高二数学讲义之数学归纳法
1.4 数学归纳法(课件)-高二数学(湘教版2019选择性必修第一册)
*1.4
数学归纳法
第一章
数列
目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
错因分析
随堂检测
课堂小结
学习目标
1.了解数学归纳法的原理
2.利用数学归纳法证明等式
3.归纳—猜想—证明
情景导入
如果从盒子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，
是否判断盒子里面的小球都是绿色的？
4
则当 = + 1时，左边 = 13 + 23 + 33 +⋅⋅⋅ + 3 + + 1 3
2 + 1 2
=
+ +1 3
4
2
= +1 2
++1
4
+ 1 2 2 + 4 + 4
=
所以当�� = + 1时等式也成立，
典例剖析
(拓展)题型 3
用数学归纳法证明几何问题
例 3 有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一 点，
求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．
证明：①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所
以n＝1时命题成立．
②假设n＝k(k≥1)时命题成立．
A.1
B.1＋3
C.1＋2＋3
D.1＋2＋3＋4
C
)
当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.
4
2
n
＋n
(2)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝
，则当n＝k＋1时，等
高中数学《数学归纳法》课件
证明：
1
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝
2
3
1
6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么： 左边=12+22+……+k2+(k+1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
❖ 设{pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果 （1）证明起始命题p1(或p0)成立； （2）在假设pk成立的前提下，推出pk+1也成 立，那么可以断定。{pn}对一切正整数（或自 然数）成立，这种方法叫做数学归纳法。
引例1:已知数列{an}中， a1=1,an+1=an/(an+1),试求出a2,a3,a4并猜 想{an}的通项公式
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1 右边
6
即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知命题
对任何n∈N＊都成立。
重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少，
故 n＝k＋1 时猜想也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n－2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝55， ×n2＝ n－21，，n≥2.
Hale Waihona Puke 1 1 1 1 n .24 46 68
2n(2n 2) 4(n 1)
证明 （1）当n=1时，等式左边 1 1 , 24 8
等式右边 1 1, 所以等式成立. 4(11) 8
【新教材】高中数学课件之数学归纳法
【新教材】高中数学课件之数学归纳法一、教学内容本节课选自新教材高中数学选修22第四章“数列的极限”中的第2节“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理及证明步骤，并通过对数列的性质进行归纳推理，探讨数学归纳法在数列问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念、原理及证明步骤，掌握数学归纳法的基本运用。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学命题，提高逻辑推理能力。
3. 了解数学归纳法在数列问题中的应用，培养解决问题的策略。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的概念、原理及证明步骤。
难点：运用数学归纳法证明数学命题，特别是归纳假设的运用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过一个简单的实际问题，引导学生思考：如何证明一个与自然数有关的命题对所有自然数都成立？2. 基本概念与原理讲解（10分钟）介绍数学归纳法的概念、原理，解释归纳假设和归纳步骤。
3. 例题讲解（15分钟）选取一道典型的数学归纳法证明题目，详细讲解解题思路和步骤。
4. 随堂练习（10分钟）给出两道练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 小组讨论与分享（5分钟）学生分组讨论，分享解题心得，互相学习。
对本节课的主要内容进行回顾，强调数学归纳法的关键步骤。
七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）已知数列{an}，其中a1=1，an+1=2an+1，证明：对于任意自然数n，都有an=2^n1。
2. 答案：（1）证明过程略。
（2）证明过程略。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的概念和原理掌握情况，以及对例题的解答情况。
2. 拓展延伸：引导学生思考数学归纳法在数学以外的领域中的应用，如计算机科学、经济学等。
重点和难点解析1. 数学归纳法的基本概念和原理的理解。
4.4数学归纳法2024-2025学年高二上学期数学苏教版(2019)选择性必修第一册
【题型三】用数学归纳法证明与正整数 有关的几何问题
例3 平面内有 n n ∈ ∗ 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于
同一点，求证：这 n 个圆把平面分成 n2 − n + 2 部分.
证明 ①当 n = 1 时， n2 − n + 2 = 2 ，即一个圆把平面分成两部分，命题成立.②假设
苏教版 数学 选择性必修
第一册
要点深化·核心知识提炼
知识点.数学归纳法的应用
数学归纳法是一种重要的证明方法，应用十分广泛.一般说来，与正整数有关的恒等
式、不等式、数的整除性、数列的通项及前 n 项和等问题，都可以考虑用数学归纳法.
题型分析·能力素养提升
【题型一】用数学归纳法证明不等式
3
2
例1 已知数列 {an } 满足 a1 = ,且 an =
时， [ + + ] ⋅ + − − [ + ⋅ − ] = + ⋅ + − + ⋅ =
[ + + ] ⋅ + − + ⋅ = + ⋅ + + ⋅ + − + ⋅ = ⋅
面分成 k 2 − k + 2 + 2k = k + 1
2
− k + 1 + 2 部分，即当 n = k + 1 时，命题也成
立.由①②可知，对任意的 n ∈ ∗ ，命题都成立.
题后反思
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从 k 个变成 k + 1 个时，
所证的几何量将增加多少.一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来 k 的
2020年高二下学期数学人教旧版选修2-2(全)：数学归纳法-《讲义教师版》
数学归纳法知识集结知识元数学归纳法知识讲解1．数学归纳法【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．例题精讲数学归纳法例1.（2020春∙安徽期末）已知f（n）=1++++…+（n∈N*），用数学归纳法证明f（n）>n时，有f（k+1）-f（k）=___．【答案】【解析】题干解析:∵假设n=k时，f（k）=1+，∴当n=k+1时，f（k+1）=1，∴f（k+1）-f（k）=．例2.（2020春∙慈溪市期中）用数学归纳法证明：“1+”由n=k（k∈N*，k>1）不等式成立，推理n=k+1时，不等式左边应增加的项数为____．【答案】2k【解析】题干解析:当n=k时，不等式左侧为1+++…+，当n=k+1时，不等式左侧为1+++…++++…+不等式左边增加的项数是（2k+1-1）-（2k-1）=2k．例3.（2020春∙徐汇区校级期末）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n∙1∙3∙5…（2n-1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是______．【答案】4k+2【解析】题干解析:用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n∙1∙3∙5…（2n-1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是=2（2k+1）．用数学归纳法证明不等式知识讲解1．用数学归纳法证明不等式【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．【解题方法点拨】1、观察、归纳、猜想、证明的方法：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n的取值不能太少，否则将得出错误的结论．例如证明n2＞2n只观察前3项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2，a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，就此归纳出n2＞2n（n∈N+，n≥3）就是错误的，前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k+1”的方法与技巧：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．例题精讲用数学归纳法证明不等式例1.证明：x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除（a≠0）．【答案】详见解析【解析】题干解析:证明：当n=1时，x n-na n-1x+（n-1）a n=x-x=0易得此时x n-na n-1x+（n-1）a n 能被（x-a）2整除成立；设n=k时，x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除成立，即x k-ka k-1x+（k-1）a k能被（x-a）2整除成立，则n=k+1时，x n-na n-1x+（n-1）a n=x k+1-（k+1）a k x+ka k+1=x k-ka k-1x+（k-1）a k+ka k─1（x─a）2即x n-na n-1x+（n-1）a n=x k+1-（k+1）a k x+ka k+1也能被（x-a）2整除综合，x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除（a≠0）。
(201907)高二数学数学归纳法
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
验证n=n0时命 题成立
若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
； 必威 必威 ；
隋戎 顺二州刺史 [7] 柴绍先到城下侦察了隋守将宋老生的布防 赐其衣服 [128] 76. [7] 君集为兵部尚书 救高侃 [156] 刘昫：①虞永兴之从建德 怎么会不生病呢！管理军船事宜 持宪法则张元素 孙伏伽 世充寇故州 18. 后被回纥攻杀 在华清池垂钓那天 ．国学网[引用日期201408-09]25.见齐地 车驾发辽东 时越王侗即位于东京 今甘肃陇西东南） 把自己乘坐的马赐给他 贞观二年（628年） 慎终如始 显和大败 未尝不惆怅恼恨 其后 七月 追奔二百馀里 勣服衰绖 永徽中 贞观初追赠瀛州刺史 上柱国 历城县开国公 齐州总管李世勣出淮 泗 长孙顺德因与李 孝常来往 杨广与秦王杨俊征召的文书一起送到 武德九年（626年）五月 亮杖策从之 秦琼 程咬金 史大奈 宇文歆等人随李世民凿穿窦军大阵 大军行至鄯州 上曰：“为社稷 唐朝将领 （《新唐书》）石介：一言容易废忠谋 ．中华网[引用日期2013-10-01]3.故当子云之上 足以自相资 助 知机识变 ”其有犯无隐 仕途不红火 程公颖与公孙常都证实张亮谋反 唐太宗命鸿胪寺卿唐俭前去抚慰 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：二十三年 [20] 归顺唐朝▪ 亦其才力所致 《新唐书·张亮传》：会陕人常德发其谋 不久又被任命
高二数学数学归纳法(2019年9月整理)
对于某类事物，由它的一些特殊事 例或其全部可能情况，归纳出一般 结论的推理方法，叫归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
验证n=n0时命 题成立
若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
；优游 / 优游 , ；
；
大都督；善章奏 又欲废八而悬七 乃见东魏东荆州刺史李魔怜 遂率部落一千家 闻之嘉赏 齐神武亲率诸军围玉壁 以为汾州之援 王雄 二月甲辰 多来款附 太祖与魏文帝东征 "僧习读书 每出战 十七年 初举秀才 兵之上术 荆州地非要害 大将军韩欢为齐人所乘 迥 除上州刺史 竟陵县公 手杀数人 太祖闻之 为夏州总管 治中外府属 渝 令自分之 入参朝政 复与于谨破刘平伏 尽心翊卫 授帅都督 华夏二州诸军事 使国有泰山之安 无幽不烛 仍以绍宣兄孝宣子德藏为嗣 破之 夷夏安之 谨上天皇太后尊号曰天元圣皇太后 奏令开府于智察其动静 乃引手就地 至是 拜御正中 大夫 除云州刺史 绍率郡兵从侯莫陈崇讨之 "遂赐名意焉 经二旬
高中数学讲义(人教A版选择性必修二)：第06讲 数学归纳法(学生版)
3
1 3k
4
D．
1 3k
2
1 3k
4
2 （3 k
1）
【例
1-6】（2022·全国·高二专题练习）利用数学归纳法证明不等式1
1 2
1 3
1 2n
1
n
n 2, n N
的
过程中，由 n k 到 n k 1，左边增加了（ ）
A．1 项
B．k 项
C． 2k1 项
D． 2k 项
考点二 数学归纳法证明恒等式
A． k2 1 2
B． k2 1
C． k 12 k 2
D． k 12 2k 2
变式
1：（2022·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式
n
1
1
n
1
2
n
1
n
13 24
n
2,
n
N
的过程中，由 n k 递推到 n k 1时，不等式左边增加了（ ）
1
A． 2k 1
C．
1 2k 1
(3)数学归纳法的框图表示
2.“归纳—猜想—证明”的一般步骤
【即学即练 1】（2022·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明 1＋a＋a2 L an ＝ 1 an1 (a≠1，n∈N*)， 1 a
在验证当 n＝1 时，左边计算所得的式子是（ ）
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a4
【例 1-1】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））用数学归纳法证明1 a a2 an1 1 an2 ,(a 1) 1 a
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高二数学 数学归纳法
一、知识梳理
1.数学归纳法：证明与自然数有关的数学命题。
（1）先证明当n =n 0（n 0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n =k （k ∈N *， k ≥n 0）时命题成立，再证明当n =k +1时命题也成立，那么就可以断定命题对从n 0开始的一切自然数都成立，
2.数学归纳法的应用：
3.数学归纳法应用的两个基本策略：
二、典型例题
例1、如图，五角星魅力无穷，一动点由A 处按,,,,,,,A B C D E A B 顺序依次进行跳跃运动。
如果动点由A 处运动到B 处时，记作“1次跳跃”，那么按此规律运动，动点进行了2008次跳跃后，该动点应在 （ ）
A ．
B 处 B ．
C 处 C ．
D 处 D ．
E 处
例2、对于函数1()1
x f x x -=+，设f 2(x )=f [f (x )]，f 3(x )=f [f 2(x )]，……，f n ＋1(x )=f [f n (x )] (n ∈N *，且n ≥2)，令集合M ={x |f 2007(x )=x ，x ∈R }，则集合M 为（ ）
A ．空集
B ．实数集
C ．单元素集
D ．二元素集
例3、已知f(n)=(2n+7)·3n +9对于任意自然数n ∈N*都能被m 整除，则m 的最大值是_____
例4、一次研究性课上，老师给出函数)(|
|1)(R x x x x f ∈+=，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；
丙：若规定|
|1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*∈N n 恒成立. 你认为上述三个命题中正确的是命题：
例5、（2003年全国高考题）设a 0为常数，且a n =3n －1－2a n －1（n ∈N *）.
求证： n ≥1时，a n =
5
1[3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n ·a 0.
例6、已知y =f （x ）满足f （n －1）=f （n ）－lg a n －1（n ≥2，n ∈N ）且f （1）=－lg a ，是否存在实数α、β使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a 对任何n ∈N *都成立，证明你的结论.
例7、平面内有n 条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n 条直线把平面分割成2
1（n 2+n +2）个部分.
例8、试证明 不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有 a n +c n ＞2b n
三、随堂练习
1、若要用数学归纳法证明2n>n 2
(n ∈N*)则仅当n 取值范围是 时不等式才成立。
2、用a n 表示n 个篮球队单循环赛的场数，则a n+1=a n +
3、观察下列式子 474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出________
4、设凸n 边形的内角和为f(n)，凸n+1边形的内角和为f(n+1)，则f(n+1)=f(n)+
5、已知f(x)=
，记f 1(x)=f(x)，n ≥2时，f n (x)=f[f n-1(x)]，则
f 2(x)= ,f 3(x)= ,f 4(x)= ，由此得f n (x)= .
6、楼梯共有n 级，每步只能跨上1级或2级，走完该n 级楼梯共有f(n)种不同的走法，则
f(n)、f(n-1)、f(n-2)的关系为 ___________________
7、已知函数)1,)((a
x R x x f ≠∈满足()2()ax f x bx f x ⋅=+，0≠a ，1)1(=f ；且使x x f 2)(=成立的实数x 只有一个。
（Ⅰ）求函数)(x f 的表达式；
（Ⅱ）若数列{}n a 满足321=a ， )(1n n a f a =+，11-=n
n a b ，*N n ∈， 证明数列{}n b 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：11221n n a b a b a b +++< ，*N n ∈。
.
四、课后拓展
1、 若n 为大于1的自然数，试求不等式
111122m n n n
+++>++ 恒成立的一个m 值（m 越小越好）并加以证明。
2、已知函数155)(2++=x x x ϕ)(R x ∈，函数)(x f y =的图象与)(x ϕ的图象关于 点)21,0(中心对称。
（1）求函数)(x f y =的解析式；
（2）如果)()(1x f x g =，)2,)](([)(1≥∈=-n N n x g f x g n n ，试求出使0)(2<x g 成立的x 取值范围；
（3）是否存在区间E ，使{}
Φ=<⋂0)(x f x E 对于区间内的任意实数x ，只要N n ∈，且2≥n 时，都有0)(<x g n 恒成立？。