湖南六大名校2010届高三数学高考模拟仿真联考 理 新人教版

数学试题（理科）注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。

2．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作答无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若R a ∈，则1=a 是复数i a a z )1(12++-=是纯虚数的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优范围缩小为原来的（ ）A ．0.618B ．0.6183C ．0.6184D ．0.61853．已知集合T S P T S Z x x x x T a S ⋃==⋂∈<-==},1{},,03|{},,3{2，那么集合P的子集个数是（ ）A ．32B ．16C ．8D ．44．如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 （ ）A ．4B ．3C ．32D ．25．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE:EC=2：3，连接AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则=∆∆∆ABF EBF DEF S S S ::（ ）A ．4：10：25B ．4：9：25C ．2：3：5D ．2：5：256．已知0||2||≠=b a ，且关于x 的函数师大附中 长沙市一中 常德市一中岳阳市一中 湘潭市一中 株洲市一中2010届高考模拟仿真联考bx a x a x x f ⋅++=23||2131)(在R上有极值，则a 与b 的夹角范围为（ ）A ．)6,0(π B ．],6(ππC ．],3(ππD ．]32,3(ππ7．过定点P （1，2）的直线在x 轴与y 轴正半轴上的截距分别为b a ,，则224b a +的最小值为（ ）A ．8B ．32C ．45D ．728．已知10<<a ，则方程|log|||x a ax =的实根个数为n ，且11111010221011)2()2()2()2()1()1(+++++++++=+++x a x a x a x a a x x n，则=1a （ ）A ．9B ．-10C ．11D ．-12二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

把答案填在答题卷中对应题号后的横线上。

9．已知某正态分布的概率密度曲线),(,21)(222)(+∞-∞∈⋅=--x e x f x σμσπ的图象如右，则函数的解析式为=)(x f 。

10．已知某曲线的参数方程为t t y tx (232⎩⎨⎧+=-=为参数），若将极点与 原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合， 则该曲线的极坐标方程是 。

11．设)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若132)2(,1)1(+-=>a a f f ，则实数a 的取值范围是 。

12．已知命题"024,,:"1=+-∈∃∈∀+m R m R x p x x使对，若命题p ⌝是假命题，则实数m 的取值范围是 。

13．请阅读右边的算法流程图：若)18sin 18(cos 22︒-︒=a ，128cos 22-︒=b ，{ks5u007}.16cos 16sin 2︒︒=c则输出的应该是 。

（填c b a ,,中的一个）14．在区间[-1，1]上任取两数b a ,，则二次方程02=++b ax x 的两根都是正数的概率是 。

15．一个计算装置有两个数据入口I 、Ⅱ与一个运算 结果输出Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数n m ,时，输出结果记为),(n m f ，且计算装置运算原理如下：（1）若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则1)1,1(=f ；②若Ⅰ输入固定的正整数，输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入固定的正整数n ，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍 。

则=)1,(m f ，满足2010),(=n m f 的平面上的点),(n m 的个数是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本题满分12分） 某工厂2010年第一季度生产的A 、B 、C 、D 四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加四月份的一个展销会： （1）问A 、B 、C 、D 型号的产品各抽取多少件？（2）从50件样品随机的抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号产品的概率； （3）从A 、C 型号的产品中随机的抽取3件，用ξ表示抽取A 种型号的产品件数，求ξ的分布列和数学期望。

17．（本题满分12分） 已知A 、B 、C 是三角形ABC 的三内角，且),sin sin ,sin (sin C B A B m --=)sin ,sin (sin C A B n -+=，并且.0=⋅n m（1）求角A 的大小。

（2）)(,2cos32cos2sin22sin )(22B f B B B B B f 求++=的递增区间。

18．（本题满分12分）在直角梯形PBCD 中，4,2,2====∠=∠PD CD BC C D π，A 为PD 的中点，如下左图。

将PAB ∆沿AB 折到SAB ∆的位置，使BC SB ⊥，点E 在SD 上，且SD SE 31=，如下右图。

（1）求证：⊥SA 平面ABCD ；（2）求二面角E —AC —D 的正切值；（3）在线段BC 上是否存在点F ，使SF//平面EAC ？若存在，确定F 的位置， 若不存在，请说明理由。

19．（本题满分13分）为加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车，今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动车型车每年比上一年多投入a 辆。

（1）求经过n 年，该市被更换的公交车总数)(n S ； （2）若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值。

20．（本题满分13分）已知函数)(,2sin )(2R b x b x x f ∈-+=，且对任意R x ∈，有).()(x f x f =-（1）求b 。

（2）已知x a x x f x g ln )1(2)()(+++={ks5u007}在区间（0，1）上为单调函数，求实数a 的取值范围。

（3）讨论函数k x f x x h --+=)(21)1ln()(2的零点个数？21．（本题满分13分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的左、右焦点分别为F 1与F 2，直线1-=x y 过椭圆的一个焦点F 2且与椭圆交于P 、Q 两点，若PQ F 1∆的周长为24。

（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 22变成曲线C '，直线m kx y l +=:与曲线C '相切且与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，若4332,≤≤=⋅λλ且OB OA ，求O A B ∆面积的取值范围。

（O 为坐标原点）参考答案1—4CBCC 5—8ACBA 9．322241xe-π10．θρθρsin cos 2+ 11．)32,1(-12．1≤m13．b 14．48115．13-m ；616．（1）从条表图上可知，共生产产品有50+100+150+200=500（件）， 样品比为10150050=所以A 、B 、C 、D 四种型号的产品分别取15150101,550101,20200101,10100101=⨯=⨯=⨯=⨯即样本中应抽取A 产品10件，B 产品20件，C 产品5件，D 产品15件。

（3分）（2）从50件产品中任取2件共有1225250=C 种方法，2件恰为同一产品的方法数为35021525220210=+++C C C C 种，所以2件恰好为不同型号的产品的概率为.7512253501=-{ks5u007} （6分）（3）912)0(31535===CC P ξ9120)1(31525110=⋅==CC C P ξ9145)2(31515210=⋅==C C C P ξ9124)3(315310===CC P ξ （10分）所以ξ的分布列为 ξ123P 912 9120 9145 9124……11分.291243914529120=⨯+⨯+=ξE 12分17．（1）由0=⋅n m 得0)sin (sin sin )sin )(sin sin (sin =--+-C B C A B A B 即0sinsin sin sinsin222=+--C C B A B （2分）由正弦定理得0222=++-c bc a b即bc a c b =-+222 （4分）由余弦定理得212cos 222=-+=bcac b A又π<<A 0，所以.3π=A （6分）（2）2cos 13sin 2cos 1)(BB BB f +⨯++-=2sin cos ++=B B,2)4sin(2++=πB （8分）因为32π=+C B ，且B ，C 均为ABC ∆的内角，所以320π<<B ， 所以121144πππ<+<B ，又244πππ≤+<B ，即40π≤<B 时，)(B f 为递增函数，即)(B f 的递增区间为].4,0(π（12分）18．解法一：（1）证明：在上左图中，由题意可知， ABCD PD BA ,⊥为正方形，所以在上右图中，2,=⊥SA AB SA ， 四边形ABCD 是边长为2的正方形， 因为BC SB ⊥，AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面SAB ， （2分） 又⊂SA 平面SAB ， 所以BC ⊥SA ， 又SA ⊥AB ，所以SA ⊥平面ABCD ， （4分）（2） 在AD 上取一点O ，使AD AO 31=，连接EO 。

因为SD SE 31=，所以EO//SA所以EO ⊥平面ABCD ，过O 作OH ⊥AC 交AC 于H ，连接EH ， 则AC ⊥平面EOH ， 所以AC ⊥EH 。

所以EHO ∠为二面角E —AC —D 的平面角，.3432==SA EO在AHO Rt ∆中， .32223245sin ,45=⨯=︒⋅=︒=∠AO HO HAO22tan ==∠OHEO EHO ，即二面角E —AC —D 的正切值为.22 （9分）（3）当F 为BC 中点时，SF//平面EAC ， 理由如下：取BC 的中点F ，连接DF 交AC 于M ， 连接EM ，AD//FC ， 所以21==ADFC MDFM ，又由题意21=EDSESF//EM ，又⊄SF 平面EAC ，所以SF//平面EAC ，即当F 为BC 的中点时，SF//平面EAC （12分）解法二：（1）同方法一 （4分）（2）如图，以A 为原点建立直角坐标系， A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），S （0，0，2），E （0，34,32）易知平面ACD 的法向为)2,0,0(=AS设平面EAC 的法向量为),,(z y x n =)34,32,0(),0,2,2(==AE AC由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE n AC n ，所以⎩⎨⎧=+=+020z y y x ，可取⎪⎩⎪⎨⎧=-==122z y x所以).1,2,2(-=n （7分）所以31322||||,cos =⨯=⋅>=<AS n AS n AS n所以22,tan >=<AS n即二面角E —AC —D 的正切值为.22 （9分）（3）设存在BC F ∈， 所以SF//平面EAC ， 设)0,,2(a F所以)2,,2(-=a SF ，由SF//平面EAC ， 所以0=⋅n SF ，所以=--224a 0，即1=a ，即F （2，1，0）为BC 的中点 （12分）19．（1）设n n b a ,分别为第n 年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量， 依题意，}{n a 是首项为128，公比为1+50%=23的等比数列，}{n b 是首项为400，公差为a 的等差数列，}{n a 的前n 项和].1)23[(256231])23(1[128-=--⨯=n nn S}{n b 的前n 项和a n n n T n 2)1(400-+= 所以经过n 年，该市更换的公交车总数为：.2)1(400]1)23[(256)(a n n n T S n S n n n -++-=+= （7分）（2）若计划7年内完成全部更换， 所以10000)7(≥S所以100002677400]1)23[(2567≥⨯+⨯+-a即308221≥a ，所以2116146≥a又*N a ∈，所以a 的最小值为147。