《3.2.2函数模型的应用实例(2)》教学案2-教学设计-公开课-优质课(人教A版必修一)
高中数学 《函数模型及其应用-3.2.2函数模型的应用实例》说课稿2 新人教A版必修1
3.2.2 函数模型的应用实例（2）从容说课本节课是在上一节课的基础上进一步研究函数模型的应用，让学生不仅能够应用已知的函数模型解决问题，并且还要能够在面临实际问题时，通过有关数据自己建立函数模型来解决实际问题，并加以检验.例1给出的数据具有很强的规律性，它体现的是在理想状态下的数据，通过这些数据所抽象出的函数模型是固定的，相对比较容易，教学时注重引导学生分析问题所提供的数据的特点，再抽象出函数模型；值得注意的是变量的变化范围要符合实际情况.例2中的数据是通过实际测量得到的，它的规律一般不是很明显，主要引导学生通过计算器，画出散点图，然后进行观察比较所作的散点图与哪类函数模型比较接近，从而选择这个函数模型，并注意对模型的修改.通过两节课的几个例子，引导学生回顾问题的特点，以及解决问题的过程与方法，加以总结：根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程：三维目标一、知识与技能1.能根据理想状态下的数据特点，建立函数模型解决实际问题.2.能利用计算器，通过表格画出散点图，进行比较选择函数模型，并能加以修改.3.根据例题的解决方法总结出“根据收集到的数据特点建立函数模型，解决实际问题的基本方法”.二、过程与方法1.对于理想状态下的数据特点，引导学生根据它的实际意义抽象出函数模型，并注意变量的变化范围.2.针对实际测量得到的数据利用计算器，画出散点图，比较抽象出函数模型，这里将学生分成几组，分别从不同的数据来计算出函数模型的参变量，通过比较以获得更精确的函数模型.三、情感态度与价值观通过对函数模型在实际问题中的应用举例，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新精神和实践能力.教学重点根据例题的解决方法总结出“根据收集到的数据特点建立函数模型，解决实际问题的基本方法”.教学难点对抽象出的函数模型与根据实际数据画出的散点图进行比较，并加以修改.教具准备多媒体课件、投影仪、计数器.教学过程一、创设情景，引入新课师：上一节课我们研究了一些简单函数模型的应用，但是我们不仅要能够应用已知的函数模型解决问题，而且还要能够在面临实际问题时，通过收集到数据自己建立函数模型来解决实际问题.本节课主要通过两个具体的实例去感受如何收集数据，建立适当的函数模型，解决实际问题，同时研究总结它的基本过程.二、例题剖析【例1】某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？师：根据上表，我们发现，表中的数据具有很强的规律性，具体体现在哪里.这张表反映了销售单价与日均销售量的什么关系？获得的利润指的是什么？生：当销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，获得利润=日均销售利润－日固定成本（200）.解：设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量就为480－40（x－1）=520－40x（桶）.（在实际问题中应注意变量的变化范围）由x＞0，且520－40x＞0 0＜x＜13.所以y=（520－40x）x－200=－40x2+520x－200 （0＜x＜1）.易知当x=6.5时，y有最大值.所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.从例1中的数据可以看出它的变化是很有规律性的，它体现的是一种理想状态下的数据，对于这类问题抽象出函数模型比较容易，而且列出的函数模型应该是固定的，但是在现实生活中，一般都是通过实际测量所得数据解决实际问题，它的规律一般不是很明显，我们必须通过计算器加以解决.（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？分析：这里只给了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的.师：请同学们根据这些数据画出散点图，再进行观察和思考，所作的散点图与已知的哪一个函数图象最接近，从而选择函数模型.通过散点图，发现指数型函数y=a·b x的图象可能与散点图的吻合较好，而函数y=a·b x 中只有两个待定参数a、b，故只需选取两组数据就能求出a、b的值.但是这里共有12组数据，是否任取两组数据，得到的a、b的值相同呢？将学生分成8组，分别给予两组数据计算a 、b 的值，通过计算器看计算a 、b 的结果是否相同，再同散点图进行比较是否吻合，从中选出最接近的函数模型.课堂上先选取（60，6.13）、（70，7.90）这两组数据，可以用计算器得出a =1.338，b =1.026从而函数的解析式为y =1.338×1.026x，同时画出这个函数图象与散点图，我们发现，函数y =1.338×1.026x 不能很好地反映该地区未成年人体重与身高的关系.课后请同学们自己选择两组数据进行研究，直至得到自己较为满意的函数的模型.在教科书上选取的是（70，7.90），（160，47.25）两组数据，计算出a ≈2，b ≈1.02.从而得到函数模型y =2×1.02x，同时画出这个函数图象与散点图.我们发现，散点图上的点基本上在或接近函数y =2×1.02x 的图象，所以函数y =2×1.02x能较好地刻画该地区未成年人体重与身高的关系.（2）将x =175代入y =2×1.02x ，得y =2×1.02175，由计算器算得y ≈63.98. 由于78÷63.98≈1.22＞1.2. 所以这个男生偏胖.从例2我们可以看出从实际测量所得的数据抽象出函数模型的应用问题比较困难，尤其要注意如何选择更精确的数学模型，如果能很好地运用计算器的的拟合功能，那么获得的函数模型更精确.从以上例题我们可以得到：根据收集到的数据建立函数模型，解决实际问题的基本过程. 三、课堂练习1.某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.（1）分别求出总成本y 1、单位成本y 2、销售总收入y 3、总利润y 4与总产量x 的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析.解：（1）y 1=150+0.25x ，y 2=xx25.0150+，y 3=0.35x ，y 4=0.1x －150. （2）当x ＜1500时，该公司亏本；当x =1500时，该公司不赔不赚； 当x ＞1500时，该公司赢利.2.不打开降落伞，跳伞运动员离开飞机后，第1 s 下落约5 m ，第2 s 下落约15 m ，第 3 s 下落约25 m ，如果跳伞运动员从离地面1800 m 的高空跳伞，并准备在距地面200 m 时打开降落伞，那么跳伞运动员应在离开飞机多少秒后打开降落伞?（精确到0.1 s ）解：运动员在离开飞机x s 后下落的距离y 为y =5x 2. 由题意知y =1600，解得x ≈17.9.跳伞运动员应在离开飞机后约17.9 s 时打开降落伞.3.某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、61、68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y =ax 2+bx +c ，乙选择了模型y =pq x+r ，其中y 为患病人数，x 为月份数，a 、b 、c 、p 、q 、r 都是常数.结果4月、5月、6月份的患病人数分别为74、78、83，你认为谁选择的模型较好？解：由⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3968246152⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=.41,12,1c b a所以甲函数模型为y =－x 2+12x +41.当x =4时，y =73；当x =5时，y =76；当x =6时，y =77与实际结果相差较大.由⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=+⋅=+⋅=r q p r q p r q p 32686152⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==.2185,14729,97r q p所以乙函数模型为y =－14729（97）x+r . 当x =4时，y ≈74；当x =5时，y ≈78，当x =6时，y ≈82.与实际结果非常接近.因此选择乙模型较好.三、课堂小结本节课我们主要通过收集数据，作出散点图，然后通过观察图象抽象出函数模型，利用计数器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.四、布置作业课本P 126习题3.2A 组第8、9题；B 组第2、3题. 板书设计3.2.2 函数模型的应用实例（2）例1 例2三、课堂小结与作业布置。
《3-2-2 函数模型的应用实例》教学设计(甘肃省市级优课)
3.2.2函数模型的应用实例(二)一、教学目标知识与能力:能够利用给定的函数模型解决一些简单实际问题.会分析图、表等已知条件中的数据,确定出最佳模型．能在函数模型不确定时自建函数模型解决实际问题．过程与方法:经历实际应用问题的求解过程,体验指数函数模型的特征,学会运用函数知识解决实际问题.在建模与解模、用模的过程中体会函数的思想.情感态度价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣.二、重点与难点教学重点:指数函数模型的建立、求解与应用；教学难点:将实际问题抽象成数学模型.自建一些简单的函数模型去解决问题,并对模型进行分析评价．三、教学方法：五步两段一体循环穿插教学法四、教学手段：多媒体课件．五、教学过程（一）、知识回顾：1.解决实际应用题的一般的步骤是什么？2.上节课解决了哪两类函数模型的问题？【设置意图】:以旧引新激发兴趣，再现应用技能.（二）、创设情境引入课题问题(1):既没有给出函数模型,又无法建立确定性的函数模型的情况,我们又如何来解决实际问题呢？（三）例题讲解：类型1:没有给出函数模型的情况例1. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？思考探究：问题(1):观察表中数据的变化规律,假设每桶水在进价的基础上增加x元,则日均销售量为？问题(2):假设日均销售利润为y元,那么y与x的关系是什么？问题(3):上述函数的定义域是什么？问题(4):经营部怎样定价才能获得最大利润？问题(5):根据上题你能总结一下用函数解决实际应用问题时的一般思路吗？(学生分小组进行合作探究,最后叫学生展示讨论结果,教师利用课件展示动画进行引导、点拨,得出最终结论.)【设置意图】:让学生亲身经历建模的过程,采用问题式层层引导,培养学生的建模思想,体会函数模型在解决实际问题中的好处.类型2:无法建立确定性函数模型的情况(选模、试模、分析模型的优劣)例2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表(见课本)(1)根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg 与身高xcm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。
课件9：3.2.2 函数模型的应用实例
似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于
1
15 + , (0 ≤ ≤ 10)
2
f(t)＝൞
(元)．
1
25 − , (10 < ≤ 20)
2
典型例题
类型3 分段函数模型的应用
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表
10−6
代入得Y＝10lg −12
10
＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝．
(2)当Y＝0时，即为10lg
10−12
＝0，所以
I＝10－12 W/m2，
则能听到的最低声强为10－12 W/m2.
10−12
＝1，
典型例题
−7
5×10
(3)当声强I＝5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lg −12
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元
或150元．
名师指导
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实
际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别
式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，
从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
跟踪训练
1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池
即 S＝
2
－10x
＋1 200x－15 000，30<x≤75.
跟踪训练
因为当0＜x≤30时，S＝900x－15 000为增函数，
所以x＝30时，Smax＝12 000；
当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1 200x－15 000
高一数学3.2.2 函数模型的应用实例(Ⅱ)教案
高一数学3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）教案【课型】新授课【教学目标】能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.【教学重点】利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.【教学难点】将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.【学法与教学用具】1. 学法：自主学习和尝试，互动式讨论.2. 教学用具：多媒体【教学设想】（一）创设情景，揭示课题.现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）（二）实例尝试，探求新知例1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.1）写出速度关于时间的函数解析式；2）写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象.本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数61456628286456365994672073.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？探索以下问题：1）本例中所涉及的数量有哪些？2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3）根据表中数据如何确定函数模型？4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数与.完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.探索以下问题：1）本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？2）如何对所确定的函数模型进行评价？本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体函数模型.引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用.3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）（三）. 归纳小结，发展思维.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定具体函数模型；3）对所确定的函数模型进行适当的评价；4）根据实际问题对模型进行适当的修正.2.提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？二、讲授新课：1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：①探究两个实例：A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？想.五、作业布置P59 习题2.1 A组第5、7、8题。
3.2.2函数模型的应用实例(优质课)
面积，并说明所求面积的实际 70
含义；
60 50
40
分析：要求阴影部分的面积的几何 30 意义，首先要搞清楚横轴和纵轴的 20
几何意义
10
解：（1）阴影部分的面积为
1
2
3
4
5
t
图3.2-7
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路 程为360km
是______.
0.5x, 0 < x ≤100
y=
0.4x +10, x >100
练习
2．某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂
量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时
间t之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗
d
d
d
d
d0
d0
d0
d0
0 t0
(A)
t0 t0
(B)
t 0 （Ct0 )
t0
t0
(D)
一、新课引入
从上例可以知道，函数与现实世界有着紧密 的联系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更 多的实例来感受它们的应用呢？若能的话，那么 如何在实际问题中建立函数模型呢？
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时
间的关系如图3.2-7所示。 （图1像）告当t诉=1了.5时我，们速什率么v是信多息少？？
v /(km h-1) 90
当t=1.8时，速率v又是是多少？ 80
（2）写出速率v关于时间t的函数
70 60
人教A版高中数学必修13.2.2 函数模型的应用实例教学过程(二)
3.2.2函数模型的应用举例材料一：一次函数、二次函数的应用举例 例1．某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km ，火车出发10min 开出13km 后，以120km/h 匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S 与匀速行驶的时间t 之间的关系式，并求火车离开北京2h 内行驶的路程． 探索： 1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样； 2）所涉及的变量的关系如何？ 3）写出本例的解答过程． 例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法： 1） 买一只茶壶赠送一只茶杯； 2） 按总价的92%付款． 某顾客需买茶壶4只，茶杯若干（不少于4只），若购买茶杯（只）付款（元），试分别建立两种优惠办法中与之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱？ x y y x图形与网络等．例3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？探索：1） 本例涉及到哪些数量关系？2） 应用如何选取变量，其取值范围又如何？ 3） 应当选取何种函数模型来描述所选变量的关系？4） “总收入最高”的数学含义如何理解？[略解：]设客房日租金每间提高个2元，则每天客房出租数为300-10，由>0，且300-10>0得：0<<30 设客房租金总收入元，则有：老派（0<<30）由二次函数性质可知当=10时，max =8000． 所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元． 师：注意引导学生分析题目中所涉及的各数量关系，及其之间的关系．生：思考如何选取变量，建立不同的函数模型． 师：引导学生注意本例由于客房间数不太多，为了理解本应用题，可以选用列表法求解． 师：注意引导学生恰当选取变量，简化函数模型，如可设客房日租金每间提高个2元．生：仔细分析题意，根据老师的引导启发，选取适当的变量，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析．呈现教学材料师生互动设计x x x x x )10300)(220(x x y -+=8000)10(202+--=x x x y x尝试练习：1）某单位计划10月份组织员工到H地旅游，人数估计在10~25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元，甲旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位旅客的旅游费用，其余游客八折优惠．问该单位怎样选择，使其支付的旅游费用较少？2）某商店如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售100件，现在商店用提高出售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品涨价1元，其销售量就减少10件，问该商店将出售价定为多少才能使每天赚得的利润最大？并求出最大利润．3）要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价．小结与反思：共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．呈现教学材料运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，了解函数模型的广泛应用．。
探究式导学案2：3.2.2 函数模型的应用实例
3.2.2 函数模型的应用实例学习目标1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤． 课前预习1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练1.已知函数模型的应用问题【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 0≤x ≤40080 000 x >400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(116)t－a(a为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．2.自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．3.函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t 的变化关系；Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．课堂小结1．解答应用题的基本步骤：(1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；(3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案．2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1．今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( ) A ．V ＝log 2t B ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12 D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元 3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡( )A ．3人B ．4人C ．5人D ．6人 二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km ，票价是0.4元/km ；如果超过100 km ，则超过100 km 的部分按0.3元/km 定价．则客运票价y 元与行程公里x km 之间的函数关系是______________________________．6.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h ．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 h ；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上骑自行车者．其中正确的序号是_________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？参考答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题(2)建立确定性的函数模型解决问题(3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据(2)描点(3)选择函数模型(4)求函数模型(5)检验(6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ， 从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 0000≤x ≤40060 000－100x x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000； 当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值． ∴每月生产300台仪器时，利润最大， 最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时．【例2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入， 设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n)2＋4 000＋c ， 当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c . 所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200x m ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x ≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x )＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则 y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324. ∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)， 此时，宽为20016 m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时， 总造价最低为45 000元．【例3】 解 设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝p ＋q ＋r ＝1，f 2＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f 3＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7.∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7， ∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝ab ＋c ＝1，g 2＝ab 2＋c ＝1.2，g 3＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4， ∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好． 变式迁移3 解 (1)由表中数据知， 当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c . 即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c ， 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．]4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3x －100，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个， 则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60； 当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ； 当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002 ＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。
高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例教案 新人教a版必修1
3．2.2 函数模型的应用实例[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题．[预习导引]1．解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：2．数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．解决学生疑难点要点一用已知函数模型解决问题例1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0＜x ≤10，59，10＜x ≤16，－3x ＋107，16＜x ≤30.(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ 解 (1)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9.故f (x )在(0,10]上单调递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16＜x ≤30时，f (x )单调递减，f (x )＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min. (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f (20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f (5)．因此，开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些． (3)当0＜x ≤10时，令f (x )＝55， 则－0.1×(x －13)2＝－4.9，(x －13)2＝49. 所以x ＝20或x ＝6.但0＜x ≤10， 故x ＝6.当16＜x ≤30时，令f (x )＝55，则－3x ＋107＝55. 所以x ＝17 13.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17 13－6＝11 13＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答． 解决此类型函数应用题的基本步骤是： 第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型，列出函数关系式．根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答．跟踪演练1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为：y ＝112 800x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ 解 当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，要耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫112 800×403－380×40＋8×2.5＝28.75(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油28.75升． 要点二 建立函数模型解决实际问题例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13－x ，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x －x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13x 2＋2003x ＝－13(x 2－200x )＝－13(x －100)2＋10 0003，所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 规律方法 根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．跟踪演练2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M (亿元)和N (亿元)，它们与投资额t (亿元)的关系有经验公式：M ＝13 t ，N ＝16t ，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x 亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y 亿元． (1)写出y 关于x 的函数表达式； (2)求总利润y 的最大值．解 (1)当甲项目投资x 亿元时，获得利润为M ＝13x (亿元)，此时乙项目投资(3－x )亿元，获得利润为N ＝16(3－x )(亿元)，则有y ＝13x ＋16(3－x )，x ∈[0,3]．(2)令x ＝t ，t ∈[0，3]，则x ＝t 2， 此时y ＝13t ＋16(3－t 2)＝－16(t －1)2＋23.∵t ∈[0，3]，∴当t ＝1，即x ＝1时，y 有最大值为23.即总利润y 的最大值是23亿元．1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．310元B ．300元C ．390元D ．280元 答案 B解析 由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.2．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )答案 D3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到细胞的个数y 与x 的函数关系是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x －1C ．y ＝2xD ．y ＝2x ＋1答案 D解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x 次后y ＝2x ＋1个．4．长为3，宽为2的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．答案 12解析 S ＝(3＋x )(2－x 2)＝－x 22＋x2＋6＝－12(x －12)2＋498，∴x ＝12时，S max ＝498.1.函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．一、基础达标1．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b ＜a )，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )答案 C解析 由题意可知，s 是关于时间t 的一次函数，所以其图象特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．2．国内快递1 000 g 以内的包裹的邮资标准如下表：( ) A ．5.00元 B ．6.00元 C ．7.00元 D ．8.00元 答案 C解析 由题意可知，当x ＝1 200时，y ＝7.00元．3．某机器总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( ) A ．30 B ．40 C ．50 D ．60 答案 C解析 设安排生产x 台，则获得利润f (x )＝25x －y ＝－x 2＋100x＝－(x －50)2＋2 500.故当x ＝50台时，获利润最大．4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x ＜A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16 答案 D解析 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16. 5．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( ) A ．a ＝45，b ＝－30 B ．a ＝30，b ＝－45 C ．a ＝－30，b ＝45 D ．a ＝－45，b ＝－30 答案 A解析 设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x ＞0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.∴⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.6．已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．答案 甲解析 对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好．7．武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？解 设报摊主每天买进报纸x 份，每月利润为y 元(x 为正整数)． 当x ≤250时，y ＝0.1×30×x ＝3x . 当250≤x ≤400时，y ＝0.1×20×x ＋0.1×10×250－(x －250)×0.32×10＝2x ＋250－3.2x ＋800 ＝1 050－1.2x . 当x ≥400时，y ＝0.1×20×400＋0.1×10×250－(x －400)×0.32×20－(x －250)×0.32×10＝800＋250－6.4x ＋2 560－3.2x ＋800 ＝－9.6x ＋4 410.当x ≤250时，取x ＝250，y max ＝3×250＝750(元)． 当250≤x ≤400时，取x ＝250，y max ＝750(元)． 当x ≥400时，取x ＝400，y max ＝570(元)．故他应该每天从报社买进250份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元．二、能力提升8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50 答案 C解析 由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49501.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e－kt 1， ∴827＝(e －k)t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49501t， ∴t 150＝32，t 1＝75. 9．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 90中，t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数．则当N ＝40时，t ＝________(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)． 答案 36.72解析 当N ＝40时，则t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4090＝－144lg 59＝－144(lg 5－2lg 3)＝36.72. 10.如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系y ＝a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2； ③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等． 其中正确的命题序号是________．答案 ①②解析 由图象知，t ＝2时，y ＝4， ∴a 2＝4，故a ＝2，①正确．当t ＝5时，y ＝25＝32＞30，②正确， 当y ＝4时，由4＝2t 1知t 1＝2，当y ＝12时，由12＝2t 2知t 2＝log 212＝2＋log 23.t 2－t 1＝log 23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．11．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如下图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额． (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为L ，则由题设得：L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000.①由销量图易得：Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20＜P ≤26，代入①式得 L ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋P －－5 600，14≤P ≤20，－32P ＋P －－5 600，20＜P ≤26，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450(元)， 此时P ＝19.5(元)；当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503(元)，此时P ＝613(元)．故当P ＝19.5(元)时，月利润余额最大，最大余额为450元． (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．三、探究与创新12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12h t，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min ，那么降温到35℃时，需要多少时间？ 解 由题意知40－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12h 20， 即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12h 20，解得h ＝10.故T －24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t . 当T ＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t ＝1164. 两边取对数，用计算器求得t ≈25.因此，约需要25 min ，可降温到35℃.13．今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：小时)间的关系为P ＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.)解 (1)由已知，当t ＝0时，P ＝P 0；当t ＝5时，P ＝90%P 0.于是有90%P 0＝P 0e －5k .解得k ＝－15ln 0.9(或0.022)．(2)由(1)得，知P＝tP⎪⎪⎭⎫⎝⎛0.9In51e.当P＝40%P0时，有0.4P0＝tP⎪⎪⎭⎫⎝⎛0.9In51e.解得t＝ln 0.41 5ln 0.9≈－0.9215－＝4.600.11≈41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时．。
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《3.2.2函数模型的应用实例（2）》教学案2
学习目标
1. 通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；
2. 初步了解对统计数据表的分析与处理.
教学重点
利用函数模型解决实际问题
教学难点
数模型的构造与对数据的处理
教学设计
一、目标展示
二、自主学习
预习课本第104到第106页，并完成导学预案自主预习内容
三、合作探究
例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元. 销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
小结：找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题→小结：二次函数模型.
例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表(身高：cm；体重：kg)
(1)
年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式.
(2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重78kg的在校男生的体重是否正常？
小结：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.
四、达标检测
课本第104页练习1，2
六、课堂小结
1. 有关统计图表的数据分析处理；
2. 实际问题中建立函数模型的过程；。