2020年中考数学压轴题专题13 圆的有关位置关系
专题13 圆的有关位置关系【考点1】点与圆的位置关系【例1】（2018·浙江中考真题）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆心上D．点在圆上或圆内【变式1-1】（2016·湖北中考真题）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F【变式1-2】（2017·山东中考真题）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【考点2】直线与圆的位置关系【例2】（2018·黑龙江中考真题）已知直线y=kx （k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相交（点O 为坐标原点），则m 的取值范围为_____．【变式2-1】（2019·广东中考真题）平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线条数为（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条【变式2-2】（2019·浙江中考真题）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，点D 在边BC 上，5CD =，13BD =.点P 是线段AD 上一动点，当半径为6的圆P 与ABC ∆的一边相切时，AP 的长为________.【考点3】切线的判定与性质的应用【例3】（2019·湖北中考真题）如图，ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 为C 延长线上一点，且12CDE BAC ∠=∠．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若3,2AB BD CE ==，求⊙O 的半径．【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，以AD 为直径的⊙O 与边BC 相切于点E ，与边AC 相交于点G ，且¼AG ＝¼EG ，连接GO 并延长交⊙O 于点F ，连接BF ．（1）求证：①AO ＝AG ．②BF 是⊙O 的切线．（2）若BD ＝6，求图形中阴影部分的面积．【变式3-2】（2019·湖北中考真题）如图，在Rt ABC V 中，90ACB D ∠︒＝，为AB 的中点，以CD 为直径O e 的分别交AC BC ，于点E F ，两点，过点F 作FG AB ⊥于点G . ()1试判断FG 与O e 的位置关系，并说明理由．()2若3 2.5AC CD ＝，＝，求FG 的长．【变式3-2】（2019·甘肃中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90C ︒∠＝，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：AADE ∠∠＝； （2）若85AD DE ＝，＝，求BC 的长． 【考点4】三角形的内切圆与切线长定理【例4】（2019·江苏中考真题）如图，PA 、PB 是O e 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在⊙O 上．若∠P ＝102°，则∠A ＋∠C ＝_________°．【变式4-1】（2019·山西中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和I 分别为其外心和内心，则222OI R Rr =-.如图1，⊙O 和⊙I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆，⊙I 与AB 相切分于点F ，设⊙O 的半径为R ，⊙I 的半径为r ，外心O （三角形三边垂直平分线的交点）与内心I （三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI ＝d ，则有d2＝R2﹣2Rr ．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI 交⊙O 于点D ，过点I 作⊙O 的直径MN ，连接DM ，AN.∵∠D=∠N ，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，∴△MDI ∽△ANI ， ∴IM ID IAIN =， ∴IA ID IM IN ⋅=⋅①，如图2，在图1(隐去MD ，AN)的基础上作⊙O 的直径DE ，连接BE ，BD ，BI ，IF ， ∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°，∵⊙I 与AB 相切于点F ，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA ，∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，∴△AIF ∽△EDB ， ∴IA IF DE BD =，∴IA BD DE IF ⋅=⋅②，任务：(1)观察发现：IM R d =+，IN = (用含R ，d 的代数式表示)；(2)请判断BD 和ID 的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若△ABC 的外接圆的半径为5cm ，内切圆的半径为2cm ，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 cm.（2018·湖南中考真题）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，【变式4-2】CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．【变式4-3】（2019·湖南中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO 交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD一、单选题1．（2019·浙江中考真题）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆e的半径为（）分别与边AB，AC相切，则OA ．23B ．3C ．4D ．43-2．（2019·黑龙江中考真题）如图，PA .PB 分别与O e 相切于A .B 两点，点C 为O e 上一点，连接AC .BC ，若50P ∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）.A ．60︒；B ．75︒；C ．70︒；D ．65︒.3．（2019·辽宁中考真题）如图，CB 为⊙O 的切线，点B 为切点，CO 的延长线交⊙O 于点A ，若∠A=25°，则∠C 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°4．（2019·江苏中考真题）如图，AB 为O e 的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与Oe 交于点C ，延长BO 与O e 交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=o ，则ADC ∠的度数为( )A ．54oB ．36oC ．32oD ．27o5．（2019·江苏中考真题）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，»»DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于（ ）A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒6．（2019·浙江中考真题）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（ ）A ．2 B．3 C．2 D ．127．（2019·湖南中考真题）如图，边长为23的等边ABC ∆的内切圆的半径为( )A ．1B ．3C ．2D ．238．（2019·山东中考真题）如图,O 的直径AB=2,点D 在AB 的延长线上,DC 与O 相切于点C,连接AC.若∠A=30°,则CD 长为( )A ．13B ．3C ．23D ．39．（2019·重庆中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若40C ︒∠=，则B Ð的度数为（ ）A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．30︒10．（2019·云南中考真题）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝5，BC ＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A ．4B ．6.25C ．7.5D ．911．（2019·湖北中考真题）如图，AD 是圆O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，下列结论错误的是（ ）A ．2AP OP =B ．2CD OP =C ．OB AC ⊥D ．AC 平分OB12．（2019·甘肃中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，O e 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若80D ∠=︒，则EAC ∠的度数为()A ．20︒B ．25︒C ．30°D ．35︒13．（2019·四川中考真题）如图，等腰ABC ∆的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且5AB AC ==， 6BC =，则DE 的长是()A ．310B ．3105C ．35D ．6514．（2019·广西中考真题）如图，在ABC ∆中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为。
2020年中考数学考点一遍过 考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系(含解析)
考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系相离相切相交位置关系图形0个1个2个公共点个数d>r d=r d<r数量关系由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=A．3cm B．33cm C．53cm D．63cm【答案】D【解析】如图，连接OA，∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，∴CD是⊙O的直径，∵CD⊥AB，∴AE=BE，OE=3，OA=6，∴AE2233-=OA OE∴AB=2AE=63故选D．典例3如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为A．2 cm B．3cmC．23cm D．25cm【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得OD=12OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=3cm，根据垂径定理得AB=23cm．故选C．3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是A．3 B．6 C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为8515米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为A．50°B．20°C．30°D．25°【答案】D【解析】∠A=12BOC=12×50°=25°．故选D．典例5如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则»BC的长为A．103πB．109πC．59πD．518π6．如图，AB是⊙O的直径，»»»=BC CD DE，∠COD=38°，则∠AEO的度数是A．52°B．57°C．66°D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC 所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA=90°，∵∠PBC=50°，∴∠ABC=40°．故选B．典例9如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B【解析】作EH ⊥AC 于H ，EF ⊥BC 于F ，EG ⊥AB 于G ，连接EB ，EC ，设⊙E 的半径为r ，如图，∵∠C =90°，AB =5，AC =3，∴BC =22AB AC -=4，而AD 为中线，∴DC =2，∵以E 为圆心的⊙E 分别与AB 、BC 相切，∴EG =EF =r ，∴HC =r ，AH =3–r ， ∵EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ADC ， ∴EH ∶CD =AH ∶AC ，即EH =233r -（）， ∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ， ∴()1112154333422232r r r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯，∴67r =．故选B ．9．已知四边形ABCD 是梯形，且AD ∥BC ，AD <BC ，又⊙O 与AB 、AD 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，圆心O 在BC 上，则AB +CD 与BC 的大小关系是 A ．大于 B ．等于C ．小于D ．不能确定10．如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE AC ⊥于E ．求证：（1）DB DC =； （2）DE 为⊙O 的切线．1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补；②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=136°，则∠C的度数是A．44°B．22°C．46°D．36°3．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE=6，∠BAC＋∠EAD=180°，则弦BC的长等于A．41B．34C．8 D．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，O e 的直径8AB =，30CBD ∠=︒，则CD 的长为A ．2B ．23C ．4D ．436．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且»¼34AB AMC =∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14 cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O的内接正十边形的一边，»DE的度数为__________．11．如图，半圆O的直径是AB，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，若∠DEF=60°，则tan∠ABD=__________．12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF 的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图1，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是⊙O 外一点且满足∠DCA =∠B ，连接AD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD ⊥CD ，CD =2，AD =4，求直径AB 的长；（3）如图2，当∠DAB =45°时，AD 与⊙O 交于E 点，试写出AC 、EC 、BC 之间的数量关系并证明．1．（2019•吉林）如图，在O e 中，»AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为»AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2．（2019•贵港）如图，AD 是O e 的直径，»»AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．（2019•广元）如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.84．（2019•益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是A ．PA =PB B ．∠BPD =∠APDC ．AB ⊥PDD ．AB 平分PD5．（2019•福建）如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB =55°，则∠APB等于A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°6．（2019•重庆）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C =40°，则∠B 的度数为A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°7．（2019•甘肃）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC =126°，则∠CDB =A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°8．（2019•仙桃）如图，AB 为O e 的直径，BC 为O e 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O e 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．（2019•娄底）如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．10．（2019•安徽）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为__________．11．（2019•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．12．（2019•河南）如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E 是»BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是»BD的中点，则DF的长为__________；②取»AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2， ∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211π()π416S r r ==， ∴22211π116π16rS S r ==，故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O e 的直径为10，5OA ∴=， ∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4， 由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =， 由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．变式训练4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm ，根据题意可得：DO 2+BD 2=BO 2， 则（x –2．3）2+（8515×12）2=x 2，解得x =3． 答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN =1.7米，则过点N 作NF ⊥CO 于点F ，可得：DF =1.7米，则FO =2.4米，NO =3米，故FN 223 2.4-=1.8（米）， 故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米． 5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC =∠OCA =50°，则∠BOC =2∠OAC =100°，则弧BC 的长度为：100π210π1809⨯=，故选B ．6．【答案】B【解析】∵»»»=BC CD DE =，∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°，∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°，∴∠AOE =180°–∠BOE =66°， ∵OA =OE ，∴∠AEO =（180°–∠AOE ）÷2=57°，故选B ． 7．【答案】A【解析】如图，连接OA ，则在直角△OMA 中，根据勾股定理得到OA 223 3.823.445+<． ∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内．故选A ．8．【答案】2【解析】连接OA ．∵直线和圆相切时，OH =5，又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2=4，OA =5，∴OH =3． ∴需要平移5–3=2（cm ）．故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d =R ． 9．【答案】B【解析】如图，连接OF ，OA ，OE ，作AH ⊥BC 于H ．∵AD 是切线，∴OF ⊥AD ，易证四边形AHOF 是矩形，∴AH =OF =OE ， ∵S △AOB =12•OB •AH =12•AB •OE ，∴OB =AB ，同理可证：CD =CO ， ∴AB +CD =BC ，故选B ．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥， 又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =； （2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =，∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥， 又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确； 正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵∠AOD =136°，∴∠BOD =44°，∴∠C =22°，故选B ． 3．【答案】C【解析】如图，延长CA ，交⊙A 于点F ，∵∠BAC +∠BAF =180°，∠BAC +∠EAD =180°，∴∠BAF =∠DAE ，∴BF =DE =6， ∵CF 是直径，∴∠ABF =90°，CF =2×5=10， ∴BC 228CF BF -=．故选C ． 4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A 、B 、C 点到（2，052，0）或者通过AB 、BC 的垂直平分线求解也可以．故选C ． 5．【答案】C【解析】如图，作直径DE ，连接CE ，考点冲关则∠DCE=90°，∵∠DBC=30°，∴∠DEC=∠DBC=30°，∵DE=AB=8，∴12DC DE==4，故选C．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC=144°．8．【答案】100°【解析】∵∠B=130°，∴∠D=180°－130°=50°，∴∠AOC=2∠D=100°．故答案为100°．9．【答案】7【解析】如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B，∴PA=PB；同理，可得：DE=DA，CE=CB；则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14（cm）；∴PA=PB=7cm，故答案是：7．10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴»DE 的度数为84°．故答案为：84°．113【解析】∵OD ⊥AC ，∠DEF =60°， ∴∠D =30°， ∵OD =OB ， ∴∠ABD =∠D =30°， ∴tan ∠ABD 3故答案为：33． 12．【解析】（1）连接OC ，如图．∵点C 为弧BF 的中点，∴弧BC =弧CF ，∴∠BAC =∠FAC ． ∵OA =OC ，∴∠OCA =∠OAC ， ∴∠OCA =∠FAC ，∴OC ∥AE ．∵AE ⊥DE ，∴OC ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线； （2）在Rt △OCD 中，∵tan D =34OC CD =，OC =3， ∴CD =4，∴OD 22OC CD +=5，∴AD =OD +AO =8．在Rt△ADE中，∵sin D=35OC AEOD AD==，∴AE=245．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）如图1，连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∵∠DCA=∠B，∴∠DCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．∴222425AC=+=，由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=，即2525=，∴AB=5．（3）2AC BC EC=+，如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．∵AB是直径，∠DAB=45°，∴∠AEB=90°，∴△AEB是等腰直角三角形，∴AE=BE，又∵∠EAC=∠EBC，∴△ECB≌△EFA，∴EF=EC，∵∠ACE=∠ABE=45°，∴△FEC是等腰直角三角形，∴2FC EC =，∴2AC AF FC BC EC =+=+．1．【答案】B【解析】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°，∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵»»AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒， ∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ． 3．【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===， 在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．4．【答案】D【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，所以A 成立；∠BPD =∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC =BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ． 5．【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵∠ACB =55°，∴∠AOB =110°， ∴∠APB =360°-90°-90°-110°=70°．故选B ．直通中考6．【答案】B【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，且∠C=40°，∴∠ABC=50°，故选B．7．【答案】C【解析】∵∠AOC=126°，∴∠BOC=180°-∠AOC=54°，∵∠CDB=12∠BOC=27°．故选C．8．【答案】A【解析】如图，连接DO．∵AB为Oe的直径，BC为Oe的切线，∴90CBO∠=︒，∵AD OC∥，∴DAO COB∠=∠，ADO COD∠=∠．又∵OA OD=，∴DAO ADO∠=∠，∴COD COB∠=∠．在COD△和COB△中，CO COCOD COBOD OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB△≌△，∴90CDO CBO∠=∠=︒．又∵点D在Oe上，∴CD是Oe的切线，故①正确，∵COD COB△≌△，∴CD CB=，∵OD OB=，∴CO垂直平分DB，即CO DB⊥，故②正确；∵AB为Oe的直径，DC为Oe的切线，∴90EDO ADB∠=∠=︒，∴90EDA ADO BDO ADO∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO∠=∠，∵OD OB=，∴ODB OBD∠=∠，∴EDA DBE∠=∠，∵E E∠=∠，∴EDA EBD△∽△，故③正确；∵90EDO EBC∠=∠=︒，E E∠=∠，∴EOD ECB△∽△，∴ED ODBE BC=，∵OD OB=，∴ED BC BO BE⋅=⋅，故④正确，故选A．9．【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1． 10．【答案】2【解析】如图，连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E =∠A =30°，∠EBC =90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE =4，∴BC =12CE =2， ∵CD ⊥AB ，∠CBA =45°，∴CD =2BC =2，故答案为：2． 11．【解析】（1）∵AB =AC ，∴»»AB AC =，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ADB ，∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC ， ∵BD ⊥AC ，∴∠ADB =90°-∠CAD ， ∴12∠BAC =∠CAD ， ∴∠BAC =2∠CAD ． （2）∵DF =DC ， ∴∠DFC =∠DCF ， ∴∠BDC =2∠DFC ， ∴∠BFC =12∠BDC =12∠BAC =∠FBC ， ∴CB =CF ， 又BD ⊥AC ，∴AC 是线段BF 的中垂线，AB =AF =10，AC =10． 又BC =5 设AE =x ，CE =10-x ，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE=648AE CEBE⋅⨯==3，∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB·DH=12BD·AE，∴DH=11633105 BD AEAB⋅⨯==，∴BH2244 5BD DH-=，∴AH=AB-BH=10-446 55=，∴tan∠BAD=331162 DHAH==．12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG．（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是»BD的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵FHBF=sin∠ABD=sin45°=2，∴22FDBF=，即BF=2FD，∵AB=4，∴BD=4cos45°=22，即BF+FD=22，（2+1）FD=22，∴FD=2221+=4-22，故答案为：4-22．②连接OH，EH，∵点H是»AE的中点，∴OH⊥AE，∵∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH=OB=12 AB，∴sin∠EAB=BEAB=12，∴∠EAB=30°．故答案为：30°．。
2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷(含答案)
2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷（含答案）1．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵AO＝DO，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵∠ACD＝90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切；（2）解：连接OE，ED，∵∠BAC＝60°，OE＝OA，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠ADE＝30°，又∵∠OAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADE＝∠OAD，∴ED∥AO，∴四边形OAED是菱形，∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM，∴S△AED ＝S△AOD，∴阴影部分的面积＝S扇形ODE＝＝π．2．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点E在⊙O外，连接CE，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）若∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝3，求弦AC的长．（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BAC＝∠BCE，∴∠ACO＝∠BCE，∴∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴AB＝AD＝4，∵BC＝3，∴AC＝＝＝．3．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．（1）证明：连接OE ．∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA ，又∵∠DAE ＝∠OAE ，∴∠OEA ＝∠DAE ，∴OE ∥AD ，∴∠ADC ＝∠OEC ，∵AD ⊥CD ，∴∠ADC ＝90°，故∠OEC ＝90°．∴OE ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠C ＝45°，∴△OCE 是等腰直角三角形，∴CE ＝OE ＝2，∠COE ＝45°，∴阴影部分面积＝S △OCE ﹣S 扇形OBE ＝2×2﹣＝2﹣．4．如图①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AD ⊥BC 垂足为D ，弧AE ＝弧AB ，BE 分别交AD 、AC 于点F 、G ．（1）判断△FAG的形状，并说明理由；（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC．解：（1）△FAG等腰三角形；理由：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AGB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵弧AE＝弧AB，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（2）成立；∵BC为直径，∴∠BAC＝90°∴∠ABE+∠AGB＝90°∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵弧AE＝弧AB，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，∴∠BAD＝∠ABG，∴AF＝BF，又∵AF＝FG，∴F为BG的中点∵△BAG为直角三角形，∴AF＝BF＝BG＝13，∵DF＝5，∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，∴在Rt△BDF中，BD＝＝12，∴在Rt△BDA中，AB＝＝4，∵∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB＝90°∴△ABC∽△DBA，∴＝，∴＝，∴BC＝，∴⊙O的直径BC＝．5．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，点P、Q分别是AB、BC边上的动点．（1）连接AQ、PQ，以PQ为直径的⊙O交AQ于点E．①若点E恰好是AQ的中点，则∠QPB与∠AQP的数量关系是∠QPB＝2∠AQP；②若BE＝BQ＝3，求BP的长；（2）已知AP＝3，BQ＝1，⊙O是以PQ为弦的圆．①若圆心O恰好在CB边的延长线上，求⊙O的半径；②若⊙O与矩形ABCD的一边相切，求⊙O的半径．解：（1）①∵点E恰好是AQ的中点，∠ABQ＝90°，∴BE＝AE＝EQ，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠QEB＝2∠EBP，∵以PQ为直径的⊙O交AQ于点E，∴∠QPB＝∠QEB，∠PBE＝∠PQA，∴∠QPB＝2∠AQP，故答案为：∠QPB＝2∠AQP；②∵BE＝BQ，∴∠BEQ＝∠BQE，且∠BPQ＝∠BEQ，∴∠BPQ＝∠BQE，∴tan∠BPQ＝tan∠BPQ，∴，∴，∴BP＝（2）①如图1，过点O作OE⊥PQ，∵AP＝3，AB＝6，∴BP＝3，∴PQ＝＝＝，∵OE⊥PQ，∴QE＝PE＝，∵cos∠PQB＝＝，∴＝∴OQ＝5，∴⊙O的半径为5；②如图2，若⊙O与BC相切于点Q，连接OQ，过点O作OE⊥PQ于E，∴EQ＝PE＝，∵BC是⊙O切线，∴OQ⊥BC，且AB⊥BC，∴OQ∥AB，∴∠OQP＝∠BPQ，∴cos∠OQP＝cos∠BPQ，∴，∴∴OQ＝；如图3，若⊙O与AB相切于点P，连接OP，过点O作OE⊥PQ于E，∴EQ＝PE＝，∵AB是⊙O切线，∴OP⊥AB，且AB⊥BC，∴OP∥BC，∴∠OPQ＝∠PQB，∴cos∠OPQ＝cos∠PQB，∴∴，∴OP＝5；如图4，若⊙O与AD相切于点M，连接OM，OQ，OP，延长MO交BC于F，作OH⊥AB于H 点，∴OM⊥AD，且BC∥AD，∴OF⊥BC，∵∠A＝∠B＝∠AMO＝∠OFB＝∠OHB＝90°，∴四边形AHOM，OHBF是矩形，∴OM＝AH，OH＝BF，∵OQ2＝OF2+FQ2，OP2＝OH2+PH2，∴OQ2＝（6﹣OQ）2+（BF﹣1）2，OQ2＝BF2+（OQ﹣3）2，∴OQ＝5﹣若图5，若⊙O与CD相切于点N，连接ON，OQ，OP，延长NO交BC于E，作OH⊥BC于H 点，同理可得：OP2＝PE2+OE2，OQ2＝OH2+QH2，∴OQ2＝（3﹣OH）2+（4﹣OQ）2，OQ2＝OH2+（4﹣OQ﹣1）2，∴OQ＝35﹣6．6．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O，以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P．AB ＝6，BC＝，（1）求证：F是DC的中点．（2）求证：AE＝4CE．（3）求图中阴影部分的面积．（1）证明：由折叠的性质可知，AF＝AB＝6，在Rt△ADF中，DF＝＝＝3，∴CF＝DC﹣DF＝3，∴DF＝FC，即F是CD的中点；（2）证明：在Rt△ADF中，DF＝3，AF＝6，∴∠DAF＝30◦，∴∠BAF＝60◦，由折叠的性质可知，∠EAF＝∠EAB，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠EAF＝∠EAB＝30°，∴AE＝2EF，∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝30◦，∴EF＝2CE，∴AE＝4CE；（3）解：连接OP、OH、PH，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∴OP∥DF，∵∠DAF＝30°，∴∠AOP＝90°﹣∠DAF＝60°，OF＝OP＝OA，∴∠OFH＝∠AOP＝60°，OP＝OF＝2，∴AP＝＝2，∴DP＝AD﹣AP＝，∵∠OFH＝60°，OH＝OF，∴△OHF为等边三角形，∴∠FOH＝∠OHF＝60°，HF＝OF＝2，∴DH＝DF﹣HF＝1，∵OP∥DF，∴∠POH＝∠OHF＝60°，∴∠POH＝∠HOF，∴＝，∴阴影部分的面积＝△PDH的面积＝×DH×DP＝．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD．（1）求证：∠A＝∠CBD．（2）若AB＝10，AD＝6，M为线段BC上一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与⊙O 相切，并说明理由．（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠A＝∠CBD；（2）BM＝．理由如下：如图，连接OD，DM，∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，∴BD＝＝8，OA＝5，∵∠A＝∠CBD，∵Rt△CBD∽Rt△BAD，∴＝，即＝，解得BC＝取BC的中点M，连接DM、OD，如图，∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线，∴DM＝BM，∵∠2＝∠4，∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠ODM＝90°，∴OD⊥DM，∴DM为⊙O的切线，此时BM＝BC＝．8．如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是∠DAB的平分线；（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．（1）证明：连接OC，∵直线MC与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADM＝90°，∴∠OCM＝∠ADM，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAB，即AC是∠DAB的平分线；（2）解：连接BC，连接BE交OC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵AB＝10，AC＝4，∴BC＝＝＝2，∵OC∥AD，∴∠BFO＝∠AEB＝90°，∴∠CFB＝90°，F为线段BE中点，∵∠CBE＝∠EAC＝∠CAB，∠CFB＝∠ACB，∴△CFB∽△BCA．∴＝，即＝，解得，CF＝2，∴OF＝OC﹣CF＝3．∵O为直径AB中点，F为线段BE中点，∴AE＝2OF＝6．9．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．（1）证明：如图，连接OD．∵点D是半圆的中点，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴∠ODC+∠OED＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD．又∵CF＝EF，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠FEC＝∠OED，∴∠FCE＝∠OED．∴∠FCE+∠OCD＝∠OED+∠ODC＝90°，即FC⊥OC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵tan A＝，∴在Rt△ABC中，＝，∵∠ACB＝∠OCF＝90°，∴∠ACO＝∠BCF＝∠A，∵△ACF∽△CBF，∴＝＝＝．∴AF＝10，∴CF2＝BF•AF．∴BF＝．∴AO＝＝．10．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE＝6，连接DB，∠B＝30°，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．（1）求的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．解：（1）连结OE，∵DE垂直OA，∠B＝30°，∴CE＝DE＝3，，∴∠AOE＝2∠B＝60°，∴∠CEO＝30°，OC＝OE，由勾股定理得OE＝2；（2）∵EM∥BD，∴∠M＝∠B＝30°，∠M+∠AOE＝90°，∴∠OEM＝90°，即OE⊥ME，∴EM是⊙O的切线；（3）再连结OF，当∠APD＝45°时，∠EDF＝45°，∴∠EOF＝90°，S＝π（2）2﹣（2）2＝3π﹣6．阴影11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．BE平分∠ABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F．请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF是△ABC外接圆的切线；（2）若BC＝5，sin∠ABC＝，求EF的长．（1）证明：补全图形如图所示，∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．连接OE，∴OE＝OB．∴∠2＝∠3，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．∴OE∥BF．∵EF⊥BF，∴EF⊥OE，∴EF是△ABC外接圆的切线；（2）解：在Rt△ABC中，BC＝5，sin∠ABC＝，∴＝．∵AC2+BC2＝AB2，∴AC＝12．∵∠ACF＝∠CFE＝∠FEH＝90°，∴四边形C FEH是矩形．∴EF＝HC，∠EHC＝90°．∴EF＝HC＝AC＝6．12．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为10 ，最小值为 6 ．（2）如图1，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求证：AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，弦CD是AB的“十字弦”，连接AD，若∠ADC＝60°，求弦CD的长．解：（1）如图a，当CD是直径时，CD的长最大，则CD的最大值为10；如图b，当点D与点A重合时，CD有最小值，过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，∴AF＝BF＝4，DE＝CE，∴OF＝＝＝3，∵OE⊥CD，OF⊥AB，∠CDB＝90°，∴四边形CEOF是矩形，∴CE＝OF＝3，∴CD＝6，∴CD最小值为6，故答案为：10，6；（2）如图1，连接AD，∵DH＝7，CH＝9，∴CD＝16，∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴AD＝＝＝4，∵，＝，∴，∠ADH＝∠ADC，∴△ADH∽△CDA，∴∠AHD＝∠CAD＝90°，∴AB⊥CD，∴AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，过点O作OE⊥CD于E，过点O作OF⊥AB于点F，连接AO，CO，过点O作ON⊥AC于N，∵∠ADC＝60°，AB⊥CD，∴AF＝DF，∵OE⊥CD，OF⊥AB，AB⊥CD，∴四边形OEHF是矩形，AF＝BF＝4，CE＝ED，∴OF＝EH，∵OF＝＝＝3，∴EH＝3，∴ED＝CE＝3+DH，∴CF＝3+2DH，∵∠AOC＝2∠ADC＝120°，且AO＝CO＝5，ON⊥AC，∴∠CAO＝30°，AN＝CN，∴NO＝，AN＝，∴AC＝5，∵AH2+CH2＝AC2，∴75＝3DH2+（3+2DH）2，∴DH＝2﹣，∴CD＝2CE＝2（3+2﹣）＝．13．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB ＝30°，设图中阴影部分的面积为y．（1）⊙O的半径为 4 ；（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．解：（1）∵∠AOB＝2∠APB＝2×30°＝60°，而OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝4，即⊙O的半径为4；故答案为4；（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，则∠OHA＝∠OHB＝90°∵∠APB＝30°∴∠AOB＝2∠APB＝60°，∵OA＝OB，OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2，∴OH＝＝2，∴y＝﹣×4×2+×4×x＝2x+π﹣4（0＜x≤2+4）．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CE＝，AB＝6，求⊙O的半径．（1）解：结论：DE与⊙O相切证：连接OD在⊙O中，∵D为的中点，∴＝，∴AD＝DC，∵AD＝DC，点O是AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°，∵DE∥AC，∴∠DOA＝∠ODE＝90°，∵∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D，∴DE与⊙O相切．（2）解：连接BD．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，又∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE，∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵＝，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵DE∥AC，∴∠DCA＝∠CDE＝45°，在△ABD和△CDE中，∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°，∴△ABD∽△CDE，∴＝，∴＝，∴AD＝DC＝4，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝4，∴AC＝＝＝8，∴⊙O的半径为4．15．（1）如图①，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O外，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（2）如图②，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：在平面直角坐标系中，如图③，已知点M（1，0），N（4，0），点P在y轴上，试求当∠MPN度数最大时点P的坐标．解：（1）∠A＞∠BDC，理由如下：设CD交⊙O于E，连接BE，如图1所示：∠BEC＝∠BDC+∠DBE，∴∠BEC＞∠BDC，∵∠A＝∠BEC，∴∠A＞∠BDC；（2）∠A＜∠BDC，理由如下：延长CD交⊙O于点F，连接BF，如图2所示：∵∠BDC＝∠BFC+∠FBD，∴∠BDC＞∠BFC，又∵∠A＝∠BFC，∴∠A＜∠BDC；（3）由（1）、（2）可得：当点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点时，∠MPN度数最大，①当点P在y轴的正半轴上时，如图3所示：设⊙O′为点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点的圆，连接O′P、O′M、O′N，作O′H⊥MN于H，则四边形OPO′H是矩形，MH＝HN，∴OP＝O′H，O′P＝OH＝O′M，∵M（1，0），N（4，0），∴OM＝1，MN＝3，∴MH＝HN＝MN＝，设O′P＝OH＝O′M＝x，MH＝OH﹣OM＝x﹣1，∴x﹣1＝，∴x＝，∴O′H＝＝＝2，∴OP＝2，∴点P的坐标为（0，2）；②当点P在y轴的负半轴上时，如图4所示：同理可得O′H＝OP＝2，∴点P的坐标为（0，﹣2）；综上所述，当∠MPN度数最大时点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．。
初中数学中考复习 第13关 以二次函数与圆的问题为背景的解答题(原卷版)
第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。
由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。
“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。
解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。
【典型例题】经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−53交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2019·广西中考真题）如图，直线3y x =-交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为(1,0)，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过,,A B C 三点，抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴的交点为点E ，点E关于原点的对称点为F ，连接CE ，以点F 为圆心，12CE 的长为半径作圆，点P 为直线3y x =-上的一个动点．（1）求抛物线的解析式； （2）求BDP ∆周长的最小值；（3）若动点P 与点C 不重合，点Q 为⊙F 上的任意一点，当PQ 的最大值等于32CE 时，过,P Q 两点的直线与抛物线交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求四边形ABMN 的面积．【例3】（2018·青海中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是以AB 为直径的⊙M 的内接四边形，点A ，B 在x 轴上，⊙MBC 是边长为2的等边三角形，过点M 作直线l 与x 轴垂直，交⊙M 于点E ，垂足为点M ，且点D 平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系，至于与圆、三角形、方程的综合题，往往最后一问难度大，要建立模型、框架，完善步骤，循序渐进. 【针对练习】1．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①√S=√S1+√S2；②√S=√S3+√S4；③“十字形”ABCD的周长为12√10．2．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线26y ax ax =+(a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(﹣3＜t ＜0)，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的⊙P 相交于点C ． （1）求点A 的坐标；（2）过点C 作⊙P 的切线CE 交x 轴于点E ．①如图1，求证：CE ＝DE ；②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a =∠CAE ＝∠OBE 时，求11OD OE -的值3．（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -. (1)如图1，已知P 经过点O ，且与直线1l 相切于点B ，求P 的直径长；(2)如图2，已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线2l 上的一个动点，以Q 为圆心，.①当点Q 与点C 重合时，求证: 直线1l 与Q 相切；②设Q 与直线1l 相交于,M N 两点， 连结,QM QN . 问:是否存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．（2018·山东中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P （x ，y ）的动圆经过点A （1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．5．（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.6．（2017·江苏中考真题）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A 的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．（1）求点P的坐标；（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．7．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点．其中AB两点的坐标分别为（-1，0），（0，-2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M 与y轴的另一个交点，过劣弧DE上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1．5．（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．9．（2018·山东中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2018·湖南中考真题）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①S =1S 2S +；②S=3S 4S +；③“十字形”ABCD 的周长为1210．11．（2017·广西中考真题）已知抛物线y 1=ax 2+bx -4（a≠0）与x 轴交于点A （-1，0）和点B （4，0）． （1）求抛物线y 1的函数解析式；（2）如图①，将抛物线y 1沿x 轴翻折得到抛物线y 2，抛物线y 2与y 轴交于点C ，点D 是线段BC 上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴交抛物线y 1于点E ，求线段DE 的长度的最大值；（2）在（2）的条件下，当线段DE 处于长度最大值位置时，作线段BC 的垂直平分线交DE 于点F ，垂足为H ，点P 是抛物线y 2上一动点，⊙P 与直线BC 相切，且S ⊙P ：S △DFH =2π，求满足条件的所有点P 的坐标．12．（2018·山东中考真题）抛物线y =ax 2+bx +4（a ≠0）过点A （1，﹣1），B （5，﹣1），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB ，以CB 为边作▱CBPQ ，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且▱CBPQ 的面积为30，求点P 的坐标；（3）如图2，⊙O 1过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点M 为 上的一动点（不与点A ，E 重合），∠MBN 为直角，边BN 与ME 的延长线交于N ，求线段BN 长度的最大值．13．（2019·四川中考真题）如图，已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值．14．（2019·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点与轴交于点，⊙的半径为为⊙上一动点.（1）点的坐标分别为（），（）；（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接，若为的中点，连接，则的最大值= .15．（2017·黑龙江中考真题）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标．16．（2017·甘肃中考真题）如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.17．（2017·湖南中考真题）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB 为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足，求二次函数的表达式．18．（2017·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点，，且与轴交于点，连接、、.(1)求此二次函数的关系式；(2)判断的形状；若的外接圆记为，请直接写出圆心的坐标；(3)若将抛物线沿射线方向平移，平移后点、、的对应点分别记为点、、，的外接圆记为，是否存在某个位置，使经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由.。
第13关 以二次函数与圆的问题为背景的解答题(解析版)-中考数学专题复习
【答案】（1）y
=−
1 3
x2
+
2x
−
53；（2）相交；（3）S△PBC
有最大值12245，此时
P
点坐标为（52，54）．
【解析】
试题分析：（1）把 A、B 两点分别代入抛物线解析可求得 a 和 b，可求得抛物线解析式；
（2）过 A 作 AD⊥BC 于点 D，则 AD 为⊙A 的半径，由条件可证明△ABD∽△CBO，利用相似三角形的性
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考点：二次函数综合题．
【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系，
至于与圆、三角形、方程的综合题，往往最后一问难度大，要建立模型、框架，完善步骤，循序渐进.
【针对练习】
1．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有
知 C（0，﹣53），且 A（1，0），B（5，0），∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=53，在 Rt△OBC 中，由勾股定理
可得 BC=
OC2 + OB2=
(
5 3
)2
+
52=5
310，∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，∴△ABD∽△CBO，∴
AD OC
=
ABBC，即
AD
5
=
（1）求过 A，B，E 三点的抛物线的解析式； （2）求证：四边形 AMCD 是菱形；
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（3）请问在抛物线上是否存在一点 P，使得△ABP 的面积等于定值 5？若存在，请求出所有的点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y= （x+1）2﹣2；（2）证明过程见解析；（3）（2， ），（﹣4， ）． 【解析】 试题分析：（1）根据题意首先求出抛物线顶点 E 的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；（2）利用等边三 角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，进而得出 DC=CM=MA=AD，即可得出 答案；（3）首先表示出△ABP 的面积进而求出 n 的值，再代入函数关系式求出 P 点坐标． 试题解析：（1）由题意可知，△MBC 为等边三角形，点 A，B，C，E 均在⊙M 上， 则 MA=MB=MC=ME=2， 又∵CO⊥MB， ∴MO=BO=1， ∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2）， 抛物线顶点 E 的坐标为（﹣1，﹣2）， 设函数解析式为 y=a（x+1）2﹣2（a≠0） 把点 B（1，0）代入 y=a（x+1）2﹣2， 解得：a= ， 故二次函数解析式为：y= （x+1）2﹣2； （2）连接 DM， ∵△MBC 为等边三角形， ∴∠CMB=60°， ∴∠AMC=120°， ∵点 D 平分弧 AC， ∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°， ∵MD=MC=MA， ∴△MCD，△MDA 是等边三角形， ∴DC=CM=MA=AD， ∴四边形 AMCD 为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）； （3）存在． 理由如下： 设点 P 的坐标为（m，n） ∵S△ABP= AB|n|，AB=4 ∴ ×4×|n|=5， 即 2|n|=5， 解得：n=± ， 当 时， （m+1）2﹣2= ， 解此方程得：m1=2，m2=﹣4 即点 P 的坐标为（2， ），（﹣4， ）， 当 n=﹣ 时， （m+1）2﹣2=﹣ ， 此方程无解， 故所求点 P 坐标为（2， ），（﹣4， ）．
2020中考数学压轴题揭秘专题13圆的有关位置关系试题(附答案)
专题13 圆的有关位置关系【考点1】点与圆的位置关系【例1】（2018·浙江中考真题）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆心上D．点在圆上或圆内【答案】D【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点应该在圆内或者圆上.故选D.【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.【变式1-1】（2016·湖北中考真题）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F【答案】A【解析】试题分析：根据圆与直线的位置关系可得：点E、F、G在圆内，点H在圆外.考点：点与圆的位置关系【变式1-2】（2017·山东中考真题）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：给各点标上字母，如图所示．AB==，AC=AD==，AE==，AF==，AG=AM=AN==5，∴时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．故选B．【答案】(1)R-d；(2)BD=ID 【解析】A ．PA ＝PBB ．∠BPD ＝∠APDC ．AB ⊥PD D ．AB 平分PD【答案】D【解析】【分析】先根据切线长定理得到PA ＝PB ，∠APD ＝∠BPD ；再根据等腰三角形的性质得OP ⊥AB ，根据菱形的性质，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，由此可判断D 不一定成立．【详解】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，所以A 成立；∠BPD ＝∠APD ，所以B 成立；∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC ＝BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ．【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.一、单选题1．（2019·浙江中考真题）如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，ABC BC O AB 相切，则的半径为（ ）AC O【点睛】此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.2．（2019·黑龙江中考真题）如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.PA PB O A B C O AC ，若，则的度数为（ ）.BC 50P ∠=︒ACB ∠A ．；B ．；C ．；D ．.60︒75︒70︒65︒【答案】D【解析】【分析】连接.，由切线的性质可知，由四边形内角和可求出的度数，根据OA OB 90OAP OBP ∠=∠=︒AOB ∠圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知的度数.ACB ∠【详解】解：连接.，OA OB ∵.分别与相切于.两点，PA PB O A B ∴，，OA PA ⊥OB PB ⊥∴，90OAP OBP ∠=∠=︒∴，180********AOB P ∠=︒-∠=︒-︒=︒∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°，∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴∠OBC=90°，∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°．故选：D ．【点睛】本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出∠COB 的度数，然后在三角形中求出∠C 的度数．正确作出辅助线是解题的关键．4．（2019·江苏中考真题）如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，AB O A AO BO 、BO O C 延长与交于点，连接，若，则的度数为( )BO O D AD 36ABO ∠=o ADC ∠A ．B ．C ．D ．54o 36o 32o 27o【答案】D【解析】【分析】由切线性质得到，再由等腰三角形性质得到，然后用三角形外角性质得出AOB ∠OAD ODA ∠=∠ADC∠【详解】切线性质得到90BAO ∠=o903654AOB ∴∠=-=o o oOD OA =Q OAD ODA∠=∠∴AOB OAD ODA∠=∠+∠Q 27ADC ADO ∴∠=∠=o故选D故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练运用切线的性质是本题的关键．10．（2019·云南中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )A．4B．6.25C．7.5D．9【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，AB 、DE 与相切，O ，90OBA ODE ︒∴∠=∠=，(52)1809010810890144BOD ︒︒︒︒︒︒∴∠=-⨯----=故答案为：144．【点睛】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．19．（2019·浙江中考真题）如图，⊙O 分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ，点P 在优弧上．若EDF ∠BAC ＝66°，则∠EPF 等于___________度．【答案】57【解析】【分析】连接OE ，OF ，由切线的性质可得OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，由四边形内角和定理可求∠EOF ＝114°，即可求∠EPF 的度数．【详解】解：连接OE ，OF ，∵⊙O 分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F∴OE ⊥AB ，OF ⊥AC又∵∠BAC ＝66°∴∠EOF ＝114°∵∠EOF ＝2∠EPF∴∠EPF ＝57°故答案为57.过点的切线交的延长线于点 B AC ，AB BD ∴⊥2210AB AD BD ∴-＝＝＝。
2020年中考数学三轮复习： 圆的位置关系专题
2020中考数学三轮复习圆的位置关系专题（含答案）1.如图1,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则P A的长为()图1A.4B.2√3C.3D.2.52.如图2,△ABC内心为I,连接AI并延长交△ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的关系是()图2A.DI=DBB.DI>DBC.DI<DBD.不确定3.如图3,AB为☉O的直径,BC为☉O的切线,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E,连接BD.下列结论:①CD是☉O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED·BC=BO·BE.其中正确结论的个数有()图3A.4个B.3个C.2个D.1个4.平面内,☉O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作☉O的切线条数为()A.0条B.1条C.2条D.无数条5.如图4,AB为☉O的切线.切点为A,连接AO,BO,BO与☉O交于点C,延长BO与☉O交于点D,连接AD.若∠ABO=36°,则∠ADC的度数为()图4A.54°B.36°C.32°D.27°6.如图5,已知☉O上三点A,B,C,半径OC=1,∠ABC=30°,切线P A交OC延长线于点P,则P A的长为()图5A.2B.√3C.√2D.127.如图6,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则☉O的半径为()图6A.2√3B.3C.4D.4-√38.如图7,P A,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C,D在☉O上.若∠P=102°,则∠A+∠C=.9.直角三角形的两条直角边分别是5和12,则它的内切圆半径为.图710.如图8,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E,若点D是AB的中点,则∠DOE=.图811. 如图9,以AB 为直径的☉O 与CE 相切于点C ,CE 交AB 的延长线于点E ,直径AB=18,∠A=30°,弦CD ⊥AB ,垂足为点F ,连接AC ,OC ,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)①BC ⏜=BD ⏜;②扇形OBC 的面积为274π;③△OCF ∽△OEC ;④若点P 为线段OA 上一动点,则AP ·OP 有最大值20.25.图912. 如图10,BC 是☉O 的直径,CE 是☉O 的弦,过点E 作☉O 的切线,交CB 的延长线于点G ,过点B 作BA ⊥GE 于点F ,交CE 的延长线于点A. (1)求证:∠ABG=2∠C ;(2)若GF=3√3,GB=6,求☉O 的半径.图1013.如图11,AB ,AC 分别是☉O 的直径和弦,OD ⊥AC 于点D.过点A 作☉O 的切线与OD 的延长线交于点P ,PC ,AB 的延长线交于点F . (1)求证:PC 是☉O 的切线;(2)若∠ABC=60°,AB=10,求线段CF 的长.图1114.如图12,过☉O外一点P作☉O的切线P A,切☉O于点A,连接PO并延长,与☉O交于C,D两点,M是半圆CD的中点,连接AM交CD于点N,连接AC,CM.(1)求证:CM2=MN·MA;(2)若∠P=30°,PC=2,求CM的长.图1215.如图13,AB是☉O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作☉O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12,BD=5,求☉O的半径.图13答案1.A2.A3.A4.C5.D6.B7.A8.219°连接AB,∵P A,PB是☉O的切线,∴P A=PB.∵∠P=102°,(180°-102°)=39°.∴∠P AB=∠PBA=12∵∠DAB+∠C=180°,∴∠P AD+∠C=∠P AB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°.9.2直角三角形的斜边=√52+122=13,所以它的内切圆半径=5+12-13=2.210.60°连接OA,∵四边形ABOC是菱形,∴BA=BO,∵AB与☉O相切于点D,∴OD⊥AB.∵D是AB的中点,∴OD 是AB 的垂直平分线,∴OA=OB , ∴△AOB 是等边三角形, ∴∠AOD=12∠AOB=30°, 同理∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD +∠AOE=60°, 故答案为60°. 11.①③④∵AB 是☉O 的直径,CD ⊥AB , ∴BC ⏜=BD ⏜,故①正确. ∵∠A=30°, ∴∠COB=60°,∴扇形OBC 的面积=60360·π·AB 22=272π,故②错误. ∵CE 是☉O 的切线, ∴∠OCE=90°,∴∠OCE=∠OFC ,又∵∠EOC=∠COF , ∴△OCF ∽△OEC ,故③正确. 设AP=x ,则OP=9-x , ∴AP ·OP=x (9-x )=-x 2+9x=-x -922+814, ∴当x=92时,AP ·OP 取最大值814,814=20.25,故④正确.故答案为①③④. 12.解:(1)证明:连接OE ,∵EG 是☉O 的切线,∴OE ⊥EG , ∵BF ⊥GE ,∴OE ∥AB , ∴∠A=∠OEC ,∵OE=OC , ∴∠OEC=∠C ,∴∠A=∠C ,∵∠ABG=∠A+∠C,∴∠ABG=2∠C.(2)∵BF⊥GE,∴∠BFG=90°,∵GF=3√3,GB=6,∴BF=√BG2-GF2=3,∵BF∥OE,∴△BGF∽△OGE,∴BFOE =BGOG,∴3OE=66+OE,∴OE=6,∴☉O的半径为6.13.解:(1)证明:连接OC,∵OD⊥AC,OD经过圆心O,∴AD=CD,∴P A=PC.在△OAP和△OCP中,{OA=OC, PA=PC, OP=OP,∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP=∠OAP.∵P A是☉O的切线,∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°,即OC⊥PC,∴PC是☉O的切线.(2)∵OB=OC,∠OBC=60°,∴△OBC是等边三角形,∴∠COB=60°,∵AB=10,∴OC=5,由(1)知∠OCF=90°,∴CF=OC tan∠COB=5√3.14.解:(1)证明:∵在☉O中,点M是半圆CD的中点,∴∠CAM=∠DCM,又∵∠CMA是△CMN和△AMC的公共角, ∴△CMN∽△AMC,∴CMAM =MNMC,∴CM2=MN·M A.(2)连接OA,DM,∵P A 是☉O 的切线,∴∠P AO=90°, 又∵∠P=30°,∴OA=12PO=12(PC +CO ). 设☉O 的半径为r ,∵PC=2,∴r=12(2+r ),解得r=2.又∵CD 是直径,∴∠CMD=90°, ∵点M 是半圆CD 的中点,∴CM=DM , ∴△CMD 是等腰直角三角形, ∴在Rt △CMD 中,由勾股定理得CM 2+DM 2=CD 2,∴2CM 2=(2r )2=16,∴CM 2=8,∴CM=2√2. 15.解:(1)证明:如图①,∵DC ⊥OA , ∴∠1+∠3=90°. ∵BD 为切线,∴OB ⊥BD , ∴∠2+∠5=90°.∵OA=OB ,∴∠1=∠2.∵∠3=∠4,∴∠4=∠5, ∴DE=DB.(2)如图②,作DF ⊥AB 于F ,连接OE , ∵DB=DE ,∴EF=12BE=3. 在Rt △DEF 中,EF=3,DE=BD=5, ∴DF=√52-32=4, ∴sin ∠DEF=DF DE =45.∵∠AOE=∠DEF ,∴在Rt △AOE 中,sin ∠AOE=AE AO =45,∵AE=6,∴AO=152.即☉O 的半径为152.。
2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：《圆的综合》(含答案)
2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：《圆的综合》1．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM 的值．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AD 延长线于E点．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．3．已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK ＝9BK，若OL＝，求BD的值．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，点D在⊙O上，BD＝BC，DE⊥AC，垂足为点E，DE与⊙O和AB分别交于点M、F．连接BO、DO、AM．（1）证明：BD是⊙O的切线；（2）若tan∠AMD＝，AD＝2，求⊙O的半径长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．5．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．6．如图，在△ABC中，I是内心，AB＝AC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O经过点I．（1）求证：AI是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径是5．①若E是BI的中点，OE＝，则BI＝；②若BC＝16，求AI的长．7．[教材呈现]图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．通过该问题的证明，得出了直角三角形的一条性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．[结论应用]（1）如图②，在Rt△ABC中，F是AD中点，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点D在BC上（点D不与B、C重合），DE⊥AB于点E，连结CE、CF、EF．当AD＝4时，S＝．△CEF（2）如图③，AD是⊙O直径，点C、E在⊙O上（点C、E位于直径AD两侧），在⊙O 上，且sin∠DAC＝，CD＝2．当四边形OCDE有一组对边平行时，直接写出AE的长．8．已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的长．9．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若∠CAB＝36°，⊙O的半径为12，求的长．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；11．已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OAC＝58°．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，P为AB上一点，CP延长线与⊙O交于点Q．若AQ＝CQ，求∠APC的大小．12．已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．13．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．（3）在（2）中的条件下，∠ABD＝30°，将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求BD扫过的图形的面积（结果用π表示）．14．如图，△AOB中，A（﹣8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P 是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC 的延长线交x轴于点F．（1）求证：EF为⊙P的切线；（2）求⊙P的半径．15．已知，AB为⊙O的直径，弦BC、AF相交于点E，过点E作ED⊥AB，∠AEC＝∠BED．（1）如图1，求证：＝；（2）如图2，当∠BAF＝45°时，OC交AF于点H，作FG⊥BH于点Q，交AB于点G，连接GH，求证：∠AGH＝∠BGF；（3）如图3，在（2）的条件下，射线BG与⊙O交于点P，过点P作PK⊥BH交AB于点M，垂足为点K，点N为B的中点，MN＝，求⊙O的半径．参考答案1．解：（1）连接OE，则∠OCB＝∠OBC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．2．解：（1）连接OC，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，又∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAO＝∠OCA，∴OC∥AE，∵CE⊥AD，即可得OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD＝6，延长BC交AE的延长线于F，∵∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACF＝90°，∴△ACB≌△ACF（ASA），∴FC＝BC＝6，AF＝AB＝10，∵∠CDF＝180°﹣∠ADC，∠ABF＝180°﹣∠ADC，∴∠CDF＝∠ABF，∵∠CFD＝∠AFB，∴△CFD∽△AFB，∴＝，∴＝，∴AD＝．3．解：（1）∵CE⊥AD，∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°，∵∠D+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠DCE，在△ACE和△DCE中，，∴△ACE≌△DCE（ASA），∴CA＝CD；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADC+∠BDC＝90°，∵∠ADC+∠ACE＝90°，∴∠BDC＝∠ACE，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACE，设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，∴M在AC的垂直平分线上，∵弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，∴M与点O重合，即CE过圆心O，∵AE＝DE，∴CE⊥AD，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴CE∥BD；（3）∵4AK＝9BK，∴AK：BK＝9：4，设BK＝4m，则AK＝9m，∴AB＝13m，∴OA＝OB＝6.5m，∴OK＝OB﹣BK＝2.5m，∵AK⊥CL，∴∠AKC＝90°＝∠AEO，在△OAE和△OCK中，，∴△OAE≌△OCK（AAS），∴OE＝OK＝2.5m，∵OA＝OB，AE＝DE，∴BD＝2OE＝5m，∴AD＝，∵∠AKL＝∠ADB＝90°，∠LAK＝∠BAD，∴△AKL∽△ADB，∴，即，∴LK＝，∵OK2+LK2＝OL2，∴，解得，m＝0.8，∴BD＝5m＝4．4．解：（1）在△BDO和△BCO中，BD＝BC，OD＝OC，BO＝BO，故△BDO≌△BCO（SSS），∴∠BDO＝∠ABC＝90°，BD是⊙O的切线；（2）连接CD，则∠AMD＝∠ACD，AB是直径，故∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD＝tan∠AMD＝＝，∵AD＝2，∴CD＝4，故圆的半径为5；（3）在Rt△ADC中，DE⊥AC，则DE＝＝4，则AE＝2，由（1）知△BDO≌△BCO，∴∠BOC＝∠BOD＝∠DOC，∵∠DAE＝∠DOC，∴∠DAE＝∠BOC，∵ED⊥AC，∴∠AED＝∠OCB＝90°，∴△DAE∽△BOC，∴，即，解得：BC＝10，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠FAE＝∠AFE＝45°，∴FE＝AE＝2，DF＝DE﹣EF＝2．5．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，∴∠1＝∠2．又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．则AC＝10．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．6．（1）证明：延长AI交BC于D，连接OI．∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC．∴∠1＝∠3．∵AB＝AC，∴AD⊥BC．又∵OB＝OI，∴∠3＝∠2．∴∠1＝∠2．∴OI∥BD．∴OI⊥AI．∴AI为⊙O的切线．（2）①解：∵E是BI的中点，∴OE⊥BI．在直角△OBE中，OB＝5，OE＝，则由勾股定理知：BE＝＝＝2．∴BI＝2BE＝．故答案是：；②解：由（1）知OI∥BC，∴△AOI～△ABD．∴，∴＝．∴．∴．∴AI＝•AD＝×＝．7．解：[教材呈现]已知：△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，求证：CD＝AB．证明：作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，则DF∥BC，DE∥AC，∵CD是中线，∴AF＝FC，BE＝EC，∴直线DE是线段AC的垂直平分线，直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DA＝DC，DB＝DC，∴CD＝DA＝DB＝AB；[结论应用]（1）CF、FE分别是Rt△ACD、Rt△ADE的中线，则CF＝EF＝AD＝2，设：∠CAF＝α＝∠ACF，∠FAE＝β＝∠AEF，∠CAB＝α+β＝60°，∠CFE＝∠FCA+∠FAC+∠FEA+∠FAE＝2α+2β＝120°，故△CEF为腰长为2，顶角为120°的等腰三角形，过点F作FH⊥CE，则S＝×CE×FH＝2×1＝，△CEF故答案为：；（2）设sin∠DAC＝＝sinα，CD＝2，则AD＝6，OC＝OE＝AD＝3，①当CD∥OE时，如图③（左侧图），则∠ADC＝∠DOE＝∠β，sin＝cosβ，过点D作DH⊥OE交OE于点H，OH＝OD cosβ＝3×＝1，则HE＝3﹣1＝2，同理DH＝2，DE＝＝2，AE＝＝＝2；②当OC∥DE时，如图③（右侧图），则∠COD＝∠ODE＝2α，过点O作ON⊥DE于点N，则DN＝EN，DE＝2DN＝2×OD cos2α＝2×3×＝（注：cos2α的求法见备注），AE＝＝＝；综上，AE＝2或；备注：等腰三角形ABC，AB＝AC，作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，设∠BAD＝∠CAD＝α，设sin，设BD＝CD＝a，则AB＝AC＝3a，则AD＝2a，S＝AD×BC＝AB×CE，△ABC即2a×2a＝3a×CE，则CE＝，sin2α＝＝，则cos2α＝．8．（1）证明：连接BD，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，BC＝CD，∴BD为⊙O的直径，∵OB＝OD，∴OC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°，∵正方形ABED是圆O的内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；（2）证明：如图2，延长ED至G，使ED＝DG，连接AG，∵CE⊥CF，∴∠ECF＝90°，∵∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCF＝∠DCF，∵BC＝CD，∴△BFC≌△DEC（SAS），∴BF＝DE，∵DE＝DG，∴BF＝DG，∵四边形ABED为圆O的内接四边形，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∵∠ADE+∠ADG＝180°，∴∠ABE＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴∠BAF＝∠DAC，∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAG+∠FAD＝90°，∴∠FAG＝90°，∵M为AE的中点，∴DM为△AEG的中位线，∴DM∥AG，∴∠DNF＝∠FAG＝90°，∴DN⊥AF，（3）解：如图3，连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥AE于点T，由（1）知∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝，由（1）知BD为⊙O的直径，在Rt△ABD中，BD＝AB＝10，∵，∴∠DBE＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠DBE＝，∴，设DE＝x，则BE＝7x，在Rt△BDE中，BD＝＝5x，∴，∴x＝2，∴DE＝2，∴BF＝2，∵∠EFC＝45°，∴∠BFK＝∠EFC＝45°，∴∠KBF＝∠BFK＝45°，∴，由（2）知∠BCF＝∠DCE，∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝，∴，∴，∴，在Rt△ECF中，EF＝CF＝12，∴BE＝EF+BF＝14，∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，∴∠TBE＝∠TEB，∴TB＝TE＝，∴＝，∴，∴，∵M为AE的中点，∴OM⊥AE，在Rt△OME中，OM＝＝3．9．（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC，∵点C是的中点，∴∠EAC＝∠BAC，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∵AE⊥EF，∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；（2）连接OD，∵∠BOC＝2∠CAB＝2×36°＝72°，∵，∴∠BOD＝2∠BOC＝144°，∴的长＝＝π．10．解：（1）连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF+EF＝r+2，∴BD＝CD＝DE＝r+2，在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，∴BF＝BD＝r+2，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，∴△BFD∽△EFA，∴，即＝解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），综上所述，⊙O的半径为1+．11．解：（I）如图①，∵OA＝OC，∠OAC＝58°，∴∠OCA＝58°∴∠COA＝180°﹣2×58°＝64°∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝90°﹣64°＝26°；（II）∵∠AOC＝64°，∴∠Q＝∠AOC＝32°，∵AQ＝CQ，∴∠QAC＝∠QCA＝74°，∵∠OCA＝58°，∴∠PCO＝74°﹣58°＝16°，∵∠AOC＝∠QCO+∠APC，∴∠APC＝64°﹣16°＝48°．12．（1）证明：如图1，∵AC⊥BD，DE⊥BC，∴∠AHD＝∠BED＝90°，∴∠DAH+∠ADH＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ADH＝∠BDE，∴BD平分∠ADF．（2）证明：连接OA、OB．∵OB＝OC＝OA，AC＝BC∴△OCB≌△OCA（SSS），∴OBC＝∠OCA，∴OC平分∠ACB；（3）如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q．则四边形OPHQ是矩形，∵DN∥AC，∴∠BDN＝∠BHC＝90°，∴BN是直径，则OP＝DN＝，∴HQ＝OP＝，设AH＝x，则AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝AC＝2x+9，∴CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2，即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，整理得2x2+9x﹣45＝0，（x﹣3）（2x+15）＝0解得x＝3（负值舍去），BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12∵∠ADB＝∠BCH，∴sin∠ADB＝sin∠BCH＝＝＝．即sin∠ADB的值为．13．证明：（1）连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）设圆O的半径为R，则OD＝R，OE＝R+1，∵CD是圆O的切线，∴∠EDO＝90°，∴ED2+OD2＝OE2，∴9+R2＝（R+1）2，∴R＝4，∴圆O的半径为4；（3）∵∠ABD＝30°，AB＝2R＝8，∴AD＝4，∴BD扫过的图形的面积＝＝16π．14．（1）证明：连接CP，∵AP＝CP，∴∠PAC＝∠PCA，∵AC平分∠OAB，∴∠PAC＝∠EAC，∴∠PCA＝∠EAC，∴PC∥AE，∵CE⊥AB，∴CP⊥EF，即EF是⊙P的切线；（2）∵AC平分∠OAB，∴∠BAC＝∠OAC，∵PA＝PC，∴∠BAC＝∠ACP，∴PC∥AB，∴△OPC∽△OAB，∴＝，∵A（﹣8，0），B（0，），∴OA＝8，OB＝，∴AB＝，∴＝，∴PC＝5，∴⊙P的半径为5．15．（1）证明：如图1，连接AC、BF、CF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵∠AEC＝∠BED，∠AEC＝∠BEF，∴∠BEF＝∠BED，∵ED⊥AB，∴∠BDE＝∠AFB＝90°，又∵BE＝BE，∴△BDE≌△BFE（AAS），∴∠ABC＝∠FBC，∵，∴∠ABC＝∠AFC，∵，∴∠CAF＝∠FBC，∴∠CAF＝∠AFC，∴AC＝CF，∴；（2）证明：如图2，连接OF、BF，作AS⊥AF于点A，交FG的延长线于点S，∵，∴AOC＝∠FOC，∵AO＝OF，∴OC⊥AF，∴AH＝HF＝AF，∵∠BAF＝45°，∴AF＝BF，∵FG⊥BH，AS⊥AF，∴∠S＝∠BHF，又∵∠SAF＝∠HFB＝90°，∴△FSA≌△BHF（AAS），∴AS＝HF＝AH，∵∠SAG＝∠GAH＝45°，AG＝AG，∴△SAG≌△HAG（SAS），∴∠SGA＝∠AGH，∴∠AGH＝∠BGF；（3）解：如图3，过点O作OR⊥HP于点R，OT⊥BH于点T，∵△SAG≌△HAG，∴∠AHG＝∠S＝∠BHF，∵OH⊥AF，∴∠OHG＝∠OHB，∵∠ORH＝∠OTH＝90°，OH＝OH，∴△ORH≌△OTH（AAS），∴RH＝TH，OR＝OT，又∵OP＝OB，∠ORP＝∠OTB＝90°，∴Rt△ORP≌Rt△OTB（HL），∴PR＝BT，∴PR+RH＝BT+TH，即PH＝BH，∴∠HPB＝∠HBP，设∠OPR＝∠OBT＝α，∵∠AOH＝∠A＝45°，∴∠PHO＝∠BHO＝∠AOH﹣∠OBH＝45°﹣α，∴∠PHB＝90°﹣2α，∴∠HPB＝∠HBP＝45°+α，∴∠PBO＝45°，∵PO＝BO，∴∠OPB＝∠OBP＝45°，∴PO⊥AB，∵PK⊥BH，GF⊥BH，∴PK∥GF，∴∠PMG＝∠BGF，∵∠PGM＝∠AGH，∴∠PGM＝∠PMG，∴PG＝PM，∴OG＝OM，过点M作ML⊥BP于点L，∵∠PBH＝∠BHF＝45°+α，∴tan∠PBH＝tan∠BHF＝＝2，∵∠MPL＝∠BPK，∴∠PML＝∠PBH，∴tan∠PML＝tan∠PBH＝2，设BM＝4a，则BL＝ML＝2a，∴PL＝4a，∴PB＝6a，∴PO＝BO＝6a，∴OM＝OG＝2a，∴GM＝4a，∴GM＝BM，∵N为BH的中点，∴MN为中位线，∴GH＝2MN＝，过点G作GU⊥OH于点U，则tan∠GHO＝tan∠OHB＝tan∠FBH＝，在Rt△GUH中，设GU＝b，则UH＝2b，GH＝b，∴GU＝，∴GO＝2＝2a，∴a＝1，∴OB＝6a＝6，即⊙O的半径为6．。
2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷(附答案)
2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷（含答案）1．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵AO＝DO，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵∠ACD＝90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切；（2）解：连接OE，ED，∵∠BAC＝60°，OE＝OA，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠ADE＝30°，又∵∠OAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADE＝∠OAD，∴ED∥AO，∴四边形OAED是菱形，∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM，∴S△AED ＝S△AOD，∴阴影部分的面积＝S扇形ODE＝＝π．2．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点E在⊙O外，连接CE，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）若∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝3，求弦AC的长．（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BAC＝∠BCE，∴∠ACO＝∠BCE，∴∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴AB＝AD＝4，∵BC＝3，∴AC＝＝＝．3．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．（1）证明：连接OE ．∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA ，又∵∠DAE ＝∠OAE ，∴∠OEA ＝∠DAE ，∴OE ∥AD ，∴∠ADC ＝∠OEC ，∵AD ⊥CD ，∴∠ADC ＝90°，故∠OEC ＝90°．∴OE ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠C ＝45°，∴△OCE 是等腰直角三角形，∴CE ＝OE ＝2，∠COE ＝45°，∴阴影部分面积＝S △OCE ﹣S 扇形OBE ＝2×2﹣＝2﹣．4．如图①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AD ⊥BC 垂足为D ，弧AE ＝弧AB ，BE 分别交AD 、AC 于点F 、G ．（1）判断△FAG的形状，并说明理由；（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC．解：（1）△FAG等腰三角形；理由：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AGB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵弧AE＝弧AB，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（2）成立；∵BC为直径，∴∠BAC＝90°∴∠ABE+∠AGB＝90°∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵弧AE＝弧AB，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，∴∠BAD＝∠ABG，∴AF＝BF，又∵AF＝FG，∴F为BG的中点∵△BAG为直角三角形，∴AF＝BF＝BG＝13，∵DF＝5，∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，∴在Rt△BDF中，BD＝＝12，∴在Rt△BDA中，AB＝＝4，∵∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB＝90°∴△ABC∽△DBA，∴＝，∴＝，∴BC＝，∴⊙O的直径BC＝．5．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，点P、Q分别是AB、BC边上的动点．（1）连接AQ、PQ，以PQ为直径的⊙O交AQ于点E．①若点E恰好是AQ的中点，则∠QPB与∠AQP的数量关系是∠QPB＝2∠AQP；②若BE＝BQ＝3，求BP的长；（2）已知AP＝3，BQ＝1，⊙O是以PQ为弦的圆．①若圆心O恰好在CB边的延长线上，求⊙O的半径；②若⊙O与矩形ABCD的一边相切，求⊙O的半径．解：（1）①∵点E恰好是AQ的中点，∠ABQ＝90°，∴BE＝AE＝EQ，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠QEB＝2∠EBP，∵以PQ为直径的⊙O交AQ于点E，∴∠QPB＝∠QEB，∠PBE＝∠PQA，∴∠QPB＝2∠AQP，故答案为：∠QPB＝2∠AQP；②∵BE＝BQ，∴∠BEQ＝∠BQE，且∠BPQ＝∠BEQ，∴∠BPQ＝∠BQE，∴tan∠BPQ＝tan∠BPQ，∴，∴，∴BP＝（2）①如图1，过点O作OE⊥PQ，∵AP＝3，AB＝6，∴BP＝3，∴PQ＝＝＝，∵OE⊥PQ，∴QE＝PE＝，∵cos∠PQB＝＝，∴＝∴OQ＝5，∴⊙O的半径为5；②如图2，若⊙O与BC相切于点Q，连接OQ，过点O作OE⊥PQ于E，∴EQ＝PE＝，∵BC是⊙O切线，∴OQ⊥BC，且AB⊥BC，∴OQ∥AB，∴∠OQP＝∠BPQ，∴cos∠OQP＝cos∠BPQ，∴，∴∴OQ＝；如图3，若⊙O与AB相切于点P，连接OP，过点O作OE⊥PQ于E，∴EQ＝PE＝，∵AB是⊙O切线，∴OP⊥AB，且AB⊥BC，∴OP∥BC，∴∠OPQ＝∠PQB，∴cos∠OPQ＝cos∠PQB，∴∴，∴OP＝5；如图4，若⊙O与AD相切于点M，连接OM，OQ，OP，延长MO交BC于F，作OH⊥AB于H 点，∴OM⊥AD，且BC∥AD，∴OF⊥BC，∵∠A＝∠B＝∠AMO＝∠OFB＝∠OHB＝90°，∴四边形AHOM，OHBF是矩形，∴OM＝AH，OH＝BF，∵OQ2＝OF2+FQ2，OP2＝OH2+PH2，∴OQ2＝（6﹣OQ）2+（BF﹣1）2，OQ2＝BF2+（OQ﹣3）2，∴OQ＝5﹣若图5，若⊙O与CD相切于点N，连接ON，OQ，OP，延长NO交BC于E，作OH⊥BC于H 点，同理可得：OP2＝PE2+OE2，OQ2＝OH2+QH2，∴OQ2＝（3﹣OH）2+（4﹣OQ）2，OQ2＝OH2+（4﹣OQ﹣1）2，∴OQ＝35﹣6．6．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O，以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P．AB ＝6，BC＝，（1）求证：F是DC的中点．（2）求证：AE＝4CE．（3）求图中阴影部分的面积．（1）证明：由折叠的性质可知，AF＝AB＝6，在Rt△ADF中，DF＝＝＝3，∴CF＝DC﹣DF＝3，∴DF＝FC，即F是CD的中点；（2）证明：在Rt△ADF中，DF＝3，AF＝6，∴∠DAF＝30◦，∴∠BAF＝60◦，由折叠的性质可知，∠EAF＝∠EAB，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠EAF＝∠EAB＝30°，∴AE＝2EF，∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝30◦，∴EF＝2CE，∴AE＝4CE；（3）解：连接OP、OH、PH，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∴OP∥DF，∵∠DAF＝30°，∴∠AOP＝90°﹣∠DAF＝60°，OF＝OP＝OA，∴∠OFH＝∠AOP＝60°，OP＝OF＝2，∴AP＝＝2，∴DP＝AD﹣AP＝，∵∠OFH＝60°，OH＝OF，∴△OHF为等边三角形，∴∠FOH＝∠OHF＝60°，HF＝OF＝2，∴DH＝DF﹣HF＝1，∵OP∥DF，∴∠POH＝∠OHF＝60°，∴∠POH＝∠HOF，∴＝，∴阴影部分的面积＝△PDH的面积＝×DH×DP＝．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD．（1）求证：∠A＝∠CBD．（2）若AB＝10，AD＝6，M为线段BC上一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与⊙O 相切，并说明理由．（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠A＝∠CBD；（2）BM＝．理由如下：如图，连接OD，DM，∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，∴BD＝＝8，OA＝5，∵∠A＝∠CBD，∵Rt△CBD∽Rt△BAD，∴＝，即＝，解得BC＝取BC的中点M，连接DM、OD，如图，∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线，∴DM＝BM，∵∠2＝∠4，∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠ODM＝90°，∴OD⊥DM，∴DM为⊙O的切线，此时BM＝BC＝．8．如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是∠DAB的平分线；（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．（1）证明：连接OC，∵直线MC与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADM＝90°，∴∠OCM＝∠ADM，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAB，即AC是∠DAB的平分线；（2）解：连接BC，连接BE交OC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵AB＝10，AC＝4，∴BC＝＝＝2，∵OC∥AD，∴∠BFO＝∠AEB＝90°，∴∠CFB＝90°，F为线段BE中点，∵∠CBE＝∠EAC＝∠CAB，∠CFB＝∠ACB，∴△CFB∽△BCA．∴＝，即＝，解得，CF＝2，∴OF＝OC﹣CF＝3．∵O为直径AB中点，F为线段BE中点，∴AE＝2OF＝6．9．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．（1）证明：如图，连接OD．∵点D是半圆的中点，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴∠ODC+∠OED＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD．又∵CF＝EF，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠FEC＝∠OED，∴∠FCE＝∠OED．∴∠FCE+∠OCD＝∠OED+∠ODC＝90°，即FC⊥OC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵tan A＝，∴在Rt△ABC中，＝，∵∠ACB＝∠OCF＝90°，∴∠ACO＝∠BCF＝∠A，∵△ACF∽△CBF，∴＝＝＝．∴AF＝10，∴CF2＝BF•AF．∴BF＝．∴AO＝＝．10．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE＝6，连接DB，∠B＝30°，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．（1）求的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．解：（1）连结OE，∵DE垂直OA，∠B＝30°，∴CE＝DE＝3，，∴∠AOE＝2∠B＝60°，∴∠CEO＝30°，OC＝OE，由勾股定理得OE＝2；（2）∵EM∥BD，∴∠M＝∠B＝30°，∠M+∠AOE＝90°，∴∠OEM＝90°，即OE⊥ME，∴EM是⊙O的切线；（3）再连结OF，当∠APD＝45°时，∠EDF＝45°，∴∠EOF＝90°，S＝π（2）2﹣（2）2＝3π﹣6．阴影11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．BE平分∠ABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F．请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF是△ABC外接圆的切线；（2）若BC＝5，sin∠ABC＝，求EF的长．（1）证明：补全图形如图所示，∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．连接OE，∴OE＝OB．∴∠2＝∠3，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．∴OE∥BF．∵EF⊥BF，∴EF⊥OE，∴EF是△ABC外接圆的切线；（2）解：在Rt△ABC中，BC＝5，sin∠ABC＝，∴＝．∵AC2+BC2＝AB2，∴AC＝12．∵∠ACF＝∠CFE＝∠FEH＝90°，∴四边形C FEH是矩形．∴EF＝HC，∠EHC＝90°．∴EF＝HC＝AC＝6．12．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为10 ，最小值为 6 ．（2）如图1，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求证：AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，弦CD是AB的“十字弦”，连接AD，若∠ADC＝60°，求弦CD的长．解：（1）如图a，当CD是直径时，CD的长最大，则CD的最大值为10；如图b，当点D与点A重合时，CD有最小值，过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，∴AF＝BF＝4，DE＝CE，∴OF＝＝＝3，∵OE⊥CD，OF⊥AB，∠CDB＝90°，∴四边形CEOF是矩形，∴CE＝OF＝3，∴CD＝6，∴CD最小值为6，故答案为：10，6；（2）如图1，连接AD，∵DH＝7，CH＝9，∴CD＝16，∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴AD＝＝＝4，∵，＝，∴，∠ADH＝∠ADC，∴△ADH∽△CDA，∴∠AHD＝∠CAD＝90°，∴AB⊥CD，∴AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，过点O作OE⊥CD于E，过点O作OF⊥AB于点F，连接AO，CO，过点O作ON⊥AC于N，∵∠ADC＝60°，AB⊥CD，∴AF＝DF，∵OE⊥CD，OF⊥AB，AB⊥CD，∴四边形OEHF是矩形，AF＝BF＝4，CE＝ED，∴OF＝EH，∵OF＝＝＝3，∴EH＝3，∴ED＝CE＝3+DH，∴CF＝3+2DH，∵∠AOC＝2∠ADC＝120°，且AO＝CO＝5，ON⊥AC，∴∠CAO＝30°，AN＝CN，∴NO＝，AN＝，∴AC＝5，∵AH2+CH2＝AC2，∴75＝3DH2+（3+2DH）2，∴DH＝2﹣，∴CD＝2CE＝2（3+2﹣）＝．13．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB ＝30°，设图中阴影部分的面积为y．（1）⊙O的半径为 4 ；（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．解：（1）∵∠AOB＝2∠APB＝2×30°＝60°，而OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝4，即⊙O的半径为4；故答案为4；（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，则∠OHA＝∠OHB＝90°∵∠APB＝30°∴∠AOB＝2∠APB＝60°，∵OA＝OB，OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2，∴OH＝＝2，∴y＝﹣×4×2+×4×x＝2x+π﹣4（0＜x≤2+4）．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CE＝，AB＝6，求⊙O的半径．（1）解：结论：DE与⊙O相切证：连接OD在⊙O中，∵D为的中点，∴＝，∴AD＝DC，∵AD＝DC，点O是AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°，∵DE∥AC，∴∠DOA＝∠ODE＝90°，∵∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D，∴DE与⊙O相切．（2）解：连接BD．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，又∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE，∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵＝，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵DE∥AC，∴∠DCA＝∠CDE＝45°，在△ABD和△CDE中，∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°，∴△ABD∽△CDE，∴＝，∴＝，∴AD＝DC＝4，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝4，∴AC＝＝＝8，∴⊙O的半径为4．15．（1）如图①，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O外，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（2）如图②，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：在平面直角坐标系中，如图③，已知点M（1，0），N（4，0），点P在y轴上，试求当∠MPN度数最大时点P的坐标．解：（1）∠A＞∠BDC，理由如下：设CD交⊙O于E，连接BE，如图1所示：∠BEC＝∠BDC+∠DBE，∴∠BEC＞∠BDC，∵∠A＝∠BEC，∴∠A＞∠BDC；（2）∠A＜∠BDC，理由如下：延长CD交⊙O于点F，连接BF，如图2所示：∵∠BDC＝∠BFC+∠FBD，∴∠BDC＞∠BFC，又∵∠A＝∠BFC，∴∠A＜∠BDC；（3）由（1）、（2）可得：当点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点时，∠MPN度数最大，①当点P在y轴的正半轴上时，如图3所示：设⊙O′为点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点的圆，连接O′P、O′M、O′N，作O′H⊥MN于H，则四边形OPO′H是矩形，MH＝HN，∴OP＝O′H，O′P＝OH＝O′M，∵M（1，0），N（4，0），∴OM＝1，MN＝3，∴MH＝HN＝MN＝，设O′P＝OH＝O′M＝x，MH＝OH﹣OM＝x﹣1，∴x﹣1＝，∴x＝，∴O′H＝＝＝2，∴OP＝2，∴点P的坐标为（0，2）；②当点P在y轴的负半轴上时，如图4所示：同理可得O′H＝OP＝2，∴点P的坐标为（0，﹣2）；综上所述，当∠MPN度数最大时点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．。
2020年九年级数学典型中考压轴题专练：圆有关题型(含答案)
2020年九年级数学典型中考压轴题专练：圆有关题型1、如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC 交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）求DE的长．2、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．（1）求证：直线BF是⊙O的切线．（2）若CD=2，OP=1，求线段BF的长．3、如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E．（1）求证：∠1=∠CAD；（2）若AE=EC=2，求⊙O的半径．4、如图，在四边形ABCD 中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD 为直径作圆O ，过点D 作DE ∥AB 交圆O 于点E（1）证明点C 在圆O 上；（2）求tan ∠CDE 的值；（3）求圆心O 到弦ED 的距离．5、如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是BA 延长线上一点，PC 是⊙O 的切线，切点为C. 过点B 作BD ⊥PC 交PC 的延长线于点D ，连接BC. 求证：（1）∠PBC =∠CBD;（2）BC 2=AB ·BD6、如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是弦AC 上一动点(不与A 、C 重合)，过点P 作PE ⊥AB,垂足为E ，弧AC 射线EP 交于点F ，交过点C 的切线于点D.(1)求证DC=DP(2)若∠CAB=30°，当F 是 的中点时，判断以A 、O 、C 、F 为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由；7、如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连结EF ．AC（1）求证：∠1=∠F．（2）若sinB=，EF=2，求CD的长．8、如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且．（1）求证：△ADC∽△EBA；（2）如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值．9、如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；①求tan∠CFE的值；②若AC=3，BC=4，求CE的长．10、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD 到E，且有∠EBD=∠CAB．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BC=，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．11、已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， =，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．12、如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6．P是底边BC上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA于点E．（1）若点E在线段CA的延长线上，设BP=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x 的取值范围．（2）当BP=2时，试说明射线CA与⊙P是否相切．（3）连接PA，若S△APE=S△ABC，求BP的长．13、如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．14、如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；（2）求CD的长．15、如图1是一个用铁丝围成的篮框，我们来仿制一个类似的柱体形篮框．如图2，它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A2OB2，矩形A2C2EO、B2D2EO，及若干个缺一边的矩形状框A1C1D1B1、A2C2D2B2、…、A n B n C n D n，OEFG围成，其中A1、G、B1在上，A2、A3…、A n与B2、B3、…B n分别在半径OA2和OB2上，C2、C3、…、C n和D2、D3…D n分别在EC2和ED2上，EF⊥C2D2于H2，C1D1⊥EF于H1，FH1=H1H2=d，C1D1、C2D2、C3D3、C n D n依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边C n D n与点E间的距离应不超过d），A1C1∥A2C2∥A3C3∥…∥A n C n（1）求d的值；（2）问：C n D n与点E间的距离能否等于d？如果能，求出这样的n的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？16、在平面直角坐标中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣，0）、B（，0）、C（0，3）．（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．答案:1、【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAB，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF=CF=3，∴OF===4．∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE=OF=4．2、【解答】（1）证明：∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，∴∠AFB=∠ADC，∴CD∥BF，∴∠AFD=∠ABF，∵CD⊥AB，∴AB⊥BF，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：连接OD，∵CD⊥AB，∴PD=CD=，∵OP=1，∴OD=2，∵∠PAD=∠BAF，∠APO=∠ABF，∴△APD∽△ABF，∴=，∴=，∴BF=．3、【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD+∠CAD=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠1=∠BDO，∴∠1=∠CAD；（2）解：∵∠1=∠CAD，∠C=∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD：CA=CE：CD，∴CD2=CA•CE，∵AE=EC=2，∴AC=AE+EC=4，∴CD=2，设⊙O的半径为x，则OA=OD=x，则Rt△AOC中，OA2+AC2=OC2，∴x2+42=（2+x）2，解得：x=．∴⊙O的半径为．4、【解答】（1）证明：如图1，连结CO．∵AB=6，BC=8，∠B=90°，∴AC=10．又∵CD=24，AD=26，102+242=262，∴△ACD是直角三角形，∠C=90°．∵AD为⊙O的直径，∴AO=OD，OC为Rt△ACD斜边上的中线，∴OC=AD=r，∴点C在圆O上；（2）解：如图2，延长BC、DE交于点F，∠BFD=90°．∵∠BFD=90°，∴∠CDE+∠FCD=90°，又∵∠ACD=90°，∴∠ACB+∠FCD=90°，∴∠CDE=∠ACB．在Rt△ABC中，tan∠ACB==，∴tan∠CDE=tan∠ACB=；（3）解：如图3，连结AE，作OG⊥ED于点G，则OG∥AE，且OG=AE．易证△ABC∽△CFD，∴=，即=，∴CF=，∴BF=BC+CF=8+=．∵∠B=∠F=∠AE D=90°，∴四边形ABFE是矩形，∴AE=BF=，∴OG=AE=，即圆心O到弦ED的距离为．5、【解答】证明：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCD=90°.又∵BD⊥PC∴∠BDP=90°∴OC∥BD.∴∠CBD=∠OCB.∴OB=OC .∴∠OCB=∠PBC.∴∠PBC=∠CBD.（2）连接AC∵AB 是直径，∴∠BDP=90°.又∵∠BDC=90°，∴∠ACB=∠BDC.∵∠PBC=∠CBD,∴△ABC ∽△CBD. ∴BC AB =BD BC .∴BC 2=AB ·BD6、【解析】 (1) 如图连接OC, ∵CD 是⊙O 的切线，∴ OC ⊥CD ∴∠OCD=90º，∴∠DCA= 90º－∠OCA .又PE⊥AB ，点D在EP的延长线上，∴∠DEA=90º，∴∠DPC=∠APE=90º－∠OAC.∵OA=OC , ∴∠OCA=∠OAC.∴∠DCA=∠DPC ,∴DC=DP.(2) 如图四边形AOCF是菱形.连接CF、AF，∵F是弧AC的中点，∴弧AF=弧CF ∴ AF=FC .∵∠BAC=30º，∴弧BC =60º，又AB是⊙O的直径，∴弧ACB =120º，∴弧AF=弧CF= 60º，∴∠ACF=∠FAC =30º .∵OA=OC, ∴∠OCA=∠BAC=30º,∴⊿OAC≌⊿FAC (ASA) , ∴AF=OA ,∴AF=FC=OC=OA , ∴四边形AOCF是菱形.7、【解答】解：（1）证明：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵E是AB的中点，∴DA=DB，∴∠1=∠B，∵∠B=∠F，∴∠1=∠F；（2）∵∠1=∠F，∴AE=EF=2，∴AB=2AE=4，在Rt△ABC中，AC=AB•sinB=4，∴BC==8，设CD=x，则AD=BD=8﹣x，∵AC2+CD2=AD2，即42+x2=（8﹣x）2，∴x=3，即CD=3．8、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA=∠ABE．∵，∴∠DCA=∠BAE．∴△ADC∽△EBA；（2）解：∵A是的中点，∴∴AB=AC=8，∵△ADC∽△EBA，∴∠CAD=∠AEC，，即，∴AE=，∴tan∠CAD=tan∠AEC===．9、【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD，∴∠DCO=90°，∴∠3+∠2=90°，∵AB是直径，∴∠1+∠B=90°，∴∠3=∠B．（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，∴∠CEF=∠CFE=45°，∴tan∠CFE=tan45°=1．②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，∴△DCA∽△DBC，∴===，设DC=3k，DB=4k，∵CD2=DA•DB，∴9k2=（4k﹣5）•4k，∴k=，∴CD=，DB=，∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，∴△DCE∽△DBF，∴=，设EC=CF=x，∴=，∴x=．∴CE=．10、【解答】解：如图，连接OB，∵BD=BC，∴∠CAB=∠BAD，∵∠EBD=∠CAB，∴∠BAD=∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，OA=BO，∴∠BAD=∠ABO，[来源:学科网]∴∠EBD=∠ABO，∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线，（2）如图2，设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACCD=90°，∵BC=BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA=OD，∴OF=AC=，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE=∠ACB，∵∠DBE=∠ACB，∴△DBE∽△CAB，∴，∴，∴DE=，∵∠OBE=∠OFD=90°，∴DF∥BE，∴，∴，∵R＞0，∴R=3，∵BE是⊙O的切线，∴BE===．11、【解答】证明：（1）在⊙O中，∵=，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，∵=，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AG，∴DH=HG，∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，∵BD=AE，∴CG=AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．12、【解答】解：（1）过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H，∵∠BAC=120°，AB=AC=6，∴∠B=∠C=30°，∵PB=PD，∴∠PDB=∠B=30°，CF=AC•cos30°=6×=3，∴∠ADE=30°，∴∠DAE=∠CPE=60°，∴∠CEP=90°，∴CE=AC+AE=6+y，∴PC==，∵BC=6，∴PB+CP=x+=6，∴y=﹣x+3，∵BD=2BH=x＜6，∴x＜2，∴x的取值范围是0＜x＜2；（2）∵BP=2，∴CP=4，∴PE=PC=2=PB，∴射线CA与⊙P相切；（3）当D点在线段BA上时，连接AP，∵S△ABC=BC•AF=××3=9，∵S△APE=AE•PE=y•×（6+y）=S△ABC=，解得：y=，代入y=﹣x+3得x=4﹣．当D点BA延长线上时，PC=EC=（6﹣y），∴PB+CP=x+（6﹣y）=6，∴y=x﹣3，∵∠PEC=90°，∴PE===（6﹣y），∴S△APE=AE•PE=x•=y•（6﹣y）=S△ABC=，解得y=或，代入y=x﹣3得x=3或5．综上可得，BP的长为4﹣或3或5．13、【解答】（1）证明：连接OB，∵OB=OA，DE=DB，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，∴∠OBA+∠ABD=90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线；（2）如图，过点D作DG⊥BE于G，∵DE=DB，∴EG=BE=5，∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，∴∠GDE=∠A，∴△ACE∽△DGE，∴sin∠EDG=sinA==，即CE=13，在Rt△ECG中，∵DG==12，∵CD=15，DE=13，∴DE=2，∵△ACE∽△DGE，∴=，∴AC=•DG=，∴⊙O的直径2OA=4AD=．4、【解答】（1）①证明：连接OC．∵OA=OB，AC=CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线．②证明：∵OA=OB，AC=CB，∴∠AOC=∠BOC，∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD，∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC，∴∠BOC=∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF=∠OCD，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠ADC=∠CDF．（2）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN=NF=3，在RT△ODN中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，∴ON==4，∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON=CM=4，MN=OC=5，在RT△CDM中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，∴CD===4．15、【解答】解：（1）在RT△D2EC2中，∵∠D2EC2=90°，EC2=ED2=r，EF⊥C2D2，∴EH1=r，FH1=r﹣r，∴d=（r﹣r）=r，（2）假设C n D n与点E间的距离能等于d，由题意•r=r，这个方程n没有整数解，所以假设不成立．∵r÷r=2+2≈4.8，∴n=6，此时C n D n与点E间的距离=r﹣4×r=r．16、【解答】解：（1）连接BD，∵B（，0），C（0，3），∴OB=，OC=3，∴tan∠CBO==，∴∠CBO=60°∵点D是△ABC的内心，∴BD平分∠CBO，∴∠DBO=30°，∴tan∠DBO=，∴OD=1，∴△ABC内切圆⊙D的半径为1；（2）连接DF，过点F作FG⊥y轴于点G，∵E（0，﹣1）∴OE=1，DE=2，∵直线EF与⊙D相切，∴∠DFE=90°，DF=1，∴sin∠DEF=，∴∠DEF=30°，∴∠GDF=60°，∴在Rt△DGF中，∠DFG=30°，∴DG=，由勾股定理可求得：GF=，∴F（，），设直线EF的解析式为：y=kx+b，∴，∴直线EF的解析式为：y=x﹣1；（3）∵⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，∴该点必为△ABC外接圆的圆心，由（1）可知：△ABC是等边三角形，∴△ABC外接圆的圆心为点D∴DP=2，设直线EF与x轴交于点H，∴令y=0代入y=x﹣1，∴x=，∴H（，0），∴FH=，当P在x轴上方时，过点P1作P1M⊥x轴于M，由勾股定理可求得：P1F=3，∴P1H=P1F+FH=，∵∠DEF=∠HP1M=30°，∴HM=P1H=，P1M=5，∴OM=2，∴P1（2，5），当P在x轴下方时，过点P2作P2N⊥x轴于点N，由勾股定理可求得：P2F=3，∴P2H=P2F﹣FH=，∴∠DEF=30°∴∠OHE=60°∴sin∠OHE=，∴P2N=4，令y=﹣4代入y=x﹣1，∴x=﹣，∴P2（﹣，﹣4），综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（2，5）或（﹣，﹣4）．。
中考数学压轴题专题-圆的有关位置关系(解析版)
决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题13 圆的有关位置关系【考点1】点与圆的位置关系【例1】1．（2020·江苏连云港·初三二模）已知⊙O的半径OA长为1，OB＝2，则可以得到的正确图形可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据点到直线的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可【详解】解：∵⊙O的半径OA长1，若OB2，∴OA＜OB，∴点B在圆外，故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据数据判断出点到圆心的距离和圆的半径的大小关系，难度不大．【变式1-1】（2020·广州市育才中学初三期中）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断【答案】A【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d 时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．【变式1-2】（（2019·四川省成都市簇锦中学中考模拟）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P 的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定【答案】A【分析】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．【详解】∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），＜5，∴点P在⊙A内，故选A．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．【考点2】直线与圆的位置关系【例2】（2020·遵化市阳光燕山学校初三一模）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O 的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O 始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（）秒时相切．A．3 B．3.5 C．3或4 D．3或3.5【答案】C【分析】存在2种情况，如下图，一种是AB与圆上的点M相切，另一种是AB与圆上的点N相切．【详解】如下图，⊙O与l交于点M和点N情况一：直线AB与圆上点M相切则点M与点A重合∵AO=7cm，⊙O的半径为1cm∴MA=6cm∵⊙O以2cm/s的速度向右移动∴t=63 2=s情况二：直线AB与圆上点N相切则点N与点A重合同理，NA=8cm∴t=84 2=s故选：C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，相切即直线到圆心的距离等于圆的半径，注意，圆向右运动的过程中，会有2次与直线AB相切的时刻．【变式2-1】（2020·四川凉山·初三零模）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移()A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．【详解】解：作OC⊥AB，又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm∴BO＝5，BC＝4，∴由勾股定理得OC＝3cm，∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．故选：B．【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键．【变式2-2】（2019·浙江中考真题）如图，Rt ABC∆中，90C∠=︒，12AC=，点D在边BC上，5CD=，13BD=.点P是线段AD上一动点，当半径为6的圆P与ABC∆的一边相切时，AP的长为________.【答案】132或313【解析】【分析】根据勾股定理得到221218613AB=+=，2213AD AC CD=+=，当⊙P于BC相切时，点P到BC 的距离=6，过P作PH⊥BC于H，则PH=6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离=6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BD+CD=18，∴221218613AB=+=，在Rt△ADC中，∠C=90°，AC=12，CD=5，∴2213AD AC CD=+=，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离=6，过P作PH⊥BC于H，则PH=6，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴PD PH DA AC＝，∴6 1312 PD=，∴PD=6.5，∴AP=6.5；当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离=6，过P作PG⊥AB于G，则PG=6，∵AD=BD=13，∴∠PAG=∠B，∵∠AGP=∠C=90°，∴△AGP∽△BCA，∴AP PG AB AC＝，612=，∴∵CD=5＜6，∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，综上所述，AP的长为6.5或故答案为6.5或【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．【考点3】切线的判定与性质的应用【例3】（2020·山东枣庄·中考真题）如图，在ABC中，AB AC=，以AB为直径的O分别交AC、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且2BAC CBF ∠=∠．（1）求证：BF 是O 的切线； （2）若O 的直径为4，6CF =，求tan CBF ∠．【答案】（1）详见解析；（2）21tan 7CBF ∠=【分析】（1）连接AE ，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF ＝90°；（2）过点C 作CH BF ⊥于点H ，求得AC 、BF 的长度，证出CHF ABF ∽△△，根据相似三角形的性质求得CH 、HF 的长度，根据BH BF HF =-求得BH 的长度，代入tan CH CBF BH∠=求解即可． 【详解】（1）（1）证明：如图，连接AE ．∵AB 是O 的直径，∴90AEB =︒∠，1290∠+∠=︒．∵AB AC =，∴21BAC ∠=∠．∵2BAC CBF ∠=∠，∴1CBF ∠=∠．∴290CBF ∠+∠=︒，即90ABF ∠=︒．∵AB 是O 的直径，∴直线BF 是O 的切线．（2）解：过点C 作CH BF ⊥于点H ．∵AB AC =，O 的直径为4， ∴4AC =．∵6CF =，90ABF ∠=︒， ∴2222104221AF AB BF -=-==． ∵CHF ABF ∠=∠，F F ∠=∠，∴CHF ABF ∽△△．∴CH CF AB AF =，即6446CH =+． ∴125CH =，222212621655HF CF CH ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭． ∴62142122155BH BF HF =-=-=． ∴12215tan 74215CH CBF BH ∠===．【点睛】本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点．【变式3-1】（2020·湖北荆门·中考真题）如图，AC 为O 的直径，AP 为O 的切线，M 是AP 上一点，过点M 的直线与O 交于点B ，D 两点，与AC 交于点E ，连接,,AB AD AB BE =．（1）求证：AB BM =；（2）若3AB =，245AD =，求O 的半径． 【答案】（1）见解析；（2）O 的半径为2.5．【分析】 （1）根据切线的性质得到AP AC ⊥，可得1290∠+∠=︒，再根据等腰三角形的性质与角度等量替换得到14∠=∠，故可证明；（2）解法1，先连接BC,证明245AM AD ==，得到EM=6，根据勾股定理求出AE ，再根据MAE CBA ∽列出比例式求出直径，故可求出；解法2，连接CD ，同理得到245AM AD ==，根据勾股定理求出AE ，设EC x =，根据等腰三角形的性质得到CD=CE=x,再利用Rt △ACD 列出方程故可求出x,再得到直径即可求解．【详解】（1）证明：∵AP 为O 的切线，AC 为O 的直径，∴AP AC ⊥，∴3490∠+∠=°，∴1290∠+∠=︒，又∵AB BE =，∴23∠∠=，∴14∠=∠∴AB BM =．（2）方法1：解：如图，连接BC ，∵AC 为直径，∴90ABC ∠=︒， ∴390C ∠+∠=︒，而3490∠+∠=°， ∴4C ∠=∠，又：14,C D ∠=∠∠=∠， ∴1D C ∠=∠=∠， ∴245AM AD ==， ∵3AB =，AB BM BE ==，∵6EM =，∴22222418655AE EM AM ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭． ∵1,90C EAM ABC ∠=∠∠=∠=︒， ∴MAE CBA ∽，∴ME AE CA AB=， ∴18653CA =， ∴185185CA ==∴O 的半径为2.5．方法2：解：如图，连接CD ，∵AB BE =，∴23∠∠=，又∵2,3DEC EDC ∠=∠∠=∠，∴DEC EDC ∠=∠，∴DC EC =，∵AC 为直径，∴90ADC ∠=︒，∴90ADE EDC ∠+∠=︒，而3490,3EDC ∠+∠=︒∠=∠，∴4ADE ∠=∠，又∵14∠=∠，∴1ADE ∠=∠， ∴245AM AD ==， ∵3,AB AB BM BE ===，∴6EM =，∴185AE ===． 设EC x =，则18,5AC AE EC x DC x =+=+=， 在Rt ADC 中， 222AD DC AC +=，∴222241855x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得75x = ∴187555AC =+=， ∴O 的半径为2.5．【点睛】此题主要考查切线的综合运用，解题的关键是熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质．【变式3-2】（2020·四川宜宾·中考真题）如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 是圆上异于A ，B 的一点，连接BC 并延长至点D ，使得CD BC =，连接AD 交O 于点E ，连接BE ．（1）求证：ABD ∆是等腰三角形；（2）连接OC 并延长，与B 以为切点的切线交于点F ，若4,1AB CF ==，求DE 的长．【答案】（1）详见解析；（2）43DE =【分析】 （1）根据直径所对圆周角是直角及三线合一性质求解即可；（2）根据等腰三角形的性质和切线的性质证明∆∆OBFAEB ，可得83AE =，即可求出DE ． 【详解】（1）证明：因为AB 是圆O 的直径，所以90ACB ︒∠=， AC BD ∴⊥，BC CD =，所以点C 是BD 的中点，所以AB=AD ，所以三角形ABD 是等腰三角形．（2）因为三角形ABD 是等腰三角形，1,,2BAC BAD AB AD BC BD ∴∠=∠==， 12BAC BOC ∠=∠， BAD BOC ∴∠=∠，因为BF 是切线，所以90FOB ︒∠=，因为AB 是直径，所以90AEB OBF ︒∠=∠=，OBF AEB ∴∆∆，OB OF AE AB ∴=， 4,3AB OF OC CF ==+=，83AE ∴=， 43DE AD AE ∴=-=． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，准确运用相似三角形的性质是解题的关键．【变式3-3】（2020·湖南永州·中考真题）如图，ABC 内接于,O AB 是O 的直径，BD 与O 相切于点B ，BD 交AC 的延长线于点D ，E 为BD 的中点，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线．（2）已知35,5BD CD ==，求O ，E 两点之间的距离．【答案】（1）见解析；（2）92【分析】 （1）连接OC ，先推出90BCD ∠=︒，然后根据CE 是Rt BCD ∆斜边BD 上的中线，得出CE BE =，从而可得EBC ECB ∠=∠，根据BD 与O 相切，得到90OBC EBC ∠+∠=︒，可得90OCB ECB ∠+∠=︒，即90OCE ∠=︒，即可证明CE 是O 的切线； （2）连接OE ，先证明BCD ABD ∆∆∽，可得BD CD AD BD=，可求出AD ，根据OE 是ABD △的中位线，即可求出OE ．【详解】（1）证明：连接OC ，∵OC OB =，∴OBC OCB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，则90BCD ∠=︒，∵CE 是Rt BCD ∆斜边BD 上的中线，∴CE BE =，∴EBC ECB ∠=∠，∵BD 与O 相切，∴90ABD ∠=︒，即90OBC EBC ∠+∠=︒，∴90OCB ECB ∠+∠=︒，即90OCE ∠=︒，∴OC CE ⊥，∴CE 是O 的切线；（2）连接OE ，∵D D BCD ABD ∠=∠∠=∠，，∴BCD ABD ∆∆∽， ∴BD CD AD BD =，即2(35)5AD =， ∴9AD =，∵OE 是ABD △的中位线， ∴9221OE AD ==． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定进而性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，掌握知识点，结合现有条件灵活运用是解题关键．【考点4】三角形的内切圆与切线长定理【例4】（2020·浙江绍兴·初三一模）如图，直线PA ，PB ，MN 分别与O 相切于点A ，B ，D ，8PA PB cm ==，则PMN 的周长为（ ）A ．8cmB ．3cmC ．16cmD ．3cm【答案】C【分析】根据切线长定理得MA=MD，ND=NB，然后根据三角形周长的定义进行计算，即可．【详解】∵直线PA、PB、MN分别与O相切于点A.，B， D，∴MA=MD，ND=NB，∴△PMN的周长=PM+PN+MD+ND=PM+MA+PN+NB=PA+PB=8+8=16(cm)．故选C．【点睛】本题主要考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．【变式4-1】（2020·杭州绿城育华学校初三二模）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径．【答案】3 2【解析】试题分析：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OF=OE，OF⊥AC，OE⊥BC，又∵∠C=90°，∴CEOF是正方形．设圆O的半径为r，则DE=2﹣r，OE=r．∵CEOF是正方形，∴OE∥AC．∴△OED∽△ACD．∴OE EDAC CD=，即262r r-=．解得：r=32．考点：三角形的内切圆与内心．【变式4-2】（2020·山东初三二模）Rt△ABC中，∠C＝90°，若直角边AC＝5，BC＝12，则此三角形的内切圆半径为________．【答案】2【分析】设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、F、E；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长．【详解】解：如图；在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12；根据勾股定理AB=四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，BD=BF，CE=CF；∴CE=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（5+12-13）=2．故答案为2．【变式4-3】（2019·湖南中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD【答案】D【解析】【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．【详解】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，所以A成立；∠BPD＝∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC＝BC，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D．【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.1．（2020·武汉市常青第一学校九年级一模）如图，边长为a的正方形ABCD的边长为b的等边AEF均内接于⊙O，则ba的值是（）．A．2B3C2D．6 2【答案】D 【解析】连接OE ，OF ，OC 且OC 与EF 交于M ，先求出圆的半径，在Rt△OEM 中利用30°角的性质即可解决问题．解：如图所示，正方形ABCD 边长a ，等边AEF 边长b ，连接OE ，OF ，OC 且OC 与EF 交于M ，30OEM ∠=︒，2b EM =，∴36OM b =． 1244OM AC a ==， ∴2346a b =，∴62b a =． 故选D ．2．（2020·江苏连云港·中考真题）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点．则点O 是下列哪个三角形的外心（ ）．A ．AEDB ．ABD △C ．BCD △ D ．ACD △【答案】D【分析】 根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．【详解】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O 到A ，B ，C ，D ，E 的距离中，只有OA=OC=OD ．故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形外心的性质，即到三角形三个顶点的距离相等．3．（2020·合肥市第四十五中学九年级三模）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是△ABC 的内心，∠AIC=124°，点E 在AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为（ ）A ．56°B ．62°C ．68°D ．78°【答案】C【解析】 分析：由点I 是△ABC 的内心知∠BAC=2∠IAC 、∠ACB=2∠ICA ，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB ）=180°﹣2（180°﹣∠AIC ），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．详解：∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAC=2∠IAC 、∠ACB=2∠ICA ，∵∠AIC=124°，∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB ）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA ）=180°﹣2（180°﹣∠AIC ）=68°，又四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠CDE=∠B=68°，故选C ．点睛：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．4．（2020·浙江九年级月考）如图，等腰ABC ∆的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且5AB AC ==， 6BC =，则DE 的长是( )A 310B 310C ．355D 65 【答案】D【分析】如图，连接OA 、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，先证明点A 、O 、E 共线，即AE BC ⊥，从而可得3BE CE ==，在Rt ABE ∆中，利用勾股定理求出AE 长，再由切线长定理求得BD 长，进而得AD 长，设⊙O 的半径为r ，则OD OE r ==， 4AO r =-，在Rt AOD ∆中，利用勾股定理求得32r =，在Rt BOE ∆中，求得35OB ，再证明OB 垂直平分DE ，利用面积法可得1122HE OB OE BE ⋅=⋅，求得HE 长即可求得答案. 【详解】 连接OA 、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，如图，等腰ABC ∆的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，FOA ∴平分BAC ∠， OE BC ⊥， ⊥OD AB ，BE BD =，AB AC =，AO BC ∴⊥，∴点A 、O 、E 共线，即AE BC ⊥，3BE CE ∴==，在Rt ABE ∆中， 22534AE =-=，3BD BE ==，2AD ∴=，设⊙O 的半径为r ，则OD OE r ==， 4AO r =-，在Rt AOD ∆中，2222(4)r r +=-，解得32r =，在Rt BOE ∆中，223353(=22OB =+）， BE BD =，OE OD ，OB ∴垂直平分DE ，DH EH ∴=，OB DE ⊥，1122HE OB OE BE ⋅=⋅， 333525352OE BE HE OB ⨯⋅∴===， 6525DE EH ∴==， 故选D ． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.5．（2020·湖北初三一模）如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，若AB=8，∠P=30°，则AC=（ ）A ．3B ．42C ．4D ．3【答案】A【分析】 先根据切线的性质得∠OAP ＝90°，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到AP 3OA ＝3着计算出∠C ＝30°，从而得到AC ＝AP ＝3【详解】∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，AP＝3OA＝43，∵∠AOP＝∠C＋∠OAC＝60°，而∠C＝∠OAC，∴∠C＝30°，∴AC＝AP＝43.故答案为43．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．6．（2020·四川东坡区实验中学初三二模）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（）A．2 B．3C3D．2【答案】B【解析】本题考查的圆与直线的位置关系中的相切．连接OC,EC所以∠EOC=2∠D=60°，所以△ECO为等边三角形．又因为弦EF∥AB所以OC垂直EF故∠OEF=30°所以337．（2020·上虞市实验中学初三一模）在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( ) A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C ．与x 轴相切，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离 【答案】C 【解析】 分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X 轴的距离是4，到Y 轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．解答：解：圆心到X 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，4=4，3＜4，∴圆与x 轴相切，与y 轴相交，故选C ．8．（2020·安徽初三一模）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，60B ∠=︒，A 的半径为3，那么下列说法正确的（ ）A ．点B 、点C 都在A 内 B ．点C 在A 内，点B 在A 外 C ．点B 在A 内，点C 在A 外D ．点B 、点C 都在A 外 【答案】D【分析】 先利用三角函数求出AC 、AB 的长，再根据点与圆的位置关系判断即可.【详解】在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，60B ∠=︒， ∴4cos60BC AB ==，tan 6023AC BC =⋅= ∵A 的半径为3，∴点B 、点C 都在A 外， 故选：D.【点睛】此题考查三角函数，点与圆的位置关系，熟记点与圆的三种位置关系，正确根据三角函数求直角三角形的边长是解题的关键.9．（2020·吉林吉林·初三一模）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠BCO＝α，则∠P的度数为（）A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣2αD．45°+2α【答案】B【分析】由圆周角定理可求得∠AOP的度数，由切线的性质可知∠PAO=90°，则可中求得∠P．【详解】解：∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠ABC＝α，∴∠AOP＝2∠ABC＝2α，∵P A是⊙O的切线，∴P A⊥AB，∴∠P AO＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣2α，故选：B．【点睛】本题主要考查切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理可切线的性质分别求得∠AOP和∠PAO的度数是解题的关键．10．（2020·湖南湘西·中考真题）如图，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO 的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（）A．BPA△为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A、B都在以PO为直径的圆上D．PC为BPA△的边AB上的中线【答案】B【分析】连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出BPA△为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明AB与PD相互垂直平分，即可得出答案．【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，∵B，C为切点，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴BPA△为等腰三角形，故A正确；∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，∴PM=OM=BM=AM∴点A、B都在以PO为直径的圆上，故C正确；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA为等腰三角形，∴PC为BPA△的边AB上的中线，故D正确；无法证明AB与PD相互垂直平分，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．11．（2020·浙江温州·中考真题）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA 的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1 B．2 C2D3【答案】D【分析】连接OB，由题意可知，∠OBD=90°；再说明△OAB是等边三角形，则∠AOB =60°；再根据直角三角形的性质可得∠ODB=30°，最后解三角形即可求得BD的长．【详解】解：连接OB∵菱形OABC∴OA=AB又∵OB=OA∴OB=OA=AB∴△OAB是等边三角形∵BD是圆O的切线∴∠OBD=90°∴∠AOB=60°∴∠ODB=30°∴在Rt△ODB中,OD=2OB=2,BD=OD·sin∠ODB=2×33故答案为D．【点睛】本题考查了菱形的性质、圆的切线的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形，其中证明△OAB 是等边三角形是解答本题的关键．12．（2020·南通西藏民族中学初三期中）如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝_________°．【答案】219【分析】连接AB，根据切线的性质得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝12（180°−102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB＋∠C＝180°，于是得到结论．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝12（180°−102°）＝39°，∵∠DAB＋∠C＝180°，∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，故答案为219°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（2020·黑龙江双鸭山·初三其他模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是_____________．【答案】4【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴11()22AB AC BC r AB AC++=⋅，∴r=2，∴S四边形AEOF=r²=4，【点睛】本题考查三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.14．（2020·浙江绍兴·九年级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．以点C为圆心，r为半径画圆，若圆C 与斜边AB有且只有一个公共点时，则r的取值范围是．【答案】245r=或68r<≤【解析】试题分析：画出符合条件的图形，①根据切线性质和三角形的面积即可求出答案；②画出图形，根据图形即可得出答案．试题解析：由勾股定理得：AB=10，分为两种情况：①如图1，当⊙C与AB相切时，只有一个公共点，则CD⊥AB，由三角形的面积公式得：S△ABC=12×AC×BC=12×AB×CD，∴6×8=10×CD，CD=4.8，即R=4.8，②如图2，当R的范围是6＜R≤8时，⊙C和AB只有一个公共点，考点：直线与圆的位置关系．15．（2020·江苏南京·初三月考）如图,在△ABC中,BC=6,以点A为圆心,2为半径的☉A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,点P是优弧EF上的一点,且∠EPF=50°,则图中阴影部分的面积是___.【答案】6﹣109π．【解析】连接AD，∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，∴∠EAF=2∠EPF=100°，∴S扇形AEF=21002360π⨯=109π，S△ABC=12AD•BC=12×2×6=6，∴S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF=6-109π．故答案为6-109π． 点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了扇形的面积公式．16．（2020·新疆初三三模）如图，半径为2的⊙O 与含有30°角的直角三角板ABC 的AC 边切于点A ，将直角三角板沿CA 边所在的直线向左平移，当平移到AB 与⊙O 相切时，该直角三角板平移的距离为______.【答案】23【解析】试题解析：根据题意画出平移后的图形，如图所示：设平移后的△A ′B ′C ′与O 相切于点D ，连接OD ，OA ，AD ，过O 作OE ⊥AD ，可得E 为AD 的中点，∵平移前O 与AC 相切于A 点，∴OA ⊥A ′C ,即90OAA ，∠'= ∵平移前O 与AC 相切于A 点,平移后O 与A ′B ′相切于D 点，即A ′D 与A ′A 为O 的两条切线， ∴A ′D =A ′A ,又60B A C ∠'''=，∴△A ′AD 为等边三角形，∴60,DAA AD AA A D ∠'=='='，∴30OAE OAA DAA ∠=∠'-∠'=，在Rt △AOE 中,302OAE AO ∠==，，∴cos303AE AO =⋅=，∴223AD AE ==，∴2 3.AA '=则该直角三角板平移的距离为2 3.故答案为2 3.17．（2020·郓城县教学研究室初三其他模拟）如图，∠APB=30°，圆心在PB 上的⊙O 的半径为1cm ，OP=3cm ，若⊙O 沿BP 方向平移，当⊙O 与PA 相切时，圆心O 平移的距离为_____cm ．【答案】1或5【分析】首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm ，即可求得O′P 的长，继而求得答案．【详解】解：有两种情况：（1）如图1,当O 平移到O ′位置时，O 与P A 相切时，且切点为C ，连接O ′C ,则O ′C ⊥P A ，即∠O ′CP =90°，∵∠APB =30°,O ′C =1cm ， ∴O ′P =2O ′C =2cm ，∵OP =3cm ，∴OO ′=OP −O ′P =1(cm).（2）如图2，同理可得：O ′P =2cm ，∴O ′O =5cm.故答案为1或5.【点睛】本题主考考查圆与直线相切. 本题要应用分类讨论思想分别画出⊙O 与直线P A 相切时的图形，利用切线性质即可求出答案.18．（2020·江苏南京·中考真题）如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A 、B 两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A 关于l 的对称点A '，线A B '与直线l 的交点C 的位置即为所求， 即在点C 处建气站， 所得路线ACB 是最短的，为了让明点C 的位置即为所求，不妨在l 直线上另外任取一点C '，连接AC '，BC '， 证明AC CB AC C B ''+<+， 请完成这个证明．（2）如果在A 、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析，②见解析【分析】（1）连接A C '，利用垂直平分线的性质，得到A C CA '=，利用三角形的三边关系，即可得到答案； （2）由（1）可知，在点C 处建燃气站，铺设管道的路线最短．分别对①、②的道路进行设计分析，即可求出最短的路线图．【详解】（1）证明：如图，连接A C '∵点A 、A '关于l 对称，点C 在l 上∴A C CA '=，∴''CA CB A C CB A B +=+=，同理'''''AC C B A C C B +=+，在'A C B '∆中，有'''A B A C C B '<+∴''AC CB AC C B +<+；（2）解：①在点C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB （如图，其中D 是正方形的顶点）．②在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC CD DE EB+++（如图，其中CD、BE都与圆相切）．【点睛】本题考查了切线的应用，最短路径问题，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确确定点C 的位置，从而确定铺设管道的最短路线．19．（2020·湖北中考真题）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E．（1）求证：AC 平分DAB ∠；（2）若2AE DE =，试判断以,,,O A E C 为顶点的四边形的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)菱形，证明过程见解析【分析】(1)连接OC ，由切线的性质可知∠COD=∠D=180°，进而得到OC ∥AD ，得到∠DAC=∠ACO ，再由OC=OA 得到∠ACO=∠OAC ，进而得到∠DAC=∠OAC 即可证明；(2) 连接EC 、BC 、EO ，过C 点作CH ⊥AB 于H 点，先证明∠DCE=∠CAE ，进而得到△DCE ∽△DAC ，再由AE=2DE 结合三角函数求出∠EAC=30°，最后证明△EAO 和△ECO 均为等边三角形即可求解．【详解】解：(1)证明：连接OC ，如下图所示：∵CD 为圆O 的切线，∴∠OCD=90°，∴∠D+∠OCD=180°，∴OC ∥AD ，∴∠DAC=∠ACO ，又OC=OA ，∴∠ACO=∠OAC ，∴∠DAC=∠OAC ，∴ AC 平分∠DAB ．(2) 四边形EAOC 为菱形，理由如下：连接EC 、BC 、EO ，过C 点作CH ⊥AB 于H 点，如下图所示，由圆内接四边形对角互补可知，∠B+∠AEC=180°，又∠AEC+∠DEC=180°，∴∠DEC=∠B，又∠B+∠CAB=90°，∠DEC+∠DCE=90°，∴∠CAB=∠DCE，又∠CAB=∠CAE，∴∠DCE=∠CAE，且∠D=∠D，∴△DCE∽△DAC，设DE=x，则AE=2x，AD=AE+DE=3x，∴CD DEAD CD=，∴22=3⋅=CD AD DE x，∴=3CD x，在Rt△ACD中，33 tan=33∠==DC xDACAD x，∴∠DAC=30°，∴∠DAO=2∠DAC=60°，且OA=OE，∴△OAE为等边三角形，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC=2∠EAC=60°，∴△EOC为等边三角形，∴EA=AO=OE=EC=CO，即EA=AO=OC=CE，∴四边形EAOC为菱形．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角函数、菱形的判定等知识点，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决本题的关键．20．（2020·四川中考真题）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．【答案】（1）见解析；（2）1009；（3）见解析【分析】（1）连接BC，OB，证明OB⊥PB即可．（2）解直角三角形求出OM，利用相似三角形的性质求出OP，再利用平行线分线段成比例定理求出PN即可．（3）证明△NAH∽△NPD，推出AHPD=NANP，证明△P AN∽△OAP，推出PNOP=ANAP，推出NANP=APOP可得结论．【详解】（1）如图，连接BC，OB．∵CD是直径，∴∠CBD=90°，∵OC=OB，∴∠C=∠CBO，∵∠C=∠BAD，∠PBD=∠DAB，∴∠CBO=∠PBD，∴∠OBP=∠CBD=90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）∵CD⊥AB，∴CD垂直平分AB，∴P A=PB，∵OA=OB，OP=OP，∴△P AO≌△PBO（SSS），∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠AMO=90°，∴OM3，∵∠AOM=∠AOP，∠OAP=∠AMO，∴△AOM∽△POA，∴OAOP=OMOA，∴5OP=35，∴OP=253，∵PN⊥PC，∴∠NPC=∠AMO=90°，∴AMPN=OMOP，∴4PN=3253，∴PN=1009．（3）∵PD=PH，∴∠PDH=∠PHD，∴∠PDN=∠PHD=∠AHN，∵∠NPC=90°，∠OAP=90°，∴∠NAH=∠NPD=90°，∴△NAH ∽△NPD ， ∴AH PD =NA NP ， ∵∠APN+∠PNA =∠POA+∠PNA =90°，∴∠APN =∠POA ，又∠P AN =∠P AO =90°，∴△P AN ∽△OAP ，∴PN OP =AN AP， ∴NA NP =AP OP ， ∴AH PD =AH PH =AP OP， ∴AH •OP =HP •AP ．【点睛】本题综合考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 21．（2020·山东聊城·中考真题）如图，在ABC 中，AB BC =，以ABC 的边AB 为直径作O ，交AC于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ．（1）试证明DE 是O 的切线； （2）若O 的半径为5，610AC =DE 的长．【答案】（1）详见解析；（2）3DE =【分析】（1）连接OD ，BD ，证出ABC 是等腰三角形，结合图形得出OD 是ABC 的中位线，因为//OD BC ，DE BC ⊥，证出DE OD ⊥即可得出DE 是O 的切线；（2）由（1）可得，610AC =310AD CD ==Rt ABD △中，由勾股定理求得BD 的长度，证出Rt CDE Rt ABD ∽，根据相似三角形对应边成比例可求得DE 的长．【详解】（1）证明：连接OD ，BD ，∵AB 为O 的直径，∴BD AD ⊥，又∵AB BC =，ABC 是等腰三角形，∴BD 又是AC 边上的中线，∴OD 是ABC 的中位线，∴//OD BC ，又DE BC ⊥，∴DE OD ⊥，∴DE 是O 的切线．（2）由（1）知，BD 是AC 边上的中线，610AC =得310AD CD ==∵O 的半径为5，∴10AB =．在Rt ABD △中，222210(310)10BD AB AD =-=-= ∵AB BC =，∴A C ∠=∠．在Rt CDE 和RtABD 中，∵90DEC ADB ︒∠=∠=，C A ∠=∠，∴Rt CDE Rt ABD ∽， ∴CD DE =AB BD， 即3101010，解得3DE =．。