因式分解(三)十字相乘(六)
因式分解-十字相乘法
因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。
交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。
从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。
2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。
因式分解题型提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法
1.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。
2．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：对于ma mb mc ++， 叫做公因式， 叫做提公因式法。
①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
②公因式的构成：系数：各项系数的 ；字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。
（2）公式法：①常用公式平方差： 完全平方：立方和：3322a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差：②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）（3）十字相乘法①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
（4）分组分解法①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。
例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
八年级数学上册因式分解的方法汇总
（4） 1999 x2 (1999 2 1)x 1999
（5） (x y 2xy)( x y 2) (xy 1)2
（6） (2x 3y)3 (3x 2 y)3 125(x y)3
（1）解：
设：x 2 5x a
五、常用到的式子：
ab b a 1 (a 1)(b 1) a4 4 (a2 2a 2)(a2 2a 2)
a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a b c) 2
a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ac)
= a2 2ab b2 1
(a b 1)(a b 1)
(4)原式= 1999x2 1999x2 x 1999
1999x(x 1999) (x 1999)
(1999x 1)(x 1999)
（5）原式= (x y)2 2(x y) 2xy(x y) 4xy (xy)2 2xy 1
解法四：添加两项 x2 x2
对应练习
例题：（分解因式）（第12届“五羊杯”竞赛 题）
(x4 x2 4)(x4 x2 3) 10
x4 x2 a
解：设
(a 4)(a 3) 10
a2 a 2
(a 2)(a 1)
ห้องสมุดไป่ตู้
同步练习：分解因式
（1） (x2 5x 2)( x2 5x 3) 12 （2） (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x2
则原式=
(a 2)(a 3) 12 a2 5a 6
(a 6)(a 1)
（2）解： 原式= (x2 7x 6)( x2 5x 6) x2
(x2 6x 6 x)( x2 6x 6 x) x2
因式分解法(十字相乘法)知识讲解
2x
4
x×4+2x×（-3）=-2x
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
十字相乘法（竖分常数交
叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
法二：
2x2-2x-12 = （x+2）(2x-6)
x
2 = 2（x+2)(x-3)
2x
-6
x×（-6）+2x×2=-2x
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
例1、（2）
12x2 29x 15
3x
5
4x
3
(9x) (20x) 29x
所以： 原式 (3x 5)(4x 3)
十字相乘法（竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、（3）
2x2 5xy 7 y2
2x
7y
x 1y
2xy 7xy 5xy
1、十字相乘法 （借助十字交叉线分解因式的方法）
2、用十字相乘法把形如x2 + px +q 二次三项式 分解因式
3、 x2+px+q=（x+a）（x+b） 其中q、p、a、b之 间的符号关系
q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符 号相同 当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大 的因数符号）与p符号相同
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结：当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5)
x2 14x 72 (x 4)(x 18)
因式分解中的十字相乘法
因式分解中的十字相乘法《因式分解中的十字相乘法》嘿，你知道吗？在数学这个神奇的世界里，有一个特别有趣又超级有用的方法，那就是十字相乘法。
我呀，今天就想和你唠唠这个十字相乘法。
我先给你举个简单的例子吧。
就像有个二次三项式，比如说x²+5x + 6。
这时候十字相乘法就像一个超级侦探，来把它分解因式啦。
我们要把二次项系数和常数项分别拆成两个数相乘呢。
对于x²的系数1，那就是1×1啦。
对于常数项6呢，我们可以拆成2×3。
然后我们就像搭十字一样，把这些数字摆好。
1和2写在一边，1和3写在另一边，交叉相乘再相加，1×3 + 1×2刚好等于一次项系数5呢。
这样，这个式子就可以分解成(x + 2)(x+ 3)啦。
哇，是不是很神奇呢？我记得我刚开始学这个十字相乘法的时候，那可真是一头雾水啊。
我就想，这都是啥呀，为啥要这么拆数字呢？我就跑去问我的数学老师。
老师就笑着说：“你看啊，这就像是搭积木，每一块积木都有它合适的位置。
二次三项式就像一个待组装的大积木，你得找到合适的小积木块才能把它搭好呀。
”我当时似懂非懂的，不过老师这么一说，我就觉得好像这个方法也没那么难嘛。
有一次，我和我的同桌一起做数学作业。
碰到了一个比较难的二次三项式，好像是2x² - 7x + 3。
我就开始苦思冥想，按照十字相乘法的规则来拆数字。
我先把2x²拆成2x 和x，对于常数项3呢，我拆成- 1和- 3。
我试着搭十字，交叉相乘再相加，结果不对呢。
我就有点沮丧，哎呀，这可怎么办呀。
这时候我的同桌凑过来说：“你看，你把3拆成- 1和- 3不对呢。
你可以把2x²拆成2x和x不变，把3拆成- 1和- 3的话，那交叉相乘再相加就不是- 7x啦。
你应该把3拆成- 1和- 3，2x乘以- 1加上x乘以- 3就等于- 7x啦。
”我一听，眼睛一亮，原来是这样啊。
我就按照同桌说的方法做，果然就把这个式子分解成(2x - 1)(x - 3)啦。
(完整版)因式分解知识点归纳
n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
因式分解3
因式分解的常用方法初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法.（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)； 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x++=+++进行分解。
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因式分解（三）基本方法
——十字相乘法
【知识要点】
（1）x 2+px+q 型的二次三项式中p 和q 都是整数：
1. 找出a,b 使a+b=p 且ab=q
2. 把q 分解成两个整数的积的符号规律：
q>0则a,b 同号,若p>0,a,b 同正,若p<0,a,b 同负;
q<0则a,b 异号,若p>0,a,b 中正数绝对值大,若p<0,a,b 中负数的绝对值大.
3. 当二次项系数为负时,先提负号.
4. 注意题目中换元思想的运用. （2）十字相乘法的步骤:
1 把二次项系数和常数项分别分解因数
2 尝试十字图,使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次系数
3 确定合适的十字图并写出因式分解的结果
4 检验
(我们形象的把它比喻成”拆两头,凑中间”)
【经典例题】
例1 分解因式
（1）232++x x （2）202-+x x
（3）2762-+x x （4）22--x x
例2 分解因式
(1)2x 2-7x ＋3； (2)6x 2-7x-5；
(3)-3x 2－7x-2； (4)5x 2＋6xy-8y 2．
例3 分解因式
（1）222y xy x -- （2）x 2＋6xy ＋8y 2；
（3）2232y xy x -+ （4）22158y xy x ++
例4.(1)分解()()2253526x x x x +-+--的因式
（2）()()22323416x x x x +-++-
例5 分解因式
（1）2222-+--+y y x xy x （2）233222++-+-y y x xy x
【经典练习】
一，选择题
1．下列从左到右的变形是分解因式的是（ ） A ．1x )1x )(1x (2-=-+. B ．)1)(1(12
2b a b a b a -+=-
C ．22)2
1
(41+=+
+x x x D ．4)2(3463222+-=+-x x x x
2．下列各式从左到右的变形错误的是（ ）
A ．22)()(y x x y -=-
B ．)(b a b a +-=-- C.33)()(a b b a --=- D.)(n m n m +-=+- 3.下列各式分解正确的是（ ）
A.)34(391222xy xyz y x xyz -=-
B.)1(333322+-=+-a a y y ay y a
C.)(2z y x x xz xy x -+-=-+-
D.)5(522a a b b ab b a +=-+ 4.在多项式22222,1,161,44y xy x x a x x ++-++-中，是完全平方式的有（ ） A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个 5．把分解因式的结果为22)(c b a -+（ ）
A ．c)b -c)(a -b (a ++ B.))((c b a c b a -+++ C.))((c b a c b a --++ D.))((c b a c b a --+- 6.如果228m ab a ++是一个完全平方式，则m 应是（ ） A ．2b B. b 2 C. 216b D. 4b 7．若)32)(32)(94(81)2(2-++=-x x x x n 则n 等于（ ） A ．2
B ．4 C.6 D.8
8．对于多项式（1）22y x -；（2）22y x --；（3）y x -24；（4）24x +-中，能用平方差 公式分解的是（ ） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（4） D ．（2）（4） 9．若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是（ ）
A ．7
B ．10
C ．70
D ．17 10．对于任意正整数m 多项式9)54(2-+m 都能被（ ）整除。
A ．8 B ．m C ．m-1 D ．2m-1 11、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ）
A 、1,3-==c b
B 、2,6=-=c b
C 、4,6-=-=c b
D 、6,4-=-=c b
二．填空题
1．把一个多项式化为_________________的形式，叫做把这个多项式分解因式。
2.分解因式1822-x =_________________.
3.如果2216y mxy x ++是一个完全平方式，则m=____________.
4.y x xy x 2221239-+-的公因式是__________________.
5.分解因式=++-+9)(6)(2b a b a ________________.
6.计算2003*200220032-=____________.
7.若x+5,x-3都是多项式152--kx x 的因式，则k=_________. 8.计算=-2224.476.5__________.
9.若512x 3,04422-+=-+x x x 则的值为_____________.
10.分解因式224
1
b ab a +-的结果是_____________.
三．把下列因式用十字相乘法分解；
(1)x 2-6x -7 (2)x 2+6x -7 (3)x 2-8x +7
(4)x 2
+8x +7 (5)x 2
-5x +6 (6)x 2
-5x -6
(7)x 2+5x -6 (8)x 2
+5x +6
四．把下列因式用十字相乘法分解；
（1）12632-+x x （2）1522482-+x x （3）2142312-+x x
（4）623352-+x x （5）2282y xy x -- （6）22632y xy x -+
（7）38y 6x 16y 24xy 9x 22--++-
（9）（m+2n ）2－6（m+2n ）（2m －n ）+9（n －2m ）2。
（10）2292416684x xy y x y -++-+
因式分解(三)作业
（1）672++x x （2）672+-x x （3）762-+x x
（4）762--x x （5）x 2-2x-3 (6)x 2+5x-6
(7)2x 2+5x+2 (8)3x 2+7x-6
(9)3x 2-11x+6 (10)2x 2-5xy+2y 2
(11)(a+b)2+3(a+b)+2 （12）2222()5()6()x y x y x y +--+-
(12)()()
122122-++++x x x x ； （13）()()272314
4
-+++y y。