人教新课标版数学高一-2014版数学人教A版必修一练习1-3-1-1函数的单调性
人教A版数学必修一人教版高一函数及其表示同步训练题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作函数及其表示内容提要：理解函数的概念，会用集合与对应的语言刻画函数；明确函数的三要素；学会求函数的定义域，某些函数特殊的函数值，正确判断两个函数是否相等；正确使用“区间”表示函数的定义域、值域等数集；理解函数三种表示方法，学会分段函数的作图。
一、基础训练1、集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤x<1},下列表示从A到B的函数是（）A、f : x→y=12x B、f : x→y=2xC、f : x→y=13x D、f : x→y=x2、已知函数f(x)= , ,则f[f(-1)]=( )A、-1B、1C、4D、-43、下列哪个函数与y=x相等（）A、y=3x3B、y=x2C、y=(x )2 D、y=x2xx2+1 (x≤0)-x2(x>0)4、已知函数f(x)=x 2+ax+b 满足f(1)=f(2)=0，则f(-1)的值是（ ）A 、-6B 、6C 、-5D 、55、函数y=1-x +x-1 的定义域是（ ）A 、[1，+∞)B 、（- ∞，1]C 、 {1}D 、不能确定6、函数f(x)=|x|+1的图象是（ ） A 、 B 、C 、D 、 7、函数y=-x 2-2x+3 (-3≤x ≤0)的值域是（ ）A 、[0，3]B 、[0，4]C 、[3，4]D 、[-1，4]8、下列图象中不能．．作为函数y=f(x)的图象的是（ ）9、若函数f(x)=ax 2-1,a 为一个正常数，且f[f(-1)]=-1，那么a 的值是( )A 、1B 、0C 、-1D 、21 y x O1 yxO 1 y x O 1yxO y x O A y x O B y x O Cy x O D10、集合A 的元素按对应法则“先乘12减1”和集合B 中的元素对应，在这种对应所成的映射f:A →B 中，若集合B={1，2，3，4，5}，那么集合A 不可能．．．是（ ） A 、{4，6，8} B 、{4，6} C 、{2，4，6，8} D 、{10}二、能力提高11、函数f(x)=4-x x-1 的定义域是12、某种钢笔，每支5元，把买钢笔钱数y(元)表示钢笔个数x(支)的函数，则y= 其定义域为13、若函数f(x)满足f(x+1)=x 2-2x,则f(2)=14、已知函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=p,f(3)=q ，那么f(36)=三、解答题15、求一次函数f(x),使f[f(x)]=9x+116、画出函数f(x)=x+|x|x 的图象。
人教新课标版数学高一-2014版数学人教A版必修一练习1-1-3-1并集、交集
1.1.3集合的基本运算第1课时并集、交集基础达标1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝()．A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}解析N＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}．又M＝{－1,0,1}，∴M∩N＝{0,1}．答案 B2．若集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝()．A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅解析∵A＝{x|－1≤x≤1}，又B＝{x|x≥0}，∴A∩B＝{x|－1≤x≤1}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x≤1}．答案 C3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()．A．0 B．1 C．2 D．4解析∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.答案 D4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集的个数是________．解析∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．∴M∩N的所有子集为∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．答案 45．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|x＜－2或x＞5}，则A∪B＝________.解析将－3≤x≤4与x＜－2或x＞5在数轴上表示出来由图可得：A∪B＝{x|x≤4或x＞5}．答案{x|x≤4或x＞5}6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.解析∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，∴a＝2.答案 27．定义A*B＝{x|x＝x1＋2x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}．(1)求A*B；(2)求A∩(A*B)∪B.解(1)∵A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，∴A*B＝{x|x＝x1＋2x2，x1∈A，x2∈B}＝{3,4,5,6,7}．(2)A∩(A*B)∪B＝{1,2,3}∩{3,4,5,6,7}∪{1,2}＝{3}∪{1,2}＝{1,2,3}．能力提升8．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{x|y＝x－1}，则A∩B＝()．A．{－2} B．{(－2，－3)}C．∅D．{－3}解析 由于A 是点集，B 是数集，∵A ∩B ＝∅.答案 C9．设集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R}，若A ∪B ＝A ，则a ＝________.解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0. 当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，∴－1a ∈A ， 即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，得a ＝0或a ＝12.答案 0或1210．集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}．(1)若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值；(2)若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．解 由已知，得B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}．(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B .于是2,3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由根与系数之间的关系知：⎩⎨⎧2＋3＝a ，2×3＝a 2－19，解之得a ＝5. (2)由A ∩B ∅⇒A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅， 得3∈A,2∉A ，－4∉A .由3∈A 得32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A 矛盾；当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2a －15＝0}＝{3，－5}，符合题意．。
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第3章 函数的概念与性质 习题课 单调性与奇偶性的综合应用
第三章习题课单调性与奇偶性的综合应用A级必备知识基础练1.(多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是( )A.这个函数有2个单调递增区间B.这个函数有3个单调递减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值-72.下列函数是奇函数,且在(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=x2B.y=x-1xC.y=x+1x D.y=x-1x3.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有( )A.f(-1)>f(2)>f(-3)B.f(2)>f(-1)>f(-3)C.f(-3)>f(-1)>f(2)D.f(-1)>f(-3)>f(2)4.若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上( )A.单调递增,且有最小值为f(1)B.单调递增,且有最大值为f(1)C.单调递减,且有最小值为f(2)D.单调递减,且有最大值为f(2)5.若函数f(x+3是R上的偶函数,则f(-1),f(-√2),f(√3)的大小关系为( )A.f(√3)>f(-√2)>f(-1)B.f(√3)<f(-√2)<f(-1)C.f(-√2)<f(√3)<f(-1)D.f(-1)<f(√3)<f(-√2)6.f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是( )A.f(0)<f(6)B.f(3)>f(2)C.f(-1)<f(3)D.f(2)>f(0)7.[安徽宿州高一月考]已知奇函数f(x)在定义域R上是增函数,则不等式f(4x-3x2)+f(7)>0的解集是.8.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数.若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.B级关键能力提升练9.(多选题)关于函数y=f(x),y=g(x),下述结论正确的是( )A.若y=f(x)是奇函数,则f(0)=0B.若y=f(x)是偶函数,则y=|f(x)|也是偶函数C.若y=f(x)(x∈R)满足f(1)<f(2),则f(x)在区间[1,2]上单调递增D.若y=f(x),y=g(x)均为R上的增函数,则y=f(x)+g(x)也是R上的增函数10.设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且f(x)在[0,1)上单调递减,f-12 =1,则f(x)<1的解集为.11.[江苏扬州高一月考]已知函数f(x)=x|x|,则满足f(x)+f(3x-2)≥0的x的取值范围是.(用区间表示)参考答案习题课 单调性与奇偶性的综合应用1.BC 根据偶函数的图象关于y 轴对称,可得它在定义域[-7,7]上的图象,如图所示,因此这个函数有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC.2.D y=x 2为偶函数,不符合条件;y=f(x)=x -1x=1-1x为非奇非偶函数,不符合题意;y=x+1x 为奇函数,但在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增,不符合题意;y=x-1x 为奇函数,而y=x-1x 在(0,+∞)上单调递增,故选D.3.A 由y=f(x)为偶函数,则f(-1)=f(1),f(-3)=f(3),又因为函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,所以f(1)>f(2)>f(3),即f(-1)>f(2)>f(-3),故选A.4.C 根据奇函数的图象关于原点对称,所以其在y 轴两侧单调性相同,因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.5.B ∵函数f(x+3是R 上的偶函数,∴f(--1)=0,即f(x)=-x 2+3.∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,∴f(-1)>f(-√2)>f(-√3)=f(√3).即f(√3)<f(-√2)<f(-1),故选B. 6.C ∵f(x)是偶函数,∴f(1)=f(-1), 又f(3)>f(1),故f(3)>f(-1).故选C.7.{x |-1<x <73} ∵f(4x-3x 2)+f(7)>0,∴f(4x-3x 2)>-f(7).又f(x)为定义域R 上的奇函数, ∴f(4x-3x 2)>f(-7).∵f(x)在定义域R 上是增函数,∴4x-3x 2>-7,解得-1<x<73,故原不等式的解集为{x |-1<x <73}.8.解∵f(x)为奇函数,∴f(1-a 2)=-f(a 2-1), ∴f(1-a)+f(1-a 2)<0,则f(1-a)<-f(1-a 2),即f(1-a)<f(a 2-1). ∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数, ∴{1-a >a 2-1,-1<1-a <1,-1<a 2-1<1,解得0<a<1, 故实数a 的取值范围为(0,1).9.BD 若y=f(x)是奇函数,当定义域不包含0时不成立,故A 错误;若y=f(x)是偶函数,f(x)=f(-x),故|f(x)|=|f(-x)|,y=|f(x)|也是偶函数,B 正确;举反例:f(x)=x-432满足f(1)<f(2),在[1,2]上不单调递增,故C 错误;设x 1<x 2,则[f(x 2)+g(x 2)]-[f(x 1)+g(x 1)]=[f(x 2)-f(x 1)]+[g(x 2)-g(x 1)]>0,故y=f(x)+g(x)也是R 上的增函数,故D 正确. 10.-1,-12∪12,1 ∵f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,∴f12=f -12=1,则不等式f(x)<1为f(x)<f 12,则f(|x|)<f12.∵f(x)在[0,1)上单调递减,∴|x|>12,解得x<-12或x>12.又定义域为(-1,1),故不等式的解集为-1,-12∪12,1.11.12,+∞ 由题意f(x)=x|x|,其定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数f(x)是奇函数. 又f(x)=x|x|={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,所以函数f(x)在R 上单调递增,则f(x)+f(3x-2)≥0,即f(x)≥-f(3x-2)=f(-3x+2),又函数单调递增,所以x≥-3x+2,解得x≥12.。
2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：1.3.1 第1课时 函数的单调性 Word版含解析.pdf
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因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反,即 4 ∉(1,4),所以 4 ≤1 或 4 ≥4,即 m≤4 或 m≥16.
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答案(-∞,4]∪[16,+∞)
10.证明函数 f(x)=- ������在定义域上为减函数.
证明函数 f(x)=- ������的定义域为[0,+∞).
( )
A.f(a)>f(2a)
B.f(a2)<f(a)
C.f(a2+a)<f(a)
D.f(a2+1)<f(a)
解析选项 D 中,因为 a2+1>a,f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,所以 f(a2+1)<f(a).而在其他选项中,当 a=0 时, 自变量均是 0,应取等号.故选 D.
答案 D
6.若函数 f(x)=x2+3ax+5 在区间(-∞,5)上为减函数,则实数 a 的取值范围是( )
10
所以 a≤- 3 . 答案 A 7.函数 f(x)=|x-2|的单调递增区间是 . 解析由图象可知,f(x)的单调递增区间是[2,+∞).
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答案[2,+∞) 8.已知函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当 x∈(-∞,-2)时,f(x)是减函数,则 f(1)= . 解析∵函数 f(x)在(-∞,-2)上是减函数,在[-2,+∞)上是增函数,
设 x1,x2 是[0,+∞)上的任意两个实数,且 0≤x1<x2,则 x2-x1>0, f(x2)-f(x1)=(- ������2)-(- ������1) = ������1 ‒ ������2
人教A版高中数学必修第一册素养单元课后习题 第3章 函数的概念与性质 3.1.1 函数的概念
第三章学习单元1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念 A 级必备知识基础练1.下列各式中,表示y 是x 的函数的有( ) ①y=x-(x-3);②y=√x -2+√1-x ;③y={x -1,x ≤0,x +1,x ≥0.A.0个B.1个C.2个D.3个2.(多选题)下列四个图形中,可能是函数y=f(x)的图象的是( )3.下列四组函数中,是同一个函数的一组是( ) A.y=|x|,u=√v 2 B.y=√x 2,s=(√t )2 C.y=x 2-1x -1,m=n+1D.y=√x +1·√x -1,y=√x 2-1 4.函数f(x)=√x+1x -1的定义域是( )A.[-1,1)B.[-1,1)∪(1,+∞)C.[-1,+∞)D.(1,+∞) 5.设f(x)=1+2x -1,x≠±1,则f(-x)等于( )A.f(x)B.-f(x)C.-1f (x )D.1f (x )6.若(a,3a-1]为一确定区间,则实数a 的取值范围是 .7.(1)函数y=2x+1,x ∈(-1,1]的值域是 .(用区间表示) (2)函数y=x 2+x+2,x ∈R 的值域是 .(用区间表示)8.已知函数f(x)=x 2x 2+1. (1)求f(1),f(2)+f 12的值;(2)证明:f(x)+f 1x等于定值.B 级关键能力提升练9.下列关于x,y 的关系式中,y 可以表示为x 的函数关系式的是( ) A.x 2+y 2=1 B.|x|+|y|=1 C.x 3+y 2=1D.x 2+y 3=110.若函数f(x)=ax 2-1,a 为正实数,且f(f(-1))=-1,则a 的值是 .11.已知函数f(x)=x 2-2x,x ∈[0,b],且该函数的值域为[-1,3],则b 的值为 . 12.函数y=1x 2+x+1的值域为 .参考答案学习单元1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念1.B 对于①,y=x-(x-3),x 的取值范围为R,化简解析式为y=3,每个x 的值按对应法则都有唯一实数3与之对应,属于多对一,故①是函数;对于②,由y=√x -2+√1-x ,可知{x -2≥0,1-x ≥0,无解,故②不是函数;对于③,由y={x -1,x ≤0,x +1,x ≥0,可知当x=0时,y 有两个值-1,1与之对应,故③不是函数.2.AD 在A,D 中,对于x 的取值范围内的每一个x 都有唯一的y 与之对应,满足函数关系;在B,C 中,存在一个x 有两个y 与之对应的情况,不满足函数关系.3.A 对于A,y=|x|和u=√v 2=|v|的定义域都是R,对应关系也相同,因此是同一个函数;对于B,y=√x 2的定义域为R,s=(√t )2的定义域为{t|t≥0},两函数定义域不同,因此不是同一个函数;对于C,y=x 2-1x -1的定义域为{=n+1的定义域为R,两函数定义域不同,因此不是同一个函数;对于D,y=√x +1·√x -1的定义域为{x|x≥1},y=√x 2-1的定义域为{x|x≤-1,或x≥1},定义域不同,不是同一个函数.故选A. 4.B 由{x +1≥0,x -1≠0,解得x≥-1,且x≠1.5.D f(x)=1+2x -1=x+1x -1,x≠±1,则f(-x)=-x+1-x -1=x -1x+1=1f (x ),故选D.6.12,+∞ 由题意,得3a-1>a,解得a>12.7.(1)(-1,3] (2)74,+∞ (1)∵-1<x≤1,∴-2<2x≤2.∴-1<2x+1≤3.∴函数的值域为(-1,3]. (2)∵x 2+x+2=(x +12)2+74≥74,∴函数的值域为[74,+∞).8.(1)解f(1)=1212+1=12,f(2)=2222+1=45,f12=(12) 2(12) 2+1=15,所以f(2)+f12=45+15=1.(2)证明f1x=(1x ) 2(1x) 2+1=1x 2+1,所以f(x)+f 1x=x 2x 2+1+1x 2+1=1,为定值.9.D 根据函数的定义,函数关系中任意一个x 都有唯一的y 对应,选项A,B,C 中满足关于x,y 的关系式中,存在一个x 有两个y 与之对应,不能构成函数关系,选项D 中满足关于x,y 的关系式中的任意一个x 都有唯一的y 对应,能构成函数关系.故选D.10.1 ∵f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,f(f(-1))=a·(a -1)2-1=a 3-2a 2+a-1=-1. ∴a 3-2a 2+a=0,∴a=1或a=0(舍去).故a=1.11.3 作出函数f(x)=x 2-2x(x≥0)的图象如图所示.由图象结合值域为[-1,3]可知,区间右端点b 必为函数最大值3的对应点的横坐标.所以f(b)=3,即b 2-2b=3,解得b=-1或b=3.又b>0,所以b=3.12.0,43 ∵x 2+x+1=x+122+34≥34,∴0<1x 2+x+1≤43.∴值域为0,43.。
人教A版高中数学必修一-3.1.1 函数的概念-同步练习(含解析)
人教A 版高中数学必修一-3.1.1 函数的概念-同步练习（原卷版）一、选择题1．集合A={x|0≤x ≤4}，B={y|0≤y ≤2}，下列不能表示从A 到B 的函数的是（ ） A ．f ：x →y =12x B ．f ：x →y=2﹣xC ．f ：x →y =23x D ．f ：x →y =√x2．函数f (x )=√x +1x 的定义域是（ ）A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥0}C ．{x|x ≠0}D ．R 3．下列每组函数是同一函数的是（ ）A ．f(x)=x −1,g(x)=(√x −1)2B ．f(x)=x −1,g(x)=√(x −1)2C ．f(x)=x 2−4x−2,g(x)=x +2 D ．f(x)=|x|,g(x)=√x 24．变量x 与变量y ，w ，z 的对应关系如下表所示：下列说法正确的是 A ．y 是x 的函数 B ．w 不是x 的函数 C ．z 是x 的函数D ．z 不是x 的函数5．已知集合{}|A x y ==， {}| B x x a =≥，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是( ) A ．(],3-∞- B ．(),3-∞- C ．(],0-∞ D ．[)3,+∞6．设()2211x f x x -=+，则()212f f ⎛⎫⎪⎝⎭等于( )A ．1B ．－1C ．35 D ．－35二、填空题7．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出．（1） ()()1f g ＝________；（2）若()()g f x ＝2，则x ＝________． 8．用区间表示下列数集． (1){x |x ≥2}＝________； (2){x |3<x ≤4}＝________； (3){x |x >1且x ≠2}＝________.9．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．10．已知f(x)＝x 2＋x －1，x ∈{0，1，2，3}，则f(x)的值域为________. 三、解答题11．求下列函数的定义域（1）y =√x +8+√3−x （2）y =√x 2−1+√1−x 2x−112．已知函数()f x =的定义域为集合A ，B ＝{x |x <a }． (1)求集合A ；(2)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(3)若全集U ＝{x |x ≤4}，a ＝－1，求∁U A 及A ∩(∁U B )．人教A 版高中数学必修一-3.1.1 函数的概念-同步练习（解析版）一 、选择题1．集合A={x|0≤x ≤4}，B={y|0≤y ≤2}，下列不能表示从A 到B 的函数的是（ ） A ．f ：x →y =12x B ．f ：x →y=2﹣xC ．f ：x →y =23x D ．f ：x →y =√x【答案】C【解析】对于C 选项的对应法则是f ：x →y=23x ，可得f （4）=83∉B ，不满足映射的定义，故C 的对应法则不能构成映射．故C 的对应f 中不能构成A 到B 的映射．其他选项均符合映射的定义. 故选：C ．2．函数f (x )=√x +1x 的定义域是（ ）A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥0}C ．{x|x ≠0}D ．R 【答案】A【解析】要使f(x)有意义，则满足{x ≥0x ≠0，得到x>0.故选A.3．下列每组函数是同一函数的是（ ）A ．f(x)=x −1,g(x)=(√x −1)2B ．f(x)=x −1,g(x)=√(x −1)2C ．f(x)=x 2−4x−2,g(x)=x +2 D ．f(x)=|x|,g(x)=√x 2【答案】D【解析】A ，函数f(x)的定义域为，g (x )的定义域为{x|x ≥1}，两个函数的定义域不相同,不是同一函数；B ，函数f (x )和g (x )的值域不相同，不是同一函数；C ,函数f (x )和g (x )的定义域不同，不是同一函数；D ,f (x )=|x |,g (x )=√x 2=|x |，函数f (x )和g (x )的定义域、值域、对应法则都相同，属于同一函数,故选D.4．变量x 与变量y ，w ，z 的对应关系如下表所示：下列说法正确的是 A ．y 是x 的函数 B ．w 不是x 的函数 C ．z 是x 的函数 D ．z 不是x 的函数【答案】C【解析】观察表格可以看出，当x =1时，y =–1，–4，则y 不是x 的函数；根据函数的定义，一个x 只能对应一个y,反之一个y 可以跟多个x 对应，很明显w 是x 的函数，z 是x 的函数． 故选C ．5．已知集合{}|A x y ==， {}| B x x a =≥，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是( ) A ．(],3-∞- B ．(),3-∞- C ．(],0-∞ D ．[)3,+∞ 【答案】A【解析】由已知得[]3,3A =-，由A B A ⋂=，则A B ⊆，又[),B a =+∞，所以3a ≤-.故选A.6．设()2211x f x x -=+，则()212f f ⎛⎫⎪⎝⎭等于( )A ．1B ．－1C ．35 D ．－35【答案】B【解析】()2221413221415f --===++. 221111132********2f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭===- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴.()2112f f =-⎛⎫ ⎪⎝⎭故选B. 二、填空题7．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出．（1） ()()1f g ＝________；（2）若()()g f x ＝2，则x ＝________． 【答案】1 1 【解析】由题意得，g （1）=3，则f[g （1）]=f （3）=1 ∵g[f （x ）]=2，即f （x ）=2，∴x=1． 故答案为：1，1． 8．用区间表示下列数集． (1){x |x ≥2}＝________； (2){x |3<x ≤4}＝________； (3){x |x >1且x ≠2}＝________.【答案】 [2，＋∞) (3,4] (1,2)∪(2，＋∞) 【解析】由区间表示法知： (1)[2，＋∞)； (2)(3,4]；(3)(1,2)∪(2，＋∞)．9．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】由题意3a －1>a ，得a>12,故填1,.2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．已知f(x)＝x 2＋x －1，x ∈{0，1，2，3}，则f(x)的值域为________. 【答案】{－1，1，5，11}【解析】由已知得f(0)=−1;f(1)=1+1−1=1;f(2)=4+2−1=5;f(3)=9+3−1=11 故答案为{－1，1，5，11}. 三、解答题11．求下列函数的定义域（1）y =√x +8+√3−x （2）y =√x 2−1+√1−x 2x−1【答案】（1）[−8,3]；（2）{−1}。
人教A版数学必修1练习：第一章 1.3 1.3.1 第2课时 函数的最大值、最小值 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－a D ．9－a 2解析：∵a ＞0，∴f (x )＝9－ax 2(a ＞0)开口向下以y 轴为对称轴， ∴f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上单调递减， ∴x ＝0时，f (x )最大值为9. 答案：A 2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12. 答案：B3．函数y ＝|x ＋1|－|2－x |的最大值是( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．－2解析：由题意可知y ＝|x ＋1|－|2－x |＝⎩⎨⎧－3， x <－1；2x －1， －1≤x ≤2；3， x >2.画出函数图象即可得到最大值3.故选A.答案：A4．函数y ＝x ＋2x －1( ) A ．有最小值12，无最大值 B ．有最大值12，无最小值 C ．有最小值12，有最大值2D ．无最大值，也无最小值解析：f (x )＝x ＋2x －1的定义域为⎣⎢⎡12，＋∞)，在定义域内单调递增，∴f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，无最大值．答案：A5．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：a ＜－x 2＋2x 恒成立，即a 小于函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值， 而f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈ [0,2]的最小值为0，∴a ＜0. 答案：C6．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7.则a ＝________，b ＝________.解析：∵y ＝－x 2＋6x ＋9的对称轴为x ＝3，而a <b <3. ∴函数在[a ，b ]单调递增．∴⎩⎨⎧f (a )＝－a 2＋6a ＋9＝－7，f (b )＝－b 2＋6b ＋9＝9，解得⎩⎨⎧ a ＝－2，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝8，b ＝6，又∵a <b <3， ∴⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝0. 答案：－2 07．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y ＝f (x )的解析式为________． 解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)当k >0时，⎩⎨⎧ －k ＋b ＝1，2k ＋b ＝3即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝53.∴f (x )＝23x ＋53.当k <0时，⎩⎨⎧－k ＋b ＝3，2k ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－23，b ＝73∴f (x )＝－23x ＋73.∴f (x )的解析式为f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋73. 答案：f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋738．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 解析：f (x )＝4x ＋a x (x ＞0，a ＞0)在(0，a 2]上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝a 2时取得最小值，由题意知a2＝3，∴a ＝36. 答案：36 9．已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性； (2)求函数f (x )的最大值和最小值．解析：(1)任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝(x 1－1)(x 2＋2)－(x 2－1)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2x 1－x 2－2－x 1x 2－2x 2＋x 1＋2(x 1＋2)(x 2＋2)＝3(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )＝x －1x ＋2在[3,5]上为增函数．(2)由(1)知，当x ＝3时，函数f (x )取得最小值，为f (3)＝25；当x ＝5时，函数f (x )取得最大值，为f (5)＝47.10．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)求实数a 的范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数； (2)求f (x )的最小值．解析：(1)f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2，可知f (x )的图象开口向上，对称轴方程为x ＝－a ，要使f (x )在[－5,5]上单调，则－a ≤－5或－a ≥5， 即a ≥5或a ≤－5.(2)当－a ≤－5，即a ≥5时，f (x )在[－5,5]上是增函数，所以f (x )min ＝f (－5)＝27－10a .当－5<－a ≤5，即－5≤a <5时， f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2，当－a >5，即a <－5时，f (x )在[－5,5]上是减函数， 所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ，综上可得，f (x )min ＝⎩⎨⎧27－10a (a ≥5)，2－a 2(－5≤a ＜5)，27＋10a (a <－5).[B 组 能力提升]1．函数y ＝2x ＋1－2x ，则( ) A ．有最大值54，无最小值B ．有最小值54，无最大值 C ．有最小值12，最大值54 D ．既无最大值，也无最小值解析：设1－2x ＝t (t ≥0)，则x ＝1－t 22，所以y ＝1－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)，对称轴t ＝12∈[0，＋∞)，所以y 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上递减，所以y在t ＝12处取得最大值54，无最小值．选A.答案：A 2．y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[－5,5]上的最大值、最小值分别是 ( ) A.37，0 B.32，0C.32，37D ．无最大值，无最小值解析：由图象可知答案为D.答案：D3．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，则f (x )图象开口向上，对称轴为x ＝－m2. (1)当－m2≤1时，即m ≥－2时，满足f (2)＝4＋2m ＋4≤0， ∴m ≤－4，又m ≥－2，∴此时无解．(2)当－m2≥2，即m ≤－4时，需满足f (1)＝1＋m ＋4≤0 ∴m ≤－5，又m ≤－4，∴m ≤－5.(3)当1＜－m2＜2，即－4<m <－2时，需满足⎩⎨⎧－4<m <－2，f (1)＝1＋m ＋4≤0，f (2)＝4＋2m ＋4≤0.此时无解．综上所述，m ≤－5. 答案：m ≤－54．已知函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：解法一：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，所以不等式x 2＋x ＞a －x 对一切x ∈R 都成立，即a ＜x 2＋2x 对一切x ∈R 都成立．因为x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，所以a ＜－1.解法二：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，所以不等式x 2＋x ＞a －x 对一切x ∈R 都成立，即x 2＋2x －a ＞0对一切x ∈R 都成立，所以Δ＝4＋4a ＜0即可，解得a ＜－1. 答案：(－∞，－1)5．设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 解析：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.6．已知(x ＋2)2＋y 24＝1，求x 2＋y 2的取值范围．解析：由(x ＋2)2＋y 24＝1，得(x ＋2)2＝1－y24≤1，∴－3≤x ≤－1，∴x 2＋y 2＝x 2－4x 2－16x －12＝－3x 2－16x －12＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋832＋283，因此，当x ＝－1时，x 2＋y 2有最小值1；当x ＝－83时，x 2＋y 2有最大值283. 故x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，283.。
2014年新课标人教A版必修1数学1.3.1函数的单调性随堂优化训练课件
【变式与拓展】 1．用函数单调性的定义证明：f(x)＝－2x2＋3x＋c(c 为常数)
3 在－∞，4上是增函数．
证明：设任意的 f(x1)－f(x2)
3 x1，x2∈－∞，4，且 x1<x2，则
2 ＝(－2x2 1＋3x1＋c)－(－2x2＋3x2＋c) 2 ＝2x2 － 2 x 2 1＋3x1－3x2＝2(x2＋x1)(x2－x1)－3(x2－x1)
证明：设任意的 x1，x2∈(0,1]，且x1<x2，
1 1 f(x1)－f(x2)＝x1＋x －x2＋x 1 2 1 1 ＝(x1－x2)＋x －x 1 2
x 2 －x 1 ＝(x1－x2)＋ x x 1 2 x1－x2x1x2－1 ＝ . xx
＝[2(x2＋x1)－3](x2－x1)．
由 x1<x2，得 x2－x1>0，
由
3 3 3 x1，x2∈ －∞，4 ，得 x1<4，x2<4.
3 3 ∵2x1<2，2x2<2，∴2(x2＋x1)<3， 即 2(x2＋x1)－3<0. 于是 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)．
增 函数． 区间[2,3]上是______
练习 2：下列函数在区间(0,2)上是增函数的是( C )
A．y＝－x＋1 C．y＝ 2x B．y＝x2－4x＋5 2 D．y＝x
【问题探究】
根据 f(x)＝x2(x>0)的图象进行讨论：随着 x 的增大，函数值 怎样变化？当 x1>x2 时，f(x1)与 f(x2)有怎样的大小关系？
1.3
1.3.1
函数的基本性质
函数的单调性
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1．3 函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性
基础达标
1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)－f(b)
a－b
>0，则
必有
()．A．函数f(x)先增后减
B．f(x)是R上的增函数
C．函数f(x)先减后增
D．函数f(x)是R上的减函数
解析由f(a)－f(b)
a－b
>0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当a<b时，f(a)<f(b)，所以函
数f(x)是R上的增函数．
答案 B
2．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是
()．A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m ＋9，即m>3.
答案 C
3．(2013·天津高一检测)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的函数是
()．
A ．y ＝1
x B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1
D ．y ＝－2x ＋1
解析 函数y ＝1
x 在(0，＋∞)上是减函数；y ＝|x |＋1在(0，＋∞)上是增函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝－2x ＋1在(0，＋∞)上是减函数． 答案 B
4．(2013·盐城高一检测)已知f (x )＝x 2－2mx ＋6在(－∞，－1]上是减函数，则m 的范围为________．
解析 ∵f (x )的对称轴方程为x ＝m ，
∴要使f (x )在(－∞，－1]上是减函数，只需m ≥－1. 答案 [－1，＋∞)
5．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12的实数x 的取值范围
为________．
解析
由题设得⎩⎨⎧
－1≤x ≤1，
x <1
2，
即－1≤x <1
2.
答案 －1≤x <1
2
6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________． 解析 y ＝－(x －3)|x |
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0)，
作出其图象如图，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.
答案 ⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，32
7．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；
(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数． (1)解 ∵f (1)＝0，f (3)＝0，
∴⎩⎨⎧
1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明 由(1)知f (x )＝x 2－4x ＋3， 任取x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，
由f (x 1)－f (x 2)＝(x 2
1－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3) ＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，
∵x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2， ∴x 1＋x 2－4＞0.
∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．
能力提升
8．下列说法中正确的有
( )．
①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1
x 在定义域上是增函数； ④y ＝1
x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
解析 函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1
x 在整个定义域内不是单调递增函数；④y ＝1
x 的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)． 答案 A
9．(易错题)函数f(x)＝
1
x＋1
在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
解析f(x)＝
1
x＋1
的单调减区间为(－1，＋∞)与(－∞，－1)，
又f(x)在(a，＋∞)上是减函数，∴a≥－1. 答案[－1，＋∞)
10．讨论函数f(x)＝ax＋1
x＋2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a≠
1
2在(－2，＋∞)上的单调性．
解f(x)＝ax＋1
x＋2
＝a＋
1－2a
x＋2
，
设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝1－2a
x1＋2
－
1－2a
x2＋2
＝(1－2a)x2－x1
(x2＋2)(x1＋2)
，
∵－2＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，又(x2＋2)(x1＋2)＞0.
(1)若a＜1
2时，1－2a＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数．
(2)若a＞1
2，则1－2a＜0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．
综上，当a＜1
2时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；
当a＞1
2时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．。