高一必修一函数单调性课件
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新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
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7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
随堂水平达标
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
核心概念掌握
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答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
函数的单调性课件(共17张PPT)
如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则 不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
高中数学《函数单调性》教学课件
解：(1) 令m=n=0，那么f(0)=f(0)+f(0)-1，所以f(0)=1
又f(0.5-0.5)=f[0.5+(-0.5)]=f(0.5)+f(-0.5)-1 所以f(0)=2+f(-0.5)-1， f(-0.5)=f(0)-1=0.
函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n均有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1，且f(0.5)=2，又当x>-0.5 时，有f(x)>0。
即f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)=-x2+2x-3在区间[1，+∞)上 是减函数。
函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n均有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1，且f(0.5)=2，又当x>-0.5 时，有f(x)>0。
(1) 求f(-0.5)的值； (2) 求证：f(x)是单调递增函数。
5
当x1<x2时，f(x1)<f(x2) 这时我们就说函数f(x)
4
. 3
2
f(x1)
=x2在区间(0，+∞)上是增
1 . .x
函数。
-3-2 -1 0 1x12x32
判断以下函数的单调性和单调区间。〔a>0〕
y
y
6 y=ax+b
6 y=-ax+b
4
4
2
-4 -2 -2
2 46 x
2
-4 -2 -2
P(V1)-P(V2)= Vk1-
k V2
=k
V2-V1 V1V2
由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V2>0
由V1<V2，得V2-V1>0 由k>0，于是P(V1)-P(V2)>0
又f(0.5-0.5)=f[0.5+(-0.5)]=f(0.5)+f(-0.5)-1 所以f(0)=2+f(-0.5)-1， f(-0.5)=f(0)-1=0.
函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n均有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1，且f(0.5)=2，又当x>-0.5 时，有f(x)>0。
即f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)=-x2+2x-3在区间[1，+∞)上 是减函数。
函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n均有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1，且f(0.5)=2，又当x>-0.5 时，有f(x)>0。
(1) 求f(-0.5)的值； (2) 求证：f(x)是单调递增函数。
5
当x1<x2时，f(x1)<f(x2) 这时我们就说函数f(x)
4
. 3
2
f(x1)
=x2在区间(0，+∞)上是增
1 . .x
函数。
-3-2 -1 0 1x12x32
判断以下函数的单调性和单调区间。〔a>0〕
y
y
6 y=ax+b
6 y=-ax+b
4
4
2
-4 -2 -2
2 46 x
2
-4 -2 -2
P(V1)-P(V2)= Vk1-
k V2
=k
V2-V1 V1V2
由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V2>0
由V1<V2，得V2-V1>0 由k>0，于是P(V1)-P(V2)>0
函数的单调性_PPT课件
同理可得f（x）在（0, a］上是减函数.
当x<0时，由奇函数的性质知函数f（x）
在（-∞, a］上是增函数，在［ ,a0）上是 减函数.
综上，函数f（x）在［ a ,0）,（0, a］
上是减函数，在（-∞, ］a ,［ ,a+∞）上是增 函数.
18
【评注】研究函数的单调性一般有两种方 法，即定义法和导数法.定义法是基础，掌握定 义法的关键是作差（f（x2）-f（x1）），运算 的结果可以判断正、负.本题判断正、负的依据 是代数式“x1x2-a”，处理这个代数式的符号是 一个难点，要有一定的数学功底作基础.把x1、 x2看成自变量，则转化为判断“x2-a”的符号， 于是转化为判断“x ”的 符a 号，自然过渡 到x= 是函数a单调区间的分界点.
0(x [2, ,
3a 0
))
解得-4<a≤4.
所以实数a的取值范围是（-4,4］.
28
【评注】利用函数单调性讨论参数的取 值范围是高考试题考查能力的知识结合点， 一般要弄清三个环节：（1）考虑函数的定义 域，保证研究过程有意义.本题中，不能忽视 u=x2-ax+3a>0;（2）保证常见函数的单调区间 与题目给出的单调区间的同一性.本题中， ［ a ,+∞）上是单调增区间与［2,+∞）一致； （32）注意防止扩大参数的取值范围，本题中， u（2）>0.
1 2
.
33
题型5 抽象函数的单调性
已知函数f（x）的定义域为
（0，
+∞），当x>1时，f（x）>0，且对于任意的正
数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）.
（1）证明：函数f（x）在定义域上是增函 数；
函数的单调性优质课课件
利用定义判断函数单调性的例题
总结词
通过比较任意两点间函数值的大小来判断函数的单调性。
详细描述
选取定义域内任意两点$x_1$和$x_2$（假设$x_1 < x_2$），如果对于任意$x_1 < x_2$都有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则函数在此区间内 单调递增（或递减）。例如，对于函数$f(x) = x^2$， 在区间$(-infty, 0)$上任取两点$x_1 < x_2$，有$f(x_1) = x_1^2 < x_2^2 = f(x_2)$，因此函数在区间$(-infty, 0)$上单调递增。
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过求导数判断函数的单调性，是解决此类问题的常用方法。
首先求出函数的导数，然后根据导数的正负判断函数的增 减性。例如，对于函数$f(x) = x^3 - 3x^2$，求导得到 $f'(x) = 3x^2 - 6x$，令$f'(x) > 0$，解得$x < 0$或$x > 2$，因此函数在区间$(-infty, 0)$和$(2, +infty)$上单调递 增，在区间$(0, 2)$上单调递减。
定义法
总结词
通过比较任意两点函数值判断函数单调性
详细描述
在区间内任取两点x1、x2，比较f(x1)与f(x2)的大小，若f(x1) < f(x2)，则函数 在此区间内单调递增；若f(x1) > f(x2)，则函数在此区间内单调递减。
图像法
总结词
通过观察函数图像判断函数单调 性
详细描述
通过观察函数图像的上升或下降 趋势，判断函数的增减性。如果 图像上升，则函数单调递增；如 果图像下降，则函数单调递减。
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
高一上函数单调性的应用课件
答案
$lbrack - 1,5 - 2sqrt{5}rbrack$
高阶练习题
题目
已知函数$f(x) = log_{2}(x^{2} - (a + 1)x + a)$在区间 $(1, + infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是____ ．
解析
利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质，确定参数 $a$的取值范围。
题目
已知函数$f(x) = log_{2}(x^{2} - (2t + 1)x + t^{2} + 1)$，若函数$f(x)$在区间$lbrack t + 1,t + 3rbrack$ 上有意义，则实数$t$的取值范围是____．
解析
根据对数函数的定义域，结合一元二次不等式的解法， 确定参数$t$的取值范围。
要点二
详细描述
如果函数在某个区间上是增函数，那么当自变量取值范围 为该区间时，因变量取值范围为该区间对应的函数值的上 界和下界之间的所有实数；如果函数在某个区间上是减函 数，那么当自变量取值范围为该区间时，因变量取值范围 为该区间对应的函数值的下界和上界之间的所有实数。因 此，通过利用函数单调性，我们可以更方便地求解函数的 值域。
的取值范围是____．
解析：首先确定二次函数的对称轴为 $x=1$，然后根据对称轴和区间的关
系确定$a$的取值范围。
答案：$( - infty,1rbrack$
题目：已知函数$f(x) = log_{2}(x + 3) - 1$的定义域为$( - 3,a)$，则实数 $a$的值为____．
解析：根据对数函数的定义域，确定 $a$的取值范围。
详细描述
在区间上任取两点$x_{1}$和$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$， 则函数在此区间上单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数
$lbrack - 1,5 - 2sqrt{5}rbrack$
高阶练习题
题目
已知函数$f(x) = log_{2}(x^{2} - (a + 1)x + a)$在区间 $(1, + infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是____ ．
解析
利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质，确定参数 $a$的取值范围。
题目
已知函数$f(x) = log_{2}(x^{2} - (2t + 1)x + t^{2} + 1)$，若函数$f(x)$在区间$lbrack t + 1,t + 3rbrack$ 上有意义，则实数$t$的取值范围是____．
解析
根据对数函数的定义域，结合一元二次不等式的解法， 确定参数$t$的取值范围。
要点二
详细描述
如果函数在某个区间上是增函数，那么当自变量取值范围 为该区间时，因变量取值范围为该区间对应的函数值的上 界和下界之间的所有实数；如果函数在某个区间上是减函 数，那么当自变量取值范围为该区间时，因变量取值范围 为该区间对应的函数值的下界和上界之间的所有实数。因 此，通过利用函数单调性，我们可以更方便地求解函数的 值域。
的取值范围是____．
解析：首先确定二次函数的对称轴为 $x=1$，然后根据对称轴和区间的关
系确定$a$的取值范围。
答案：$( - infty,1rbrack$
题目：已知函数$f(x) = log_{2}(x + 3) - 1$的定义域为$( - 3,a)$，则实数 $a$的值为____．
解析：根据对数函数的定义域，确定 $a$的取值范围。
详细描述
在区间上任取两点$x_{1}$和$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$， 则函数在此区间上单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数
函数的单调性 ppt课件
•上是减少的． [思路分析] 利用函数增减性的定义来证明，其关键是对 f(x1)－f(x2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式．
[规范解答] 设 0<x1<x2≤3，则有 y1－y2＝(x1＋x91)－(x2＋x92) ＝(x1－x2)－9xx11－x2x2
• [规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的 步骤：
• (1)判断：先判断函数的单调性．
• (2)求值：利用单调性代入自变量的值求得最 值．
• 2．明确利用单调性求最大值、最小值易出错 的几点：
• (1)写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而 不是横坐标．
• (2)求最值忘记求定义域．
• (3)求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断 单调性而直接将两端点值代入．
• [规律总结] 证明函数在某个区间上的单调性 的步骤：
• (1)取值：在给定区间上任取两个值x1，x2， 且x1<x2；
• (2)作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分 解、通分、配方、分母(分子)有理化等方法 变形；
• (3)定号：判断上式的符号，若不能确定，则 分区间讨论；
• (4)结论：根据差的符号，得出单调性的结 论．
• (2)函数y＝3x2＋6x－12在区间________上 为增函数，在区间________上为减函数．
• [答案] [－1，＋∞) (－∞，－1]
• [解析] ∵y＝3x2＋6x－12＝3(x＋1)2－15，
• ∴它的图像开口向上，对称轴为x＝－1.
• ∴在[－1，＋∞)上为增函数，在(－∞，－1] 上为减函数.
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
精品资料
第二章 §3 函数的单调性
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1.3 函数的基本性质 ——单调性
教 学 目 标
知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法.
过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，
应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数 形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决
问题的能力．
新知探究：
一、增函数和减函数的定义
y
O
y ＝ f(x ) f(x1) f(x2) x1 x2 x y ＝ f (x )
一般地，设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意 两个自变量x1 ,x2 ，当x1<x 2时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是增 函数．相应的区间D 叫做函数f(x)的单调区间 2.如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任 意两个自变量x1 ,x2 ，当x1<x 2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是减 函数．相应的区间D 叫做函数f(x)的单调区间
在区间[－2, 1)，[3, 5]上是增函数．
注意三： 若函数在其定义域内的某两个区间A、B或两 个以上的区间上都是增（减）函数，不能说 f(x)在A ∪B ∪ „上是增（减）函数，而要 用“和”或“，”来代替“∪”，即说成f(x) 在区间A和B或者A,B上是增（减）函数。 变式1：求y＝x2－4x＋5的单调区间.
1 – 1
1 x2
作差 变形
定号 下结论
函数y＝
1 x2
在(0，+∞)上是单调递减的
函数f(x)在（- ∞，0）上的单调性留给自己证明。
三、判断函数单调性的方法
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调 性的一般步骤：
1 、取值 (任取x1，x2∈D ，且x1<x2)
2 3 4 5
、作差（ f(x1)－f(x2) ） 、变形（因式分解、配方或有理化等） 、定号（判断差f(x1)－f(x2)的正负） 、下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．
= 1 x1 – x2-x1 1 x2
取值 作差 变形
x1 · x2
∵0 < x1 < x2 ∴x1 - x2 < 0, x1· x2 > 0 ∴f ( x1) – f ( x2 ) > 0 即 f ( x1) > f ( x2) 1 ∴f(x)= x 在(0,+∞)上是减函数.
1 x
定号
下结论
变式1： f x 在(－∞, 0)上是增函数还是减函数？
观察下列函数的图象并描述其变化规律：
y y＝x＋1 -1 y
y 1
O 2 y＝－2x＋2 1 x
x
O
y＝－x2＋2x 1
y
y＝ x2 x O
O
2
x
1、从左至右图象是上升还是下降？____
2、在区间 ________ 上，随着x的增大，相应函数f(x)的值随着 _____ ．
函数图象的”上升””下降”反映了函数的一个基本性质————函数的单调性.
变式2：讨论函数 f x
1 在定义域上的单调性． x
y x
1 f x 结论：此函数在其定义域上不具有单调性． x
课堂探究：ຫໍສະໝຸດ 例3、考察函数y＝ 的单调性？ 解：函数的定义域为（- ∞，0） ∪（0，+ ∞） 我们先考察函数在(0，+∞)上的单调性， 在(0,+∞ )上任取x1 ， x2，且0 < x1 < x2
课堂小结
1．两个定义：增函数、减函数． 2．两种方法： 判断函数单调性的方法 有图象法、定义法．
通过三个方面的 作业布置 作业，使学生养成先 看书，后做作业的习 （1）阅读课本P34－P35 例3 惯．课后尝试是对课 （2）书面作业：课本P43 1、4、7 堂知识的深化理解．
课后尝试
1、若定义在R上的单调减函数 f ( x) 满 足 f (1 a ) f (3 a ) ，你知道 a 的 取值范围吗？ 2 2、函数 y x bx c 在［0，＋∞ ） 是增函数，你能确定字母 b 的值吗？
O3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3
y
x
y
5 4 3 2 1 -1 0 1 2 3 4
例题解析：
1 例2 证明函数 f x x 在(0,+∞ )上是减函数.
证明：在(0,+∞ )上任取x1 ， x2，且0 < x1 < x2 则 f ( x1) –f (x2) =
新知探究：
二、函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数
y=f(x)在这个区间D 上具有单调性,这一区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间. 注意二： 1、函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区 间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集. 2、函数的单调性是对于某个区间而言的，在单独的某一点上不存在 单调性，在写单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于 某些无意义的点，单调区间就一定不包含这些点.
例题解析：
例1 右图是定义在闭区间[－5, 5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出y＝
f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝f(x)是增函数还是减函数．
解：函数y＝f(x)的单调区间有[－5,－2)，
[－2, 1)，[1, 3)，[3, 5]，其中y＝f(x)在 [－5,－2)，[1, 3)上是减函数，
情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养 学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．
教学重点:
（1）函数单调性的概念；
（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．
教学难点:
（1）函数单调性的知识形成；
（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．
新知探究：
谢 谢！
则 f ( x1) –f (x2) = x2 x22 1 2 x2 2 – x1 = 2 x2 x ·1 2 (x2+x1)(x2-x1) = x12 x22
∵0 < x1 < x2 ∴x2 - x1 > 0, x2 + x1 > 0, ∴f ( x1) – f ( x2 ) > 0 即 f ( x1) > f ( x2)
y
O
f(x1) x1
f(x2) x x
2
注意一：增减函数定义中，x1 , x2的三个特征
1、任意性. 在单调区间内是任意取x1 , x2 ，不能以特殊值替换. 2、有大小. 所取得两个值x1 , x2必须区分大小，通常规定x1< x 2 .
3、同属一个单调区间. 即所取的x1 , x2必须来自同一单调区间.
教 学 目 标
知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法.
过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，
应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数 形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决
问题的能力．
新知探究：
一、增函数和减函数的定义
y
O
y ＝ f(x ) f(x1) f(x2) x1 x2 x y ＝ f (x )
一般地，设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意 两个自变量x1 ,x2 ，当x1<x 2时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是增 函数．相应的区间D 叫做函数f(x)的单调区间 2.如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任 意两个自变量x1 ,x2 ，当x1<x 2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是减 函数．相应的区间D 叫做函数f(x)的单调区间
在区间[－2, 1)，[3, 5]上是增函数．
注意三： 若函数在其定义域内的某两个区间A、B或两 个以上的区间上都是增（减）函数，不能说 f(x)在A ∪B ∪ „上是增（减）函数，而要 用“和”或“，”来代替“∪”，即说成f(x) 在区间A和B或者A,B上是增（减）函数。 变式1：求y＝x2－4x＋5的单调区间.
1 – 1
1 x2
作差 变形
定号 下结论
函数y＝
1 x2
在(0，+∞)上是单调递减的
函数f(x)在（- ∞，0）上的单调性留给自己证明。
三、判断函数单调性的方法
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调 性的一般步骤：
1 、取值 (任取x1，x2∈D ，且x1<x2)
2 3 4 5
、作差（ f(x1)－f(x2) ） 、变形（因式分解、配方或有理化等） 、定号（判断差f(x1)－f(x2)的正负） 、下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．
= 1 x1 – x2-x1 1 x2
取值 作差 变形
x1 · x2
∵0 < x1 < x2 ∴x1 - x2 < 0, x1· x2 > 0 ∴f ( x1) – f ( x2 ) > 0 即 f ( x1) > f ( x2) 1 ∴f(x)= x 在(0,+∞)上是减函数.
1 x
定号
下结论
变式1： f x 在(－∞, 0)上是增函数还是减函数？
观察下列函数的图象并描述其变化规律：
y y＝x＋1 -1 y
y 1
O 2 y＝－2x＋2 1 x
x
O
y＝－x2＋2x 1
y
y＝ x2 x O
O
2
x
1、从左至右图象是上升还是下降？____
2、在区间 ________ 上，随着x的增大，相应函数f(x)的值随着 _____ ．
函数图象的”上升””下降”反映了函数的一个基本性质————函数的单调性.
变式2：讨论函数 f x
1 在定义域上的单调性． x
y x
1 f x 结论：此函数在其定义域上不具有单调性． x
课堂探究：ຫໍສະໝຸດ 例3、考察函数y＝ 的单调性？ 解：函数的定义域为（- ∞，0） ∪（0，+ ∞） 我们先考察函数在(0，+∞)上的单调性， 在(0,+∞ )上任取x1 ， x2，且0 < x1 < x2
课堂小结
1．两个定义：增函数、减函数． 2．两种方法： 判断函数单调性的方法 有图象法、定义法．
通过三个方面的 作业布置 作业，使学生养成先 看书，后做作业的习 （1）阅读课本P34－P35 例3 惯．课后尝试是对课 （2）书面作业：课本P43 1、4、7 堂知识的深化理解．
课后尝试
1、若定义在R上的单调减函数 f ( x) 满 足 f (1 a ) f (3 a ) ，你知道 a 的 取值范围吗？ 2 2、函数 y x bx c 在［0，＋∞ ） 是增函数，你能确定字母 b 的值吗？
O3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3
y
x
y
5 4 3 2 1 -1 0 1 2 3 4
例题解析：
1 例2 证明函数 f x x 在(0,+∞ )上是减函数.
证明：在(0,+∞ )上任取x1 ， x2，且0 < x1 < x2 则 f ( x1) –f (x2) =
新知探究：
二、函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数
y=f(x)在这个区间D 上具有单调性,这一区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间. 注意二： 1、函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区 间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集. 2、函数的单调性是对于某个区间而言的，在单独的某一点上不存在 单调性，在写单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于 某些无意义的点，单调区间就一定不包含这些点.
例题解析：
例1 右图是定义在闭区间[－5, 5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出y＝
f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝f(x)是增函数还是减函数．
解：函数y＝f(x)的单调区间有[－5,－2)，
[－2, 1)，[1, 3)，[3, 5]，其中y＝f(x)在 [－5,－2)，[1, 3)上是减函数，
情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养 学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．
教学重点:
（1）函数单调性的概念；
（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．
教学难点:
（1）函数单调性的知识形成；
（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．
新知探究：
谢 谢！
则 f ( x1) –f (x2) = x2 x22 1 2 x2 2 – x1 = 2 x2 x ·1 2 (x2+x1)(x2-x1) = x12 x22
∵0 < x1 < x2 ∴x2 - x1 > 0, x2 + x1 > 0, ∴f ( x1) – f ( x2 ) > 0 即 f ( x1) > f ( x2)
y
O
f(x1) x1
f(x2) x x
2
注意一：增减函数定义中，x1 , x2的三个特征
1、任意性. 在单调区间内是任意取x1 , x2 ，不能以特殊值替换. 2、有大小. 所取得两个值x1 , x2必须区分大小，通常规定x1< x 2 .
3、同属一个单调区间. 即所取的x1 , x2必须来自同一单调区间.