2001年数学二试题打印
2001年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案
2001年全国硕士研究生人学统一考试
数学二试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分．满分l5分把答案填在题中横线上)
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分l5分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
三、(本题满分6分)
四、(本题满分7分)
五、(本题满分7分)
六、(本题满分7分)
七、(本题满分7分)
八、(本题满分9分)
九、(本题满分7分)
十、(本题满分8分)
十一、(本题满分6分)
其中E是3阶单位阵，求X．十二、(本题满分6分)
础解系
参考答案
一、填空题
1．
2．
3．
4．
5．
二、选择题1．
2．
3．
应选（C）。
4．
5．
三、
四、
五、
六、
七、
八、
九、
十、
十一、
十二、。
2001-数二真题、标准答案及解析
(B)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f ( x) > x.
(C)在 (1− δ ,1) 内, f ( x) < x, 在 (1,1+ δ ) 内, f ( x) > x.
(D)在 (1− δ ,1) 内, f ( x) > x, 在 (1,1+ δ ) 内, f ( x) < x.
解得 y = e
−∫ e
⎡
∫ = 1−
x2
1 arcsin
x
dx
⎢⎢c ⎢⎣
+
1
∫
e
arcsin x
1
dx ⎤
1−x2 arcsin x dx⎥⎥
⎥⎦
1
(c+ x),
arcsin x
y
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞ ⎟⎠
=
0
⇒
c
=
−
1 2
.
-2-
故曲线方程为：
y arcsin x = x − 1 . 2
⎡a 1 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 ⎤
( ) ∫ 三、求
dx
.
2x2 +1 x2 +1
【详解】设 x = tan t, 则 dx = sec2 t.
( ) ∫ ∫ ∫ 原式 =
sec2 tdt
=
cos tdt = d sin t
sec t ⋅ 2 tan2 t +1 2sin2 t + cos2 t 1+ sin2 t
= arctan (sin t ) + C
M
3
⎥ ⎥
→
⎢⎣1 1 a M −2⎥⎦ ⎢⎣0 1− a 1− a2 M 1+ 2a⎥⎦
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 若siniθcosθ＞0，则θ在( )(A) 第一、二象限(B) 第一、三象限(C) 第一、四象限(D) 第二、四象限(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x －3) 2＋(y ＋1) 2 = 4 (B) (x ＋3) 2＋(y －1) 2 = 4 (C) (x －1) 2＋(y －1) 2 = 4(D) (x ＋1) 2＋(y ＋1) 2 = 4(3) 设｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( ) (A) 1(B) 2(C) 4(D) 6(4) 若定义在区间(－1，0)的函数f (x ) = log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是( )(A)(210，)(B)⎥⎦⎤ ⎝⎛210，(C) (21，＋∞) (D) (0，＋∞)(5) 极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是( )(6) 函数y = cos x ＋1(－π≤x ≤0)的反函数是 ( )(A) y =－arc cos (x －1)(0≤x ≤2) (B) y = π－arc cos (x －1)(0≤x ≤2) (C) y = arc cos (x －1)(0≤x ≤2)(D) y = π＋arc cos (x －1)(0≤x ≤2)(7) 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0) F 2 (3，0)，则其离心率为 ( )(A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8) 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 ( )(A) a ＜b(B) a ＞b(C) ab ＜1(D) ab ＞2(9) 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为 ( )(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°(10) 设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：① 若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减； ④ 若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减． 其中，正确的命题是 ( )(A) ①③(B) ①④(C) ②③(D) ②④(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) (A) P 3＞P 2＞P 1(B) P 3＞P 2 = P 1(C) P 3 = P 2＞P 1(D) P 3 = P 2 = P 1(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )(A) 26 (B) 24(C) 20(D) 19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是(14)双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为(15)设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则 q =(16)圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (18) (本小题满分12分) 已知复数z 1 = i (1－i ) 3． (Ⅰ)求arg z 1及1z ；(Ⅱ)当复数z 满足1z =1，求1z z -的最大值． (19) (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．(20) (本小题满分12分)已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n ．(Ⅰ)证明in i i m i P m P n <；(Ⅱ)证明(1＋m ) n ＞ (1＋n ) m ． (21) (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41．(Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式； (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ (22) (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈[0，21]都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．且f (1) = a ＞0． (Ⅰ)求f (21) 及f (41)； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数；(Ⅲ)记a n = f (2n ＋n21)，求()n n a ln lim ∞→．2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）2π （14）516（15）1 （16）2n (n －1)三.解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分． 解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是M 底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ， ……2分 ∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面43131⨯⨯= 41=． ……4分 （Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE 则SE 是所求二面角的棱． ……6分∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ， ∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得SEB ⊥面EBC ，EB 是交线， 又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ， 故SB 是CS 在面SEB 上的射影， ∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ……10分 ∵ 22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ，∴ tan ∠BSC =22=SB BC ． 即所求二面角的正切值为22． ……12分 （18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）z 1 = i (1－i ) 3 = 2－2i ， 将z 1化为三角形式，得⎪⎭⎫⎝⎛+=47sin47cos 221ππi z ， ∴ 47arg 1π=z ，221=z ． ……6分 （Ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则z －z 1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i ， ()()22212sin 2cos ++-=-ααz zsin 249+=(4πα-)， ……9分当sin(4πα-) = 1时，21z z -取得最大值249+．从而得到1z z -的最大值为122+． ……12分（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线的方程可设为 2pmy x +=； ……4分 代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ……8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p上，所以点c 的坐标为（－2p ，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=． 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ……12分证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则AD ∥FE ∥BC ． ……2分 连结AC ，与EF 相交于点N ，则ABBF AC CN AD EN ==，，ABAF BCNF = ……6分 根据抛物线的几何性质，AD AF =，BC BF =， ……8分∴ NF ABBC AF ABBF AD EN =⋅=⋅=，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ． ……12分 （20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分． （Ⅰ）证明： 对于1＜i ≤m 有im p = m ·…·(m －i ＋1)，⋅-⋅=m m m m m p i i m 1…mi m 1+-⋅， 同理 ⋅-⋅=n n n n n p i in 1…ni n 1+-⋅， ……4分由于 m ＜n ，对整数k = 1，2…，i －1，有mkm n k n ->-， 所以 i im i i n mp n p >，即im i i n i p n p m >． ……6分（Ⅱ）证明由二项式定理有()in ni i nC m m ∑==+01， ()i mmi i mCn n ∑==+01， ……8分由 (Ⅰ)知i n i p m ＞im i p n (1＜i ≤m ＜n ＝，而 !i p C i m im=，!i p C i n in =， ……10分所以， im i i n i C n C m >(1＜i ≤m ＜n ＝．因此，∑∑==>mi im i mi i niC n Cm 22． 又 10000==m n C n C m ，mn nC mC m n ==11，()n i m C m in i ≤<>0．∴∑∑==>mi im i ni i niC n Cm 0． 即 (1＋m )n ＞(1＋n )m ． ……12分（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－51）万元，……，第n 年投入为800×（1－51）n －1万元． 所以，n 年内的总投入为a n = 800＋800×（1－51）＋…＋800×（1－51）n －1∑=--⨯=nk k 11)511(800= 4000×[1－(54)n]； ……3分 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋41）万元，……，第n 年旅游业收入为400×（1＋41）n －1万元．所以，n 年内的旅游业总收入为b n = 400＋400×（1＋41）＋…＋400×（1＋41）n －1∑=-⨯=nk k 11)45(400= 1600×[ (54)n－1]． ……6分 （Ⅱ）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即 1600×[（45）n －1]－4000×[1－（54）n ]＞0． 化简得 5×（54）n ＋2×（54）n －7＞0， ……9分设=x （54）n ，代入上式得5x 2－7x ＋2＞0，解此不等式，得52<x ，x ＞1(舍去)． 即 （54）n ＜52，由此得 n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．（Ⅰ）解：因为对x 1，x 2∈[0，21]，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，所以=)(x f f (2x ) · f (2x )≥0，x ∈[0，1]． ∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2，f (21)=f (4141+) = f (41) · f (41) = [f (41)]2． ……3分0)1(>=a f ，∴ f (21)21a =，f (41)41a =． ……6分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称， 故 f (x ) = f (1＋1－x )，即f (x ) = f (2－x )，x ∈R ． ……8分 又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ， ∴ f (－x ) = f (2－x ) ，x ∈R ， 将上式中－x 以x 代换，得f (x ) = f (x ＋2)，x ∈R ．这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x )≥0，x ∈[0，1]．∵ f (21)= f (n ·n 21) = f (n 21＋（n －1）·n 21) = f (n 21) · f (（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (n 21) · … ·f (n 21)= [ f (n21)]n，f (21) = 21a ，∴ f (n21) = n a 21．∵ f (x )的一个周期是2，∴ f (2n ＋n 21) = f (n21)，因此a n = n a 21， ……12分∴ ()∞→∞→=n n n a lim ln lim (a nln 21) = 0． ……14分====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集。
01真题二答案
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）213lim 21-++--→x x x x x ＝______． （2）设函数y ＝f （x ）由方程e 2x ＋y －cos （xy ）＝e －1所确定，则曲线y ＝f （x ）在点（0，1）处的法线方程为______．（3）x x x x d cos )sin (22π2π23⎰-+＝_______．（4）过点)0,21(且满足关系式11in arcs 2=-+'xy x y 的曲线方程为______． （5）设方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则α＝______． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设⎩⎨⎧>≤=,1||,0,1||,1)(x x x f 则f {f [f （x ）]}等于（ ） （A ）0． （B ）1．（C ）⎩⎨⎧>≤.1||,0,1||,1x x （D ）⎩⎨⎧>≤.1||,1,1||,0x x（2）设当x →0时，（1－cos x ）ln （1＋x 2）是比x sin x n 高阶的无穷小，x sin x n 是比)1e (2-x 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ ）（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4．（3）曲线y ＝（x －1）2（x －3）2的拐点个数为（ ）（A ）0． （B ）1． （C ）2． （D ）3．（4）已知函数f （x ）在区间（1－δ，1＋δ）内具有二阶导数，f ′（x ）严格单调减少，且f（1）＝f ′（1）＝1，则（ ）（A ）在（1－δ，1）和（1，1＋δ）内均有f （x ）＜x ．（B ）在（1－δ，1）和（1，1＋δ）内均有f （x ）＞x ．（C ）在（1－δ，1）内，f （x ）＜x ，在（1，1＋δ）内，f （x ）＞x ．（D ）在（1－δ，1）内，f （x ）＞x ，在（1，1＋δ）内，f （x ）＜x ．（5）已知函数y ＝f （x ）在其定义域内可导，它的图形如右图所示，则其导函数y ＝f ′（x ）的图形为（ ）三、（本题满分6分） 求⋅++⎰1)12(d 22x x x四、（本题满分7分） 求极限x t xx t xt sin sin )sin sin (lim -→，记此极限为f （x ），求函数f （x ）的间断点并指出其类型． 五、（本题满分7分）设ρ＝ρ（x ）是抛物线x y =上任一点M （x ，y ）（x ≥1）处的曲率半径，s ＝s （x ）是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)d d (d d 3ss ρρρ-的值．（在直角坐标系下曲率公式为))1(||232'+"=y y K六、（本题满分7分）设函数f （x ）在[0，＋∞）上可导，f （0）＝0，且其反函数为g （x ）．,e d )(2)(0x xf x t tg =⎰若求f （x ）．七、（本题满分7分） 设函数f （x ），g （x ）满足)(e 2)(),()(x f x g x g x f x -='='，且f （0）＝0，g （0）＝2，求.d ))1()(1)((π02x x x f x x g ⎰+-+ 八、（本题满分9分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点P （x ，y ）（x ＞0）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点).0,21( （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例常数K ＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r 0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少小时？ 十、（本题满分8分）设f （x ）在区间[－a ，a ]（α＞0）上具有二阶连续导数，f （0）＝0，（1）写出f （x ）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（2）证明在[－α，a ]上至少存在一点η，使.d )(3)(3x x f f a aa ⎰-="η 十一、（本题满分6分）已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011101110,11011001B A i ，且矩阵X 满足AXA ＋BXB ＝AXB ＋BXA ＋E ，其中E 是3阶单位阵，求X ．十二、（本题满分6分）已知α1，α2，α3，α4是线性方程组A x ＝0的一个基础解系，若β1＝α1＋t α2，β2＝α2＋t α3，β3＝α3＋t α4，β4＝α4＋t α1，讨论实数t 满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax ＝0的一个基础解系．。
2001年考研数学二试题答案与解析
考生还有更方便的解法，事实上，等式的左端等于 ( y arcsin x)' , 关系式变成
( y arcsin x)' =1，两边积分得
y arcsin x = x + C,
再以
y
⎛⎜⎜⎜⎝ 12 ⎞⎠⎟⎟⎟
=
0代入得C
=
−
1 2
.
（5）设方程 ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝11a
1 a 1
11a⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
x t−sin
x
,
记此极限为
f
(x) ，求函数
f
(x) 的间断点并指出其类型。
( ) 解 因 f x = e , lim t→x
sin
x t−sin
x
ln
sin sin
t x
cos t
而由洛必达法则得， lim t→x
x sin t −sin
x
ln
sin t sin x
= lim t→x
x⋅
sin t cos t
π
∫ ( ) （3）
2 −π
x3 + sin2 x cos2 xdx =
2
答 应填 π 8
分析 这是对称区间上的定积分，一般都可利用积分性质而化简计算，所以
π
π
∫ ( ) ∫ 2 −π
x3 + sin2 x cos2 xdx = 2
2 sin2 x cos2 xdx
0
2
π
= 2∫ (2 sin2 x −sin4 x)dx
e2
x− y
⎛⎜⎜⎜⎝2
+
dy dx
⎞⎠⎟⎟⎟
+
2001考研数学二真题及答案解析
x→1
(2)【答案】 x−2y+2=0.
【详解】在等式 e2x+ y − cos(xy) = e −1 两边对x求导, 其中 y 视为 x 的函数，得
e2x+y (2x + y)′ + sin(xy) ( xy)′ = 0 ，即 e2x+y ⋅ (2 + y ') + sin(xy) ⋅ ( y + xy ') =0
= f (1) f= '(1) 1, 则
()
(A)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f (x) < x .
❤
(B)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f (x) > x .
(C)在 (1− δ ,1) 内， f (x) < x .在 (1,1+ δ ) 内， f (x) > x .
又由 y(1) = 0, 解得 C = − 1 . 故曲线方程为： y arcsin x= x − 1 .
2
2
2
(5)【答案】 -2 【详解】方法1：利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
a 1 1 1
1 1 a −2
A = 1 a 1 1
1 a
1
−2
1, 3行 互换
1 a
a 1
1 1
1
1
1 1 a −2
求 f (x) .
七、(本题满分 7 分)
❤
设函数 f (x), g(x) 满足 f ′(= x) g(x), g′(= x) 2ex − f (x) ，且= f (0) 0= , g(0) 2 ，
∫ 求
2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试卷(附解答)
2001年广东普通高等学校招生统一考试数 学 试 题2001．7说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟.参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[sin(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=正棱台、圆台的侧面积公式S 台侧=21(c ′+c )l其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式V 台体=h S S S S )(31+'+'其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式31--x x ＞０的解集为A ．｛ｘ｜ｘ＜１｝B ．｛ｘ｜ｘ＞３｝C ．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝D ．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝ 2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是Ａ．３πＢ．３3πＣ．6πＤ．９π3．极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是A ．两条相交直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａ的取值范围是A ．（０，21） Ｂ．（０，21] Ｃ．（21，＋∞） Ｄ．（０，＋∞）5．已知复数ｚ＝i 62+，则ａｒｇZ1是 A ．3πＢ．35π Ｃ．6π Ｄ．611π6．函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是 A ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２]7．若０＜α＜β＜4π，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则A ．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＜ｂ Ｃ．ａｂ＜１ Ｄ．ａｂ＞28．在正三棱柱ABC —A １Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB １与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为 A ．60° Ｂ．９０° Ｃ．4５° Ｄ．120° 9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减；④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减其中，正确的命题是A ． ①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④10．对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q ，点P (a ,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a 的取值范围是A ．（－∞,０）B ．（－∞,２）C ．［０,２］D ．（０,２）11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A ．P ３＞P ２＞P １ Ｂ．P ３＞P ２＝P １Ｃ．P ３＝Ｐ２＞Ｐ１ Ｄ．P ３＝P ２＝P １12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为A ．２６ Ｂ．２４ Ｃ．２０ Ｄ．１９第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有 种可能(用数字作答)14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期． 18．(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk ＝２５５０． (Ⅰ)求ａ及ｋ的值；(Ⅱ)求)111(lim 21nn S S S +++∞→ 19．(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝21．(Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．20．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm ２，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈]43,32[，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?21．(本小题满分14分)已知椭圆1222=+y x 的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且ＢＣ∥x 轴求证直线AC 经过线段EF 的中点．22．(本小题满分14分)设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称对任意ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０．(Ⅰ)求ｆ)41(),21(f ；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；（Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋n21），求)(ln lim n n a ∞→．参考答案一、选择题1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题13.4900 14.51615.1 16.2n (n -1)三、解答题17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２５分＝2)42sin(2++πx8分所以最小正周期Ｔ＝π． 10分18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，则a １＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０． 由已知有a +3a =2×４，解得首项a １＝ａ＝２， 公差d =a ２－ａ１＝２． 2分代入公式S ｋ＝ｋ·ａ１＋d k k ⋅-2)1(得255022)1(2=⋅-+⋅k k k∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０ 解得k =50,k =-51(舍去) ∴a =2,k =50. 6分(Ⅱ)由d n n a n S n ⋅-+⋅=2)1(1得S ｎ＝ｎ（ｎ＋１）， )11-1()31-21()21-11( )1(132121111121++++=+++⨯+⨯=+++n n n n S S S n111+-=n 9分 1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n n n 12分19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是M 底面=AB AD BC ⋅+)(21=43125.01=⨯+ 2分∴四棱锥S —ABCD 的体积是414313131=⨯⨯=⨯⨯=底面M SA V 4分(Ⅱ)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 6分∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ∵ＳＡ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影， ∴CS ⊥ＳＥ，所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角10分∵ＳＢ＝SB BC BC AB SA ⊥==+,1,222 ∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝22=SB BC 即所求二面角的正切值为2212分20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ２＝４８４０ 1分设纸张面积为S ，则有 Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分将ｘ＝λ1022代入上式得Ｓ＝５０００＋４４)58(10λλ+5分当８)185(85,5==λλλ即时，S 取得最小值， 此时，高：ｘ＝884840=λc ｍ，宽：λｘ＝558885=⨯ｃｍ 8分如果λ∈［43,32］，可设433221≤≤λλ ，则由S 的表达式得Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４)5858(102211λλλλ--+=)58)((104421121λλλλ--10分由于058,85322121 λλλλ-≥故 因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，所以S （λ）在区间［43,32］内单调递增.从而，对于λ∈［43,32］，当λ＝32时，S （λ）取得最小值答：画面高为88ｃｍ、宽为５５ｃｍ时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈［43,32］,当λ＝32时，所用纸张面积最小.12分21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F (1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E 的坐标为(2，0)，EF 的中点为N (23，0)3分若AB 垂直于x 轴，则A （１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１），∴AC 中点为N (23，0)，即AC 过EF 中点N.若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．记A （ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C （２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程1)1(2222=-+x k x 即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０， ∴ｘ１＋ｘ２＝22212221)1(2,214k k x x k k +-=+１０分又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－23≠０， 故直线AN ，CN 的斜率分别为ｋ１＝32)1(2231111--=-x x k x y )1(2232222-=-=x k yk∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３） ＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４＝0)]21(4)1(412[2112222=+---+k k k k∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A 、C 、N 三点共线. 所以，直线AC 经过线段EF 的中点N. 14分22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x ２）, 所以22)]41([)41()41()4141()21()]21([)21()21()2121()1(]1,0[,0)2()2()22()(f f f f f f f f f f x xf x f x x f x f =⋅=+==⋅=+=∈≥⋅=+=ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分∴4121)41(,)21(a f a f == 6分(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称， 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ）， 即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R ， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R ，将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ这表明ｆ（ｘ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分（Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］∵]21)1(21[)21()21(nn n f n n f f ⋅-+=⋅=nnf n f n f n f nn f n f )]21([)21()21()21( ]21)1[()21(=⋅⋅⋅==⋅-⋅=21)21(a f = ∴n a nf 21)21(=12分∵ｆ（ｘ）的一个周期是2∴ｆ（２ｎ＋n 21）=ｆ（n21）,因此a n =n a 210)ln 21(lim )(ln lim ==∴∞→∞→a na n n n 14分。
2001年考研数学二试题答案与解析
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求
∫
dx
(2x2 +1)
. x2 +1
分析 这是一道常规的不定积分题，用换元法解即可。
解 设 x = tan u, dx = sec2 udu.
求
∫π 0
⎡⎢⎢⎢⎣
g (x)
1+ x
−
f( (1+
x) x)2
⎤⎥⎥⎥⎦dx.
分析 本题实质是分两部分：求 f (x) ；计算所求积分，第一部分是解微分方程；
第二部分求积分2，先利用题设条件进行运算，最后再代入 f (x) 的式子得解。
解法1 由 f ' (x) = g (x)得f '' (x) = g' (x) = 2ex − f (x),
原式 =
∫
cos
u
⋅
du
(2 tan
2
u
+
1)
=
∫
cos udu 2 sin2 u + cos2 u
=
∫
d sin u 1+ sin2 u
= arctan(sin u)+ C
= arctan⎜⎜⎝⎛⎜⎜
x 1+
x2
⎠⎞⎟⎟⎟⎟
+
C
四、（本题满分6分）
求极限
lim
t→x
⎛⎜⎜⎜⎝
sin sin
t x
⎞⎠⎟⎟⎟sin
y '' ）
3
1+ y'2 2
数学二解析2001
2001年数学（二）真题解析一、填空题（1）【答案】72T【解】方法一i . 丿3 —工—%/ ] + g lim X-*l x 2 x 一 21. %/3 — x — V 1 ~F lim —----——--------x->i (jc + 2) (jc 一1)lim --------------- ]------ ----Li (x + 2)(丿3 — 工 + 丿1 + 工)2(1 ―工)x 一 1方法二lim = lim -4-7工~* 1 x + 工一2工一1 + 111x 2 x 一 2 a /3 — x 2 丿]+ 匚（2）【答案】夕=*工+1.【解】e 2x+y — cos xy = e — 1两边对x 求导得严•+ sin xy •夕+熄) = 0,将X =0,y = 1代入得字I = — 2 ,ckr 丨 z=o则法线方程为夕一1 = *（久一0）,即夕=*広+ 1-(3)【答案】 v-O【解】方法一sin 2 x cos 2 x dx — 2 sin 2 x cos 2 x dr4 J 。
，三=2 I 2 sin 2 j; • (1 一 sin 2 jc )dz = 2(12 — I 4 )2” (z 3 + sin 2 jc )cosx dx =方法二(x 3 + sin 2 )cos 2jc dj?=2 sin 2 x cos 2 jc dj? J 0丄72 sin 2 d(2工)=*sin 2x djro2 J 0 o（4）【答案】j/arcsin x = x【解】方法一丄由 j/arcsin x H — …一 =19得（jyarcsin x Y = 19解得 j/arcsin x = x + C 9J \ — 2因为曲线经过点（j,0），所以C=-y,故所求曲线为jarcsin x =x ----.方法二jy'arcsin x ~\-------------= 1 化为 y' ~\—，… ------------y =-----\-----,71-x 2 Jl —/arcsin z arcsln 工f d~r _ f 1 丄解得夕=（［——?——e +C ）e =（工 +c ）・ ———\J arcsin x / arcsin x 因为曲线经过点（y,o ），所以C=-y,1x 2故所求曲线为—丄arcsin x因为r （A ） y^r （A ）,所以方程组无解;（5）【答案】—2.a11【解】由题意得1a 1=（a + 2） （a 一 1 ）2=0,解得 a = — 2 ,或 a = 1,11a /I 111 \I 1111 \当a =1时，才=b11100—3 ,\i11—2丿'o0 '当 a = — 2 时,A =_2111 \1-2111-2—2）因为r （A ）=r （A ）=2 V 3,所以a = —2时方程组有无数个解.二、选择题（6）【答案】（E ）.【解】y[y （z ）] = ]'9丨心）丨€1,丨心）丨＞1,而 I /（J7 ） | ^ 1 （一°°＜工 ＜+ °°）,故 /[/（J ： ）] = 1 ,从而 f）]} =1,应选（E ）.（7）【答案】（E ）.1 2【解】（1 — cos x ）ln （ 1 + z 2）〜—x 4 , x sin 工”〜x n+i , e" — 1 ~ j ?2 , 由题意得2 < n+l<4,解得n =2,应选（E ）.（8）【答案】（C ）.【解】＜‘ = C ； • 2（工一3）2+© • 2（工一1） • 2（工一 3） +C ； • 2（工一I ）?,令夕"=4 (3工 $ — 12_z + 11) = 0,得工 16+V336 — 4^3工2当工＜C X 1时当久1 •＜ X X 2时j/'＜0,当鼻 ＞ 工2时j/‘＞0,故曲线有两个拐 点，应选（C ）.（9） 【答案】（A ）.【解】 由拉格朗日中值定理得/（工）一/（1）= /'（£）（工一1）,其中e 介于1与工之间，当工 6 （1-^,1）时 HVWV 1,再由 f'（x ）单调递减得 ＞ /（I ） =1,于是 y z （$）（— 1）＜工一1,即 y （x ）•— 1＜久一1,或 f （兀）＜工；当工e （1,1十厂 时1 vw ＜工，再由单调递减得1 =y'（i ）＞/"（£）,于是 — 1） ＜工一1,即/•（#） — 1 V# — 1,或/（工）＜工，应选（A ）.（10） 【答案】（D ）.【解】 从题设图形可见,在夕轴的左侧，曲线夕=/■&）是严格单调增加的，因此当工＜0时，一定有于'（工）〉0,对应夕=于'（工）的图形必在工轴的上方，由此可排除（A ）,（C ）； 又的图形在y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理可知，其导函数y=f\x ）的图形在y 轴右侧一定有两个零点，进一步可排除（E ）.应选（D ）.三、解答题（11）【解】djr(2jc 12 + 1)丿兴 + ]1(]___\ 2 3_(1 + j//2 ) 2 ' 4工丿 (4jc + 1) 2Z )= 肿一 I = ~~2'sec 21(2tan 2i + 1 )sec tdtr cos tJ 2sinS + cosL弓豐將=arctan(sin/)+C=arctan .- + C.Jx 2 + 1(12) 【解】f(x ) =Sin "B ，nr = lim [(1 + $1叮一 sm ”)t-~x 'sin x / L 、 sin x /fCx)的间断点为工=kit (k e z),由lim/(j?) = e 得工=0为/(j ：)的可去间断点；•z —*0由f (n — Q) — + °°,/(7r + 0) = 0得工=7T 为第二类间断点,同理工=kn(k 6 Z 且怡H0)为第二类间断点.(13) 【解】“=士，『=—— ，2 V j c 4工』工4«zdp _ dp / dj? ds ds / dr131••4( 4 工 +1)2--------------- ---------=6 J~x , 丿4无+ ]2 J~x6d 2 p d ( 6 \/~t ) /dj?2 \[x 6& $ ds/dx g + 1+ 12则^兽-伴）(4h +l)72一;… 一 — 36 无=9.J 4 无 + ]（14）【解】gCt)dt x 2e 两边求导，得g[_f (j? )]/，(jc ) = (jc 2 +2工)『9 即) = (e + 2)e° 9积分得 /(^) = (h +1)『+ C9由 /(O) = 0 得 C = — 1,故/'(z ) = («z + 1)『一1.(15)【解】 由 g"Q ) = 2e J 一厂(2 )得 g 〃(H ) + g(z ) = 2e J ,解得 g (工)=C] cos x + C 2 sin x + e r ・ 由 g (0)=2 得 Ci = 1 ；由 g'(0) = 2 — /(0) = 2 得 C 2 = 19从而 g (jc ) = cos x + sin jr + e * 9 于是 fCx)= sin jc — cos 无 + e° ,rg(H )1 + zg (工)/(j ?)_1+乂 (1 + )2dj ： +/(j ： )d土）J 0g&) 1, fCx )i+7d " +TT7lo _Jg (#)1 +Ax_/（7T ）_e n + 1= i + tt = 7t + r（16）r 解】（i ）丨 op |=好 +$2,切线方程为Y —y =j/（X —乂），令X = 0,则切线在y 轴上的截距为Y = y — xy',由题意得y — xy' = Jx 2 + j^2，整理得字=2 — /1 + (―),dr jc \ \戈丿令u =—,则"+ z 学 =u — \/1 + z/2，变量分离得 d ----=——工 山 丿1 + / 工______ ______ 「积分得 ln(“ + \/m 2 + 1 ) = In C — In x ,即"+ a /m 2 + 1 = 一，x 再由 -“ + vV +1 =咅得“=*岸-咅)，或$=*9 -青)，因为曲线经过点（*,0），所以C=y,故所求曲线为夕=土一工2.(H)曲线汁* —在第一象限与两坐标轴所围成的面积为设切点为P1X 22) 9切线为y —=一 2a (jc 一 a ) 9令夕=0得z =二 + #；令工=0得，=++/oa z 4切线与L 及两个坐标轴围成的位于第一象限的面积为4a112 5Sa • 4a令s'++斜4a 2T + fl24a 24)=°得「古所求的切线方程为丿—(土―召)，整理得(17)［解】 设/时刻雪堆的半径为r(Z ),r(0) =r 0,v 2 3 Q 9 2 dV 2 "V = —nr ， o = Z7tr 9 -7— = Z7ir • —3 dt dtdV" d 厂由题意得不=TS,整理得不=T,解得")=f+c°,由厂(0)=厂 ° 得 C =r Q= —kt +r 09再由 r (3) = #•得怡=¥•，故 r ⑺=----t + r 0 ,Z令r (?) =0得t =6,故雪堆全部融化需要6小时.(18) ( I )【解】/(^)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式为/(J?) = /(0) + /''(0)工 + I ；£)乂2= /，(0)jf + ［『力2，其中£介于0与工之间.(II )【证明】/(j ： ) =/，(0)j' +食,)工2两边在［—a ,a ］上积分得［/(jc)dj- = _1_［ /7,($)2d:r ,J —au J —a因为f'\x )在［—a ,a ］上连续，所以f'\x )在［—a ,a ］上取到最小值m 和最大值M,由W */"(£)広2 C yMjr 2 得扌a 3 C yj 厂(£)工'dr < y-a 3 ,m ra m 3 f a即百^3 W /(工)clr W —a 3 9或 Tzz — /(j : )djc M ,3 J —a 3 a J —a由介值定理，存在少E [—a,a],使得/'"（可）=弓[/'（工）山，a J —a故 a "/■"(”)=3〕/ ( jc ) d j ?.(19)【解】 由 AXA +BXB =AXB + BXA + E 得(A -B)XCA -B) =E,解得 X = [(A -B)2]"1 ,/I — 1 — 1而A - B = 0 1 一 1'o 0 1/!-1一1\J 1(AB)2=01-11 0'001丿'0I 1_ 2-110°\I 1由01-2010 -* 0'0100J'0-1-1I 1-2一1\1-1=01-201/'o 01 100125\10012|得0100/]25\X =-012 •、00J（20）【解】0] ,p 2，“3，04为AX =0的基础解系的充分必要条件是01 ,庆，/h ，力线性无关,1t0100t '而(01 902 9 03，04)=(。
2001年高考数学(全国卷)
.2001 年普通高等学校招生全国统一考试(02)（ 1）若sin cos0，则在()（ A ）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第一、四象限（D）第二、四象限（ 2）过点A 1, 1、B1,1 且圆心在直线x y 2 0 上的圆的方程是( )（ A ）x3（ C）x122y 1y 1224（ B）4（ D）x 3x 122y 1y 12244（ 3）设a n是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )（A ）1（B）2（ C）4（D） 6（ 4）若定义在区间1，0 内的函数 f x log 2 a x 1 满足 f ( x)0 ，则 a 的取值范围是()（A ）（0，1）（B）（0，1]（C）（1，+）（D ）（0， +）222(5) 极坐标方程 2 sin() 的图形是 ()4oxox 1111xo o x （ A ）（ B）（ C）（D ）（ 6）函数y cos x1(x0) 的反函数是()（ A ）y arccos(x1)(0x2)（ B）y arccos(x1)(0x2)（ C）y arccos(x1)(0 x2)（D ）y arccos(x1)(0x2)（ 7）若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1,0), F2 (3,0) ，则其离心率为()（A）3（B）2（C）1（D）1 4324（8）若04， sin cos a ，sin cosb ，则()（ A ）a b（ B）a b （C） ab 1 （D） ab 2（ 9）在正三棱柱ABC A1 B1C1中，若 AB2BB1，则 AB1与 C1 B 所成的角的大小为()（A ）60°（B ）90°（C） 105°（D ）75°.（ 10）设f ( x)、g( x)都是单调函数，有如下四个命题：若 f (x) 单调递增， g( x)若 f (x) 单调递增， g( x)若 f (x) 单调递减， g( x)单调递增，则单调递减，则单调递增，则f ( x)g ( x)f ( x)g ( x)f ( x)g ( x)单调递增；单调递增；单调递减；○4 若f ( x)单调递减，g(x) 单调递减，则 f (x)g ( x) 单调递减；其中，正确的命题是（A ）○1○3（B）○1○4（C）○2○3（D）○2○4（ 11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为 P1、 P2、 P3.①②③若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则( )（A ）P3P2P1（B） P3P2P1（C） P3P2P1（D） P3P2P1（ 12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。
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2001年数学二试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)
(1)21lim 2
x x x →=+- (2)设函数()y f x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-所确定,则曲线()y f x =在点(0,1)处的法线方程为.
(3)()3222
2sin cos x x xdx ππ-+=⎰
(4)过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
且满足关系式'arcsin 1y x +=的曲线方程为. (5)设方程123111111112a x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
有无穷多个解,则a =. 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)设1,1,()0,1,
x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]{}()f f f x 等于() (A)0 (B)1 (C)1,1,0,1,x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩(D)0,1,()1,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
(2)设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小，sin n x x 是比()
21x e -高阶的无穷小，则正整数n 等于()
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(3)曲线22(1)(3)y x x =--的拐点个数为()
(A)0. (B)1. (C)2. (D)3
(4)已知函数()f x 在区间(1,1)δδ-+内具有二阶导数，'()f x 严格单调减少，且(1)'(1)1,f f ==则()
(A)在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x <.
(B)在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x >.
(C)在(1,1)δ-内，()f x x <.在(1,1)δ+内，()f x x >.
(D)在(1,1)δ-内，()f x x >.在(1,1)δ+内，()f x x <.
(5)设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图形如右图所示，
则导函数()y f x '=的图形为()
三、(本题满分6分)
求
四、(本题满分7分) 求极限sin sin sin lim sin x t x t x t x -→⎛⎫
⎪⎝⎭，记此极限为()f x ，求函数()f x 的间断点并指出其类型.
五、(本题满分7分)
设()x ρρ=
是抛物线y =(,)(1)M x y x ≥处的曲率半径，()s s x =是该抛
物线上介于点(1,1)A 与M 之间的弧长，计算2223d d ds ds ρρρ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的值.(在直角坐标系下曲率公式为322"(1')y K y =
+)
六、(本题满分7分)
设函数()f x 在[0,)+∞上可导，(0)0f =，且其反函数为()g x .若
()20()f x x g t dt x e =⎰，
求()f x .
七、(本题满分7分)
设函数(),()f x g x 满足()(),()2()x f x g x g x e f x ''==-，且(0)0,(0)2f g ==，
求20()()1(1)g x f x dx x x π
⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦
⎰ 八、(本题满分9分)
设L 是一条平面曲线，其上任意一点(,)P x y (0)x >到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y 轴上的的截距，且L 经过点1,0.2⎛⎫ ⎪⎝⎭
(1) 试求曲线L 的方程
(2) 求L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形面积最小.
九、(本题满分7分)
一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例常数0K >.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的78
，问雪堆全部融化需要多少小时？
十、(本题满分8分)
设()f x 在区间[,](0)a a a ->上具有二阶连续导数,00f =（
）, (1) 写出()f x 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;
(2) 证明在[,]a a -上至少存在一点η，使3()3
().a a a f f x dx η-''=⎰
十一、(本题满分6分) 已知矩阵100011110,101.111110A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
且矩阵X 满足
,AXA BXB AXB BXA E +=++其中E 是3阶单位阵，求X .
十二、(本题满分6分)
设124,,,ααα 为线性方程组0AX =的一个基础解系，112223,,t t βααβαα=+=+ 334441,,t t βααβαα=+=+试问实数t 满足什么关系时，1234,,,ββββ也为0AX =的一个基础解系.。