3.6 带电粒子在匀强磁场中的运动 学案1

3.6 带电粒子在匀强磁场中的运动 学案1
【学习目标】能解决极值、多解问题
【自主学习】
一、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题：
注意下列结论，再借助数学方法分析：
1、刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

2、当速度v 一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

3、注意圆周运动中有关对称规律：
如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。

二、洛仑兹力的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面。

（1）带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解。

（2）磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑感应强度方向不确定而形成的多解。

（3）临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成了多解。

（4）运动的重复性形成多解
带电粒子在部分是电场，部分是磁场空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解。

【典型例题】
1、求带电粒子在有界磁场中运动的速度
例1、如图所示，宽为d 的有界匀强磁场的边界为PQ 、MN ，一
个质量为m ，带电量为-q 的微粒子沿图示方向以速度v 0垂直射入磁
场，磁感应强度为B ，要使粒子不能从边界MN 射出，粒子的入射速
度v 0的最大值是多大？
解析：为了使带电粒子入射时不从边界MN 射出，则有临界轨
迹与MN 相切，如图所示。

设粒子做圆周运动的轨道半径为R ，则有
Bqv 0=m R
v 20，由几何关系得Rcos60°+R=d ，解得入射粒子的最大速度v 0=m
3dBq 2。

2、求带电粒子通过磁场的最大偏转角
例2、如图所示，r=10cm 的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y 轴在坐标O 处相切，磁感应强度B=0.332T ，方向垂直纸面向外，在O 处有一放射源S ，可沿纸面向各个方向射出速
率均为v=3.2×106m/s 的α粒子，已知m a =6.64×10-27kg ，q=3.2×10-19C ，则α粒子通过磁场
最大偏转角等于多少？
解析：设粒子在洛伦兹力作用下的轨道为R ，则有 Bqv=m R
v 20，所以R=0.2m ， 在图中，虽然α粒子进入磁场的速度方向不同，但入射点及轨道半径是确定的，若使粒子飞出磁场有最大偏转角，应使粒子在磁场走过圆弧最长，或对应的弦最长。

显然最大弦长为磁场圆的直径，如图所示，由几何关系得sin 2
1R r ==β，所以最大偏转角等于2β=60°。

例3、某电子以固定的正电荷为圆心在匀强磁场中做匀速圆周运动，磁场方向垂直它的运动平面，电子所受电场力恰是磁场对它的作用力的3倍，若电子电荷量为e ，质量为m ，磁感应强度为B ，那么，电子运动的可能角速度是（ ）
A 、4eB/m
B 、3 eB/m
C 、2 eB/m
D 、eB/m
解析：由于本题中没有明确磁场方向和电子的环绕方向，所以电子受洛伦兹力的方向有两种可能，一种可能是F 电与F 洛′同时指向圆心，如图（1）、（2），另一种是F 洛′背离圆心，如图（3）、（4），所以此题必有两个解。

在（1）、（2）情况下：
∵F+F ′=m 2ωr ，又F=3F ′=3evB
∴4evB=m 2ωr
又∵v=ωr ∴m
eB 4=ω 在图（3）、（4）情况下
F- F ′=m 2ωr ，又F=3F ′=3evB
∴2evB=m 2ωr 又∵v=ωr ∴m
eB 2=ω 正确答案：AC
【针对训练】
1、如图所示，环状匀强磁场围成的中空区域内具有自由运动的带电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘，设环状
磁场的内半径R 1=0.5m ，外半径R 2=1.0m ，磁场的磁感应强度B=1.0T ，若被束缚的带电粒子的荷质比为=m
q 4×107C/kg ，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度。

试计算：
（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大
速度；
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。

2、M 、N 两极板相距为d ，板长均为5d ，两板未带电，
板间有垂直纸面的匀强磁场，如图所示，一大群电子沿平行
于板的方向从各处位置以速度v 射入板间，为了使电子都不
从板间穿出，求磁感应强度B 的范围。

3、如图所示一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B ，垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad 边的中点O 处，垂直磁场射入一速度方向与ad 边夹角30°，大小为v 0的带正电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为l ，重力影响不计。

（1）试求粒子能从ab 边上射出磁场的v 0的大小范围。

（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少？
4、图为氢原子核外电子绕核作匀速圆周运动（逆时针方向）的示意图，电子绕核运动可等效地看作环形电流。

设此环形电流在通过圆心并垂直圆面的轴线上一点P 处产生的磁感强度的大小为B 1，现在沿垂直于轨道平面的方向加一磁感强度B 0的外来磁场，这时设电子的轨道半径没变，而它的速度发生变化。

若用B 2表示此时环形电流在P 点产生的磁感强度大小，则B 0的方向（ ）
A 、垂直于纸面向里时，
B 2＞B 1
B 、垂直于纸面向外时，B 2＞B 1
C 、垂直于纸面向里时，B 2＜B 1
D 、垂直于纸面向外时，B 2＜B 1
【学后反思】
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参考答案：
1、解析：（1）若粒子沿半径方向射入磁场，设运行半径为r ，由qvB=r mv 2
得v=m qvB ，由此可见要使速度最大，只需半径最大即可。

当运动轨迹恰好与外圆相切时（如图所示）
半径最大，由图中的几何关系得
R 12+r 2=(R 2-r)2
联立上面的速度表达式并代入数据可得v=1.5×107m/s 。

此速度即为沿环状半径方向射入的粒子不能穿越磁场的最大速度。

（2）粒子沿内圆切线方向射入磁场，轨迹与外圆相切，此时
轨迹半径r ′最短（如图所示），则有
m 25.02
R R r 12=-=' 要使所有粒子都不能穿越磁场区域，必须满足r qB
v m '≤' 代入数据得0.1m
qB r v ='≤'×107m/s ，即为所有粒子都不能穿越磁场的最大速度。

方法指导：带电粒子在有界磁场中运动的极值问题：
注意下列结论，再借助数学方法分析：
（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切
（2）当速度v 一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长
（3）注意圆周运动中有关对称规律：
如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿经向射入的粒子，必沿径向射出。

2、解析：要使电子都不从板间穿出，只要靠近上板的电
子不能射出，便满足要求。

临界轨迹如图。

洛仑兹力提供向心力 qvB=R
mv 2
，故： B=qR
mv 圆心为O 1时，R 1=
2d ，此时B 1=qd mv 2 圆心为O 2时，R 22=(R 2-d)2+(5d)2，得R 2=13d
此时B 2=qd
13mv 那必须满足：R 1≤R ≤R 2 也就是qd 13mv ≤B ≤qd
mv 2 3、简析：（1）找临界轨迹如图，因入射方向确定，圆心定都在一条线上，轨迹与ab 边相切时，圆心为O 1，R 1=
2L -R 1cos60°，得R 1=3
L ，轨迹与cd 边相切时，圆心为O 2 由几何知识得：
R 2=L 30cot 30cos 2L
=⋅
又：R=qB mv 0，得：v 0=m
qBR
故范围：m
qBL v m 3qBR 0≤< （2）经分析由ad 边射出的粒子时间相等且最长 T=
qB m 2π 圆心角θ=360°-60°=300°
所以t=qB
3m 5T 360300π=
4、BC。