2010年高考数学(文)试题及答案(广东卷)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合A B=A ．｛0，1，2，3，4｝B ．｛1，2，3，4｝C ．｛1，2｝D ．｛0｝ 2．函数()lg(1)f x x =-的定义域是A ．(2，+∞)B ．(1,+∞)C ．[1，+∞)D ．[2，+∞)3．若函数()33x x f x -=+与()33x xg x -=-的定义域均为R ，则A ．()f x 与()g x 均为偶函数B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数C ．()f x 与()g x 均为奇函数D ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数 4．已知数列{n a }为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2·a a a ３１＝2，且4a 与72a 的等差中项为54，则S5=A ．35B ．33C ．31D ．295．若向量a =（1,1），b =（2,5），c =(3,x)满足条件 (8a －b )·c=30，则x =A ．6B ．5C ．4D ．36．若圆心在x 轴上、O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A．22(5x y += B．22(5x y += C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++= 7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A ． 45B ．35C ．25D ．158．“x >0”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件9．如图1，ABC∆为正三角形，'''////AA BB CC ，''''32CC BB CC AB ⊥===平面ABC 且3AA ，则多面体'''ABC A B C -的正视图(也称主视图)是10．在集合{a ，b ，c ，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗ ()a c ⊕=A ．aB ．bC ．cD ．d二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题(11～13题)11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为1x ，…，4x (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若1x ，2x ，3x ，4x ，分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s 为 _________.12．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x （单位：万元）与年平均支出Y （单位：万元）根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是_________，家庭年平均收入与年平均支出有_________线性相关关系.13．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a=1，A+C=2B ，则sinA= _________.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD=a ，CD=2a ，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF= .15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（02θπ≤＜）中，曲线()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为_________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分14分）设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期． （1）求()0f ；w_w （2）求()f x 的解析式；（3）已知94125f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求sin α的值．17．（本小题满分12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率. 18.(本小题满分14分)如图4，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB. （1）证明：EB FD ⊥； （2）求点B 到平面FED 的距离.19.（本小题满分12分）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?20.（本小题满分14分）已知函数()f x 对任意实数x 均有()(2)f x kf x =+，其中常数k 为负数，且()f x 在区间[]0,2上有表达式()(2)f x x x =-.（1）求(1)f -，(2.5)f 的值；（2）写出()f x 在[]3,3-上的表达式，并讨论函数()f x 在[]3,3-上的单调性；（3）求出()f x 在[]3,3-上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.21.（本小题满分14分）已知曲线2n C y nx =：，点(,)(0,0)n n n nn P x y x y >>是曲线n C 上的点（n=1,2,…）. （1）试写出曲线n C 在点n P 处的切线n l 的方程，并求出n l 与y 轴的交点n Q 的坐标；（2）若原点(0,0)O 到n l 的距离与线段n n P Q 的长度之比取得最大值，试求试点n P 的坐标(,n n x y )；（3）设m 与k 为两个给定的不同的正整数，n x 与n y 是满足（2）中条件的点n P 的坐标，证明：1sn =<(1,2,)s =…2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科）参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 ABDCCDBADA11. 1.5 12. 13；正（或正的） 13. 21 14. 2a 15.(1,)2π16.解：（1）由已知可得：236sin3)0(==πf（2）∵)(x f 的周期为2π，即22πωπ= ∴4=ω 故)64sin(3)(π+=x x f （3）∵]6)124(4sin[3)124(πππ++⨯=+a a f )2sin(3π+=a a cos 3= ∴由已知得：59cos 3=a 即53cos =a∴54)53(1cos 1sin 22±=-±=-±=a a 故a sin 的值为54或54-17．解：（1）画出二维条形图，通过分析数据的图形，或者联列表的对角线的乘积的差的绝对值来分析，得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关；（2）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人。

故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取327455=⨯人.（3）法一：由（2）可知，抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为b a ,，若从5人中任取2名观众记作),(y x ，则包含的总的基本事件有：),(),,3(),,3(),,2(),,2(),3,2(),,1(),,1(),3,1(),2,1(b a b a b a b a 共10个。

其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有：),3(),,3(),,2(),,2(),,1(),,1(b a b a b a 共6个.故P (“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=53106=；18．法一：（1）证明：∵点B 和点C 为线段AD 的三等分点， ∴点B 为圆的圆心 又∵E 是弧AC 的中点，AC 为直径， ∴EB BC ⊥即EB BD ⊥ ∵⊥FC 平面BDE ，⊂EB 平面BDE ， ∴EB FC ⊥又⊂BD 平面FBD ，⊂FC 平面FBD 且C FC BD = ∴⊥EB 平面FBD 又∵⊂FD 平面FBD ， ∴FD EB ⊥（2）解：设点B 到平面FED 的距离（即三棱锥B FED -的高）为h . ∵⊥FC 平面BDE , ∴FC 是三棱锥F-BDE 的高，且三角形FBC 为直角三角形由已知可得a BC =，又a FB 5= ∴a a a FC 2)5(22=-=在BDE Rt ∆中，a BE a BD ==,2，故2221a a a S BDE =⨯⨯=∆,∴323223131a a a FC S V BDE BDE F =⨯⨯=⋅=∆-,又∵⊥EB 平面FBD ，故三角形EFB 和三角形BDE 为直角三角形, ∴a DE a EF 5,6==，在FCD Rt ∆中，a FD 5=,∴=∆FEDS 2221a ,∵FED B BDEF V V --=即323222131a h a =⋅⋅，故ah 21214=,即点B 到平面FED 的距离为a h 21214=.19．解：设应当为该儿童分别预订x 个单位的午餐，y个单位的晚餐，所花的费用为z ，则依题意得：y x ,满足条件12864664261054x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪∈⎪∈⎪⎩即321607035270x y x y x y x N y N +-≥⎧⎪+-≥⎪⎪+-≥⎨⎪∈⎪∈⎪⎩，目标函数为y x z 45.2+=，作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图略），把y x z 45.2+=变形为485z x y +-=，得到斜率为85-，在y 轴上的截距为4z ，随z 变化的一族平行直线.由图可知，当直线485zx y +-=经过可行域上的点M (70x y x y +-=即直线与直线3+5-27=0的交点)时截距最小，即z 最小.解方程组：7035270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩, 得点M 的坐标为3,4==y x 所以，=min z 22答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，此花的费用最少为22元.20．解：（1）∵)2()(+=x kf x f ，且)(x f 在区间[0,2]时)2()(-=x x x f ∴k k kf kf f -=-⋅⋅==+-=-)21(1)1()21()1(由)2()(+=x kf x f 得)(1)2(x f k x f =+∴k k f k f f 43)25.0(5.01)5.0(1)25.0()5.2(-=-⋅⋅==+=（2）若]2,0[∈x ，则]4,2[2∈+x ]4)2][(2)2[(1)2(1)(1)2(-+-+=-==+x x k x x k x f k x f∴当]4,2[∈x 时，)4)(2(k 1)(--=x x x f若)0,2[-∈x ，则)2,0[2∈+x ∴)2(]2)2)[(2()2(+=-++=+x x x x x f ∴)2()2()(+=+=x kx x kf x f 若)2,4[--∈x ，则)0,2[2-∈+x ∴)4)(2(]2)2)[(2()2(++=+++=+x x k x x k x f∴)4)(2()2()(2++=+=x x k x kf x f∵)2,4[)2,3[],4,2[]3,2(--⊂--⊂∴当]3,3[-∈x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--∈--∈+--∈++=]3,2(),4)(2(1]2,0[),2()0,2[),2()2,3[),4)(2()(2x x x k x x x x x kx x x x k x f∵0<k ,∴当)2,3[--∈x 时，)4)(2()(2++=x x k x f ，由二次函数的图象可知，)(x f 为增函数；当)0,2[-∈x 时，)2()(+=x kx x f ，由二次函数的图象可知，当)1,2[--∈x 时，)(x f 为增函数，当)0,1[-∈x 时，)(x f 为减函数；当]2,0[∈x 时，)2()(-=x x x f ，由二次函数的图象可知，当)1,0[∈x 时，)(x f 为减函数；当]2,1[∈x 时，)(x f 为增函数；当]3,2(∈x 时，)4)(2(1)(--=x x k x f ，由二次函数的图象可知，)(x f 为增函数。