概率1-5 全概率(续)
第1章条件概率,全概率公式(二)
P ac . abcd
⑵以 A表示从甲袋中取球, 则A 表示从乙袋中取球.
由此得
P A 1 , P A 1
2
2
再以 B表示取到的是红球, 则
PB | A a , PB | A c ,
由此得 PB 0.5.
1.18 设一名情报员能破译一份密码的概率是 0.6. 试
问, 至少要使用多少名情报员才能使破译一份密码的概
率大于95%?
解 设总共使用n 名情报员破译密码. 则密码被破译的
概率为
n
P A P A1 UL
U
An
1
i1
P
Ai
1 0.4n.
ab
cd
由全概率公式得
PB P A PB | A P A PB | A
1 2
a
a
b
c
c
d
.
⑶以 A表示从甲袋中取的是红球, 则
P A a , P A b .
ab
ab
以B表示从乙袋中取的是红球, 则
PB | A c 1 , PB | A c ,
所以由全概率公式得
PB P A PB | A P A PB | A
0.7 0.24 0.94.
⑵ n个产品中恰有2 个不能出厂的概率为:
Pn 2 Cn2 0.062 0.94n2.
⑶ n个产品都能出厂的概率为
P 0.94n.
1.25 某年级有甲、乙、丙三个班级, 各班人数分别占
概率论与数理统计-第1章-第5讲-全概率公式与贝叶斯公式
01 全概率公式
例 设某人有三个不同的电子邮件账户，有70%的邮件进入账户1，另有 20%的邮件进入账户2，其余10%的邮件进入账户3. 根据以往经验，三 个账户垃圾邮件的比例分别为1%，2%, 5%，问某天随机收到的一封邮 件为垃圾邮件的概率.
A1, A2 , A3 分别表示邮件来自账户1、2、3
13
02 贝叶斯公式
由贝叶斯公式
P(A | B)
P( A)P(B | A)
P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
0.0004 0.95
0.0187.
0.0004 0.95 0.9996 0.02
经AFP检测显阳性的人，真患有肝病的人不到2%. 可见，对 于稀有病症，一次检测的结果不必过于担心.
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
主讲教师 |
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它 们实质上是加法公式，乘法公式以及条件概率的综合运用.
全概率公式
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P( A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 ) P( A3)P(B | A3) 全概率公式 0.0345
3
本章内容
01 全概率公式 02 贝叶斯公式
01 全概率公式
1.全概率公式
设 S 为 随 机 试 验 的 样 本 空 间 ， A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且 有
14
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
1-5全概率公式贝叶斯公式
= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有 人 个具有阳性反应的人中大约只有87人 即平均 个具有阳性反应的人中大约只有 患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、 低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类 调查结果是这三类居民分别占总户数的10%， 调查结果是这三类居民分别占总户数的 ， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数 ， ， 在这三类居民中分别为100 %，60%， 在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中 的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户 若已知某户的存款在一万元以上， 属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2
1_5全概率与贝叶斯公式
( 2) B i ,
i 1
n
则称 B1, B2, …,Bn 为 的一个划分， 或称其是一个完备事件组.
定理4、 设 B1,B2,…,Bn 是 的一个划分，
且 P(Bi)>0， i = 1, 2, „, n , 则 对任一事件 A ， 显然 P AA) A ( B ) B i( A| () B i ) 有 ( = P A i P iB i A i 1 1
n i 1
B1
Bn-1
n
n
A
B2 B3
Bn
n n 全概率公式的来由, 不难由上式看出: n P ( A) P ( AB i ) P ( AB i ) [ P ( B i ) P ( A | B i ) ] “全”部概率 P(A) 被分解成了许多部分之和 i 1 i 1 i 1 它的理论和实用意义在于: 乘法公式 在较复杂情况下直接计算 P(A)不易, 但 A 总是伴随着某个 Bi 出现. 适当地去构造划分 Bi 是解决问题的关键.
下页
例3 三部自动的机器生产同样的零件, 其中机器甲生产 的占40% , 机器乙生产的占25% , 机器丙生产的占35 %, 已知机器 甲、乙、丙生产的零件分别有 10 %、5 % 和 1% 不合格, 现从总产品 中随即地抽取一个零件, 发现是不合格品, 求： (1) 它是由机器甲生产出来的概率；, (2) 它是由哪一部机器生产出来的可能性大. 解 设B1,B2 ,B3 分别表示事件: 任取的零件为甲、乙、丙机器生产, A ={抽取的零件是不合格品}, 由条件知
P( B1 ) 0. 40, P( B2 ) 0. 25, P( B3 ) 0. 35, P( A | B3 ) 0. 01, P( A | B1 ) 0. 10, P( A | B2 ) 0. 05,
全概率公式及其应用
全概率公式及其应用(清华大学数学科学系 叶俊)命题趋势: 即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。
要求大家能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。
1. 全概率公式和Bayes 公式概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和Bayes 公式正好起到了这样的作用。
对一个较复杂的事件A ，如果能找到一伴随A 发生的完备事件组 ,,21B B ，而计算各个i B 的概率与条件概率)|(i B A P 相对又要容易些，这时为了计算与事件A 有关的概率，可能需要使用全概率公式和Bayes 公式。
背景：例如，在医疗诊断中，为了诊断出现症状A 的患者，到底患了疾病B B 12, 中的哪一种，可用Bayes 公式算出在症状A 的情况下，起因于疾病B i 的概率P B A i ()，而后按各个后验概率P B A i ()的大小来推断患者患哪种病的可能性最大．完备事件组的理解：所有病因都知道，且没有并发症。
定义 称事件族 ,,21B B 为样本空间Ω的一个划分（也称 ,,21B B 为一个完备的事件组），如果满足)(j i B B j i≠=φ 且Ω=∞=i i B 1。
进而，如还有,,2,1,0)( =>i B P i 则称 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分。
一般地，划分可用来表示按某种信息分成的不同情况的总和，若划分越细,则相应的信息更详尽。
定理1 (全概率公式) 设事件...,21B B 为样本空间Ω的一个正划分，则对任何一个事件A ,有)()()(1i i i B A P B P A P ∑∞==定理 2 (Bayes 公式) 设 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分,事件A 满足P A ()>0, 则)()()()(A P B A P B P A B P i i i =．若将它与全概率公式结合起来, 就是Bayes 公式的以下的常用形式∑==mj j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1)()()()()( (+∞≤m , ,2,1=i m )公式的直观理解：如果我们把B i 看成是导致事件A 发生的各种可能“原因”，那么，全概率公式告诉我们，事件A 发生的概率恰好是事件A 在这些“原因”下发生的条件概率的加权平均，其中的权重分别为P B i ()．而已知“结果”找“原因”的问题则可以用Bayes 公式来计算。
概率论基础(第二版)课后答案_李贤平_高等教育出版社(1-5章全)
第一章 事件与概率1、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =U U ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.2、试把n A A A U L U U 21表示成n 个两两互不相容事件的和．3、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
4、证明下列等式：（1）1321232−=++++n n n n n n n nC C C C L ； （2）0)1(321321=−+−+−−n n n n n n nC C C C L ； （3）∑−=−++=r a k r a b a k b r k a C C C0.5、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。
6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
8、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。
9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。
现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
10、由盛有号码L ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
11、任意从数列L ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<<L L 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤1。
概率1-5 (续)
P(C｜A)= 0.1066 从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.
概率论
2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌 症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人 中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再 试验来确认.
试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066
2
3
这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中 更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果 发生条件下，探求各原因发生可能性大小.
概率论
接下来我们介绍为解决这类问题而引出的
贝叶斯公式
概率论
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红 球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红 球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球， 发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .
k 1 k k
运用全概率公式 计算P(A)
将这里得到的公式一般化，就得到
贝叶斯公式
概率论
定理2贝叶斯公式
设 B1 ,B2 ,,Bn 为样本空间的
｜ P( B )P( A B )
j 1 j j n
一个划分 , A 为 S 中的任一事件 ,且 P A 0 ,则恒有
P ( Bi | A) P ( Bi ) P ( A Bi ) ｜
?
1红4白
1
2
3
概率论
? 某人从任一箱中任意摸出一球， 发现是红球，求该球是取自1号 箱的概率. 1红4白
记 Bi={球取自i号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球} 求P(B1|A)
1
3
2
3
P ( B1 A) P ( B1 | A) P ( A)
全概率公式课件-高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
√
√
√
×
2.已知某地区 的男性和 的女性患色盲.假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是( )．A. B. C. D.
D
[解析] 用事件 ， 分别表示“随机选1人为男性或女性”，用事件 表示“此人恰是色盲” ，则 ，且 ， 互斥，故 ．
例3 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.若已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．
3．已知A，B为样本空间Ω中的事件，BA与B是互斥的，B＝BA＋B，且P(AB)＝，P(B)＝，则P(B)＝( )A． B．C． D．
解析：由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(AB)＋P(B)＝＝.
答案：D
4.若一个盒子中有6个白球，4个黑球，不放回每次任取1个，连取2次，则第二次取到白球的概率为______．
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现在来分析一下结果的意义. 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？
2. 检出阳性是否一定患有癌症?
概率论
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.
如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率
P(C)=0.005
患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为
i 1
3
代入数据计算得：P(B)=8/15 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
概率论
四、贝叶斯公式
看一个例子:
某人从任一箱中任意摸 出一球，发现是红球,求该球 1红 4白 是取自1号箱的概率. 或者问: 1 该球取自哪号箱的可能性 最大?
2
3
这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中 更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果 发生条件下，探求各原因发生可能性大小.
概率论
在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因 的验前概率和验后概率. P(Ai) (i=1,2,…,n) 是在没有进一步信息（不知道事 件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能 性大小的认识. 当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发 生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化
P(C｜A)= 0.1066 从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.
概率论
2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌 症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人 中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再 试验来确认.
试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066
概率论
接下来我们介绍为解决这类问题而引出的
贝叶斯公式
概率论
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红 球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红 球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球， 发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .
?
1 红 4白
1
2
3
? 某人从任一箱中任意摸出一球， 发现是红球，求该球是取自1号 箱的概率. 1红 4白
该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出. 它是在 观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每 个原因的概率.
概率论
例 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一 种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试 验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试 验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?
概率论
第五节 条件概率
全概率公式
贝叶斯公式
小结 布置作业
概率论
三、全概率公式
看一个例子: 有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球 4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某 人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球 的概率.
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球}
概率论
例3肺结核确诊率问题 假定患肺结核的人通过
接受胸部透视, 被诊断出的概率为0.95 , 而未患肺结 核的人通过透视 , 被诊断为有病的概率为 0.002 , 又设 某城市成年居民患肺结 核的概率为0.1% . 现若从该 城市居民中随机选出一人来 , 通过透视被诊断为有 肺结核 , 求这个人确实患有肺结核的概率是多少 ? 解 设 A 通过胸透诊断有肺结核 ,
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B)
概率论
1
3
2
3
P ( A1 B) ห้องสมุดไป่ตู้ P ( A1 | B) P ( B)
P ( A1 ) P ( B | A1 )
运用全概率公式 计算P(B)
P ( A ) P ( B｜A )
k 1 k k
将这里得到的公式一般化，就得到
1
2
3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
概率论
即 且
B= A1B+A2B+A3B， A1B、A2B、A3B 两两互斥 P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
运用加法公式得到
对求和中的每 一项运用乘法 公式得
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们 可通过进一步的练习去掌握它们.
求解如下: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}，
则 C 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( C )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| C )=0.04 求 P(C|A).
概率论
由贝叶斯公式，可得
P (C ) P ( A | C ) P (C | A) P (C ) P ( A | C ) P (C ) P ( A | C )
贝叶斯公式
概率论
定理2贝叶斯公式 设 A1 , A2 ,, An 为样本空间的 一个划分 , B 为 中的任一事件 , 且 P B 0 , 则恒有
P ( Ai | B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
P ( A ) P ( B｜A )
j 1 j j
n
i 1,2,, n
B 确实患有肺结核 , 则 B 未患肺结核 , 故所求概率为 P AB P B P A | B P B | A P A P B P A | B P B P A | B
概率论
五、小结
这一讲我们介绍了 全概率公式 贝叶斯公式