习题课

FN (z) = P(m X,Y} ≤ z) in{
=1−[1− FX (z)][1− F (z)] Y
练习3.卡车装运水泥, 练习3.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量 3.卡车装运水泥 X(kg)服从 服从N(50,2.5 分布, X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载 重量为2000kg,问最多装多少袋水泥, 2000kg,问最多装多少袋水泥 重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡 车超载的概率不超过0.05. 车超载的概率不超过0.05. 正态分布的可加性 有限个独立正态分布的随机变量的和仍 有限个独立正态分布的随机变量的 分布的随机变量 服从正态分布. 若 Xi ~ N(µi ,σi2 ),i =1,2,L, n , 且 X1, X2 ,L, Xn 相互独立, 则 ∑Xi ~ N(∑µi , ∑σi2 )
解: 设X为甲到达时刻，Y为乙到达时刻 以12时为起点，以分为单位，依题意， X~U(15,45), Y~U(0,60) 1 1 , 15 < x < 45 f ( y) = , 0 < x < 60 60 f X ( x) = 30 Y 0, 其它 0, 其它 先到的人等待另一人 由独立性 1 到达的时间不超过5分钟 到达的时间不超过 分钟< 45,0 < y < 60 甲先到 , 15 < x f ( x, y) = 的概率 的概率 1800 0, 其它 所求为P( 所求为 |X-Y |≤5) 及P(X<Y)
∑a X
i =1 i
n
i
~ N(∑ai µi , ∑ai σ i )
2 2 i =1 i =1
n
n
练习5 练习
课本p101，第5题
练习6 练习 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀 分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到 13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另 一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先 到的概率是多少？ 解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻 以12时为起点,以分为单位,依题意, X~U(15,45), Y~U(0,60)
因为 X , Y 相互独立 , 所以 X , Y 的联合密度为
1, 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y) = 0, 其它
这两个随机点 X , Y 的距离为 Z 的分布函数为
Z =| X −Y | .
FZ ( z ) = P { Z ≤ z} = P{| X −Y |≤ z}
查
2000 − 50n ≥ 1.645 ⇒ 2.5 n
n ≥ 39
练习4 练习 设X~N(1,1/2), Y ~N(0,1/2),且相互独 立,Z=X-Y,则P(Z>0)=? 结论: 结论 有限个独立的正态分布的线性函数仍服从 正态分布. 即:若Xi~N(µi,σi2), (i=1,2,...n), X1,X2, ...Xn相互 独立,实数a1,a2,...,an不全为零,则
在某一分钟的任何时刻， 在某一分钟的任何时刻 ， 信号进入收音机是等 可能的. 可能的 若收到两个互相独立的这种信号的时间间 隔小于0.5秒 则信号将产生互相干扰. 隔小于 秒 ， 则信号将产生互相干扰 求发生两信 号互相干扰的概率. 号互相干扰的概率
把长度为a的线段在任意两点折断 把长度为 的线段在任意两点折断 成为三线段， 成为三线段，求它们可以构成三角形的 概率. 概率 长度为a 长度为
P(| X-Y| ≤5)
60 −
y
− −
=P( -5< X -Y <5) 45 x+5 1 = ∫ [∫ dy]dx 15 x−5 1800 =1/6 P(X<Y)
= ∫ [∫
15 45 60 x
x − y = −5 x−y =5
40
10 −
0
15
y
− −
45
x
x=y
60 −
40
1 dy]dx 1800
a b
练习9 练习9 在区间 [0,1]上随机地投掷两点 试证这两点间 上随机地投掷两点,试证这两点间 上随机地投掷两点
的距离的密度函数为 的距离的密度函数为
2( 1 − z) , 0 ≤ z ≤ 1 f (z) = 其它 0,
证明 设这两个随机点分别为 X , Y , 则有
X ~ U[ 0,1 ] , Y ~ U[ 0,1 ] . 于是 X , Y 的概率密度 分别为 1, 0 ≤ x ≤ 1 1, 0 ≤ y ≤ 1 f X ( x) = fY ( y) = 0, 其它 0, 其它
设最多装n袋水泥 袋水泥的重量.则 解:设最多装 袋水泥 i为第 袋水泥的重量 则 设最多装 袋水泥,X 为第i袋水泥的重量 由题意,令 P{∑ X i > 2000} ≤ 0.05 由题意 令
i =1 n n
Xi ~ N(50n,2.52 n) ∑
.05 ⇔ P {∑ X i > 2000} = 1 − Φ( 2.5 n i =1 2000 − 50n ) ≥ 0.95 表 Φ( 2.5 n 得
i =1 i=1 i=1 n n n
练习3.卡车装运水泥, 练习3.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量 3.卡车装运水泥 X(kg)服从 服从N(50,2.5 分布, X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载 重量为2000kg,问最多装多少袋水泥, 2000kg,问最多装多少袋水泥 重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡 车超载的概率不超过0.05. 车超载的概率不超过0.05.
当 z ≤ 0时, FZ ( z) = 0, fZ ( z) = 0.
y
1
0
1
x
FZ ( z ) = P { Z ≤ z} = P{| X −Y |≤ z}
当 0 < z < 1 时,
y
2
FZ ( z) = 1 − ( 1 − z) = 2z − z2
y= x+z y= x−z
fZ ( z) = 2( 1 − z) .
当 z ≥ 1 时, FZ ( z) = 1, fZ ( z) = 0. 综上
1 z
(1,1 − z)
0 z 1 x y= x+z y
z
1 1 z
y= x−z
2π( 1 − z) , 0 ≤ z ≤ 1 f (z) = 其它 0,
0
x
−∞
∞
练习2 练习 设随机变量X和Y相互独立, 均服从 U(0,2), Z=min( X,Y),则P(0<Z<1)=? 最值分布 设X~fX(x) ,Y~ fY(y) , 且 X 和Y 相互独立,
M=max{X ,Y }, N=min{X ,Y }则
FM (z) = P(m X,Y} ≤ z) ax{ = FX (z)F (z) Y
练习1 设随机变量X和Y相互独立,且X~U (0,1), 练习 Y~E(1), 求Z= X+Y的概率密度函数. 卷积公式
设X~fX(x) ,Y~ fY(y) , 且X 和Y 相互独立, Z= X+Y则
∞
fZ (z) = ∫ f X (x) fY (z − x)dx
−∞
或 fZ (z) = ∫ f X (z − y) fY ( y)dy
若二维随机变量(X, Y)的密度函 二维均匀分布 若二维随机变量 的密度函 1 数为 ，x, y) ∈D ⊂ R2 ( f (x, y) = D的面积 0 , 其它 则称(X, Y)在区域 上(内) 服从均匀分布。 在区域D上 内 服从均匀分布。 则称 在区域 易见， 易见，若（X，Y）在区域 上(内) 服从均匀分布， ， ）在区域D上 内 服从均匀分布， 内任意区域G， 对D内任意区域 ，有 内任意区域
=1/2
10 −
0
15
45
x
类似的问题如： 类似的问题如： 乙两船同日欲靠同一码头， 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船 各自独立地到达， 各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到 若甲船需停泊1小时， 达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船 需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船， 需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试 求其中一艘船要等待码头空出的概率. 求其中一艘船要等待码头空出的概率.
SG P{( X ,Y) ∈G} = SD
练习7 练习 课本p102，第9题
练习8 练习
作业p10，第2题
设 维 机 量( X,Y) ~ f (x, y), 则 二 随 变
P(( X ,Y) ∈G) = ∫∫ f (x, y)dxdy
G
设 维 机 量 X ~ f (x), 则 一 随 变
P(a < X < b) = ∫ f (x)dx