8抽样-

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四、与整群抽样和分层抽样的关系
系统抽样可以看成是一种特殊的整群抽样，也可以看成是 一种分层抽样。
以等距抽样为例，将总体中的N个单元按k个一组排成表， 共有k列n行。
1 1 2

2
Y21 Y22

„ „ „

r
Yr1
„ „ „

k
Y11
Yk 1
Yk 2

Y12

Yr 2

n
Y1n
Y2n
„
Yrn
„
2 sb k r 2 v( ysy ) ( ) sb r k 1
2 sb 为群间方差
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1 f 2 v( ysy ) s n
24

二、分层抽样估计法：当采用有关标志排队时，等 距抽样可以看做每层只抽取一个单位的分层抽样。
1 f 2 V ( ysy ) sw n 1 n 2 s si n i 1
2 w
25

三、整群抽样估计法：等距抽样可以看做将总体分 为K群，只抽取其中1群的整群抽样。
首尾两个样本观测值的权数为：
1 2r k 1 1 2rk
其他n-2个样本观测值的权仍为1/n，可以证明样本均值是 总体均值的无偏估计量。
ysy wj yrj Y
15
例：若总体单元指标值按其顺序为1，3，5，7，9，11， 13，15，17，19，21，23，25，27，29，抽取一个 n=3的样本，用耶茨首尾校正法估计总体均值 Y

7

8.3 因为 n 不能被所 N 整除，故应按拉希里的圆 圈系统抽样法。因
N 21 5.25 n 4
取其接近的整数为k ，有k=5， 由题意，抽出编号为03，08，13，18的乡镇为样本。
8
三、总体单位的排序
1.无关标志排序：随机排序 ——排序标志与调查标志没有必然联系。此时的系统抽样等同于简单随机抽 样，只是操作起来更简便。 2.有关标志排队： ——总体单位按照与调查标志有密切关系的标志排序，并呈现出某种线性趋 势。 3.总体按照某种“负相关顺序排序”： ——一种是总体各单位的标志值奇数层顺排列而偶数层反排列； ——另一种是总体中上一半单位的标志值顺排列而下一半单位的标志值反排列。

1.中心位置法——麦多(Madow) 中心系统抽样法。 在各层都抽取位于层内中间位置的样本点。 将起始单元定为(k+1)/2（当k为奇数时）， k/2或(k/2)+1 （当k为偶数时）。
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2.首尾校正法耶茨(Yates)：N=nk时
对样本单元指标值进行加权平均来代替算术平均从而消除 偏差的方法。该方法适用于 N nk 的直线系统抽样。
N 1 2 k (n 1) 2 v( y sy ) S S wsy N N k n 1 2 S wsy ( yrj y r ) 2 k (n 1) r 1 j 1

等距抽样时，样本内各单位的差异较大，抽样精度较高； 反之，样本内各单位为差异较小，抽样精度就较低。
sy


（2）当总体内各单位的排列具有线性趋势时，如果N较大， 有：
V ( yst ) V ( ysy ) V ( y )
当n 1时，等号成立。
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第三节 等距抽样估计量方差的样本估计

一、简单随机抽样估计法：当采用无关标志排队时
1 f 2 V ( ysy ) S n

总体方差未知，用样本方差估计：
若抽样将k为循环周期或循环周期的倍数时，如图中a点所 示位置，只能反映变化周期同一相位的信息，等距样本内部的 观察值完全相同，这样必然会产生显著的系统性偏差，估计的 精度最差。 如抽样将k为半周期或半周期的奇数倍，它反映了变化后期 中相反的两个相位的信息，如图中b点所示位置。当n为偶数 时，各样本单位的离差相互抵消，样本平均数恰好等于总体平 均数，它是最好的选择，估计精度最好。
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修正系统抽样法：总体对称系统抽样：
设 N nk ，且n为偶数，r仍在1-k范围内随机 产生，另一个起始单元取为离另一个端点距离为r的 单元，即编号为N-r+1的单元，从而这两个单元相 对总体是对称的。
n/2对样本单元的编号为：
n { r jk ,( N jk ) r 1 }, j 0, ,,( 1 ) 1 2

3

1.直线等距抽样 具体步骤：
（1）计算抽样间距：k=N/n； （2）将总体单位以某种顺序排列，编号为1，2，„，N； （3）从1—k个单元编号中随机抽出一个单位编号，假设为r； （4）每隔k个单位抽出一个单位，直到抽出n个单位。

此方式下，各样本被抽中的概率相同。
4
当 nk时： N
样本单位编号： ( j 1)k , r


样本单位均匀分布在总体中； 简便易行，对抽样框的要求不高；易被不熟悉抽样的非 专业人员所掌握； 系统抽样的精度与总体单位的排列顺序密切相关。
2
二、系统抽样的基本方式
等距系统抽样 ——如果在系统抽样中，是按照固定的间隔k 选取样本单位，称为等距系统抽样简称等距 抽样。 ——k称为抽样间隔，一般取不大于但最接近 于（N/n）的一个整数。 ——可以分为直线等距抽样与圆形等距抽样。
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用样本（群）内相关系数 wsy表示：
S 2 N 1 v( y sy ) ( )[1 (n 1) wsy ] n N k n 2 wsy ( yrj Y )( yru Y ) 2 (n 1)(N 1) S r 1 j u

等距抽样估计量的方差大小主要与总体内各单位的排列状况 有关： （1）若各单位是随机排列的，当N 充分大时，等距抽样估计 量方差大致等于简单随机抽样估计量方差。 V ( y ) V ( y )
Ykn
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每个系统样本都是由表中的一列单元所组成的， 如果将每一列单元看作为一个群（大小为n），则总 体由k个群组成。 若将上表中的行看成为层，则每个系统样本都包 含每层中的一个单元，因此系统抽样也是一种分层抽 样，不过由于样本单元在层中的位置都是一样的，因 此它不是分层随机抽样。
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五、线性趋势总体抽样方法的改进 ——有关标志排队
ysy wj yrj 15 Y
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贝尔豪斯(Bellhouse)与拉奥(Rao)： 对于 N nk ，若采用圆形系统抽样，对首尾两 个样本单元的权数进行校正。 起始单元编号r很小，最后一个样本单元的编号 r (n 1)k N
首尾两个样本观测值的权数为： 1 2r (n 1)k ( N 1) 1 2r (n 1)k ( N 1) w1 , wn n 2(n 1)k n 2(n 1)k 当 r (n 1)k N ，若 n2是样本单元抽取过程中越过总体最 后一个单元的样本单元数，则： 1 2r (n 1)k ( N 1) 2n2 N / n w1 , n 2(n k ) 1 2r (n 1)k ( N 1) 2n2 N / n wn n 2(n k ) 其他n-2个样本观测值的权仍为1/n。
第八章 系统抽样

第一节 抽样方式 第二节 等概率系统抽样的估计量及其方差 第三节 估计量方差的样本估计
1
第一节 抽样方式

一、什么是系统抽样
系统抽样（systematic sampling）也称为机械抽样，将 总体中的单位按某种顺序排列，在规定的范围内随机抽取第 一个单位，然后按一定的规律（如：依固定间隔k抽取下一 个）确定其他样本单位的一种抽样方法。 特点
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3.对称系统抽样
平衡系统抽样法：分组对称系统抽样：
设 N nk ，且n为偶数，将总体按顺序划分为 n/2组（以每一组为2层），每组由2k个单位组成。 n/2对对称的样本单元的编号为：
n {r 2 jk ,2( j 1)k r 1}, j 0,1, , ( 1) 2
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此外，在对某些总体进行排序时，也可以使用时间标志， 即按时间先后顺序进行等距抽样。 ——如对连续性生产(或作业)的产品每隔一定时间抽取一件或 若干件样品作质量检验； ——每隔若干天进行市场物价抽查；
——按时间先后顺序排列的发票每隔多少张抽取一张进行审核 等。
时间标志等距抽样有时与调查标志无关，有时则可能有关， 这要视具体情况而定。
当n为奇数时，就多余一个半层，将此半层放在 1 总体的中间，以 r ( n 1 )k 为样本单元或取其 2 中间位置的那个单元为样本单元。
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第二节 等概率系统抽样的估计量及其方差 ——等距抽样

一、估计量
1
Y1 Yk+1 …
N nk
样本号 （随机起点）
2
Y2 Yk+2 …
…
… … …
当 N nk时：
由于k个可能样本所包含的单元数不全相等，因 此 y 是有偏的。若采用圆形等距抽样，仍是无偏 sy 的。
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估计量方差
1 k v( y sy ) E ( yr Y ) 2 ( y r Y ) 2 k r 1
估计量方差的不同表示形式 2 用样本（群）内方差 Swsy表示：
Y 15, N 5, n 3, k 5， 假设随机抽样起点r 1
样本观测值为1，11，21，若不校正有：
1 11 21 ˆ Y =y sy 11 3
若校正有：
w1 1 2r k 1 2 1 1 1 2r k 1 8 , w2 , w3 n 2(n 1)k 15 n 3 n 2( n 1)k 15
r
Yr Yk+r …
… k