[精品]2015-2016年河南省开封市兰考县高一(上)数学期中试卷与答案

2015-2016学年河南省开封市兰考县高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={﹣1，0，1}，则下列关系式正确的是（）A．{0}∈M B．{0}∉M C．0∈M D．0⊆M2．（5分）已知函数f（x）=1+log2x，则的值为（）A．B．C．0 D．﹣13．（5分）下面的函数中是幂函数的是（）①y=x2+2；②y=；③y=2x3；④y=；⑤y=+1．A．①⑤B．①②③C．②④D．②③⑤4．（5分）若函数y=a x﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，则点P的坐标为（）A．（3，0） B．（﹣1，0）C．（0，﹣1）D．（0，3）5．（5分）与函数y=x相等的函数是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=6．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）等于（）A．﹣x+1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x﹣18．（5分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣4，4]C．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）D．[﹣4，2）9．（5分）函数f（x）=ln|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知从集合M到N的映射f满足f（a）﹣f（b）﹣f（c）=0，且集合M={a，b，c}，N={﹣1，0，1}，那么映射f的个数为（）A．7 B．5 C．4 D．211．（5分）若函数f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数、偶函数，且f（x）=g（x）+e x则（）A．g（0）＜f（2）＜f（3）B．g（0）＜f（3）＜f（2）C．f（2）＜g（0）＜f （3）D．f（2）＜f（3）＜g（0）12．（5分）设m，n∈z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若函数g（x）=2|x﹣1|+m+1有唯一的零点，则m+n=（）A．2 B．﹣1 C．1 D．0二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知集合A={x|ax+1=0}，B={﹣1，1}，若A∩B=A，则实数a的所有可能取值的集合为．14．（5分）若函数f（x）=，则f（﹣3）=．15．（5分）已知函数f（x）=a2015x2015+a2013x2013+a2011x2011+…+a3x3+a1x+1，且f（1）=2，则f（﹣1）=．16．（5分）已知函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的范围是．三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x|x2+ax+b=0}，B={x|x2+cx+15=0}，A∪B={3，5}，A ∩B={3}且A≠B，求实数a，b，c的值．18．（12分）（1）计算：；（2）已知a=lg2，10b=3，用a，b表示．19．（12分）已知函数f（x）=，（Ⅰ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性并用单调性的定义证明；（Ⅱ）x∈[2，4]，求函数f（x）的最大值和最小值．20．（12分）已知函数f（x）=log a（1﹣x），g（x）=log a（1+x），其中a＞0且a ≠1．（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；（2）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并证明；（3）若f（x）＞g（x），求x的取值范围．21．（12分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（万元）和Q（万元），它们与投入资金t（万元）的关系有经验公式P=，Q=t．今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（万元）．求：（Ⅰ）经营甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；（Ⅱ）怎样将资金分配给甲、乙两种商品，能使得总利润y达到最大值，最大值是多少？22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b ∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有成立．（Ⅰ）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明．（Ⅱ）解不等式：（Ⅲ）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年河南省开封市兰考县高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={﹣1，0，1}，则下列关系式正确的是（）A．{0}∈M B．{0}∉M C．0∈M D．0⊆M【解答】解：对于A、B，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确；对于C，0是集合中的一个元素，表述正确．对于D，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确．故选：C．2．（5分）已知函数f（x）=1+log2x，则的值为（）A．B．C．0 D．﹣1【解答】解：由f（x）=1+log2x，得=1+=1+=1﹣1=0．故选：C．3．（5分）下面的函数中是幂函数的是（）①y=x2+2；②y=；③y=2x3；④y=；⑤y=+1．A．①⑤B．①②③C．②④D．②③⑤【解答】解：由幂函数的定义可知：①y=x2+2；不是幂函数；②y=；是幂函数．③y=2x3；不是幂函数；④y=；是幂函数；⑤y=+1．不是幂函数．故选：C．4．（5分）若函数y=a x﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，则点P的坐标为（）A．（3，0） B．（﹣1，0）C．（0，﹣1）D．（0，3）【解答】解：∵指数函数y=a x（a＞0，且a≠1）恒过（0，1）点，而函数y=a x﹣2（a＞0，且a≠1）的图象可以看成是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的图象向下平移2个单位而得到的，∴函数y=a x﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过（0，﹣1）点，故选：C．5．（5分）与函数y=x相等的函数是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=【解答】解：选项A中，x≥0，与函数y=x的定义域R不符；选项B中，，符合题意；选项C中，y≥0，与函数y=x的值域R不符；选项D中，x≠0，与函数y=x的定义域R不符；故选：B．6．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选：C．7．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）等于（）A．﹣x+1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x﹣1【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=﹣x+1，∴f（﹣x）=x+1又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x+1）=﹣x﹣1故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣4，4]C．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）D．[﹣4，2）【解答】解：令t（x）=x2﹣ax+3a，由题意知：t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且t（x）＞0解得：﹣4＜a≤4则实数a的取值范围是（﹣4，4]故选：B．9．（5分）函数f（x）=ln|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵当x＞1时，f（x）=ln|x﹣1|=ln（x﹣1），其图象为：∵当x＜1时，f（x）=ln|x﹣1|=ln（1﹣x），其图象为：综合可得，B符合，故选：B．10．（5分）已知从集合M到N的映射f满足f（a）﹣f（b）﹣f（c）=0，且集合M={a，b，c}，N={﹣1，0，1}，那么映射f的个数为（）A．7 B．5 C．4 D．2【解答】解：根据题意，f（a）、f（b）、f（c）∈N，且f（a）﹣f（b）﹣f（c）=0，分2种情况讨论：①、f（a）=f（b）=f（c）=0，满足题意，此时有1个映射；②、f（a）、f（b）、f（c）中恰有1个为0，另外2个为1和﹣1，f（a）、f（b）、f（c）中恰有1个为0，有3种情况，另外2个分别为1和﹣1，则有2×1=2种情况，此时共有3×2=6个映射；共有1+6=7个映射满足题意；故选：A．11．（5分）若函数f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数、偶函数，且f（x）=g（x）+e x则（）A．g（0）＜f（2）＜f（3）B．g（0）＜f（3）＜f（2）C．f（2）＜g（0）＜f （3）D．f（2）＜f（3）＜g（0）【解答】解：f（x）+g（x）=e x①；∴f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x；又f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）；∴﹣f（x）+g（x）=e﹣x②；①②联立得，f（x）=（e x﹣e﹣x），g（x）=（e x+e﹣x），∴g（0）=1，1＜f（2）＜f（3）故选：A．12．（5分）设m，n∈z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若函数g（x）=2|x﹣1|+m+1有唯一的零点，则m+n=（）A．2 B．﹣1 C．1 D．0【解答】解：∵f（x）=log2（﹣|x|+4）的值域是[0，2]，∴（﹣|x|+4）∈[1，4]∴﹣|x|∈[﹣3，0]∴|x|∈[0，3]…①若若关于x的方程2|x﹣1|+m+1=0有唯一的实数解则m=﹣2又由函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，结合①可得n=3即：m+n=1故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知集合A={x|ax+1=0}，B={﹣1，1}，若A∩B=A，则实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1} ．【解答】解：由于A∩B=A，∴A=∅或A={﹣1}，或{1}，∴a=0或a=1或a=﹣1，∴实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}14．（5分）若函数f（x）=，则f（﹣3）=2．【解答】解：函数f（x）=，故f（﹣3）=f（﹣3+2）=f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1）=1+1=2，故答案为2．15．（5分）已知函数f（x）=a2015x2015+a2013x2013+a2011x2011+…+a3x3+a1x+1，且f（1）=2，则f（﹣1）=0．【解答】解：f（x）=a2015x2015+a2013x2013+a2011x2011+…+a3x3+a1x+1，且f（1）=2，则a2015+a2013+a2011+…+a3+a1=1，所以f（﹣1）=﹣a2015﹣a2013﹣a2011﹣…﹣a3﹣a1+1=﹣1+1=0；故答案为：0．16．（5分）已知函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的范围是[，6）．【解答】解：要使函数f（x）是增函数，则满足，即≤a＜6，故答案为：[，6）．三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x|x2+ax+b=0}，B={x|x2+cx+15=0}，A∪B={3，5}，A ∩B={3}且A≠B，求实数a，b，c的值．【解答】解：∵A∩B={3}，∴3∈A，且3∈B，即9+3c+15=0，即3c=﹣24，∴c=﹣8，即B={x|x2﹣8x+15=0}={3，5}，∵A∪B={3，5}，A∩B={3}且A≠B，∴A={3}，即，即，即a=﹣6，b=9，c=﹣8．18．（12分）（1）计算：；（2）已知a=lg2，10b=3，用a，b表示．【解答】解：（1）原式===（2）∵10b=3∴b=lg3又∵a=lg2∴==19．（12分）已知函数f（x）=，（Ⅰ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性并用单调性的定义证明；（Ⅱ）x∈[2，4]，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，证明如下：设1＜x1＜x2，则x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（1，+∞）递减；（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在[2，4]上是减函数，∴f（x）min=f（4）=2，f（x）max=f（2）=6．20．（12分）已知函数f（x）=log a（1﹣x），g（x）=log a（1+x），其中a＞0且a ≠1．（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；（2）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并证明；（3）若f（x）＞g（x），求x的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，即，解得﹣1＜x＜1，所以定义域为：（﹣1，1）．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设F（x）=f（x）+g（x）=log a（1﹣x）+log a（1+x），由于F（x）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，而且F（﹣x）=log a（1+x）+log a（1﹣x）=F（x），所以，F（x）为偶函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）当a＞1时，由log a（1﹣x）＞log a（1+x），可得1﹣x＞1+x，x＜0，所以﹣1＜x＜0．当0＜a＜1时，由log a（1﹣x）＞log a（1+x），可得1﹣x＜1+x，x＞0，所以0＜x＜1．综上，当a＞1时，x的取值范围为（﹣1，0）；当0＜a＜1时，x的取值范围为（0，1 ）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（万元）和Q（万元），它们与投入资金t（万元）的关系有经验公式P=，Q=t．今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（万元）．求：（Ⅰ）经营甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；（Ⅱ）怎样将资金分配给甲、乙两种商品，能使得总利润y达到最大值，最大值是多少？【解答】解：（Ⅰ）根据题意，得y=+（3﹣x），x∈[0，3]．…（5分）（Ⅱ）y=+（3﹣x）=﹣．∵，∴当=时，即x=，3﹣x=时，y max=．即给甲、乙两种商品分别投资万元、万元可使总利润达到最大值万元．…（12分）22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b ∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有成立．（Ⅰ）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明．（Ⅱ）解不等式：（Ⅲ）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）f（x）在[﹣1，1]上为增函数，证明如下：设x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，在中令a=x1、b=﹣x2，可得，∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，又∵f（x）是奇函数，得f（﹣x2）=﹣f（x2），∴．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）故f（x）在[﹣1，1]上为增函数…（6分）．（II）∵f（x）在[﹣1，1]上为增函数，∴不等式，即﹣1≤x+＜≤1解之得x∈[﹣，﹣1），即为原不等式的解集；（III）由（I），得f（x）在[﹣1，1]上为增函数，且最大值为f（1）=1，因此，若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，即1≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，得m2﹣2am≥0对所有的a∈[﹣1，1]恒成立∴m2﹣2m≥0且m2+2m≥0，解之得m≤﹣2或m≥2或m=0即满足条件的实数m的取值范围为{m|m≤﹣2或m≥2或m=0}．。