(备课 9、地基承载力理论5

（3）ag面上的超载的合力为 qb / 2 exp( / 2 tan ) ，对a点的力矩为
B B 1 M 3 q exp( / 2 tan ) cot exp( / 2 tan ) cot B 2 0 D exp( tan ) cot2 2 4 8
｝
P0 =---（β ± sinβ )+q+γ d
π
·
大小主应力σ1、σ3在塑性区的 边界上，应满足极限平衡条件：
极限平衡条件： σ1=σ3tan2(450+φ/2)+2Ctan(450+φ/2) 将σ1、σ3代入上式，整理得塑性区边界方程：
1 p0 sin 0 z 0 (c cot q) sin
在偏心荷载作用下，有b/3(b—基宽）深度内可以出现塑性 区，于是，令zmax=b/3
(c cot q b / 3) p1/ 3 q cNc qNq bN1/ 3 cot / 2
p1/ 4
(c cot q b / 4) q cNc qNq bN1/ 4 cot / 2
沉降过大：基础正下方土体形成了连续的滑动面（塑性变形区）
3）局部剪切破坏
介于前两者之间的破坏。 特点：有一定的倾斜，又有比较大 的沉降。 发生条件：土质不好不坏，如松砂、一般粘性土等； 基础埋深不深不浅；加荷速度不快不慢。
p-s曲线转折点不明显，没有明显的直线段，塑性变形区不延伸到地面， 限制在地基内部某一区域内，基础两侧地面微微隆起。
图9-8 太沙基承载力系数表

适用于地基土较密实，发生整体剪切破坏的情况 对压缩性较大的软弱土，根据经验修正
地基稳定是指在环境条件及力场条件变化的情况下，能够保持 原来的存在状态，否则就称为失稳。岩土界把地基的强度（抗剪 强度）破坏称为失稳。 因地基问题引起建筑物破坏有两种可能: （1）荷载作用使基础变形过大或不均匀沉降(沉降)； （2）建筑物的荷重超过地基的承载能力，使地基产生剪切破坏 (失稳)。
9.2 地基的破坏形式
---------塑性区边界方程
2. 地基的临塑荷载
临塑荷载（pcr）：当基础底面以下的地基土中将要出现 而尚未出现塑性变形区时，地基所能承受的最大荷载。 根据塑性区边界方程，先求出塑性区的最大深度zmax , 令dz/dβ0=0 1 p sin
因z
0 (c cot q) sin
普朗德尔是一机械工程师，在1920年研究冲压机床的力学问题时， 得出普朗德尔极限承载力理论。
45

2
a/
pu α Ⅰ
o a
θ
45

2
图中：α =450+φ /2 θ=900 Ⅰ区：朗肯主动区，
1竖直向，破裂面与水 平面成45o＋ / 2
f’
45

2
Ⅲ
Ⅲ
f
c
c/
Ⅱ
Ⅱ
c
将无限长，底面光滑（δ=0）的荷载板 （刚度无穷大）置于无质量的土(＝0)的表 面上（无埋深q=0、d=0)，荷载板下土体处 于塑性平衡状态时，塑性区分成五个区； 仅因为土的内聚力C在滑动面上产生抗力， 与荷载平衡，从而确定极限承载力pu：
临界荷载（p1/3 或p1/4 ）: 当地基土中的塑性变形区发展到某 一阶段，即塑性区达到某一深度，通常为相当于基础宽度的1/3 或1/4时，地基土所能承受的最大荷载.
9.4 地基的极限承载力
极限荷载（pu）:当地基土中的塑性变形区充分发展并形成连 续贯通的滑动面时，地基土所能承受的最大荷载.目前，求解极限 荷载的方法有两种：
(
3 ) tan 2
Nc cot ( Nq 1)
2 Nr K / 2cos 1 Pr tan / 2
KPr—由γ引起的被动土压力系数。
° 25 30 35 40 45 Nγ 11.0 21.8 45.4 125 326 Nq 12.7 22.5 41.4 81.3 173.3 Nc 25.1 37.2 57.7 95.7 172.2
2. 太沙基极限承载力理论— 基础下形成弹性楔体时地基极 限承载力公式 基本假设：均质，条形地基、浅埋基础（d≠0)，地基土有重
力(γ≠0)，不考虑基础两侧土体抗剪强度的影响
与普朗特模型的区别：
（1）底面粗糙，基底与土之间有较大的摩擦力，能阻止基底土 发生剪切位移，基底以下土不会发生破坏，处于弹性平衡状态； （2）地基土有重力(γ≠0)。
/ a α
pu α Ⅰ a
θ
45
q d

2 45
f’
45

2
Ⅲ
/

2
c
Ⅱ o
Ⅱ
Ⅲ
f
c
1
Ⅰ区：弹性压密区
(弹性核)
Ⅱ区：普朗特尔过渡 Ⅲ区：朗肯被动区，
区，边界是对数螺线
水平向，破裂面与水平面 成45o－ / 2
图中：
（基底完全粗糙） 3
4 2
普朗特尔理论中：α =450+φ /2
(c cot q b / 3) p1/ 3 q cNc qNq bN1/ 3 cot / 2
式中N1/4、N1/3—承载力系数，都是ψ的函数。 Nc、Nq同前。
N1/ 4
4(cot / 2)
N1/ 3 3(cot / 2)
1999 年台湾大地震中台中县由于液化引起的楼房倒塌 1999 年台湾大地震中台中县由于液化引起的楼房倒塌
加拿大特朗斯康谷仓地基整体破坏
比萨斜塔-不均匀沉降的典型
始建于1173年，60米 高。 1271年建成平均沉降2 米，最大沉降4米。 倾斜5.5，顶部偏心 2.1米
9.1 概述 地基承载力：地基单位面积上承受荷载的能力。
实践证明：即使基础底面以下的地基土中出现了一定的 塑性变形区，只要没有连成一片，就不致影响建筑物的安全 荷使用。用pcr作为地基承载能力，显得保守。 有人认为基础在中心荷载作用下，有b/4(b—基宽）深度内 出现塑性变形区，也是安全的，于是，令zmax=b/4
p1/ 4
(c cot q b / 4) q cNc qNq bN1/ 4 cot / 2
θ=900
太沙基理论的极限承载力公式—整体剪切破坏 推导过程
上式两边除以基础宽度B，即得地基的极限承载力
即得地基的极限承载力：
1 pu N c c N q q bN 2
式中
1 e Nq 2 cos2 (45 ) 2
Nγ等可以查表得到。
° 0 5 10 15 20 Nγ 0.00 0.51 1.20 1.80 4.00 Nq 1.00 1.64 2.69 4.45 7.42 Nc 5.71 7.32 9.58 12.9 17.6
pu Nc c Nq q
Nq—地基极限承载力系数，是内摩擦角的函数：
Nq exp( tan ) tan2 (450 / 2)
显然有： Nc ( Nq 1) cot
地基极限承载力pu的推求
（1）oa面（即基底面）上的极限 承载力的合力为puB/2，对a点的力 矩为
试验研究表明，在荷载作用下，建筑物地基的破坏通常是由于承载力不足而引 起的剪切破坏。
地基剪切破坏的型式：整体剪切破坏、局部剪切破坏和冲剪破坏。
图9-4 竖直荷载下地基的破坏形式 （a）整体剪切破坏 （b）局部剪切破坏 （c）冲剪破坏 （d）典型p-s曲线
1) 整体剪切破坏
特点：基础严重倾斜（倒塌）， 一侧土体隆起严重。 发生条件：土质较好，如密实砂土、 坚硬的粘土等；基础埋深不大；加荷 速度不快。 整体倒塌:基础下方和侧面土体形成了 连续的滑动面（塑性变形区）。 塑性区（塑性变形区）：产生塑性变形 （破坏）的区域。

p0
cot / 2
1

(c cot q)
显然，塑性区的最大深度zmax，随p0的增加而增加。
若令zmax=0，则指地基中将要出现塑性区，对应的荷载： 即为临塑荷载Pcr (c cot q)
pcr
cot / 2
q cNc qNq
p-s曲线上有两个明显的转折点，地 基内形成连续的滑动面，基础急剧下沉， 基础两侧地面明显隆起。
2）冲剪破坏
特点：沉降过大， 无隆起。 发生条件：土质较差，如 饱和软粘土、松的粉砂等； 基础埋深大；加荷速度快。
也称刺入破坏。 p-s曲线没有 明显的转折点，地基不出现明显连 续滑动面，基础两侧地面不隆起， 而是下陷。
1) 根据极限平衡条件建立微分方程，根据边界条件求出地基整 体达到极限平衡时各点的精确解。由于这一方法只对一些简单的条 件得到了解析解，其它情况则求解困难，故不常用。 2) 假定滑动面法，然后以滑动面所包围的土体作为隔离体，根 据静力平衡条件求解。这种方法概念明确，计算简单，得到广泛应
用。
1. 普朗德尔极限承载力理论
M1 B / 2 pu B / 4 1/ 8 B 2 pu
（2）od面上的主动土压力为
Ea pu tan2 2c tan B / 2 cot
，对a
点的力矩为
M 2 Ea B / 4 cot 1 / 8B 2 Pu 1 / 4B 2c cot
γ—基础底面以下土的重度，地下水位以下取γ’； b—基宽。
p1/ 4
(c cot q b / 4) q cNc qNq bN1/ 4 cot / 2
从上式可以看出界限承载力由3部分组成： cNc—由内聚力引起；qNq —由埋深引起； γbN1/4 —由基宽和土的重度引起，实际是塑性区的重力引起。 如何理解这3部分形成承载力？