2019-2020学年怀柔区高三数学参考答案及评分标准202004

合集下载

2019北京怀柔区高三一模数学(理)试题及答案

2019北京年怀柔区高三一模数学(理)本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题共40分)一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)．1．若集合A={x|(－1<x<2}，B ={x|1≤x≤3}，则A∩B =A．(－1,2) B．[1,2) C．[1,3] D．(－1,3]2．复数=A．-i B．i C．1--i D．1-+i3．设x,y满足约束条件,1,2,y xx yx≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y=-的最大值为A．1B．3C．5D．94．执行右图所示的程序框图，若输入10x=，则输出y的值为A．3B．6C．3 2D．5 4 -5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A．B ．C ．D ．6．若函数()22-=-x x f x ，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 7．已知a b ,是两个非零向量，则“=a b ”是“=a b 且a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A B 、的大小关系是A ．AB > B ． A B <C ．A B =D ．A B 、的大小关系不确定第二部分 (非选择题共110分)二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分．)9．已知抛物线22=y px 的准线方程为1x =-，则=p __________．10．若{}n a 是等比数列，且公比4=q ,12321++=a a a ，则n a =__________． 11．函数21()sin cos s 2=+-f x x x co x 的最小正周期是________，(f x ）的取值范围是__________． 12．在极坐标系中，曲线ρ=2cos θ上的点到点(1,)π距离的最大值为 __________．13．设a b c ，，是任意实数，能够说明“若<<c b a 且0<ac ，则<ab ac ”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________．14．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”，是程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c （,,,*∈a b c d N ），则++b da c是x 的更精确的不足近似值或过剩近似值．已知 3.14159π=⋅⋅⋅，令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为__________．三、解答题(共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．) 15．（本小题满分13分）在中，角，，所的对边分别是a，b，c，，．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若，求的面积．16．（本小题满分14分）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=12AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求直线SN与平面CMN所成角的大小；（Ⅲ）求二面角--B NC M大小的余弦值.17．（本小题满分13分）某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流量的使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M的概率；（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M 的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零.该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以所需费用的数学期望为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？18．（本小题满分13分）已知函数()ln ()=-∈f x x ax a R .（Ⅰ）当2=a 时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()0f x <，求a 的取值范围.19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线l 交椭圆E 于M N 、两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程.20．（本小题满分14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成： ①212n n n a a a +++<；②存在实数M ，使M a n ≤（ n 为正整数）. （Ⅰ）在只有5项的有限数列{}n a 、 {}n b 中，其中1231,2,a a a ===3，44a =，55a =；123451,4,5,4,1b b b b b =====，试判断数列{}n a 、{}n b 是否为集合W 中的元素；（Ⅱ）设{}n c 是等差数列，n S 是其前n 项和，334,18c S ==，证明数列{}W S n ∈；并写出M 的取值范围；（Ⅲ）设数列{}n d W ∈，且对满足条件的常数M ，存在正整数k ，使k d M =．求证：123k k k d d d +++>>.数学试题答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)．二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分．)9. 2； 10. 14-n ； 11.π，[-； 12. 3； 13. 1,0,1-； 14. 227. 三、解答题(共6小题，共80分．) 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由及正弦定理得,∴-----------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）在中，由余弦定理得，所以整理得，解得或（舍去）因为，所以。

怀柔数学一模答案

怀柔区2019年高级中等学校招生模拟考试（一）数学评分标准一、选择题（每小题有且只有一个选项是正确的，请把正确的选项前的序号填在相应的表格内. 本题共有10个小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）11. x≠3. 12. 2a(a-3)(a+3). 13. 32.14.答案不唯一，符合m<1即可. 15. [(2x-1)×2-1] ×2-1=0或8x-7=0.. 16. CD 和EF 是四边形DECF 对角线，而CD 和EF 互相垂直且平分(答案不唯一).三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17. 解：原式=1221222-++-⨯………………………………………………4分= 22.………………………………………………5分 18.解：1)-1)(a (a 3)a(2a +-+=1)(a 3a 2a 22--+ =1a 3a 2a 22+-+=13a a 2++.……………………………………………………3分 ∵063a a 2=++， ∴-63a a 2=+.∴原式=-6+1=-5. ……………………………………………………5分19.解：2(x-2)3x-3, x x+1<34⎧⎪⎨⎪⎩≤① . ②解不等式①得：x≥-1. ……………………………………………………2分解不等式②得：x<3. ……………………………………………………4分所以不等式组的解集为-1≤x<3.所以不等式组的非负整数解为0,1,2. .………………………………………5分 20.证明：∵DE 是AB 边的垂直平分线,EDCBAHA CEFD∴AE=BE , ∠ADE=90°.∴∠EAB=∠B. ……………………………………………………3分在Rt △ABC 中，∠C=90°, ∴∠CAB+∠B=90°.在Rt △ADE 中，∠ADE=90°, ∴∠AED+∠EAB=90°. ……………………………………………………4分∴∠CAB=∠AED. ……………………………………………………5分21. 解：设该款空调补贴前的售价为每台x 元, ……………………………………………1分由题意，得：,500x 600001.2x 60000-=⨯………………………………………………2分解得：x=3000. ……………………………………………………3分经检验,x=3000是原方程的解，且符合题意．………………………………………………4分答：该款空调补贴前的售价为每台3000元．…………………………………………5分 22. （1）证明：∵CE//AB ，∴∠DAF=∠ECF. ……………………………1分 ∵F 为AC 的中点, ∴AF=CF. 在△DAF 和△ECF 中,DAF=ECF AF=CFAFD=CFE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴ △DAF ≌△ECF ．∴ AD=CE ． ………………………………2分 ∵CE//AB ，∴ 四边形ADCE 为平行四边形．………………………………3分（2）作FH ⊥DC 于点H ． ∵ 四边形ADCE 为平行四边形,∴ AE//DC ，DF= EF=22， ∴∠FDC =∠AED=45°．在Rt △DFH 中，∠DHF=90°，DF=22，∠FDC=45°，∴ sin ∠FDC=FH =DF 2，得FH=2， tan ∠FDC=HF=1HD，得DH=2． ………………………………4分在Rt △CFH 中，∠FHC=90°，FH=2，∠FCD=30°，∴ FC=4．由勾股定理，得HC=32．∴ DC=DH+HC=2+32． ………………………………5分 23.解：（1）把A （5,1）代入xm y =中, ∴m=5.∴反比例函数表达式x5y =.………………………………1分 ∵OC=5BC,设B(x,5x) , (x<0) 把B(x,5x)代入x5y =中, ∴5x 2=5. x 1=1（舍），x 2=-1.∴B(-1,-5) . ……………………………2分把A （5,1），B(-1,-5) 代入b kx y +=中, 得⎩⎨⎧-=+-=+5．b k 1，b 5k解得⎩⎨⎧-==4．b 1，k∴一次函数表达式为4x y -=.……………………………3分（2）P （6,0）或P （-6,0）． ……………………………5分 24. (1)证明：连结OF ，如图.∵DH 为⊙O 的切线，OF 为半径，∴OF ⊥DH. ∴∠OFD=90°。

2020届北京市怀柔区高三一模数学试题(含解析)

2020年北京怀柔区数学适应性训练本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合{1,2}A =，{}02B x x =<<，则A B =I （） A. {1}B. {1,2}C. {0,1,2}D. {}02x x <<2.已知复数z 满足1iz i =-，则z =（） A. 1i --B. 1i -C. 1i -+D. 1i +3.函数22cos 1y x =-的最小正周期为（） A.2π B. πC. 2πD. 4π4.函数f(x)=|log 2x|的图象是（）A. B.C. D.5.等差数列{}n a 中，若45615a a a ++=，则28a a +=（）A. 6B. 10C. 7D. 56.已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于原点对称，则圆C 的方程为（） A. x 2＋y 2＝1 B. x 2＋(y ＋1)2＝1 C. x 2＋(y －1)2＝1D. (x ＋1)2＋y 2＝17.已知1a =r ，则“()a a b ⊥+rr r ”是“1a b ⋅=-r r ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件8.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.23B.43C. 3D.329.已知0a b <<，则下列不等式成立的是（） A. 22a b <B. 2a ab <C.11a b< D.1b a< 10.“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈o ）A. 3.05B. 3.10C. 3.11D. 3.14第二部分(非选择题共110分)二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）11.已知抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为___________.12.7(1)x +的展开式中3x 的系数是___________.13.在ABC ∆中，60ABC ∠=o ，22BC AB ==，E 为AC的中点，则AB BE ⋅=u u u r u u u r___________.14.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 15.若函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减，则实数a 的取值范围是___________. 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.已知在ABC ∆中，2a =，2b =①π4A =；②B A >；③sin sin B A <；④4c =.（1）直接写出所有可能满足的条件序号；（2）在（1）的条件下，求B 及c 的值.17.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是BC ，PC 的中点，2,2AB AP ==，．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角E AF C --的大小．18.某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为100分，规定测试成绩在[85,100]之间为“体质优秀”，在[75,85)之间为“体质良好”，在[60,75)之间为“体质合格”，在[0,60)之间为“体质不合格”.现从这两个年级中各随机抽取7名学生，测试成绩如下：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 高一年级 60 85 80 65 90 9175高二年级 7985917560m n其中,m n 是正整数.（1）若该校高一年级有280学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；（2）若从高一年级抽取的7名学生中随机抽取2人，记X 为抽取的2人中为“体质良好”的学生人数，求X 的分布列及数学期望；（3）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出,m n 的值.（只需写出结论）19.已知函数()ln ,()xf x xg x e ==.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）当0x >时，证明：()()f x x g x <<；（3）判断曲线()f x 与()g x 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE x ⊥轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：ABD ∆是直角三角形．21.已知数列{}{}{},,n n n a b c ，且11,()n n n n n n b a a c b b n N *++=-=-∈.若{}n b 是一个非零常数列，则称{}n a 是一阶等差数列，若{}n c 是一个非零常数列，则称{}n a 是二阶等差数列.（1）已知111,1,1n a b c ===，试写出二阶等差数列{}n a 的前五项；（2）在（1）的条件下，证明：222n n n a -+=；（3）若{}n a 的首项12a =，且满足1132()n n n n c b a n N +*+-+=-∈，判断{}n a 是否为二阶等差数列.第一部分(选择题共40分)一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合{1,2}A =，{}02B x x =<<，则A B =I （） A. {1} B. {1,2}C. {0,1,2}D. {}02x x <<【答案】A 【解析】【分析】根据交集的概念，可得结果.【详解】由题可知：{1,2}A =，{}02B x x =<< 所以{}1A B ⋂= 故选：A【点睛】本题考查交集的概念，属基础题. 2.已知复数z 满足1iz i =-，则z =（）A. 1i --B. 1i -C. 1i -+D. 1i +【答案】C 【解析】把i 1i z =-两边同乘以i -，则有()()1i ?i 1i z =--=--，1i z ∴=-+，故选C. 3.函数22cos 1y x =-的最小正周期为（） A.2πB. πC. 2πD. 4π【答案】B 【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式，可得cos 2y x =，然后利用2T ωπ=，可得结果.【详解】由题可知：22cos 1cos 2y x x =-=所以最小正周期为222T πππω=== 故选：B【点睛】本题考查二倍角的余弦公式以及三角函数最小正周期的求法，重在识记公式，属基础题. 4.函数f(x)=|log 2x|的图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析：易知函数值恒大于等于零，同时在（0，1）上单调递减且此时的图像是对数函数的图像关于x 轴的对称图形，在单调递增．故选A ．考点：已知函数解析式作图．5.在等差数列{}n a 中，若45615a a a ++=，则28a a +=（） A. 6 B. 10C. 7D. 5【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的性质，可得5a ，然后由2852a a a +=，简单计算结果. 【详解】由题可知：456553155++==⇒=a a a a a又2852a a a +=，所以2810a a += 故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，考验计算，属基础题. 6.已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于原点对称，则圆C 的方程为（） A. x 2＋y 2＝1 B. x 2＋(y ＋1)2＝1 C. x 2＋(y －1)2＝1 D. (x ＋1)2＋y 2＝1【答案】D 【解析】【分析】利用对称性，可得点C 坐标以及圆C 的半径，然后可得结果. 【详解】由题可知：圆C 的圆心()1,0C -，半径为1 所以圆C 的方程为：()2211x y ++= 故选：D【点睛】本题考查圆的方程，直观形象，简单判断，对圆的方程关键在于半径和圆心，属基础题.7.已知1a =r ，则“()a a b ⊥+rr r ”是“1a b ⋅=-r r ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量的垂直关系，可得()0a a b ⋅+=rr r ，简单计算，可得结果.【详解】由()a a b ⊥+rr r，则2()00⋅+=⇒+⋅=rrr rrr a a b a a b 又1a =r ，所以1a b ⋅=-r r若1a b ⋅=-r r ，且1a =r ，所以20+⋅=r r r a a b ，则()a a b ⊥+r r r所以“()a a b ⊥+rr r”是“1a b ⋅=-r r”的充要条件故选：C【点睛】本题考查向量的垂直的数量积表示以及计算，同时考查了充分、必要条件，识记概念与计算公式，属基础题.8.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.23B.43C. 3D.32【答案】D 【解析】【分析】利用数形结合，还原出原几何体的直观图，可得该几何体为一个三棱锥，然后根据锥体体积公式简单计算即可.【详解】根据三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥P ABC -，如图可知3,1,==⊥AB BC AB BC ，点P 到平面ABC 的距离为3h =11331222△=⋅⋅=⋅⋅=ABC S AB BC所以113333322△-=⋅⋅=⋅⋅=P ABC ABC V S h故选：D【点睛】本题考查三视图还原以及几何体体积，关键在于三视图的还原，熟悉常见的几何体的三视图，比如：圆锥，圆柱，球，三棱锥等，属中档题. 9.已知0a b <<，则下列不等式成立的是（） A. 22a b < B. 2a ab <C.11a b< D.1b a< 【答案】D 【解析】【分析】直接利用作差比较法比较即得正确选项.【详解】22a b -=22)()0,,a b a b a b +->∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的.11a b -=110,.b a ab a b ->∴>所以C 选项是错误的. 1b a -=0, 1.b a b a a -<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.【点睛】(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.10.“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈o ）A. 3.05B. 3.10C. 3.11D. 3.14【答案】C 【解析】【分析】假设圆的半径为r ，根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，顶角为36024o，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果. 【详解】设圆的半径为r ，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形且顶角为3601524=oo所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152⋅⋅⋅⋅=o o r r r 所以2212sin1512sin15 3.11ππ=⇒=≈o o r r 故选：C【点睛】本题考查分割法使用，考验计算能力与想象能力，属基础题.第二部分(非选择题共110分)二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）11.已知抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为___________.【答案】 (1). (2,0) (2). 2x =-；【解析】【分析】计算双曲线的右顶点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步可得准线方程.【详解】由题可知：双曲线2214x y -=的右顶点坐标为()2,0所以可知抛物线的焦点坐标为()2,0，准线方程为2x =- 故答案为：(2,0)；2x =-【点睛】本题主要考查抛物线的方程的应用，审清题意，注意细节，属基础题.12.7(1)x +的展开式中3x 的系数是___________.【答案】35；【解析】【分析】根据二项式定理的通项公式1C r n r rr n T a b -+=，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：7(1)x +的通项公式为717r r r T C x -+=，令734-=⇒=r r所以3x 的系数是4735C =故答案为：35【点睛】本题考查二项式中指定项的系数，掌握公式，细心计算，属基础题.13.在ABC ∆中，60ABC ∠=o ，22BC AB ==，E 为AC 的中点，则AB BE ⋅=u u u r u u u r___________.【答案】1-；【解析】【分析】计算BA BC ⋅u u u r u u u r ，然后将BE u u u r 用,BA BC u u ur u u u r 表示，最后利用数量积公式可得结果.【详解】由60ABC ∠=o ，22BC AB ==，所以1cos 1212⋅=∠=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r BA BC BA BC ABC又E 为AC 的中点，所以()12=+u u u r u u u r u u u r BE BA BC所以()211111122222⋅=-⋅+=--⋅=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AB BE BA BA BC BA BA BC故答案为：1-【点睛】本题考查向量的数量积运算，给出已知的线段与相应的夹角，通常可以使用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题.14.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．【答案】1120 【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案．【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元．【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．15.若函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】2,)+∞. 【解析】使用等价转化的思想，转化为'()0f x ≤在(,)22ππ-恒成立，然后利用分离参数的方法，结合辅助角公式，可得max4π⎤⎛⎫≥+⎪⎥⎝⎭⎦a x ，简单计算和判断，可得结果. 【详解】由题可知：函数()(cos )x f x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减等价于'()0f x ≤在(,)22ππ-恒成立即()'()cos sin 0=--≤xf x ex x a 在(,)22ππ-恒成立则cos sin 4π⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭a x x x 在(,)22ππ-恒成立所以max4π⎤⎛⎫≥+⎪⎥⎝⎭⎦a x ，由(,)22x ππ∈-，所以3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x故cos 42π⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦x (4π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x所以a ≥)∈+∞a故答案为：)+∞【点睛】本题考查根据函数的单调性求参，难点在于得到'()0f x ≤在(,)22ππ-恒成立，通过等价转化的思想，化繁为简，同时结合分离参数方法的，转化为最值问题，属中档题.三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.已知在ABC ∆中，2a =，b =①π4A =；②B A >；③sin sin B A <；④4c =. （1）直接写出所有可能满足的条件序号；（2）在（1）条件下，求B 及c 的值.【答案】（1）①，③；（2）6B π=；1c =【解析】（1）根据大边对大角，可得A B >，然后根据正弦定理，可得sin sin B A <.（2）利用正弦定理，可得B ，然后利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-，简单计算可得结果. 【详解】解：（1）①，③.（2）由sin sin a b A B=，可得22sin 4π=22sin2142sin 222B π⨯∴=== 226a b A B B π=>=⇒>⇒=Q22222222cos 2(2)22a b c bc A c c =+-⇒=+-⨯⨯⨯由解得31c =+或31c =-+（舍）.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，识记公式，熟练使用正弦定理、余弦定理，边角互化，考验计算能力，属中档题.17.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是BC ，PC 的中点，2,2AB AP ==，．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角E AF C --的大小．【答案】（1）见解析（2）6π【解析】【详解】（1）PA ABCD PA BD ABCD AC BD BD PAC⊥⇒⊥⇒⊥⇒⊥Q 平面正方形平面（2）以A 为原点，如图所示建立直角坐标系(0,0,0)(2,1,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)A E F AE AF ==u u u r u u u r ，，设平面FAE 法向量为(,,)n x y z =r，则20{x y x y z +=++=(1,2,1)n =-r，(2,2,0)BD =-u u u r ，·3cos 22?6||?,66n BD n BD E AF C θππθ===∴=--u u u r r u u u ur u u r 即二面角的大小为18.某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为100分，规定测试成绩在[85,100]之间为“体质优秀”，在[75,85)之间为“体质良好”，在[60,75)之间为“体质合格”，在[0,60)之间为“体质不合格”.现从这两个年级中各随机抽取7名学生，测试成绩如下：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 高一年级 60 85 80 65 90 9175高二年级 7985917560m n其中,m n 是正整数.（1）若该校高一年级有280学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；（2）若从高一年级抽取的7名学生中随机抽取2人，记X 为抽取的2人中为“体质良好”的学生人数，求X的分布列及数学期望；（3）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出,m n 的值.（只需写出结论）【答案】（1）120；（2）详见解析；（3）78m n == 【解析】【分析】（1）根据表中数据计算样本中的优秀率，然后用样本估计整体，简单计算可得结果.（2）写出X 所有可能取值，并求得相应的概率，列出分布列，然后根据数学期望公式，可得结果. （3）根据两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，可得,m n 之间关系，然后利用方差公式，结合二次函数，可得结果.【详解】解：（1）高一年级随机抽取的7名学生中， “体质优秀”的有3人，优秀率为37，将此频率视为概率，估计高一年级“体质优秀”的学生人数为32801207⨯=人.（2）高一年级抽取的7名学生中“体质良好”的有2人，非“体质良好”的有5人. 所以X 的可能取值为0,1,2所以021*******771010(0),(1),2121======C C C C P X P X C C 2025271(2)21===C C P X C 所以随机变量X 的分布列为：10101124()012212121217E X =⨯+⨯+⨯== （3）78m n ==【点睛】本题考查离散性随机变量的分布列以及数学期望，同时考查平均数与方差，本题主要考验计算，牢记计算的公式，掌握基本统计量的概念，属基础题.19.已知函数()ln ,()xf x xg x e ==.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）当0x >时，证明：()()f x x g x <<；（3）判断曲线()f x 与()g x 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由. 【答案】（1）1y x =-；（2）证明见解析；（3）存在；存在2条公切线【解析】【分析】（1）计算()'f x ，根据曲线在该点处导数的几何意义可得切线的斜率，然后计算()1f ，利用点斜式，可得结果.（2）分别构造()ln ,()=-=-xh x x x s x x e ，通过导数研究(),()h x s x 的性质，可得 max ()0h x <，()(0)1s x s <=-，简单判断，可得结果.（3）分别假设()f x 与()g x 的切线，根据公切线，可得(1)10-++=xx x e ，利用导数研究函数()(1)1x h x e x x =-++零点个数，根据()h x 性质可得结果.【详解】解：（1）()ln f x x =的定义域(0,)+∞1()(1)1f x k f x=⇒'='=由又(1)0f =所以()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：1y x =-. （2）设()()ln (0)h x f x x x x x =-=->，11'()101x h x x x x-=-==⇒=由， '(),()h x h x x 随变化如下:max ()(1)ln1110h x h ∴==-=-< ()f x x ∴<设()(),=-=-x s x x g x x e 则'()1e 0x s x =-<在(0,)x ∈+∞上恒成立(0,())x s x ∈+∴∞在上单调递减()(0)10()∴<=-<⇒<s x s x g x综上()()f x x g x <<（3）曲线()f x 与()g x 存在公切线，且有2条，理由如下：由（2）知曲线()f x 与()g x 无公共点，设12,l l 分别切曲线()f x 与()g x 于2112(,ln ),(,)xx x x e ，则22112211:ln 1;:(1)x x l y x x l y e x e x x =⋅+-=⋅+-，若12l l =，即曲线()f x 与()g x 有公切线，则222122121(1)10ln 1(1)x x x ex e x x x e x ⎧=⎪⇒-++=⎨⎪-=-⎩ 令()(1)1xh x e x x =-++，则曲线()f x 与()g x 有公切线，当且仅当()h x 有零点，'()1x h x xe =-+Q ，当0x ≤时，'()0h x >，()h x 在(),0-∞单调递增，当0x >时，()''()10=-+<xh x x e ，'()h x 在()0,∞+单调递减'(0)10,'(1)10h h e =>=-<又，所以存在0(0,1)x ∈，使得000'()10=-+=xh x x e 且当0(0,)x x ∈时，'()0,()h x h x >单调递增，当0(,)x x ∈+∞时，'()0,()h x h x <单调递减0max 0000001()()(1)1(1)10x h x h x e x x x x x ∴==-++=-++>，又22(2)310,(2)30--=-<=-+<h e h e 所以()h x 在00(2,),(,2)-x x 内各存在有一个零点故曲线()f x 与()g x 存在2条公切线.【点睛】本题考查导数综合应用，掌握曲线在某点处导数的几何意义，同时比较式子之间大小关系常用方法：作差法，函数单调性等，考验逻辑推理能力，属难题.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE x ⊥轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：ABD ∆是直角三角形．【答案】（1）22142x y +=（2）见解析【解析】【分析】（1）由题得2c b a ==，222a b c =+，解之即得椭圆的方程；（2）设()11,A x y ，(),y D D D x ，则()11,B x y --，()1,0E x ，联立直线BE 的方程和椭圆的方程求出21121838D y x x y -=-， 312138D y y y -=-，证明1AB AD k k =-g ，ABD ∆是直角三角形即得证.【详解】（1）依题意可得2c b a ==，所以2222222212c a b a a a a --===，得2a =，所以椭圆的方程是22142x y += .（2）设()11,A x y ，(),y D D D x ，则()11,B x y --，()1,0E x ，直线BE 的方程为()1112y y x x x =-，与22142x y +=联立得 222211*********y y y x x x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，因为D x ，1x -是方程的两个解，所以()212211122211121482212D y y x x x x y y x ---==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭g 又因为2211142x y +=，所以21121838D y x x y -=-，代入直线方程得312138D y y y -=- 3112211122111112138241838AB ADy y y y y k k y x x x x y +--===----g g 所以AB AD ⊥，即ABD ∆是直角三角形.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.已知数列{}{}{},,n n n a b c ，且11,()n n n n n n b a a c b b n N *++=-=-∈.若{}n b 是一个非零常数列，则称{}n a 是一阶等差数列，若{}n c 是一个非零常数列，则称{}n a 是二阶等差数列.（1）已知111,1,1n a b c ===，试写出二阶等差数列{}n a 的前五项；（2）在（1）的条件下，证明：222n n n a -+=；（3）若{}n a 的首项12a =，且满足1132()n n n n c b a n N +*+-+=-∈，判断{}n a 是否为二阶等差数列.【答案】（1）11a =，22a =，34a =，47a =，511a =;（2）证明见解析；（3）{}n a 不是二阶等差数列【解析】【分析】（1）根据111,1,1n a b c ===，以及11,++=-=-n n n n n n b a a c b b ，简单计算，可得结果.（2）根据11+-==n n n b b c ，可知n b n =，利用1n n n a a +-=，使用迭加法，可得n a .（3）根据题意可得1124(2)+++=+n n n n a a ，进一步可得n a ，然后可得942=⋅-n n n c ，简单判断，可得结果.【详解】解：（1）11a =，22a =，34a =，47a =，511a =. （2）11,1,2,3,n n n b b c n +-===⋅⋅⋅Q11111n n i i b c b n n -=∴=+=-+=∑又1,1,2,3,n n n a a b n n +-===⋅⋅⋅2111(1)2122n n i i n n n n a b a -=--+∴=+=+=∑. （3）{}n a 不是二阶等差数列.理由如下： Q 数列{}n a 满足1132()n n n n c b a n N +*+-+=-∈ 又1n n n b a a +=-，1+=-n n n c b b （n *∈N ） ∴由11113242++++-+=-⇒=+n n n n n n n c b a a a 则1124(2)+++=+n n n n a a∴数列{}2n n a +是首项为124a +=，公比为4的等比数列 1244442n n n n n n n a a -∴+=⋅=⇒=-942n n n c ∴=⋅-，显然{}n c 非常数列 {}n a ∴不是二阶等差数列.【点睛】本题考查数列中新定义的理解，关键在于发现,,n n n a b c 之间的关系，考查观察能力，分析能力以及逻辑思维能力，新定义的理解同时考查了阅读理解能力，属难题.。

北京市怀柔区2020届高三数学4月调研考试试题理北师大版

怀柔区高三年级调研考试数学（理科）2012.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，B={0，2}，则=⋂B A C U )(A ．{0}B ．{2}C ．{0，l ，2}D ．φ2．已知i 为虚数单位，2=iz，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i 3．“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是A ．21B ．1C ．23D ．2 5．函数2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为A ．33B ．36C ．22D ．24 7．将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体1111ABCD A B C D -同的标字母方式共有A ．24种B ．48种C ．72种D ．144种8．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，2，主视图俯视图函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为A ．5B ．7C ．8D ．10 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含4x 的项的系数是（用数字作答）． 10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是． 11．如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且PB PA 3=则=BCPB． 12．当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为．13．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为,M 若直线13+-=k kx y 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是．14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．P16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD 的交点为O，E为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC；（Ⅲ）当二面角E BD C--的大小为45︒时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．OSA BCDE17．（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率．18．（本小题满分13分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈．（Ⅰ）讨论1=a 时，()f x 的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分14分）已知：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分）定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（Ⅰ）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（Ⅱ）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（Ⅲ）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．9．10 10．2011≤i 11．2112．]2,1( 13．)0,31[- 14．936- 三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．解：（Ⅰ）∵222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==又0A π<<， ∴3A π=；-------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）∵Aa xb sin sin =，∴x x x a b sin 2sin 233sin 3sin=⋅=⋅=π同理)32sin(sin sin x C A a c -=⋅=π∴3)6sin(323)32sin(2sin 2++=+-+=ππx x x y∵320,3ππ<<∴=x A ∴)65,6(6πππ∈+x ， ∴62x ππ+=即3x π=时，max 33y =.----------------------------13分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ；（Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒ 时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．（Ⅰ）证明：连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE .-----------------------------------------4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，AC BD ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2，则(0, 0, 0)O ，(0, 0,2)S ，)2, 0, 0A，()0,2, 0B ，()2, 0, 0C -， ()0, 2, 0D .所以()22, 0, 0AC =-u u u r ，()0, 22, 0BD =-u u u r.设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=︒.OSABCDEOyzxSA BCDE所以22(2, 0, )22E a a -+，22(2, 2, )22BE a a =-+-u u u r . 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，则0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0, 22(2)20.22y a x y az =⎧⎪⎨-+-+=⎪⎩ 令1z =，得(, 0, 1)2aa=-n . 易知()0, 22, 0BD =-u u u r是平面SAC 的法向量.因为(, 0, 1)(0, 22, 0)02a BD a ⋅=⋅-=-u u u r n ，所以BD ⊥u u u r n ，所以平面BDE ⊥平面SAC .-------------------------------------9分（Ⅲ）解：设CE a =（02a <<），由（Ⅱ）可知，平面BDE 法向量为(, 0, 1)2aa=-n . 因为SO ABCD ⊥底面，所以(0, 0, 2)OS =u u u r是平面SAC 的一个法向量.由已知二面角E BD C --的大小为45︒.所以2cos , cos 452OS 〈〉=︒=u u u rn ， 2222()122a a=+⋅-，解得1a =.[ 所以点E是SC的中点.-----------------------------------------------------------------14分 17．（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率．解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是12)501.0505.0(40=⨯+⨯⨯件------------2分（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,222824063(0)130C P C ξ===,11122824056(1)130C C P C ξ===,21224011(2)130C P C ξ===, ξ的分布列为-------------------------------------------------------9分（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为3.0，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为3.0，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则)3.0,5(~B ξ，故所求的概率为3087.0)7.0()3.0()2(3225===C p ξ-----------------------13分18．（本小题满分13分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈．（Ⅰ）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+; （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）Θx x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-=' ∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增∴()f x 的极小值为1)1(=f -----------------------------------------------------------4分（Ⅱ）Θ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1，∴ 0)(>x f ，min ()1f x =……5分令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，xxx h ln 1)(-='，当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+------------------------------------------------8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-x ax 1-=① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. ② 当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件.③ 当e a ≥1时，)(xf 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.---------------------13分19．（本小题满分14分）已知：椭圆12222=+by a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由33=a b ，22232121b a b a +⋅⋅=⋅ ，得3=a ，1=b ，所以椭圆方程是：1322=+y x ---------------------------------------------------------4分（Ⅱ）设EF ：1-=my x （0>m ）代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ，设),(11y x E ，),(22y x F ，由2=，得212y y -=．由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y ----------------------------6分得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m （舍去），（没舍去扣1分）直线EF的方程为：1-=y x 即01=+-y x ----------------------------------------9分（Ⅲ）将2+=kx y 代入1322=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*）记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=+++++k k x x k x x k ．解得67=k ，此时（*）方程0>∆， ∴存在67=k ，满足题设条件．------------------------------------------------------14分20．（本小题满分13分）定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（Ⅰ）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（Ⅱ）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（Ⅲ）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．解：（Ⅰ）由29n a n n =-+，得2)1(18)1(2)2(9)2(9222212-=+-+++++-+-=-+++n n n n n n a a a n n n所以数列{}n a 满足212n n n a a a +++≤. 又298124n a n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当n =4或5时，n a 取得最大值20，即n a ≤20.综上，数列{}n a 是T 数列.------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）因为11331350(1)50502222n n nn n b b n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以当1350022n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即11n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增当12n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；故数列{}n b 的最大项是12b ，所以，M 的取值范围是1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭----------------------------------------9分（Ⅲ）①当12p <≤时，当1n =时1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由13252203p c c c +-=-≤得65p ≤，即当615p <≤时符合122++≤+n n nc c c 条件.若2n ≥，则1≤n p ,此时1n p c n=- 于是 2122(1)(1)2(1)021(1)(2)n n n p p p pc c c n n n n n n ++-+-=-+---=<++++ 又对于*n ∈N 有11n p c n =-<，所以当615p <≤时数列{}n c 是T 数列； ②当23p <≤时，取1n =则：1231,1,1,23p pc p c c =-=-=- 由0322231>-=-+pc c c ，所以23p <≤时数列{}n c 不是T 数列 ③当3p >时，取1n =则1231,1,1,23p pc p c c =-=-=- 由1325206pc c c +-=>，所以3p >时数列{}n c 不是T 数列. 综上：当615p <≤时数列{}n c 是T 数列；当65p >时数列{}n c 不是T 数列-----------------------------------------------------------------------------13分。

2019怀柔区高三一模数学试卷及答案理科

怀柔区2019～2019学年度第二学期高三适应性练习数学（理科）2019.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集R U =，}21{<<-=x x A ，}0{≥=x x B ，则=)(B A C UA ．}20{<≤x xB ．}0{≥x xC ．}1{-≤x xD ．}1{->x x2．复数=-+i i11A ．i -B ．1-C ．iD ．13．已知等比数列}{n a 的公比为2，且531=+a a ，则42a a +的值为A ．10B ．15C ．20D ．254．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为A ．B ．C ．D ． 5．若＝(1,2,－3)，＝(2,a －1,a 2－31)，则“a ＝1”是“⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．右图是计算函数2x ,x 1y 0,1x 2x ,x 2⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是 A ．y x =-，y 0=，2y x =B ．y x =-，2y x =，y 0= C ．y 0=，2y x =，y x =-D ．y 0=，y x =-， 2y x =7．在极坐标系中，定点1,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，动点B 在直线cos sinρθρθ+上运动，当线段AB 最短时，动点B 的极坐标是A ．)4,22(π B ．)43,22(πC ．)4,23(π D ．)43,23(π 8．已知三棱锥A BCO -，OA OB OC 、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在BCO ∆内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为A ．6π B ．6π或636π+C ．366π-D ．6π或366π-第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．命题：0,2≥∈∀x R x 的否定是．10．函数1cos 2)(2-=x x f 的最小正周期为；单调递减区间为． 11．如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为；若从乙班身高不低于170cm 的同学中随机抽取两名，则身高为173cm 的同学被抽中的概率为．甲班乙班2 18 19 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 912．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2=PA ．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1=PB ，则圆O 的半径=R ．13．已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线12222=-by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为．14注：加满油后已行驶距离加满油后已用油量油耗=，当前油耗汽车剩余油量可继续行驶距离=，指定时间内的行驶距离指定时间内的用油量平均油耗=．从以上信息可以推断在10：00—11：00这一小时内（填上所有正确判断的序号）． ① 行驶了80公里； ② 行驶不足80公里；③ 平均油耗超过9.6升/100公里； ④ 平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤ 平均车速超过80公里/小时．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc -=．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =cos C =，求c 的长． 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2P A A D ==，,,E F H分别是线段,,PA PD AB 的中点．（Ⅰ）求证：PB //平面EFH ；（Ⅱ）求证：PD ⊥平面AHF ；（Ⅲ）求二面角H EF A --的大小．17．（本小题满分13分）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下（Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，及数学期望ξE．18．（本题满分13分）已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）．（Ⅰ）若1,1a b ==-，求)(x f 在1=x 处的切线方程；（Ⅱ）若2a b =--，讨论函数()f x 的单调性．已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C ：)0(12222>>=+b a a y b x 上的一点．斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）ABD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（Ⅲ）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ；（Ⅱ）若集合}2,,8,4,2{nA =，求证：2)1()(-=n n A l ；（Ⅲ）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？参考答案及评分标准(理科) 2019.3一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. R x ∈∃,02<x 10. π；)](2,[Z k k k ∈+πππ 11. 169；3112.3 13. 12+ 14. ② ③三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc -=．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =cos 3C =，求c 的长．解：（Ⅰ） 222+c b a bc -= ， 2221c o s22b c a A bc +-==-------------------------4分 π<<A 03π=∴A -----------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）在ABC ∆中，3π=A，a =，cos 3C =sin C ∴===------------------------------------------8分由正弦定理知：,sin sin a C A C= ∴ACa c sin sin=3==-----------------------------------------------12分∴362=c -------------------------------------------------------------------------------13分16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2P A A D ==，,,E F H 分别是线段,,PA PD AB 的中点．（Ⅰ）求证：PB //平面EFH ；（Ⅱ）求证：PD ⊥平面AHF ；（Ⅲ）求二面角H EF A --的大小．解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)A B C D ∴,)2,0,0(P ，)1,0,0(E ，)1,1,0(F ，(1,0,0)H ．----------------------------1分（Ⅰ）证明：∵(2,0,2)PB =-，(1,0,1)EH =-，∴2PB EH =,∵⊄PB 平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB //平面EFH ．-------------------------------------------------5分（Ⅱ）解：(0,2,2)PD =-，(1,0,0)AH =， (0,1,1)AF =，0021(2)10,0120(2)00.PD AF PD AH ⋅=⨯+⨯+-⨯=⋅=⨯+⨯+-⨯=,PD AF PD AH ∴⊥⊥，又AF AH A =，PD ∴⊥平面AHF ． -----------------------------------------------------9分（Ⅲ）设平面HEF 的法向量为),,(z y x =,因为(0,1,0)EF =，(1,0,1)EH =-，则0,0,n EF y n EH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩取).1,0,1(= 又因为平面AEF 的法向量为),0,0,1(=m所以cos ,2||||2m n m n m n ⋅<>====-------------------------12分 ,45,m n ∴<>=所以二面角H EF A --的大小为45．-------------------------------------------------14分17．（本小题满分13分）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下(Ⅰ(Ⅱ)中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，及数学期望ξE ．解：(Ⅰ)“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A ，则222246352182()9C C C C P A C +++==. ------------------------------------------------------------5分 (Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2. -----------------------------------------------------------------2分∵21421891(0)153C P C ξ===，1141421856(1)153C C P C ξ===，242186(2)153C P C ξ===，∴ξ的分布列为：--------------------------------10分∴915664()0121531531539E ξ=⨯+⨯+⨯=. -------------------------------------------------------13分18．（本题满分13分）已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）．（Ⅰ）若1,1a b ==-，求)(x f 在1=x 处的切线方程；（Ⅱ）若2a b =--，讨论函数()f x 的单调性．解：（Ⅰ）因为1,1a b ==-，所以函数2()ln f x x x x =+-，2)1(=f又1()21f x x x'=+-，2)1('=f -------------------------------------------------------------2分所以)1(22-=-x y即)(x f 在1=x 处的切线方程为02=-y x -------------------------------------------------5分（Ⅱ）因为2a b =--，所以2()(2)ln f x x b x b x =-++，则 (2)(1)()2(2)b x b x f x xb x x --'=-++= )0(>x令()0f x '=，得12bx =，21x =．----------------------------------------------------------------7分（1）当02b≤，即0≤b 时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞； -------------------------------------------------------------------------------------------------------8分（2）当01b<<，即02b <<时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)2b ；-------9分（3）当12b=，即2b =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；-----------------------------10分（4）当1b>，即2b >时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2+∞，单调递减区间为(1,)2b ；--------------12分综上，当0≤b 时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；当02b <<时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2b ，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)2b ；当2b =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当2b >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2b +∞，单调递减区间为(1,)2b ．-----------------------------------------------------------------------------------------------------------13分19．（本小题满分14分）已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C ：)0(12222>>=+b a a y b x 上的一点．斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）ABD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（Ⅲ）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．解：（Ⅰ） a c e ==22， 12122=+ab ，222c b a +=∴2=a ，2=b ，2=c∴14222=+y x --------------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）设直线BD 的方程为b x y +=2∴⎩⎨⎧=++=42222y x b x y 0422422=-++⇒b bx x ∴06482>+-=∆b 2222<<-⇒b,2221b x x -=+ ----① 44221-=b x x -----② 222128264864343)2(1b b x x BD -=-=∆=-+= ，设d 为点A 到直线BD ：b x y +=2的距离， ∴3b d =∴2)8(422122≤-==∆b b d BD S ABD ，当且仅当2±=b 时取等号. 因为2±)22,22(-∈，所以当2±=b 时，ABD ∆的面积最大，最大值为2--------10分（Ⅲ）设),(11y x D ，),(22y x B ，直线AB 、AD 的斜率分别为：AB k 、AD k ，则=+AB AD k k 122122121222112211--++--+=--+--x b x x b x x y x y =]1)(2[22212121++--++x x x x x x b ------* 将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得]1)(2[22212121++--++x x x x x x b =0，即=+AB AD k k 0----------------------------------------------------------------------------------------------14分20．(本小题满分13分)已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ；（Ⅱ）若集合}2,,8,4,2{nA =，求证：2)1()(-=n n A l ；（Ⅲ）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？解：（Ⅰ）由,1486,1284,1064,1082,862,642=+=+=+=+=+=+ 得5)(=P l .由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+得6)(=Q l .----------------------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）证明：因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最多有2)1(2-=n n C n 个值，所以.2)1()(-≤n n A l 又集合}2,,8,4,2{nA =，任取),1,1(,n l k n j i a a a a l k j i ≤<≤≤<≤++ 当l j ≠时,不妨设l j <，则l k l j j j i a a a a a a +<≤=<++122，即l k j i a a a a +≠+.当k i l j ≠=,时，l k j i a a a a +≠+.因此，当且仅当l j k i ==,时， l k j i a a a a +=+. 即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同，所以.2)1()(-=n n A l -----------------------------------------------------------------------------------------9分（Ⅲ） )(A l 存在最小值，且最小值为32-n ．不妨设,321n a a a a <<<< 可得,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+-所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即.32)(-≥n A l 事实上，设n a a a a ,,,,321 成等差数列，考虑)1(n j i a a j i ≤<≤+，根据等差数列的性质，当n j i ≤+时，11-++=+j i j i a a a a ；当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+；因此每个和)1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个，或者等于)12(-≤≤+n l a a n l 中的一个.所以对这样的32)(,-=n A l A ,所以)(A l 的最小值为32-n . --------------------------------------13分。

北京市怀柔区高三数学模拟试题答案

北京市怀柔区高三数学模拟试题答案一、选择题1、答案：C解析：集合 A=｛x|－2＜x＜3}，集合 B=｛x|x＜1}，则A∩B=｛x|－2＜x＜1}，故选 C。

2、答案：A解析：复数 z=（1+i)（2-i)＝3+i，其共轭复数为 3 i，故选 A。

3、答案：B解析：因为函数 f(x)是奇函数，所以 f(x)＝f(x)。

f(－1)＝f(1)＝（2×1 1)＝－1，故选 B。

4、答案：D解析：根据抛物线的标准方程 y²＝ 2px，焦点坐标为（p/2，0），抛物线 y²＝ 8x 中，2p ＝ 8，p ＝ 4，焦点坐标为（2，0），故选 D。

5、答案：C解析：向量 a ＝（1, 2)，b ＝（m, －1)，若 a⊥b，则 a·b ＝ 0，即m 2 ＝ 0，m ＝ 2，故选 C。

6、答案：B解析：由正弦定理 a/sinA ＝ b/sinB 可得，sinB ＝ bsinA/a ＝√3/2，因为 a＜b，所以 B ＝ 60°或 120°，故选 B。

7、答案：A解析：执行程序框图，第一次循环，i ＝ 1，S ＝ 1；第二次循环，i ＝ 2，S ＝ 3；第三次循环，i ＝ 3，S ＝ 6；第四次循环，i ＝ 4，S ＝10；第五次循环，i ＝ 5，S ＝ 15＞10，输出 i ＝ 5，故选 A。

8、答案：C解析：函数 f(x) ＝ sin(2x ＋π/3)的最小正周期 T ＝2π/2 ＝π，将其图象向左平移π/6 个单位，得到 g(x) ＝ sin2(x ＋π/6) ＋π/3 ＝ sin(2x ＋2π/3)，其对称轴方程为 2x ＋2π/3 ＝kπ ＋π/2，k∈Z，解得 x ＝kπ/2π/12，k∈Z，当 k ＝ 0 时，x ＝π/12，故选 C。

9、答案：D解析：若 a＞0，b＞0，且 a ＋ b ＝ 4，则根据均值不等式，ab ≤ （a ＋ b)²/4 ＝ 4，所以 1/a ＋ 1/b ＝（a ＋ b)／（ab) ≥ 4/4 ＝ 1，当且仅当a ＝b ＝ 2 时，等号成立，故选 D。

2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案

5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程．（2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ．（1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ；（2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立，求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2 sin 4
2
2 2 1
-----------------------8 分
2
2
2
a 2 b 2 A B B --------------------------9 分 6
解法一： sin C sin( ( A B)) sin 7 6 2
12
4
由
a
c
c a sin C 2
设 s(x) x g(x) x ex ,则s '(x) 1 ex 0在x (0, )上恒成立， s(x)在x (0, )上单调递减
s(x) s(0) 1 0 x g(x) -----------------------------------9 分
综上 f x x g x ----------------------------------------------------10 分
所以，二面角 E AF C 的大小为．--------------------------14 分 6
18．（本题满分 14 分）解：（Ⅰ）高一年级随机抽取的 7 名学生中，“体质优秀”的有 3 人，优秀率为 3 ，将此频率视为概率，估
7 计高一年级“体质优秀”的学生人数为 3 280 120人．---------------------3 分
1
（Ⅱ）解： PA 平面ABCD ， AB AD ---------------------------------------------------------------6 分以 A 为原点、 AB 为 x 轴、 AD 为 y 轴、 AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系---------7 分
AB AD ，即 ABD 是直角三角形. -----------------------------------------------14 分
y12 x12
=
y22 y12 4 2 y22 4 2 y12
1 -----------11 分 2
k AD
=
1 2k
，
-------------------------------------------------------12 分
kAB kAD = 1 ------------------------------------------------------13 分
6 2 4
3 1．----------------14 分
sin A sin C
sin A
2
2
解法二：由a2 b2 c2 2bc cos A 22 ( 2)2 c2 2 2 c 2 2
解得 c 3 1或 c 3 1（舍）．-----------------------------------------14 分 17．（本题满分 14 分）（Ⅰ）证明：连接 BD -------------------------------1 分
四边形 ABCD 为正方形 AC BD ，------------------------2 分又PA 底面 ABCD, BD 平面ABCD ， PA BD ，------------------------4 分而PA AC C BD 平面PAC --------------------5 分
2
ln
x1
1
x1
有二个根，
1
故曲线 f (x) 与 g(x) 存在 2 条公切线。（酌情给分）
20．（本题满分 14 分）
解：（Ⅰ）依题意可得 b 2, c 2 -----------------------------------2 分 a2
c2 a2
a2 b2 a2
a2 2 a2
1 ，得 a 2
参考答案及评分标准
一、选择题(共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 A
C
B
D
B
D
C
D
A
C
二、填空题(共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．)
11. (2, 0); x 2 ；
12. 35 ；
13. 1；
14. 1120 ；
15. [ 2, ) ．
三、解答题(共 6 小题，共 85 分．)
（Ⅲ）曲线 f (x) 与 g(x) 存在公切线，且有 2 条，理由如下：---------------------11 分
由（Ⅱ）知曲线 f (x) 与 g(x) 无公共点，设 l1,l2 分别切曲线 f (x) 与 g(x) 于 (x1, ln x1), (x2, ex2 ) ，则
l1
:
y
1 x1
f
'( x1 )
1 x1
,g
'(x2 )
e x2
1 x1 ln
x1
e x2 e
x2
x1 x2
1 x1
(x1 1) ln x1 x1 1()
当 x1 1时,()不成立，
x1
1时,()
ln
x1
x1 x1
1 1
1
2 x1 1
ln
x1
1
2 x1 1
分别做出 y ln x 1, y 2 的图象，如图，图象有二个交点， x 1
由h '(x) 1 1 1 x 0 x 1，
x
x
h '(x), h(x)随x变化如下:
x
(0,1)
1
h '(x)
0
h(x)
↑
极大值
(1, )
↓
h(x)max h(1) ln11 1 0 f (x) x -------------------------------------------------------------7 分
h(x)在(2, x0),(x0, 2)内各存在有一个零点，
故曲线 f (x) 与 g(x) 存在 2 条公切线。------------------------------------------15 分
另解：曲线 f (x) 与 g(x) 存在公切线，且有 2 条，理由如下：
设 l 是曲线 f (x) 与 g(x) 的公切线，切点分别为 (x1, ln x1), (x2, ex2 )(x1 x2 ) ，则
7 （Ⅱ）高一年级抽取的 7 名学生中“体质良好”的有 2 人，非“体质良好”的有 5 人。所以 X 的可能取值
为 0,1, 2 ------------------------------------------------------------------------------------5 分
设 kBD =kBE
y1 2x1
k
，则 kAB
y1 x1
=2k
----8 分
4
kAD kBD
y2 x2
y1 x1
y2 x2
y1 x1
y22 x22
y12 x12
------------------9 分
B x1, y1 ， D x2, y2 在椭圆上
kAD
kBD
y22 x22
且x (0, x0 )时,h '(x) 0, h(x)单调递增， x (x0, )时,h '(x) 0, h(x)单调递减，
3
h( x)max
h(x 0)
ex0 (1
x 0)
x 0 1
1 x0
(1
x 0)
x 0 1
0，
又h(2) 3e2 1 0, h(2) e2 3 0 ，
则 A(0,0,0) , B(2,0,0) , E(2,1,0) , D(0, 2, 0) , F(1,1,1) , AE (2,1, 0) , AF (1,1,1) --------9 分
设平面AEF 的一个法向量为 n (x, y, z)
n n
AE AF
0 0
,即
2x x
y0 yz 0
--------------------------------10
分
令 x 1，则 y 2, z 1 n (1,2,1) ------------------------11 分
由（Ⅰ）知 BD (2,2,0) 为平面ACF 的法向量------------12 分
c o sn ,B D n B D 3 --------------------------------13 分 |n | B| D | 2
h '(x) xex 1，
当x 0时, h ' (x ) 0 h, 在 x( ) ( 单,调0 递 ) 增，
当x 0时, h ' ' (x ) x( x1e) 0h, 在x' ( ) 单 (0调, 递减) ，
又h ' ( 0 ) 1 h0 , '( 1 )e 1， 0
存在x0 (0,1)使得h '(x0 ) x0ex0 1 0 ，
AB AD ，即 ABD 是直角三角形.--- ---------------------------14 分
解法二：设 B x1, y1 ， D x2, y2 ，则 Ax1, y1 ， E x1, 0 -------------6 分
设直线 BD 的方程为 y kx m ----------------------------------------------7 分
x
ln
x1
1; l2
:
y
e x2
x
ex2 (1
x2 )
，若 l1
l2
，即曲线
f
(x)