
x2
x3
解: 因为 f (x) x3 3x2 x 3 x2 x 6
x0
8
x2
)
1 8
例5. 设
讨论复合函数
的连续性 .
(x)
x, x
4
,
x 1 x 1
解:
2 (x), (x) 1
x2, x 1
2 (x), (x) 1 2 x , x 1
x 1时 f [ (x)] 为初等函数 , 故此时连续;
连续函数的性质
Oa
bx
定理（介值性定理） 设函数 f ( x)在闭区间 [a ,b]
上连续,且 f (a) f (b) . 若是介于 f (a) 与 f (b) 之 间的任一数( f (a) f (b) 或 f (b) f (a)),
则(至少)存在一点 x0 (a ,b) ,使得
f ( x0 ) .
证 由于 g(u) 在点 u0 连续 , 因此对于任意的 0 ,
存在1 0 , 当 | u u0 | 1 时, 有 | g(u) g(u0 ) | ,
又因为 f ( x) 在点 x0 连续, 故对上述 1 0 , 存在 0, 当 | x x0 | 时, 有
于是
| f ( x) f ( x0 ) || u u0 | 1,
x0 x0 x0
bx
②对应
③任给
对于任意的正数 , a x0 x0 b, 设
y1 f ( x0 ) , y2 f ( x0 ) , 令 min{ y2 y0 , y0 y1} 0, 当 ( y1 ) y0 y y0 ( y2 ) 时，
f 1( y1 ) f 1( y) f 1( y2 ),
二、闭区间上连续函数的性质
一、最大(小)值的定义 定义 设 f ( x)为定义在数集 D上的一个函数 . 若 存在 x0 D ,使得对一切 x D, 均有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ) ), 则称 f ( x) 在D上有最大(小)值, x0 称为最大(小)值 点, f ( x0 ) 称为 f ( x)在D上的最大(小)值.
解 因为 x 0 是 f ( x) 的定义区间上的点, 而
lim f ( x) 1 0 f (0),
x0
所以 f ( x) 在 x 0 处不连续. 因此函数 f ( x)不是初
连续函数的性质
连续函数的性质引言连续函数是数学中一个重要的概念，它在数学分析、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
连续函数的性质是研究连续函数的一种方法，可以帮助我们更好地理解和运用连续函数。
在这篇文档中，我们将介绍连续函数的性质，以及它的重要性。
连续函数是一类函数，它在某一区间上的定义域内无间断，即函数值在定义域内可以无限接近于某个常数或趋于无穷。
这种特性使得连续函数在建模、预测、优化等问题中起到关键作用。
了解连续函数的性质可以帮助我们分析函数的行为、研究函数的变化趋势以及解决一些实际问题。
通过研究连续函数的性质，我们可以推导出函数的导数、极值、范围等重要信息，从而更好地理解和运用连续函数。
在接下来的内容中，我们将探讨连续函数的性质及其在不同领域中的应用。
通过对连续函数的性质进行深入研究，我们可以更好地理解和运用这一重要的数学概念。
定义连续函数是一种在数学上具有很重要性质的函数。
下面我们来解释连续函数的严格定义和符号表示。
连续函数的严格定义：设函数 f(x) 在区间 (a。
b) 上有定义。
如果对于任意给定的ε。
0，存在一个δ。
0，使得当。
x ∈ (a。
b) 且 |x - x0| < δ时，都有 |f(x) - f(x0)| < ε 成立，则称函数 f(x) 在点 x0 处连续。
符号表示：函数 f(x) 在点 x0 处连续的符号表示为：f(x) |x = x0.连续函数是数学中一类重要的函数类型，具有许多特殊的性质。
下面将概述连续函数的主要性质，包括介值定理、最大最小值定理等。
介值定理介值定理是连续函数的重要性质之一。
对于一个在闭区间[a。
b]上连续的函数f(x)，如果f(a)和f(b)有不同的符号，那么对于任意一个介于f(a)和f(b)之间的数c，都存在a和b之间的某个数x0，使得f(x0)=c。
换句话说，介值定理保证了连续函数在一个闭区间上可以取到所有介于函数值之间的值。
最大最小值定理最大最小值定理也是连续函数的重要性质之一。
1.10连续函数的运算与性质
lim v( x)
lim u(x)v(x) [lim u(x)]xx0
xx0
xx0
1
例：求 lim (x 2ex ) x1 x0
四、闭区间上连续函数的性质
最大值（最小值）：对于区间I上有定义的函数f(x)，如
果存在 x0 I ，使得对于任一 x I 都有 f (x) f (x0) ( f (x) f (x0))
练习：P55 1(3)(4)(6)，2，4
3、零点定理：如果 f (x)在闭区间 [a, b]上连续，且
f (a) f (b) 0 则在开区间 (a, b)内至少有函数f(x)的
一个零点，即至少存在如何求则没有给出。
例1：证明方程x3 4x2 1 0在 (0,1) 内至少有一个根。
1、lim ln sin x
x0
x
2、lim cos( x 1 x) x
三、初等函数的连续性
定理4、基本初等函数在其区间内是连续的。 注：P53
定理5、一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
即
:
x0
D,
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
f (x) u(x)v(x) (u(x) 0) －－幂指函数
有定义，有极限和连续，三者有何关系？
连续
有定义
有极限
1.10连续函数的运算与性质
一、连续函数的算术运算
定理1、若函数f(x)，g(x)在点x0处连续，则Cf(x)（C为
常数），f(x) g(x)， f(x) • g(x)，
f (x) g(x)
( g ( x0
)
0)
在点x0处也连续。
二、复合函数的连续性
例2、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)<a，f(b)>b, 证明：存在 (a,b) ，使得 f ()
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主讲教师：毕节学院数学与计算机科学学院
张云艳
第一章
二、二、反函数和复合函数的连续性反函数和复合函数的连续性三、三、初等函数的连续性
初等函数的连续性 一、一、连续连续连续函数的算术运算
函数的算术运算第十节机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与性质四、闭区间上连续函数的性质
五、布置作业
00()(),()
(),()(),
()()()(()0),.()
1f x g x x f x g x f x g x f x f x g x g x x g x ±⋅≠如果函数和都在处连续则由与经过四则运算构成的函数即及在点都是定连续的理()()00000(),,(2),.f u u u u x x u x y f x x x ϕϕϕ=====⎡⎤⎣⎦
如果函数在处连续函数在处连续则定理复合函数在处连续一、一、连续连续连续函数的算术运算
函数的算术运算二、二、反函数和复合函数的连续性
反函数和复合函数的连续性
基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.
. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的内都是连续的..定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间..1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在
其定义域内不一定连续;
注意 2.初等函数求极限的方法代入法.
三、三、初等函数的连续性
初等函数的连续性
222
120lim cos 22ln .lim .11lim .x x x x x x a
x x ππ→→→⎛⎞−⎜⎟⎝⎠
+−求极限
(1);(2)(3)例
()()()()
()[,],()(),()(),3,,f x a b f a f b f f C a b a f b C a b ξξξ=<<设函数在闭区间上连续且在两个端点的函数值和不相等则对介于与之间的任何值在开区间内至少存在一点使得
定理介值定理b
a f(b)
c
f(x)f(a)
ξ四.闭区间上连续函数的性质
()()()[,],(),(),(,,0()
)f x a b f a f f a b b a b ξξξ=<<设在闭区间上连续如果符号相反那么在开区间内至少有一点使推论根的存在得
定理b
f(x)
a
ξ
.
闭区间上的连推续函数必有界论
()
(,4)().
f x f x 设在闭区间上连续则在该区间上必有最大值和定最值定理最小值理a b
1ξ2ξy
x
2()(,) 0()1-cos 0f x x a x f x x x x
−∞+∞+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 讨论a为何值,在上连续,
例
1()x
f x e = 讨论的间断点，
并指明例是何种类型
思考题
内容小结
第二节 目录 上页 下页 返回 结束 布置作业
二、二、反函数和复合函数的连续性反函数和复合函数的连续性三、三、初等函数的连续性
初等函数的连续性 一、一、连续连续连续函数的算术运算
函数的算术运算四、闭区间上连续函数的性质。