2.2动力学法测弹性模量
拉伸法和动力学法测量弹性模量-实验报告
拉伸法和动力学法测量弹性模量实验报告双33A组石健2007010241实验日期：2008年12月17日第一部分拉伸法测弹性模量1.1实验目的(1)学习用拉伸法测量弹性模量的方法；(2)掌握螺旋测微计和读数显微镜的使用；(3)学习用逐差法处理数据。
1.2实验原理1.2.1 弹性模量及其测量方法本实验讨论最简单的形变——拉伸形变，即棒状物体（或金属丝）仅受轴向外力作用而发生伸长的形变（称拉伸形变）。
设有一长度为L，截面积为S的均匀金属丝，沿长度方向受一外力F后金属丝伸长δL。
单位横截面积上的垂直作用力F/S成为正应力，金属丝的相对伸长δL/L称为线应变。
实验结果指出，在弹性形变范围内，正应力与线应变成正比，即F S =EδLL该规律称为胡克定律。
式中比例系数E=F/S δL/L称为材料的弹性模量。
它表征材料本身的性质，E越大的材料，要使他发生一定的相对形变所需的单位横截面积上的作用力也越大。
一些常用材料的E值见表1。
E的单位为Pa（1Pa=1N/m2；1GPa=109Pa）。
表1 一些常用材料的弹性模量本实验测量的是钢丝的弹性模量，如果测得钢丝的直径为D，则可以进一步把E写成：E=4FL πD2δL测量钢丝的弹性模量的方法是将钢丝悬挂于支架上，上端固定，下端加砝码对钢丝施力F，测出钢丝相应的伸长量δL，即可求出E。
钢丝长度L用钢尺测量，钢丝直径D用螺旋测微计测量，力F由砝码的重力F=mg求出。
实验的主要问题是测准δL。
δL一般很小，约10−1mm数量级，在本实验中用读数显微镜测量（也可利用光杠杆法或其他方法测量）。
为了使测量的δL更准确些，采用测量多个δL 的方法以减少测量的随机误差，即在钢丝下端每加一个砝码测一次伸长位置，逐个累加砝码，逐次记录伸长位置。
通过数据处理求出δL。
1.2.2 逐差法处理数据如果用上述方法测量10次得到相应的伸长位置y1,y2,…,y10，如何处理数据，算出钢丝的伸长量δL呢？我们可以由相邻伸长位置的差值求出9个δL，然后取平均，则δL=(y2−y1)+(y3−y2)+⋯+(y10−y9)9从上式可以看出中间各y i都消去了，只剩下y10−y19⁄，用这样的方法处理数据，中间各次测量结果均未起作用。
动力学法测弹性模量实验报告
《动力学法测弹性模量》实验报告一、实验原理棒横振动的动力学方程为04422=∂∂+∂∂x S EI t ηρη 对于用细线悬挂起来的棒，其边界条件为()()()()00000022223333====dxl X d dx X d dx l X d dx X d解之，得到棒作基频振动的固有频率Sl EI44730.4ρω=于是，弹性模量232243108870.7109978.1f Im l I Sl E --⨯=⨯=ωρ上式中，lS m ρ=是棒的质量，f 为棒的基振频率。
对于直径d 为的圆棒，惯量矩6442d dS z I Sπ==⎰⎰代入上式得：12436067.1T f dm l E =其中，Ｔ１为修正系数，以解决实验中不能满足d 远小于l 的问题。
二、实验步骤1. 连接线路（见下页图）。
2. 测量被测样品的长度、直径（6次）及质量。
3. 测样品的弯曲振动基频频率。
由于悬线无法在节点处激发共振，所以采用下面的方法：在基频节点处正负30mm 范围内同时改变两悬线位置，每隔5mm ——10m 测一次共振频率。
画出共振频率和悬线的位置关系曲线。
实验装置三、数据表格1． 不同悬点的基振频率其中，f 为黄铜棒的基频共振频率；x 为悬线 和棒短点的距离。
由此可画出f-x 曲线（见附图）。
于是得到基振节点位置x=40.7㎜，基振频率为f=440.6Hz 。
2． 测量棒的质量、长度、直径 棒的质量 m= 49.8 g定螺旋测微计的零点d ’（单位㎜）测量前 -0.015 ， -0.015 ， -0.013 ；测量后 -0.021 ， -0.014 ， -0.021 。
平均值d ’= -0.016 ㎜黄铜棒的直径d= 5.991 ㎜ s d = 0.0024 ㎜３．计算Ｅ根据上述结果并查得T 1=1.0046，于是有GPa T f dm l E 8.1126067.11243==４．计算不确定度GPaE GPa EEEE f d m l E E m ms m mg Hz f d m l d d l m f 6.08.1126.00052.06.4401.02991.5005.048.492.039.21002.03243005.002.02.01.02222222222±==∆=∆∴=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=∆=+∆=∆=∆=∆=∆仪。
2.2动力学法测弹性模量
利用E的计算公式：
得到：
5.总不确定度计算
由计算公式推导出E的相对不确定度的公式
实验室给出 ， ， ， 项按上述数据处理过程所得值代入，计算出
结论：动力学法可以测量黄铜棒的弹性模量，由于实验中利用作图方法确定基频振动频率，又利用实验方法修正系统误差，因此实验的不确定度比拉伸法要小很多，在准确度上有了很大的提高。
而由公式 可知，测量值 对实验不确定度的影响比测量值 大很多，因此在实验过程中，要特别注意测量值 的准确性。
九、实验感受与收获
通过这次实验，我学习了一种更实用、更准确的测量弹性模量的方法。通过与拉伸法测弹性模量的比较，我深刻的体验到了利用作图的方法和实验修正系统误差的方法，会极大地减小测量误差，使测量结果更准确。这次实验，我收益良多。
（2）测量被测样品的长度、直径及质量。质量测量用数显电子天平。本实验用的样品为黄铜棒。
（3）测样品的弯曲振动基频频率。
理论上，样品作基频共振时，悬点应置于节点处，即悬点应置于距棒的两端面分别为 和 处。但是，这种情况下，棒的振动无法被激发。欲激发棒的振动，悬点必须离开节点位置。这样，又与理论条件不一致，势必产生系统误差。故实验上采用下述方法测棒的弯曲振动基频频率：在基频节点处正负30mm范围内同时改变两悬线位置，每隔5mm~10mm测一次共振频率。画出共振频率与悬线位置关系曲线。有该图可准确求出悬线在节点位置的基频共振频率，其值约在几百赫兹量级。
清华大学实验报告
系别：机械工程系班号：机械72班姓名：车德梦（同组姓名：）
作实验日期2008年12月3日教师评定：
实验
一、
（1）学习一种更实用、更准确的测量弹性模量的方法；
（2）学习用实验方法研究与修正系统误差。
物理实验技术中的材料弹性模量测量与分析方法
物理实验技术中的材料弹性模量测量与分析方法引言：材料弹性模量是衡量材料力学性质的重要参数之一。
准确测量材料的弹性模量对于材料工程和科学研究具有重要意义。
本文将介绍物理实验技术中常用的材料弹性模量测量与分析方法。
一、绳振动法绳振动法是一种简单而常用的测量材料弹性模量的方法。
它基于弦线的简谐振动原理。
实验中，将被测材料制成一根细长的绳，并用两个夹子固定在实验装置上。
然后，通过施加外力使绳发生振动，观察振动的频率和振幅。
根据弦线的横波振动理论，可以通过调整外力大小和观测振动频率来计算材料的弹性模量。
二、悬臂梁弯曲法悬臂梁弯曲法是测量材料弹性模量的常用方法之一。
实验中，将被测材料加工成一根悬臂梁，并通过一端固定在实验装置上。
然后，施加力矩使悬臂梁发生弯曲，并测量悬臂梁的挠度和施加力矩大小。
根据悬臂梁的弯曲理论，可以通过挠度和力矩的关系来计算材料的弹性模量。
三、压缩法压缩法是一种常用的测量材料弹性模量的方法。
实验中，将被测材料放置在实验装置中，并施加一定的压缩力。
通过测量材料的应变和压缩力大小，可以计算材料的弹性模量。
压缩法适用于各种材料，但要求材料具有较好的可压缩性。
四、剪切法剪切法是一种特殊的测量材料弹性模量的方法。
实验中，将被测材料制成一块平面，并在其上施加一个剪切应力。
通过测量材料的剪切应变和剪切应力大小，可以计算材料的弹性模量。
剪切法适用于各种材料，特别适用于流体力学实验中。
五、共振频率法共振频率法是一种高精度测量材料弹性模量的方法。
实验中，将被测材料加工成一块薄膜，并固定在实验装置上。
然后，通过外部激励使薄膜共振，并测量共振的频率。
根据共振频率和材料的几何尺寸，可以计算材料的弹性模量。
共振频率法具有高度精确的测量结果，但其实验要求较高。
六、分子动力学模拟分子动力学模拟是一种基于计算机模拟的材料弹性模量测量方法。
利用分子动力学模拟软件，可以在计算机上模拟材料内部原子和分子的运动行为，并计算材料的弹性模量。
弹性模量的测定整理
弹性模量的定义及其相互关系材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系（即符合胡克定律），其比例系数称为弹性模量（Elastic Modulus ）。
弹性模量的单位是GPa 。
“弹性模量”是描述物质弹性的一个物理量，是一个总称，包括“杨氏模量”、“剪切模量”、“体积模量”等。
所以，“弹性模量”和“体积模量”是包含关系。
一般地讲，对弹性体施加一个外界作用（称为“应力”）后，弹性体会发生形状的改变（称为“应变”），“弹性模量”的一般定义是：应力除以应变。
线应变：对一根细杆施加一个拉力F ，这个拉力除以杆的截面积S ，称为“线应力”，杆的伸长量dL 除以原长L ，称为“线应变”。
线应力除以线应变就等于杨氏模量E=( F/S)/(dL/L)。
剪切应变：对一块弹性体施加一个侧向的力f （通常是摩擦力），弹性体会由方形变成菱形，这个形变的角度a 称为“剪切应变”，相应的力f 除以受力面积S 称为“剪切应力”。
剪切应力除以剪切应变就等于剪切模量G=( f/S)/a 。
体积应变：对弹性体施加一个整体的压强P ，这个压强称为“体积应力”，弹性体的体积减少量(-dV)除以原来的体积V 称为“体积应变”，体积应力除以体积应变就等于体积模量: K=P/(-dV/V)。
意义：弹性模量可视为衡量材料产生弹性变形难易程度的指标，其值越大，使材料发生一定弹性变形的应力也越大，即材料刚度越大，亦即在一定应力作用下，发生弹性变形越小。
弹性模量E 是指材料在外力作用下产生单位弹性变形所需要的应力。
它是反映材料抵抗弹性变形能力的指标，相当于普通弹簧中的刚度。
说明：弹性模量只与材料的化学成分有关，与其组织变化无关，与热处理状态无关。
各种钢的弹性模量差别很小，金属合金化对其弹性模量影响也很小。
泊松比（Poisson's ratio ），以法国数学家 Simeom Denis Poisson 为名，是横向应变与纵向应变之比值它是反映材料横向变形的弹性常数。
实验动态法测定弹性模量
实验一动态法测定弹性模量弹性模量是反映材料抵抗形变的能力、也是进行热应力计算、防热和隔热层计算、选用构件材料的主要依据。
精确测试弹性模量对强度理论和工程技术都具有重要意义。
弹性模量测定方法主要有三类：1．静态法<拉伸、扭转、弯曲）：该法通常适用于金属试样，在大形变及常温下测定。
该法载荷大，加载速度慢伴有弛豫过程，对脆性材料<石墨、玻璃、陶瓷）不适用、也不能完成高温状态下测定；2．波传播法<含连续波及脉冲波法）：该法所用设备虽较复杂，但在室温下很好用，由于换能器转变温度低及切变换能器价格昂贵，不易获得而受限制；3．动态法<又称共振法、声频法）：包括弯曲<横向）共振、纵向共振以及扭转共振法，其中弯曲共振法由于其设备精确易得，理论同实践吻合度好，适用各种金属及非金属<脆性材料）以及测定温度能在-180℃～3000℃左右进行而为众多国家采用。
本实验就是采用动态弯曲共振法测定弹性模量。
【实验目的】1.了解动态法测定弹性模量的原理，掌握实验方法；2.掌握外推法，会根据不同径长比进行修正，正确处理实验数据；3.掌握判别真假共振的基本方法及实验误差的计算；4.了解压电体、热电偶的功能，熟悉信号源及示波器和温控器的使用；5.培养综合使用知识和实验仪器的能力。
【实验仪器】动态弹性模量测定仪、功率函数信号发生器(5位数显、频率宽5～500KHz>、数显调节仪、悬挂测定支架及支撑测定支架、悬线、试样五根、激发-接收换能器、加热炉、高温悬线、声频放大器、听诊器、示波器。
【实验原理】对长度直径条件的细长棒，当其作微小横振动<又称弯曲振动）时，其振动方程为：<13-1）式中为竖直方向位移，长棒的轴线方向为，为试棒的杨氏模量，为材料密度，为棒横截面，为其截面的惯性矩，。
用分离变量法求解方程<13-1）的解，令<13-2）<13-2）式代入<13-1）式得，该等式两边分别是变量和的函数，只有等于一常数时才成立，设此常数为，则<13-3）<13-4）设棒中各点均作谐振动，这两个线性常微分方程的通解为：<13-5）(13-6>式<13-2）横振动方程的通解为：(13-7> 式中<13-8）该式通称频率公式。
动力学法测弹性模量实验报告
动力学法测弹性模量实验报告实验一：用动力学法测弹性模量实验目的：1.掌握用动力学法测弹性模量的基本原理和方法；2.了解实际材料的弹性特性和应力-应变关系。
实验器材：1.弹簧振子2.弹簧3.负载盘4.不锈钢丝5.拉力计6.密度砝码7.记录纸及钢尺8.电子计时器实验原理：弹性模量是材料的一种基本力学性质，其定义为单位面积内材料拉伸或压缩所产生的应力与应变之比。
常用的弹性模量有剪切模量、压缩模量和杨氏模量等。
本实验主要测量杨氏模量，通过测量钢丝振子在同样拉力作用下的振动周期，从而计算出杨氏模量。
实验步骤：1.将弹簧振子转换为竖直放置的状态，用螺母将拉力计固定在试验台上，并按照实验要求调整负载盘的高度；2.将电子计时器置于振动台下方，以方便记录测量数据；3.不断调整负载盘的负载，直到弹簧振子达到稳定振动；4.应根据所选取的$h$值，使用恒力法或恒周期法进行实验。
-对于恒力法，可以将振动台恒定在一定高度，固定负载盘的负载，同时测量弹簧振子下方的加速度，重复多次取平均值。
-对于恒周期法，通过调整负载盘的负载来改变振动自由振动的周期，并记录下来。
5.根据实验测量值，计算出弹簧振子的振动频率，并按照公式计算出杨氏模量。
实验结果与分析：通过实验测量的振动周期和负载，可以得到如下数据：$$\begin{align*}T_1 &= 0.42\,s, \quad F_1 = 20\,N \\T_2 &= 0.38\,s, \quad F_2 = 30\,N \\T_3 &= 0.34\,s, \quad F_3 = 40\,N \\T_4 &= 0.30\,s, \quad F_4 = 50\,N \\\end{align*}$$根据经典弹性理论，可以得到振动周期与弹性系数之间的关系：$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$其中，$T$为周期，$m$为弹簧的质量，$k$为弹性系数。
动力学共振法测定材料的弹性模量
动力学共振法测定材料的弹性模量
材料的弹性模量是材料力学的一个重要参量（举例），之前已用静态拉伸法测过，这学期我们用动态法测量，动态法是国家标准推荐方法，可进行变温测量。
（一）实验原理介绍
1 弹性模量描述材料自身弹性的物理量（工程应用）
2 理论推导可知E=1.6067L3mf4/d4（书后附录仔细阅读、推导）
L金属棒长度提问：本实验中怎样测量合理？（单次测量还是多次测量）
m 金属棒质量提问：本实验中怎样测量合理？（用什么工具测量，单次测量还是多次测量）
d 金属棒直径提问：本实验中怎样测量合理？（用什么工具测量，单次测量还是多次测量）
f 金属棒固有频率共振法测量
需明晰的概念-----提问、讨论
1. 测得的为共振频率，与固有频率有区别？
2. 基频？谐波？----我们测什么频率？----公式
3. 怎样测量共振频率？（假信号如何甄别----撤偶法、峰宽？、降低信号源电压等）
鼓励学生摸索、分析----意义！
④节点？内插法？如何测量？
（二）实验仪器介绍
信号发生器—>弹性模量测试台—>示波器
（各部分重要功能介绍，示波器可提问）
（三）实验内容及要求
1 测长度、质量、直径
2 测共振频率
3 内插法测共振频率
(四) 实验中注意事项
1 试样调扎方法
2 周期性的策动力不能过大（过大容易产生伪信号）
3 伪信号判断方法：听声音（十分尖锐），抬起棒，信号消失为真，否则为假。
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清 华 大 学 实 验 报 告
系别：机械工程系 班号：机械72班 姓名：车德梦 （同组姓名： ） 作实验日期 2008年 12月 3日 教师评定：
实验2.2 动力学法测弹性模量
一、 实验目的
（1）学习一种更实用、更准确的测量弹性模量的方法； （2）学习用实验方法研究与修正系统误差。
二、实验原理
通过一系列动力学计算解出细长棒的弹性模量
433
2
2
2
1.997810
7.887010l S
l m E f I I
ρω--=⨯=⨯ 上式中m 为棒的质量，m lS ρ=；f 为圆棒的基振频率。
对于直径为D 的圆棒，惯
量矩4
2
64
D I z dS π=
=
⎰⎰，代入上式得到本实验的计算公式：
3241.6067l m E f D
=
实际测量时，由于不能满足D
l ，此时上式应乘上一修正系数1T ，即
32
141.6067l m E f T D
=
1T 可根据D 的不同数值和材料的泊松比表得到。
三、实验装置
（1）信号发生器。
本实验用的是函数信号发生器，它能输出正弦波、方波、三角波、脉冲波等各种信号，输出信号幅度可调，频率分若干档，每档内均可连续调节。
（2）激振器。
激振器为电磁式。
包括永久磁铁、杯形铁芯、线圈、膜片和悬线等。
加永久磁铁的目的是为了使振动频率与线圈中电信号频率一致，否则将出现倍频现象。
（3）拾振器。
拾振器采用弯曲振动的压电换能器。
（4）示波器。
本实验用双踪示波器。
能同时观测两个波形的大小和频率，还能在示波器屏幕上以数字形式显示被测信号频率大小，并可达到0.01Hz的分辨率。
（5）游标卡尺和螺旋测微计。
四、实验任务
（1）连接线路，阅读信号发生器及示波器的有关资料，学习调节和使用方法。
（2）测量被测样品的长度、直径及质量。
质量测量用数显电子天平。
本实验用的样品为黄铜棒。
（3）测样品的弯曲振动基频频率。
理论上，样品作基频共振时，悬点应置于节点处，即悬点应置于距棒的两端面分别为0.224l和0.776l处。
但是，这种情况下，棒的振动无法被激发。
欲激发棒的振动，悬点必须离开节点位置。
这样，又与理论条件不一致，势必产生系统误差。
故实验上采用下述方法测棒的弯曲振动基频频率：在基频节点处正负30mm范围内同时改变两悬线位置，每隔5mm~10mm测一次共振频率。
画出共振频率与悬线位置关系曲线。
有该图可准确求出悬线在节点位置的基频共振频率，其值约在几百赫兹量级。
五、注意事项
（1）对悬线千万不要用力拉。
悬挂样品时，移动悬线位置时，对悬线不要给予冲击力，轻放轻动。
（2）交变电信号及相应测量仪器均有地线，一般黑色为地。
接线时要注意将信号发生器的地与示波器的地接在一起，即要共地。
（3）给激振器加正弦信号，幅度限制在5V~6V内（峰峰值）。
（4）在寻找共振点时，调节信号发生器频率要极其缓慢，到共振频率附近时一般应该用基频微调旋钮调节。
在共振时注意观察发射和接受信号之间的相位关系。
六、原始数据（见附页）
七、数据处理与作图
1. 测量铜棒长度和质量
l=；49.42g
209.90mm
m=
2. 测定钢丝直径
测定螺旋测微计的零点d（单位为mm）。
测量前0 , -0.005 , -0.006
测量后0 , -0.005 , -0.007
D=-
平均值0.004mm
D=
钢丝的平均直径 5.969mm
()
=-=--=
D D d
5.9690.004 5.973mm
D与平均值D及标准偏差公式
利用测量值
i
S=
D
得到：
S=
D
=
=
0.0012649mm
0.004mm
∆≈
仪
()()2
2
22D D 0.00126490.0040.004195S ∴∆=
+∆=+=仪
3. 绘制f x -曲线（f 为黄铜棒的基频共振频率，x 为悬线位置与棒端点的距离）
/mm x
24 28 32 36 40 55 59 /Hz f
444.08 443.35 442.35 441.74 441.17 441.30 441.65 /mm x
63 67 71 /Hz f
441.86
442.76
442.76
共振频率与悬线位置关系图
0.22447.02mm 47mm x l ==≈
∴由上图可得黄铜棒的基频共振频率：
441.05Hz f =
4. 计算E
利用E 的计算公式：
32
141.6067l m E f T D
=
得到：
32
141.6067l m E f T D
=
()()
()
()
3
332
4
3209.901049.4210=1.6067
441.05 1.00465.97310---⨯⨯⨯⨯⨯
111.12710Pa =⨯
5. 总不确定度计算
由计算公式推导出E 的相对不确定度的公式
E E ∆= 实验室给出0.10Hz f ∆=，0.02mm l ∆=，0.05g m ∆=，D ∆项按上述数据处理过程所得值代入，计算出
E E ∆=0.0030337=
111.12710Pa E =⨯
11110.0030337 1.127100.003410Pa E ∴∆=⨯⨯=⨯
()111.1270.00310Pa E ∴=±⨯
结论：动力学法可以测量黄铜棒的弹性模量，由于实验中利用作图方法确定基频振
动频率，又利用实验方法修正系统误差，因此实验的不确定度比拉伸法要小很多，在准确度上有了很大的提高。
八、误差分析
1. 测钢丝直径D 的误差分析
在测量黄铜棒直径时，由于黄铜棒直径不是完全均匀的，如果多次测量的距离太小，会增大测量误差。
为减小这部分误差，应尽可能使各测量点分散，并通过多次测量取平均
值来减小误差。
另外，由于螺旋测微计不对零，会引入系统误差，为减小这部分误差，应该在测量前后记录螺旋测微计的零点位置，并取平均值。
在计算黄铜棒直径时要在测量值中减去这个平均值。
2. 测量共振频率f 的误差分析
在寻找共振点时，如果调节信号发生器频率过快，会产生较大的偶然误差。
为减小这部分误差，应该尽可能缓慢的调节信号发生器的频率，并在共振频率附近时用频率微调旋钮进行调节。
如果在共振相位未稳定时进行读数，会引入一部分偶然误差。
因此在测量时，一定要在相位稳定后再读数。
另外，外界的信号干扰也同样会时共振相位发生改变，引入偶然误差，采取接地措施，会减少外界信号的干扰，但若是想得到更准确的测量值，应该在由信号屏蔽处理的环境下进行实验。
还有，由于示波器的信号频率显示不能足够准确，会引入系统误差，利用测量精度更高的示波器会减小这部分系统误差。
3. 讨论分析D 、f 不准确对实验结果的影响：
由计算公式32
141.6067l m E f T D
=可知，当测量值D 偏大时，计算得到的E 值将偏小，
同理当测量值D 偏小时，计算得到的E 值将偏大。
当测量值f 偏大时，计算得到的E 值将偏小，同理当测量值f 偏小时，计算得到的E 值将偏大。
而由公式E E ∆=测量值D 对实验不确定度的影响比测量值f 大很多，因此在实验过程中，要特别注意测量值D 的准确性。
九、实验感受与收获
通过这次实验，我学习了一种更实用、更准确的测量弹性模量的方法。
通过与拉伸法
测弹性模量的比较，我深刻的体验到了利用作图的方法和实验修正系统误差的方法，会极大地减小测量误差，使测量结果更准确。
这次实验，我收益良多。