高中数学 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线课前导引素材 新人教A版
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-4第二讲-参数方程
3π x＝ ， 2 即得对应的点的坐标． y＝3，
【答案】 3
3π ，3 2
变式训练1
半径为2的基圆的渐开线的参数方程为
________，当圆心角φ＝π时，曲线上点的直角坐标为________．
解析 半径为2的基圆的渐开线的参数方程为 (φ为参数)．
x＝2cosφ＋φsinφ， y＝2sinφ－φcosφ
(φ为参数)，求对应圆的摆线的参数方程．
解
首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为6，所以对 (φ为参数)．
x＝6φ－6sinφ， 应圆的摆线的参数方程为 y＝6－6cosφ
x＝cosφ＋φsinφ， π 【例3】 当φ＝ ，π时，求出渐开线 (φ为 2 y＝sinφ－φcosφ
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 【例1】
x＝3cosφ＋3φsinφ， 给出某渐开线的参数方程 y＝3sinφ－3φcosφ
(φ
为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是 ________，且当参数φ取 ________．
【分析】 根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程 (φ为参数)进行对照可知．
故A，B两点间的距离为 |AB|＝ 3π π [ 2 ＋1－2－1]2＋1－12
＝ π＋22＝π＋2.
参数)上的对应点A，B，并求出A，B间的距离．
【解】
x＝cosφ＋φsinφ， π 将φ＝2代入 y＝sinφ－φcosφ，
π π π π 得x＝cos2＋2sin2＝2， π π π y＝sin － cos ＝1. 2 2 2
π ∴A(2，1)．
x＝cosφ＋φsinφ， 将φ＝π代入 y＝sinφ－φcosφ，
高中数学 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线课堂导学案 新人教A版选修44
四 渐开线与摆线课堂导学三点剖析一、圆的摆线的参数方程【例1】 平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆线的参数方程.思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),可知只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式.解:令r(1-cosφ)=0,可得cosφ=1，所以φ=2kπ(k∈Z ),代入可得x=r(2kπ-sin2kπ)=1.所以r=πk 21. 又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r>0.所以，应有k>0且k∈Z ，即k∈N *. 所以，所求摆线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)cos 1(21),sin (21ϕπϕϕπk y k x (φ为参数)(其中k∈N *).温馨提示本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x 和y 的值，再计算r 的值；或者在求出cosφ=1后，直接得出φ=0，从而导致答案不全面. 各个击破类题演练 1求摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1(2),sin (2t y t t x (0≤t≤2π)与直线y=2的交点的直角坐标.解:y=2时,2=2(1-cost),∴cost=0.∵0≤t≤2π, ∴t=2π或23π. ∴x 1=2(2π-sin 2π)=π-2, x 2=2(23π-sin 23π)=3π+2. ∴交点的直角坐标为(π-2,2),(3π+2,2).温馨提示求交点坐标时,要避免出现增根和减根的情况,因此,要切实注意参数的取值范围.这是初学者最容易忽视的.二、圆的渐开线的参数方程【例2】 已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A,B 对应的参数分别是3π和2π，求A,B 两点的距离. 思路分析:首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A,B 对应的参数代入参数方程可得对应的A,B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A,B 之间的距离.解:根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin ,sin cos y x (φ为参数)， 分别把φ=3π和φ=2π代入， 可得A,B 两点的坐标分别为A(633,633ππ-+)，B(2π,1). 那么，根据两点之间的距离公式可得A,B 两点的距离为 |AB|=22)1633()2633(--+-+πππ 633366)3613(612+---=ππ, 即点A,B 之间的距离为633366)3613(612+---ππ 温馨提示本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程，还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程，根据参数方程能写出某对应参数的坐标，从而再解决其他问题.本例题就是对这些知识的综合考查，要注意前后知识的联系.特别是两点之间的距离公式也要熟记. 类题演练 2已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.解:设摆线方程为⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x 令y=0,得r(1-cosφ)=0,即得cosφ=1.所以φ=2kπ(k∈Z ).代入x=r(2kπ-sin2kπ)=2,即得r=πk 1(k∈Z ). 又由实际可知r>0,所以r=πk 1(k∈N *).易知,当k=1时,r 最大,最大值为π1. 代入即可得圆的摆线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)cos 1(1),sin (1ϕπϕϕπy x (φ为参数),圆的渐开线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 1),sin (cos 1ϕϕϕπϕϕϕπy x (φ为参数).变式提升 2如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH,…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连结，则曲线AEFGH 的长是…( )A.3πB.4πC.5πD.6π解析:如题图,根据渐开线的定义可知,是半径为1的41圆周长,长度为2π,继续旋转可得是半径为2的41圆周长,长度为π;是半径为3的41圆周长,长度为23π;是半径为4的41圆周长,长度为2π. 所以,曲线AEFGH 的长是5π.答案:C。
人教版2019学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案新人教A版选修4_4
四渐开线与摆线学习目标 1. 认识圆的渐开线的参数方程 .2. 认识摆线的生成过程及它的参数方程.3. 学习并领悟用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤．知识点一渐开线思虑把绕在圆盘上的细绳张开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状．若要成立曲线的参数方程，请试着确定一下参数．答案依照动点知足的几何条件，我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x 轴，成立平面直角坐标系，以以下列图．设基圆的半径为r ，绳子外端M的坐标为( x，y) ．显然，点M由角φ 独一确定．梳理圆的渐开线及其参数方程(1)定义把线绕在圆周上，假定线的粗细能够忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)参数方程设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是错误 ! ( φ是参数 ) ．知识点二摆线思虑当一个圆沿着一条定直线无滑动地转动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？答案摆线．梳理摆线及其参数方程(1)定义当一个圆沿着一条定直线无滑动地转动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做旋轮线．(2)参数方程设圆的半径为r ，圆转动的角为φ ，那么摆线的参数方程是错误! (φ 是参数)．种类一圆的渐开线例 1求半径为 4 的圆的渐开线的参数方程．解以圆心为原点，绳端点的初始地址为―→x 轴正方向，成立坐标0，向量OM0的方向为O M系，设渐开线上的随意点M( x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故 OA⊥ AM，按渐开线定义，弧→和 x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则| AM| AM 0的长和线段AM的长相等，记OA＝AM 0＝4θ.作 AB垂直于 x 轴，过 M点作 AB的垂线，由三角函数和向量知识，得→θ，4sin OA＝ (4cosθ) ．→θ sin θ，－ 4θ cos 由几何知识知，∠ MAB＝θ，AM＝(4→ →→θ， 4sin θ － 4θcos 得 OM＝ OA＋ AM＝(4cos θ＋ 4θ sin＝ (4(cosθ＋θ sin θ) ， 4(sin θ －θ cosθ )) ．θ)，θ)→又 OM＝ ( x，y) ，因此所求的参数方程为错误 !反省与感悟圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ 是指绳子外端运动时绳子上的定点M相关于圆心的张角．追踪训练 1x＝ cos φ sin30 °＋φ sin φ sin30 °，已知圆的渐开线方程为( φ为参y＝ sin φ cos60°－φ cos φ cos60°数 ) ，则该基圆半径为 ________，当圆心角φ ＝π 时，曲线上点A的直角坐标为________．1 1 π答案2－2，2x＝cosφ sin 30°＋φ sinφsin 30 °，剖析φ cos 60 °－φcosφ cos 60 °，y＝ sin即错误 ! ( φ为参数 ) ．1∴基圆半径 r ＝2.1π当φ＝π时， x＝－2， y＝ 2，1π.∴ A的直角坐标为－，22种类二平摆线例 2x＝ 3cos φ，已知一个圆的参数方程为( φ为参数 ) ，那么圆的摆线方程中与参y＝ 3sin φπ3π数φ＝2对应的点 A与点 B2， 2 之间的距离为 ________．答案10x＝ 3cosφ ，剖析由圆的参数方程y＝ 3sin 知，φ圆的方程为 x2＋y2＝9，∴圆的圆心为 (0,0) ，半径r＝ 3，∴圆上定点 M的摆线的参数方程为错误 ! ( φ为参数 ) ．ππ3π当φ＝2时， x＝3×2－1＝2－3， y＝3×(1－0)＝3，∴ A 3πAB|＝错误!－ 3，3，∴ |＝错误!. 2反省与感悟(1)摆线的参数方程摆线的参数方程为错误 ! ( φ为参数 ) ，其中r：生成圆的半径，φ ：圆在直线上转动时，点 M绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM.(2)将参数φ 的值代入渐开线或摆线的参数方程能够确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离．x＝3φ － 3sin φ，( φ参数 ) ，追踪 2 已知一个的的参数方程是y＝3－ 3cosφ一个拱的高度是________；一个拱的跨度 ________．答案66π剖析当φ＝π， y＝3－3cosπ＝6拱高；当φ＝2π， x＝3×2π －3sin 2π＝ 6π跨度 .1．x＝ 3cos θ，( θ参数 ) 的平上一点的坐0，那么其横坐可能是y＝ 3sin θ()A．πB． 3πC．6πD． 10π答案C2．当φ＝ 2π，的开! ( φ参数 ) 上的点是 ()A．(6,0)B． (6,6 π )C．(6 ，－ 12π )D． ( －π， 12π)答案C3.如所示，四形 ABCD是1的正方形，曲 AEFGH⋯叫做“正方形的开”，其中 AE， EF， FG，GH⋯的心依次按B， C， D， A 循，它依次相接，曲AEFGH 的是()A．3πB． 4πC．5πD． 6π答案C剖析依照渐开线的定义可知，AE 是半径为 1 的1圆周长，长度为π，连续旋转可得 EF42113π是半径为2 的4圆周长，长度为π； FG 是半径为3 的4圆周长，长度为2；GH 是半径12π . 因此曲线的长是 5π .为 4 的圆周长，长度为4AEFGH4．已知一个圆的摆线方程是x＝4φ － 4sin φ，( φ为参数 ) ，求该圆的面积和对应的y＝4－ 4cos φ圆的渐开线的参数方程．解第一依照摆线的参数方程可知，圆的半径为4，因此面积为 16π，该圆对应的渐开线的参数方程是x＝ 4cosφ＋ 4φ sinφ ，( φ为参数 ) ．y＝ 4sinφ－ 4φ cosφ1．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ 是指绳子外端运动时绳子上的定点M相关于圆心的张角．2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只需确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．3．由于渐开线、摆线的方程复杂，因此不宜用一般方程来表示．一、选择题x＝ cos θ＋θ sin θ，1．已知圆的渐开线的参数方程是( θ为参数 ) ，则此渐开线对y＝ sin θ －θ cos θ应的基圆的周长是()A．πB． 2πC．3πD． 4π答案B2．摆线错误 ! ( t为参数， 0≤t <2π ) 与直线y＝2 的交点的直角坐标是()A．( π － 2,2)， (3 π＋2,2)B． (π－ 3,2)，(3π＋ 3,2)C．( π， 2) ，( －π，2)D． (2π － 2,2)， (2π＋ 2,2)3．给出以下说法：①圆的渐开线的参数方程不能够转变为一般方程；②圆的渐开线也能够转变为一般方程，可是转变后的一般方程比较麻烦，且不简单看出坐标之间的关系，因此常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，若是成立的坐标系原点和坐标轴采纳不同样，可能会得到不同样的参数方程；④圆的渐开线和 x 轴必然有交点而且是独一的交点．其中正确的说法有 ()A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④答案C4．圆的渐开线 错误 ! ( t 为参数 ) 上与 t ＝错误 ! 对应的点的直角坐标为 ()π ππ πA. 1＋ 4，1－4B. 1－ 4，1＋ 4C. －1－ π ，1－ πD. 1＋π ，－ 1－π4 4 44答案A5．已知圆的渐开线的参数方程为 错误 ! ( φ 为参数 ) ，点 A 错误 ! 是此渐开线上的一点， 则渐开线对应的基圆的周长是()3A. 2π B ． 3π C ．4π D ． 6π答案B3剖析由点 A 2， 0 在渐开线上，得错误 ! 易知 φ ＝ 0，则 r ＝错误 ! ，故基圆的周长为 3π .6．圆的渐开线方程为 错误 ! ( φ 为参数 ) ，当 φ ＝π 时，渐开线上的对应点的坐标为 ()A ．( － 2,2 π )B ． ( －2， π )C ．(4,2 π )D ． ( －4,2 π )答案 A剖析将 φ＝ π 代入错误 !可得错误!即错误!7．基圆直径为10，则其渐开线的参数方程为__________________ ．答案错误 ! ( φ为参数 )8．有一标准的齿轮，其齿廓线的基圆直径为22mm，则齿廓所在的摆线的参数方程为__________________ ．答案错误 ! ( φ为参数 )剖析由于基圆直径为22 mm，因此基圆半径为11 mm，因此摆线的参数方程为错误 ! ( φ为参数 ) ．9．已知圆的渐开线的参数方程是错误 ! ( t为参数 ) ，则该渐开线的基圆的半径为________，参数 t ＝2π_______________________________________ ．3对应的点的直角坐标是答案 6( －3＋ 2 3π， 33＋ 2π )由参数方程，得基圆的半径 r ＝6.把 t 2π解析＝3代入参数方程，得x＝－ 3＋ 2 3π，2πy＝ 33＋ 2π，即参数 t ＝3对应的点的直角坐标是( －3＋23π， 33＋ 2π ) ．22π10．已知圆的方程为x＋ y＝ 4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝2，则点 P 的坐标为 ________．答案( π， 2)剖析由题意知，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为错误 ! ( φ为参数 ) ．π当φ＝时，x＝π ，y＝2，故点 P 的坐标为(π，2)．三、解答题11．给出直径为 6 的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．解以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，成立直角坐标系．又圆的直径为6，因此半径为3，x＝ 3cosφ＋ 3φsinφ ，因此圆的渐开线的参数方程为φ － 3φcos ( φ为参数 ) ．y＝ 3sinφ以圆周上的某必然点为原点，以定直线为x 轴，成立直角坐标系，x＝ 3φ－ 3sinφ ，因此的参数方程y＝ 3－3cos φ( φ参数 ) ．12．已知的参数方程是x＝ 3cosθ，( θ参数 ) ，求此的中，参数φ＝πy＝ 3sin θ23π的点 A 与点 B2，2之的距离．解由的参数方程，得的半径r ＝3，其的参数方程! ( φ参数 ) ．x＝ 3ππ－ 1 ，把φ ＝2代入的参数方程，得2 y＝ 3，故点 A 与点 B 之的距离|AB|＝!＝!.13．已知一个的平方程是x＝2φ －2sinφ， y＝2－2cosφ(φ参数)，求的周，并写出平上最高点的坐．解由平方程知，的半径2，的周4π . 当φ＝π，y有最大4，平拥有周期性，周期4π.∴平上最高点的坐(2 π＋ 4kπ，4)(k∈Z)．四、研究与拓展14. 如，△ABC是正三角形，曲ABCDEF⋯叫做“正三角形的开”，其中弧CD，弧DE，弧 EF⋯的心依次按A， B， C循，它依次相接，若是AB＝1，那么曲CDEF 的是()A．8πB． 6πC．4πD． 2π答案C剖析∵∠ CAD，∠ DBE，∠ ECF是等三角形的外角，∴∠ CAD＝∠ DBE＝∠ ECF＝120°.又 AC＝1，∴ BD＝2， CE＝3，1∴弧 CD的长＝× 2π× 1，31弧 DE的长＝3×2π ×2，1弧 EF的长＝×2π ×3，3∴曲线 CDEF的长＝1113×2π × 1＋3× 2π × 2＋3× 2π ×3＝ 4π .15．渐开线方程为错误 ! ( φ为参数 ) 的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2 倍获取曲线C，求曲线C的方程，及焦点坐标．解由渐开线方程可知，基圆的半径为6，则圆的方程为x2＋y2＝36.把横坐标伸长为原来的 2 倍，x22x2y2获取椭圆方程4＋ y ＝36，即144＋36＝ 1，对应的焦点坐标为 (63，0) 和( －63，0) ．。
高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线导学案新人教A版选修
高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线导学案新人教A版选修一、渐开线的产生过程我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一枝铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,逐渐展开,那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线,相应的定圆叫做基圆(如图2-4-1)、图2-4-1也可以使用计算机在软件中进行模拟渐开线的图象、渐开线在实际生活和生产中比较常见、在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力,由于渐开线齿形的齿轮磨损少传动平稳,制造安装较为方便,因此大多数齿轮采用这种齿形、设计加工这种齿轮要依据圆的渐开线方程、在物理问题中,许多问题都要涉及到渐开线问题,因为它是有关传动力学的基础、在数学中,我们都学习过三角函数,其图象的画法,是首先根据单位圆上的点进行平移,实际上也是圆的渐开线问题、深化升华圆的渐开线是研究最多的一种渐开线、但是并不是只有一种渐开线,除了圆的渐开线之外,还有正方形的渐开线,长方形的渐开线,椭圆的渐开线等、只需把圆的渐开线中的基圆换成相应的图形即可得到相应的渐开线、研究这些渐开线可以仿照圆的渐开线建立相应的参数方程,进一步得出其性质、二、摆线的概念和产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹、我们可以在自行车轮子上喷一个白色的印记,观察自行车在笔直的道路上运动时形成的轨迹来理解圆的摆线,也可以借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹、圆的摆线又叫旋轮线、市面上曾经流行过一种可绘制曲线的器具,它包含一个在圆周上刻满锯齿的小圆形板,以及一个在内外圆周上都刻有锯齿的大圆环形板、把玩之时,将小圆板放在大圆环板内部,并让锯齿套合而使小圆板沿着大圆环板滚动、将笔插入小圆板上的一个小洞,随着小圆板的滚动,铅笔就会描绘出一条曲线,这条曲线实际上也是摆线的一种(如图2-4-2)、图2-4-2 摆线在生产和实际中有着广泛的应用、最速降线是平摆线,椭圆是特殊的内摆线卡丹转盘,圆摆线齿轮与渐开线齿轮,收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计,星形线与公共汽车门,少齿差行星减速器,摆线转子油泵,旋转活塞发动机的缸体曲线,以及多边形切削等等,都与摆线是分不开的、其实沿着倒放的摆线弧不仅速度最快,而且有一个奇怪的性质,如果在这条曲线不同的高度放一个小球使其沿曲线下滑,你会惊奇地发现他们同时到达了底端,这就是摆线的等时性、这个性质是物理学家惠更斯发现的,并用这个原理巧妙地设计出了摆线时钟、摆线这个名词正是由于这种曲线被用来改进钟摆而得名、摆线也有很多种类型,我们课本中给出的只是其中一种类型,它是由圆上的一个定点在一条定直线上的运动轨迹,也叫平摆线或者旋轮线、除此之外还有很多种摆线、知识拓展比如,当一个小圆在一个大圆的外部沿着大圆作不滑的滚动时,小圆圆周上的点所描绘的旋轮线称为外摆线；小圆内部与外部的点所描绘的旋轮线称为外次摆线、它们都是很优美的图形,在很多绘图和设计中经常用到、圆的外摆线根据两个圆的半径关系也有很多种类型,在设计中有不同的用处、三、圆的渐开线的参数方程我们以基圆圆心O为原点,一条直径所在的直线为x轴建立直角坐标系,根据动点满足的条件和向量的有关性质,可以得到圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)、根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母r是指基圆的半径,参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角、方法归纳根据圆的渐开线的参数方程(φ为参数)消去参数φ,可以得到圆的渐开线的普通方程：xcos()+ysin()=r、四、圆的摆线的参数方程根据摆线上任意一点的运动轨迹,取定直线为x轴,动点的其中一个位置为原点建立直角坐标系,根据几何知识可得圆的摆线的参数方程为(φ为参数)、根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r是指定圆的半径,它决定了摆线的某方面的大小情况、参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小、用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接、简便、根据方程画出曲线分费时；而利用参数方程把两个变量x、y间接地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难、而对于参数方程,我们可以根据参数的取值求出坐标的关系,相比之下比普通方程更为直观、所以,在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程,而不去讨论其普通方程、问题探究问题1 我们知道,在直线的参数方程中,参数t具有相应的几何意义,根据其几何意义可以给我们研究问题带来很多方便、那么,圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数φ是否也具有一定的几何意义呢?探究:根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母r是指基圆的半径,而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角、如图2-4-3,其中的∠AOB即是角φ、显然点M由参数φ唯一确定、在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单、同样,根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r是指定圆的半径,它决定了摆线的某方面的大小情况、参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小、如图2-4-4,根据参数的几何意义也可以在解决问题中加以引用,简化运算过程、当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况、图2-4-3 图2-4-4问题2 对渐开线和摆线的理解是本节学习的关键,要理解其形成过程和图象的特点及在实际中的应用,还应该从多方面收集信息、那么,我们可以从哪些方面来加强对渐开线和摆线的理解?探究:由于渐开线和摆线的图形比较复杂,对应的参数方程也不容易理解,即使给出参数方程也很难根据方程画出相应的图形;反过来,根据图形也不容易得到相应的参数方程、因此,要理解渐开线和摆线的有关性质可以结合实际从以下几方面进行考虑：首先,由于渐开线和摆线在物理和机械制造中有着广泛的应用,我们可以通过走访物理专家和相关的机械制造专家来了解其在实际生产中的应用,结合有关的问题和图纸来加深对概念和性质的理解、摆线还在美术设计中被广泛应用,我们可以找有关美术老师或者通过欣赏一些美术作品来理解数学中的美感、其次,根据现代信息技术的发展的特点,可以在网上搜索相关资料,通过这些资料来了解渐开线和摆线问题的发展过程,和同学讨论一些相关的性质、另外,我们可以通过手工绘图和电脑绘图相对比,通过对比来理解渐开线和摆线的形成过程,还可以使用一些像几何画板等类似软件来描述渐开线和摆线图形的形成过程,认识其有关的性质、典题热题例1给出某渐开线的参数方程(φ为参数),根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_________,且当参数φ取时对应的曲线上的点的坐标是__________、思路解析：本题考查对渐开线参数方程的理解、根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程(φ为参数)进行对照可知,这里的r=3,即基圆半径是3、然后把φ=分别代入x和y,可得即得对应的点的坐标、答案：3 (,3)误区警示本题易错的解法是:把摆线的参数方程当作渐开线的参数方程,把相应的值代入摆线方程,或者把参数当成横坐标x 的值,令x=再求出y值、例2已知一个圆的摆线过一定点(1,0),请写出该摆线的参数方程、思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式(φ为参数)可知,只需求出其中的r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定,因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式、解：令r(1-cosφ)=0可得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z)、代入x=r(φ-sinφ)可得x=r(2kπ-sin2kπ)=1、所以r=、又根据实际情况可知r是圆的半径,故r>0、所以,应有k>0且k∈Z,即k∈N*、所以,所求摆线的参数方程是(φ为参数)(其中k∈N*)、误区警示本题易错点是误把点(1,0)中的1或0当成φ的值,代入参数方程中求出x和y的值,再计算r的值；或者在求出cosφ=1时,直接得出φ=0,从而导致答案不全面、例3给出半径为3的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程、思路分析：首先根据条件建立直角坐标系,对于渐开线可以以圆的圆心为原点,一条半径所在直线为x轴,对于摆线可以以圆上的某一定点为圆心以那条定直线所在直线为x轴,建立直角坐标系、圆的渐开线的参数方程和摆线的参数方程由圆的半径唯一确定、解：先求圆的渐开线方程,以圆的圆心为原点,一条半径所在直线为x轴,建立直角坐标系,又根据条件圆的半径是3,所以,渐开线的参数方程是(φ为参数)；再求圆的摆线方程,以圆上的某一定点为圆心,以定直线所在直线为x轴,建立直角坐标系、又根据条件圆的半径是3,所以摆线的参数方程是(φ为参数)、例4已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和,求A、B两点的距离、思路分析：首先根据圆的直径可知半径为1,写出渐开线的标准参数方程,再根据A、B对应的参数代入参数方程可得对应的A、B两点的坐标,然后使用两点之间的距离计算公式可得A、B之间的距离、解：根据条件可知圆的半径是1,所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数),分别把φ=和φ=代入,可得A、B两点的坐标分别为A(),B(,1)、那么,根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|=即点A、B之间的距离为、深化升华本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程、要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程,还要牢记两个参数方程、给出圆的半径要能写出对应的参数方程,根据参数方程能写出某对应参数的坐标,从而再解决其他问题、本例题就是对这些知识的综合考查,要注意前后知识的联系,特别是两点之间的距离公式也要熟记、。
高中数学 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线课前导引素
1 四 渐开线与摆线
课前导引
问题导入
给出某渐开线的参数方程⎩
⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos 3sin 3,sin 3cos 3y x (φ为参数),根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_________,且当参数φ取2π
时,对应的曲线上的点的坐标是_______. 解析:与渐开线的参数方程对照,可知r=3,即基圆半径是3,然后把φ=2π代入y,可得⎪⎩⎪⎨⎧==.
3,23y x π 故基圆半径是3,坐标为(2
3π,3). 上述问题即是生产实践和生活中一类常见曲线的方程.本节讨论圆的渐开线与摆线的参数方程.
知识预览
1.圆的摆线的参数方程是⎩⎨⎧-=-=)
cos 1(),sin (t a y t t a x (φ是参数).
2.圆的渐开线的参数方程是
⎩
⎨⎧-=+=)cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x (t 是参数). 3.圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.
4.我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆(如图).。
高中数学 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线课堂探究学
四 渐开线与摆线课堂探究探究一 圆的渐开线的参数方程解答此类题目，不仅要记住圆的渐开线的参数方程的基本形式，还要知道每个字母所表示的意义．【例题1】已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上的A ，B 两点所对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点间的距离． 思路分析：先写出圆的渐开线的参数方程，再把A ，B 对应的参数分别代入参数方程可得对应的A ，B 两点的坐标，然后使用两点间的距离公式可得A ，B 间的距离． 解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线的参数方程是cos sin ,sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)． 分别把φ＝π3和φ＝π2代入， 可得A ，B两点的坐标分别为⎝⎭π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 根据两点间的距离公式可得A ，B 两点间的距离为|AB |＝3＋3π6－π22＋33－π6－12 ＝16(13－63)π2－6π－363＋72. 故A ，B 两点间的距离为16(13－63)π2－6π－363＋72. 探究二 圆的摆线的参数方程根据圆的摆线的参数方程的表达式x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，可知只需求出其中的r ，就能写出相应圆的摆线方程．摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式即可．【例题2】已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．思路分析：根据圆的摆线的参数方程(sin ),(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．解：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z )．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈Z )． 又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N *)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得所求圆的摆线的参数方程为1(sin ),π1(1cos )πx y ϕϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(φ为参数)； 所求圆的渐开线的参数方程为1(cos sin ),π1(sin cos )πx y ϕϕϕϕϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(φ 为参数)． 探究三 易错辨析易错点：考虑φ不全面【例题3】已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．错解：令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝0，代入可得x ＝0.故此题无解． 错因分析：在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面．正解：令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入可得x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1.所以r ＝12k π(k ∈Z )． 又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r ＞0.所以应有k ＞0，且k ∈Z ，即k ∈N *.所以所求摆线的参数方程是 1(sin ),2π1(1cos )2πx k y k ϕϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(φ为参数，k ∈N *)．。
高中数学新人教a版高二选修4-4精品课件：2.4_渐开线与摆线
x＝3cos φ＋3φsin φ， y＝3sin φ－3φcos φ
(φ 为参数)．
栏 目 链
接
根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是
__________，当参数 φ 取π2时对应的曲线上的点的坐 标是________．
分析：本题考查对渐开线参数方程的理解．对
照一般情况下基圆半径为 r 的渐开线的参数方程
∴Aπ2－1，1.
栏 目 链
当 t2＝32π时，
接
x＝32π－sin32π＝32π＋1，
y＝1－cos32π＝1，
∴B32π＋1，1.
栏 目
故 A，B 两点间的距离为
链 接
|AB|＝ π＋2.
32π＋1－π2－12＋1－12＝ π＋22＝
变式 训练
2．已知一个圆的参数方程为xy＝＝33scions
半ห้องสมุดไป่ตู้为
8
的圆的渐开线参数方程为xy＝＝88scions
φ＋8φsin φ－8φcos
φ， φ
(φ 为参数)，摆线参数方程为______________．,
栏 目 链 接
答案：xy＝＝88－φ－8c8ossinφφ， (φ 为参数)
栏 目 链 接
题型1 圆的渐开线、摆线的参数方程理解
例 1 已知圆的渐开线的参数方程为：
栏
x＝rcos φ＋φsin φ， y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数)可求 r 的值，然
目 链 接
后把 φ＝π2代入方程，即得对应的点的坐标．
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为
x＝3cos φ＋φsin φ， y＝3sin φ－φcos φ，
栏 目 链
接
所以基圆半径 r＝3.
高二数学人教A版选修4-4课件：第二讲 四 渐开线与摆线
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
[思路点拨] 利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
[解] 当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 AM 的
长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量―O→B ＝(2α，2)，向量―M→B ＝(2sin α，2cos α)， ―BM→＝(－2sin α，－2cos α)，因此―OM→＝―O→B ＋―BM→ ＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 又动点 M 的坐标为(x，y)，向量―OM→＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地 滚动时圆周上一个定点的轨迹．
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四 渐开线与摆线
课前导引
问题导入
给出某渐开线的参数方程⎩
⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos 3sin 3,sin 3cos 3y x (φ为参数),根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_________,且当参数φ取
2
π时,对应的曲线上的点的坐标是_______. 解析:与渐开线的参数方程对照,可知r=3,即基圆半径是3,然后把φ=2π代入y,可得⎪⎩⎪⎨⎧==.
3,23y x π 故基圆半径是3,坐标为(2
3π,3). 上述问题即是生产实践和生活中一类常见曲线的方程.本节讨论圆的渐开线与摆线的参数方程.
知识预览
1.圆的摆线的参数方程是⎩⎨⎧-=-=)
cos 1(),sin (t a y t t a x (φ是参数).
2.圆的渐开线的参数方程是
⎩
⎨⎧-=+=)cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x (t 是参数). 3.圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.
4.我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆(如图
).。