204.北师大版九年级数学上册4.4 第3课时 利用三边判定三角形相似-导学案
北师大版九年级上册数学 4-4 第3课时 利用三边判定三角形相似
解：公路AB与CD平行.
∵ AB 14 2 BD 21 3
AD 28 2 BC 42 3
BD 21 2
DC 31.5 3
28 D
A
31.5
21
14
42
B
C
AB AD BD
BD BC DC
∴ ∠ABD=∠BDC
∴ △ABD∽△BDC,
∴ AB∥DC
5.已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线.求证： △ABC∽△FED
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
D 2.4
E
1.8
2.1 F
A
4
B
解：在△ABC 中，AB>BC>CA,在△DEF中，DE>EF>FD.
DE2.40.6,EF2.10.6,FD1.80.6,
AB 4
BC 3.5 CA 3
DEEFFD. AB BC CA
∴ △ABC∽ △DEF.
证明：∵
AB 6 1， AB 18 3
BC BC
8 24
1， AC 3 AC
10 30
1，
3A
∴ AB BC AC，
AB BC AC
B
C
∴ △ABC ∽△A′B′C′
A′
（三边成比例的两个三角形相似)．
B′
C′
3.如图，某地四个乡镇建有公路，已知AB=14千米，AD=28 千米， BD=21千米， BC=42千米,DC=31.5千米，公路AB与 CD平行吗？说出你的理由.
A B 4 ,B C 1 0 ,A C 2 ; AB AC BC 22.
AB AC BC 1 △ABC与△ABC相似.
205.北师大版九年级数学上册4.4 第3课时 利用三边判定三角形相似-教案
4.4探索三角形相似的条件第3课时利用三边判定三角形相似教学目标1.掌握相似三角形的判定定理3；2.能熟练运用相似三角形的判定定理3.教学重难点【教学重点】判定定理3【教学难点】判定定理3的应用课前准备课件.教学过程一、情景导入如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？二、合作探究探究点一：三边成比例的两个三角形相似已知△ABC的三边长分别为1，2，5，△DEF的三边长分别为10，2，2，试判断△ABC与△DEF是否相似.解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角形是否相似.解：因为12＝22＝510，所以△ABC与△DEF相似.方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.探究点二：相似三角形的判定定理3的应用如图所示，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由.解析：要说明∠B＝∠AED，只需要得到△ABC∽△AED，根据三边成比例的两个三角形相似可证得△ABC∽△AED.解：∠B＝∠AED.理由如下：由题意，得AB＝AD＋BD＝3＋15＝18，AC＝AE＋CE＝6＋3＝9，AC AD＝93＝3，ABAE＝186＝3，CBDE＝155＝3，所以ACAD＝ABAE＝CBDE，故△ABC∽△AED，所以∠B＝∠AED.方法总结：证明两角相等，可通过证明对应的两个三角形相似而得到，给出的已知条件以边为主时，首先考虑使用“三边成比例”的判定条件.如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是哪一个图形？解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断乙图中的三角形与△ABC是否相似.解：由甲图可知AC＝12＋12＝2，BC＝2，AB＝12＋33＝10.同理，图①中，三角形的三边长分别为1，5，22；同理，图②中，三角形的三边长分别为1，2，5；同理，图③中，三角形的三边长分别为2，5，3；同理，图④中，三角形的三边长分别为2，5，13.∵21＝22＝105＝2，∴图②中的三角形与△ABC相似.方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.三、板书设计相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.四、教学反思从学生已学的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定定理（SSS）的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识和品质.初中数学公式大全1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形21平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形22平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形23平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形24矩形性质定理1矩形的四个角都是直角25矩形性质定理2矩形的对角线相等26矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形27矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形28菱形性质定理1菱形的四条边都相等29菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形32菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形33正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等34正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35定理1关于中心对称的两个图形是全等的36定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第4节探索三角形相似的条件第3课时用三边关系判定两三角形相似
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(3)解：如图，连接 P2 P5， P2 P4， P4 P5，则△ P2 P4 P5
(2)判断△ ABC 和△ DEF 是否相似，并说明理由；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(2)解：△ ABC 和△ DEF 相似.
理由：根据勾股定理，得 DE ＝4 ， DF ＝2 ，
EF ＝2 .∴
＝ ＝ ＝
.
∴△ ABC ∽△ DEF .
1
2
3
4
5
6
7
8
则不同的截法有(
B
A. 一种
B. 二种
C. 三种
D. 四种
1
2
3
)
4
5
6
7
8
9
10
11
9. 如图，已知点 E 是四边形 ABCD 内一点，连接 AC ， EB ，
EC ， ED ，满足
＝ ＝ .
(1)求证：∠ DCA ＝∠ ECB ；
(1)证明：∵ ＝ ＝ ，∴△ DEC ∽△ ABC .
5， DE ＝15， DF ＝25.求证：△ ABC ∽△ DEF .
证明：∵∠ B ＝90°， AB ＝6， BF ＝3， CF ＝5，
∴ BC ＝ BF ＋ FC ＝3＋5＝8.∴ AC ＝ ＋ ＝10.
∵∠ E ＝90°， DE ＝15， DF ＝25，
北师大版九年级数学上册 4.4.3三边成比例的判定方法 导学案(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章 4.4.3三边成比例的判定方法 导学案1、预习目标三边成比例的两个三角形相似．如图，已知在△ABC 和△DEF 中，AB DE ＝AC DF ＝BC EF，则△ABC ∽△DEF.2、课堂精讲精练【例1】网格图中每个方格都是边长为1的正方形，A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，求证：△ABC ∽△DEF.证明：∵AC ＝2，AB ＝4，BC ＝10，EF ＝210，DF ＝22，DE ＝8，∴AC DF ＝AB DE ＝BC EF ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.【跟踪训练1】已知△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A 1B 1C 1的两边长分别为1，3，要使△A 1B 1C 1∽△ABC ，那么△A 1B 1C 1【跟踪训练2】如图，图中的每个点(包括△ABC 的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P ，Q ，G ，H 中找一个点，使它与点D ，E 构成的三角形与△ABC 相似，这个点可以是Q 或G ．(写出满足条件的所有的点)【例2】如图，已知AB AD ＝BC DE ＝AC AE，求证： (1)∠BAD ＝∠CAE ；(2)△ABD ∽△ACE.证明：(1)∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE， ∴△ABC ∽△ADE.∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE.(2)∵∠BAD ＝∠CAE ，AB AD ＝AC AE， ∴AB AC ＝AD AE.∴△ABD ∽△ACE. 【跟踪训练3】如图，已知AD AC ＝DE AB ＝AE BC.求证： (1)AB ＝AE ；(2)AD 2＝DE ·CD.证明：(1)∵AD AC ＝DE AB ＝AE BC， ∴△ADE ∽△CAB.∴∠AED ＝∠B.∴AB ＝AE.(2)∵△ADE ∽△CAB ，∴∠DAE ＝∠ACB.又∵∠ADE ＝∠CDA ，∴△ADE ∽△CDA.∴AD CD ＝DE AD.∴AD 2＝DE ·CD.3、课堂巩固训练1．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(C)A ．①② B.②③ C ．①③ D ．②④2．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边分别是4，5，6，另一个三角形框架的一边是2，怎样选料可使这两个三角形相似？你选的木料唯一吗？解：①当边长为2的边的对应边的长为4时，则4∶2＝2∶1，∴另一个三角形对应的三边的长分别为2，2.5，3；②当边长为2的边的对应边的长为5时，则5∶2＝2.5∶1，∴另一个三角形对应的三边的长分别为1.6，2，2.4；③当边长为2的边的对应边的长为6时，则6∶2＝3∶1，∴另一个三角形对应的三边的长分别为43，53，2. ∴可选木料有三种方案．。
2023年北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第4节第三课时利用三边判定三角形相似
➢ 定义法：三角分别相等，三边成比例的两个三角形相似. ➢ 定理 1：两角分别相等的两个三角形相似.
➢ 定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
课时A计划
课程讲授
新课推进
探究1：相似三角形的判定定理3
我们接着来考虑增加的条件是“另两边成比例”的问题.
问题1：有两边对应成比例的两个三角形相似吗?
3
3
5
5
不相似
课时A计划
课程讲授
新课推进
问题2：类比三角形全等的判定方法（SSS），猜想 可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
3
3
5
5
边相等？
课时A计划
课程讲授
新课推进
画 △ABC 和 △A′B′C′，使 A' B' B'C' A' C' ， AB BC AC
动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？
∴ △ABC∽△EFD.
课时A计划
习题解析
习题4 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米， 公路AB与 CD 平行吗？说出你的理由.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴ AB AD = BD = 2， BD BC DC 3
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
28 A
14 B
D
31.5 21
42
C
课时A计划
课程总结
小结
这节课我们学习了哪些知识？
判定定理三：三边成比例的两个三角形相似.
A' A
【北师大版】九上数学第导学案：4.4 第3课时 利用三边判定三角形相似
第3课时 利用三边判定三角形相似学习目标：1、掌握并会推导相似三角形的判定定理3.2、会用相似三角形的判定定理1、2、3进行一些简单的判断、证明和计算.学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理3证明和解决有关问题．预设难点：相似三角形的判定定理3的推导和应用.【预习案】一、链接1、回忆相似三角形的判定定理1、2的内容.定理1可简单说成： .定理2可简单说成： .2、简单说一说相似三角形的判定定理1、2的证明过程.二、导读结合课本和相似三角形的判定定理1、2的证明过程写一写相似三角形的判定定理3的证明过程.【探究案】【合作学习】画△ABC 与△A ′B ′C ′，使B A AB ''、C B BC ''和A C CA ''都等于给定的值k . （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小；（2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由.改变k 值的大小，再试一试.判定方法3：例1： 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD =BC DE =AC AE，∠BAD=20°，求∠CAE 的度数.例2．如图，在正方形网格上有两个三角形111C B A 和，求证：△111C B A ∽△222C B A【训练案】1、如图，要使△ADE ∽△ABC ，只给出一个条件 即可.2、已知ΔABC 与ΔDEF 相似,AB=2,AC=10,BC=2,DE=1,DF=5,求EF 的长.（注意多种情况）3、如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q.（1）请写出图中相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP:PQ:QR .。
最新北师大版九年级数学上册：4.4.3-利用三边判定三角形相似教案(2)
第3课时 利用三边判定三角形相似
●教学目的: 使学生掌握三角形相似的判定定理3和它的应用．
●教学重点： 判定定理3
●教学难点： 判定定理3的应用
●教学过程：
一、复习：
1.判定三角形相似目前有哪些方法？
2.回忆三角形相似判定定理1和2的证明的方法．
二、新授
（一）导入新课
三角形全等的判定中AA S 和ASA 对应于相似三角形的判定的判定定理1，SAS 对应于相似三角形的判定的判定定理2，那么SSS 对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本节研究的内容．（板书）
（二） 做一做
画△ABC 与△A ′B ′C ′，使B A AB ''、C B BC ''和A
C CA ''都等于给定的值k . （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小；
（2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由.
改变k 值的大小，再试一试.
定理3：三边:成比例的两个三角形相似．
（三）例题学习
例：如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD =BC DE =AC AE
，∠BAD=20°，求∠CAE 的度数.
解：∵AB AD =BC DE =AC AE
， ∴△ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC，
即∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
三、巩固练习
四、小结
本节学习了相似三角形的判定定理3，使用时一定要注意它使用的条件．五、作业：
板书设计：
教学后记：。
北师大版九年级数学上册 第四章 图像的相似 4.4 第3课时 利用三边判定三角形相似 【名校课件+集体备课】
否
新课进行时
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′ = 90°，且 A' B' A' C' 1 . 求证：△ A′B′C′∽△ABC.
AB AC 2
证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′，
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2
新课进行时
典例精析
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
A
4
B
2.4 D
E
1.8
2.1 F
新课进行时 C
3
3.5
A
4
B
2.4 D
E
1.8
2.1 F
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中，
DE > EF > FD.
∵ DE 2.4 0.6，EF 2.1 0.6，FD 1.8 0.6，
－
4∴AB′CC′=22=B′4C′(，A′BB′'
C2－' A′1C′ 2
A) =' B4'
B′CA′
2
'C
=' .
(
2
B′C′
)2.
BC 2 AB AC
∴ △ A′B′C′∽△ABC. (三边对应 成比例的两个三角形相似)
新课进行时
例3 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， AB BC AC . AD DE AE
答案：不相似.
随堂演练
5. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3课时 利用三边判定三角形相似
学习目标：
1、掌握并会推导相似三角形的判定定理3.
2、会用相似三角形的判定定理1、2、3进行一些简单的判断、证明和计算.
学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理3证明和解决有关问题．
预设难点：相似三角形的判定定理3的推导和应用.
【预习案】
一、链接
1、回忆相似三角形的判定定理1、2的内容.
定理1可简单说成： . 定理2可简单说成： .
2、简单说一说相似三角形的判定定理1、2的证明过程.
二、导读
结合课本和相似三角形的判定定理1、2的证明过程写一写相似三角形的判定定理3的证明过程.
【探究案】
【合作学习】
画△ABC 与△A ′B ′C ′，使B A AB ''、C B BC ''和A C CA '
'都等于给定的值k . （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小； （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由. 改变k 值的大小，再试一试.
判定方法3：
例1： 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD =BC DE =AC AE
，∠BAD=20°，求∠CAE 的度数.
例2．如图，在正方形网格上有两个三角形111C B A 和222C B A ，
求证：△111C B A ∽△222C B A
【训练案】
1、如图，要使△ADE ∽△ABC ，只给出一个条件 即可.
2、已知ΔABC 与ΔDEF 相似,AB=2,AC=10,BC=2,DE=1,DF=5,求EF 的长.（注意多种情况）
3、如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q.
（1）请写出图中相似三角形（相似比为1除外）；
（2）求BP:PQ:QR .
初中数学公式大全
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12 两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理三角形两边的和大于第三边
16 推论三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角
25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等
26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形
27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形
28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等
29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷2
31 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
34 正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。