您的位置：360文档中心› 新课程标准数学必修1第三章课后习题解答[唐金制]

新课程标准数学必修1第三章课后习题解答[唐金制]

合集下载

人教出版A版高级中学数学必修1课后习题集及其规范标准答案三章全

人教出版A版高级中学数学必修1课后习题集及其规范标准答案三章全

高中数学必修1课后习题答案 第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页） 1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===． （3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-． （4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-； （2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ； 取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ； 取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素； （2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅； （4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+， 即B 是A 的真子集，BA ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==I I ， {3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==U U ． 2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=， 方程210x -=的两根为121,1x x =-=， 得{1,5},{1,1}A B =-=-， 即{1},{1,1,5}A B A B =-=-I U ． 3．解：{|}A B x x =I 是等腰直角三角形，{|}A B x x =U 是等腰三角形或直角三角形．4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð， 则(){2,4}U A B =I ð，()(){6}U U A B =I 痧．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4R 是实数；（5Z3=是个整数； （6）2N ∈ 25=是个自然数．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-； 3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求； （3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求． 4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥； （2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ；2{|10}{1,1}A x x =-==-； （3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}A B x x =≥U ，{|34}A B x x =≤<I ． 7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数， 则{1,2,3}A B =I ，{3,4,5,6}A C =I ，而{1,2,3,4,5,6}B C =U ，{3}B C =I ， 则(){1,2,3,4,5,6}A B C =I U ，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =U I ．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为()A B C =∅I I ．（1）{|}A B x x =U 是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}A C x x =I 是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学． 9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =I 是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð， {|}S A x x =是梯形ð．10．解：{|210}A B x x =<<U ，{|37}A B x x =≤<I ， {|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð， 得(){|2,10}R A B x x x =≤≥U 或ð， (){|3,7}R A B x x x =<≥I 或ð， (){|23,710}R A B x x x =<<≤<I 或ð， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥U 或或ð．B 组1．4 集合B 满足A B A =U ，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集． 2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得DC ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅U I ； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B ==U I ； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==U I ；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅U I ．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U A B =U ，得U B A ⊆ð，即()U UA B B =I 痧，而(){1,3,5,7}U A B =I ð， 得{1,3,5,7}U B =ð，而()U UB B =痧，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=， 同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+， 同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-， 则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >； （2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<， 即22500(050)y x x x =-<<．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．因为3sin 60=o，所以与A 中元素60o 相对应的B 中的元素4．解：3； 是因为2sin 452=o，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45o ． 1．2函数及其表示 习题1．2（第23页）1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠， 得该函数的定义域为{|4}x x ≠； （2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞； （2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，值域是(,0)(0,)-∞+∞U ；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++， 即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++， 即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+， 即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根， 即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=， 即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d ，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得(0)l d ===>，即(0)l d =>．9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24vx t dπ=，显然0x h ≤≤，即240vt h d π≤≤，得204h d t v π≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-U ； （2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应． 2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3xxxf x x xxxx--<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．解：（1）驾驶小船的路程为222x+，步行的路程为12x-，得222125x xt+-=+，(012)x≤≤，即241235x xt+-=+，(012)x≤≤．（2）当4x=时，2441242583()3535t h+-=+=+≈．第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；（2）(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.函数在2．证明：（1）设12x x<<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x-=-=+-，由12120,0x x x x+<-<，得12()()0f x f x->，即12()()f x f x>，所以函数2()1f x x=+在(,0)-∞上是减函数；（2）设12x x<<，而1212211211()()x xf x f xx x x x--=-=，由12120,0x x x x>-<，得12()()0f x f x-<，即12()()f x f x<，所以函数1()1f xx=-在(,0)-∞上是增函数.3．解：当0m>时，一次函数y mx b=+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m<时，一次函数y mx b=+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b=+，设12x x<，而1212()()()f x f x m x x-=-，当0m>时，12()0m x x-<，即12()()f x f x<，得一次函数y mx b=+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m<时，12()0m x x->，即12()()f x f x>，得一次函数y mx b=+在(,)-∞+∞上是减函数.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-， 得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =， 则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-， 因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ． 3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =； 当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭I ，即{(0,0)}A B =I ；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I ，即A C =∅I ；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I ； 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-I U I .6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞U ．7．解：（1）因为1()1xf x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x+=-， 所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x+=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8kx =，函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =， 只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3．解：由(){1,3}U A B =U ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =U ， 集合A B U 里除去()U A B I ð，得集合B ， 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=； (1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++， 121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数； （2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56qp =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-. 练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623ba ab =212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1.(2)a aa 2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m •••=4165413121mm m m m ••=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rt s -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y 21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口.3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=-2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =； （2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z=-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）22211lglg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-.4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞U ; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x = (5) 100.3x = (6) 3xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=- 5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)b x c =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4.8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >. 9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s. 10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43x x -==，于是11044333x x -+=+= 2. ①当1a >时，3log 14a<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB :.4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()log (1)log (1)()()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3xy =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79） 1.函数y =21x是幂函数. 2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x ≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4； （2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =43400＝81400,即v =81400r 4；（3）把r =5代入v =81400r 4,得v =81400×54≈3 086（cm 3/s ）, 即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .第二章 复习参考题A 组（P82）1.（1）11； （2）87； （3）10001； （4）259. 2.（1）原式=))(()()(212121212212122121b a b a b a b a -+++-=b a b b a a b b a a -++++-2121212122=ba b a -+)(2;（2）原式=))(()(1121----+-a a a a a a =aa a a 11+-=1122+-a a .3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =32lg 210lg2•=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=ba a +-21. （2）因为2log 3a =，3log 7b =37147log 27log 56log 27⨯=⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b ab a ÷++÷111)1(3=13++ab ab . 4.（1）（-∞,21）∪（21,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（32,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76.（2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8. 7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）.（2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y . 又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.8.证明:因为f （x ）=lgxx+-11,a 、b ∈（-1,1）, 所以f （a ）+f （b ）=lgbb a a +-++-11lg11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--, f （ab b a ++1）=lg （ab b a ab ba +++++-1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--. 所以f （a ）+f （b ）=f （abba ++1）.9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以022192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≈==.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,即所求函数解析式为y =192×0.93x . （2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,22）, 所以22=2α,即221-=2α.所以α=21-.所以f （x ）=x 21-（x >0）.图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B 组1.A2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以a 1+b 1=10log 12+10log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1.3.（1）f （x ）=a 122+-x 在x ∈（-∞,+∞）上是增函数. 证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -1221+x =)12)(12()22(21221++-x x x x . 因为x 1,x 2∈（-∞,+∞）, 所以.012.01212>+>+x x又因为x 1<x 2, 所以2122x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.所以函数f （x ）=a 122+-x在（-∞,+∞）上是增函数. （2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,即a 121+--x +a 122+-x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +121+x =1, 即存在实数a =1使f （x ）=121+--x 为奇函数.4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］=)22)(22(xx x x x x x x e e e e e e e e -----++++ =e x ·e -x =e x -x =e 0=1, 即原式得证.（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2x x e e -+=222xx e e --.所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以g （2x ）=222x x e e -+,［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2x x e e -+）2+（2x x e e --）2=4222222x x x x e e e e --+-+++=222xx e e -+.所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃. 6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,解得k =51-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51(.所以,当t =10时,P=P 0e 9.01051n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.答:10小时后还剩81%的污染物. (2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0et )9.0ln 51(,解得t =9.0ln 515.0ln ≈33.答:污染减少50%需要花大约33h . (3)其图象大致如下:图2-3新课程标准数学必修1第三章课后习题解答第三章 函数的应用 3．1函数与方程 练习（P88）1.(1)令f (x )=-x 2+3x +5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(1))，它与x 轴有两个交点，所以方程-x 2+3x +5=0有两个不相等的实数根.(2)2x (x -2)=-3可化为2x 2-4x +3=0，令f (x )=2x 2-4x +3,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(2))，它与x 轴没有交点，所以方程2x (x -2)=-3无实数根. (3)x 2=4x -4可化为x 2-4x +4=0,令f (x )=x 2-4x +4,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(3))， 它与x 轴只有一个交点(相切)，所以方程x 2=4x -4有两个相等的实数根. (4)5x 2+2x =3x 2+5可化为2x 2+2x -5=0,令f (x )=2x 2+2x -5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(4))， 它与x 轴有两个交点，所以方程5x 2+2x =3x 2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8练习（P91）。

新版高一数学必修第一册第三章全部配套练习题(含答案和解析)

新版高一数学必修第一册第三章全部配套练习题(含答案和解析)

新版高一数学必修第一册第三章全部配套练习题（含答案和解析）3.1.1 函数的概念基 础 练巩固新知 夯实基础1．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了2．若函数y ＝f (x )的定义域M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1,2)D ．[1，＋∞)4．已知函数f (x )的定义域为[－1,2)，则函数f (x －1)的定义域为( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,3)D ．[－2,1)5．函数y ＝5x ＋4x －1的值域是( )A ．(－∞，5)B ．(5，＋∞)C ．(－∞，5)∪(5，＋∞)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞) 6．函数y ＝x ＋1的值域为( )A ．[－1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，－1]7．已知函数f (x )＝x ＋1x，则f (2)＋f (－2)的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 8．下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2x D ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋39．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1x ＋1； (2)y ＝x 2－1＋1－x 2； (3)y ＝2x ＋3； (4)y ＝x ＋1x 2－1.10．求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1，x ∪{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∪[1,5)； (3)y ＝3－5x x －2； (4)y ＝x －x ＋1.能 力 练综合应用 核心素养11．已知等腰∪ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，此函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫52<x <5 12．函数f (x )＝1x 2＋1(x ∪R )的值域是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]13．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上 14．函数y ＝3－2x －x 2＋14－x 2的定义域为____________________(用区间表示)．15．函数y ＝1x －2的定义域是A ，函数y ＝x 2＋2x －3的值域是B ，则A ∩B ＝________________(用区间表示)．16．若函数f (2x －1)的定义域为[0,1)，则函数f (1－3x )的定义域为________． 17．若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________． 18．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值． (2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值．(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019的值．19．已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域是R ，求实数m 的取值范围．20.已知函数f (x )＝3－x ＋1x ＋2的定义域为集合A ，B ＝{x |x <a }． (1)求集合A ；(2)若A ∪B ，求a 的取值范围；(3)若全集U ＝{x |x ≤4}，a ＝－1，求∪U A 及A ∩(∪U B )．【参考答案】1. C 解析 根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∪A ，可以是x →x ，x ∪A ，还可以是x →x 2，x ∪A .2. B 解析 A 中定义域是{x |－2≤x ≤0}，不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，C 中图象不表示函数关系，D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}．3. A 解析 由题意知，要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0即x ≥1且x ≠2.4. C 解析 ∪f (x )的定义域为[－1,2)，∪－1≤x －1<2，得0≤x <3，∪f (x －1)的定义域为[0,3)．5. C 解析 ∪y ＝5x ＋4x －1＝5(x －1)＋9x －1＝5＋9x －1，且9x －1≠0，∪y ≠5，即函数的值域为(－∞，5)∪(5，＋∞)．6. B 解析 由于x ＋1≥0，所以函数y ＝x ＋1的值域为[0，＋∞)．7. B 解析 f (2)＋f (－2)＝2＋12－2－12＝0.8. B 解析 A 、C 、D 的定义域均不同．9. 解 (1)要使函数有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2≥1，x 2≤1.所以x 2＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝±1}＝{1，－1}． (3)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∪R }．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以原函数的定义域是{x |x ≠±1，x ∪R }．10. 解 (1)∪x ∪{1,2,3,4,5}，∪(2x ＋1)∪{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. ∪x ∪[1,5)，∪其图象如图所示， 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝5时，y ＝11. ∪所求函数的值域为[2,11)．(3)函数的定义域为{x |x ≠1}，y ＝3－5x x －2＝－5(x －2)＋7x －2＝－5－7x －2，所以函数的值域为{y |y ≠－5}．(4)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域为{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是y ＝t 2－1－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－54，又t ≥0，故y ≥－54，所以函数的值域为{y |y ≥－54}． 11. D 解析 ∪ABC 的底边长显然大于0，即y ＝10－2x >0，∪x <5，又两边之和大于第三边，∪2x >10－2x ，x >52，∪此函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫52<x <5.12. B 解析 由于x ∪R ，所以x 2＋1≥1,0<1x 2＋1≤1，即0<y ≤1.13. C 解析 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点．14. [－1,2)∪(2,3] 解析 使根式3－2x －x 2有意义的实数x 的集合是{x |3－2x －x 2≥0}即{x |(3－x )(x ＋1)≥0}＝{x |－1≤x ≤3}，使分式14－x 2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠±2}，所以函数y ＝3－2x －x 2＋14－x 2的定义域是{x |－1≤x ≤3}∩{x |x ≠±2}＝{x |－1≤x ≤3，且x ≠2}．15. [0,2)∪(2，＋∞) 解析 要使函数式y ＝1x －2有意义，只需x ≠2，即A ＝{x |x ≠2}；函数y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4≥0，即B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝{x |0≤x <2或x >2}．16. ⎝⎛⎦⎤0，23 解 因为f (2x －1)的定义域为[0,1)，即0≤x <1，所以－1≤2x －1<1.所以f (x )的定义域为[－1,1)．所以－1≤1－3x <1，解得0<x ≤23.所以f (1－3x )的定义域为⎝⎛⎦⎤0，23. 17. [3，＋∞) 解析 函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的值域要包括0，即最小值要小于等于0.则{ a >0，Δ＝4a 2－12a ≥0，解得a ≥3.所以a 的取值范围是[3，＋∞)．18. 解 (1)因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝1. 所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝2018. 19. 解 ∪当m ＝0时，y ＝8，其定义域是R .∪当m ≠0时，由定义域为R 可知，mx 2－6mx ＋m ＋8≥0对一切实数x 均成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－6m )2－4m (m ＋8)≤0，解得0<m ≤1.由∪∪可知，m ∪[0,1]． 20. 解 (1)使3－x 有意义的实数x 的集合是{x |x ≤3}，使1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x >－2}． 所以，这个函数的定义域是{x |x ≤3}∩{x |x >－2}＝{x |－2<x ≤3}．即A ＝{x |－2<x ≤3}． (2)因为A ＝{x |－2<x ≤3}，B ＝{x |x <a }且A ∪B ，所以a >3.(3)因为U ＝{x |x ≤4}，A ＝{x |－2<x ≤3}，所以∪U A ＝(－∞，－2]∪(3,4]． 因为a ＝－1，所以B ＝{x |x <－1}，所以∪U B ＝[－1,4]，所以A ∩∪U B ＝[－1,3]．3.1.2 函数的表示法基 础 练巩固新知 夯实基础1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )2．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( )A ．3x ＋2B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －33.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∪[－1，0]，x 2＋1，x ∪0，1]，则函数f (x )的图象是( )4.已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f [g (2)]的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 5.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A.RB.[0，＋∞)C.[0,3]D.{x |0≤x ≤2或x ＝3} 6.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，1，x ＝0，－1，x <0，则f (f (0))等于( )A.1B.0C.2D.－17．已知f (2x ＋1)＝3x －2且f (a )＝4，则a 的值为________．8．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．9．已知二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∪R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．10 (1)已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式．能 力 练综合应用 核心素养11．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 12．已知x ≠0时，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1x (x ≠0) B ．f (x )＝x 2＋2(x ≠0)C ．f (x )＝x 2(x ≠0)D ．f (x )＝(x －1x)2(x ≠0)13.已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是( )A.－2或2B.2或－52C.－2D.2或－2或－5214.若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( )A ．3x ＋2B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －3 15．已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2＋2x ＋1B ．f (x )＝x 2－2x ＋1C ．f (x )＝x 2＋2x －1D ．f (x )＝x 2－2x －116.已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f f n ＋5，n <10，则f (8)＝________.17．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________．18. 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2).(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域.19．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．【参考答案】1. C 解析 先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.2. B 解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，∪2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∪⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∪⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∪f (x )＝3x －2. 3. A 解析 当x ＝－1时，y ＝0，排除D ；当x ＝0时，y ＝1，排除C ；当x ＝1时，y ＝2，排除B. 4. B 解析 由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，则f [g (2)]＝f (1)＝2.5. D 解析 当0≤x ≤1时，f (x )∪[0,2]，当1<x <2时，f (x )＝2，当x ≥2时，f (x )＝3， ∪值域是{x |0≤x ≤2或x ＝3}.6. C7. 5 解析 ∪f (2x ＋1)＝3x －2＝32(2x ＋1)－72，∪f (x )＝32x －72，∪f (a )＝4，即32a －72＝4，∪a ＝5.8. 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∪f (x )＝2x ＋7. 9. 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∪f (0)＝c ＝0，∪f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ， f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.∪⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1. ∪⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∪f (x )＝12x 2＋12x .10. 解 (1)∪f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－2，且x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2,∪f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．(2)∪2f (x )＋f (1x )＝3x ，∪把∪中的x 换成1x ，得2f (1x )＋f (x )＝3x .∪, ∪×2－∪得3f (x )＝6x －3x ，∪f (x )＝2x －1x (x ≠0)．(3)以－x 代x 得：f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得：f (x )＝13x 2－2x .11. B 解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则有f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，故选B. 12. B 解析 ∪f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∪f (x )＝x 2＋2(x ≠0)．13. C14. B 解析 设f (x )＝ax ＋b ，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧ 2(2a ＋b )－3(a ＋b )＝5，2(0·a ＋b )－(－a ＋b )＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B.15. A 解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∪f (t )＝f (x －1)＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1，∪f (x )＝x 2＋2x ＋1.16. 7 解析 因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))，即f (8)＝f (f (13))；因为13>10，所以代入f (n )＝n －3，得f (13)＝10，故得f (8)＝f (10)＝10－3＝7.17. f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0) 解析 ∪f (x )＝2f (1x )＋x ，∪∪将x 换成1x ，得f (1x )＝2f (x )＋1x .∪由∪∪消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x3，即f (x )＝－x 2＋23x(x ≠0)．18.解 (1)∪当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x 2＝1；∪当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示.(3)由函数f (x )的图象知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3).19 .解 因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)． 又f (0)＝1，∪f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.3.2.1 第1课时 函数的单调性基 础 练巩固新知 夯实基础1．函数f (x )的定义域为(a ，b )，且对其内任意实数x 1，x 2均有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0，则f (x )在(a ，b )上( ) A ．增函数B ．减函数C ．不增不减函数D ．既增又减函数2．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性3．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，那么对于任意的x 1，x 2∪[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( ) A.f x 1－f x 2x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．若x 1<x 2，则f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f x 1－f x 2>0 4．对于函数y ＝f (x )，在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( )A ．一定是增函数B ．一定是减函数C ．可能是常数函数D ．单调性不能确定5．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)26．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( )A ．f (－1)<f (1)<f (2)B ．f (1)<f (2)<f (－1)C ．f (2)<f (－1)<f (1)D ．f (1)<f (－1)<f (2)7．若函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∪[－2，＋∞)时是增函数，当x ∪(－∞，－2)时是减函数，则f (1)＝________.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是 。

新课程标准数学选修2-1第三章课后习题解答[唐金制]

新课程标准数学选修2-1第三章课后习题解答[唐金制]

新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+- ，BD AB AD AA ''=-+ ，DB AA AB AD ''=--.练习（P89）1、（1）AD； （2）A G ； （3）MG .2、（1）1x =； （2）12x y ==； （3）12x y ==.3练习（P92） 1、B .2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++2222222()4352(0107.5)85ABADAA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++=所以AC '=3、解：因为A C α⊥所以A C B D ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥.所以0AC BD ⋅= ，0AC AB ⋅= ，又知0BD AB ⋅=.2C D C DC D =⋅222222()()C A A B B D C A A B B D C A A B B D a b c=++⋅++=++=++所以CD =.练习（P94）1、向量c 与a b + ，a b - 一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b + ，a b -共面，于是c 与a ，b共面，这与已知矛盾. 2、共面2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；BA BA BB OC OO c b '''=+=-+=-CA CA AA OA OC OO a b c '''=+=-+=-+（2）1111()2222O G O C C G O C C B b a c a b c '=+=+=++=++.练习（P97）1、（1）(2,7,4)-； （2）(10,1,16)-； （3）(18,12,30)-； （4）2.2、略.3、解：分别以1,,D A D C D D 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C所以，1(1,1,1)DB = ，1(1,,0)2C M =- .所以，111110cos ,15D B C M D B C M D B C M-+⋅<>===⋅ . 习题3.1 A 组（P97）1、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+= ；（3）设点M 是线段C C '的中点，则12A B A D C C A C C M A M '++=+=； （4）设点G 是线段A C '的三等分点，则11()33A B A D A A A C A G ''++==.向量,,,A C A C A M A G '如图所示. 2、A .3、解：22()AC AB AD AA ''=++2222222()15372(53573722298ABADAA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos 602A B A C A B A C a ⋅=⋅︒= ；（第1题）（2）21cos1202A D DB A D D B a ⋅=⋅︒=- ；（3）21cos1802G F A C G F A C a ⋅=⋅︒=- 11()22G F A C a == ；（4）21cos 604E F B C E F B C a ⋅=⋅︒= 11()22E F B D a == ；（5）21cos1204F G B A F G B A a ⋅=⋅︒=- 11()22F G A C a == ；（6）11()22G E G F G C C B B A C A ⋅=++⋅2111()222111424111cos120cos 60cos 6042414D C C B BA C A D C C A C B C A BA C A D C C A C B C A BA C A a=++⋅=⋅+⋅+⋅=⋅︒+⋅︒+⋅︒=5、（1）60︒； （2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9； （2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅= ，即8230x --+=，解得103x =.9、解：(5,1,10)A B =-- ，(5,1,10)BA =-设A B 的中点为M ，119()(,,2)222O M O A O B =+=-， 所以，点M 的坐标为19(,,2)22-，A B ==10、解：以1,,D A D C D D 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N .1(1,1,)2C M =- ，11(1,1,)2D N =-所以32C M ==，132D N ==111114cos ,994C MD N --<>==-由于异面直线C M 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，C M 和1D N 所成的角的余弦值为19.11、31(,,3)22-习题3.1 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥ ，OB AC ⊥∴ 0OA BC ⋅= ，0OB AC ⋅= ，所以()0O A O C O B ⋅-= ，()0O B O C O A ⋅-=. ∴ OA OC OA OB ⋅=⋅ ，OB OC OB OA ⋅=⋅ .∴ 0OA OC OB OC ⋅-⋅= ，()0O A O B O C -⋅=，0BA OC ⋅= .∴ O C AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴ 12E F A B = ，12H G A B =，所以EF HG =∴四边形E F G H 是平行四边形.1122EF EH AB O C ⋅=⋅ 11()()44O B O A O C O B O C O A O C =-⋅=⋅-⋅∵ O A O B =，C A C B =（已知），O C O C =.∴ B O C ∆≌A O C ∆（SSS ） ∴ B O C A O C ∠=∠∴ OB OC OA OC ⋅=⋅ ∴ 0EF EH ⋅=∴ EF EH ⊥∴ 平行四边形□E F G H 是矩形.3、已知：如图，直线O A ⊥平面α，直线B D ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：O A ∥B D证明：以点O 为原点，以射线O A 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵ B D α⊥.∴ BD i ⊥ ，BD j ⊥.∴ (,,)(1,0,0)0B D i x y z x ⋅=⋅== ，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==.（第3题）∴ (0,0,)BD z =.∴ BD z k = .∴ BD∥k ，又知,O B 为两个不同的点.∴ B D ∥O A .3．2立体几何中的向量方法 练习（P104）1、（1）3b a = ，1l ∥2l ； （2）0a b ⋅= ，1l ⊥2l ； （3）3b a =-，1l ∥2l . 2、（1）0u v ⋅= ，αβ⊥； （2）2v u =- ，α∥β；（3）u v u v⋅=-α与β相交，交角的余弦等于.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =- ，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-= ，所以1D F AD ⊥.因为1111()()00022D F AE DF D D B E B A ⋅=-⋅-=+-+= ，所以1D F AE ⊥ .因此1D F ⊥平面A D E .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++222222361664268cos(18060)68C A AB BD C A AB C A BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯︒-︒=∴CD =练习（P111）1、证明：1()()2M N A B M B B C C N A B M B B C C D A B ⋅=++⋅=++⋅222211()22111cos120cos 60cos 600222M B BC AD AC ABa a a a =++-⋅=+︒+︒-︒=∴ M N AB ⊥. 同理可证M N C D ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=-- ，所以AA d '==3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O .∵ 11(,1,)(1,0,1)022D O BC '⋅=---⋅-= ∴D O B C '⊥习题3.2 A 组（P111）1、解：设正方形的棱长为1（1）1()()2M N C D M B B N C C C D ''''''⋅=+⋅+=，12M N C D '⋅=⋅=112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2M N A D M B B N A D ''⋅=+⋅=，122M N AD ⋅==1cos 22θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1D B AC ⊥. 因为111111()000DB AD DA A B AD ⋅=+⋅=+=，所以11D B AD ⊥.因此，1D B ⊥平面1A C D .3、证明：∵()cos cos 0O A BC O C O B O A O C O A O B O A θθ⋅=-⋅=-=，∴O A B C ⊥.4、证明：（1）因为11()000A C LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1A C LE ⊥.因为11()000A C EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1A C EF ⊥.因此，1A C ⊥平面E F G H LK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1A C DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，2113A C D B ⋅==所以 1cos 3θ=-.因此1D B 与平面E F G H LK 的所成角α的余弦cos 3α=.5、解：（1）222211111()()22222D E D E D E D E D A A B A C A B O A A C A B ==⋅=++-=++11(111111)42=++-+-=所以，2D E =（2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，2AE AO ⋅=1cos 32θ===，sin 3θ=点O 到平面ABC的距离sin 133O H O A θ==⨯=6、解：（1）设1AB =，作A O B C ⊥于点O ，连接D O .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向， 建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O，0,0)2D ，1(0,,0)2B ，3(0,,0)2C，(0,2A .∴3(0,0)(2224D O D A ⋅=⋅-=，4D O D A ⋅=，cos 2θ=.∴ A D 与平面BC D 所成角等于45︒.（2）(0,1,0)(0,022BC D A ⋅=⋅-=. 所以，A D 与B C 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，则1(,,1)(,,1)(0,,022x y AB x y ⋅=⋅-= ，(,,1)(,,1)0,022x y AD x y ⋅=⋅-= .解得 1x =，y =显然(0,0,1)为平面BC D 的法向量.(0,0,1)1⋅=，cos 5θ==.因此，二面角A B D C --的余弦cos cos()5απθ=-=-7、解：设点B 的坐标为(,,)x y z ，则(1,2,)AB x y z =-+.因为AB∥α，所以123412x y z -+==-.因为226AB α==，所以26=.解得5x =-，6y =，24z =，或7x =，10y =-，24z =-.8、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(,,0)A a a -，(,,0)B a a ，(,,0)C a a -，(,,0)D a a --，(0,0,)V h ，(,,)222a a h E -. （1）222233(,,)(,,)6222222cos ,10a a h a a h h a BE D E h a BE D E--⋅-<>==+. （2）223(,,)(,,)02222a a h h VC BE a a h a ⋅=--⋅--=-= ，222h a =222222641cos ,10123h a a BE DE h a a --<>===-+ 9、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，111(,,)222O -， 1(0,0,1)A ，1(1,0,1)D -，1(0,0,)2M .因为10OM AA ⋅= ，10OM BD ⋅=，所以1O M AA ⊥，1O M BD ⊥，2O M ==.10、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,7,0)B ，(0,0,24)C ，(,,)D x y z .因为(,7,)(0,7,0)0BD AB x y z ⋅=-⋅=，所以7y =.由24BD ==，25CD ==解得12z =，x =1cos 2BD AC BD ACθ⋅==⋅ ，60θ=︒因此，线段B D 与平面α所成的角等于9030θ︒-=︒.11、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,4)O '，(4,0,4)A '，(0,3,4)B '，3(2,,4)2D ，(0,3,)P z .由3(0,3,)(2,,4)02O P B D z ⋅=⋅-= ，解得98z =. 所以，938tan 38PB O B θ===.12、解：不妨设这条线段M N 长为2，则点M 到二面角的棱的距离1M P =，点N 到二面角的棱的距离1NQ =，Q M PN ==，PQ =2cos 2PQ M N PQ M Nθ⋅====⋅ 45θ=︒. 习题3.2 B 组（P113） 1、解：12222A B C S ∆=⨯⨯=，()4502AD BE AB BD BE ⋅=+⋅=︒+=，AD BE θ⋅==，AD =，4BD ==.184233A B C D V =⨯⨯=2、解：（1）以点B 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,0,1)C ，(1,1,0)F，(,0,1)22M a -，,,0)22N a a .2221)122M Na =-=-+，M N =（2）2211(22a a -+=-+，当2a =时，M N 的长最小.（3）当2a =时，M N 的中点为111(,,)244G ，所求二面角的余弦值1cos 3G A G B G A G Bθ⋅==-⋅.3、证明：设A E B F b ==. 以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，(0,,0)A a ， (,,0)B a a -，(,0,0)C a -，(0,0,)O a '，(0,,)A a a '，(,,)B a a a '-，(,0,)C a a '-，(,,0)E b a -，(,,0)F a a b --.（1）(,,)(,,)0A F C E a b a a b a a ''⋅=---⋅--=，A F C E ''⊥.（2）221111()[()]2242B E F S b a b a a b ∆=-=--，当2a b =时，BEF S ∆最大，三棱锥体积最大. 此时，E F 的中点G 与点B的连线4BG =，tan B B B Gθ'==.第三章 复习参考题A 组（P117）1、B .2、（1）111222A P a b c =++ ； （2）1122A M a b c =++；（3）12A N a b c =++ ； （4）114555A Q a b c =++.3、证明：因为1116()()302A MB A A B BC C M B A A A A B B A C M A A ⋅=++⋅+=⋅+⋅=-+=所以1AM BA ⊥4、解：（1）以点C 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)C ，(,0,0)A a，1(,,0)22B a ，1(,2)A a a，1(0,)C .（2）点1C 在侧面11ABB A内的射影为点23(,)44C a a ，1212cos 2A C A C A C A C θ⋅==⋅，30θ=︒. 5、解：（1）1cos 2AB AC AB ACθ⋅==⋅，60θ=︒，sin S AB AC θ=⋅=.（2）设a的坐标为(,,)x y z ，则(,,)(2,1,3)0x y z ⋅--=，(,,)(1,3,2)0x y z ⋅-=解得(1,1,1)a = ，或(1,1,1)a =---6、解：cos 42O A O C m n O A O C π⋅+===⋅，2m n +=；cos 42O B O C O B O Cπ⋅===⋅2n p += 22221m n n p +=+=，解得4n =22cos 4O A O BAO B O A O B⋅±∠===⋅.7、D . 8、C .9、解：以点C 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)C ，(1,0,0)A，1(,0)22B ，1(0,0,2)C，11(2)22B，1(0)44M ，(0,0,)N z . 10AB M N ⋅= ，得18z =.∴点N 坐标为1(0,0,)8，即点N 在1C C 上，18C N =.10、（1）证明：因为()0EF C F ED D F C F ED C F D F C F ⋅=+⋅=⋅+⋅=，所以E F C F ⊥.（2）解：因为1()()4E F C G E D D F C B B G ⋅=+⋅+=，cos 15E F C G E F C Gθ⋅==⋅所以，E F 与C G所成角的余弦值为15.（3）解：2C E ==.11、解：以点C 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)C ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，1(1,0,2)A ，1(0,1,2)B ，1(0,0,2)C ，11(,,2)22M ，(1,0,1)N .（1）BN ==（2）111111cos ,10B A C B B A C B B A C B ⋅<>==⋅. （3）因为1111(1,1,2)(,,0)022A B C M ⋅=--⋅= ，所以11A B C M ⊥.12、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O，0,0)2A，(0,0)2B ，(0,0)2C -，44E，(0)44F -.118cos 11222O E O F O E O F θ-⋅===-⋅⨯ ，120E O F ∠=︒. 13、证明：（1）因为11()22F E B A B C C A =-= ，11()22H G D A D C C A =-=所以FE HG =. 因此,,,E F G H 四点共面.（2）因为B D 在平面E F G H 之外，B D ∥E H ，所以B D ∥平面E F G H .（3）11111()[()()]()22224O M O E O G O A O B O C O D O A O B O C O D =+=+++=+++.第三章 复习参考题B 组（P119）1、解：（1）AC '===（2）设BD '与A C 的夹角为θ，则cos 42BD ACa bBD ACθ'⋅===-=-+'⋅ .由于BD '与A C 所成的角的范围为[0,]2π，因此直线BD '与A C夹角的余弦值为42a b+.2、（1）证明：因为11()()0A C AE A B BC AE BC AE BC AB BE ⋅=+⋅=⋅=⋅+=所以1A C AE ⊥；因为11()()0A C AF A D DC AF DC AF BC AD DF ⋅=+⋅=⋅=⋅+=所以1A C AF ⊥， 因此，1A C ⊥平面AEF .（2）解：以点1A 为原点建立坐标系，得下列坐标：1(0,0,0)A ，1(4,0,0)B ，1(4,3,0)C ， 1(0,3,0)D ，(0,0,5)A -，(4,0,5)B -，(4,3,5)C -，(0,3,5)D -.设平面11D B BD 的法向量为(,,0)a x y =，则110a B D ⋅= ，得43x y =.令3,4x y ==，则(3,4,0)a = ， 所以11cos 25a A C a A Cθ⋅==⋅3、解：（1）14V =.（2）以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，1(,0,0)2D ，(0,0,1)S设平面SD C 的法向量为(,,1)a x y =，则0a SC ⋅= ，0a SD ⋅= ，得2,1x y ==-.因此(2,1,1)a =- .cos 3a A D a A Dθ⋅==⋅ .。

高中数学必修一第3章3.2.2课时练习及详解

高中数学必修一第3章3.2.2课时练习及详解

高中数学必修一课时练习1．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系，则可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．2．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：x 1 2 3… y 1 3 8 …则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝x 2－1C ．y ＝2x －1D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋2解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.3．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( )A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①②解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确．4．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x 2时面积最大，此时x ＝________，面积S ＝________.解析：依题意得：S ＝(4＋x )(3－x 2)＝－12x 2＋x ＋12 ＝－12(x －1)2＋1212，∴当x ＝1时，S max ＝1212. 答案：1 12121．今有一组数据，如表所示：x 1 2 3 4 5y 3 5 6.99 9.01 11( )A ．指数函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．二次函数解析：选C.画出散点图，结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )A ．14400亩B ．172800亩C ．17280亩D ．20736亩解析：选C.y ＝10000×(1＋20%)3＝17280.3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是( )A ．增加7.84%B ．减少7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减解析：选B.设该商品原价为a ，四年后价格为a (1＋0.2)2·(1－0.2)2＝0.9216a .所以(1－0.9216)a ＝0.0784a ＝7.84%a ，即比原来减少了7.84%.4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )A ．y ＝0.3x ＋800(0≤x ≤2000)B ．y ＝0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)C ．y ＝－0.3x ＋800(0≤x ≤2000)D ．y ＝－0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)解析：选D.由题意知，变速车存车数为(2000－x )辆次，则总收入y ＝0.5x ＋(2000－x )×0.8＝0.5x ＋1600－0.8x ＝－0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)．5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )解析：选C.设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方．故选C.6．小蜥蜴体长15 cm ，体重15 g ，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm 时，它的体重大约是( )A ．20 gB ．25 gC ．35 gD ．40 g解析：选C.假设小蜥蜴从15 cm 长到20 cm ，体形是相似的．这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比．记体长为20 cm 的蜥蜴的体重为W 20，因此有W 20＝W 15·203153≈35.6(g)，合理的答案为35 g ．故选C. 7．现测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1；乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．答案：甲8．一根弹簧，挂重100 N 的重物时，伸长20 cm ，当挂重150 N 的重物时，弹簧伸长________．解析：由10020＝150x，得x ＝30. 答案：30 cm9．某工厂8年来某产品年产量y 与时间t 年的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变．以上说法中正确的是________．解析：观察图中单位时间内产品产量y 变化量快慢可知①④.答案：①④10.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可近似看作一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，函数图象如图所示．(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S 元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？解：(1)由图象知，当x ＝600时，y ＝400；当x ＝700时，y ＝300，代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 400＝600k ＋b ，300＝700k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1000.所以，y ＝－x ＋1000(500≤x ≤800)．(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy ，成本总价＝成本单价×销售量＝500y ，代入求毛利润的公式，得S ＝xy －500y ＝x (－x ＋1000)－500(－x ＋1000)＝－x 2＋1500x －500000＝－(x －750)2＋62500(500≤x ≤800)．所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·(12)t h ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？解：由题意知40－24＝(88－24)·(12)20h ， 即14＝(12)20h . 解之，得h ＝10.故T －24＝(88－24)·(12)t 10. 当T ＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·(12)t 10， 即(12)t 10＝1164. 两边取对数，用计算器求得t ≈25.因此，约需要25 min ，可降温到35 ℃.12．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x 年后，该地区的廉价住房为y 万平方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域．(2)作出函数y ＝f (x )的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？解：(1)经过1年后，廉价住房面积为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后为200(1＋5%)2；…经过x 年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x ，∴y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *)．(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象，如图所示．作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值．因为8<x0<9，则取x0＝9，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。

新课程标准数学必修1第一章课后习题解答[唐金制]

新课程标准数学必修1第一章课后习题解答[唐金制]

新课程标准数学必修1第一章课后习题解答第一章 集合与函数概念1．1集合练习（P5）1.(1)中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A.(2)∵A={x |x 2=x }={0，1}，∴-1∉A. (3)∵B={x |x 2+x -6=0}={-3，2}，∴3∉A.(4)∵C={x ∈N|1≤x ≤10}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∴8∈C ，9.1∉C.2.(1){x |x 2=9}或{-3，3}; (2){2，3，5，7};(3){(x ，y )|⎩⎨⎧+=+=6-2x y 3x y }或{(1，4)};(4){x ∈R |4x -5<3}或{x |x <2}. 练习（P7）1.∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }.2.(1)a ∈{a ，b ，c }. (2)∵x 2=0，∴x =0.∴{x |x 2=0}={0}.∴0∈{0}.(3)∵x 2+1=0，∴x 2=-1.又∵x ∈R ，∴方程x 2=-1无解.∴{x ∈R |x 2+1=0}=∅.∴∅=∅. (4). (5)∵x 2=x ，∴x =0或x =1.∴{x |x 2=x }={0，1}.∴{0}{0，1}.(6)∵x 2-3x +2=0，∴x =1或x =2.∴{x |x 2-3x +2=0}={1，2}.∴{2，1}={1，2}.3.(1)由于1是任何正整数的公约数，任何正整数都是自身的公约数，所以8的公约数是1，2，4，8，即B={1，2，4，8}.∴AB.(2)显然B ⊆A ，又∵3∈A ，且3∉B ，∴B A. (3)4与10的最小公倍数是20，4与10的公倍数应是20的倍数，显然A=B.练习（P11）1.A∩B={5，8}，A ∪B={3，5，6，7，8}.2.∵x 2-4x -5=0，∴x =-1或x =5.∴A={x |x 2-4x -5=0}={-1，5}，同理，B={-1，1}.∴A ∪B={-1，5}∪{-1，1}={-1，1，5}，A∩B={-1，5}∩{-1，1}={-1}.3.A∩B={x |x 是等腰直角三角形}，A ∪B={x |x 是等腰三角形或直角三角形}.4.∵B={2，4，6}，A={1，3，6，7}，∴A∩(B)={2，4，5}∩{2，4，6}={2，4}， (A)∩(B)={1，3，6，7}∩{2，4，6}={6}.习题1.1 A 组（P11）1.(1)∈ (2)∈ (3)∉ (4)∈ (5)∈ (6)∈2.(1)∈ (2)∉ (3)∈3.(1){2，3，4，5}; (2){-2，1};(3){0，1，2}.(3)∵-3<2x -1≤3，∴-2<2x ≤4.∴-1<x ≤2.又∵x ∈Z ，∴x =0，1，2.∴B={x ∈Z |-3<2x -1≤3}={0，1，2}.4.(1){y |y ≥-4}; (2){x |x ≠0}; (3){x |x ≥54}. 5.(1)∵A={x |2x -3<3x }={x |x >-3}，B={x |x ≥2}，∴-4∉B ，-3∉A ，{2}B ，B A.(2)∵A={x |x 2-1=0}={-1，1}，∴1∈A ，{-1}A ，∅A ，{1，-1}=A. (3);. 6.∵B={x |3x -7≥8-2x }={x |x ≥3}，∴A ∪B={x |2≤x <4}∪{x |x ≥3}={x |x ≥2}，A∩B={x |2≤x <4}∩{x |x ≥3}={x |3≤x <4}.7.依题意，可知A={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以A∩B={1，2，3，4，5，6，7，8}∩{1，2，3}={1，2，3}=B ，A∩C={1，2，3，4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}={3，4，5，6}=C.又∵B ∪C={1，2，3}∪{3，4，5，6}={1，2，3，4，5，6}.∴A∩(B ∪C)={1，2，3，4，5，6，7，8}∩{1，2，3，4，5，6}={1，2，3，4，5，6}.又∵B∩C={1，2，3}∩{3，4，5，6}={3}，∴A ∪(B∩C)={1，2，3，4，5，6，7，8}∪{3}={1，2，3，4，5，6，7，8}=A.8.(1)A ∪B={x |x 是参加一百米跑的同学或参加二百米跑的同学}.(2)A∩C={x |x 是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}.9.B∩C={x |x 是正方形}， B={x |x 是邻边不相等的平行四边形}，A={x |x 是梯形}.10.∵A ∪B={x |3≤x <7}∪{x |2<x <10}={x |2<x <10}，∴(A ∪B)={x |x ≤2或x ≥10}.又∵A∩B={x |3≤x <7}∩{x |2<x <10}={x |3≤x <7}，∴(A∩B)={x |x <3或x ≥7}. (A)∩B={x |x <3或x ≥7}∩{x |2<x <10}={x |2<x <3或7≤x <10}，A ∪(B)={x |3≤x <7}∪{x |x ≤2或x ≥10}={x |x ≤2或3≤x <7或x ≥10}.习题1.2 A 组（P24）1.∵A={1，2}，A ∪B={1，2}，∴B ⊆A ，∴B=∅，{1}，{2}，{1，2}.2.集合D={(x ，y )|2x -y =1}∩{(x ，y )|x +4y =5}表示直线2x -y =1与直线x +4y =5的交点坐标;由于D={(x ，y )|⎩⎨⎧=+=54y x 1y -2x }={(1，1)}，所以点(1，1)在直线y =x 上，即D C. 3.B={1，4}，当a =3时，A={3}，则A ∪B={1，3，4}，A∩B=∅;当a ≠3时，A={3，a }，若a =1，则A ∪B={1，3，4}，A∩B={1};若a =4，则A ∪B={1，3，4}，A∩B={4};若a ≠1且a ≠4，则A ∪B={1，a ，3，4}，A∩B=∅.综上所得，当a =3时，A ∪B={1，3，4}，A∩B=∅;当a =1，则A ∪B={1，3，4}，A∩B={1};当a =4，则A ∪B={1，3，4}，A∩B={4};当a ≠3且a ≠1且a ≠4时，A ∪B={1，a ，3，4}，A∩B=∅.4.作出韦恩图，如图1-1-3-16所示，图1-1-3-16由U=A ∪B={x ∈N|0≤x ≤10}，A∩(B)={1，3，5，7}，可知B={0，2，4，6，8，9，10}.1．2函数及其表示练习（P19）1.(1)要使分式741+x 有意义，需4x+7≠0，即x≠47-. 所以这个函数的定义域是(-∞，47-)∪(47-，+∞); (2)要使根式有意义，需1-x≥0，且x+3≥0，即-3≤x≤1.所以这个函数的定义域是［-3，1］.2.(1)f(2)=28，f(-2)=-28，f(2)+f(-2)=0;(2)f(a)=3a 3+2a ，f(-a)=-3a 3-2a ，f(a)+f(-a)=0.3.(1)两个函数的对应法则相同，而表示导弹飞行高度与时间关系的函数y=500x-5x 2是有实际背景的，这里x≥0;函数y=500x-5x 2，x ∈R ，这两个函数的定义域不同，故这两个函数不相等.(2)函数g(x)=x 0=1(x≠0)与函数f(x)=1，x ∈R 的对应法则相同，但定义域不同，所以不是相等的函数.已知函数解析式求函数值及不同变量的函数值的关系.练习（P23）1.设矩形一边长为xcm ，则另一边长为22x -50=22500x -.由题意，得y=x 22500x -，x ∈(0，50).2.图(A)与事件(2).图(B)与事件(3).图(D)与事件(1)吻合得最好.图(C)可叙述为:我出发后,为了赶时间,加速行驶,走了一段后,发现时间还早,于是放慢了速度.3.解析:由绝对值的知识，有f(x)=⎩⎨⎧<+-≥-.2,2,2,2x x x x 所以，f(x)=|x-2|的图象如下图所示.图1-2-2-234.与A 中元素60°对应的B 中的元素是23;与B 中元素22相对应的A 中的元素是45°. 习题1.2 A 组（P24）1.(1)(-∞，4)∪(4，+∞). (2)R .(3)要使分式有意义，只需x 2-3x+2≠0，即x≠1，且x≠2，所以这个函数的定义域是(-∞，1)∪(1，2)∪(2，+∞).(4)要使函数有意义，只需⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠-≥-,1,40104x x x x 即x≤4，且x≠1. 所以这个函数的定义域是(-∞，1)∪(1，4］. 2.(1)g(x)=xx 2-1=x-1，x≠0，该函数虽然与f(x)的对应关系相同，但是定义域不同， 所以f(x)与g(x)不相等. (2)g(x)=(x )4=x 2，x≥0，该函数虽然与f(x)的对应关系相同，但是定义域不同，所以f(x)与g(x)不相等. (3)g(x)=36x =x 2，x ∈R ，该函数与f(x)的对应关系相同，定义域相同，所以f(x)与g(x)相等.3. (1) (2)x ∈R ，y ∈R . x ∈(-∞，0)∪(0，+∞)，y ∈(-∞，0)∪(0，+∞).图1-2-2-24 图1-2-2-25(3) (4)x ∈R ，y ∈R . x ∈R ，y ∈［-2，+∞).图1-2-2-26 图1-2-2-27 4.f(2-)=8+52，f(-a)=3a 2+5a+2，f(a+3)=3a 2+13a+14; f(a)+f(3)=3a 2-5a+16.5.(1)点(3，14)不在f(x)的图象上;(2)f(4)=-3;(3)x=14.6.解析:由韦达定理知1+3=-b ，1×3=c ，∴b=-4，c=3.∴f(x)=x 2-4x+3.∴f(-1)=(-1)2-4×(-1)+3=8. 答案：f(-1)=8.7. (1) (2)图1-2-2-28 图1-2-2-29 8.y=x 10 x ∈(0，+∞)，y=21l-x x ∈(0，21l)， y=22x d - x ∈(0，d)，l=2x+x 20(x>0)，l=2202+d . 9.由题意，可知容器内溶液高度为x 的体积等于注入的溶液的体积，即π(2d )2·x=vt ，整理得x=24d v π·t. 当容器注满时有π(2d )2h=vt ，得t=vh d 42π. 所以该函数的定义域是t ∈［0，v h d 42π］，值域是x ∈［0，h ］. 10.共8个映射.图1-2-2-30B 组1.(1)［-5，0］∪［2，6);(2)［0，+∞);(3)［0，2)∪(5，+∞).2.图1-2-2-31(1)点(x ，0)和(5，y)，即纵坐标为0或横坐标为5的点不能在图象上. (2)略.3.略.4.(1)t=512342x x -++，x ∈［0，12］;(2)t=58320+≈3小时. 1．3 函数的基本性质练习（P32）1.从生产效率与生产线上工人数量的关系看，在生产劳动力较少的情况下，随人数的增加效率随着增大，但是到了一定数量后，人数再增多效率反而降低了.这说明劳动力可能过剩，出现了怠工等现象.2.图象如图1-3-2-2所示，图1-3-2-2函数的单调增区间为［8,12)，［13,18)；函数的单调减区间为［12,13)，［18,20］.3.函数的单调区间是［-1,0),［0,2),［2,4),［4,5］.在区间［-1,0),［2,4)上是减函数；在区间［0,2),［4,5］上是增函数.4.证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=(-2x 1+1)-(-2x 2+1)=2(x 2-x 1).∵x 1<x 2，∴x 2-x 1>0.∴f (x 1)>f (x 2).∴函数f (x )=-2x +1在R 上是减函数.5.如图1-3-2-3所示，图1-3-2-3从图象上可以发现f （－2）是函数的一个最小值.练习（P36）1.（1）对于函数f （x ）=2x 4+3x 2，其定义域为（－∞,+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=2（－x ）4+3（－x ）2=2x 4+3x 2=f （x ）,所以函数f （x ）=2x 4+3x 2为偶函数.（2）对于函数f （x ）=x 3－2x ，其定义域为（－∞，+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=（－x ）3－2（－x ）=－x 3+2x =－（x 3－2x ）=－f （x ）,所以函数f （x ）=x 3－2x 为奇函数.（3）对于函数f (x )=xx 12+，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=x x -+-1)(2=xx 12+-=－f （x ）, 所以函数f (x )=xx 12+-为奇函数. （4）对于函数f (x )=x 2+1，其定义域为（－∞，+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=(-x )2+1=x 2+1=f （x ）,所以函数f (x )=x 2+1为偶函数.2.f (x )的图象如图1-3-2-4所示，g (x )的图象如图1-3-2-5所示.图1-3-2-4 图1-3-2-5习题1.2 A 组（P39）1.（1）函数的单调区间是(-∞,25］,(25,+∞). 函数y =f (x )在区间(-∞,25］上是减函数，在区间(25,+∞)上是增函数. （2）函数的单调区间是(-∞,0］,(0,+∞).函数y =f (x )在区间(0,+∞)上是减函数，在区间(-∞,0］上是增函数. 图略.2.（1）设0<x 1<x 2，则有f (x 1)-f (x 2)=(x 12+1)-(x 22+1)=x 12-x 22=(x 1-x 2)(x 1+x 2).∵0<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1+x 2<0. ∴f (x 1)>f (x 2). ∴函数f (x )在(-∞,0)上是减函数.（2）设0<x 1<x 2，则有f (x 1)-f (x 2)=(111x -)-(121x -)=21x 11x -=2121x x x x -. ∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0. ∴f (x 1)<f (x 2). ∴函数f (x )在(-∞,0)上是增函数.3.设x 1、x 2是（－∞，+∞）上任意两个实数，且x 1＜x 2.则y 1－y 2=（mx 1+b ）－（mx 2+b ）=m （x 1－x 2）.∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0.当m ＜0时，∴y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2.∴此时一次函数y =mx +b （m ＜0）在（－∞，+∞）上是减函数.同理可证一次函数y =mx +b （m ＞0）在（－∞,+∞）上是增函数.综上所得，当m ＜0时，一次函数y =mx +b 是减函数；当m ＞0时，一次函数y =mx +b 是增函数.4.心率关于时间的一个可能的图象，如图1-3-2-6所示，图1-3-2-65.y =502x -+162x -2100=501-(x 2-8100x )-2100=501-(x -4050)2+307 050. 由二次函数的知识,可得当月租金为4 050元时，租赁公司的月收入最大，最大收益为307 050元.6.图略，函数f (x )的解析式为⎩⎨⎧<-≥+.0),1(,0),1(x x x x x x B 组1.（1）函数f (x )在(-∞,1)上为减函数，在［1,+∞)上为增函数；函数g (x )在［2,4］上为增函数.（2）函数f (x )的最小值为－1，函数g (x )的最小值为0.2.设矩形熊猫居室的宽为x m ，面积为y m 2，则长为2330x -m ， 那么y =x 2330x -=21(30x -3x 2)=23-(x -5)2+275.所以当x =5时，y 有最大值275, 即宽x 为5 m 时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，最大面积是275m 2. 3.函数f (x )在(-∞,0)上是增函数.证明：设x 1<x 2<0，则-x 1>-x 2>0.∵函数f (x )在(0,+∞)上是减函数，∴f (-x 1)<f (-x 2).∵函数f (x )是偶函数，∴f (-x )=f (x ).∴f (x 1)<f (x 2).∴函数f (x )在(-∞,0)上是增函数.第一章 复习参考题A 组（P44）1.（1）A={－3，3}；（2）B={1，2}；（3）C={1，2}.2.（1）线段AB 的垂直平分线；（2）以定点O 为原心，以3 cm 为半径的圆.3.属于集合的点是△ABC 的外接圆圆心.4.A={－1,1}，（1）若a =0，则B=∅，满足B ⊆A ；（2）若a =－1，则B={－1}，满足B ⊆A ；（3）若a =1，则B={1}，满足B ⊆A.综上所述，实数a 的值为0,-1,1.5.A∩B={（x ,y ）｜⎩⎨⎧=+=0y 3x 0y -2x }={（x ,y ）|⎩⎨⎧==0y 0x }={（0,0）}; A∩C={（x ,y ）|⎩⎨⎧==3y -2x 0y -2x }=∅； B∩C={（x ,y ）｜⎩⎨⎧==+3y -2x 0y 3x }={（x ,y ）｜⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5953y x }={（53,59-）}; （A∩B ）∪（B∩C ）={(0,0),(53,59-)}. 6.(1)要使函数有意义,必须|x |-2≥0,即x ≤-2或x ≥2,所以函数的定义域为{x |x ≤-2或x ≥2};（2）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≥+≥-,05,02x x 即⎩⎨⎧-≥≥,5,2x x 得x ≥2.所以函数的定义域为{x ｜x ≥2}；（3）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠-≥-,05||,04x x 即x ≥4，且x ≠5. 所以函数的定义域为{x ｜x ≥4，且x ≠5}.7.（1）f （a ）+1=111++-a a =12+a ; （2）f （a +1）=)1(1)1(1+++-a a =a a +-2. 8.（1）∵f （－x ）=22)(1)(1x x ---+=2211xx -+，∴f （－x ）=f （x ）. （2）∵f （x 1）=22)1(1)1(1x x -+=221111x x -+=222211x x x x -+=1122-+x x =2211x x -+-,∴f （x 1）=－f （x ）. 9.二次函数f (x )的对称轴是直线x =8k ，则有8k ≤5或8k ≥20.解得k ≤40或k ≥160，即实数k 的取值范围是(-∞,40］∪［160,+∞).10.（1）函数y =x -2是偶函数； （2）它的图象关于y 轴对称；（3）函数在（0，+∞）上是减函数；（4）函数在（－∞，0）上是增函数.B 组 1.同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人.提示：由题意知有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，所以15+8+14=37，知共有37人次参加比赛.由已知共有28名同学参赛，且没有人同时参加三项，而37－28=9，知共有9名同学参加两项比赛.已知同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，因此同时参加田径和球类的有3人；又已知有15人参加游泳比赛，因此只参加游泳一项的有9人.2.实数a 的取值范围为{a ｜a ≥0}.3.∵（A ∪B ）=（A ）∩（B ）={1，3}，A∩（B ）={2，4}，∴B={1,2,3,4}.∴B={5,6,7,8,9}.4.f （1）=1×（1+4）=5; f （－3）=－3×（－3－4）=21; f （a +1）=⎩⎨⎧-<++-≥++.1),3)(1(,1),5)(1(a a a a a a 5.证明：（1）f )2(21x x +=a ·221x x ++b =22221b ab b ax x +++=21（ax 1+b ）+21（ax 2+b ）=21［f （x 1）+f （x 2）］， ∴f （221x x +）=21［f （x 1）+f （x 2）］. （2）g （221x x +）=（221x x +）2+a ·221x x ++b =21（21x +ax 1+b ）+21（22x +ax 2+b ）－41（x 1－x 2）2 =21［g （x 1）+g （x 2）］－41（x 1－x 2）2, ∵－41（x 1－x 2）2≤0, ∴g （221x x +）≤21［g （x 1）+g （x 2）］. 6.（1）奇函数f （x ）在［－b ,－a ］上是减函数；（2）偶函数g （x ）在［－b ,－a ］上是减函数.7.若全月纳税所得额为500元，则应交纳税款为500×5%＝25（元）.此时月工资为800＋500＝1 300（元）；若全月纳税所得额为2000元，则应交纳税款为500×5%＋1500×10%＝175（元）.此时月工资为800＋500＋1500＝2800（元）.由于此人交纳税款为26.78元，则此人的工资在区间（1300，2800）内，所以他当月的工资、薪金所得是800＋500＋1.02578.26-≈1317.8（元）.奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立.(3)f (-x )=f (x )⇔f (x )是偶函数，f (-x )=-f (x )⇔f (x )是奇函数.(4)f (-x )=f (x )⇔f (x )-f (-x )=0,f (-x )=-f (x )⇔f (x )+f (-x )=0.(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y =f (x )和y =g (x )的奇偶性相同，那么复合函数y =f ［g (x )］是偶函数，如果函数y =f (x )和y =g (x )的奇偶性相反，那么复合函数y =f ［g (x )］是奇函数，简称为“同偶异奇”.(6)如果函数y =f (x )是奇函数，那么f (x )在区间(a ,b )和(-b ,-a )上具有相同的单调性；如果函数y =f (x )是偶函数，那么f (x )在区间(a ,b )和(-b ,-a )上具有相反的单调性.(7)定义域关于原点对称的任意函数f (x )可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f (x )=2)()(2)()(x f x f x f x f -++--.(8)若f (x )是(-a ,a )(a ＞0)上的奇函数，则f (0)＝0；若函数f (x )是偶函数，则f (x )=f (-x )=f (|x |)=f (-|x |).若函数y =f (x )既是奇函数又是偶函数，则有f (x )=0。

(2021年整理)人教版A版高中数学必修1课后习题及答案三章全

(2021年整理)人教版A版高中数学必修1课后习题及答案三章全

人教版A版高中数学必修1课后习题及答案三章全编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（人教版A版高中数学必修1课后习题及答案三章全）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为人教版A版高中数学必修1课后习题及答案三章全的全部内容。

高中数学必修1课后习题答案第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．(1)中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．(2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3)3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：(1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2)因为小于8的素数为2,3,5,7,所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3)由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩,得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4)由453x -<，得2x <,所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1){,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==;（3)2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根,2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集;（5）{0}2{|}x x x = (或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；(6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以AB ；(2)当2k z =时,36k z =;当21k z =+时，363k z =+,即B 是A 的真子集，B A ； （3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习(第11页)1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形,{|}A B x x =是等腰三角形或直角三角形．4．解：显然{2,4,6}U B =,{1,3,6,7}U A =，则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页) A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数； (2）23N ∈ 239=是个自然数； （3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数; （4）2R ∈ 2是实数；(5）9Z ∈ 93=是个整数; （6）2(5)N ∈ 2(5)5=是个自然数．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉; （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．解：（1)大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；(2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求;（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-,得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3)由不等式342x x ≥-，得45x ≥,即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．（1）4B -∉; 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈; {1}-A ; ∅A ； {1,1}-=A ；2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形,是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形;{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解:3782x x -≥-,即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}A B =，{3,4,5,6}A C =，而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =,则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项,即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；(2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类,而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形，{|}S A x x =是梯形．10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<,{|3,7}R A x x x =<≥或,{|2,10}R B x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或，(){|3,7}R A B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或，(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集,得4个子集．2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合， 即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==,当3a =时，集合{3}A =,则{1,3,4},A B A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =,则{1,3,4},{1}A B A B ==；当4a =时,集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅．4．解:显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U A B =，得U B A ⊆，即()U U A B B =，而(){1,3,5,7}U A B =， 得{1,3,5,7}U B =,而()U U B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =． 第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习(第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠,即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2)要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．解：（1）由2()32f x x x =+,得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=,即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=,即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；(2)不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．解：显然矩形的另一边长为，y ==，且050x <<,即(050)y x =<<．2．解：图象(A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象(B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件(1），返回家里的时刻,离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松,缓缓行进．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．4．解：因为3sin 60=，所以与A 中元素60相对应的B 中素是3； 的元 因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠， 得该函数的定义域为{|4}x x ≠；(2)x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3)要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠， 得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且;（4）要使原式有意义,则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩,即4x ≤且1x ≠， 得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解:(1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等； （2)2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；(3)对于任何实数，都有362=，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同,x x得函数()f x与()g x相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；(2)定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；(4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+， 即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++, 即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++， 即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+， 即2()(3)3516f a f a a +=-+．5．解:(1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-, 即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-，即14x =． 6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根， 即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+,得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=， 即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d ，即22d x y =+22100(0)d x x x =+>， 由周长为l ，即22l x y =+,得202(0)l x x x=+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+,得22222()22220(0)l x y x y xy d d =+=++=+>， 即2220(0)l d d =+>．9．解:依题意，有2()2d x vt π=，即24vx t dπ=，显然0x h ≤≤，即240vt h dπ≤≤，得204h d t v π≤≤,得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．解:(1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-； (2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3)当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应． 2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x-，得222125x xt +-=+，(012)x ≤≤， 即24125x xt +-=+，(012)x ≤≤． （2）当4x =时,2441242583()55t h +-=+=+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大(小）值练习（第32页)1．答：在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多,生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间,[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明:设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->, 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数。

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 课后练习及章末测验 含解析

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 课后练习及章末测验 含解析

第三章圆锥曲线的方程课后练习及章末测验3.1.1椭圆及其标准方程................................................................................................. - 1 -3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质............................................................................. - 6 -3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用........................................................... - 12 -3.2.1双曲线及其标准方程........................................................................................... - 20 -3.2.2双曲线的简单几何性质....................................................................................... - 27 -3.3.1抛物线及其标准方程........................................................................................... - 34 -3.3.2抛物线的简单几何性质....................................................................................... - 40 -第三章章末测验............................................................................................................ - 47 -3.1.1椭圆及其标准方程一、选择题1．已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M 到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件C[若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则点M 的轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C.]2．椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标是()A．(±5,0) B．(0，±5)C．(0，±12) D．(±12,0)C[由标准方程知，椭圆的焦点在y轴上，且c2＝169－25＝144，∴c＝±12，故焦点为(0，±12)．]3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A ．x 212＋y 29＝1 B ．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C ．x 29＋y 212＝1D ．x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1B [∵2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，∴a ＝2 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.]4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]5．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15B [由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.]二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎨⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]7．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (4,0)，点C 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin B sin C ＝________.54 [由题意知|AB |＝8，|AC |＋|BC |＝10，所以sin A ＋sin B sin C ＝|BC |＋|AC ||AB |＝108＝54.] 8．已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是________．8－43 [由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2. 又由椭圆的定义，知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3.]三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)， F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.10．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[解] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，则a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故所求C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．11．(多选题)下列说法中错误的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆ABD [A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M (5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为(5＋4)2＋32＋(5－4)2＋32＝410＞|F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选ABD.]12．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2A [易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α＞1sin α＞0，即sin α＞cos α＞0.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4＜α＜π2.]13．(一题两空)已知椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝________.若∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．120° 2 [由题得a 2＝9，b 2＝2，∴a ＝3，c 2＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴c ＝7，∴|F 1F 2|＝27.∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22×|PF 1|×|PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，又0＜∠F 1PF 2＜180°，∴∠F 1PF 2＝120°.又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(27)2＝28， 配方得(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝28，∴36－2|PF 1||PF 2|＝28，即|PF 1||PF 2|＝4，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝2.]14.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.23 [设正三角形POF 2的边长为c ，则34c 2＝3，解得c ＝2，从而|OF 2|＝|PF 2|＝2，连接PF 1(略)，由|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |知，PF 1⊥PF 2， 则|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝42－22＝23， 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝23＋2，即a ＝3＋1， 所以b 2＝a 2－c 2＝(3＋1)2－4＝2 3.]15．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值． [解] (1)依题意，知c 2＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2， 所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1.(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4.又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×52×32＝35. 故∠F 1PF 2的余弦值等于35.3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质一、选择题1．已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在x 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝( )A ．14B ．12C．2 D．4D[将椭圆方程化为标准形式为x2＋y2 1m＝1，所以长轴长为2，短轴长为21m，由题意得2＝2×21m，解得m＝4.]2．椭圆x225＋y29＝1与x29－k＋y225－k＝1(0<k<9)的关系为()A．有相等的长轴B．有相等的短轴C．有相同的焦点D．有相等的焦距D[由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．]3．已知椭圆x2＋y2b2＋1＝1(b＞0)的离心率为1010，则b等于() A．3 B．13C．910D．31010B[易知b2＋1＞1，由题意得(b2＋1)－1b2＋1＝b2b2＋1＝110，解得b＝13或b＝－13(舍去)，故选B.]4.如图所示，把椭圆x225＋y216＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝()A．35 B．30C．25 D．20A[设椭圆右焦点为F′(图略)，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.]5．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞D ．(0,2)C [当0＜k ＜4时，e ＝ca ＝4－k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即12＜4－k 2＜1⇒1＜4－k ＜4，即0＜k ＜3. 当k ＞4时，e ＝ca ＝k －4k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即12＜k －4k ＜1⇒14＜k －4k ＜1⇒14＜1－4k ＜1⇒0＜4k ＜34⇒k ＞163.综上，实数k 的取值范围为(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞.]二、填空题6．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 的椭圆的离心率为________．12 [如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c2a ＝48＝12.]7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的标准方程为________．x 245＋y 236＝1 [∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2，即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a ＞0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1. 解得a 2＝45.∴椭圆的标准方程为x 245＋y 236＝1.]8．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________． 4,3 [过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3.]三、解答题9．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．[解] 根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．依题意设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a .由△ABF 2是正三角形得2c ＝32×2b 2a ，即3b 2＝2ac .又因为b 2＝a 2－c 2，所以3a 2－3c 2－2ac ＝0，两边同除以a 2，得3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2·c a －3＝0，解得e ＝c a ＝33(负值舍去)．10．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m ＞0)的离心率e ＝32，求实数m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，由m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3＞0，可知m ＞m m ＋3，所以a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3，由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1.于是椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝32.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.11．(多选题)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A 距离地面m km ，远地点B 距离地面n km ，地球半径为R km ，关于这个椭圆有下列说法，正确的有( )A ．长轴长为m ＋n ＋2RB ．焦距为n －mC ．短轴长为(m ＋R )(n ＋R )D ．离心率e ＝n －m m ＋n ＋2RABD [由题意，得n ＋R ＝a ＋c ，m ＋R ＝a －c ，可解得2c ＝n －m ，a ＝m ＋n ＋2R 2，2a ＝m ＋n ＋2R .∴2b ＝2a 2－c 2＝2(m ＋R )(n ＋R )，e ＝n －m m ＋n ＋2R ，故ABD 正确，C 不正确．]12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．32C ．3－12D ．5－12D [在Rt △ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2.将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0, 解得e ＝－1±52，因为0<e <1，所以e ＝5－12.故选D.]13．(一题两空)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程是________．若点P 为椭圆上任意一点，则AP →·FP →的取值范围是________．x 24＋y 23＝1 [0,12] [因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a ＝2. 因为离心率e ＝12，所以c ＝1，b ＝a 2－c 2＝3， 则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，所以点A 的坐标为(－2,0)，点F 的坐标为(－1,0)． 设P (x ，y )，则AP →·FP →＝(x ＋2，y )·(x ＋1，y )＝x 2＋3x ＋2＋y 2. 由椭圆的方程，得y 2＝3－34x 2，所以AP →·FP →＝x 2＋3x －34x 2＋5＝14(x ＋6)2－4. 因为x ∈[－2,2]，所以AP →·FP →∈[0,12]．]14．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________．[1,2] [因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.]15．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． [解] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用一、选择题1．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(1,3)∪(3，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(－3,0) D ．(1,3)B [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点， 则⎩⎨⎧3＋m ≠0，Δ＝(4m )2－4m (3＋m )>0， 解得⎩⎨⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m >0且m ≠3. 综上可知，m >1且m ≠3，故选B.]2．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( ) A ．67 B ．167 C ．716D ．76B [易求得直线AB 的方程为y ＝3(x ＋2)．由⎩⎨⎧y ＝3(x ＋2)，x 2＋2y 2＝4消去y 并整理，得7x 2＋122x ＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1227，x 1x 2＝87.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋(3)2·⎝⎛⎭⎪⎫－12272－4×87＝167.]3．在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为( )A ．9x －16y ＋7＝0B ．16x ＋9y －25＝0C ．9x ＋16y －25＝0D ．16x －9y －7＝0C [设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减，又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x 1－x 216＋y 1－y 29＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y －1＝－916(x －1)，即9x ＋16y －25＝0，故选C.] 4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A ．12 B ．23 C ．34D ．45C [如图所示，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则有|F 1F 2|＝|PF 2|，∠PF 1F 2＝∠F 2PF 1＝30°所以∠PF 2A ＝60°，∠F 2P A ＝30°，所以|PF 2|＝2|AF 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝3a －2c .又因为|F 1F 2|＝2c ，所以，2c ＝3a －2c ，所以e ＝c a ＝34.]5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率k ＝－1－01－3＝12，⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即1a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0⇔1a 2＋1b 2×12×－22＝0，即a 2＝2b 2，c 2＝9，a 2＝b 2＋c 2，解得：a 2＝18，b 2＝9，方程是x 218＋y 29＝1，故选D.]二、填空题6．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．53 [由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，∴S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53.]7．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右两个焦点，过F 1作斜率为1的直线，交C 于A 、B 两点，则|AF 2|＋|BF 2|＝________.327 [由x 24＋y 23＝1知，焦点F 1(－1,0)，所以直线l ：y ＝x ＋1，代入x 24＋y 23＝1得3x 2＋4(x ＋1)2＝12，即7x 2＋8x －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，故|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝247.由定义有，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 所以|AF 2|＋|BF 2|＝4×2－247＝327.]8．椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 1斜率的取值范围是[1,2]，那么直线P A 2斜率的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－14 [由椭圆C ：x 22＋y 2＝1的方程可得a 2＝2，b 2＝1，由椭圆的性质可知：k P A 1·k P A 2＝－12，∴k P A 2＝－12k P A 1，∵k P A 1∈[1,2]，则k P A 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－14.]三、解答题9．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB |.[解] (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1， 消去y 并整理，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0，解得－3＜b ＜ 3.所以b 的取值范围为(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43. 所以y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝423.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求实数k 的值．[解](1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝2，b ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2，又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103， 化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.11．(多选题)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝1外B ．必在圆x 2＋y 2＝74上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2内 D ．必在圆x 2＋y 2＝94上ABC [e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a 2，a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34⇒b a ＝32⇒b ＝32a . ∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a 2＝0⇒x 2＋32x －12＝0， ∴x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74. ∵1＜74＜2，∴点P 在圆x 2＋y 2＝1外，在x 2＋y 2＝74上，在x 2＋y 2＝2内，故应选ABC.] 12．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14A [设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x 由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ，把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b 2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因0＜e ＜1，所以可得e ＝32.]13．(一题两空)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，则椭圆方程为________，若直线l 交椭圆于M ，N 两点，且△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则直线l 方程为________．x 220＋y 216＝1 6x －5y －28＝0 [由题意得b ＝4，又e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－16a 2＝15，解得a 2＝20.∴椭圆的方程为x 220＋y 216＝1.∴椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)， 设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知BF →＝2FQ →，从而(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)， 解得x 0＝3，y 0＝－2，所以点Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4， 且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1，以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.]14．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫0，22 [∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴c ＜b ，∴c 2＜b 2＝a 2－c 2，即2c 2＜a 2，∴c 2a 2＜12，即c a ＜22.又e ＞0，∴0＜e＜22.]15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，下顶点为B ，过A 、O 、B (O 为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.(1)求椭圆的方程；(2)已知点M 在x 轴正半轴上，过点B 作BM 的垂线与椭圆交于另一点N ，若∠BMN ＝60°，求点M 的坐标．[解] (1)依题意知A (a,0)，B (0，－b )，∵△AOB 为直角三角形，∴过A 、O 、B 三点的圆的圆心为斜边AB 的中点， ∴a 2＝32，－b 2＝－12，即a ＝3，b ＝1， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由(1)知B (0，－1)，依题意知直线BN 的斜率存在且小于0， 设直线BN 的方程为y ＝kx －1(k ＜0)， 则直线BM 的方程为：y ＝－1k x －1，由⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx －1.消去y 得(1＋3k 2)x 2－6kx ＝0，解得：x N ＝6k1＋3k 2，y N＝kx N －1， ∴|BN |＝x 2N ＋(y N ＋1)2＝x 2N ＋k 2x 2N＝1＋k 2|x N |∴|BN |＝1＋k 2|x N －x B |＝1＋k 2·6|k |1＋3k 2，在y ＝－1k x －1中，令y ＝0得x ＝－k ，即M (－k,0) ∴|BM |＝1＋k 2，在Rt △MBN 中，∵∠BMN ＝60°，∴|BN |＝3|BM |， 即1＋k 2·6|k |1＋3k 2＝3·1＋k 2， 整理得3k 2－23|k |＋1＝0，解得|k |＝33，∵k ＜0，∴k ＝－33，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0.3.2.1双曲线及其标准方程一、选择题1．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A ．x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4) C ．x 29－y 216＝1D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)D [由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴M 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．] 2．若ax 2＋by 2＝b (ab ＜0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上B [因为ab ＜0，方程可化为x 2b a ＋y 2＝1，∴ba ＜0，方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线，故选B.]3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A ．x 22－y 23＝1 B ．x 23－y 22＝1 C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1C [由⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2， ⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C.]4．双曲线x 225－y 29＝1上的点P 到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )A ．22或2B ．7C ．22D ．2 A [根据双曲线的方程得2a ＝2×5＝10，由定义知||PF |－12|＝10，可解得|PF |＝22或2，故选A.]5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点， 所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.] 二、填空题6．若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________．(－3,2)∪(3，＋∞) [依题意有⎩⎨⎧ 2－m ＞0，|m |－3＜0或⎩⎨⎧2－m ＜0，|m |－3＞0，解得－3＜m ＜2或m ＞3.所以实数m 的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)．]7．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，线段AB 的长为5.若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是________．26 [根据双曲线定义知，|AF 2|－|AF 1|＝8，|BF 2|－|BF 1|＝8.∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋|AF 1|＋|BF 1|＝16＋|AB |＝16＋5＝21.所以△ABF 2的周长是|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.]8.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．x 2－y 23＝1 [设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝1，b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]三、解答题9．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程所表示的曲线类型．[解] (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．10．已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上． (1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F 1MF 2的变化，△F 1MF 2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．[解] 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(不妨设r 1＞r 2)，θ＝∠F 1MF 2，因为S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin θ，θ已知，所以只要求r 1r 2即可，因此考虑到用双曲线定义及余弦定理的知识，求出r 1r 2.(1)当θ＝90°时，S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin θ＝12r 1r 2.由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13，由双曲线定义，得|r 1－r 2|＝2a ＝4，两边平方，得r 21＋r 22－2r 1r 2＝16， 又r 21＋r 22＝|F 1F 2|2，即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16，也即52－16＝4S △F 1MF 2，求得S △F 1MF 2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝120°，在△MF 1F 2中，|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 120°＝(r 1－r 2)2＋3r 1r 2＝52，所以r 1r 2＝12， 求得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 120°＝3 3.同理，可求得若∠F 1MF 2＝60°，S △F 1MF 2＝9 3.(3)由以上结果可见，随着∠F 1MF 2的增大，△F 1MF 2的面积将减小． 证明如下：由双曲线定义及余弦定理，得 ⎩⎨⎧(r 1－r 2)2＝4a 2， ①r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ＝4c 2. ② ②－①，得r 1r 2＝4c 2－4a 22(1－cos θ)，所以S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin θ＝(c 2－a 2)sin θ1－cos θ＝b 2cot θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内，cot θ2是减函数． 因此当θ增大时，S △F 1MF 2＝b 2cot θ2减小．11．(多选题)设θ是三角形的一个内角，对于方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1的说法正确的是( )A ．当0＜θ＜π2时，方程表示椭圆 B ．当θ＝π2时，方程不表示任何图形C ．当π2＜θ＜3π4时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线 D ．当3π4＜θ＜π时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线BC [当0＜θ＜π2时，sin θ＞0，cos θ＞0，但当θ＝π4时，sin θ＝cos θ＞0表示圆，故A 错误；当θ＝π2时，cos θ＝0，方程无意义，所以不表示任何图形，故B正确；当π2＜θ＜π时，sin θ＞0，cos θ＜0，所以不论π2＜θ＜3π4还是3π4＜θ＜π时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线，所以C 正确，D 错误，故选BC.]12．(多选题)已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下判断，正确的是( )A ．当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆B ．当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线 C ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52 D ．若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞4BCD [A 错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；B 正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，∴t ＜1或t ＞4；C 正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t ＞t －1＞0，∴1＜t ＜52；D 正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎨⎧4－t ＜0，t －1＞0，∴t＞4.]13．(一题两空)已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，则|AB |＝________.又三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C ．则点C 的轨迹方程为________．4 x 2－y 23＝1(x ＞1) [将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1.∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4， 则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.又∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得 |CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1， ∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞1)．]14．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．2512，31312 [因为双曲线方程为x 2144－y 225＝1，所以c ＝144＋25＝13，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，则F 1(－13,0)，F 2(13,0)．设过F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y ＞0)，则y 225＝132144－1＝25144，所以y ＝2512，即|AF 1|＝2512.又|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24， 所以|AF 2|＝24＋2512＝31312.即所求距离分别为2512，31312.]15．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上动点．求||MP －|FP ||的最大值．[解] (1)两圆的圆心分别为A (－5，0)，B (5，0)，半径为2，设圆C 的半径为r .由题意得|CA |＝r －2，|CB |＝r ＋2或|CA |＝r ＋2，|CB |＝r －2，两式相减得|CA |－|CB |＝－4或|CA |－|CB |＝4，即||CA |－|CB ||＝4.则圆C 的圆心轨迹为双曲线，其中2a ＝4，c ＝5，b 2＝1， ∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为x 24－y 2＝1.(2)由(1)知F 为双曲线L 的一个焦点，如图，连接MF 并延长交双曲线于一点P ，此时|PM |－|PF |＝|MF |为||PM |－|FP ||的最大值．又|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝2， ∴||MP |－|FP ||的最大值为2.3.2.2双曲线的简单几何性质一、选择题1．若实数k满足0＜k＜5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()A．实半轴长相等B．虚半轴相等C．离心率相等D．焦距相等D[由于16＋(5－k)＝(16－k)＋5，所以焦距相等．]2．若a>1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(2，2) C．(1，2) D．(1,2)C[由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1 a.即e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e＜ 2.故选C.]3．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为()A．x220－y25＝1 B．x25－y220＝1C．x280－y220＝1 D．x220－y280＝1A[双曲线C的渐近线方程为x2a2－y2b2＝0，又点P(2,1)在C的渐近线上，所以4a2－1b2＝0，即a2＝4b2①.又a2＋b2＝c2＝25②.由①②，得b2＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为x220－y25＝1，故选A.] 4．过双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若∠PF 1Q ＝90°，则双曲线的离心率是( )A ． 2B ．1＋ 2C ．2＋ 2D ．3－ 2B [因为|PF 2|＝|F 2F 1|, P 点满足c 2a 2－y 2b 2＝1，∴y ＝ba c 2－a 2，∴2c ＝b a c 2－a 2，即2ac ＝b 2＝c 2－a 2，∴2＝e －1e ，又e ＞0，故e ＝1＋ 2.] 5．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．4B [根据题意，可知其渐近线的斜率为±33，且右焦点为F (2,0)，从而得到∠FON ＝30°，所以直线MN 的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°， 可以得出直线MN 的方程为y ＝3(x －2)， 分别与两条渐近线y ＝33x 和y ＝－33x 联立， 求得M (3，3) ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，所以|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322＝3.] 二、填空题6．(一题两空)若双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为3，则实数m ＝________，渐近线方程是________．2 y ＝±2x [a 2＝1，b 2＝m ，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋m ＝3，m ＝2.渐近线方程是y ＝±mx ＝±2x .]7．以y ＝±x 为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________．x 24－y 24＝1 [以y ＝±x 为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2,0)得λ＝4，∴x 2－y 2＝4，即x 24－y 24＝1.]8．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．x 24－y 2＝1 [法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， ∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3＜2， ∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由已知条件可得 ⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.] 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．[解] (1)由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13， 因为c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12. 故所求双曲线的标准方程为y 225－x 2144＝1. (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则b a ＝12①. 因为点A (2，－3)在双曲线上，所以4a 2－9b 2＝1 ②.联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a b ＝12.③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1. ④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1. 法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， 可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)， ∵A (2，－3)在双曲线上， ∴422－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点是F (2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．[解] (1)由已知得c ＝2，e ＝2，所以a ＝1，b ＝ 3. 所以所求双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*)设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m 2，y 0＝x 0＋m ＝3m 2，所以线段MN垂直平分线的方程为y －3m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2，即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)，可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l 的方程为y ＝x ± 2.11．(多选题)关于双曲线C 1：4x 2－9y 2＝－36与双曲线C 2：4x 2－9y 2＝36的说法正确的是( )A ．有相同的焦点B ．有相同的焦距C ．有相同的离心率D ．有相同的渐近线BD [两方程均化为标准方程为y 24－x 29＝1和x 29－y 24＝1，这里均有c 2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在x 轴上，另一个在y 轴上，所以A 错误，B 正确；又两方程的渐近线均为y ＝±23x ，故D 正确．C 1的离心率e ＝132，C 2的离心率e ＝133，故C 错误．]12．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( )A ．233B ． 2C ． 3D ．2D [直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，原点到直线l 的距离d ＝ab a 2＋b 2＝ab c＝34c ， 即ab ＝34c 2，所以a 2(c 2－a 2)＝316c 4.整理得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43， 又b >a >0，所以e 2＝1＋b 2a 2>2，故e ＝2.]13．(一题两空)已知椭圆x 26＋y 22＝1与双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为左焦点F 1，右焦点F 2，点P 是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF 1|＝________，cos ∠F 1PF 2的值为________．6＋3 13 [因为F 1，F 2分别为左、右焦点，点P 在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23，解得⎩⎨⎧|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，又|F 1F 2|＝4，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝13.]14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．[2，＋∞) [由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a 2≥4，所以e ≥2.]15．已知椭圆C 1：x 23＋y 2＝1的左右顶点是双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的顶点，且椭圆C 1的上顶点到双曲线C 2的渐近线的距离为32.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线与C 1相交于M 1，M 2两点，与C 2相交于Q 1，Q 2两点，且OQ 1→·OQ 2→＝－5，求|M 1M 2|的取值范围．[解] (1)由椭圆C 1：x 23＋y 2＝1的左右顶点为(－3，0)，(3，0)，可得a 2＝3，又椭圆C 1的上顶点(0,1)到双曲线C 2的渐近线bx －ay ＝0的距离为32，由点到直线的距离公式有a a 2＋b2＝32可得b ＝1， 所以双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 23－y 2＝1，消去y 并整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，要与C 2相交于两点，则应有⎩⎨⎧1－3k 2≠036k 2m 2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＞0 ⇒⎩⎨⎧1－3k 2≠01＋m 2＞3k 2①，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，则有：x 1＋x 2＝6km1－3k 2，x 1·x 2＝－3＋3m 21－3k 2.又OQ 1→·OQ 2→＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，又OQ 1→·OQ 2→＝－5，所以有11－3k2[(1＋k 2)(－3m 2－3)＋6k 2m 2＋m 2(1－3k 2)]＝－5 整理得m 2＝1－9k 2②，将y ＝kx ＋m ，代入x 23＋y 2＝1，消去y 并整理得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，要有两交点，则Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＞0⇒3k 2＋1＞m 2 ③。

【精品】新课程标准数学必修1第一章课后习题解答[唐金制].doc

【精品】新课程标准数学必修1第一章课后习题解答[唐金制].doc

勢谓終杉推数学弊僧1第一秦谓后习懸解答第一章集合与函数概念1. 1集合练习(P5)1.(1)中国WA,美国gA,印度WA,英国0A.(2)TA={xl?=x}={0, 1}, ...-IgA. (3)VB={Mr2+.r-6=0}={-3, 2}, /.3^A.(4)VC={xeNll<x<10}={l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, /.8ec, 9.1 EC.2.(1){X I?=9}或{_3, 3}; (2){2, 3, 5, 7};y = x + 3(3){(x, v)H }或{(1, 4)};(4){xWRI4x-5<3}或{xlr<2}.y = -2x + 6练习(P7)1.0, {a}, [b], {<?}, [a, b], {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.2.(l)aW{a, b, c}.(2)\\r=0, x=0. Z. {A-L?=0}={0}.0e {0}.(3)V?+l=0, ：.x2=-l.又TXWR, 方程x~=-l无解.A{xeRk2+l=O}=0.A 0 = 0.⑷筆. (5)•.•?=!■, ...x=0 或x=l..・.{xl?=x}={0, 1}..•.{()}筆{0, 1}.(6)TF-3x+2=0, ：.X=1或x =2..：.{x\x--3x+2.=Q} = [l, 2}.Z.{2, 1}={1, 2}.3.(1)由于1是任何正整数的公约数，任何正整数都是自身的公约数，所以8 的公约数是1, 2, 4, 8,即B={1, 2, 4, 8}.?.A^B.(2)显然BqA,又•.•3GA,且3gB, .'.B呈A.(3)4与10的最小公倍数是20, 4与10的公倍数应是20的倍数，显然A=B.练习(P11)1.ADB={5, 8}, AUB={3, 5, 6, 7, 8}.2.V.Y2-4A--5=0,：.X=-1或x=5..・.A={xl?-4x-5=0}={-l, 5},同理，B={-1, 1}..\AUB={-1, 5}U{-1, 1}={-1, 1, 5}, AHB={-1, 5}0{-1, 1}={-1}.3.AAB={A-I X是等腰直角三角形}, AUB={xk是等腰三角形或直角三角形}.4.vCuB={2, 4, 6}, CuA={l, 3, 6, 7], /.An(CuB)={2, 4, 5}A{2, 4, 6}={2, 4},(CuA)n(CuB)={l, 3, 6, 7}A{2, 4, 6}={6}.习题1.1 A组(Pll)1.d) e ⑵丘⑶纟⑷丘⑸丘(6)e2.(1) G⑵纟(3)G3.(1){2, 3, 4, 5}; (2){-2, l};(3){0, 1, 2}.(3)V-3<2r-l<3, ：.-2<2x<4. ：.-l<x<2.又TxeZ, ...x=0, 1, 2. .•.B={xGZI-3<2r-l<3}={0, 1, 2}.44.(l){yly>-4}; (2){x時0}; (3){A-|A->-}.5.(1) V A={x\2x-3<3x}={x\x>-3}, B={xk>2}, .\-4gB, -3gA, {2}筆B, B筆A.(2)VA={X L X2-1=0}={-1, 1}, A 1 eA, {-1 厚A, 0呈A, {1, -1}=A. ⑶呈;呈.6.VB={xl3x-7>8-2x}={xlx>3},/. A U B={.Y I2<Y<4} U {X L Y>3}={X L Y>2},ADB={xl2Sx：<4} Pl {.Y k>3}={A-I3<A_<4}.7.依题意，可知A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},由U=AUB={xGNKfetV10所以 AC!B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}C1{1, 2, 3}={1, 2, 3}=B,Anc={l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A{3, 4, 5, 6}={3, 4, 5, 6}=C. 又•.•BUC={1, 2, 3}U{3, 4, 5, 6}={1, 2, 3, 4, 5, 6}..•.An (BUC)={l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}CI{1, 2, 3, 4, 5, 6}={1, 2, 3, 4, 5, XVBnC={l, 2, 3}A{3, 4, 5, 6}={3},.•.AU(BnC)={l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}U {3}={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}=A. &(l)AUB={xlr 是参加一百米跑的同学或参加二百米跑的同学}.⑵AnC={.rk 是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}.9. BnC={.rk 是正方形}, C 、B={xlx 是邻边不相等的平行卩L|边形}, CsA={.rk 是梯形}. 10. V A U B={xl3<x<7} u {xl2<x<10}={xl2<x<10}, /. C R (A U B)={xlx<2 或 x>10}. 又ADB={xl3Sx<7}ri {x\2<s< 10}={jrl3<r<7}, .°.*R(AriB)={xLx<3 或.r>7}.(C R A)ClB={xLr<3 或 ©7} Cl{xl2<r<10}={xl2<r<3 或 7<Y <10},AU(C R B)={A -|3<A -<7} U {X \X <2 或.Y>10} = {A'k<2 或 3<x<l 或 A >10}.习题1.2 A 组(P24)1. VA={1, 2}, AUB={1, 2}, .'.BeA, .\B=0, {1}, {2}, {1, 2}.2. 集合 D={(x, y)l2.r-y=l}n{(.r, y)l.r+4y=5}表示直线 2x-y=l 与直线.r+4y=5 的交点坐标;2x _ v ]由于D={(x, v)H}={(1, 1)},所以点(1, 1)在直线y=x 上，即D 筆C.x + 4y = 53. B={1, 4},当 a=3 时,A={3},则 AUB={1, 3, 4}, AAB=0; 当 af3 时，A={3, a},若 a=l,则 AUB={1, 3, 4}, AC!B={1}; 若 a=4,则 AUB={1, 3, 4}, APB={4};若 afl 且 a 护，贝lj AUB={1, a, 3, 4}, AC!B= 0. 综上所得， 当 a=3 时，AUB={1, 3, 4}, AflB=0; 当 a=l,则 AUB={1, 3, 4}, AC!B={1}; 当 a=4,则 AUB={1, 3, 4}, AHB={4}; 当 a 托且且 <#4 时，AUB={1, a, 3, 4}, AD B=0.4. 作出韦恩图，女fl 图1 -1-3-16所示，可知 B={0, 2, 4, 6, 8, 9, 10}.4 —兀n o⑷要使函数有意义，只需% < 4< '即xS4,且xfl. 兀H 1,1. 2函数及其表示练习(P19)171.(1)要使分式 ---- 有意义，需4x+7#0,即洋-一.4x + 7 47 7所以这个函数的定义域是(-8,——)U(——,+00)；4 4(2)要使根式有意义,需l-x>0,且x+3>0,即-3<x<l.所以这个函数的定义域是[-3, 1].2.(l)f(2)=28, f(-2)=-28, f(2)+f(-2)=0; (2)f(a)=3a'+2a, f(-a)=-3a3-2a, f(a)+f(-a)=0.3.(1)两个函数的对应法则相同，而表示导弹飞行高度与时间关系的函数y=500x-5x2是有实际背景的，这里©0;函数y=500x-5x2, xGR,这两个函数的定义域不同，故这两个函数不相等.⑵函数g(x)=x°= l(x#O)与函数f(x)= 1, x£R的对应法则相同，但定义域不同，所以不是相等的函数.已知函数解析式求函数值及不同变量的函数值的关系.练习(P23)1.设矩形一边长为xcm, 则另一边长为A/502 -x2 = A/2500-X2.由题意，得y=x『2500 —X? , xG（O, 50）.2.图(A)与事件⑵.图(B)与事件(3).图(D)与事件(1)吻合得最好图(O可叙述为:我出发后.为了赶时间.加速行驶.走了一段后，发现时间还早，于是放慢了速度.3.解析:由绝对值的知识，有f(x)=< '-x + 2, x <2./? &4•与A中元素60。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

新课程标准数学必修1第三章课后习题解答第三章函数的应用3．1函数与方程练习（P88）1.(1)令f(x)=-x2+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(1))，它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.(2)2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2))，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根.(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3))，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4))，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8练习（P91）1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.习题3.1 A组（P92）1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x 1=-0.5,用计算器可算得f (-0.5)=3.375.因为f (-1)·f (-0.5)<0,所以x 0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x 2=-0.75,用计算器可算得f (-0.75)≈1.58.因为f (-1)·f (-0.75)<0,所以x 0∈(-1,-0.75).同理,可得x 0∈(-1,-0.875)，x 0∈(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.937 5.4.原方程即0.8x -1-lnx =0,令f (x )=0.8x -1-lnx ,f (0)没有意义，用计算器算得f (0.5)≈0.59,f (1)=-0.2.于是f (0.5)·f (1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x -1=lnx 在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x 1=0.75,用计算器可算得f (0.75)≈0.13.因为f (0.75)·f (1)<0,所以x 0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x 2=0.875,用计算器可算得f (0.875)≈-0.04.因为f (0.875)·f (0.75)<0,所以x 0∈(0.75,0.875).同理,可得x 0∈(0.812 5,0.875)，x 0∈(0.812 5,0.843 75).由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.843 75.5.由题设有f (2)≈-0.31<0,f (3)≈0.43>0,于是f (2)·f (3)<0,所以函数f (x )在区间(2，3)内有一个零点.下面用二分法求函数f (x )=lnx x 2-在区间(2，3)内的近似解.取区间(2，3)的中点x 1=2.5,用计算器可算得f (2.5)≈0.12.因为f (2)·f (2.5)<0,所以x 0∈(2,2.5).再取(2，2.5)的中点x 2=2.25,用计算器可算得f (2.25)≈-0.08.因为f (2.25)·f (2.5)<0,所以x 0∈(2.25,2.5).同理,可得x 0∈(2.25,2.375)，x 0∈(2.312 5,2.375),x 0∈(2.343 75,2.375),x 0∈(2.343 75,2.359 375),x 0∈(2.343 75,2.351 562 5),x 0∈(2.343 75,2.347 656 25).由于|2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 25<0.01,所以原方程的近似解可取为2.347 656 25.B 组1.将系数代入求根公式x 2a得x =223(3)42(1)22±--⨯⨯-⨯=4173+, 所以方程的两个解分别为x 1=4173+,x 2=4173-.下面用二分法求方程的近似解. 取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f (x )=2x 2-3x -1.在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f (1.775)=-0.023 75,f (1.8)=0.08.于是f (1.775)·f (1.8)<0.所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.由于|1.8-1.775|=0.025<0.1,所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为1.8.同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和-0.3.2.原方程即x 3-6x 2-3x +5=0,令f (x )=x 3-6x 2-3x +5,函数图象如下图所示.图3-1-2-9所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解.取区间(-2，0)的中点x1=-1,用计算器可算得f(-1)=1.因为f(-2)·f(-1)<0,所以x0∈(-2,-1).再取(-2，-1)的中点x2=-1.5,用计算器可算得f(-1.5)=-7.375.因为f(-1.5)·f(-1)<0,所以x0∈(-1.5,-1).同理,可得x0∈(-1.25,-1)，x0∈(-1.125,-1),x0∈(-1.125,-1.062 5).由于|(-1.062 5)-(-1.125)|=0.062 5<0.1,所以原方程在区间(-2，0)内的近似解可取为-1.062 5.同理,可得原方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.7,在区间(6，7)内的近似解可取为6.3.3.(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.(2)函数图象如下图所示.图3-1-2-10(3)由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点.取区间(-3，-2)的中点x1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187 5.因为g(-3)·g(-2.5)<0,所以x0∈(-3,-2.5).再取(-3，-2.5)的中点x2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28.因为g(-3)·g(-2.75)<0,所以x0∈(-3,-2.75).同理,可得x0∈(-2.875,-2.75)，x0∈(-2.812 5,-2.75).由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2.812 5.同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-2.8或-0.2.点评：第2、3题采用信息技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术条件,建议教师直接给出函数图象或零点所在区间.第三章复习参考题A组（P112）1.C2.C3.设经过时间t后列车离C地的距离为y，则y=200100,02,100200,2 5.t tt t-≤≤⎧⎨-<≤⎩图3-24.(1)圆柱形; (2)上底小、下底大的圆台形;(3)上底大、下底小的圆台形; (4)呈下大上小的两节圆柱形. 图略.图3-35.令f (x )=2x 3-4x 2-3x +1,函数图象如图3-3所示:函数分别在区间(-1,0)、(0,1)和区间(2,3)内各有一个零点,所以方程2x 3-4x 2-3x +1=0的最大的根应在区间(2,3)内.取区间(2,3)的中点x 1=2.5,用计算器可算得f (2.5)=-0.25.因为f (2.5)·f (3)<0,所以x 0∈(2.5,3). 再取(2.5,3)的中点x 2=2.75,用计算器可算得f (2.75)≈4.09.因为f (2.5)·f (2.75)<0,所以x 0∈(2.5,2.75).同理,可得x 0∈(2.5,2.625),x 0∈(2.5,2.5625),x 0∈(2.5,2.53125),x 0∈(2.515625,2.53125),x 0∈(2.515625,2.5234375).由于|2.523 437 5-2.515 625|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的最大根约为2.523 437 5.6.令lgx =x 1,即得方程lgx x 1-=0,再令g (x )=lgx x 1-,用二分法求得交点的横坐标约为2.5.图3-47.如图,作DE ⊥AB,垂足为E.由已知可得∠ADB=90°.因为AD=x ,AB=4,于是AD 2=AE×AB,即AE=AB AD 2=42x .所以CD=AB-2AE=4-2×42x =422x-. 于是y =AB+BC+CD+AD=4+x +422x -+x =22x -+2x +8.由于AD>0,AE>0,CD>0,所以x >0,42x >0,422x ->0,解得0<x <22.所以所求的函数为y =22x -+2x +8,0<x <22.8.(1)由已知可得N=N 0(λe 1)t .因为λ是正常数,e >1,所以e λ>1,即0<λe 1<1. 又N 0是正常数,所以N=N 0(λe 1)t 是在于t 的减函数. (2)N=N 0e -λt ,因为e -λt =0N N,所以-λt =ln 0N N ,即t =λ1-ln 0N N .(3)当N=20N 时,t =λ1-002N N =λ1-ln 2.9.因为f (1)=-3+12+8=17>0,f (2)=-3×8+12×2+8=8>0,f (3)<0,所以,下次生产应在两个月后开始. B 组1.厂商希望的是甲曲线;客户希望的是乙曲线.2.函数的解析式为y =f (t)=22,01,22)12,22.t t t t t <≤⎪⎪⎪--+<≤⎨>⎪⎩ 函数的图象为图3-5备课资料［备选例题］【例】对于函数f (x )=ax 2+(b +1)x +b -2(a ≠0)，若存在实数x 0，使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点.（1）当a =2,b =-2时，求f (x )的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围. 解：(1)f (x )=ax 2+(b +1)x +b -2(a ≠0),当a =2,b =-2时,f (x )=2x 2-x -4,设x 为其不动点,即2x 2-x -4=x ，则2x 2-2x -4=0,解得x 1=-1,x 2=2,即f (x )的不动点为-1,2．(2)由f (x )=x ,得ax 2+bx +b -2=0.关于x 的方程有相异实根,则b 2-4a (b -2)>0,即b 2-4ab +8a >0. 又对所有的b ∈R,b 2-4ab +8a >0恒成立,故有(4a )2-4·8a <0,得0<a <2.。

相关文档
最新文档