齐齐哈尔2018届高三第二次月考数学试卷(理)含答案

齐市高三第二次月考数学试题（理）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1.若M={x|﹣2≤x ≤2}，N={x|y=log 2（x ﹣1）}，则M ∩N=（ ） A ．{x|﹣2≤x ＜0} B ．{x|﹣1＜x ＜0}C ．{﹣2，0}D ．{x|1＜x ≤2}2.复数()ii z 22-= (i 为虚数单位)，则|z |等于( )A ．25 B.41 C ．5 D. 53.设φ∈R，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.设x ，y ∈R，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．105． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是( )A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1,3)6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25) < f (11) < f (80)B ．f (80) < f (11) <f (－25)C ．f (11)< f (80) <f (－25)D ．f (－25) < f (80) <f (11) 7.设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则dx x f ⎰-21)(的值等于 ( )A.56B.12C.23D.16 8． 函数y ＝ln(1－x )的大致图像为( )第1页（共4页）9.若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为( ) A ．－210B.210 C.3210 D.721010.△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋39411．函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．812．若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln （x +1）的切线，则b =（ ）A ．1 B.21 C. 1-ln2 D. 1-2ln2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13.已知命题p ：“任意x ∈[0,1]，a ≥e x”；命题q ：“存在x ∈R，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．14.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．15.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝4，点P 在AM 上，且满足AP →＝3PM →，则PA →·(PB →＋PC →)的值为___________.16.在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=12DC ，∠ADB=120°，AD=2，若ADC ∆S =3， 则∠BAC=_______.三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）17. （本小题满分12分）已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，a ⊥b ，求：(1)|a ＋b |；(2)cos(α＋π4)的值．18．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12(ω＞0)的最小正周期为4π..(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．19. （本小题满分12分）已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角， 向量＝(2sin B ，－3)，＝(cos 2B,2cos 2B2－1)，且∥.(1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．20．（本小题满分12分）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．第3页（共4页）21．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝mx －m x，g (x )＝3ln x ． (1)当m ＝4时，求曲线f (x )＝mx －m x在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若x ∈(1, e ](e 是自然对数的底数)时，不等式f (x )－g (x )＜3恒成立，求实数m 的取值范围．(选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分)22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线C 2；在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程是ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)写出曲线C 2的参数方程和直线l 的直角坐标方程；(2)在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离d 最大，并求出此最大值．23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2)若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a .第4页（共4页）第二次月考答案填空：13. _______4≤≤a e _________14.________43__________ 14._____-6__________16._______060___________17 解 (1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，解得sin α＝35.又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝45，tan α＝sin αcos α＝34，所以a ＋b ＝(7,1)，因此|a ＋b |＝72＋12＝5 2.(2)cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－35×22＝210.18 解：(1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，∵T ＝2π2ω＝4π，∴ω＝14，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3(k ∈Z)．(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12A ＋π6，0＜A＜2π3， ∴π6＜A 2＋π6＜π2，∴f (A )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 19解 (1)m ∥n ⇒2sin B ·(2cos 2B2－1)＋3cos 2B ＝0⇒sin 2B ＋3cos 2B ＝0⇒2sin(2B＋π3)＝0(B 为锐角) ⇒2B ＝2π3⇒B ＝π3.(2)cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ⇒ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4⇒ac ≤4.S △ABC ＝12a ·c ·sin B ≤12×4×32＝ 3. 20 解 (1)方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0，∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.(2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25，∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21. 所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4 n ＋1 －25≥0， ②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a 7|＝a 7＝4×7－25＝3.设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n n －12× －4 n ≤6 66＋3 n －6 ＋ n －6 n －7 2×4 n ≥7 ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋23n n ≤6 ，2n 2－23n ＋132 n ≥7 .21解：(1)f (x )＝4x －4x 的导数为f ′(x )＝4＋4x2，可得在点(2，f (2))处的切线斜率为k ＝4＋1＝5，切点为(2,6)，可得切线的方程为y －6＝5(x －2)，即为y ＝5x －4．(2)x ∈(1, e ]时，不等式f (x )－g (x )＜3恒成立，即为m ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＜3ln x ＋3在(1，e ]恒成立，由1＜x ≤e 时，3ln x ＋3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤3，92，x －1x 递增，可得值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e －1e ，即有m ＜3 x ln x ＋xx 2－1的最小值，由h (x )＝3 x ln x ＋x x 2－1的导数为h ′(x )＝3 －2－ln x －x 2ln xx 2－12， 可得1＜x ≤e 时，h ′(x )＜0，h (x )递减，可得x ＝e 时，h (x )取得最小值，且为9e2 e－1．可得m ＜9e 2 e－1 ．则m 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，9e 2 e－1 ．22解：(1)由题意知，曲线C 2方程为⎝⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝2sin φ(φ为参数)．直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.(2)设P (3cos φ，2sin φ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|23cos φ－2sin φ－6|5＝|4sin 60°－φ －6|5.∴当sin(60°－φ)＝－1时，d 取最大值25，此时取φ＝150°，点P 坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1. 23(1)解：由题意，原不等式等价为|x －2|＋|x ＋2|≥6，令g (x )＝|x －2|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－24，－2＜x ＜2，2x ，x ≥2所以不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)证明：要证f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，只需证|ab －1|＞|b －a |， 只需证(ab －1)2＞(b －a )2，而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 从而原不等式成立．。