2014年安徽省高考文科数学试卷及参考答案(word版)
2014年高考文科数学安徽卷-答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D 【解析】32ii i i(1i)11i+=-+-=+ 【提示】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得结果. 【考点】复数代数形式的乘除运算 2.【答案】C【解析】命题的否定是否定结论，同时把量词做对应改变，所以选C. 【提示】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 【考点】命题的否定 3.【答案】A 【解析】214y x =的标准方程为24x y =，所以选择A . 【提示】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及24p =，再直接代入即可求出其准线方程. 【考点】抛物线的简单性质 4.【答案】B【解析】执行程序框图易得1x =，1y =，2z =；1x =，2y =，3z =；2x =，3y =，5z =；L L ，当21x =，34y =，55z =跳出循环.【提示】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z 的值. 【考点】程序框图，程序框图的三种基本逻辑结构的应用 5.【答案】B【解析】因为32log 71a >=>， 1.122b =>， 3.10.81c =<，所以c a b <<. 【提示】分别讨论a b c ，，的取值范围，即可比较大小. 【考点】对数值大小的比较 6.【答案】D【解析】设直线l 的倾斜角为θ，数形结合可知min max ππ0263θθ==⨯=，. 【提示】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得1≤，由此求得斜率k 的范围，可得倾斜角的范围.【考点】直线与圆的位置关系 7.【答案】C【解析】π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像向右平移ϕ个单位后，所得图像为π224y x ϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又因为偶函数，所以π3π28k ϕ=+，所以选C .【提示】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y 轴对称，根据对称轴方程求出ϕ的最小值.【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 8.【答案】A【解析】该几何体是由棱长为2的正方体从右后和左下分别截取一个小三棱锥所得到的，所以其体积为112382323V =-⨯⨯=.【提示】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积. 【考点】由三视图求面积、体积 9.【答案】D【解析】依几何性质得，当2ax =-时，()f x 取得最小值，13222a a a x f ⎛⎫=--=-+= ⎪⎝⎭，解得4a =-或8.故选D.【提示】分类讨论，利用()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，建立方程，即可求出实数a 的值. 【考点】带绝对值的函数，函数最值的应用 10.【答案】B【解析】设11223344+++g g g g x y x y x y x y ，若S 的表达式中有0个ga b ，则2222S =+a b ，记为1S ；若S 的表达式中有2个ga b ，则2S =22a +b +ab ，记为2S ；若S 的表达式中有4个g a b ，则4S =g a b ，记为3S ，所以22132240S S -=+->a b ab .同理，12230,0S S S S ->->，所以22min 48||cos 4||S ===θab a a ，即1cos 2θ=，所以选B.【提示】两组向量1x ，2x ，3x ，4x 和1y ，2y ，3y ，4y ，均由2个a 和2个b 排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论.【考点】数量积表示两个向量的夹角第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】278 【解析】原式=344325427log 3458-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【提示】直接利用分数指数幂的运算法则，对数的运算法则求解即可. 【考点】对数的运算性质 12.【答案】14【解析】直接递推归纳，等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =所以，12AB BC a ===，12AA a ==，1231A A a ==，⋅⋅⋅，65671124A A a a ⎛==⨯=⎝⎭【提示】根据条件确定数列{}n a 是等比数列，即可得到结论. 【考点】归纳推理 13.【答案】4【解析】作出不等式组所表示的平面区域，易得()122242ABC S =⨯⨯+=△ 【提示】由不等式组作出平面区域为三角形ABC 及其内部，联立方程组求出B 的坐标，由两点间的距离公式求出BC 的长度，由点到直线的距离公式求出A 到BC 边所在直线的距离，代入三角形面积公式得到答案. 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 14.【答案】516【解析】由于函数()f x 是周期为4的奇函数，所以2941373π52424sin 464616616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-+⨯-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【提示】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可. 【考点】函数的值 15.【答案】①③④.【解析】对于①，203|=0x y x y =''=，，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，所以正确.对于②，因为1|=0x y =-'，所以不是曲线2:(1)C y x =+在点(1,0)P -处的切线，所以②错误.对于③④与①同理，易得正确.对于⑤，1y x'=，11x y ='=，所以曲线C 在点(1,0)P 处切线为:l y x =，又由()1ln (0)h x x x x =-->可得11()1x h x x x-'=-=，所以min ()(1)0h x h ==，故1ln x x -≥，所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误.【提示】分别求出每一个命题中曲线C 的导数，得到曲线在点P 出的导数值，求出曲线在点P 处的切线方程，再由曲线在点P 两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足曲线方程，则正确的选项可求. 【考点】命题的真假判断与应用，曲线与方程 三、解答题16.【答案】由三角形面积公式，得131sin 2A ⨯⨯g，故sin A =. ∵22sin cos 1A A +=，∴1cos 3A ===±. 当1cos 3A =时，由余弦定理得2222212cos 3121383a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，∴a =.当1cos 3A =-时，根据解三角形中的余弦定理容易写出以下式子，2222212cos 31213123a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴a =【提示】利用三角形的面积公式，求出sin A =cos A ，利用余弦定理求出a 的值. 【考点】余弦定理的应用 17.【答案】（Ⅰ）45003009015000⨯=， ∴应收集90位女生的样本数据.（Ⅱ）由频率分布直方图得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300位学生中有3000.75225⨯=人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又∵样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，结合联表可算得2300(2250)100 4.762 3.841752252109021K ⨯==≈>⨯⨯⨯.∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【提示】（Ⅰ）根据15000人，其中男生10500人，女生4500人，可得应收集多少位女生的样本数据； （Ⅱ）由频率分布直方图可得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，即可求出该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）写出44⨯列联表，求出2K ，与临界值比较，即可得出结论. 【考点】独立性检验，频率分布直方图 18.【答案】（Ⅰ）由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a an n+-=+. ∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首相，1为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得1(1)1na n n n=+-=g ，∴2n a n =.从而3n n b n =g. 1231323333n n S n =++++g g g L g ，① 23131323(1)33n n n S n n +=+++-+g g L g g .②①－②得：112113(13)(12)33233333132n n nn n n n S n n +++----=+++-=-=-g g L g g . ∴1(21)334n n n S +-+=g . 【提示】（Ⅰ）将1(1)(1)n n na n a n n +=+++的两边同除以(1)n n +得111n na a n n+=++，由等差数列的定义得证. （Ⅱ）由（Ⅰ）求出3n n b n =g，利用错位相减求出数列{}n b 的前n 项和n S . 【考点】数列的求和，等比关系的确定19.【答案】（Ⅰ）∵BC GEFH BC PBC ⊂∥平面，平面，且平面PBC GEFH GH =I 平面， ∴GH BC ∥.同理可证EF BC ∥. 因此GH EF ∥.（Ⅱ）连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . ∵PA PC =，O 是AC 的中点， ∴PO AC ⊥，同理可得PO BD ⊥.又BD AC O =I ，且AC BD ，都在底面内，∴PO ⊥底面ABCD .又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ， ∴PO ∥平面GEFH .∵平面PBD I 平面GEFH GK =，∴PO GK ∥，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK EF ⊥.∴GK 是梯形GEFH 的高.由82AB EB ==，得::1:4AB EB KB DB ==，∴1142KB DB OB ==，即K 为OB 的中点.再由PO GK ∥得12GK PO =， 即G 是PB 的中点，且142GH BC ==，由已知可得6OB PO ====， ∴3GK =.故四边形GEFH 的面积4831822GH EF S GK ++==⨯=g . 【提示】（Ⅰ）证明GH EF ∥，只需证明EF PBC ∥平面，只需证明EF BC ∥，利用BC GEFH ∥平面即可； （Ⅱ）求出四边形GEFH 的上底、下底及高，即可求出面积. 【考点】直线与平面垂直的性质，棱柱、棱锥、棱台的体积20.【答案】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()123f x a x x '=+--.令()0f x '=，得1212x x x x =<. ∴12()3()()f x x x x x '=---.当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.∴()f x 在⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递减，在1x ⎛= ⎝⎭内单调递增.（Ⅱ）∵0a >，∴1200x x <>，.当4a ≥时，21x ≥.由（Ⅰ）知，()f x 在[0,1]上单调递增.∴()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.当04a <<时，21x <.由（Ⅰ）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减.∴()f x 在2x x ==.又(0)1f =，(1)f a =，∴当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =处和1x =处同时取得最小值；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值. 【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0,1]时的单调性，得出取最值时的x 的取值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调 21.【答案】（Ⅰ）由11||3||AF F B =，||4AB =得：1||3AF =，1||1F B =，∵三角形的周长为16，∴由椭圆定义可得：21||2||835AF a AF =-=-=（Ⅱ）设1||F B k =，则0k >且1||3AF k =，||4AB k =，2||23AF a k =-，2||2BF a k =-.2ABF △中，由余弦定理可得22222222||||||2||||cos AB AF BF AF BF AF B =+-∠g ，即2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k =-+----g，()(3)0a k a k +-=，0a k +>，故3a k =..于是有21||3||AF k AF ==，2||5BF k =，22222||||||BF AF AB =+，12F A F A ⊥，故12AF F △为等腰直角三角形.从而2c =，∴椭圆E 的离心率2c e a ==.【提示】（Ⅰ）利用||4AB =，2ABF △周长为16，11||3||AF F B =，结合椭圆的定义，即可求2||AF ； （Ⅱ）设1||F B k =，0k >，则1||3AF k =，||4AB k =，由23cos 5AF B ∠=，利用余弦定理，可得3a k =，从而12AF F △是等腰直角三角形，即可求椭圆E 的离心率. 【考点】椭圆的简单性质，三角形的面积公式。
2014年安徽数学(文科)真题
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文）第I 卷（选择题 共50分）一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，复数=++ii i 123（ ） A. i - B. i C. 1- D. ABCD2． 命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A.0||,2<+∈∀x x R xB. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R xD. 0||,2000≥+∈∃x x R x3.抛物线241x y =的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x4.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A.34B.55C.78D.895.设,8.0,2,7log 3.33===c b a 则（ ）A.c a b <<B.b a c <<C.a b c <<D.b c a <<6. 学科网过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π， 7.若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A.8πB.4πC.83πD.43π 8.一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（ ） A.233 B.476 C.6 D.79.若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ）A.5或8B.1-或5C. 1-或4-D.4-或810.设,a b 为非零向量，2b a =，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为（ ）A.23π B.3π C.6π D.0 第I I 卷（非选择题 共100分）二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 12.如图，学科网在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =，过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1AC 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.13.不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________.（13）若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f （14）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：2x y = ②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin =④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan =⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内16.（本小题满分12分）学科网设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1b c ==，ABC ∆的面积为2，求co s A 与a 的值.17、（本小题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：18.（本小题满分12分）数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈（1） 证明：数列{}n a n是等差数列； （2） 设3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S19（本题满分13分）如图，学科网四棱锥ABCD P -的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为172.点H F E G ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面⊥GEFH 平面ABCD ，//BC 平面GEFH .(1)证明：;//EF GH(2)若2=EB ，求四边形GEFH 的面积.20（本小题满分13分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >（1） 讨论()f x 在其定义域上的单调性；（2） 当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值.21（本小题满分13分）设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =(1) 若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ；(2) 若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.。
2014年普通高等学校招生考试安徽文数
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文）第I 卷（选择题 共50分）一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，复数=++iii 123（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 2． 命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A.0||,2<+∈∀x x R x B. 0||,2≤+∈∀x x R x C. 0||,2000<+∈∃x x R x D. 0||,2000≥+∈∃x x R x 3.抛物线241x y =的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 4.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A.34 B.55 C.78 D.895.设,8.0,2,7log 3.33===c b a 则（ ）A.c a b <<B.b a c <<C.a b c <<D.b c a <<6. 学科网过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π， 7.若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A.8π B.4π C.83π D.43π8.一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（ ）A.233B.476C.6D.79.若函数()12f x x x a=+++的最小值3，则实数a的值为（）A.5或8B.1-或5C. 1-或4-D.4-或810.设,a b为非零向量，2b a=，两组向量1234,,,x x x x和1234,,,y y y y均由2个a和2个b排列而成，若11223344x y x y x y x y⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a，则a与b的夹角为（）A.23π B.3πC.6πD.0第I I卷（非选择题共100分）二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.34331654+log log8145-⎛⎫+=⎪⎝⎭________.12.如图，学科网在等腰直角三角形ABC中，斜边22BC=，过点A作BC的垂线，垂足为1A；过点1A作AC的垂线，垂足为2A；过点2A作1A C的垂线，垂足为3A；…，以此类推，设1BA a=，12AA a=，123A A a=，…，567A A a=，则7a=________.13.不等式组20240320x yx yx y+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________.（13）若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛f f （14）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：2x y =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内16.（本小题满分12分）16.设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B === （1）求a 的值； （2）求sin()4A π+的值. 222216.(1)sin sin 2sin sin 22sin cos sin sin sin sin 02cos cos 2cos 12cos 2cos A Ba A B B Bb B B B B aB bb c a A B bc B A B B a =====+-==-====∵≠∴解得又因为∴（2）由（1）可得22221cos 2322sin =1cos =sin()sincos +cos sin 444242=sin +cos =26b c a A bc A A A A A A A πππ+-==--+=-∴∴（）17、（本小题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时） （Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：18.（本小题满分12分）数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈（1） 证明：数列{}na n是等差数列； （2） 设3nn n b a ={}n b 的前n 项和n S19（本题满分13分）如图，学科网四棱锥ABCD P -的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为172.点H F E G ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面⊥GEFH 平面ABCD ，//BC 平面GEFH . (1)证明：;//EF GH(2)若2=EB ，求四边形GEFH 的面积.20（本小题满分13分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a > （1） 讨论()f x 在其定义域上的单调性；（2） 当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值.21（本小题满分13分）设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =(1) 若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； (2) 若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 文科数学 解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）试题第I 卷（选择题 共50分）一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位，复数321iii++=（ ） i - B. i C. 1- D. 1命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）0||,2<+∈∀x x R x B. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R x D. 0||,2000≥+∈∃x x R x3.抛物线241x y =的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【答案】A 【解析】试题分析：题中抛物线的标准形式为24xy =，则其准线方程为1y =-，故先A.考点：1.抛物线的准线方程.4.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A.34 B.55 C.78 D.895.设 1.13.13log 7,2,0.8a b c ===则（ ）A.c a b <<B.b a c <<C.a b c <<D.b c a <<6.过点(P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（B.]30π，（C.]60[π，D.]30[π，【答案】D 【解析】试题分析：如下图，要使过点P 的直线l 与圆有公共点，则直线l 在PA 与PB 之间，因为1sin 2α=，所以6πα=，则23AO B πα∠==，所以直线l 的倾斜角的取值范围为]30[π，.故选D.考点：1.直线的倾斜角；2.直线与圆的相交问题.7.若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A.8π B.4π C.83π D.43π8.一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（）A.233B.476C.6D.79.若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ） A.5或8 B.1-或5 C. 1-或4- D.4-或8 【答案】D 【解析】10.设,a b 为非零向量，2b a =，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b的夹角为（ ） A.23π B.3π C.6π D.0第I I 卷（非选择题 共100分）二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.34331654+log log 8145-⎛⎫+=⎪⎝⎭________.12.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.不等式组20240320x yx yx y+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________.【答案】4若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f .15.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3yx =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内 16.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1b c ==，ABC ∆，求cos A 与a 的值.17、（本小题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）90；（2）0.75；（3）有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【解析】由频率分布直方图得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率为0.75.由（2）知，300位学生中有3000.75225⨯=人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得2300(456030165)100 4.762 3.841752252109021K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯. 有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.考点：1.频率分布直方图的应用；2.列联表的画法及2K 的求解.18.（本小题满分12分）数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈证明：数列{}n a n是等差数列； 设3n n b ={}n b 的前n 项和n S12123333n n n S n +-=+++-⋅113(13)(12)333132n n n n n ++⋅--⋅-=-⋅=-. 所以1(21)334n n n S +-⋅+=. 考点：1.等差数列的证明；2.错位相减法求和.19（本题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为172.点HF EG ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面⊥GEFH 平面ABCD ，//BC 平面GEFH . 证明：;//EF GH若2=EB ，求四边形GEFH 的面积.再由PO ∥GK 得12GK PO =，即G 是PB 的中点，且142GH BC ==.由已知可得6OB PO ====，所以3GK =，故四边形GEFH 的面积4831822GH EF S GK ++=⋅=⨯=. 考点：1.线面平行的性质定理；2.平行的传递性；3.四边形面积的求解.20（本小题满分13分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >讨论()f x 在其定义域上的单调性；当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值.因为0a >，所以120,0x x <>.4a ≥时，21x ≥，由（1）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.②当04a <<时，21x <.由（1）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减，因此()f x 在2x x ==处取得最大值.又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值.考点：1.含参函数的单调性；2.含参函数的最值求解. 21（本小题满分13分） 设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； 若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.。
2014年高考安徽文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年安徽，文1，5分】设i 是虚数单位，复数32ii 1i+=+（ ）（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 【答案】D【解析】复数()()()32i 1i 2i 2i 2i i i 11i 1i 1i 2-++=-+=-+=++-，故选D ． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题（2）【2014年安徽，文2，5分】题“2,0x R x x ∀∈+≥”的否定．．是（ ） （A ）2,0x R x x ∀∈+<（B ）2,0x R x x ∀∈+≤（C ）2000,0x R x x ∃∈+<（D ）2000,0x R x x ∃∈+≥ 【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，则命题“2,0x R x x ∀∈+≥”的否定2000,0x R x x ∃∈+<，故选C ． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．（3）【2014年安徽，文3，5分】抛物线214y x =的准线方程是（ ）（A ）1y =- （B ）2y =- （C ）1x =- （D ）2x =-【答案】A【解析】抛物线214y x =的标准方程为24x y =，焦点在y 轴上，24p =，∴12p =，∴准线方程12py =-=-，故选A ．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置． （4）【2014年安徽，文4，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）（A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89 【答案】B【解析】第一次循环得2,1,2z x y ===；第二次循环得3,2,3z x y ===；第三次循环得5,3,5z x y ===；第四次循环得8,5,8z x y ===；第五次循环得13,8,13z x y ===；第六次循环得21,13,21z x y ===；第七次循环得34,21,34z x y ===；第八次循环得55,34,55z x y ===；退出循环，输出55，，故选B ．【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题． （5）【2014年安徽，文5，5分】设3log 7a =， 3.32b =，0.8c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）c a b << （C ）c b a << （D ）a c b << 【答案】B【解析】31log 72<<， 3.322b =>，0.81c =<，则c a b <<，故选B ．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．（6）【2014年安徽，文6，5分】过点()1P -的直线l 与圆221x y +=有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是（ ）（A ）0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦ （B ）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ）0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题意可得点()1P -在圆221x y +=的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为(1y k x +=+，即10kx y -+-=．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径1≤，即22311k k -+≤+，解得0k ≤≤，故直线l 的倾斜角的取值范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选D ． 【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． （7）【2014年安徽，文7，5分】若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）（A ）8π （B ）4π （C）38π （D ）54π【答案】C【解析】函数()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭图象向右平移ϕ的单位，图象是函数224y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，图象关于y 轴对称，可得242k ππϕπ-=+，即28k ππϕ=--，当1k =-时，ϕ的最小正值是38π，故选C ．【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题． （8）【2014年安徽，文8，5分】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）（A ）233 （B ）476（C ）6 （D ）7【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：11232=2222111323V V -⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=正方形棱锥侧，故选A ．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． （9）【2014年安徽，文9，5分】若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）（A ）5或8 （B ）1-或5 （C ）1-或4- （D ）4-或8 【答案】D【解析】12a -<-时，2a x <-，()123112af x x x a x a =----=--->-；12a x -≤≤-，()12112af x x x a x a =--++=+-≥-； 1x >-，()12312f x x x a x a a =+=+=++>-，132a∴-=或23a -=，8a ∴=或5a =，5a =，122a a -<-，故舍去；12a-≥-时，1x <-，()12312f x x x a x a a =----=--->-；12a x -≤≤-，()12112a f x x x a x a =+--=--+≥-+；2a x >-，()123112af x x x a x a =+++=++>-+，23a ∴-=或132a -+=，∴1a =-或4a =-，1a =-时，122aa -+<-，故舍去；综上，4a =-或8，故选D ．【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．（10）【2014年安徽，文10，5分】设a ，b 为非零向量，||2||b a =，两组向量1234,,,x x x x ，和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列 而成. 若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24||a ，则a 与b 的夹角为（ ）（A ）23π （B ）3π （C ）6π（D ）0 【答案】B【解析】由题意，设a 与b的夹角为α，分类讨论可得：①21122334410x y x y x y x y a a a a b b b b a ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅= ，不满足； ②221122334454cos x y x y x y x y a a a b b a b b a a α⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=+ ，不满足； ③221122334448cos 4x y x y x y x y a b a a α⋅+⋅+⋅+⋅=⋅== ，满足题意，此时1cos 2α=，∴a 与b 的夹角为3π，故选B ．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2014年安徽，文11，5分】34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 【答案】278【解析】334333165425427+log log log 81453458--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点评】本题考查分数指数幂的运算法则，对数的运算法则，考查计算能力． （12）【2014年安徽，文12，5分】如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC =过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a = ． 【答案】14【解析】∵等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =1sin 45AA AB ∴︒==，即21a a =同理32a a =，43a a ， 由归纳推理可得{}n a是公比q =12a =，则67124a =⋅=⎝⎭．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据等腰直角三角形之间的关系，得到数列{}n a是公比q =的等比数列是解决本题的关键．（13）【2014年安徽，文13，5分】不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为 ．【答案】4【解析】由不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩作平面区域如图，由图可知()2,0A ，()0,2C ，联立240320x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：()8,2B -．∴BC =．点A 到直线240x y +-=的距离为d =．11422BC S BC d ∆∴=⋅⋅=⨯=． 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． （14）【2014年安徽，文14，5分】若函数()()f x x ∈R 是周期为4的奇函数，且在[]0,2上的解析式为()()101sin 12x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】516【解析】函数()()f x x ∈R 是周期为4的奇函数，且在[]0,2上的解析式为()()101sin 12x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则29413737373375881sin 4646464644616f f f f f f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-+-=--=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点评】本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力． （15）【2014年安徽，文15，5分】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（ⅰ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C相切；（ⅱ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）①直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =；②直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线C ：2(1)y x =+； ③直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =； ④直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：tan y x =；⑤直线:1l y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线C ：ln y x =． 【答案】①③④ 【解析】对于①，由3y x =，得23y x '=，则00x y ='=，直线0y =是过点()0,0P 的曲线C 的切线，又当0x >时0y >，当0x <时0y <，满足曲线C 在()0,0P 附近位于直线0y =两侧，∴命题①正确；对于②，由()21y x =+，得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线l ：1x =-的斜率不存在，在点()1,0P -处不与曲线C 相切，∴命题②错误；对于③，由s in y x =，得c os y x '=，则01x y ='=，直线y x =是过点()0,0P 的曲线的切线，又,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x x <，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时sin x x >，满足曲线C 在()0,0P 附近位于直线y x =两侧，∴命题③正确；对于④，由t a n y x =，得21c o s y x '=，则01x y ='=，直线y x =是过点()0,0P 的曲线的切线，又,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时tan x x <，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时tan x x >，满足曲线C 在()0,0P 附近位于直线y x =两侧，∴命题④正确；对于⑤，由ln y x =，得1y x'=，则11x y ='=，曲线在()1,0P 处的切线为1y x =-，设()1ln g x x x =--，得()11g x x'=-，当()0,1x ∈时，()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>．∴()g x 在()0,+∞上有极小值也是最小值，为()10g =．∴1y x =-恒在ln y x =的上方，不满足曲线在点P 附近位于直线l 的两侧，命题⑤错误．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan sin x x x >>，该题是中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2014年安徽，文16，12分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，ABC ∆cos A 与a 的值．解：由题可得131sin 2A ⋅⋅⋅=sin A =22sin cos 1A A +=，所以1cos 3A ==±。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2014年高考文科数学安徽卷
一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求. 题
1.设 i 是虚数单位,复数 i3 2i 1 i
()
A. i
B. i
C. 1
D.1
2.命题“ x R , | x | +x2≥0 ”的否．定．是
无
A. x R , | x | +x2＜0
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绝密★启用前
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学(文科)
此 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ
卷第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
考生注意事项：
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答
数学试卷 第 3 页（共 4 页）
17.（本小题满分 12 分） 某高校共有学生 15 000 人,其中男生 10 500 人,女生 4 500 人,为调查该校学生每周 平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体育运动 时间的样本数据（单位：小时）.
（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？
（Ⅰ）证明：数列{an } 是等差数列； n
0.05 3.841
0.010 6.635
0.005 7.879
（Ⅱ）设 bn 3n an ,求数列{bn} 的前 n 项和 Sn . 19.（本小题满分 13 分）
如图,四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 8 的正方形,
四条侧棱长均为 2 17 ,点 G , E , F , H 分别是棱
A.34
B.55
2014年安徽省高考文科数学试卷及参考答案(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，复数ii i ++123=（ ）．（A ）i - （B ）i （C ）－1 （D ） 1 （2）命题“02≥+∈∀x x R x ，”的否定是（ ）． （A ）02<+∈∀x x R x ， （B ）02≤+∈∀x x R x ， （C ）02000<+∈∃x x R x ，（D ）02000≥+∈∃x x R x ，（3）抛物线241x y =的准线方程是（ ）． （A ）1-=y （B ）2-=y （C ）1-=x （D ）1-=x （4）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）． （A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89（5）设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则（ ）．（A ）c a b << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）b c a <<（6）过点）－1,3(-P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）．（A ）]60(π， （B ）]30(π， （C ）]60[π， （D ）]30[π，（7）若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）．（A ）8π （B ）4π （C ）83π （D ）43π （8）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）．（A ）323 （B ）647 （C ）6 （D ）7 （9）若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（ ）． （A ）5或8 （B ）-1或5 （C ）-1或-4 （D ）-4或8（10）设a ,b 为非零向量，a b 2=，两组向量4321,,,x x x x 和4321,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成．若44332211y x y x y x y x ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为42a ，则a 与b 的夹角为（ ）．开 始x ＝1，y ＝1z ＝x ＋yz ≤50？x ＝yy ＝z输出z结 束是否第（4）题图第（12）题图31第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）=++⎪⎭⎫⎝⎛-54log 45log 81163343． （12）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22=BC ．过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作AC 的垂线，垂足为3A ；．．．，以此类推．设1a BA =，21a AA =，321a A A =，．．．，765a A A =，则7a = ．（13）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥-+02304202y x y x y x 表示的平面区域的面积为 ．（14）若函数)(x f （R x ∈）是周期为4的奇函数，且在]2,0[上的解析式为⎩⎨⎧-=,sin ),1()(x x x x f π2110≤<≤≤x x ，则=+)641()429(f f ． （15）若直线l 与曲线C 两个满足下列条件：（i ）直线l 在点),(00y x P 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）． ①直线l ：0=y 在点)0,0(P 处“切过”曲线3x y C =：；②直线l ：1-=x 在点)0,1(-P 处“切过”曲线2)1(+=x y C ：；③直线l ：x y =在点)0,0(P 处“切过”曲线x y C sin =：； ④直线l ：x y =在点)0,0(P 处“切过”曲线x y C tan =：； ⑤直线l ：1-=x y 在点)0,1(P 处“切过”曲线x y C ln =：．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分）设ABC △的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,ABC △的面积为2．求A cos 与a 的值．第（17）题图某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）． （I ）应收集多少位女生的样本数据？（II ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（III ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=（18）（本小题满分12分）数列{}n a 满足11=a ，)1()1(1+++=+n n a n na n n ,*N n ∈．（I ）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等差数列； （II ）设n nn a b ⋅=3，求数列{}n b 的前n 项和n S ．如图，四棱锥ABCD P -的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为172．点H F E G ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH ．（I ）证明： EF GH ∥；（II ）若2=EB ，求四边形GEFH 的面积．（20）（本小题满分13分）设函数32)1(1)(x x x a x f --++=，其中0>a ． （I ）讨论)(x f 在其定义域上的单调性；（II ）当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值．（21）（本小题满分13分）设1F ,2F 分别是椭圆12222=+by a x E ：（0>>b a ）的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，B F AF 113=．（I ）若4=AB ，2ABF △的周长为16，求2AF ； （II ）若53cos 2=∠B AF ，求椭圆E 的离心率．第（19）题图数学（文科）试题参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）D （2）C （3）A （4）B （5）B （6）D （7）C （8）A （9）D （10）B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分25分． （11）827 （12）41 （13）4 （14）165 （15）①③④三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 解：由三角形面积公式，得2sin 1321=⋅⨯⨯A ，故322sin =A ．∵1cos sin 22=+A A ，∴31981sin 1cos 2±=-±=-±=A A ． ① 当31cos =A 时，由余弦定理得83131213cos 222222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， ∴22=a ．② 当31cos -=A 时，由余弦定理得12)31(31213cos 222222=-⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，∴32=a ．（17）（本小题满分12分） 解：（I ）90150004500300=⨯，∴应收集90位女生的样本数据．（II ）由频率分布直方图得75.0)025.0100.0(21=+⨯-，∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（III ）由（II ）知，300位学生中有22575.0300=⨯人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又∵样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，∴每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合联表可算得841.3762.4211009021022575)2250(30022>≈=⨯⨯⨯⨯=K ．（I ）证：由已知可得111+=++n a n a n n ，即111=-++nan a n n ． ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是以111=a 为首相，1为公差的等差数列． （II ）解：由（I ）得n n na n=⋅-+=1)1(1，∴2n a n =．从而n n n b 3⋅=． n n n S 3333231321⋅++⋅+⋅+⋅= ， ①13233)1(32313+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ． ②①－②得：233)21(331)31(33333211121-⋅-=⋅---⋅=⋅-+++=-+++n n n n nn n n n S ．∴433)12(1+⋅-=+n n n S ．（19）（本小题满分13分）（I ）证：∵PBC BC GEFH BC 平面，平面∥⊂，且平面GH GEFH PBC =⋂平面， ∴BC GH ∥． 同理可证BC EF ∥． 因此EF GH ∥．（II ）解：连接BD AC ,交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接GK OP ,． ∵PC PA =，O 是AC 的中点，∴AC PO ⊥，同理可得BD PO ⊥． 又O AC BD =⋂，且BD AC ,都在地面内，∴⊥PO 底面ABCD ．又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，且⊄PO 平面GEFH ，∴PO ∥平面GEFH ．∵平面⋂PBD 平面GK GEFH =，∴GK PO ∥，且GK ⊥底面ABCD ，从而EF GK ⊥．∴GK 是梯形GEFH 的高．由2,8==EB AB 得4:1::==DB KB EB AB ，∴OB DB KB 2141==，即K 为OB 的中点． 再由GK PO ∥得PO GK 21=，即G 是PB 的中点，且421==BC GH ，由已知可得63268,2422=-=-==OB PB PO OB ，∴3=GK ．84++EF GH 第（19）题图A解：（I ）)(x f 的定义域为),(+∞-∞，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x ax a x <++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x <<时，0)(>'x f ． ∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增． （II ）∵0>a ，∴0,021><x x ．① 当4≥a 时，12≥x ．由（I ）知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x ．由（I ）知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减． ∴)(x f 在33412ax x ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值； 当1=a 时，)(x f 在 处和1=x 处同时取得最小值； 当41<<a 时，)(x f 在0=x 处取得最小值．（21）（本小题满分13分）解：（I ）由4,311==AB B F AF 得：1,311==B F AF ．∵2ABF △的周长为16，∴由椭圆定义可得82,16421==+=a AF AF a ．故538212=-=-=AF a AF ．（II ）设k B F =1，则0>k 且k AB k AF 4,31==， 由椭圆定义可得ka BF k a AF -=-=2,3222．即)2()32(56)2()32()4(222k a k a k a k a k -⋅---+-=， 化简可得)3)((=-+k a k a ，而0>+k a ，故k a 3=．于是有k BF AF k AF 5,3212===，因此22222ABAF BF +=，可得AF A F 21⊥，故21F AF △为等腰直角三角形． 从而a c 22=，∴椭圆E 的离心率22==a c e ．。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，复数iii ++123=（ ）．（A ）i - （B ）i （C ）－1 （D ） 1（2）命题“02≥+∈∀x x R x ，”的否定是（ ）． （A ）02<+∈∀x x R x ， （B ）02≤+∈∀x x R x ， （C ）02000<+∈∃x x R x ，（D ）02000≥+∈∃x x R x ，（3）抛物线241x y =的准线方程是（ ）． （A ）1-=y （B ）2-=y （C ）1-=x （D ）1-=x （4）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）． （A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89 （5）设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则（ ）．（A ）c a b << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）b c a <<（6）过点）－1,3(-P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）．（A ）]60(π， （B ）]30(π， （C ）]60[π， （D ）]30[π， （7）若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）．（A ）8π （B ）4π （C ）83π （D ）43π （8）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）．（A ）323（B ）647 （C ）6 （D ）7 （9）若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（ ）． （A ）5或8 （B ）-1或5 （C ）-1或-4 （D ）-4或8（10）设a ,b 为非零向量，a b 2=，两组向量4321,,,x x x x 和4321,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成．若44332211y x y x y x y x ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为42a ，则a 与b 的夹角为（ ）．开 始x ＝1，y ＝1z ＝x ＋yz ≤50？x ＝yy ＝z输出z结 束是否第（4）题图第（12）题图31第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）=++⎪⎭⎫⎝⎛-54log 45log 81163343． （12）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22=BC ．过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作AC 的垂线，垂足为3A ；．．．，以此类推．设1a BA =，21a AA =，321a A A =，．．．，765a A A =，则7a = ．（13）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥-+02304202y x y x y x 表示的平面区域的面积为 ．（14）若函数)(x f （R x ∈）是周期为4的奇函数，且在]2,0[上的解析式为⎩⎨⎧-=,sin ),1()(x x x x f π2110≤<≤≤x x ，则=+)641()429(f f ．（15）若直线l 与曲线C 两个满足下列条件：（i ）直线l 在点),(00y x P 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）． ①直线l ：0=y 在点)0,0(P 处“切过”曲线3x y C =：；②直线l ：1-=x 在点)0,1(-P 处“切过”曲线2)1(+=x y C ：；③直线l ：x y =在点)0,0(P 处“切过”曲线x y C sin =：； ④直线l ：x y =在点)0,0(P 处“切过”曲线x y C tan =：； ⑤直线l ：1-=x y 在点)0,1(P 处“切过”曲线x y C ln =：．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分）设ABC △的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,ABC △的面积为2．求A cos 与a 的值．第（17）题图某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）． （I ）应收集多少位女生的样本数据？（II ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（III ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=（18）（本小题满分12分）数列{}n a 满足11=a ，)1()1(1+++=+n n a n na n n ,*N n ∈．（I ）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等差数列； （II ）设n nn a b ⋅=3，求数列{}n b 的前n 项和n S ．如图，四棱锥ABCD P -的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为172．点H F E G ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH ．（I ）证明： EF GH ∥；（II ）若2=EB ，求四边形GEFH 的面积．（20）（本小题满分13分）设函数32)1(1)(x x x a x f --++=，其中0>a ． （I ）讨论)(x f 在其定义域上的单调性；（II ）当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值．（21）（本小题满分13分）设1F ,2F 分别是椭圆12222=+by a x E ：（0>>b a ）的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，B F AF 113=．（I ）若4=AB ，2ABF △的周长为16，求2AF ； （II ）若53cos 2=∠B AF ，求椭圆E 的离心率．第（19）题图数学（文科）试题参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）D （2）C （3）A （4）B （5）B （6）D （7）C （8）A （9）D （10）B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分25分． （11）827 （12）41 （13）4 （14）165 （15）①③④三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 解：由三角形面积公式，得2sin 1321=⋅⨯⨯A ，故322sin =A ．∵1cos sin 22=+A A ，∴31981sin 1cos 2±=-±=-±=A A ． ① 当31cos =A 时，由余弦定理得83131213cos 222222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， ∴22=a ．② 当31cos -=A 时，由余弦定理得12)31(31213cos 222222=-⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，∴32=a ．（17）（本小题满分12分） 解：（I ）90150004500300=⨯，∴应收集90位女生的样本数据．（II ）由频率分布直方图得75.0)025.0100.0(21=+⨯-，∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（III ）由（II ）知，300位学生中有22575.0300=⨯人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又∵样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，∴每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合联表可算得841.3762.4211009021022575)2250(30022>≈=⨯⨯⨯⨯=K ．（I ）证：由已知可得111+=++n a n a n n ，即111=-++nan a n n ． ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是以111=a 为首相，1为公差的等差数列． （II ）解：由（I ）得n n na n=⋅-+=1)1(1，∴2n a n =．从而n n n b 3⋅=． nn n S 3333231321⋅++⋅+⋅+⋅= ， ①13233)1(32313+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ． ②①－②得：233)21(331)31(33333211121-⋅-=⋅---⋅=⋅-+++=-+++n n n n n n n n n S ．∴433)12(1+⋅-=+n n n S ．（19）（本小题满分13分）（I ）证：∵PBC BC GEFH BC 平面，平面∥⊂，且平面GH GEFH PBC =⋂平面， ∴BC GH ∥． 同理可证BC EF ∥． 因此EF GH ∥．（II ）解：连接BD AC ,交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接GK OP ,． ∵PC PA =，O 是AC 的中点，∴AC PO ⊥，同理可得BD PO ⊥． 又O AC BD =⋂，且BD AC ,都在地面内，∴⊥PO 底面ABCD ．又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，且⊄PO 平面GEFH ，∴PO ∥平面GEFH ．∵平面⋂PBD 平面GK GEFH =，∴GK PO ∥，且GK ⊥底面ABCD ，从而EF GK ⊥．∴GK 是梯形GEFH 的高．由2,8==EB AB 得4:1::==DB KB EB AB ，∴OB DB KB 2141==，即K 为OB 的中点． 再由GK PO ∥得PO GK 21=，即G 是PB 的中点，且421==BC GH ，由已知可得63268,2422=-=-==OB PB PO OB ，∴3=GK ．84++EF GH 第（19）题图A解：（I ）)(x f 的定义域为),(+∞-∞，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x ax a x <++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x <<时，0)(>'x f ． ∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增． （II ）∵0>a ，∴0,021><x x ．① 当4≥a 时，12≥x ．由（I ）知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x ．由（I ）知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减． ∴)(x f 在33412ax x ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值； 当1=a 时，)(x f 在 处和1=x 处同时取得最小值； 当41<<a 时，)(x f 在0=x 处取得最小值．（21）（本小题满分13分）解：（I ）由4,311==AB B F AF 得：1,311==B F AF ．∵2ABF △的周长为16，∴由椭圆定义可得82,16421==+=a AF AF a ．故538212=-=-=AF a AF ．（II ）设k B F =1，则0>k 且k AB k AF 4,31==， 由椭圆定义可得ka BF k a AF -=-=2,3222．即)2()32(56)2()32()4(222k a k a k a k a k -⋅---+-=， 化简可得)3)((=-+k a k a ，而0>+k a ，故k a 3=．于是有k BF AF k AF 5,3212===，因此22222ABAF BF +=，可得AF A F 21⊥，故21F AF △为等腰直角三角形． 从而a c 22=，∴椭圆E 的离心率22==a c e ．。