习题课3
辽宁工业大学高数习题课(3)
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析 当 x 0 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析 当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或
型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项 佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
高分子习题课(1-3)
f kd＝2.0×10-9
第三章 自由基聚合
R p kp( fk d kt
Kp Kt
ν 2(fk kp
d
)
1/2
[I]
1/2
[M]
1 2
0 .0 3 3 5 4 1
[M]
1/2
kt)
[I]
1/2
V=3750
第三章 自由基聚合
设苯的浓度为[S]，在1L苯乙烯－苯的理想溶液中， 有：V苯＋V苯乙烯＝1000（mL）
第二章 缩聚和逐步聚合
反应程度（参与反应的基团数占起始基团数的分数）
P = N 0－ N N0 =1 － N N0
N0 起始二元酸和二元醇的分子总数 N
为时间t 时的体系中的聚酯分子数
聚合度
Xn =
结构单元数目 大分子数
＝ Xn = N 1 P －
N0
1
第二章 缩聚和逐步聚合
不可逆线形缩聚动力学
M1010＝374 M0＝338/2=169
n
第二章 缩聚和逐步聚合
假设对癸二胺的反应程度P＝1，
在1g1010盐中：
胺基摩尔数： 游离羧基摩尔数为： 羧基摩尔数：
等于KOH的摩尔数
第二章 缩聚和逐步聚合
酸值
第三章 自由基聚合
引发剂分解动力学
Rd d[I ] dt kd [I ]
例4.尼龙1010是根据1010盐中过量的癸二酸控制分子量的。 如果要求合成尼龙1010的分子量为20000，问尼龙1010盐 的酸值（以mg KOH/g 1010盐计算）应是多少？
1010盐 尼龙1010 NH3+(CH2)10NH3OOC(CH2)8COOC O (C H 2 ) 8 C O N H (C H 2 ) 10 N H
随机过程及应用习题课三
随机过程及应用习题课三11. 设()cos ,X t A B t t =+-∞<<+∞，其中A 和B 为相互独立均服从(0,1)N 的随机变量.（1）证明{(),}X t t -∞<<+∞为正态过程；（2）求其一维、二维概率密度和一维、二维特征函数.2. 设{(),(,)}X t t ∈-∞+∞是均值函数为0，自相关函数()(,)/2X R s t s t s t =+-- 的正态过程，证明1()()Y t X t =，0t >，2()(),0Y t X t t =-≥是相互独立的正态过程。
3. 设0{()}W t +∞是参数为2σ的维纳过程，试证明1()0()0tW t W t tt ?>?'=??=?是参数为2σ的维纳过程。
4. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明12()()0t W t c W t c=?≥是参数为2σ的维纳过程。
5. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明2()()W t W t =-是参数为2σ的维纳过程。
6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明3,0()()()0t W t W t a W a a ≥=+->是参数为2σ的维纳过程7. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，令231()0()00t W t W t tt ?>?'=??=? （1）(){},0W t t '≥是否为正态过程；（2）(){},0W t t '≥是否为维纳过程。
8. 设{(),0}X t t ≥是具有零均值和协方差(,)C s t 的正态过程，则对于任意的非负数,s t 和τ，证明：（1）2[()](,)()E X t C t t D t ==；（2）222[()]2(,)2()D X t C t t D t ==；2（3）222cov((),())2(,)X s X t C s t =；（4）[()()](,)E X t X t C t t ττ+=+；（5）2[()()](,)(,)(,)D X t X t C t t C t t C t t ττττ+=++++；（6）cov[()(),()()](,)(,)(,)(,)X s X s X t X t C s t C s t C s t C s t ττττττ++=+++++ 9. 设{(),0}W t t ≥是参数24σ=的维纳过程，令(3)(1),(4)(2).X W W Y W W =-=-求：()D X Y +和cov(,).X Y10. 设0{()}W t +∞是为参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的均值函数和自相关函数。
第六章习题课线性代数 (3)
性指数, 并且秩相同.应选（B）.
例 8 用正交变换化二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 3x32 4x1x2 4x2 x3 为标准形, 并求
出该正交变换.
1
解
二次型的对应矩阵为
A
2
2 2
0 2
.则由
A
的特征方程
0 2 3
解得 a 3.于是
5 A 1
1 5
3 3 .
3 3 3
5 1 3 I A 1 5 3 ( 4)( 9) ,
3 3 3
所以 A 的特征值为 1 0, 2 4, 3 9 .
（2）由（1）知存在正交矩阵 P , 使得
注 用正交变换 X PY 化二次型为标准形, 这类题若要求写出正交变换 X UY , 计
5
算量大.若只要求知道结果, 即仅需知道标准形, 则计算量不大.在解答中要注意区分和判 断.
例 12 已知二次曲面方程 x2 ay2 z2 2bxy 2xz 2yz 4 可以经过正交变换
绕 y 轴旋转而成的空间曲面的性质, 可以得到该曲面可
y2
由
4
z2
1绕 y 轴旋转而成,
也可由
x2
y2 4
1绕 y 轴旋转而成.
x 0
z 0
例6
空间曲线
x2 y2 4
所属曲线类型是
.
z c
解 该曲线可由平行与 xoy 平面的一平面 z c 截双曲柱面 x2 y2 4 所得, 为双曲线.
解
二次型
f
高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用
（3）
中值定理与导数的应用
第二课 中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理； 会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等 式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳 林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、 拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件， 则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。 证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x
电路分析第3、4章习题课
图5
6. 图6 所示线性网络N只含电阻，若IS1=8A， IS2=12A，Ux为80V，若IS1=8A，IS2=4A，Ux为0.求： IS1=IS2=10A时，Ux是多少？
图6
7. 用戴维南定理求图7 电路中流过 20 kΩ电阻的电 流及 a 点电压 Ua.
图7
8. 图8（a）所示电路，输入电压为20V，U2=12.5V， 若将网络N短路，如图(b)所示，短路电流I为10mA， 试求网络N在AB端的戴维南等效电路
+
2U1
- 2V
(a)
-
(b )
图11
12. 如图12所示，RL为何值时能获得最大功率，并 求最大功率。 10 + a ＋ Uoc
2A
UR 20
UR 20 – + － 20V – b
图12
练习
1. 列出图1-1所示电路的网孔方程、节点方程。
+ uS 6 -
R6 2
uS2 +
1 R1
uS1 +
电路分析习题课（3—4章）
1. 电路如图1 所示 用网孔分析法求 I A 并求受控源 提供的功率 PK .
图1
2. 电路如图所示，用网孔分析法求4Ω电阻的功率。
图2
3. 试用结点分析法求解图3中的 U1及受控源的功率。
图3
4. 试列出为求解图4 所示电路中 Uo所需的结点方程。
图4
5. 电路如图5 所示，用叠加定理求Ix
图8
9. 求图9 所示电路的戴维南等效电路。
图9
10. 用戴维南定理求图10所示电路中2A电流源上的电 压U 。
15Ω 5Ω I
15Ω
5I
+
3章习题课
s1 2
z − z 0 = 2 x, p = p 0 , u = u 0
设杯中速度为V，管中速度为u,
V d ⇒ V = u ( )2 , 4 4 D ∂V ∂u (h − x + h + x) + l + 2 gx = 0 ∂t ∂t =u
p + ρ ′g ∆h = p0 + ρ g ∆h, 则 p0 − p = ( ρ ′ − ρ）g ∆h, 2 ( ρ ′ − ρ ) g ∆h = (
∴u =
ρ
ρ′ − 1)2 g ∆h ρ
ρ ′ / ρ = 13600 / 800, ∆h = 60mm = 0.06m,
∴ u = 4.3391m / s
2 p1 + ρ (v1
2 − v2 ) / 2
= 17.6×103 +1000 (1.422 − 3.182 ) / 2 ×
= 17.2 ×10 3
(Pa)
3.所取控制体受力分析 进、出口控制面上得总压力：
P2 = p 2 A2 = 17.2 × 10 3 ×
P = p1 A1 = 17.6×10 × ×0.32 = 12.43 1 4 π
2 根据射出水流轨迹： x = Vt 1 x 1 2 ⇒ h − y = g h − y = gt 2 V 2
整理得： 解得：
4 y (h − y ) = x 2 ,即 y (4 − y ) = 1
y = 2± 3
3-18解：
u = u m (1 −
r 1 r n r ) ⇒ Q = ∫ u 2πrdr = um 2πR 2 ∫ (1 − η ) nηdη （令：η = ） 0 0 R R
氧化还原习题课(3、4课时)讲解
第3课时氧化还原反应热点专题训练【典型例题】例1．某种飞船以N2H4和N2O4为动力源，发生反应：2N2H4＋N2O4===3N2＋4H2O，反应温度可高达2 700 ℃，对于该反应，下列说法正确的是()A．该反应属于置换反应B．N2H4是氧化剂C．N2O4是还原剂D．N2既是氧化产物又是还原产物例2．某反应中有反应物和生成物共5种物质：S、H2S、HNO3、NO和H2O。
已知水是反应产物之一。
(1)该反应中的还原剂是__________。
(2)该反应中的还原产物是______________。
(3)写出该反应的化学方程式，并用双线桥法标出电子转移的方向和数目_______________。
(4)若反应过程中转移了0.3 mol电子，则生成水的质量是______________。
【随堂训练】1．事实上，许多氧化物在一定条件下能与Na2O2反应，且反应极有规律，如Na2O2＋SO2===Na2SO4,2Na2O2＋2SO3===2Na2SO4＋O2，据此你认为下列反应方程式中不正确的是() A．Na2O2＋N2O3===NaNO2＋NaNO3 B．Na2O2＋2NO2===2NaNO2＋O2C．Na2O2＋N2O4===2NaNO3D．2Na2O2＋2Mn2O7===4NaMnO4＋O22. 制备氰氨基化钙的化学方程式为CaCO3＋2HCN===CaCN2＋CO↑＋H2↑＋CO2↑，在反应中A．氢元素被氧化，碳元素被还原B．HCN是氧化剂，CaCO3是还原剂C．CaCN2是氧化产物，H2是还原产物D．CO为氧化产物，H2为还原产物3．火法炼铜首先要焙烧黄铜矿，其反应为2CuFeS2＋O2===Cu2S＋2FeS＋SO2下列说法正确的是(双选)()A．SO2既是氧化产物又是还原产物B．CuFeS2仅作还原剂，硫元素被氧化D．每转移1.2 mol电子，有0.2 mol硫被氧化【典型例题】例1．MnO－4＋H2O2＋________===Mn2＋＋O2↑＋H2O例2．(1)在NaOH的环境中，Cl2与NaI反应，每l mol NaI完全反应转移6 mol电子，写出反应的化学方程式：_________________________________________________________________。
哈工大集合论习题课-第三章 关系习题课(学生)
习 题 课例1设{,,}A a b c =，给出A 上的一个二元关系，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称和传递性的二元关系，并画出R 的关系图。
解：{(,),(,),(,),(,)}R a a b c c b a c =，关系图如图所示。
例2 设X 是一个集合，X ＝n ，求：1.X 上的二元关系有多少？()22n 2. X 上的自反的二元关系有多少？ 3. X 上的反自反的二元关系有多少？解：因为把所有的反自反的二元关系的每个都加上对角线上的序对，就变成了自反的关系，因此，自反的与反自反的个数一样多。
即22nn-4. X 上的对称的二元关系有多少？2222n n n nn -++=，故共有222n n+个对称的关系。
5. X 上的反对称的二元关系有多少？22(32)n n n -∙6. X 上既是自反的也是反自反的二元关系的个数；(0)个7.X 上既不是自反的也不是反自反的二元关系有多少？2(2(22))n nn --解：解：可用容斥原理来计算设B 表示所有自反关系构成的集合，C 表示所有反自反关系构成的集合，则22nnB C -==。
而B C φ=，故B C B C =+，从而CC B C S B C S B C =-=--2222222222222(22)n n n n n n n n n n n ----=--=-=-于是，既不是自反的，也不是反自反关系共有22(22)n nn --个。
8.自反的且对称的关系有多少？[此结果与“反自反的且对称的关系有多少？”是一样多]即有222n n -（对角线上全去掉）9.自反的或对称的关系有多少？解：设B 表示自反关系的集合，C 表示对称关系的集合，则自反或对称关系的集合为：22222222n n n n nnB C B C B C +--=+-=+-。
10.X 上既是反自反的也是反对称的二元关系的个数为：223n n -；11.X 上既是对称的也是反对称的关系个数；解：X 上既是对称的也是反对称的关系X R I ⊆，故有2n 。
高数A习题课(3)_
′ 故仅当a = 2, b = −1 f− (1) = f+ (1)即f (x)在x =1 时′ 处可导 ， 综上，当a = 2, b = −1 f (x)在（− ∞，∞）可导 时 + 。
例5 求下列函数的导数： 求下列函数的导数：
dy （）由方程sin( xy) + ln( y − x) = x确定y是x的函数 求 1 , dx 方程两边对x求导，得 解 1 cos(xy)( y + xy′) + ( y′ −1) =1 （ ） * y−x
解
由 件 f (0) = 0， 条 知
f (x) − f (0) ϕ(a + bx) −ϕ(a − bx) f ′(0) = lim = lim x→0 x→0 x −0 x −0 [ϕ(a + bx) −ϕ(a)] ⋅ b + lim [ϕ(a −bx) −ϕ(a)] ⋅ b = lim x→0 x→0 bx − bx
dy d d sinxlnx x ) ∴ = (sinx) + (e dx dx dx = (sinx) (ln sin x + x cot x) + x
x sinx
sin x (cos x ln x + ). x
例2
求下列函数在指定点处的导数： 求下列函数在指定点处的导数：
1−sin x （） = arcsinx ⋅ 1 y , 求 ′(0). f 1+ sin x
3
′ 7.证 明： f (x)在 a, b]上可导 设 [ ，且 + (a) f− (b) < 0,则 f′ 至 ∃一 ξ ∈(a, b)，使 ′(ξ ) = 0. 少 个 f 8.设f (x)在 a, b]上连续 [ ，在 a, b)可 ( 导， f (a) = 且 f (b) = 0, 证 至少 一个 ∈(a, b), 使 (ξ ) + f ′(ξ ) = 0. ∃ ξ f