[初中数学]2017秋九年级数学上册全一册教案(82份) 北师大版81
2017年九年级数学上册(北师大版)全册教案及反思
第一章 特殊平行四边形1.掌握菱形、矩形、正方形的概念,以及它们之间的关系.2.理解菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理,并能证明其他相关结论.3.掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.经历探索菱形、矩形、正方形的概念、性质与判定的猜想与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步发展合情推理和演绎推理的能力.2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法,提高发现问题和解决问题的能力.3.在参与观察、试验、猜想、证明等数学活动中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.经历图形的分类、性质探讨的过程,掌握图形与几何的基础知识和基本技能.通过“猜想——总结——证明——应用”的数学活动提升科学素养.3.提高自主探究的能力和增强与他人合作交流的意识、方法.四边形是人们日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊四边形的用处更多.因此,四边形既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域中主要研究对象之一.本章是在已经学过的多边形、平行线、三角形、平行四边形的基础上对菱形、矩形、正方形的有关性质与常用的判定方法的证明与扩充.它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定的探索方法一脉相承.本章的学习有助于深化对平行四边形的理解,以及对识图、画图等操作技能的掌握,丰富学生的数学活动经验和体验,促进其良好数学观的形成.本章主要渗透归纳、类比、转化等数学思想,注重通过引导探索过程来渗透与展现证明的思路.此外还要注意引导学生探索证明的不同思路与方法,并进行适当的比较和讨论,提高分析、寻求证明思路的能力.【重点】菱形、矩形、正方形的定义、性质与判定.【难点】平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的联系与区别.本章教学时间约需8课时,具体分配如下:1 菱形的性质与判定理解菱形的概念,了解它与平行四边形之间的关系.1.经历菱形的性质定理与判定定理的探索过程,进一步发展合情推理能力.2.能够用综合法证明菱形的性质定理与判定定理,进一步发展演绎推理能力.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学现象.【重点】1.菱形的概念和性质.2.探索菱形的判定方法【难点】菱形的概念和性质在生活中的应用.第课时探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识.【重点】菱形的概念和性质.【难点】菱形性质的灵活应用.【教师准备】1.教师在课前布置学生复习平行四边形的性质,搜集菱形的相关图片.2.多媒体课件.3.教师准备菱形纸片,上课前发给学生上课时使用.【学生准备】复习平行四边形的性质导入一:请同学们观察投影图片中的四边形并回答下列问题:(1)投影图片中有平行四边形吗?(2)这些平行四边形具有哪些特征?其中哪个特征不是平行四边形的性质?【师生活动】复习平行四边形的定义及性质.导入二:1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流.2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四边形形状的图案?一、情景交流结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么四边形?【学生活动】通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.【教师活动】投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.二、学生活动,归纳概念思路一请口答下列问题.(1)上述图形都是平行四边形吗?(2)上述图形都有一组邻边相等吗?(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.【老师点评】(1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.【课件展示】像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.思路二【师】同学们,在观察上面图片之后,你能从中发现熟悉的图形吗?你能找出它们的共同特征吗?请同学们观察,图中的平行四边形与黑板上所画的▱ABCD 相比较,还有不同点吗?【生】投影图片中的平行四边形不仅对边相等,而且任意两条邻边也相等.【师】同学们观察得很仔细,像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.三、共同探究【想一想】(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?【生】菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.【学生活动】分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.【教师活动】教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.【做一做】请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?(2)菱形中有哪些相等的线段?【学生活动】分小组折纸探索答案.组长组织,并汇总结果.【教师活动】教师巡视并参与学生活动,引导学生怎样折纸才能得到正确的结论.学生研讨完毕,教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论,以便于后面的教学.【师生结论】(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,且是菱形的两条对角线所在的直线,两条对称轴互相垂直.(2)菱形的四条边相等.【验证提升】证明菱形性质【师】通过折纸活动,同学们已经对菱形的性质有了初步的理解,下面我们要对菱形的性质进行严谨的逻辑证明.【教师活动】如图所示,在菱形ABCD中,已知AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)AB＝BC＝CD＝AD;(2)AC⊥BD.【师生共析】(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等了.(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点.又因为在图形中可以得到相关的等腰三角形,所以就可以利用“三线合一”来证明结论了.【学生活动】写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理.指名学生在黑板上演示证明过程.证明:(1)∵菱形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AD＝BC(平行四边形的对边相等).∵AB＝AD,∴AB＝BC＝CD＝AD.(2)∵AB＝AD,∴ΔABD是等腰三角形.∵四边形ABCD是菱形,∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵OB＝OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.【教师活动】展示学生的证明过程,进行恰当的点评和鼓励,优化学生的证明方法,规范学生的书写格式,提高学生的逻辑证明能力.【教师活动】请你根据上面的证明,归纳出菱形的性质.【学生活动】小组交流,共同总结.【教师活动】多媒体课件展示定理:菱形的四条边相等.定理:菱形的对角线互相垂直.最后强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,让学生形成牢固记忆,留下深刻印象.四、展示交流【教师活动】例题讲解.(教材例1)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD ＝60°,BD＝6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.〔解析〕因为菱形的邻边相等,一个内角是60°,这样就可以得到等边三角形ABD,由BD＝6知菱形的边长也是6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB＝3,根据勾股定理就可以求出OA的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC＝2OA,求出AC.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD(菱形的四条边相等),AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),OB＝OD＝BD＝³6＝3(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵∠BAD＝60°,∴ΔABD是等边三角形.∴AB＝BD＝6.在RtΔAOB中,由勾股定理,得:OA2＋OB2＝AB2,∴OA＝＝3,∴AC＝2OA＝6.[知识拓展] (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;(2)菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定方法.1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直平分.3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.1.如图所示,在菱形ABCD中,AB＝5,∠BCD＝120°,则对角线AC的长是( )A.20B.15C.10D.5解析:因为四边形ABCD是菱形,所以AB＝CB,CD∥BA,所以∠ABC＝180°-∠BCD＝180°-120°＝60°,所以ΔABC是等边三角形,所以AC＝AB＝5.故选D.2.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.∠BAD＝60°,则AC＝cm.解析:因为菱形ABCD的周长为8 cm,所以AB＝AD＝2 cm.又因为∠BAD＝60°,所以ΔABD是等边三角形,所以BD＝AB＝2 cm,所以OB＝BD＝1 cm,所以OA＝(cm),所以AC＝2 cm.故填2.3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝CD＝BC,则四边形ABCD是菱形吗?为什么?解:四边形ABCD是菱形.理由:∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵CD＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形.4.如图所示,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于点E.求证∠AFD ＝∠CBE.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB＝CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE＝∠DCE.又∵CE＝CE,∴ΔBCE≌ΔDCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE.在菱形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.第1课时菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质:菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直例1一、教材作业【必做题】教材第4页随堂练习.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在菱形ABCD中,AB＝5 cm,则此菱形的周长为 ( )A.5 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm2.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两邻角的度数比为( )A.3∶1B.4∶1C.5∶1D.6∶13.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线的长分别为AC＝6,BD＝8,则此菱形的边长为 ( )A.5B.6C.8D.104.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC交BD于点O,AB＝8,E是CD的中点,则OE的长等于.5.如图所示,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC ＝.6.如图所示,在菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE＝DF.求证∠AEF＝∠AFE.【能力提升】7.如图所示,两个全等菱形的边长均为1 cm,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动,行走2015 cm后停下,则这只蚂蚁停在点.8.已知菱形ABCD的边长为6,且∠A＝60°,如果点P是菱形内一点,且PB＝PD ＝2,那么AP的长为.9.如图所示,在菱形ABCD中,∠A＝60°,AB＝4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.(1)求∠ABD的度数;(2)求线段BE的长.【拓展探究】10.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC＝6,BD＝8,点E,F分别是边AB,BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE＋PF的最小值,则这个最小值是( )A.3B.4C.5D.611.如图所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.(1)求证AE＝EC;(2)当∠ABC＝60°,∠CEF＝60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由. 【答案与解析】1.C(解析:因为菱形ABCD的四条边相等,所以菱形的周长为5³4＝20(cm).故选C.)2.C(解析:如图所示,因为菱形的周长为8 cm,所以AD＝2 cm.因为高DE＝1 cm,所以DE＝AD,所以∠A＝30°,所以∠ADC＝180°-30°＝150°,所以菱形两邻角的度数比为5∶1.故选C.)3.A (解析:因为四边形ABCD是菱形,所以OA＝AC＝3,OB＝BD＝4,∠AOB＝90°,所以AB＝＝5.故选A.)4.4(解析:因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,且AD＝AB＝8.又因为E是CD的中点,所以OE是ΔACD的中位线,所以OE＝AD＝AB＝4.故填4.)5.5 (解析:因为点A,B在数轴上对应的数为-4和1,所以AB＝1-(-4)＝5.因为四边形ABCD是菱形,所以BC＝AB＝5.故填5.)6.证明:在菱形ABCD中,有AB＝AD,∠B＝∠D.在ΔABE和ΔADF中,,∴ΔABE≌ΔADF.∴AE＝AF.∴∠AEF＝∠AFE.7.G(解析:因为两个全等菱形的边长均为1 cm,所以蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序走一圈的路程为8³1＝8(cm),2015÷8＝251(cm)……7(cm),所以当蚂蚁走完第251圈后再走7 cm正好到达G点.)8.2或49.解:(1)在菱形ABCD中,AB＝AD,∠A＝60°,∴ΔABD为等边三角形.∴∠ABD＝60°.(2)由(1)可知BD＝AB＝4.又∵O为BD的中点,∴OB＝2.又∵OE⊥AB,∠ABD ＝60°,∴∠BOE＝30°.∴BE＝1.10.C11.证明:(1)如图所示,连接AC,∵BD是菱形ABCD的对角线,∴BD垂直平分AC,∴AE＝EC.(2)点F是线段BC的中点.理由如下.∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°,∴ΔABC是等边三角形,∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC,∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°,∴∠EAC＝30°.∴AF是ΔABC中∠BAC的平分线,∴BF ＝CF,∴点F是线段BC的中点.本课时的主要教学内容为菱形的定义和性质.学生已经学习了平行四边形的性质,这是本课时知识的基础.关于菱形的定义和性质,就是在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的.本课时授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”.课堂上的折纸活动,可以让学生直观感知图形的特点,还可以激发学生学习的兴趣和积极性.教师应该留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师要引导学生积极思考,抓住表面现象中的本质.在性质的证明和应用过程中,教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较,优化证明方法,有利于提高学生的逻辑思维水平.随堂练习(教材第4页)解:根据菱形的对角线互相垂直,可知ΔAOB是直角三角形,由勾股定理可求出OB＝3 cm,再根据菱形的对角线互相平分可得BD＝2OB＝6 cm.习题1.1(教材第4页)1.证明:在菱形ABCD中,AB＝BC,BC∥AD,∴∠B＋∠BAD＝180°,∵∠BAD＝2∠B,∴∠B＝60°,又∵BA＝BC,∴ΔABC是等边三角形.2.解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AD＝DC＝CB＝BA,AC⊥BD,AO＝AC＝³8＝4,DO＝BD＝³6＝3,在RtΔAOD中,由勾股定理,得AD＝＝5. ∴菱形ABCD的周长为4AD＝4³5＝20.3.证明:在菱形ABCD中,AD＝AB,AC⊥BD,∴AC平分∠DAB,同理,CA平分∠DCB,BD 平分∠ABC和∠ADC.4.解:共有4个等腰三角形,分别为ΔBAD,ΔBCD,ΔADC,ΔABC.共有4个直角三角形,分别为ΔAOB,ΔAOD,ΔCOD,ΔBOC.(1)在折纸过程中,教师要与学生探讨折纸的方法,明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴,便于学生正确迅速地找出菱形中的对称关系.掌握数学知识离不开“实践——认识——再实践——认识”这个重要的学习方法,通过说理论证可以使学生充分理解菱形的性质,在这个过程中,教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨性.(2)类比方法是数学中重要的方法,所以本课时类比以前学过的平行四边形的有关概念、性质,让学生通过自主学习,共同探究,很自然地突破了重难点.(3)本课时重难点、易错点的掌握要通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养合作意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.(2014²莆田中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,∠BAD＝120°.点E是AB的中点,点F是AC上的一动点,则EF＋BF的最小值是.〔解析〕如图所示,连接DE,EC,DF,则BF＝DF.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD＝120°,∴∠ABC＝60°.∴ΔABC为等边三角形.∵E是AB的中点,∴CE⊥AB,∴CE⊥CD.在RtΔBEC中,∠ABC＝60°,BC＝4,∴BE＝BC＝2,CE＝＝2.在RtΔECD中,CE＝2,DC＝4,∴ED＝2.根据两点之间线段最短,可知EF＋DF的最小值为2.∴EF＋BF的最小值为2.故填2.第课时1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.尝试从不同角度寻求菱形的判定方法,并能有效地解决问题,尝试比较不同判定方法之间的差异,并获得判定四边形是菱形的经验.启发引导学生理解探索结论和证明结论的过程,掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好习惯.【重点】探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.【难点】明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.【教师准备】木条和橡皮筋【学生准备】复习上课时的相关知识.导入一:人们戴的帽子的形状千奇百怪,有一段时间,电视上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国博士帽的启发.在日本,到第二次世界大战为止,戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?导入二:什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?教师提示:判定方法应该从三个方面分析:边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.那么,菱形的判定有什么方法呢?[设计意图]通过类比的方法引导学生发现判定菱形的方法.一、由菱形的定义判定【学生活动】明确菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.【思考】除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方法吗?二、菱形的判定(1)思路一已知:在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC.∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线.∴BA＝BC.∴▱ABCD是菱形(菱形的定义).【思考】从上述证明过程中,你得出什么结论?定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.思路二【学生活动】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.(1)转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?猜想:四边形的对角线互相平分.(2)继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形?猜想:当木条互相垂直时,平行四边形的一组邻边相等,此时四边形为菱形.(3)你能证明你的猜想吗?猜想:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.已知:在▱ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分).又∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线,∴AB＝BC,∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.三、菱形的判定(2)思路一学生先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?请你画一画.通过探究,容易得到:四条边相等的四边形是菱形.证明上述结论.[设计意图]采用观察、操作、交流、演绎的手法来突破难点,通过严谨的推理和证明培养学生的几何思维.思路二问题我们如何画一个菱形呢?通常先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D 为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD即可.【学生活动】(1)观察画图的过程,你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?学生思考后,展开讨论寻找原因.原因:这个四边形的四条边相等,根据菱形定义即可判定.(2)你能得出什么结论?学生得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形.[设计意图]通过教师画图演示,让学生从直观操作的角度去发现问题,使探究的问题形象化、具体化,培养学生的形象思维能力.利用平行四边形的判定和菱形的定义判定该四边形是菱形,进一步提高学生的抽象思维能力.本活动进一步体现了试验几何和论证几何的有机结合.猜想:四条边相等的四边形是菱形.如图所示,在四边形ABCD,已知AB＝BC＝CD＝DA.求证四边形ABCD是菱形.证明:∵AB＝CD,BC＝AD,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).又∵AB＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).[设计意图]由菱形的定义得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形,并激发学生探究的欲望.[知识拓展] 四条边相等的四边形是菱形.在▱ABCD中,已知对角线AC与BD相交于点O,AB＝,OA＝2,OB＝1.求证▱ABCD是菱形.证明:在ΔAOB中,∵AB＝,OA＝2,OB＝1,∴AB2＝AO2＋OB2.∴ΔAOB是直角三角形,即∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).[知识拓展] (1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证明.(2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理.1.下列命题正确的是( )A.对角线互相平分的四边形是菱形B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形答案:D2.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( )A.等腰梯形B.正方形C.长方形D.菱形答案:D3.如图所示,在ΔABC中,AD⊥BC于D,点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.求证四边形AEDF是菱形.解析:首先判定四边形AEDF是平行四边形,然后连接EF证明EF⊥AD,利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来判定.证明:∵点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,∴DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.连接EF,如图所示,∵点E,F分别是AB和AC的中点,∴EF∥BC.又∵AD⊥BC,∴AD⊥EF,∴平行四边形AEDF是菱形.第2课时1.根据菱形的定义进行判定2.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.定理:四条边相等的四边形是菱形例1例2一、教材作业【必做题】教材第7页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是( )A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B.四条边都相等的四边形是菱形C.一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线相等的四边形是菱形2.已知▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB＝BC;③AC平分∠BAD;④AO＝DO.使得▱ABCD是菱形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示,如果要使▱ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是.4.如图所示,点E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边满足条件: 时,四边形EFGH是菱形.【能力提升】5.如图所示,在ΔABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC 交AC于点F.求证四边形DECF是菱形.6.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF ⊥BD,分别交AD,BC于点E,F,求证四边形BEDF是菱形.【拓展探究】7.如图所示,分别以ΔABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF,请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?(2)当ΔABC满足什么条件时,四边形ADEF为菱形?(3)当ΔABC满足什么条件时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在?【答案与解析】1.B2.C3.AB＝AD(答案不唯一)4.AB＝CD。
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图形的位似第课时位似多边形及其性质教学目标．了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似多边形的性质．．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．重点、难点．重点：位似多边形的有关概念、性质与作图．．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．一.创设情境活动教师活动：提出问题：生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？学生活动：学生通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个相似多边形每组对应点的连线都经过同一个点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，这个点叫做位似中心.（位似中心可在形上、形外、形内.)每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．二、利用位似，可以将一个图形放大或缩小活动教师活动：提出问题：把图中的四边形缩小到原来的21． 分析：把原图形缩小到原来的21，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为∶．作法一：（）在四边形外任取一点； （）过点分别作射线，，，；（）分别在射线，，，上取点′、′、′、′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （）顺次连接′′、′′、′′、′′，得到所要画的四边形′′′′，如图．问：此题目还可以如何画出图形？ 作法二：（）在四边形外任取一点；（）过点分别作射线， ， ，；（）分别在射线， ， ， 的反向延长线上取点′、′、′、′，使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （）顺次连接′′、′′、′′、′′，得到所要画的四边形′′′′，如图．作法三：（）在四边形内任取一点； （）过点分别作射线，，，；（）分别在射线，，，上取点′、′、′、′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （）顺次连接′′、′′、′′、′′，得到所要画的四边形′′′′，如图． （当点在四边形的一条边上或在四边形的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）三、课堂练习活动 教材习题小结：谈谈你这节课学习的收获．。
2017秋九年级数学上册全一册教案(82份) 北师大版60(免费推荐下载)
第课时 相似三角形的周长和面积之比.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；（重点）.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点）一、情景导入如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△的面积为平方米，长为，长为.根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△的面积.二、合作探究探究点一：相似三角形的周长比已知△∽△′′′，是△的中线，′′是△′′′的中线，若＝，且△′′′的周长为，求△的周长.解：因为△∽△′′′，所以它们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比＝＝，＝.已知△′′′的周长为，所以＝.所以△的周长为.易错提醒：在相似表达式△∽△′′′及对应中线比＝中，都是△在前，△′′′在后，而在出现问题时，△′′′在前，△在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式求解.探究点二：相似三角形的面积比如图，在△中，＞，点在上，且＝，∠的平分线交于点，点是的中点，连接.若四边形的面积为，求△的面积.解：∵平分∠，＝， ∴是△的中线，即是的中点. ∵点是的中点，∴∥，且＝.∴∠＝∠，∠＝∠，∴△∽△.∴＝（）＝.∵△＝△－四边形＝△－， ∴＝. ∴△＝，即△的面积为. 易错提醒：在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比，在本题中不要犯由：＝：得△：△＝：，或△：四边形＝：之类的错误.三、板书设计相似三角形的周长和面积之比：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.经历相似三角形的性质的探索过程，培养学生的探索能力.通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体验化归思想.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，训练学生的运用能力，增强学生对知识的应用意识.。
初三数学上册全册教案(北师大版)
初三数学上册全册教案（北师大版）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址北师大版九年级数学上全册精品教案第一章证明（二）（课时安排）．你能证明它们吗？3课时2．直角三角形2课时3．线段的垂直平分线2课时4．角平分线课时1.你能证明它们吗?（一）教学目标：知识与技能目标：．了解作为证明基础的几条公理的内容。
2．掌握证明的基本步骤和书写格式．过程与方法．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。
2．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。
情感态度与价值观．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯．重点、难点、关键．重点：探索证明的思路与方法。
能运用综合法证明问题．2．难点：探究问题的证明思路及方法．3．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路．教学过程：一、议一议：．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？2．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？给出公理和定理：．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。
2．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于延伸．二、回忆上学期学过的公理本套教材选用如下命题作为公理:.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,Bc=EF求证：△ABc≌△DEF证明：∵∠A+∠B+∠c=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∴∠c=180°-∠F=180°-又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∴∠c=∠F又∵Bc=EF（已知）∴△ABc≌△DEF（ASA）推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
2017秋九年级数学上册全一册教案(82份) 北师大版56(免费推荐下载)
利用相似三角形测高.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验；（重点）.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）一、情景导入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？二、合作探究 探究点一：利用阳光下的影子测量高度 【类型一】 影子在同一平面上时高度的测量如图所示，身高为的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为，旗杆在地面上的影长为，那么旗杆的高度是多少呢？解析：同一时刻的太阳的光线应是平行的，人和旗杆都与地面垂直，因此可以通过相似三角形对应边成比例来求旗杆的高度.解：如图，用表示人的身高，表示人的影长，表示旗杆的高度，表示旗杆的影长.由题意知＝，＝，＝. ∵太阳光∥， ∴∠＝∠. 又∵∠＝∠＝°，∴△∽△. ∴＝，即＝. 解得＝（）. 故旗杆的高度是.方法总结：同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同.【类型二】 影子不在同一平面上时高度的测量如图①，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，的竹竿垂直地面放置，影子长为，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子高为，那么这棵树的高是多少？解：方法一：延长，与地面交于点，如图②.根据同一时刻，物体的影长和它的高度成正比，所以＝＝.因为＝，＝，＝，＝， 所以＝，所以＝＋＝（）.所以＝，＝（）. 故这棵树的高是.方法二：过点作的垂线，交于点，如图③.由题意可知＝，而＝＝，＝－＝（－），＝，＝，所以＝，解得＝（）. 故这棵树的高是.方法三：过点作的平行线交于点，如图④.由题意可知＝，而＝－＝（－），＝，＝，＝，所以＝，解得＝（）. 故这棵树的高是. 方法总结：在图上补全影子或构造相似三角形是求出树高的关键.三种方法的解题依据实质上都是应用了相似三角形的性质，但其解题的简便性不同，显然方法二和方法三比方法一简单.探究点二：利用标杆测量高度如图，小明为了测量一棵树的高度，他在距树处立了一根高为的标杆，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高，求树的高度.解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点作∥交于，交于，则可得△∽△.解：过点作∥交于，交于，因为人、标杆、树都垂直于地面，所以∠＝∠＝∠＝°， 所以∥∥，所以∠＝∠. 因为∠＝∠，所以△∽△，所以＝. 因为＝，＝，＝，＝， 所以＝，所以＝（）， 所以＝＋＝（）. 故树的高度为. 方法总结：利用标杆测量物体的高度时，必须使观测者的眼睛、标杆顶端、建筑物顶端在同一条直线上.探究点三：利用镜子的反射测量高度为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树底部的处放下镜子；②该同学站在距离镜子的处，目高为；③观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？解析：借助物理学知识：入射角等于反射角，法线垂直于水平面（镜面），然后利用相似三角形的知识求解.解：如图，∵∠＝∠， ∠＝∠＝°， ∴△∽△. ∴＝，即＝， 解得＝（）.因此，树高约为. 方法总结：利用镜子的反射测量物体的高度时，利用入射角等于反射角，等角的余角相等产生相似三角形，利用相似三角形的性质求树高.三、板书设计利用相似三角形测高通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何图形的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想，培养学生的观察、归纳、建模、应用能力，体验解决问题策略的多样性.在增强相互协作的同时，激发学习数学的兴趣.。
2017秋九年级数学上册全一册教案(82份) 北师大版20(免费推荐下载)
．用公式法求解一元二次方程第课时用公式法求解一元二次方程．理解一元二次方程求根公式的推导过程；．会用公式法解一元二次方程；(重点)．会用根的判别式－判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式＋＋＝(≠)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知＋＋＝(≠)，且－≥，试推导它的两个根＝，＝.二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程方程－＝化为一般形式是，其中＝，＝，＝，方程的根为．解析：将方程移项可化为－－＝.其中＝，＝－，＝－，因为－＝(－)－××(－)＝＞，代入求根公式可得＝.故答案分别为－－＝，，－，－，.方法总结：一元二次方程＋＋＝(≠)的根是由方程的系数，，确定的，只要确定了系数，，的值，代入公式就可求得方程的根．用公式法解下列方程：()－－＋＝; ()＋＋＝；()－＋＝.解析：先确定，，及－的值，再代入公式求解即可．解：()－－＋＝，＋－＝.∵＝，＝，＝－，∴－＝－××(－)＝＞，∴＝＝，∴＝，＝－；()∵＝，＝，＝，∴－＝－××＝－＝－＜，∴原方程没有实数根；()∵＝，＝－，＝，∴－＝(－)－××＝，∴＝＝，∴＝＝.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中，，的值，再求出－的值与“”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．探究点二：一元二次方程根的判别式【类型一】用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程＋＝，下列判断正确的是( )．该方程有两个相等的实数根．该方程有两个不相等的实数根．该方程无实数根．该方程根的情况不确定解析：原方程变形为＋－＝.∵－＝－××(－)＝＞，∴该方程有两个不相等的实数根，故选.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式＋＋＝(≠)．当－＞时，方程有两个不相等的实数根；当－＝时，方程有两个相等的实数根；当－＜时，方程无实数根．【类型二】根据方程根的情况确定字母的取值范围若关于的一元二次方程－－＝，有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )．>－．>－且≠．< ．<且≠解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则－>，同时要求二次项系数不为，即解得>－且≠，故选.易错提醒：利用－判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于这一条件，本题中容易误选.【类型三】根的判别式与三角形的综合应用已知，，分别是△的三边长，当>时，关于的一元二次方程(＋)＋(－)－＝有两个相等的实数根，请判断△的形状．解析：先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定，，之间的关系，即可判定△的形状．解：将原方程转化为一般形式，得(＋)－＋(－)＝.∵原方程有两个相等的实数根，∴(－ )－(＋)(－)＝，即(＋－)＝.又∵≠，∴＋－＝，即＋＝.根据勾股定理的逆定理可知△为直角三角形．方法总结：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．三、板书设计经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解求根公式的基础．通过对求根公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.。
2017秋九年级数学上册全一册教案(82份) 北师大版51(免费推荐下载)
第课时利用三边判定三角形相似 ●教学目的:使学生掌握三角形相似的判定定理和它的应用． ●教学重点：判定定理
●教学难点： 判定定理的应用
●教学过程：
一、复习：
.判定三角形相似目前有哪些方法？
.回忆三角形相似判定定理和的证明的方法．
二、新授
（一）导入新课
三角形全等的判定中 和对应于相似三角形的判定的判定定理，对应于相似三角形的判定的判定定理，那么对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本节研究的内容．（板书）
（二） 做一做 画△与△′′′，使
B A AB ''、
C B BC ''和A C CA '
'都等于给定的值. （）设法比较∠与∠′的大小；
（）△与△′′′相似吗？说说你的理由.
改变值的大小，再试一试.
定理：三边:成比例的两个三角形相似．
（三）例题学习
例：如图，在△和△中， ，∠°，求∠的度数.
解：∵ ， ∴△∽△(三边成比例的两个三角形相似). ∴∠∠， ∴∠－∠∠－∠，
即∠∠. ∵∠°，
∴∠°.
三、巩固练习
四、小结 本节学习了相似三角形的判定定理，使用时一定要注意它使用的条件．
五、作业：板书设计：
教学后记：。
2017年秋北师大版九年级上全册教案
教学过程：
复习回顾：你知道等腰三角形具有怎样的性质吗?、
探索——发现——猜想——证明
1、引导探索：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高线又具有怎样的性质呢？（提出问题，激发学生探究的欲望。学生猜想）
2、探究中发现：在等腰三角形中做出两底角的平分线，你会发现图中有那些相等的线段？你能用文字叙述你的结论吗？（学生动手画图、探索发现相等的线段并思考为什么相等）
课时安排：一课时
教学过程：
温故知新
1、已知：∠ABC,∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E
(1)找出图中的等腰三角形
(2)BD,CE,DE之间存在着怎样的关系？
(3)证明以上的结论。
2、复习关于反证法的相关知识
证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
（笔试，进一步巩固学习证明的基本步骤和书写格式）
教学难点：能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。
教学方法：观察法。
课时安排：一课时
教学过程：
复习：
1、什么是等腰三角形？
2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。
3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
新课讲解：
在《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
回忆上学期学过的公理
本套教材选用如下命题作为公理:
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
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6.3 反比例函数的应用
教学目标：
(一)教学知识点
1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程.
2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.提高运用代数方法解决问题的能力
(二)能力训练要求
通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力.
(三)情感与价值观要求
经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题。
理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题.发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
教学重点：用反比例函数的知识解决实际问题.
教学难点：如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学知识去解决实际问题.
教学方法：教师引导学生探索法.
教具准备：多媒体课件
教学过程：
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]有关反比例函数的表达式，图象的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的是什么呢? [生]是为了应用.
[师]很好.学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题.究竟反比例函数能解决一些什么问题呢?本节课我们就来学一学.
Ⅱ. 新课讲解
某校科技小组进行野外考察，途中遇到片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?当人和木板对湿地的压力一定时随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗?
为什么?
(2)当木板画积为0.2 m2时.压强是多少?
(3)如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要多大?
(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象.
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进
行交流.
[师]分析：首先要根据题意分析实际问题中的两个
变量，然后看这两个变量之间存在的关系，从而去
分析它们之间的关系是否为反比例函数关系，若是
则可用反比例函数的有关知识去解决问题. 请大家互相交流后回答. [生](1)由p=
S
F 得p=S 600
p 是S 的反比例函数，因为给定一个S 的值.对应的就有唯一的一个p 值和它对应，根据函数定义，则
p 是S 的反比例函数. (2)当S=0.2 m 2
时， p=
2
.0600
=3000(Pa). 当木板面积为0.2m 2
时，压强是3000Pa. (3)当p=6000 Pa 时， S=
6000
600=0.1(m 2
). 如果要求压强不超过6000 Pa ，木板面积至少要0.1 m 2
. (4)图象如下：
(5)(2)是已知图象上某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000，求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围.
[师]这位同学回答的很好，下面我要提一个问题，大家知道 反比例函数的图象是两支双曲线、它们要么位于第一、三象限，
要么位于第二、四象限，从(1)中已知p ＝
S
600
>0，所以图象应位于第一、三象限，为什么这位同学只画出了一支曲线，是不是另一支曲线丢掉了呢?还是因为题中只给出了第一象限呢?
[生]第三象限的曲线不存在，因为这是实际问题，S 不可能取负数，所以第三象限的曲线不存在. [师]很好，那么在(1)中是不是应该有条件限制呢?
[生]是，应为p ＝
S
600
(S>0). 做一做
1. 蓄电池的电压为定值.使用此电源时，电流I(A)与电阻 R(Ω)之间的函数关系如下图所示；
(1)蓄电池的电压是多少?你能写出这一函数的表达式吗? (2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电
[师]从图形上来看，I 和R 之间可能是反比例函数关系.电压U 就相当于反比例函数中的k.要写出函数的表达式，实际上就是确定k(U)，只需要一个条件即可，而图中已给出了一个点的坐标，所以这个问题就解决了，填表实际上是已知自变量求函数值.
[生]解：(1)由题意设函数表达式为I ＝
R
U ∵A(9，4)在图象上， ∴U ＝IR ＝36. ∴表达式为I=
R
36. 蓄电池的电压是36伏.
(2)表格中从左到右依次是：12，9，7.2，6
7
36
，4.5，3.6. 电源不超过10 A ，即I 最大为10 A ，代入关系式中得R ＝3.6，为最小电阻，所以用电器的可变电阻应控制在R ≥3.6这个范围内.
2.如下图，正比例函数y ＝k 1x 的图象与反比例函数y=x
k 2
的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(3,23).
(1)分别写出这两个函数的表达式：
(2)你能求出点B 的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流.
[师]要求这两个函数的表达式，只要把A 点的坐标代入即可求出k 1，k 2，求点B 的 坐标即求y ＝k 1x 与y=
x
k 2
的交点. [生]解：(1)∵A(3,23)既在y ＝k 1x 图象上，又在y ＝
x
k 2
的图象上. ∴3k 1＝23，23＝32
k . ∴k 1=2, k 2=6
∴表达式分别为y ＝2x,y ＝
x
6. y=2x,
(2)由 得2x=
x
6, y=x
6 ∴x 2
=3 ∴x=±3.
当x=-3时，y=-23. ∴B(-3,-23).
Ⅲ.课堂练习
1.某蓄水池的排水管每时排水8 m 3
，6 h 可将满池水全部排空. (1)蓄水池的容积是多少?
(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(m 3
)，那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化? (3)写出t 与Q 之间的关系式；
(4)如果准备在5 h 内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少?
(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3，那么最少多长时间可将满池水全部排空?
解：(1)8×6＝48(m 3
).
所以蓄水池的容积是48 m 3
.
(2)因为增加排水管，使每时的排水量达到Q(m 3
)，所以将满池水排空所需的时间t(h)将减少. (3)t 与Q 之间的关系式为 t=
Q
48. (4)如果准备在5 h 内将满池水排空，那么每时的排水量至少为5
48=9.6(m 3
). (5)已知排水管的最大排水量为每时12m 3
，那么最少要
12
48
＝4小时可将满池水全部排空. Ⅳ.课时小结
节课我们学习了反比例函数的应用.具体步骤是：认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而用反比例函数的有关知识解决实际问题. Ⅴ课后作业 习题6.4.
补充题：为了预防“非典”，
某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时， 室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时
间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y 与x 成反比例 (如右图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中
每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为 ,自变量x 的取值范围为 ；
药物燃烧后，y 关于x 的函数关系式为 .
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么? 答案：(1)y ＝4
3x ， 0<x ≤8 y=x 48
(2)30
(3)此次消毒有效，因把y=3分别代入y=
4
3x ，y=x 48
，求得x ＝4和x ＝16，而16-4=12>10，即空气
中的含药量不低于3毫克/m 3
的持续时间为12分钟，大于10分钟的有效消毒时间.。