数字信号处理复习指导《完整版》

一．离散时间信号与系统的时域分析
离散时间信号的时域分析核心内容是通过基本序列的线性组合表示任意序列，因此学习 这部分内容时，一方面要掌握一些最基本的离散序列：单位脉冲序列、单位阶跃序列、实指 数序列、虚指数序列、正弦序列；另一方面要掌握序列的基本运算：平移、翻转、相加、相 乘、内插、抽取、卷积。在学习基本离散序列时，要注意连续信号exp( jω t)和离散序列 exp(jΩk) ，以及sin(ω t)和sin(Ωk)的相同和不同之处。在学习离散序列基本运算时，应重点 掌握卷积和的计算，特别是图解法计算。主要目的有二：一是从时域计算系统零状态响应； 二是便于建立循环卷积与线性卷积的关系，从频域计算系统零状态响应。 离散线性时不变系统的时域分析主要包括系统特性的时域描述和系统响应的时域求解。 学习这部分内容时，应掌握离散系统的线性、时不变、稳定等概念；掌握系统单位脉冲响应 h[k]的概念和利用h[k]表示系统特性，从时域求解单位脉冲响应h[k]不作为重点；掌握利用 卷积和求解系统的零状态响应。
周期卷积。学习时请认真比较。 2．序列的DTFT 和性质 DTFT 在数字信号处理中所起的作用和连续傅里叶变换在信号与系统课中所起作用是 等同的，它是离散信号频域分析的基础。连续信号的傅里叶变换是利用基本信号exp( jω t) 对任意信号进行分解，而序列的DTFT 是利用基本序列exp(jΩk) 对任意序列进行分解，即
反映了构成x[k]的各个频率分量的大小，是频率的函数，称为频谱。上式也可以利用周期序
列的DFS推出，当N→∞时，周期序列~x[k]就成为非周期序列x[k]，这时DFS就变为了DTFT。
详细的推导可参考有关的参考书。 由基本序列exp(jΩk)的性质可知，X(ejΩ)是一个周期为2π 的连续函数。 DTFT 的性质反映了序列时域变化时，其对应频域的变化规律。利用DTFT 的性质往往 可以使问题简化。DTFT 的一些性质与CTFT 的一些性质明显相似，但也有不同，如线性特 性、对称性、位移特性、时域卷积定理等均很相似，而时域相乘频域周期卷积却与CTFT 的 乘积特性有所不同，学习时请认真比较。 3．离散系统的频域分析 A．离散系统的频率响应H(ejΩ) 单频虚指数信号ejΩ k 作用在系统上的零状态响应y[k]为
对于因果稳定系统，令H(z)中的就可以得到系统的频响特性H(e jΩ )，即
因此，对于简单系统，根据其零极点分布就可以定性得出其频响特性H(e jΩ )。一般，FIR 系统，若零点在靠近单位圆π附近，则系统具有低通特性；若零点在靠近单位圆0 附近，则 系统具有高通特性。而IIR 系统，若极点在靠近单位圆0 附近，则系统具有低通特性；若极
二．离散信号与系统的频域分析
离散信号的频域分析核心是将离散时间序列分解为不同频率的虚指数序列的线性组合， 通过研究构成序列的不同频率的虚指数分量的幅值来实现信号的频域分析。离散系统的频域 分析是通过研究单频虚指数信号作用在系统的响应，进而研究任意信号作用在系统上的响 应。其分析问题的方法与连续信号与系统的频域分析相似，但也有不同之处，学习时应注意 比较。 1． 周期序列的DFS 和性质
全通滤波器是信号处理中广泛应用的一个基本系统，该系统具有以下特点
即系统的幅度响应恒为1，零点和极点的位置关系关于单位圆镜象对称。根据这一特点，m 阶实系数全通滤波器的系统函数为
其主要用途有：校正IIR 数字滤波器的相位，使其在通带范围内具有近似的线性相位；将单 位圆外的极点映射到单位圆内，使系统稳定。 四．抽样 抽样是连接连续信号和离散信号的桥梁，在数字信号处理中起着非常重要的作用。 1．时域抽样 在数字信号处理中，抽样是通过A/D 转换器实现的，如下图所示。连续时间信号经过 A/D 转换器后成为离散序列，如何保证离散化后信号所包含的信息不丢失是问题的关键， 也 就是说，在实际应用中，应如何根据待处理信号，选择A/D 转换器。频域分析可以使上述 问题迎刃而解。
三．离散信号与系统的Z 域分析
在《信号与系统》中，离散信号与系统的Z 域分析着重从Z 域求解系统的完全响应， 故采用单边Z 变换，而在数字信号处理中，着重从Z 域描述信号与系统，求解系统的零状 态响应，因此通常采用双边Z 变换作为分析问题的工具。 1．双边z 变换 双边 z 变换定义为
与单边Z 变换不同之处除了求和区间下限不同外，最大的区别是收敛域(ROC)。单边Z 变 换的ROC 是Z 平面中的一圆外区域，对于双边z 变换，左边序列的ROC 是Z 平面中的一 圆内区域，双边序列的ROC 是Z 平面中的一环状区域，只有右边序列的ROC 与单边Z 变 换相同。不同的时域信号可能会有相同的z 变换式，但它们的ROC 绝对不会相同，因此， 只有注明ROC 后，才能保证时域与Z 域一一对应。学习时要特别注意单双边Z 变换的这些 区别。 利用常用序列的z 变换式和双边z 变换的特性，可以有效地得到信号与系统的z 域表示 式。常用因果序列的z 变换式，在《信号与系统》中已经讨论过，双边z 变换的特性如下表 所示。从表中可以看出，双边z 变换的特性中，除了位移特性和翻转特性外，其他特性与单
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C．理想数字滤波器 离散 LTI 系统的一个重要任务是对离散信号进行滤波，即保留输入信号中的部分有用频 率分量，去除一些不需要的频率分量。具有滤波功能的系统称为数字滤波器，常用的理想数 字滤波器有低通、高通、带通和带阻滤波器。学习时要注意掌握这四种理想滤波器的频率响
应特点和单位脉冲响应。通常，高通、带通和带阻滤波器可以通过低通滤波器变换得到，因 此，在研究这四种理想滤波器的特性时，往往从研究理想低通滤波器的特性入手。 截频为Ω c 的理想低通滤波器的频率响应如下图所示
即将X(ejΩ)压缩T 倍则得冲激串xs(t)的频谱Xs(jω)。X(ejΩ)是一周期为2π的函数，而Xs(jω) 是周期为2π/T=ωsam 的函数。在满足抽样定理的情况下，x(t), x[k]和xs(t)谱之间的关系可用下
图示意。显然，将冲激串xs(t)通过一低通滤波器即可恢复抽样前的连续信号x(t)。
3．频域抽样 任意非周期序列 x[k]的频谱X(ejΩ)是一周期为2π的连续函数，若要获得X(ejΩ)在离散点 {Ωm=2πm/N; m=0,1,…,N−1}上的值，可以通过频域抽样实现。可以证明，若频域对X(ejΩ)在 一个周期内进行N 点抽样，则其对应的时域序列是将x[k]以N 为周期进行周期延拓的周期 序列。也就是说，如果要计算序列x[k]频谱X(ejΩ)的抽样值，可将序列x[k]周期化为
数字信号处理学习指导 数字信号处理是研究如何利用数字的方法，正确快速地处理信号，并 从中提取有用信息的一门学科。它以离散信号与系统和离散傅里变换 DFT 为基础，包括谱分析和滤波器设计
两个分支，其体系结构如下图所示:
数字信号处理课程主要介绍离散时间信号与线性时不变(LTI)系统的基本理论，离散傅里叶 变换DFT。在此基础上，介绍离散傅里叶变换的快速算法FFT，以及确定信号和随机信号 的谱分析；介绍IIR 和FIR 数字滤波器的基本设计方法，以及滤波器的结构和有限字长效应。 离散时间信号与LTI 系统分析基础 离散时间信号与 LTI 系统理论是数字信号处理课程中的基础，只有牢固其基本理论、基 本概念和方法，才能更好地学习数字信号处理课程。在《信号与系统》中也涉及这部分内容， 即便同学们学习过相关内容，也有必要进行全面系统的复习。
边z 变换相似。应用翻转特性，可以轻松地由因果序列的z 变换式得到左边序列的z 变换式。 由序列的z 域表示式写出该序列的时域表示式，通过z 反变换实现，计算方法与单边z 反变换相同，一种是留数法，另一种是部分分式法。不管采用哪种方法，一定要注意z 变换 式的ROC，先根据ROC 确定哪个极点对应的是左边序列，哪个极点对应的是右边序列，然 后再计算。若z 变换式没有注明ROC，则应讨论可能的ROC，再计算。 双边变换z 的性质
点在靠近单位圆π附近，则系统具有高通特性。例如FIR 系统
单位 圆上π处，系统频响特性H(e jΩ )如下图，具有低通特性。
，零点在
D．H(z)与系统稳定性关系 离散LTI 系统稳定的充要条件是单位脉冲响应绝对可和，即
从z 域来看，如果ROC 包括单位圆，则上式一定成立，即LTI 系统稳定的充分必要条件是 H(z)的ROC 要包括单位圆。根据这一结论可以推出，因果系统稳定的充要条件是H(z)的所 有极点都在单位圆内。 对FIR 系统，由于系统单位脉冲响应有限长，系统一定是稳定。而对IIR 系统，如果设 计不当，使极点跑到单位圆外，系统就会不稳定。因而，在设计FIR 系统是不需要考虑系 统的稳定性问题，而在设计IIR 系统时必须考虑的一个问题。 E．常用基本系统——全通滤波器
周期为N 的任意序列~x[k]可分解有限项虚指数信号
的和，即
其中
为周期序列~x[k]的DFS 系数。由于X~[m]是频率的函数，故又称为频谱。X~[m]具有离散、
周期性的特点，它是以N 为周期的离散谱。值得注意的是，离散傅里叶级数展开的系数只 有有限项，而连续信号的傅里叶级数展开的系数项数是无穷的。因而，在用有限次谐波分量 合成离散周期序列时，不存在吉伯斯现象，这一点与CFS 明显不同，学习时要注意对比。 DFS 的性质反映了周期序列时域变化时，其对应频域的变化规律。利用DFS 的性质往 往可以使问题简化。DFS 的一些性质与CFS 的一些性质明显相似，如时域位移，频域指数 加权；时域指数加权，频域位移等等。但也有一些性质有差异，如时域是离散序列，不存在 微分特性；时域相乘频域卷积，但由于周期序列的频谱也是一离散周期序列，故频域卷积是
而截频为Ω c 的理想高通滤波器，可以看成是截频分别为π和Ω c 的两个理想低通滤波器之差， 由此可以得出理想高通滤波器的单位脉冲响应为
可用类似的方法分析带通和带阻的特性。 滤波器设计是数字信号处理课程的重要内容之一，但理想滤波器是非因果，不可实现的。 若在滤波器的通带和阻带间有一个过渡带，且频率响应可在一定范围内波动，则滤波器将可 实现。关于滤波器的设计将在后面详细讨论。
它反映了系统对不同频率信号的衰减量。 从上面的分析还可以看出，虚指数信号通过离散LTI 系统后信号的频率不变，信号的幅 度由系统的频率响应H(ejΩ)在Ω点的幅度值确定。这是很重要的一个结论，在分析任意信号 通过系统响应时，常常应用这一结论。 B．信号通过系统的响应 根据单频虚指数信号 ejΩ k 作用在系统上的零状态响应的特点，并利用信号分解理论和系 统的线性时不变特性，可以推出任意信号通过系统的零状态响应。下面三式分别为正弦序列、 周期序列和非周期序列通过系统的零状态响应。 x[k]=Acos(Ωk+φ) → y[k] = A H(e jΩ ) cos(Ωk +φ (Ω) +θ )
双边变换z 的性质
2．系统函数H(z) 系统函数H(z)是描述离散系统特性的核心参数，要求掌握离散系统的差分方程和离散系 统的系统函数H(z)的之间关系，H(z)与单位脉冲响应h[k]的关系，与系统频率特性H(ejΩ)的 关系，能够由系统函数H(z)的收敛域判断离散系统的稳定和因果。 Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ差分方程与H(z)的关系 对描述 N 阶离散时间系统的差分方程两边做z 变换，由系统函数的定义可得差分方程 与H(z)的关系。若
时，信号x(t)可以用等间隔的抽样值唯一地表示。这就是抽样定理，它给出了抽样后离散信 号频谱不混迭的最小取样频率（最大取样间隔）。学习这部分内容时，要求能牢固掌握并灵 活应用抽样定理，认真领会抽样定理的物理含义和抽样信号频谱的特点。 2．信号的重建 信号的重建是通过 D/A 转换器实现的，如下图所示。