数理统计第五次作业及答案
西南交通大学概率论和数理统计第五次作业答案
3
西南交通大学 2019—2020 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
解：因为 X n
N (0,1) ，所以
9. 设 X1, X 2,, X5 是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个 Xi i 1,2,,5都服从
N
0,1
。（1）试给出常数 c
，使得
c
X12
X
2 2
服从 2 分布，并指出它的自由度；（2）试给
出常数 d ，使得 d X1 X 2 服从 t 分布，并指出它的自由度。
X
2 3
X
2 4
11. 设 X1, X 2 ,, X n 是取自总体 X 的一个样本，其中 X 服从参数为 的泊松分布，其
中 未知， 0 ，求 的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值：
X
0 1 2 34
频数 17 20 10 2 1
求 的矩估计值与最大似然估计值。
解： EX ，故 的矩估计量 ˆ X 。
X
另，X 的密度函数为
f X x
e x 0
x 0 x0
故似然函数为
L
对数似然函数为
n
en
Xi
i 1
0
X i 0, i 1,2,, n 其他
ln
L
n
ln
n
X
i
i 1
d
ln L
d
n
n
i 1
Xi
0
解得 的最大似然估计量 ˆ n 1 。
概率论与数理统计配套习题
Z
=
1, 0,
如果 X + Y 为零或偶数； 如果 X + Y 为奇数．
第三章 连续型随机变量及其分布 第五次作业
3.1 设随机变量 X 服从二项分布 B(2,0.4) ．试求 X 的分布函数,并作出它的图像.
8
学号
专业
姓名
作业号
3.4
cx3, 已知随机变量 X 的密度函数为 f (x) =
0 < x < 1; 确定常数 c 的值,并求出 P(−1 < X < 0.5) 与分布函数.
∞
数为 λ p 的泊松分布.[提示： P(Y= k=) ∑ P( X= n)P(Y= k X= n) .] n=k
7
学号
专业
姓名
作业号
2.26 已知 X 与Y 的联合概率函数如下.（1）分别求U = max{X ,Y},V = min{X ,Y}的概率函数；（2）试
求U 与V 的联合概率函数.
X
Y -2 -1 0 1 4
1.27 已知甲袋中装有 a 只红球, b 只白球;乙袋中装有 c 只红球, d 只白球．试求下列事件的概率:(1)合并 两只口袋,从中随机地取一只球,该球是红球;(2)随机地取一只袋,再从该袋中随机地取一只球,该球是红 球;(3)从甲袋中随机地取出一只球放人乙袋,再从乙袋中随机地取出一只球,该球是红球.
1.15 某商店出售晶体管,每盒装 100 只,且已知每盒混有 4 只不合格品.商店采用“缺一赔十”的销售方 式：顾客买一盒晶体管,如果随机地取 1 只发现是不合格品,商店要立刻把 10 只合格品的晶体管放在盒子 中,不合格的那只晶体管不再放回.顾客在一个盒子中随机地先后取 3 只进行测试,试求他发现全是不合格 品的概率.
概率论与数理统计》课后习题习题详解第五章
习题解答习题5.11．设样本值如下：15， 20， 32， 26， 37， 18， 19， 43计算样本均值、样本方差、2阶样本矩及2阶样本中心矩．解 由样本均值的计算公式，有()8111152032263718194326.2588i i x x ===⨯+++++++=∑由样本方差的计算公式，有()28211102.2181i i s x x==-=-∑由2阶样本矩的计算公式，有82211778.58i i a x ===∑由2阶样本中心矩的计算公式，有()2821189.448i i b x x==-=∑2. 设总体~(12,4)X N ，125(,,,)X X X 是来自总体X 的样本，求概率12345{m a x (,,,,)12}P X X X X X >. 解 12345{m a x (,,,,)12}P X X X X X > []551311(0) 1()232=-Φ=-=3. 设总体X ～ P （λ），X 是容量为n 的样本的均值，求 ()E X 和 ()D X . 解 因总体X ～ P （λ），故有(),()E X D X λλ==，于是()()E X E X λ==()()D X D X n nλ== 4. 某保险公司记录的6n =起火灾事故的损失数据如下（单位：万元）：1.86, 0.75, 3.21，2.45， 1.98, 4.12. 求该样本的经验分布函数.解 将样本观测值排序可得：0.751.86 1.982.453.21<<<<< 则经验分布函数为60, 0.751, 0.75 1.8661, 1.86 1.9831(), 1.98 2.4522, 2.45 3.2135, 3.21 4.1261, 4.12x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩5．求标准正态分布的上侧0.01分位数和上侧0.48分位数 .解 由题知，X ～ (0,1)N ，求X 的上侧α分位数. 即求u α使满足{}P X u αα>=得{}1P X u αα≤=-即()1u ααΦ=-取0.01α=，查标准正态分布表得上侧0.01分位数为0.012.33u u α==取0.48α=，查标准正态分布表得上侧0.48分位数为0.480.05u u α==习题5.21.设总体~(8,36)X N ，129(,,,)X X X 是取自总体X 的样本，X 是样本均值，求{|7|2}P X -< ．解 因~(8,36)X N ，且样本容量9n =，故36~(8,), ~(8,4)9X N X N 即 ，于是 9858{|7|2}{59}()()22P X P X ---<=<<=Φ-Φ (0.5)( 1.5)(0.5)(1.5)10.69150.933210.6247=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=2.设 2~(9)X χ ，求λ使其满足()0.95P X λ<=解 由()0.95P X λ<=，得()0.05P X λ≥=，因为2~(9)X χ，所以查表可得20.05(9)16.919λχ==3. 设总体~(0,1X N ，1210(,,,)X X X 是取自总体X 的样本，求2221210()E X X X +++ 及2221210()D X X X +++ .解 由总体~(0,1)X N 可知~(0,1) (1,2,,10)i X N i = ，且1210,,,X X X 相互独立，于是22221210()~(10)X X X χ+++故有2221210()10E X X X +++= 2221210()21020D X X X +++=⨯=4. 设总体X ～ N （20 ，3），从中独立地抽取容量分别为10和15的两个样本，求它们的样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．解 设这两个样本分别为1210,,,X X X 和1215,,,Y Y Y ， 则对样本均值有101110i i X X ==∑ ～15131(20,),1015i i N Y Y ==∑～3(20,)15N依定理 X Y -～1(0,)2N ，所以{}0.3P X Y P ⎫->=>1P ⎫=-≤1=-ΦΦ（1210.6744⎡⎤=-Φ-=⎢⎥⎣⎦(查标准正态分布表可得)5.设X ～ t (12) ，(1) 求 a 使得()0.05P X a <=；（2）求 b 使得()0.99P X b >= 解 （1）由()0.05P X a <=利用t 分布的对称性可得()0.05P X a >-=，查表可得0.05(12) 1.7823 1.7823a t a -==⇒=-（2）由()0.99P X b >=得()0.01P X b ≤=，又由t 分布的对称性可得()0.01P X b >-=于是0.01(12) 2.6810 2.6810b t b -==⇒=-6.设~(8,12)X F ，求 λ 使得()0.01P X λ<=.解 由()0.01P X λ<= 得 ()0.99P X λ>=，于是查表可得0.990.0111(8,12)0.176(12,8) 5.67f f λ====习题5.31．设总体X ～ N （μ ，4），（X 1 ，X 2 ，… ，X 16）为其样本，2S 为样本方差，求： （1） P ()666.62<S ； （2） P ()865.4279.22<<S ． 解 因为()221n S σ-～()21n χ-所以本题中2154S ～()215χ 则 (1) {}(){}22215156.666 6.6661524.997544P S P S P χ⎧⎫<=<⨯=<⎨⎬⎩⎭(){}211524.997510.050.95P χ=-≥=-=(2) {}221515152.279 4.865 2.279 4.865444P S P S ⎧⎫<<=⨯<<⨯⎨⎬⎩⎭(){}28.546251518.24375P χ=<<(){}(){}22158.546251518.24375P P χχ=>-≥0.900.250.6=-= 2. 总体2~(0,)X N σ，1225(,,,)X X X 是总体X 的样本，2X S 和分别是样本均值和样本方差，求λ，使5()0.99XP Sλ<=. 解 根据抽样分布定理知5~(24)X Xt S = 又由5()0.99XP Sλ<=得 5()0.01XP Sλ>= 故查表可得0.01(24) 2.4922t λ==3．设总体X ～ N （30 ，64），为使样本均值大于28的概率不小于0.9 ，样本容量n 至少应是多少？解 因为X ～(30,64)N ， 所以样本均值X .～64(30,)N n因此X ()0,1N ， 故{}{}28128P X P X >=-≤1X P ⎧⎫=-≤1⎛=-Φ ⎝0.9=Φ≥1.29≥，解得 27n ≥，所以n 至少应取27.*4．设总体X ～ N )16(1，μ 与总体Y ～ N )36(2，μ 相互独立，（X 1 ，X 2 ，… ，X 13）和（Y 1 ，Y 2 ，… ，Y 10）分别为来自总体X 和总体Y 的样本．试求两总体样本方差之比落入区间（0.159 ，1.058）内的概率．解 因为()221n S σ-～()21n χ-，所以本题中211216S ～()222912,36S χ～()29χ又因为21212222121291694936S S F S S ==～()12,9F从而221122229990.159 1.0580.159 1.058444S S P P S S ⎧⎫⎧⎫<<=⨯<<⨯⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭(){}0.3577512,92.3805P F =<< 0.85=（查F 分布表*5. 设从两个正态总体~(4,1)~(6,1)X N Y N 和中分别独立地抽取两个样本1219(,,,)X X X 和1216(,,,)Y Y Y ，样本方差分别为2212S S 和.求λ，使2122()0.05S P S λ<=.解 根据抽样分布定理可知2122~(18,15)S F S 又由2122()0.05S P S λ<=可得2122()0.95S P S λ>=，于是查表可得0.950.0511(18,15)0.44(15,18) 2.27f f λ====*6．设总体X 与总体Y 相互独立，且都服从正态分布N （0 ，9），（X 1 ，X 2 ，… ，X 9）和（Y 1 ，Y 2 ，… ，Y 9）分别为来自总体X 和Y 的样本．试证明统计量T =∑∑==91291i ii iYX服从自由度为9的t 分布．证明 由正态分布的性质及样本的独立性知91ii X=∑～2(0,9)N得9119i i X =∑～(0,1)N 又因为i Y ～(0,9) (1,2,,9)N i =所以()22222291212913339Y Y Y Y Y Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ～()29χ 由于两个总体X 和Y 是相互独立的，所以其相应的样本也是相互独立的，故 9119i i X =∑与92119i i Y =∑也相互独立，于是由t 分布的定义知991ii XX T ==∑∑ ～ ()9t综合练习五一、填空题1．设总体X 的一组样本观测值为1.4 ，2.3 ，1.8 ，3.4 ，2.7则样本均值 x= ( 2.32 ) ，样本方差 2s = ( 0.607 ) ．2．设总体X 服从正态分布N （2 ，5），（X 1 ，X 2 ，… ，X 10）为其样本，则样本均值X 的分布为 ( 122N ⎛⎫⎪⎝⎭， )．3．设总体X 服从具有n 个自由度的2χ 分布，（X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为其样本，X为样本均值，则有 ()( )E X n = ，()( 2 )D X = ．4．设总体X ～ N （μ ，2σ），（X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为其样本，X 、2S 分别为样本均值和样本方差，则有 X ～( 2N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭， )，22)1(σS n - ～( 2(1)n χ- )，nSX μ- ～( t (n － 1) )．5．设总体X ～ N （1 ，4），（X 1 ，X 2 ，… ，X 5）为其样本，令T = 2543221)2()(X X X b X X a --+-则当a = (81 ) 、1()24b =时有T ～ 2χ(2) ． 二、选择题1．设总体X ～ N （μ ，1），其中 μ 为未知参数，若（X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为来自总体X 的样本，则下列样本函数中( (b ) ) 不是统计量．(a )∑=ni i X1；(b )∑=-ni iX12)(μ ；(c) X 1 X 2 … X n ； (d )∑=ni i X12．2．设总体X ～ N （2 ，4），（X 1 ，X 2 ，… ，X 9）为其样本，X 为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是( (c ) )．(a ) X ； (b))2(43-X ； (c ))2(23-X ； (d ) )2(29-X ． 3．设总体X ～ N （0 ，1），（X 1 ，X 2 ，… ，X 5）为其样本，令T = 2543221)(2)(3X X X X X +++则有T ～ ( (b ) ) ．(a ) t (5) ； (b ) F (1 ，1) ； (c ) F (2 ，3) ； (d ) F (3 ，2) ． 4．设总体X ～ N ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410，，（X 1 ，X 2 ，… ，X 5）为其样本，令T=则有T ～( (d ) )．(a ) t (1) ； (b ) t (2) ； (c ) t (3) ； (d ) t (4) ． 5．设总体X ～ N （0 ，1），（X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为其样本，X 、2S 分别是样本均值和样本标准差，则 ( (c ) ) ．(a ) n X ～ N （0 ，1）： (b ) X ～ N （0 ，1）； (c )∑=ni i X 12 ～ 2χ(n ) ； (d )SX～ t (n － 1) ． 6．设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( (c ) ) ．(a ) Y X + 服从正态分布； (b ) 22Y X + 服从 2χ 分布；(c ) 2X 和 2Y 都服从 2χ 分布； (d )22Y X 服从F 分布．三、解答题1．设总体~(2,16)X N ，12(,,,)n X X X 是总体X 的样本，令2211ni i A X n ==∑，求2A 的数学期望2()E A .解 因为~(2,16)X N ，所以~(2,16) (1,2,,)i X N i n = ，则有 22()()()16420i i i E X D X E X =+=+= 于是22111()()2020n i i E A E X n n n===⨯⨯=∑2．设总体~(15,9),X N ，129(,,,)X X X 是总体X 的样本，X 是样本均值，.求常数c ，使()0.95.P X c ≤=解 根据抽样分布定理可知~(15,1)X N 又由()0.95P X c ≤=可得15()()0.951c P X c -≤=Φ= 查表可得15 1.645c -=，于是得16.645c =3.设一组数据20.5，15.5，30.2，20.5，18.6, 21.3，18.6，23.4来自于总体,X 求经验分布函数.解 将样本观测值排序可得：15.518.618.620.520.521.32<=<=<<< 则由定义可得经验分布函数为80, 15.51, 15.518.683, 18.620.585(), 20.521.386, 21.323.487, 23.430.081, 30.2x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩4．设总体X ～ N （0 ，4），（X 1 ，X 2 ，… ，X 9）为其样本．求系数a 、b 、c ，使得T = 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a ++++++++服从 2χ 分布，并求其自由度．解 由于129,,,X X X 相互独立且来自总体X ～(0,4)N ，则由正态分布的线性运算性质有12X X +～(0,8)N ，345X X X ++～(0,12)N ，6789X X X X +++～(0,16)N于是，由2χ分布与正态分布的关系，有()()()22212345678981216X X X X X X X X X T ++++++=++ 服从2χ（3）分布，因此111,,81216a b c ===，自由度为3。
概率论与数理统计习题集及答案_5
概率论与数理统计习题集及答案－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= .(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为：.(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为：.(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为：.(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为：.(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为：.(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为：.2. 设}42:{},31:{},50:{≤（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=BA ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= .2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。
概率论与数理统计第五章重点习题和答案
1．设有30个电子器件1230,,,D D D ，
它们的使用情况如下：1D 损坏，2D 立即使用；2D 损坏，3D 立即使用等等，设器件i D 的寿命服从参数为0.1λ=(小时1)-的指数分布的随机变量，令T 为30个器件使用的总时间，求T 超过350小时的概率。
解 设i D 为器件i D 的寿命，则301i i T D
==∑，所求概率为
30301300(350)(350)i i i D P T P D P =⎧⎫-⎪⎪≥=≥=≥⎪⎪⎩⎭
∑∑
11(0.91)10.81860.1814≈-Φ=-Φ=-=.
2．某计算机系统有100个终端，每个终端有20%的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率。
解 设1,,1,2,0,.
i i X i i ⎧==⎨
⎩第个终端在使用第个终端不在用 则同时使用的终端数
1001~(100,0.2)i i X X B ==
∑
所求概率为
(10)11( 2.5)(2.5)0.9938P X ≥≈-Φ=-Φ-=Φ=.
3．某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤.
解
20(14
30)))P X ≤≤≈Φ-Φ (2.5)( 1.5)=Φ-Φ- 0.9938(1.5)10.99380.93321=+Φ-=+-
0.927=.。
西南大学《数理统计》作业及答案
数理统计第一次1、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，2≥n ,则下列说法中正确的是（ ）。
（A ）∑=-ni i X n122)(μσ是统计量 （B ）∑=ni i X n122σ是统计量（C ）∑=--ni iX n 122)(1μσ是统计量 （D ）∑=ni iX n12μ是统计量2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则YX 3服从（ ）。
)(A )1,0(N )(B )3(t )(C )9(t )(D )9,1(F3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2~(16)Y χ）。
)(A )1,0(N )(B (4)t )(C (16)t )(D (1,4)F4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）.)(A ∑-=-1111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n i i X n 21 )(D ∑-=111n i i X n 5、设4321,,,X X X X 是总体2(0,)N σ的样本，2σ未知，则下列随机变量是统计量的是（ ）.（A ）3/X σ； （B ）414ii X=∑； （C ）σ-1X ； （D ）4221/ii Xσ=∑6、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（ ）.2() ~(,)A X N μσ 2() ~(,)B nX N μσ22211()()~()ni i C X n μχσ=-∑)()~()X D t n Sμ-7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（ ）( A ) . 12X X +( B ){}max ,15i X i ≤≤( C ) 52X p +( D )()251X X -8、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。
概率论与数理统计第五章习题参考答案
0.05
⎭
查表得： χ 20.95 (8) = 15.507 ，故拒绝域为 (15.507, + ∞) .
代入样本值 s = 0.007 得 K 值为 K = 8 × (0.007)2 = 15.68 > 15.507 (0.005) 2
所以拒绝 H 0 ，故可以认为这批导线的标准差显著地偏大。
7. 某厂使用两种不同的原料 A, B 生产同一类产品，现抽取用原料 A 生产的样品 220 件，测得平均 重量为 2.46kg，标准差为 0.57kg。抽取用原料 B 生产的样品 205 件，测得平均重量为 2.55kg，标 准差为 0.48kg。设这两个总体都服从正态分布，且方差相等，问在显著水平α = 0.05 下能否认为 使用原料 B 生产的产品平均重量较使用原料 A 生产的产品平均重量为大？
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
T = X − 3.25 ~ t(4) S/ 5
由
P ⎪⎨⎧ ⎪⎩
X − 3.25 S/ 5
>
t
0.01 2
(4)⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
0.01
查表得： t 0.01 (4) = 4.6041，故拒绝域为 (−∞,−4.6041) U (4.6041,+∞) .
2
代入样本值 x = 3.252, s = 0.013 得 T 值为 T = 3.252 − 3.25 = 0.344 < 4.6041 0.013 / 5
当假设 H 0′ 为真时，取检验统计量
F = S12 ~ F (10,8)
S
2 2
由
P⎪⎨⎧ ⎪⎩
S12
S
2 2
<
F 1−
0.05
数理统计第5章部分习题解答
第五章习题5.1．假设X 和Y 为随机变量，且满足E [X ]=-2, E [Y ]=2, Var[X ]=1, Var[Y ]=9, X 与Y 的相关系数,X Y r =-0.5．试由切比雪夫不等式确定满足不等式{6}P X Y +≥c ≤的最小正数c 之值.解： 因为{][][]220[][][]2cov(,)[][]2(,E X Y E X E Y Var X Y Var X Var Y X Y Var X Var Y r X Y +=+=-+=+=++=++192(0.5)7=++⨯-=.2[](()[]6)6Var X Y P X Y E X Y ++-+≥≤由切比雪夫不等式：,有277 (6)=636P X Y +≥≤. 得 736c =.5.2．设12,X X 为随机变量且0, []1(1,2)i i EX Var X i ===. 证明：对任意的0,λ>有22121{2}P X X λλ+≥≤．证明： 不妨设12(,)X X 为二维连续型随机变量，其密度函数为12,X X f . 由于12222212,[]()(,)X X E X X x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞+=+⎰⎰，12122222222212,,22(2)(,)(,)2X X X X x y x y x y P X X f x y dxdy f x y dxdy λλλλ+≥+≥++≥=≤⎰⎰⎰⎰1222,22221212221122(,)2111[][][]22211([]([]))([]([]))22X X x y f x y dxdy E X X E X E X Var X E X Var X E X λλλλλλ+∞+∞-∞-∞+≤=+=+=+++⎰⎰ 111(10)(10)22λλλ=+++=.5.3．在一枚均匀正四面体的四个面上分别画上1，2，3，4个点. 现将该四面体重复投掷，(1,2,)i X i =为第i 次投掷向下一面的点数，试求当n ∞→时，211n i i X n =∑依概率收敛的极限．解: 已知 (1,2,3,)i X i =的分布列为12341/41/41/41/4iX P4422211115[]() , 1,2,3,.42ii k k E X k P X k k i ===⋅==⋅==∑∑可见，222123,,,X X X 是独立同分布的随机变量序列，且有相同的数学期望152，满足辛钦大数定律，因此对任意0ε>，有 21115lim 02n i n i P X n ε→+∞=⎛⎫-≥= ⎪⎝⎭∑,即211n i i X n =∑依概率收敛的极限为152.5.4．设{n X }是独立的随机变量序列，且假设{{0.5, 1,2,n n P X P X n ====，问{n X }是否服从大数定律？解: []0.5(0.50,i E X +⨯=22222[][]([]) 0.5(0.50ln , 1,2,3,.i i i Var X E X E X i i =-=⨯+⨯-==则1111[][]0, n ni i i i E X E X n n ====∑∑22111111[][]ln , 1,2,3,.n n ni i i i i Var X Var X i n n n n ======∑∑∑利用切比雪夫不等式：对任意0ε>，由12111[]11([])ni n n i i i i i Var X n P X E X n n εε===-≥≤∑∑∑, 得2211222111ln ln 1ln (0)nnni i i i i n nn n P X n n εεεε===-≥≤≤=∑∑∑，从而有211ln 0lim (0)lim 0n i n n i nP X n n εε→+∞→+∞=≤-≥≤=∑,得 11lim (0)0ni n i P X n ε→+∞=-≥=∑.即随机变量序列{}n X 服从大数定律.5.5．设{n X }是独立同分布的随机变量序列，且假设[]2, []6n n E X Var X ==，证明：22212345632313,Pn n n X X X X X X X X X a n n --++++++−−→→∞，并确定常数a 之值．解:232313 1,2,3,k k k k Y X X X k --=+=令.由于{}k X 是独立同分布的随机变量序列，所以{}k Y 也是独立同分布的随机变量序列,且223231332313[][][][]k k k k k k k E Y E X X X E X E X X ----=+=+232323132([]([]))[][](62)2214, 1,2,.k k k k Var X E X E X E X k ---=++=++⨯==可见，序列{}k Y 满足辛钦大数定律的条件. 根据辛钦大数定律，得1214, Pn Y Y Y n n+++−−→→+∞即2221234563231314, P n n nX X X X X X X X X n n--++++++−−→→+∞所以，a =14.5.6．设随机变量X ~B(100,0.8)，试用棣莫弗—拉普拉斯定理求{80100}P X ≤<的近似值．解:由~(100,0.8)X B 知[]1000.880, []1000.80.216E X Var X =⨯==⨯⨯=. 根据棣莫弗-拉普拉斯定理作近似计算，有(80100)(8099)P X P X ⎛⎫⎛⎫≤<=≤≤≈Φ-Φ()()4.75010.5=0.5=Φ-Φ=Φ-Φ=-.5.7．一仪器同时收到50个信号k X ，k =1,2,……,50. 设150,,X X 相互独立，且都服从区间[0，9]上的均匀分布，试求501(250)kk P X=>∑的近似值．解：由~(0,9) , 1,2,,50k X U k =，有[]92k E X =，[]()212790124k Var X =-=.根据林德伯格-莱维定理作近似计算，有5050112501250k k k k P X P X ==⎛⎫⎛⎫>=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑1≈-Φ()1 1.3610.9130.087=-Φ=-=.5.8．一个复杂的系统由n 个相互独立起作用的部件所组成，每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统正常运行，至少需要80%或80%以上的部件正常工作，问n 至少为多大才能使整个系统正常工作的概率不小于95%．解: 将n 个部件编号：1,2,...,n, 记1, 1,2,,.0,i i X i n ⎧==⎨⎩若第个部件正常工作,否则,则 ~(1,0.9)i X B ，且12,,,n X X X 相互独立.依题意，要求有110.80.95n i i P X n =⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭∑即要求满足 10.80.95n i i P X n =⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭∑.根据棣莫弗-拉普拉斯定理作近似计算，有10.81133n i i P X n =⎛⎛⎛⎫≥≈-Φ=-Φ=Φ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑. 由(1.65)0.95Φ=1.65≥，即()23 1.6524.5025n ≥⨯=，取25n =.。
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1、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：
求样本容量n ，样本均值和样本方差。
解：样本容量为n=100
样本均值，样本方差，样本修正方差分别为
()()2222
22222033061522031
3.85,1001 3.85 1.9275,100
100100 1.9275 1.9469693061999
5.
9n n x s s s ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
==-===⨯=++++++
2、设总体服从泊松分布P （λ），1,,n X X 是一样本：
（1）写出1,,n X X 的概率分布；
解：
,2,1,0,!
!
)(,2,1,0,,2,1,0,!
)(1
1
1
n 11
==
=======
=-=∑-==-∏∏
∏=i n n
i i
x x
i i x i i n
i i i i i x
i i x e
x e
x x X p n i x X P X X x e x x x P i
n
i i
i
λ
λ
λλ
λ
λλ）（的概率分布为
所以因为：
（2）计算2
,n EX DX ES 和；
解：λλλλn
n DX n n ES n n DX X D EX X E DX EX n 11,,,2
-=-=======所以因为
（3）设总体容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8）试计算样本 均值, 样本方差和次序统计量的观察值。
解：
4
9106.3410114
10
40
1222
210122121===-=-====∑∑∑===s s s n i i i n i n i n i x x x n x n x
3、设17,,X X 为总体X 服从()0,0.25N 的一个样本，求7214i i P X =⎛⎫
> ⎪⎝⎭
∑.
（()20.975716.0128χ=）
解： 因每个i X 与总体X 有相同分布，故
20.5
i i X X -=服从()0,1N ，则 2
7
7
2
11
040.5i i i i X X ==-⎛⎫= ⎪
⎝⎭∑∑服从自由度n=7的2χ-分布。
因为77722211144161416i i i i i i P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=>=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，查表可知()2
0.975716.0128χ=,
故72140.025.i i P X =⎛⎫
>= ⎪⎝⎭
∑
4、设总体X 具有分布律
其中θ(0<θ<1)为未知参数。
已知取得了样本值x 1=1，x 2=2，x 3=1，试求θ的最大似然估计值。
解：似然函数}1{}2{}1{}{)(3213
1
======
∏=X P X P X P x X
P θL i i i
)
1(2)1(25
22θθθθθθ-=⋅-⋅=
ln L (θ )=ln2+5ln θ+ln(1－θ) 求导
011
65)(ln =--=θ
θd θL d 得到唯一解为6
5
ˆ=θ
5、求均匀分布],[21θθU 中参数21,θθ的极大似然估计． 解：由X 服从[a ，b]上的均匀分布，易知
()()2
2
22
,2122b a a b a b EX EX DX EX -++⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭
求a ，b 的矩法估计量只需解方程
(
)
2
2ˆˆˆˆ,2
12
n b a a
b X S -+==
,
得ˆˆ,n n
a X
b X ==
6、为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A 的9个学生，得分数的平均值为31.81=A x ，方差为76.602
=A s ；随机地抽取学校B 的15个学生，得分数的平均值为61.78=B x ，方差为24.482=B s 。
设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。
求均值差B A μμ-的置信水平为0.95的置信区间。
（()0.975227.266t =） 解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差B A μμ-的置信水平为0.95的置信区间为
()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++±-)22(151917.2)2(11975.021975.021t s n n t n n s x x w w B A
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+⨯±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=0739.2151
91266.77.2)22(151917.2975.0t s w ()()05.9,
65.335.67.2-=±=
7、设A ，B 二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测量
值的修正方差分别为220.5419,0.6065A B s s ==，设2A σ和2
B σ分别为所测量的数据总体（设为正态总体）的方差，求方差比22
/A B σσ的0.95的置信区间。
解：n=m=10, 1-α=0.95，α=0.05,
()()()()
1/20.975/21/21
1,19,9 4.03,1,10.24181,1F n m F F n m F m n ααα----==--=
=--,
从而
()()22221/2/211
0.541910.54191,,1,11,10.60654.030.60650.241[0.2223.601]8A A B B S S S F n m S F n m αα-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥
----⎣⎦
⎣⎦，故方差比22
/A B σσ的0.95的置信区间为[0.222，3.601]。
8、某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差66.1=σ，随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下
146，141，135，142，140，143，138，137，142，136
设样本来自正态总体),(2σμN ，2
,σμ均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取
05.0=α）：22122066.1:,66.1:≠=σσH H
解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。
检验统计量为
2
2
2
66.1)1(S n -=χ。
代入本题中的具体数据得到2
2
(101)12
39.1931.66
-⨯χ=
=。
检验的临界值为022.19)9(2
975.0=χ。
因为2
39.19319.022χ=>，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设0H ，即认为电池容量的标准差发生了显著的变化，不再为1.66。
9、某地调查了3000名失业人员，按性别文化程度分类如下：
试在α=0.05水平上检验失业人员的性别与文化程度是否有关。
（()2
0.9537.815χ=）
解：这是列联表的独立性检验问题。
在本题中r=2，c=4，在α=0.05下， ()()()()220.950.95
1137.815r c χχ--==, 因而拒绝域为：{}27.815W χ=≥. 为了计算统计量(3.4)，可列成如下表格计算../i j n n n ⋅：
()()()2
2
2
2
4036.82023.2625644.47.23636.8
23.2
644.4
χ---=
+
+
+
=,
由于2
χ=7.326<7.815，样本落入接受域，从而在α=0.05水平上可认为失业人员的性别与文
化程度无关。
10、设总体X具有贝努里分布b（1，p），p∈Θ=（0，1），
1,,
n
X X是一样本，试求p 的无偏估计的方差下界。
解：关于假设检验, 当时拒绝假设，否则认为试验结果与假设无显著差异。
而的置信度为1-α的置信区间是
特别地取，即考虑假设，由前可得T统计量是
，
其中是方阵对角线上第 i 个元素。
类似地，的置信区间是。