概率论模拟题
概率模拟3
概率论模拟题3一、填空题（5小题，每小题3分，共15分）1. 设随机事件A 与B 互不相容，已知P (A )＝α，)(B A P =0.7。
则α =_____________。
2. 设随机变量X 服从[0, a ]上的均匀分布，对X 进行3次独立试验，至少有一次观察值大于1的概率为26/27。
则a =_____________。
3. 设二维随机变量( X ,Y )的协方差矩阵为⎪⎭⎫ ⎝⎛4111，则D (2X +Y ) = _____________。
4. 在每次试验中，事件A 发生的概率为0.5。
利用切比雪夫不等式估计，在1000次试验中事件A 发生的次数在400到600之间的概率_____________。
5. 设随机变量 X ~ t （n ），则Y =Χ 2服从_____________分布。
二、计算题（4小题，每小题10分，共40分）1. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=2,21,3/211,1,0)(x b a x a x a x x F ，且P {X =2}＝0.5，求参数a , b 的值。
2. 设随机变量 X ~N （μ，σ 2），已知}250{>X P =}350{<X P =92.36%，求参数μ，σ 2。
(.9236.0)43.1(,8212.0)92.0(==ΦΦ)3. 假设某地在任何长为t （年）的时间间隔内发生地震的次数N (t )服从参数为t 1.0=λ的泊松分布，X 表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年）。
求随机变量X 的概率密度，并说明分布类型及参数。
4. 已知随机变量X ~⎥⎦⎤⎢⎣⎡2/12/110，Y ~⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4/12/14/1101,且P {XY =0}＝1。
(1)求X 和Y 的联合概率分布；(2)问X 和Y 是否独立，为什么？三、应用题（共3小题，每小题10分，共30分）1．某产品主要由三个厂家供货。
概率论与数理统计模拟试题&参考答案
练习题一一、填空题。
1、已知P(A)=0.3，P(A+B)=0.6，则当A 、B 互不相容时，P(B)=___________，而当A 、B 相互独立时，P(B)=__________。
2、已知X ～),(p n B ,且8E X =, 4.8D X =, 则n =__________，X 的最可能值为__________。
3、若)(~λP X ，则=EX ，=DX 。
4、二维离散型随机变量),(ηξ的分布律为：则η的边缘分布_____________，ξ，η是否独立？_____________（填独立或不独立）。
5、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的一组简单随机样本，则样本均值11()n X X X n=++ 服从__________。
6、设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1, 0.2, 0.3, 从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，则这件产品为次品的概率为 。
7、设连续型随机变量ξ的概率密度为1 -1 ()1 010 x xx x x ϕ+≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它，则E ξ=__________。
二、判断题。
1、服从二元正态分布的随机变量),(ηξ，它们独立的充要条件是ξ与η的相关系数0ρ=。
（ ）2、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，S 是样本方差，则222(1)~()n Sn χσ-。
（ ）3、随机变量Y X ,相互独立必推出Y X ,不相关。
（ ）4、已知θ 是θ的无偏估计，则2θ 一定是2θ的无偏估计。
（ ）5、在5把钥匙中，有2把能打开门，现逐把试开，则第3把能打开门的概率为0.4。
（ ）三、选择题。
1、某元件寿命ξ服从参数为λ（11000λ-=小时）的指数分布。
3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是 （A ）1e -； （B ）3e -（C ）31e --（D ）13e -2、设X 的分布函数为)(x F ，则13+=X Y 的分布函数()y G 为（A ）()3131-y F （B ）()13+y F （C ）1)(3+y F （D ）⎪⎭⎫⎝⎛-3131y F3、设随机变量(3,4)N ξ ，且()()P c P c ξξ≤=>，则c 的取值为（） （A ）0； （B ）3； （C ）-3； （D ）24、设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量32X Y -的方差是（）。
概率论期末模拟题
模拟试题（一）参考答案一.单项选择题（每小题2分，共16分）1、设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则下列命题中正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立(C) 0)(0)(==B P A P 或(D) AB 未必是不可能事件解 若AB 为零概率事件，其未必为不可能事件.本题应选D.2、设每次试验失败的概率为p ，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 213)1(p p C -解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”，其概率为3p ，故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.3、若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则下面说法中一定成立的是（ ） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续解 由连续型随机变量概率密度的定义可知，)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数，且满足⎰∞+∞-=1d )(x x f ，所以A一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]21,31[上的均匀分布的随机变量的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,2131,6)(x x f在31=x 与21=x 处不连续，且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4、若随机变量X 的概率密度为)( e21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x x f x π，则=Y （ ）)1,0(~N(A)23+X (B)23+X (C)23-X (D)23-X 解 X 的数学期望3-=EX ，方差2=DX ，令23+=X Y ，则其服从标准正态分布.故本题应选A.5、若随机变量Y X ,不相关，则下列等式中不成立的是（ ） (A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)((C) DY DX DXY ⋅=(D) EY EX EXY ⋅=解 因为0=ρ，故0),cov(=⋅=DY DX Y X ρ，DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(， 但无论如何，都不成立DY DX DXY ⋅=.故本题应选C.6、设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自标准正态分布总体X ，又S X ,分别为样本均值及样本标准差，则（ ） (A) )1,0(~N X(B) )1,0(~N X n(C))(~212n X ni i χ∑=(D))1(~-n t SX解 )1,0(~n N X ，),0(~n N X n ，)1(~-⋅n t SXn ，只有C 选项成立.本题应选C.7、样本n X X X ,,,21Λ )3(≥n 取自总体X ，则下列估计量中，（ ）不是总体期望μ的无偏估计量 (A)∑=ni iX1(B) X(C) )46(1.01n X X +(D) 321X X X -+解 由无偏估计量的定义计算可知，∑=ni iX1不是无偏估计量，本题应选A.8、在假设检验中，记0H 为待检假设，则犯第一类错误指的是（ ） (A) 0H 成立，经检验接受0H(B) 0H 成立，经检验拒绝0H(C) 0H 不成立，经检验接受0H (D) 0H 不成立，经检验拒绝0H 解 弃真错误为第一类错误，本题应选B. 二.填空题（每空2分，共14分）1、同时掷三个均匀的硬币，出现三个正面的概率是________，恰好出现一个正面的概率是________. 解81;83. 2、设随机变量X 服从一区间上的均匀分布，且31,3==DX EX ，则X 的概率密度为________. 解 设],[~b a X ，则,3112)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a ， 4=b ， 所以X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.0,42,21)(其他x x f3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布， Y 服从参数为4的指数分布，则=+)32(2Y X E ________. 解 473])([232)32(222=++=+=+EY EX DX EY EX Y X E . 4、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有≤≥+}6||{Y X P ________. 解 根据切比雪夫不等式，12136),cov(26)(}6||{2=++=+≤≥+Y X DY DX Y X D Y X P .5、假设随机变量X 服从分布)(n t ，则21X 服从分布________（并写出其参数）.解 设)(~n t nZY X =，其中)1,0(~N Y ，)(~2n Z χ，且)1(~22χY ，从而)1,(~122n F Y n ZX =. 6、设n X X X ,,,21Λ)1(>n 为来自总体X 的一个样本，对总体方差DX 进行估计时，常用的无偏估计量是________.解 ∑=--=ni i X X n S 122)(11. 三.(本题６分)设1.0)(=A P ，9.0)|(=A B P ，2.0)|(=A B P ，求)|(B A P . 解 由全概率公式可得27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P .31)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P .四.(本题8分)两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:(1) 任取一个零件是合格品的概率，(2) 若任取一个零件是废品，它为第二台车床加工的概率.解 设21,A A 分别表示第一台，第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得973.098.03197.032)|()()|()()(2211≈⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P . (2) 247.0973.0102.031)()|()()()()|(2222≈-⋅===B P A B P A P B P B A P B A P . 五.(本题14分)袋中有4个球分别标有数字1，2，2，3，从袋中任取一球后，不放回再取一球，分别以Y X ,记第一次，第二次取得球上标有的数字，求:(1) ) ,(Y X 的联合分布； (2) Y X ,的边缘分布； (3) Y X ,是否独立；(4) )(XY E .解 （1） YX 1 2 3 1 061 121 2 61 61 613 121 61（2）41)1(==X P ，21)2(==X P ，41)3(==X P .41)1(==Y P ，21)2(==Y P ，41)3(==Y P .（3）因为)1()1(1610)1,1(===≠===Y P X P Y X P ，故Y X ,不独立.（4）613261226112121316121)(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=XY E 612312113⋅⋅+⋅⋅+623=.六.(本题12分)设随机变量X 的密度函数为)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ，试求:(1) A 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2X Y =的密度函数. 解 (1) 因⎰∞+∞-x x f d )(⎰∞+-===0214d e 2A x x A x ，从而41=A ;(2) ⎰⎰⎰---+==≤<-20201221d e 41d e 41d )(}21{x x x x x x f X P xx 12e 45e 251----=;(3) 当0≤y 时，0)(=y F Y ;当0≤y 时，)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=，所以，两边关于y 求导可得，.e 4121e 4121e 41)(yyyY y yy yy y f ---⋅=-⋅⋅-⋅⋅=故Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤=-.0,e 41,0,0)(y y y y f yY七.(本题6分)某商店负责供应某地区1000人商品，某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间，各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以%7.99的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.解 设⎩⎨⎧=人购买该种商品第人不购买该种商品第i i X i ,1,,0(1000,,2,1Λ=i )，X 表示购买该种商品的人数，则)6.0,1000(~B X .又设商品预备n 件该种商品，依题意，由中心极限定理可得)240600240600()()(-≤-=-≤-=≤n X P DXEX n DX EX X P n X P997.0)240600(=-Φ≈n .查正态分布表得75.2240600=-n ，解得6436.642≈=n 件.八.(本题10分)一个罐内装有黑球和白球，黑球数与白球数之比为R . (1) 从罐内任取一球，取得黑球的个数X 为总体，即⎩⎨⎧=白球，，黑球，，01X 求总体X 的分布；(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n 的样本n X X X ,,,21Λ，其中有m 个白球，求比数R 的最大似然估计值. 解（1） X 1 0 PR R +1 R+11即R R R R R x X P xxx+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+==-1111)(1 )1,0(=x ; （2）nx ni i iR R x XP R L i)1()()(1+∑===∏=，两边取对数，)1ln()(ln R n x R R L i +-∑=，两边再关于R 求导，并令其为0，得011=+-∑Rnx i ， 从而∑∑-=iixn xRˆ，又由样本值知，m n x i-=∑，故估计值为1ˆ-=mn R . 九.(本题14分)对两批同类电子元件的电阻进行测试，各抽6件，测得结果如下（单位:Ω）:A 批:0.140，0.138，0.143，0.141，0.144，0.137；B 批:0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.141. 已知元件电阻服从正态分布，设05.0=α，问:(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （2281.2)10(025.0=t ，15.7)5,5(025.0=F ）解 (1) 2221122210 σσσσ≠=：，：H H .检验统计量为2221S S F =)5 ,5(~F （在0H 成立时）， 由05.0=α，查得临界值15.7)5 ,5(025.02/==F F α，15.712/1=-αF . 由样本值算得962.00000078.00000075.0==F ，由于2/2/1ααF F F <<-，故不能拒绝10H ，即认为两批电子元件的电阻的方差相等.(2) 211210 μμμμ==：，：H H . 统计量62221SS Y X T +-=)10(~t （在0H 成立时）， 查表得临界值228.2)10(025.02/==t t α.再由样本值算得148.160000078.00000075.0139.01405.0=+-=T ，因为2/||αt T <，故接收0H .即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.模拟试题（二）参考答案一.单项选择题（每小题2分，共16分）1.设C , ,B A 表示3个事件，则C B A 表示（ ） (A) C , ,B A 中有一个发生(B) C , ,B A 中不多于一个发生(C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生 解 本题应选C. 2.已知)(,61)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则====（ ）. (A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 41解 181)|()()(==A B P A P AB P ，187)()()(1)(1)()(=+--=-==AB P B P A P B A P B A P B A P Y Y . 故本题应选A.3.设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（ ）(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}1{=≤-Y X P解 )2,1(~N Y X +，)2,1(~--N Y X ，故本题应选B.4.设X 与Y 为两随机变量，且6.0,1,4===XY DY DX ρ，则=-)23(Y X D （ ） (A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6解 2.1),cov(=⋅=DY DX Y X XY ρ，6.25),cov(1249)23(=-+=-Y X DY DX Y X D .故本题应选C.5.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则2X 的数学期望是（ ）(A) λ(B)λ1 (C) 2λ (D) λλ+2 解 222)(λλ+=+=EX DX EX ，本题应选D.6.设n X X X ,,,21Λ是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本方差，记∑=--=n i i X X n S 122)(111 ∑=-=n i i X X n S 1222)(1 ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ ∑=-=n i i X n S 1224)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）(A) 1/1--=n S X t μ (B) 1/2--=n S X t μ (C) 1/3--=n S X t μ(D) 1/4--=n S X t μ解 ),(~2nN X σμ，)1(~)(1122--∑=n t X Xni iσ，再由t 分布的定义知，本题应选B.7.设总体X 均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而,,,21ΛX X n X 是该总体的一个样本，X 为样本方差，则总体方差2σ的矩估计量是（ ）(A) X (B) ∑=-n i i X n 12)(1μ(C) ∑=--n i i X X n 12)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 解 本题应选D.8.在假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ） (A) 都增大 (B) 都减小(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小 解 本题应选B.二.填空题（每空2分，共14分）1.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件中有1件是不合格品，则另外1件也是不合格品的概率为________.解 设A 表示两件中有一件不合格品，B 表示两件都是不合格品.则所求的极限为51)()()()()|(===A P B P A P AB P A B P2.设随机变量X 服从)8.0 ,1(B 分布，则X 的分布函数为________.解 X 服从0-1分布，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.11,10,2.0,0,0)(x x x x f3.若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且6.0}40{=<<X P ，则}0{<X P =________. 解 2=μ，即其密度函数关于2=x 对称.由对称性知2.026.01}0{=-=<X P . 4.设总体X 服从参数为p 的0－1分布，其中)10(<<p p 未知.现得一样本容量为8的样本值:0，1，0，1，1，0，1，1，则样本均值是________，样本方差是________.解 由定义计算知85=X ;56152=S . 5.设总体X 服从参数为λ的指数分布，现从X 中随机抽取10个样本，根据测得的结果计算知27101=∑=i ix，那么λ的矩估计值为________.解 27101ˆ==Xλ. 6.设总体) ,(~2σμN X ，且2σ未知，用样本检验假设00μμ=：H 时，采用的统计量是________. 解 )1(~0--=n t nSX T μ (0H 为真时).三.（本题8分）设有三只外形完全相同的盒子，Ⅰ号盒中装有14个黑球，6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球，25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球，42个白球.现在从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球，求:（1）取到的球是黑球的概率；（2）若取到的是黑球，它是取自Ⅰ号盒中的概率.解 设321,,A A A 分别表示从第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ号盒中取球，B 表示取到黑球. (1) 由全概公式可得≈⋅+⋅+⋅==∑=5083130531201431)|()()(31i i i A B P A P B P 0.342; (2) 由贝叶斯公式得≈=)()|()()|(111B P A B P A P B A P 0.682.四.（本题6分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他，，，，002cos 21)(πx x x f ， 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π地次数，求2Y 的数学期望. 解 21d 2cos 21)3(3==>⎰πππx x X P ，)21,4(~B Y ，从而 5)(22=+=EY DY EY .五.（本题12分） 设),(Y X 的联合分布律为YX 0 1 2 1 0.1 0.05 0.35 2 0.3 0.1 0.1 问:(1) Y X ,是否独立；(2) 计算)(Y X P =的值；(3) 在2=Y 的条件下X 的条件分布律. 解 (1) 因为)0()1(4.05.02.01.0)0,1(===⋅=≠===Y P X P Y X P ， 所以Y X ，不独立; (2) 15.01.005.0)2,2()1,1()(=+===+====Y X P Y X P Y X P ; (3) 9745.035.0)2()2,1()2|1(========Y P Y X P Y X P ，92971)2|2(=-===Y X P .六.（本题12分）设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=,,0,10,12),(2其他x y y y x f求:(1) X 的边缘密度函数)(x f X ；(2) )(XY E ； (3) )1(>+Y X P . 解 (1)⎩⎨⎧≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤==⎰⎰∞+∞-.,0,104,0,10,d 12d ),()(302其他其他x xx y y y y x f x f x X(2) 21d 12d )(0310==⎰⎰y xy x XY E x ;(3) ==>+⎰⎰-y y x Y X P x x d 12d )1(1212187.七.（本题6分）一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一均匀分布，其数学期望为2mm ，均方差为0.05，规定总长度为)1.020(±mm 时产品合格，试求产品合格的概率.解 设i X 表示第i 部分的长度，10,,2,1Λ=i ，X 表示部件的长度.由题意知2=i EX ，0025.0=i DX ，且∑==101i iXX ，20=EX ，025.0=DX .由独立同分布的中心极限定理知，产品为合格品的概率为)025.01.0|025.020(|)1.0|20(|≤-=≤-X P X P4714.01)025.01.0(2=-Φ=. 八.（本题7分）设总体X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-=--,,0,0,e )!1()(1其他x x k x f x k k θθ 其中k 为已知正整数，求θ的极大似然估计.解 设n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的样本，当0,,,21>n x x x Λ时，似然函数∑-===-=-=∑∏ni ix ni k innkni i xk x f L 1e])!1[()()(111θθθ，两边取对数，∑-+--===-∑ni i ni k ix x k n nk L 111ln )!1ln(ln )(ln θθθ，关于θ求导，并令其为0，得0)(ln 1=∑-==ni i x nkL θθ，从而解得θ的极大似然估计为XkX nkni i=∑==1ˆθ. 九.（本题14分）从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下:东支:230.01=x ，1337.021=n s ， )9(1=n西支:269.02=x ，1736.022=n s ， )8(2=n 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？)05.0(=α53.4)7 ,8( (025.0=F ，90.4)8 ,7(025.0=F ，) 1315.2)15(0025.0=t解 本题是在未知方差，又没有说明方差是否相等的情况下，要求检验两总体均值是否相等的问题，故首先必须检验方差是否相等，在相等的条件下，检验总体均值是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ，统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ，经检验，接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=， 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验，接受0H ，即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题5分） 设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,0,3)(23其它θθx x x f其中θ为未知参数，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的样本，证明:X 34是θ的无偏估计量.证明 ⎰∞+∞-===x x xf EX X E X E d )(343434)34(θθθ==⎰033d 334x x ，故X 34是θ的无偏估计量.模拟试题（三）参考答案一.填空题（每小题2分，共14分）1.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8180，则该射手的命中率为 . 解 设A 表示一次射击中击中目标，依题意，四次都没击中的概率为81801)(4-=A P ，解得31)(=A P ，从而射手的命中率为32)(=A P . 2.若事件A ，B 独立，且p A P =)(，q B P =)(则=+)(B A P . 解 pq p B P A P B P A P B A P +-=-+=1)()()()()(Y .3.设离散型随机变量X 服从参数为λ（0>λ）的泊松分布，已知==)1(X P )2(=X P ，则λ= . 解 )2(e 2e)1(2=====--X P X P λλλλ，从而解得2=λ.4.设相互独立的两个随机变量X ，Y 具有同一分布律，且X 的分布律为:X 0 1P 21 21则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 解 Z 的可能取值为0，1.412121)0()0()0,0()0(=⋅========Y P X P Y X P Z P .43411)1(=-==Z P .5.设随机变量X ，Y 的方差分别为25=DX ，36=DY ，相关系数4.0=XY ρ，则),(Y X Cov = . 解 12),cov(=⋅=DY DX Y X XYρ.6.设总体X 的期望值μ和方差2σ都存在，总体方差2σ的无偏估计量是21)(∑=-n i i X X n k ，则=k .解 1-=n n k . 7.设总体),(~2σμN X ，μ未知，检验2020σσ=H ：，应选用的统计量是 .解)1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (0H 为真时)二 .单项选择题（每小题2分，共16分）1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放，则4本外文书放在一起的概率为（ ） (A)!10!6!4 (B)107 (C)!10!7!4 (D)104 解 本题应选C.2.若事件B A ,相互独立，则下列正确的是（ ） (A) =)|(A B P )|(B A P(B) =)|(A B P )(A P(C) )|(B A P )(B P =(D) =)|(B A P )(1A P -解 由独立性的定义知，==)()|(A P B A P )(1A P -，故本题应选D.3.设随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，且6.1=EX ，28.1=DX ，则n ，p 的值为（ ） (A) n =8，p =2.0 (B) n =4，p =4.0 (C) n =5，p =32.0(D) n =6，p =3.0解 由6.1=np ，28.1)1(=-p np ，解得n =8，p =2.0，本题应选A.4.设随机变量X 服从正态分布)1,2(N ，其概率密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，则有（ ） (A) =≥)0(X P =≤)0(X P5.0 (B) =≥)2(X P =≤)2(X P 5.0 (C) )(x f =)(x f -，),(∞+-∞∈x (D) =-)(x F -1)(x F ， ),(∞+-∞∈x解 2=EX ，故其密度函数关于2=x 对称，故本题应选B.5.如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=，则下列式子正确的是（ ） (A) X 与Y 相互独立 (B) X 与Y 不相关 (C) 0=DY(D) 0=⋅DY DX解 由)(Y X D +)(Y X D -=，可得0),cov(=Y X ，从而可知X 与Y 不相关，故本题应选B.6.设n X X X ,,,21Λ是来自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，令=Y 212)(σ∑=-ni iX X，则~Y （ ）(A) )1(2-n χ (B) )(2n χ (C) ),(2σμN (D)),(2nN σμ解 本题应选A.7.设n X X X ,,,21Λ是取自总体),0(2σN 的样本，可以作为2σ的无偏估计量的统计量是（ ）(A) ∑=n i i X n 121 (B) ∑=-n i i X n 1211 (C) ∑=n i i X n 11 (D)∑=-ni i X n 111 解 由无偏估计的定义及期望的性质知，2221212)(1)1(σ==+===∑∑==DX EX DX EX EX n X n E ni i n i i ，故A 选择正确，同理验算其他选项，B ，C ，D 均不正确.故本题应选A.8.样本n X X X ,,,21Λ来自正态总体),(2σμN ，若进行假设检验，当（ ）时，一般采用统计量nS X t /0μ-=(A) μ未知，检验2σ=20σ (B) μ已知，检验2σ=20σ (C) 2σ未知，检验 μ=0μ(D) 2σ已知，检验μ=0μ解 本题应选C. 三.（本题8分）有两台车床生产同一型号螺杆，甲车床的产量是乙车床的5.1倍，甲车床的废品率为%2，乙车床的废品率为%1，现随机抽取一根螺杆检查，发现是废品，问该废品是由甲车床生产的概率是多少？解 设21,A A 分别表示螺杆由甲，乙车床生产的事件.B 表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得)|()()|()()|()()|(2211111A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=75.001.05202.05302.053=⋅+⋅⋅=. 四.（本题8分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为2.0，机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障获利润5万元，发生两次故障获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，问一周内期望利润是多少？解 设X 表示一周中所获的利润，其分布律为:X 0 5 10 P 548.08.02.051-⋅⋅- 48.02.05⋅⋅ 58.0从而由期望的定义计算可得216.5=EX .五.（本题12分）1.设随机向量X ，Y 的联合分布为:X Y 1 2 31 0 61 1212 61 61 613 121 61(1) 求X ，Y 的边际分布；(2) 判断X ，Y 是否独立. 解 (1) X 的边际分布为： Y 的边际分布为：X 1 2 3 Y 1 2 3P 41 21 41 P 41 21 41(2) X 与Y 不相互独立.2.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为:),(y x f =⎩⎨⎧<<-其他，，，，00e y x y求概率)1(≤+Y X P .解 ==≤+⎰⎰--y x Y X P x xy d e d )1(121211e2e 1---+.六.（本题8分）设连续型随机变量X 的分布函数为:=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-，，，，000e 22x x B A x 求: (1) 系数A 及B ；(2) 随机变量X 的概率密度； (3) )9ln 4ln (≤≤X P .解 (1) 由分布函数的性质知1)e(lim )(22==+=+∞-+∞→A B A F x x ，)0(0)e(lim )(lim 202F B A B A x F x x x ==+=+=-→→++，从而1-=B ;(2) 分布函数的导数即为其概率密度，即)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-000e 22x x x x ，，，(3) 61)4ln ()9ln ()9ln 4ln (=-=≤≤F F X P . 七.（本题8分）设n X X X ,,,21Λ为总体X 的一个样本，X 的概率密度为:)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他，，，，0101x x θθ其中0>θ，求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.解 令X x x EX =+==⎰1d 10θθθθ，从而解得θ的矩估计量为2)1(XX -=θ). 极大似然估计为:∑∑==+=ni ini iXX n 11ln ln θ).(具体做法类似与模拟试卷二第八题)八.（本题１０分）设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为5.66分，标准差为15分，问在显著水平05.0下，是否可认为全体考生的平均成绩为70分？解 假设0H :70=μ，选取统计量ns X T /μ-=)1(~-n t ， (0H 为真时)在05.0=α下，查t 分布的双侧临界值表知0301.2025.0=t . 另一方面，计算统计量的值0301.24.136/15705.66||<=-=T ，从而接受原假设，即可认为全体考生的平均成绩为70分.九.（本题１２分）两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查，测得其平均年存款余额分别为x =2600元和y =2700元，样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元，假设年存款余额服从正态分布，试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（10.0=α）解 此题要求检验21μμ=，由于t 检验必须在方差相等的条件下进行，因此必须先检验21σ与22σ是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ，统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ，经检验，接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=，统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验，拒绝0H ，即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题４分）设总体X 服从参数为λ的泊松分布，λ为未知参数，⎩⎨⎧-=为偶数，，为奇数，，X X X T 11)( 证明:)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.证明 ∑∞===0)()()]([x x X P x T TX T E∑∞=-=0!)(x xex x T λλ=-=∑∞=-0!)1(n nne n λλλ2-e ，所以)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.模拟试题（四）参考答案一.填空题(每小题2分，共20分)1.设)(A P =0.4，)(B P =0.5.若,7.0)(=B A P 则=+)(B A P . 解 55.0)|()()()()(=-+=+B A P B P B P A P B A P2.若随机变量X 服从二项分布，即)1.0,5(~B X ，则=-)21(X D .解 8.19.01.0544)21(=⋅⋅⋅==-DX X D . 3.三次独立重复射击中，若至少有一次击中的概率为6437，则每次击中的概率为 . 解43. 4.设随机变量X 的概率密度是:⎩⎨⎧<<=,,0,10,3)(2其他x x x f 且，784.0)(=≥a X P 则=a .解 由784.0)(=≥a X P 知，10<<α.故，784.01d 3)(132⎰=-==≥ααx x a X P 从而6.0=α. 5.利用正态分布的结论，有:=+-⎰∞+∞---x x x x d e )44(212)2(22π .解 令t x =-2，则原式1)(d e212222=+==⎰∞+∞--EX DX t t t π，这里)1,0(~N X .6.设总体X 的密度函数为:⎩⎨⎧<<=-,,0,10,)(1其他x x x f αα)0(>αα为参数其中，n x x x ,,,21Λ是来自总体X 的样本观测值，则样本的似然函数=);,,,(21αn x x x L Λ .解 ∏=-ni i nx 11αα.7.设X ，Y 是二维随机向量，DX ，DY 都不为零，若有常数0>a 与b 使1)(=+-=b aX Y P ，这时X 与Y 是 关系.解 完全相关.8.若),(~2σμN X ，n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的样本，2,S X 分别为样本均值和方差，则SnX )(μ-服从分布.解 )1(-n t .9.设),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，X 与Y 相互独立.从X ，Y 中分别抽取容量为21,n n 的样本，样本均值分别为Y X ,，则Y X -服从分布 .解 ),(22212121n n N σσμμ+-.10.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9，若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为____________.解 9.0),cov()4.0,cov(),cov(==-=X Y X Y Z Y . 二.单项选择题(每小题2分，共12分)1. 设随机变量X 的数学期望EX 与2σ=DX 均存在，由切比雪夫不等式估计概率}4{σ<-EX X P 为( ) (A) 161≥(B) 161≤(C) 1615≥(D) 1615≤解 本题应选C.2.B A ,为随机随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是( ). (A) )()(A P B A P =Y(B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()(A P AB P = (D) )()(B P A B P =解 本题应选A.3. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其他，，，，010)(x B Ax x f 且127=EX ，则( ).(A) 5.0,1-==B A (B) 1,5.0=-=B A (C) 1,5.0==B A (D) 5.0,1==B A解 令1d )(10=+⎰x B Ax ，127d )(10=+⎰x x B Ax ，解得5.0,1==B A ，故本题应选D.4.若随机变量X 与Y 不相关，则有( ). (A) )(9)()3(Y D X D Y X D -=- (B) )()()(Y D X D XY D ⨯=(C) 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E (D) 1)(=+=b aX Y P解 本题应选C.5.已知随机变量),(~21n n F F ，且αα=>)},({21n n F F P ，则=-),(211n n F α( ).(A) ),(121n n F α(B)),(1121n n F α-(C)),(112n n F α(D) ),(1211n n F α-解6.将一枚硬币独立地掷两次，记事件:=1A {掷第一次出现正面}，=2A {掷第二次出现正面}，=3A {正、反面各出现一次}，=4A {正面出现两次}，则事件( ).(A) 321,,A A A 相互独立 (B) 432,,A A A 相互独立 (C) 321,,A A A 两两独立(D) 432,,A A A 两两独立解 21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，再由事件独立的充分必要条件可知321,,A A A 两两独立，本题应选C.三.计算题(每小题８分，共48分)1.某厂由甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3:2:1，各车间产品的不合格率依次为8%，9%，12%.现从该厂产品中任意抽取一件，求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品，求它是由甲厂生产的概率. 解 (1) 运用全概率公式， 0.09;(2) 运用贝叶斯公式， 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件，第i 个零件是不合格品的概率为)3,2,1(11=+=i ip i ，以X表示三个零件中合格品的个数，求:(1) X 的概率分布； (2) X 的方差DX .解 (1)12234132411241=⋅+⋅+=EX ， (2)2741924114412=⋅+⋅+=EX ，故521.0)(22=-=EX EX DX . 3.设总体X ),0(~2σN ，2σ为未知参数，n x x x ,,,21Λ是来自总体X 的一组样本值，求2σ的最大似然估计.解 似然函数21221222222e )21(e)21()(σσσπσπσ∑=∑===--ni i ni i x n x nL ，两边取对数212222ln 22ln 4)(ln σσπσ∑---==ni ix nn L ，关于2σ求导，并令其为零，得0)(21222122=∑+⋅-=σσni ix n ， 从而解得极大似然估计量为∑==n i i x n 1221ˆσ. 4.二维随机变量(X ，Y )的联合概率密度:⎩⎨⎧>>=+-其它，，，，00,0e 2),()2(y x y x f y x 求: (1) X 与Y 之间是否相互独立，判断X 与Y 是否线性相关；(2) )1(≤+X Y P .解 (1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==⎰⎰∞++-∞+∞-0,0,0,d e 2d ),()(0)2(x x y y y x f x f y x X⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e x x x 同理⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(2y y yf y Y 从而)()(),(y f x f y x f Y X =，故X 与Y 相互独立，因而X 与Y 一定不相关.(2) =≤+)1(X Y P =⎰⎰-+-y x x y x d 2e d 10)2(1021)e 1(--.35.某人乘车或步行上班，他等车的时间X (单位:分钟)服从参数为51的指数分布，如果等车时间超过10分钟他就步行上班.若此人一周上班5次，以Y 表示他一周步行上班的次数.求Y 的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为210e d e 51)10(--∞+==>⎰x X P sx. 故)e ,5(~2-B Y .52)e 1(1)1(---=≥Y P .6.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈⋅=其他，，，，0]8,1[31)(32x x x f )(x F 是X 的分布函数.求随机变量)(X F Y =的概率分布.解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤=.8,1,81,1,1,0)(31x x x x x F(3) 当0<y 时，0)()(=≤=y Y P y F Y ;当10<≤y 时，))1(()1()()(331+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Yy y F X =+=))1((3;当1≥y 时，1)()(=≤=y Y P y F Y . 故对)(y F Y 求导可得Y 的概率密度，⎩⎨⎧<<=其它，，，，0101)(y y f Y 即]10[~，U Y四.应用题(第1题7分、第2题8分，共15分)1.假设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹的命中率等于0.2，用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.解 设⎩⎨⎧=发炮弹命中第发炮弹没有命中第i i X i ,1,,0 (400,,2,1Λ=i )，则∑==4001i i X X )2.0,400(~B表示400发炮弹命中的发数，且80=EX ，64=DX ，故由中心极限定理知，)6420|6480(|)20|80(|)10060(<-=<-=<<X P X P X P9876.01)820(2=-Φ=. 2.某厂生产铜丝，生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算:5.160)(,5.28712=-=∑=ni i x x x .假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16?(1.0=α)解 16162120≠=σσ：，：H H .采用统计量2221S n σχ-=，在0H 成立时，)9(~22χχ.由1.0=α，查得临界值325.3)9(295.022/1==-χχα， 919.16)9(205.022/==χχα，由样本值算得03.10165.1602≈=χ，由于22/222/1ααχχχ<<-，所以不拒绝0H ，即该厂生产的铜丝的折断力方差为16. 五.证明题(5分)若随机变量X 的密度函数)(x f ，对任意的R x ∈，满足:)()(x f x f -=，)(x F 是其分布函数.证明:对任意实数a ，有⎰-=-a x x f a F 0d )(21)(.证明 ⎰⎰⎰-∞--∞-+==-aax x f x x f x x f a F 0d )(d )(d )()(⎰-+=a x x f 0d )(21(令x t -=) ⎰⎰⎰-=-=--=a a a x x f t t f t t f 000d )(21d )(21d )(21.。
概率论与数理统计模拟题训练
X1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的样本，求θ 的最大似然估计量。
四、应用题 1．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，
它取 1 元，2 元，3 元，各个值的概率别为 0.3, 0.4, 0.3 ，某天售出 250 只蛋糕，试用中心极限定理求这天
(B) T = X − µ S2 / n
5．在假设检验问题中，检验水平α 的意义是（
(C) T = X − µ S3 / n
）
(D) T = X − µ S4 / n
(A) 原假设 H0 成立，经检验被拒绝的概率；
(B) 原假设 H0 成立，经检验不能被拒绝的概率；
(C) 原假设 H0 不成立，经检验被拒绝的概率； (D) 原假设 H0 不成立，经检验不能被拒绝的概率；
P{X
≥
500}
=1−
P{X
<
500}
=1−
⎧ P⎨
X
−
500
<
500
−
500 ⎫ ⎬
⎩ 150
150 ⎭
=
1−
P
⎧ ⎨
X
−
500
<
⎫ 0⎬
=
1−
Φ(0)
=
0.5
⎩ 150 ⎭
2.
解： X
~
σ2 N (66.5, )
n
，设 H 0 : X = 70 , H1 : X ≠ 70 ，
则
T
=
X S
−
µ
~
t(n
10、10 个乒乓球中有 6 个新球，4 个旧球，从中任取两个，已知所取的两个球中有一个是旧球，则另一个
概率论模拟卷1~6及答案
一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。
已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。
试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。
二、（12分）设随机变量X的分布列为 .求：（1）参数；（2）；（3）的分布列。
三、（10分）设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，（1）求的联合概率密度（2）求关于、的边缘概率密度（3）判断与的独立性。
四、（12分）设,，且与相互独立，试求和的相关系数（其中a、b是不全为零的常数）。
五、（12分）设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。
六、（12分）设总体的概率密度为是取自总体的简单随机样本。
求：（1）的矩估计量；（2）的方差。
七、（12分）设服从，是来自总体的样本，＋。
试求常数，使得服从分布。
八、（15分）从一批木材中抽取100根，测量其小头直径，得到样本平均数为，已知这批木材小头直径的标准差，问该批木材的平均小头直径能否认为是在以上？（取显著性水平＝0.05）附表一：,,,,一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上。
若每个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？二、(14分)已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他,010,2x Ax x f ，求：（1）参数A ；（2）}35.0{<<X P ；（3）}{x X P <。
三、（14分）设随机变量X 和Y 的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量Y X U +=的方差。
四、(12分）已知),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<+=其它,010,10,),(y x y x y x f ． （1）求X 与Y 的相关系数XY ρ；（2）试判断X 与Y 的独立性。
概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)
《概率论与数理统计》试题（1）一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。
正确打“√”，错误打“×”）⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ）二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。
三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。
概率论模拟试题一
模拟试题一一、 是非题（共7分，每题1分） 1．设A ,B ,C 为随机事件，则A 与C B A ⋃⋃是互不相容的. （ ）2．)(x F 是正态随机变量的分布函数，则)(1)(x F x F -≠-. （ ）3．若随机变量X 与Y 独立，它们取1与1-的概率均为5.0，则Y X =. （ ）4．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. （ ） 5. 样本均值的平方2X 不是总体期望平方2μ的无偏估计. （ ）6．在给定的置信度α-1下，被估参数的置信区间不一定惟一. （ ） 7．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的. （ ）二、选择题（15分，每题3分）（1）设A B⊂，则下面正确的等式是。
（ａ）)(1)(A P AB P -=； （ｂ）)()()(A P B P A B P -=-；（ｃ）)()|(B P A B P =； （ｄ）)()|(A P B A P =（2）离散型随机变量X 的概率分布为k A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件是。
（ａ）1)1(-+=A λ且0>A ； （ｂ）λ-=1A 且10<<λ；（ｃ）11-=-λA 且1<λ； （ｄ）0>A 且10<<λ.（3）设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )，则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D.（ａ）A ； （ｂ）A 1.0； （ｃ）A 2.0； （ｄ）A 10.（4）设),,,(21nX X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则有 。
（ａ）)1,0(~N X ； （ｂ）)1,0(~N X n ；（ｃ）)1(~/-n t S X ； （ｄ）)1,1(~/)1(2221--∑=n F X X n ni i .（5）设),,,(21nX X X 为总体),(2σμN (μ已知)的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2σ的下列估计量中，为无偏估计量的是 。
概率论期末模拟题
模拟试题（一）参考答案一.单项选择题（每小题2分，共16分）1、设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则下列命题中正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立(C) 0)(0)(==B P A P 或(D) AB 未必是不可能事件解 若AB 为零概率事件，其未必为不可能事件.本题应选D.2、设每次试验失败的概率为p ，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 213)1(p p C -解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”，其概率为3p ，故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.3、若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则下面说法中一定成立的是（ ） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续解 由连续型随机变量概率密度的定义可知，)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数，且满足⎰∞+∞-=1d )(x x f ，所以A一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]21,31[上的均匀分布的随机变量的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,2131,6)(x x f在31=x 与21=x 处不连续，且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4、若随机变量X 的概率密度为)( e21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x x f x π，则=Y （ ）)1,0(~N(A) 23+X (B) 23+X (C) 23-X (D) 23-X解 X 的数学期望3-=EX ，方差2=DX ，令23+=X Y ，则其服从标准正态分布.故本题应选A.5、若随机变量Y X ,不相关，则下列等式中不成立的是（ ）(A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)( (C) DY DX DXY ⋅=(D) EY EX EXY ⋅=解 因为0=ρ，故0),cov(=⋅=DY DX Y X ρ，DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(，但无论如何，都不成立DY DX DXY ⋅=.故本题应选C.6、设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自标准正态分布总体X ，又S X ,分别为样本均值及样本标准差，则（ ） (A) )1,0(~N X(B) )1,0(~N X n (C))(~212n X ni i χ∑=(D))1(~-n t SX解 )1,0(~n N X ，),0(~n N X n ，)1(~-⋅n t SXn ，只有C 选项成立.本题应选C.7、样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ，则下列估计量中，（ ）不是总体期望μ的无偏估计量 (A)∑=ni iX1(B) X(C) )46(1.01n X X +(D) 321X X X -+解 由无偏估计量的定义计算可知，∑=ni iX1不是无偏估计量，本题应选A.8、在假设检验中，记0H 为待检假设，则犯第一类错误指的是（ ） (A) 0H 成立，经检验接受0H(B) 0H 成立，经检验拒绝0H(C) 0H 不成立，经检验接受0H (D) 0H 不成立，经检验拒绝0H 解 弃真错误为第一类错误，本题应选B. 二.填空题（每空2分，共14分）1、同时掷三个均匀的硬币，出现三个正面的概率是________，恰好出现一个正面的概率是________. 解81;83. 2、设随机变量X 服从一区间上的均匀分布，且31,3==DX EX ，则X 的概率密度为________. 解 设],[~b a X ，则,3112)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a ， 4=b ， 所以X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.0,42,21)(其他x x f3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布， Y 服从参数为4的指数分布，则=+)32(2Y X E ________. 解 473])([232)32(222=++=+=+EY EX DX EY EX Y X E . 4、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有≤≥+}6||{Y X P ________. 解 根据切比雪夫不等式，12136),cov(26)(}6||{2=++=+≤≥+Y X DY DX Y X D Y X P .5、假设随机变量X 服从分布)(n t ，则21X 服从分布________（并写出其参数）.解 设)(~n t nZY X =，其中)1,0(~N Y ，)(~2n Z χ，且)1(~22χY ，从而)1,(~122n F Y n ZX =. 6、设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本，对总体方差DX 进行估计时，常用的无偏估计量是________.解 ∑=--=ni i X X n S 122)(11.三.(本题６分)设1.0)(=A P ，9.0)|(=A B P ，2.0)|(=A B P ，求)|(B A P . 解 由全概率公式可得27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P .31)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P .四.(本题8分)两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:(1) 任取一个零件是合格品的概率，(2) 若任取一个零件是废品，它为第二台车床加工的概率.解 设21,A A 分别表示第一台，第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得973.098.03197.032)|()()|()()(2211≈⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P . (2) 247.0973.0102.031)()|()()()()|(2222≈-⋅===B P A B P A P B P B A P B A P . 五.(本题14分)袋中有4个球分别标有数字1，2，2，3，从袋中任取一球后，不放回再取一球，分别以Y X ,记第一次，第二次取得球上标有的数字，求:(1) ) ,(Y X 的联合分布； (2) Y X ,的边缘分布； (3) Y X ,是否独立；(4) )(XY E .解 （1） YX 1 2 3 1 061 121 2 61 61 613 121 61（2）41)1(==X P ，21)2(==X P ，41)3(==X P .41)1(==Y P ，21)2(==Y P ，41)3(==Y P .（3）因为)1()1(1610)1,1(===≠===Y P X P Y X P ，故Y X ,不独立. （4）613261226112121316121)(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=XY E 612312113⋅⋅+⋅⋅+623=.六.(本题12分)设随机变量X 的密度函数为)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ，试求:(1) A 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2X Y =的密度函数. 解 (1) 因⎰∞+∞-x x f d )(⎰∞+-===0214d e 2A x x A x ，从而41=A ;(2) ⎰⎰⎰---+==≤<-20201221d e 41d e 41d )(}21{x x x x x x f X P xx 12e 45e 251----=;(3) 当0≤y 时，0)(=y F Y ;当0≤y 时，)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=，所以，两边关于y 求导可得，.e 4121e 4121e 41)(y yyY y yy yy y f ---⋅=-⋅⋅-⋅⋅=故Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤=-.0,e 41,0,0)(y y y y f yY七.(本题6分)某商店负责供应某地区1000人商品，某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间，各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以%7.99的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.解 设⎩⎨⎧=人购买该种商品第人不购买该种商品第i i X i ,1,,0(1000,,2,1 =i )，X 表示购买该种商品的人数，则)6.0,1000(~B X .又设商品预备n 件该种商品，依题意，由中心极限定理可得)240600240600()()(-≤-=-≤-=≤n X P DXEX n DXEX X P n X P 997.0)240600(=-Φ≈n . 查正态分布表得75.2240600=-n ，解得6436.642≈=n 件.八.(本题10分)一个罐内装有黑球和白球，黑球数与白球数之比为R . (1) 从罐内任取一球，取得黑球的个数X 为总体，即⎩⎨⎧=白球，，黑球，，01X 求总体X 的分布；(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，其中有m 个白球，求比数R 的最大似然估计值. 解（1） X 1 0 PR R +1 R+11即RR R R R x X P xxx+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+==-1111)(1 )1,0(=x ; （2）nx ni i iR R x XP R L i)1()()(1+∑===∏=，两边取对数，)1ln()(ln R n x R R L i +-∑=，两边再关于R 求导，并令其为0，得011=+-∑Rnx i ， 从而∑∑-=iixn xRˆ，又由样本值知，m n x i-=∑，故估计值为1ˆ-=mn R . 九.(本题14分)对两批同类电子元件的电阻进行测试，各抽6件，测得结果如下（单位:Ω）:A 批:0.140，0.138，0.143，0.141，0.144，0.137；B 批:0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.141. 已知元件电阻服从正态分布，设05.0=α，问:(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （2281.2)10(025.0=t ，15.7)5,5(025.0=F ）解 (1) 2221122210 σσσσ≠=：，：H H . 检验统计量为2221S S F =)5 ,5(~F （在0H 成立时）， 由05.0=α，查得临界值15.7)5 ,5(025.02/==F F α，15.712/1=-αF . 由样本值算得962.00000078.00000075.0==F ，由于2/2/1ααF F F <<-，故不能拒绝10H ，即认为两批电子元件的电阻的方差相等.(2) 211210 μμμμ==：，：H H .统计量62221SS Y X T +-=)10(~t （在0H 成立时），查表得临界值228.2)10(025.02/==t t α.再由样本值算得148.160000078.00000075.0139.01405.0=+-=T ，因为2/||αt T <，故接收0H .即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.模拟试题（二）参考答案一.单项选择题（每小题2分，共16分）1.设C , ,B A 表示3个事件，则C B A 表示（ ） (A) C , ,B A 中有一个发生(B) C , ,B A 中不多于一个发生(C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生 解 本题应选C. 2.已知)(,61)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则====（ ）. (A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 41解 181)|()()(==A B P A P AB P ，187)()()(1)(1)()(=+--=-==AB P B P A P B A P B A P B A P . 故本题应选A.3.设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（ ）(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}1{=≤-Y X P解 )2,1(~N Y X +，)2,1(~--N Y X ，故本题应选B.4.设X 与Y 为两随机变量，且6.0,1,4===XY DY DX ρ，则=-)23(Y X D （ ） (A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6解 2.1),cov(=⋅=DY DX Y X XY ρ，6.25),cov(1249)23(=-+=-Y X DY DX Y X D .故本题应选C.5.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则2X 的数学期望是（ ）(A) λ (B)λ1(C) 2λ (D) λλ+2解 222)(λλ+=+=EX DX EX ，本题应选D.6.设n X X X ,,,21 是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本方差，记∑=--=n i i X X n S 122)(111 ∑=-=n i i X X n S 1222)(1 ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ ∑=-=n i i X n S 1224)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）(A) 1/1--=n S X t μ (B) 1/2--=n S X t μ (C) 1/3--=n S X t μ(D) 1/4--=n S X t μ解 ),(~2nN X σμ，)1(~)(1122--∑=n t X Xni iσ，再由t 分布的定义知，本题应选B.7.设总体X 均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而,,,21 X X n X 是该总体的一个样本，X 为样本方差，则总体方差2σ的矩估计量是（ ）(A) X (B) ∑=-ni i X n 12)(1μ(C) ∑=--n i i X X n 12)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 解 本题应选D.8.在假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ） (A) 都增大 (B) 都减小(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小 解 本题应选B.二.填空题（每空2分，共14分）1.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件中有1件是不合格品，则另外1件也是不合格品的概率为________.解 设A 表示两件中有一件不合格品，B 表示两件都是不合格品.则所求的极限为51)()()()()|(===A P B P A P AB P A B P2.设随机变量X 服从)8.0 ,1(B 分布，则X 的分布函数为________.解 X 服从0-1分布，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.11,10,2.0,0,0)(x x x x f3.若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且6.0}40{=<<X P ，则}0{<X P =________. 解 2=μ，即其密度函数关于2=x 对称.由对称性知2.026.01}0{=-=<X P . 4.设总体X 服从参数为p 的0－1分布，其中)10(<<p p 未知.现得一样本容量为8的样本值:0，1，0，1，1，0，1，1，则样本均值是________，样本方差是________.解 由定义计算知85=X ;56152=S . 5.设总体X 服从参数为λ的指数分布，现从X 中随机抽取10个样本，根据测得的结果计算知27101=∑=i ix，那么λ的矩估计值为________.解 27101ˆ==Xλ. 6.设总体) ,(~2σμN X ，且2σ未知，用样本检验假设00μμ=：H 时，采用的统计量是________. 解 )1(~0--=n t nSX T μ (0H 为真时).三.（本题8分）设有三只外形完全相同的盒子，Ⅰ号盒中装有14个黑球，6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球，25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球，42个白球.现在从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球，求:（1）取到的球是黑球的概率；（2）若取到的是黑球，它是取自Ⅰ号盒中的概率.解 设321,,A A A 分别表示从第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ号盒中取球，B 表示取到黑球. (1) 由全概公式可得≈⋅+⋅+⋅==∑=5083130531201431)|()()(31i i i A B P A P B P 0.342;(2) 由贝叶斯公式得≈=)()|()()|(111B P A B P A P B A P 0.682.四.（本题6分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他，，，，002cos 21)(πx x x f ， 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π地次数，求2Y 的数学期望.解 21d 2c o s 21)3(3==>⎰πππx x X P ，)21 ,4(~B Y ，从而5)(22=+=EY DY EY .五.（本题12分） 设),(Y X 的联合分布律为YX 0 1 2 1 0.1 0.05 0.35 2 0.3 0.1 0.1 问:(1) Y X ,是否独立；(2) 计算)(Y X P =的值；(3) 在2=Y 的条件下X 的条件分布律. 解 (1) 因为)0()1(4.05.02.01.0)0,1(===⋅=≠===Y P X P Y X P ， 所以Y X ，不独立; (2) 15.01.005.0)2,2()1,1()(=+===+====Y X P Y X P Y X P ; (3) 9745.035.0)2()2,1()2|1(========Y P Y X P Y X P ，92971)2|2(=-===Y X P .六.（本题12分）设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=,,0,10,12),(2其他x y y y x f 求:(1) X 的边缘密度函数)(x f X ；(2) )(XY E ； (3) )1(>+Y X P . 解 (1)⎩⎨⎧≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤==⎰⎰∞+∞-.,0,104,0,10,d 12d ),()(302其他其他x xx y y y y x f x f x X(2) 21d 12d )(0310==⎰⎰y xy x XY E x ;(3) ==>+⎰⎰-y y x Y X P x x d 12d )1(1212187.七.（本题6分）一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一均匀分布，其数学期望为2mm ，均方差为0.05，规定总长度为)1.020(±mm 时产品合格，试求产品合格的概率.解 设i X 表示第i 部分的长度，10,,2,1 =i ，X 表示部件的长度.由题意知2=i EX ，0025.0=i DX ，且∑==101i iXX ，20=EX ，025.0=DX .由独立同分布的中心极限定理知，产品为合格品的概率为)025.01.0|025.020(|)1.0|20(|≤-=≤-X P X P4714.01)025.01.0(2=-Φ=. 八.（本题7分）设总体X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-=--,,0,0,e )!1()(1其他x x k x f x k k θθ 其中k 为已知正整数，求θ的极大似然估计.解 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，当0,,,21>n x x x 时，似然函数∑-===-=-=∑∏ni ix ni k innkni i xk x f L 1e])!1[()()(111θθθ，两边取对数，∑-+--===-∑ni i ni k ix x k n nk L 111ln )!1ln(ln )(ln θθθ，关于θ求导，并令其为0，得0)(ln 1=∑-==ni i x nkL θθ，从而解得θ的极大似然估计为XkX nkni i=∑==1ˆθ. 九.（本题14分）从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下: 东支:230.01=x ，1337.021=n s ， )9(1=n西支:269.02=x ，1736.022=n s ， )8(2=n 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？)05.0(=α53.4)7 ,8( (025.0=F ，90.4)8 ,7(025.0=F ，) 1315.2)15(0025.0=t解 本题是在未知方差，又没有说明方差是否相等的情况下，要求检验两总体均值是否相等的问题，故首先必须检验方差是否相等，在相等的条件下，检验总体均值是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ，统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ，经检验，接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=， 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n sn s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验，接受0H ，即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题5分） 设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,0,3)(23其它θθx x x f其中θ为未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，证明:X 34是θ的无偏估计量.证明 ⎰∞+∞-===x x xf EX X E X E d )(343434)34(θθθ==⎰033d 334x x ， 故X 34是θ的无偏估计量.模拟试题（三）参考答案一.填空题（每小题2分，共14分）1.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8180，则该射手的命中率为 . 解 设A 表示一次射击中击中目标，依题意，四次都没击中的概率为81801)(4-=A P ，解得31)(=A P ，从而射手的命中率为32)(=A P . 2.若事件A ，B 独立，且p A P =)(，q B P =)(则=+)(B A P . 解 pq p B P A P B P A P B A P +-=-+=1)()()()()( .3.设离散型随机变量X 服从参数为λ（0>λ）的泊松分布，已知==)1(X P )2(=X P ，则λ= . 解 )2(e 2e)1(2=====--X P X P λλλλ，从而解得2=λ.4.设相互独立的两个随机变量X ，Y 具有同一分布律，且X 的分布律为:X 0 1P 21 21则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 .解 Z 的可能取值为0，1.412121)0()0()0,0()0(=⋅========Y P X P Y X P Z P . 43411)1(=-==Z P . 5.设随机变量X ，Y 的方差分别为25=DX ，36=DY ，相关系数4.0=XY ρ，则),(Y X Cov = . 解 12),cov(=⋅=DY DX Y X XYρ.6.设总体X 的期望值μ和方差2σ都存在，总体方差2σ的无偏估计量是21)(∑=-n i i X X n k ，则=k .解 1-=n n k . 7.设总体),(~2σμN X ，μ未知，检验2020σσ=H ：，应选用的统计量是 .解)1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (0H 为真时)二 .单项选择题（每小题2分，共16分）1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放，则4本外文书放在一起的概率为（ ） (A)!10!6!4 (B)107 (C)!10!7!4 (D)104 解 本题应选C.2.若事件B A ,相互独立，则下列正确的是（ ） (A) =)|(A B P )|(B A P(B) =)|(A B P )(A P(C) )|(B A P )(B P =(D) =)|(B A P )(1A P -解 由独立性的定义知，==)()|(A P B A P )(1A P -，故本题应选D.3.设随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，且6.1=EX ，28.1=DX ，则n ，p 的值为（ ） (A) n =8，p =2.0 (B) n =4，p =4.0 (C) n =5，p =32.0(D) n =6，p =3.0解 由6.1=np ，28.1)1(=-p np ，解得n =8，p =2.0，本题应选A.4.设随机变量X 服从正态分布)1,2(N ，其概率密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，则有（ ） (A) =≥)0(X P =≤)0(X P5.0 (B) =≥)2(X P =≤)2(X P 5.0 (C) )(x f =)(x f -，),(∞+-∞∈x (D) =-)(x F -1)(x F ， ),(∞+-∞∈x解 2=EX ，故其密度函数关于2=x 对称，故本题应选B.5.如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=，则下列式子正确的是（ ） (A) X 与Y 相互独立 (B) X 与Y 不相关 (C) 0=DY(D) 0=⋅DY DX解 由)(Y X D +)(Y X D -=，可得0),cov(=Y X ，从而可知X 与Y 不相关，故本题应选B.6.设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，令=Y 212)(σ∑=-ni iX X，则~Y （ ）(A) )1(2-n χ (B) )(2n χ (C) ),(2σμN (D)),(2nN σμ解 本题应选A.7.设n X X X ,,,21 是取自总体),0(2σN 的样本，可以作为2σ的无偏估计量的统计量是（ ）(A) ∑=n i i X n 121 (B) ∑=-n i i X n 1211 (C) ∑=n i i X n 11 (D)∑=-ni i X n 111 解 由无偏估计的定义及期望的性质知，2221212)(1)1(σ==+===∑∑==DX EX DX EX EX n X n E ni i n i i ，故A 选择正确，同理验算其他选项，B ，C ，D 均不正确.故本题应选A.8.样本n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN ，若进行假设检验，当（ ）时，一般采用统计量nS X t /0μ-=(A) μ未知，检验2σ=20σ(B) μ已知，检验2σ=20σ(C) 2σ未知，检验 μ=0μ(D) 2σ已知，检验μ=0μ解 本题应选C. 三.（本题8分）有两台车床生产同一型号螺杆，甲车床的产量是乙车床的5.1倍，甲车床的废品率为%2，乙车床的废品率为%1，现随机抽取一根螺杆检查，发现是废品，问该废品是由甲车床生产的概率是多少？解 设21,A A 分别表示螺杆由甲，乙车床生产的事件.B 表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得)|()()|()()|()()|(2211111A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=75.001.05202.05302.053=⋅+⋅⋅=. 四.（本题8分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为2.0，机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障获利润5万元，发生两次故障获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，问一周内期望利润是多少？解 设X 表示一周中所获的利润，其分布律为:X0 5 10P 548.08.02.051-⋅⋅- 48.02.05⋅⋅ 58.0从而由期望的定义计算可得216.5=EX .五.（本题12分）1.设随机向量X ，Y 的联合分布为:X Y 1 2 31 061 1212 61 61 613 121 61(1) 求X ，Y 的边际分布；(2) 判断X ，Y 是否独立. 解 (1) X 的边际分布为： Y 的边际分布为：X 1 2 3 Y 1 2 3 P 41 21 41 P 41 21 41(2) X 与Y 不相互独立.2.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为:),(y x f =⎩⎨⎧<<-其他，，，，00e y x y求概率)1(≤+Y X P .解 ==≤+⎰⎰--y x Y X P x xyd e d )1(1210211e2e 1---+.六.（本题8分）设连续型随机变量X 的分布函数为:=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-，，，，000e 22x x B A x求: (1) 系数A 及B ；(2) 随机变量X 的概率密度； (3) )9ln 4ln (≤≤X P . 解 (1) 由分布函数的性质知1)e(lim )(22==+=+∞-+∞→A B A F x x ，)0(0)e (lim )(lim 202F B A B A x F x x x ==+=+=-→→++，从而1-=B ;(2) 分布函数的导数即为其概率密度，即)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-000e 22x x x x ，，，(3) 61)4ln ()9ln ()9ln 4ln (=-=≤≤F F X P . 七.（本题8分）设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，X 的概率密度为:)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他，，，，0101x x θθ其中0>θ，求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.解 令X x x EX =+==⎰1d 10θθθθ，从而解得θ的矩估计量为2)1(XX -=θ. 极大似然估计为:∑∑==+=ni ini iXX n 11ln ln θ.(具体做法类似与模拟试卷二第八题)八.（本题１０分）设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为5.66分，标准差为15分，问在显著水平05.0下，是否可认为全体考生的平均成绩为70分？解 假设0H :70=μ，选取统计量ns X T /μ-=)1(~-n t ， (0H 为真时)在05.0=α下，查t 分布的双侧临界值表知0301.2025.0=t .另一方面，计算统计量的值0301.24.136/15705.66||<=-=T ，从而接受原假设，即可认为全体考生的平均成绩为70分.九.（本题１２分）两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查，测得其平均年存款余额分别为x =2600元和y =2700元，样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元，假设年存款余额服从正态分布，试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（10.0=α）解 此题要求检验21μμ=，由于t 检验必须在方差相等的条件下进行，因此必须先检验21σ与22σ是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ，统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ，经检验，接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=，统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验，拒绝0H ，即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题４分）设总体X 服从参数为λ的泊松分布，λ为未知参数，⎩⎨⎧-=为偶数，，为奇数，，X X X T 11)( 证明:)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.证明 ∑∞===0)()()]([x x X P x T TX T E∑∞=-=0!)(x xex x T λλ=-=∑∞=-0!)1(n nne n λλλ2-e ，所以)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.模拟试题（四）参考答案一.填空题(每小题2分，共20分)1.设)(A P =0.4，)(B P =0.5.若,7.0)(=B A P 则=+)(B A P . 解 55.0)|()()()()(=-+=+B A P B P B P A P B A P2.若随机变量X 服从二项分布，即)1.0,5(~B X ，则=-)21(X D .解 8.19.01.0544)21(=⋅⋅⋅==-DX X D . 3.三次独立重复射击中，若至少有一次击中的概率为6437，则每次击中的概率为 . 解43. 4.设随机变量X 的概率密度是:⎩⎨⎧<<=,,0,10,3)(2其他x x x f 且，784.0)(=≥a X P 则=a .解 由784.0)(=≥a X P 知，10<<α.故，784.01d 3)(132⎰=-==≥ααx x a X P 从而6.0=α. 5.利用正态分布的结论，有:=+-⎰∞+∞---x x x x d e )44(212)2(22π .解 令t x =-2，则原式1)(d e212222=+==⎰∞+∞--EX DX t t t π，这里)1,0(~N X .6.设总体X 的密度函数为:⎩⎨⎧<<=-,,0,10,)(1其他x x x f αα)0(>αα为参数其中，n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观测值，则样本的似然函数=);,,,(21αn x x x L .解 ∏=-ni i nx 11αα.7.设X ，Y 是二维随机向量，DX ，DY 都不为零，若有常数0>a 与b 使1)(=+-=b aX Y P ，这时X 与Y 是 关系.解 完全相关.8.若),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，2,S X 分别为样本均值和方差，则SnX )(μ-服从分布.解 )1(-n t .9.设),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，X 与Y 相互独立.从X ，Y 中分别抽取容量为21,n n 的样本，样本均值分别为Y X ,，则Y X -服从分布 .解 ),(22212121n n N σσμμ+-.10.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9，若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为____________.解 9.0),cov()4.0,cov(),cov(==-=X Y X Y Z Y . 二.单项选择题(每小题2分，共12分)1. 设随机变量X 的数学期望EX 与2σ=DX 均存在，由切比雪夫不等式估计概率}4{σ<-EX X P 为( ) (A) 161≥(B) 161≤(C) 1615≥(D) 1615≤解 本题应选C.2.B A ,为随机随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是( ). (A) )()(A P B A P =(B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()(A P AB P = (D) )()(B P A B P =解 本题应选A.3. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其他，，，，010)(x B Ax x f 且127=EX ，则( ).(A) 5.0,1-==B A (B) 1,5.0=-=B A (C) 1,5.0==B A (D) 5.0,1==B A解 令1d )(10=+⎰x B Ax ，127d )(10=+⎰x x B Ax ，解得5.0,1==B A ，故本题应选D.4.若随机变量X 与Y 不相关，则有( ). (A) )(9)()3(Y D X D Y X D -=- (B) )()()(Y D X D XY D ⨯= (C) 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E(D) 1)(=+=b aX Y P解 本题应选C.5.已知随机变量),(~21n n F F ，且αα=>)},({21n n F F P ，则=-),(211n n F α( ).(A) ),(121n n F α(B)),(1121n n F α-(C)),(112n n F α(D) ),(1211n n F α-解6.将一枚硬币独立地掷两次，记事件:=1A {掷第一次出现正面}，=2A {掷第二次出现正面}，=3A {正、反面各出现一次}，=4A {正面出现两次}，则事件( ).(A) 321,,A A A 相互独立 (B) 432,,A A A 相互独立 (C) 321,,A A A 两两独立(D) 432,,A A A 两两独立解 21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，再由事件独立的充分必要条件可知321,,A A A 两两独立，本题应选C.三.计算题(每小题８分，共48分)1.某厂由甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3:2:1，各车间产品的不合格率依次为8%，9%，12%.现从该厂产品中任意抽取一件，求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品，求它是由甲厂生产的概率. 解 (1) 运用全概率公式， 0.09;(2) 运用贝叶斯公式， 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件，第i 个零件是不合格品的概率为)3,2,1(11=+=i ip i ，以X表示三个零件中合格品的个数，求:(1) X 的概率分布； (2) X 的方差DX .解 (1)12234132411241=⋅+⋅+=EX ， (2)2741924114412=⋅+⋅+=EX ，故521.0)(22=-=EX EX DX . 3.设总体X ),0(~2σN ，2σ为未知参数，n x x x ,,,21 是来自总体X 的一组样本值，求2σ的最大似然估计.解 似然函数21221222222e )21(e)21()(σσσπσπσ∑=∑===--ni i ni i x nx nL ，两边取对数212222ln 22ln 4)(ln σσπσ∑---==ni ix nn L ，关于2σ求导，并令其为零，得0)(21222122=∑+⋅-=σσni ix n ， 从而解得极大似然估计量为∑==n i i x n 1221ˆσ. 4.二维随机变量(X ，Y )的联合概率密度:⎩⎨⎧>>=+-其它，，，，00,0e 2),()2(y x y x f y x 求: (1) X 与Y 之间是否相互独立，判断X 与Y 是否线性相关；(2) )1(≤+X Y P .解 (1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==⎰⎰∞++-∞+∞-0,0,0,d e 2d ),()(0)2(x x y y y x f x f y x X⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e x x x 同理⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(2y y yf y Y 从而)()(),(y f x f y x f Y X =，故X 与Y 相互独立，因而X 与Y 一定不相关.(2) =≤+)1(X Y P =⎰⎰-+-y x x y x d 2e d 10)2(1021)e 1(--.3415.某人乘车或步行上班，他等车的时间X (单位:分钟)服从参数为51的指数分布，如果等车时间超过10分钟他就步行上班.若此人一周上班5次，以Y 表示他一周步行上班的次数.求Y 的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为210e d e 51)10(--∞+==>⎰x X P sx. 故)e ,5(~2-B Y .52)e 1(1)1(---=≥Y P . 6.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈⋅=其他，，，，0]8,1[31)(32x x x f )(x F 是X 的分布函数.求随机变量)(X F Y =的概率分布.解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤=.8,1,81,1,1,0)(31x x x x x F(3) 当0<y 时，0)()(=≤=y Y P y F Y ;当10<≤y 时，))1(()1()()(331+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Yy y F X =+=))1((3;当1≥y 时，1)()(=≤=y Y P y F Y . 故对)(y F Y 求导可得Y 的概率密度，⎩⎨⎧<<=其它，，，，0101)(y y f Y 即]10[~，U Y 四.应用题(第1题7分、第2题8分，共15分)1.假设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹的命中率等于0.2，用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.解 设⎩⎨⎧=发炮弹命中第发炮弹没有命中第i i X i ,1,,0 (400,,2,1 =i )，则∑==4001i i X X )2.0,400(~B表示400发炮弹命中的发数，且80=EX ，64=DX ，故由中心极限定理知，)6420|6480(|)20|80(|)10060(<-=<-=<<X P X P X P9876.01)820(2=-Φ=. 2.某厂生产铜丝，生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算:5.160)(,5.28712=-=∑=ni i x x x .假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16?(1.0=α)解 16162120≠=σσ：，：H H . 采用统计量2221S n σχ-=，在0H 成立时，)9(~22χχ.由1.0=α，查得临界值325.3)9(295.022/1==-χχα， 919.16)9(205.022/==χχα，由样本值算得03.10165.1602≈=χ，由于22/222/1ααχχχ<<-，所以不拒绝0H ，即该厂生产的铜丝的折断力方差为16. 五.证明题(5分)若随机变量X 的密度函数)(x f ，对任意的R x ∈，满足:)()(x f x f -=，)(x F 是其分布函数.证明:对任意实数a ，有⎰-=-a x x f a F 0d )(21)(.证明 ⎰⎰⎰-∞--∞-+==-aax x f x x f x x f a F 0d )(d )(d )()(⎰-+=a x x f 0d )(21(令x t -=) ⎰⎰⎰-=-=--=a a a x x f t t f t t f 000d )(21d )(21d )(21.。
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模拟二
一、填空
1、设P(A)=0.4,P(B)0.3,==⋃)(,4.0)(B A P B A P 则
2、设连续型随机变量==
<<>λλλλλ,4
1)2(),0)((~X P E X 3、设随机变量~,12),1,0(~Y X Y N X 则+=
4、若=)(),10(~222χχχE 则 =)(2χD .
5、在一次试验中，事件A 发生的概率为P,现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率是 ,A 至多发生一次的概率是 。
二、选中
1、设A 、B 互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则有（ ）
A 、；、)()|(,0)|(A P
B A P B A B P =>
)()()()(;0)|()(B P A P AB P D B A P C ==
2、设随机变量}|{|),,(~2
σμσσμ<-X P N X 增大，则随( ) (A)单调增大， （B ）单调减少 （C ）保持不变 （D ）增减性不定
3、若随机变量X,Y 满足D(X+Y)=D(X-Y),则必有（ ）
（A ）X,Y 独立 （B ）X ，Y 不相关 （C ）DY=0 (D)DY=0
4．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它
,031,)(x c x p ，则D(X)= (A) 2 (B)1/2 (C) 3 (D)1/3
5、一批合格产品中有a 只正品，b 只次品，有放回的任取两次，第二次取到正品的概率为（ ）
（A ）（a-1）/（a+b-1） (B) a(a-1)/[(a+b)(a+b-1)] (C) a/(a+b) (D)[a/(a+b)]2
三、计算与证明题
1、在多项选择题中，某考生可能知道正确答案，也可能是乱猜一个，令他知道正确答案的概率是p ，而乱猜的概率是1-p ，设他乱猜答案猜对的概率是1/m,这里m 是多项选择的个数，如果已知他答对了，问他确实知道考题正确答案的概率是多少？
2、设连续型随机变量X 的概率密度函数为
)0(,0,
00,)(2为参数>⎩⎨⎧<≥=-λλx x e Ax x f x 求（1）A; (2)随机变量X 的分布函数；（3）).10(λ<
<X P
3、设X,Y 联合概率分布列为
4、设随机变量X,Y 独立且均服从.||),21,0(Y X E N -求
5、叙述并证明伯努利大数定律.
6、设总体X 服从)3.0,0(2N 分布，),,,(1021X X X 为X 的容量为10的样本，
求).44.1(1012>∑=i i X P )8652.410
1610(29.021.0≈≈）（，）（注：χχ。