2.1.1 两条直线的位置关系(一)
两条直线的位置关系(1)
父亲上学时，按照当时来讲，是有钱家的孩子才能上得了学的，大冬天的能提着暖手的火炉子上学，相当得气派，穿着得自然要好点。父亲的婆婆赵氏很支持我父亲的学业，因此，父亲能顺利地从 陕西泾干中学高中毕业。听父亲讲过，家里人把一头毛驴卖掉了供我父亲上学。父亲的勤奋也证明了这头毛驴卖掉是正确的。在我爷爷的八个孩子当中，父亲排行老二，也就只有父亲一个人跳出了农门， 到了外面做事，当了国家干部。也有人说，父亲是赵氏一手养大看大的娃娃，性格和脾气很像赵氏，而赵氏出自泾阳县里的一个大家族。在历史上，从赵氏的娘家大户焦家的确走出了几位泾阳名人， 《泾阳县志》2001年版上都有记载。
父亲的家境是一个殷实的家庭，有着好地百亩，有着好多长工，比如叫什么王相、什么张相。回想当年定成分时，我们家被什么的小组划定成为了富农。而事实上，有人也说了是我爷爷得罪了村里 的人，我们家顶多是一个中农。父亲的父亲，也就是我爷爷是过继给了同村的另一户杨家。因此，我爷爷的名字从原本的德理改成了长德，在家排行老四。我祖爷，按照血统上讲的是应该是杨居耀，过 继给了另一户杨家，我祖爷名字改叫成了杨天佑，有着一大家子的人，还有要经营的生意，听我父亲讲是在甘肃张掖一带。杨天佑有三个女儿，没有儿子，我爷爷到了杨天佑家，延续了香火。而杨天佑 家里的生意都是由我父亲的婆婆赵氏，也就是杨天佑的内人来经营着的。电游网 Leabharlann
2.1两条直线的位置关系(1)
4、填空： ∵∠A+∠B=90º，∠B+∠C=90º ∴∠A ∠C( ) ∵∠1+∠3=90º，∠2+∠4=90º且∠1=∠2 ∴∠3 ∠4( ) 5、一个角的补角与这个角的余角的和比平角少 10°，求这个角．
课后反思：
七年级数学导学案第 17 课时 主备人：曹晓磊
审核人：
施晓海
审批人： 王文锦
课题：2.1 两条直线的位置关系(1) 学习目标： 在具体情景中了解对顶角、 补角、 余角， 知道对顶角相等、 等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题。
一、自主预习：预习书 38-39 页
在同一平面内，两条直线的位置关系有 只有一个公共点的两条直线叫做 做 ， 在同一平面内， 平行线。 和 ， ，这个公共点叫 叫做
1
三、当堂检测：1、判断题：对的打“√”, 错的打“×” 。
① 一个角的余角一定是锐角。 （ ② 一个角的补角一定是钝角。 （ ） ） 互为余角。 （ ）
③ 若∠1+∠2+∠3=90°， 那么∠1、 ∠2、 ∠3 2、下列说法正确的是（ ）
A. 相 等 的 角 是 对 顶 角 C.两条直线相交所成的角是对顶角 角是对顶角
，
一个角 30
45
60
25
83
∠
O
O
O
∠
这个角 的余角 这个角 的补角 （2）性质 如图，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2 问题 1：哪些角互为补角？哪些角互为余角有什么关系？为什么？ 3 4 ∵∠1+∠3=90º，∠2+∠4=90º ∴∠3=90º-∠1，∠4=90º-∠2 A B N ∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 问题 3：∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？你能仿照问题 2 写出
北师大版七年级数学下册《二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 对顶角、余角和补角》公开课教案_11
北师大版义务教育课程标准实验教科书七年级下册2.1.1两直线的位置关系第1课时教学设计一、教材分析1、地位作用：本节课研究的相交线是平面内两条直线的两种位置关系中的其中一种情形，学生已经学习了直线、射线、线段和角的有关知识，因此，本节课是在学生已有知识和经验的基础上，来进一步研究平面内两条直线相交的情形。
在本节课中首先探究了两直线相交所成的角的位置和大小关系，给出了邻补角和对顶角的概念，得出了“对顶角相等”的结论；为接下来研究两条直线被第三条直线所截的情形，即同位角、内错角、同旁内角等概念的学习作了最基本的准备。
同时是后续学习垂直的基础。
2、目标和目标解析：1.理解邻补角和对顶角的概念;2.掌握“对顶角相等”的性质;3.理解对顶角相等的说理过程;4.经历质疑,猜想,归纳等数学活动,培养学生的观察,转化,说理能力和数学语言规范表达能力;5.通过师友互助、小组讨论,培养合作精神,让学生在探索问题的过程中,体验解决问题的方法和乐趣,增强学习兴趣。
3、教学重、难点教学重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用。
教学难点：对顶角相等的性质的探索。
突破难点的方法：通过相关旧知的复习，按照猜想、推理的思维过程进行突破。
二、教学准备：多媒体课件、导学案、剪刀，纸。
三、教学过程教学内容师生活动设计意图一、创设情景，引入新知问题：在我们的生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，大家对它们也不陌生，（播放图片）请找出图片中的相交线、平行线。
由此引入本节的主要内容。
（板书）课题学生观察图片，获得感性认识.让学生知道，相交线、平行线的概念是从实物中抽象出来的，通过学生熟悉的事物，激发学生的学习兴趣。
二、小组合作，探究新知1. 观察剪刀剪布的过程，引入两条相交直线所成的角问题1：张开地剪刀给人以什么形象？（出示一把张开的剪刀），张开的剪刀可看作两条相交直线。
（教师可以同时在黑板上画出几何图形）在用剪刀剪布的过程中，用力握紧把手引发了剪刀张角的变化，表演剪布过程，让学生仔细观察，提出问题问题2：两个把手之间的的角发生了什么变化？剪刀刀刃张开的口又怎么变化？握紧把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角边相应变小. 如果改变用力方向,随着两个把手之间的角逐渐变大,剪刀刃之间的角也相应变大.教师：如果把剪刀的构造看作两条相交的直线,以上就关系到两条相交直线所成的角的问题,本节课就是探讨两条相交线所成的角及其特征.2．认识邻补角和对顶角，探索它们性质（1）角的位置关系探究画直线AB、CD相交于点O问题：1 、两条相交直线.形成的小于平角的角有几个?2、两两相配共组成几对角？3、各对角存在怎样的位置关系？按位置关系对他们怎样进行分类?4、各对角的度数有什么关系？学生观察、思考、回答问题学生观察、思考、回答,得出结论学生思考并在小组内交流,全班交流.由实际问题引导学生初步感知相交线形成的角及特点，同时明确本节课要学习的内容用现实生活中的例子引出两线相交所成角的问题，自然而贴切，同时在这个过程中，让学生对两线相交所成角的关系有了初步的认识，这就为研究对顶角相等作了铺垫三．细心观察，归纳定义1、探究邻补角的定义问题：（1）∠1与∠2有怎样的位置关系？（2）∠1与∠2的顶点有什么特点？（3）∠1与∠2的边所在的位置有什么特点？邻补角定义：∠1和∠2有一条公共边OA，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角。
立体几何——两条直线之间的位置关系(一)
立体几何——两条直线之间的位置关系（一）一、知识导学1.平面的基本性质. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.3.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 定理4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4.异面直线. 异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.5.反证法.会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识导析1．异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.2．异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.3．异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，4．异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.5．异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b,A且A,a,则a与b异面.三、经典例题导讲[例1]在正方体ABCD-A B C D中,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、D C的中点，则直线OM( ).A .是AC和MN的公垂线.B .垂直于AC但不垂直于MN.C .垂直于MN，但不垂直于AC.D .与AC、MN都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.[例2]如图，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点,且,求证:直线EG,FH,AC相交于一点.错解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD,又, GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD, 又,GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,平面ABC,FH平面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,,直线EG,FH,AC相交于一点T.[例3]判断：若a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b 都平行.错解：认为正确.错因：空间想像力不够.忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行.正解：假命题．[例4]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）．分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明∵ AB//CD， AB，CD确定一个平面β．又∵AB ∩α＝E，ABβ， Eα，Eβ，即 E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E，F，G，H四点必定共线．点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．[例5]如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，共点（相交于一点）．分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴ AB，CD必定相交于一点，设 AB ∩CD＝M．又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．∴ M∈α∩β．又∵α∩β＝，∴ M∈，即 AB，CD，共点．点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．[例6]已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明 1?若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点 A ∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则 A，E，F，G∈α．∵ A，E∈α，A，E∈a，∴ aα．同理可证 bα，cα．∴ a，b，c，d在同一平面α内．2?当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则 H，K∈α．又∵ H，K∈c，∴ cα．同理可证 dα．∴ a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．[例7]在立方体ABCD－A1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？解：(1)连结BD, 交AC于点O .(2)BD1和AC是异面直线.(3)过O作BD1的平行线交DD1于点M，连结MA、MC，则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角.不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，∴异面直线BD1与AC所成的角为90°.[例8] 已知：在直角三角形ABC中，A为直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足为D，求证：AD⊥PC证明：∵PA ⊥平面ABC∴PA⊥BA又∵BA⊥AC ∴BA⊥平面PAC∴AD是BD在平面PAC内的射影又∵BD⊥PC∴AD⊥PC.（三垂线定理的逆定理）四、典型习题导练1．如图, P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为( )A.2对B.3对C.4对D.6对2. 两个正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，则异面直线AC和BF所成角的大小为．3. 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，体对角线DB1与面对角线BC1所成的角是，它们的距离是 .4.长方体中，则所成角的大小为_ ___.5.关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角. 其中正确判断的序号是_____.（注：把你认为正确的序号都填上）.6．在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求证：BH⊥CD7．如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱PA、PB上的点，且与P 点不重合．求证：EF和DH是异面直线．。
高中数学优秀教案第二册上.两条直线的位置关系(一)
两条直线的平行与垂直一、教学目标(一)知识教学点掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直,能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式,两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题．(二）能力训练点通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论,培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力．(三)学科渗透点通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识,激发学生学习的兴趣．训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．二、教材分析1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．公式的记忆与应用．3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑,上课时要注意解决好这个问题．推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据．三、活动设计提问、讨论、解答．四、教学过程（一)特殊情况下的两直线平行与垂直这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时:（1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°,互相平行；（2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二）斜率存在时两直线的平行与垂直设直线l1和l2的斜率为k1和k2,它们的方程分别是l1: y=k1x+b1; l2: y=k2x+b2．两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．我们首先研究两条直线平行（不重合）的情形．如果l1∥l2(图1—29），那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2,那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．∵两直线不重合，∴l1∥l2．两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即eq \x( )要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．现在研究两条直线垂直的情形．如果l1⊥l2,这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1（图1—30），甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为l1、l2的斜率是k1、k2,即α1≠90°,所以α2≠0°．可以推出α1=90°+α2．l1⊥l2．两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之,如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即（三）例题例1 已知两条直线l1：2x—4y+7=0，L2：x—2y+5=0．求证：l1∥l2．证明两直线平行,需说明两个要点：(1）两直线斜率相等；(2)两直线不重合．证明：把l1、l2的方程写成斜截式:∴两直线不相交．∵两直线不重合，∴l1∥l2．例2求过点A(1，-4），且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．即2x+3y+10= 0．解法2 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0,将A(1,-4)代入有m=10，故所求直线方程为2x+3y+10=0．例3 已知两条直线l1：2x—4y+7=0，l2：2x+y—5=0．求证：l1⊥l2．∴l1⊥l2．例4 求过点A（2，1)，且与直线2x+y—10=0垂直的直线方程．解法1 已知直线的斜率k1=-2．∵所求直线与已知直线垂直，根据点斜式得所求直线的方程是就是x—2y=0．解法2 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A（2，1)代入方程得m=0,所求直线的方程是x—2y=0．（四)两条直线的夹角两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角．图1-27中，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．l1到l2的角有三个要点:始边、终边和旋转方向．现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角，设已知直线的方程分别是l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2如果1+k1k2=0，那么θ=90°,下面研究1+k1k2≠0的情形．由于直线的方向是由直线的倾角决定的,所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题．设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2（图1—32)，甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x轴围成的三角形的外角．tgα1=k1，tgα2=k2．∵θ=α2—α1(图1-32)，或θ=π-（α1—α2)=π+(α2-α1)，∴tgθ=tg（α2-α1)．或tgθ=tg［π（α2—α1）]=tg(α2-α1）．可得即eq \x( )上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．（五)夹角公式从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角（就是两条直线所成的角,简称夹角)就可以了，这时可以用下面的公式(六）例题解：k1=—2，k2=1．∴θ=arctg3≈71°34′．本例题用来熟悉夹角公式．例2 已知直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0），l1到l2的角是θ，求证:证明:设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，则这个例题用来熟悉直线l1到l2的角．例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(—2，0）在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且与两腰的顺序无关．设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则．因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，所以θ1=θ2．tgθ2=tgθ1=-3．解得k3=2．因为l3经过点（—2,0），斜率为2,写出点斜式为y=2［x-（-2)]，即2x—y+4=0．这就是直线l3的方程．讲此例题时，一定要说明：无须作图,任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等,要为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角．(四)课后小结(1）斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；（2）两斜率存在的直线垂直的等价条件；(3)与已知直线平行的直线的设法；（4）与已知直线垂直的直线的设法．（5)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念；（6）l1到l2的角的正切公式;（7)l1与l2的夹角的正切公式；（8）等腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到另一腰所在直线的角．五、布置作业1．7练习第1，2,3题习题三第3，10题。
两条直线的位置关系
命题点 2 点关于直线对称 例 3 如图，已知 A(4,0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射
到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是( )
A．3 3
B．6
C．2 10
D．2 5
解析：直线 AB 的方程为 x＋y＝4，点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关 于 y 轴的对称点为 C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝ 62＋22＝2 10.
6．点(x，y)关于直线 y＝x 的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x 的对称点为(－y， －x)．
7．点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b 的对称点为(x,2b －y)． 8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． 9．点(x，y)关于直线 x＋y＝k 的对称点为(k－y，k－x)，关于直线 x－y＝k 的对称 点为(k＋y，x－k)．
答案：－2 2
题组三 易错排查 5．直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则 m 等于( )
A．2
B．－3
C．2 或－3
D．－2 或－3
解析：直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则有m2 ＝m＋3 1≠－42，
故 m＝2 或－3.故选 C.
【思维升华】 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般 情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意 x，y 的系数不能同时为 零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
人教版高中数学必修一 两条直线的位置关系(1)-课件牛老师
设直线 l1 : A1x B1 y C1 0,l2 : A2 x B2 y C2 0 试判断两条直线的位置关系.
因为 v1 ( A1, B1) 直线 l1 的一个法向量， 因为 v2 ( A2 , B2 )直线 l2 的一个法向量，
（1）两直线相交 v1与 v2 不共线，即 A1B2 A2B1 （2）两直线平行或重合 v1 与 v2 共线，即A1B2 A2B1
北京市中小学空中课堂
两条直线的位置关系（1）
高二年级 数学
主讲人 李娜 北京市第八中学
判断两条直线的位置关系
若两条直线 l1 : y=k1x b1,l2 : y k2 x b2
y l2
y l2
b2
l1 b2
O
x
x
O
b1
b1
l1
k1 k2
bk11
=k2 b2
y l2 (l1)
b2(b1 )
例题1.判断下列各对直线的位置关系，如果相交， 求出交点坐标：
（1）l1 : x y 1 0,l2 : 2x 2 y 1 0
解：将 l1 与 l2 的方程分别化为斜截式可知：
l1
:
y=x
1, l2
:
y
x
1 2
因为两条直线的斜率相等，截距不相等，所以
两直线平行.
例题1.判断下列各对直线的位置关系，如果相交， 求出交点坐标：
►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。
►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
数学(七下)2.1两条直线的位置关系(一)
D E C
A
A O B
O
动手实践三
D
O
2 1 34
C
图2.1—7
A N B 图2.1—8
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球， 反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图 2.1—7抽象成成图2.1—8，ON与DC交于点O， ∠DON=∠CON=900，∠1=∠2
动手实践三
D
O
2 1 34
C
A N B 图2.1—7 图2.1—8 小组合作交流，解决下列问题：在图2.1—8中 问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？ 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？ 你还能得到哪些结论？
动手实践、探究新知 问题2:剪子可以看成图2.1—4， 那么剪子在剪东西的过程中， ∠1和∠2还保持相等吗？∠3和 ∠4呢？你有何结论？
A
4 D
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 1
C
2.1─5
对顶角相等
B
巩固练习 1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（D ）
1
2
1
2
1
1
A
B
C
2
2
D
2.如图所示，有一个破损 的扇形零件，利用图中的 量角器可以量出这个扇形 零件的圆心角的度数吗？ 你能说出所量角的度数是 多少吗？为什么？
C A B A C
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C D 2 3 4 0 B
E
1
5. 如图，直线AB与CD交于点O，∠BOC=900， EF经过点O.（1）指出图中所有的对顶角； （2）图中那些角与∠AOE互余？ （3）若∠BOF=34°，试求出∠AOF，∠BOE， ∠DOE的度数.
2.1
1
课时小结：
通过本节课的学习， 谈谈你有何收获？
（5）两角是否互补既与其大小有关
又与其位置有关（ ×）
自学检测三
2.下列说法正确的有 ①②④⑥ （填序号） ①已知∠A=40º ，则∠A的余角等于500 ②若1+∠2=180º ，则∠1和∠2互为补角。 ③若∠1+∠2+∠3=180º ，则∠1、∠2、∠3互补 ④若∠A=40º 26′，则∠A的补角=139º 34′ ⑤一个角的补角必为钝角。 ⑥一个锐角的补角比这个角的余角大900
自学检测一
1：在2.1─1中, 直线m和n 的关系是 a和b是 ；a和n是 ； 。
b n a
m
2.观察下图中的各组角是不是对顶角？
1
(A)
2
1
(B)
2
1 (C)
2
1
2
自主学习二
自学内容:课本P39页的想一想和做一做 自学时间:5分钟 自学要求: ∠ 1.认真理解互为补角，互为 余角的定义 2.图2-3中,有哪些角互为补角,哪些角互为 余角?∠3与∠ 4有什么关系?为什么? ∠ AOC 与∠ BOD有什么关系?为什么? 3.通过做一做的几个问题，我们可以得到 什么结论？
互为余角: 如果两个角的和是直角, 那么 称这两个角互为余角。
互为补角: 如果两个角的和是平角， 那么称这两个角互为补角。
注意：上述两个概念都是相对两个角 而言的，强调的是两个角的数量关系， 与两个角的相互位置无关。
归纳总结 同角或等角 的余角相等 因为∠1+∠3=90º ∠2+∠3=90º 所以∠1= ∠2 因为∠1=∠2 ∠1+∠3=90º ∠2+∠4=90º 所以 ∠3= ∠4
自学检测三
1.∠1与∠2互余,∠1与∠3互余,则∠2与 ∠3 相等 ,理由 同角的余角相等 . 2. ∠1与∠2互余,∠3与∠4互余,若∠1=∠3, 则∠2与∠4关系 相等 .理由 等角的余角相等 . 3. ∠1+∠2=180 ° ，∠1+∠3=180 ° ，则 ∠2与∠3 相等 . 理由 同角的等角相等 . 4.∠1+∠2=180 °,∠3+∠4=180 °,若 ∠1=∠3,则∠2与∠4关系 相等 . 理由 等角的补角相等 .
第二章
相交线与平行线
2.1.1两条直线的位置关系
尚贤中学 数学组
自主学习一
自学内容：P38页上的内容 时 间 ：5分钟 自学要求： 1.通过自学认识相交,平行.并掌握 平行与相交的概念. 2.了解同一平面内两条直线的位置 关系;理解对顶角的概念和性质；
注 意 :(1) 一 个 角 的 对 顶 角 只 有 一 个 (2) 掌握对顶角的概念要注意三点： 1 . 两 条 直 线 相 交 而 得 ； 2 . 有 一 个 公 共 顶 点 ； 3.没有公共边，三个条件缺一不可
同角或等角 的补角相等 因为∠1+∠3=180º ∠2+∠3=180º 所以 ∠1= ∠2 因为∠1=∠2 ∠1+∠3=180º ∠2+∠4=180º 所以 ∠3= ∠4
自学检测二 判断下列说法是否正确？
（1）30°，70 °与80 °的和为平角，所以 这三个角互余（× ） （2）一个角的余角必为锐角。 （√ ） （3）一个角的补角必为钝角。 （ ×） （4）90 °的角为余角。 （ × ）
3.想一想：
(1)若一个角是38°，则这个角的 余角是多少度？补角是多少度？ （2）若一个角的余角是52°， 则这个角的补角是多少度？
(3).一个角的补角加上30°后等于 这个角的余角的3倍，求这个角。
4.如图，AOB是一条 直线， ∠AOC=90°， ∠DOE=90°， 问图中互余的角有 哪几对？ 哪些角是相等的？ A