11-12-2线代试卷B答案

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线性代数试题及详细答案

线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。

2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。

4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。

6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。

10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。

线性代数习题及解答完整版

线性代数习题及解答完整版线性代数习题及解答HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A ．??A B 可逆，且其逆为-1-1A B B ．??A B 不可逆 C ．??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???B AD ．??A B 可逆，且其逆为-1-1??A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

淮海工学院11-12-2线性代数B答案

淮海工学院11 - 12 学年第2 学期线性代数期末试卷（B 卷）答案一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1. 设A 是m n ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，C 是m s ⨯矩阵，则下列运算有意义的是（ C ） (A ) AB (B ) BC (C ) T ABD. T AC2.设A,B 为n 阶矩阵，下列命题正确的是--------------------------------------------（ C ）(A )2222)(B AB A B A ++=+ (B )22))((B A B A B A -=-+ (C )2()()A E A E A E -=+- (D )222)(B A AB =3. 设矩阵111213212223313233a b a b a b A a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中0(1,2,3)i i a b i ≠=则()R A ＝--（ B ） (A ) 0 (B )1 (C )2 (D )34. 在下列矩阵中，可逆的是-----------------------------------------------------------（ D ）(A )000010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B )110220001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C )110011121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D )100111101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5. 如果行列式1112132122233132330a a a a a a d a a a =≠，则112133132321223222333a a a a a a a a a =--------------（ B ）（A )2d (B )6d (C )3d (D )6d -6. 设A 为n 阶方阵且0A =，则------------------------------------------------------（ C ）(A )A 中必有两行（列）的元素对应成比例；(B )A 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合； (C )A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合；(D )A 中至少有一行（列）的元素全为07.设A 是n 阶矩阵，则以下选项中错误的结论是--------------------------------（ C ） (A )当AX b =无解时，A O = (B )当AX b =有无穷多解时，A O = (C ) 当A O =时， AX b =无解 (D )当AX b =有唯一解时，A O ≠8.矩阵112A ⎫⎛⎪ =⎪⎪⎝⎭与下列哪个矩阵相似----------------------------------------（ C ） (A )203034001⎫⎛⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B )100020002⎫⎛⎪⎪⎪⎝⎭(C )100011002⎫⎛⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D )101030001⎫⎛⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1.1211A ⎫⎛=⎪ -⎝⎭,32a b B ⎫⎛=⎪ ⎝⎭，若AB BA =,则a = 8 ，b = 62．若A 为三阶方阵，21A =,则1A -= 8 ,*A =1643.设矩阵103101230000A -⎫⎛⎪=⎪⎪⎝⎭，则矩阵A 的秩为 2 ，线性方程组AX O =的基础解系中向量个数为 2 。

线代12答案线性代数试题库

苏州大学《线性代数》课程（第十二卷）答案共3页院系专业一、填空题：（30%）1、21=x ，32=x ，44=x2、=X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--610115243 3、=-*1)(A A 31 4、=t 15 5、=--1)2(E A )3(21E A + 6、8=t 7、=-1)(AB 61-8、2)(=A r 9、=Λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00025或⎥⎦⎤⎢⎣⎡25000 10、1=+E A二、判断题：（10%）（1）√ （2） √ （3） × （4） × （5）× 三、（8%）解： A A 21])21[(11=--，（2%） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-02121102321121001100211101310,)21(1 E A （4%） =A 2=--11)]21[(A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-011031100 （2%）四、（8%）解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000630321987654321321αααA 2)(=A r , 21,αα为极大无关组（3%） 321211 , ,αααααα+++由321,,ααα线性表示≤+++) , ,(321211ααααααr ),,(321αααr又因21,αα为极大无关组，故211 ,ααα+也线性无关，所以2) , ,(321211=+++ααααααr ，且211 ,ααα+是极大无关组（5%）五、（10%）解：,)(T T T T B C BC AXB == 又,0≠B T B B ,都可逆，T T C A X C AX 1-=⇒= （4%）=-1A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100210121， =X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----111211110 （6%）六、（10%）解：[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→=000011001112a aa b A A （2%）（1）当,1≠a 且1-≠a ，方程组有无穷多组解，一般解为,1121x a x -+= ( 1123x ax +=为自由未知量）（4%）（2）当,1=a 方程组有无穷组解，一般解为：, ( 132321x x x x x --=是自由未知量）（4%）七、（14%）解：（1） 3)-(1)( 2λλλ+=-A E ，,12,1-=λ33=λ （2%）对,12,1-=λ得特征向量()T 0,1,11-=ξ， ()T1,0,02=ξ 所有特征向量为 212211,( k k k k ξξ+为不全为零的任意常数）（2%）对33=λ，得特征向量()T 0,1,13=ξ，所有特征向量为 333( k k ξ是任意非零常数）（2%）（2） λ是A 的特征值，X 是对应的特征向量，则122++λλ是E A A ++22的特征值，且X 仍是对应的特征向量。

大学《线性代数》第2版(清华大学出版社、居余马)课后习题详细答案-较完整

1 a2 a3 1 0
0
( )( ) ( )( ) 22、解法 1： 1 b2 b3 = 1 b2 − a2 b3 − a3 = b2 − a2 c3 − a3 − c2 − a2 b3 − a3
1 c2 c3 1 c2 − a2 c3 − a3
整理得 = (ab + bc + ca)(b − a)(c − a)(c −b)
1 1 11 1 1 1 1
−2 1 0
1 −1 2 1
1 −1 2 1 0 −2 1 0
13、
第1，4行交换 −
=−
= − −3 −2 −4 = −7
4 1 20
4 1 2 0 0 −3 −2 −4
−1 −5 −3
1 1 11
5 0 4 2 0 −1 −5 −3
14、先将第 1 行与第 5 行对换，第 3 行与第 4 行对换（反号两0 0 1 3 第3，5行对换 − 0 1 0 1 1 = − 6 7 8
= −10*2 = −20
43
00024
00024 010
01 01 1
00 01 3
17、根据课本 20 页公式（1.22）
0 0 1 −1 2
0030 0024 1 240
2
1 −1 2
0 = (−1)2×3 3
2 2 3 L 2 2 第3行 − 第1行 1 0 1 L 0 0
28、
L L L L L L LLLLLL L L L L L L
2 2 2 L n −1 2 第n行 − 第1行 1 0 0 L n − 3 0
−5 0 0 0 0
所以
* A = (−1)3*5 | A || B |= −3!5!

线性代数(B)答案

2017-2018学年第2学期《线性代数》B 卷参考答案与评分标准一、填空题（本题满分15分,每题3分）1．12-； 2. 3； 3. 1311102144243A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；4. 112111k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5.22a <<二、选择题（本题满分15分,每题3分）1．C ； 2. D ； 3. D ；4. B ；5. C.三、解：1.12341111-1494-1231234182741491-116814-18271=⨯⨯()()()()()()242131113212131152=+++---= ------------9分2. 127100210000830052A A A ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭-------------1分()10101010101012718352152A AA A ==== ---------------5分115517215511200000023058A A A ----⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪==⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭---------------9分四、解：1. 由2AX X B =+知，()2A E X B -=，那么()12X A E B -=-.------------3分于是111-136********-2-51121011001-2110-3710331-102-3-5-32-12-3-5-9-13-4X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭------------------12分2. 2141123441213121311100303(,,,)0527052746002412r r r r A k k αααα+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪==−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 232434235221213121301010101002200220041000014r r r r r r r A k k ÷--+⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪−−−→−−−→= ⎪⎪-- ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭所以当14k =时向量组1234,,,αααα线性相关. -------------6分继续对A 施行初等行变换，131232(2)121310111002010101010101002200110011000000000000r r r r r A --÷-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 一个极大无关组为123,,ααα，且41232αααα=+-. -------------12分3. 1) 123(,,)f x x x 的矩阵为222254245A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.A 的特征多项式2222254(1)(10)245E A λλλλλλ---=--=---,所以A 的特征值为12=1λλ=,310λ=. ------------------3分当12=1λλ=时,齐次线性方程组0)(=-x A E 为1231222440244x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，一个基础解系为1210α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.正交化，211122111252(,)41,(,)501αββαβαβββ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪⎪⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，1β=11αα=121212,.5150ββηηββ⎛ ⎪ ⎪ ==== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3λ=10时,齐次线性方程组0)10(=-x A E 为1238222540245x x x -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，一个基础解系为3122α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，单位化得333132323αηα⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. ------------------9分令()123151532,,32033T ηηη⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,做正交变换X TY =，则 222123123(,,)10f x x x y y y =++. ------------------10分2) 222123123(,,)101f x x x y y y =++=是椭球面. ---------------12分五、证明：1．A 的特征多项式()311111111411111111A E λλλλλλλ---==---，A 的特征值为12340,4λλλλ====. 因A 是实对称矩阵，所以A 可对角化，且A 与0004⎛⎫ ⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似. ---------------4分B 的特征多项式()3400010041001B E λλλλλλλ---==---则，B 的特征值为12340,4λλλλ====.对于特征值0，齐次线性方程组0Ax =有()43R A -=个线性无关的解，即属于特征值0有3个线性无关的特征向量. 又特征值4有1个线性无关的特征向量，因此B 可对角化，且B 与0004⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似. 故A 与B 相似. ---------------8分 2. 设0110r r k k k βαα+++=，两边同时与β做内积，有011,,,0r r k k k ββαβαβ+++=，由条件β与1,,r αα都正交得0,0k ββ=，又因β是非零向量，那么00k =.--------------5分再由1,,r αα线性无关可得10r k k ===，故1,,,r βαα线性无关.--------------8分。

线性代数B期末考试题及答案

线性代数B期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\)答案：C2. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(A^2 = I\)，则\(A\) 一定是：A. 正交矩阵B. 斜对称矩阵C. 单位矩阵D. 对角矩阵答案：A3. 线性方程组 \(\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 3x - 4y + 2z = 2 \\ 5x + 6y + 3z = 3 \end{cases}\) 的解的情况是：A. 有唯一解B. 有无穷多解C. 无解D. 不能确定答案：B4. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(\det(A) = 0\)，则 \(A\) 的秩：A. 等于3B. 小于3C. 等于0D. 大于等于3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的行列式\(\det(A) = 2\)，则 \(A\) 的伴随矩阵 \(\text{adj}(A)\) 的行列式是 _______。

答案：82. 若 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的特征值为1，2，3，则 \(A\) 的迹数 \(\text{tr}(A)\) 等于 _______。

大学《线性代数》第2版(清华大学出版社、居余马)课后习题详细答案-较完整精编版

= 10 ⋅ (−1)
1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1
⋅1⋅ 2L 8 ⋅ 9 = 10!
11、
1 1 1 1 1 第2行 − 第1行 1 0 −2 0 0 第3行 − 第1行 = 1*(−2)3 = −8 −1 1 0 0 −2 0 第4行 − 第1行 1 −1 0 0 0 −2
12、该行列式中各行元素之和均为 10，所以吧第 2，3，4 列加到第 1 列，然后再把第 1 列后三个元素化为零，再对第 1 列展开，即
1 0 0
18、 A = 1 2
0 = 1* 2*3 = 3!，
1 2 3
0 0 B =0
0 0 0
0 0
0 −1 −2 0 0 = (−1) 0 0 0 0
−3 0
5(5 −1) 2
(−1)(−2)(−3)(−4)(−5) = −5!
0 −4 0 −5 0 0
所以
* B
A = (−1)3*5 | A || B |= −3!5! 0
1 a2 可以看出， M 42 = (ab + bc + ca)M 44 ，即 1 b 2 1 c2
1 0 2 a a 0 2 1 a 2 0 b 0 第1，列 4 0 0 b 2 第2， 3行 5 23、 − 3 c 4 5 对换 5 c 4 3 对换 0 d 0 0 0 0 0 0 d 0
a3 1 a a2 b3 = (ab + bc + ca) 1 b b 2 ，得证. c3 1 c c2
所以n2n原式由公式得22n为阶范德蒙行列式nn原式n又1an所以原式31系数行列式njiij100110114220对换114220对换11145130110101112042204211111110114行1201111001111010113行112114行4120对换101110111121412053421001415d410110113210对换014321对换10145145110110011032102143110104行11101114行所以32系数行列式01111011101101011110112行对换011101110100110101001111101111101101014111001110410030010第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行120110000101511121第1行第5行10074第1行第3行111010101000第1行第4行110第1行第2行01111112111410115110第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0111001101010100111按第1列展开17按第4列44展开14011510第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行1010100001110111100按第1列展开1113按第1列展开01111101111214111150第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0101000011110101111按第1列0110展开101按第1列展开01111011111241105第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行01010000110111111按第1列展开001101110115按第1列展开所以d4d4d4d4d433因为齐次线性方程组有非零解所以其系数行列式即2111aa1b第2行第1行第3行第1行第4行第1行110100所以34设直线方程由于直线过点所以2

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河南农业大学2011—2012学年第二学期《线性代数》（经济类和农科）参考答案（B 卷）
一、判断题（每小题2分，共20分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
对错 √ × √ × √ √ × √ × √
二、填空题（每空2分，共20分）
1. 0
2. 64−
3. 3,8,8−−− 192−
4. 3−
5. 0 1111−⎛⎞⎜
−⎝⎠⎟ 6. 2 正定 7. (1,1,1)T
三、计算题（每小题9分，共54分） 1.解：6666111
11
3111311
611311*********
1
3
D =
= 5LLL 分 11110
200
6
400200
00
2
==8． 9LLL 分2. 解：由于123100(|)221010343001A E ⎛⎞⎜⎟
=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
2LLL 分 10013
23
50103
22001111−⎛⎞⎜
⎟⎜⎟
→−
−⎜
⎟⎜⎟−⎝⎠
7LLL 分则1
13
2353
22111A −−⎛⎞⎜⎟⎜⎟
=−
−⎜⎟⎜⎟−⎝
⎠
． 9LLL 分
3. 解：（1）
A B Q 与相似 ()()Tr A Tr B ∴=，即14，亦即22a b ++=++1a b =− 4LLL 分又6(1)||4a A B −===b )
所以
5,6a b ==8LLL 分（2）||
24A =9LLL 分4. 解：1234123411131024(,,,)11230101(,,,12460010ααααββββ−⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
=−−→=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
Q
1234(,,,)3r ββββ∴=
5LLL 分显然123,,βββ是向量组1234,,,ββββ的一个极大线性无关组，
且412403ββββ=++
故123,,ααα是4321,,,αααα的一个极大线性无关组，
且412430αααα=++．
9LLL 分5. 解：由于1203120347100112(,)011200002
31
40000A b ⎛⎞⎛⎜⎟⎜
⎞
⎟−−⎜⎟⎜=→
⎜⎟⎜−⎜⎟⎜
⎝⎠⎝Q ⎟
⎟
⎟⎠
<
则()(|)23r A r A b ==
从而原方程组有无穷多解．
5LLL 分令()()30x =可得特解为：0320η⎛⎞⎜⎟
=−⎜⎜⎟⎝⎠
⎟．
取34,x x 为自由未知量，令()()31x =，可得导出组的基础解系为：
．
1211ξ−⎛⎞⎜⎟
=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
故原方程组的通解为：
0111,()k k R ηηξ=+∈
9LLL 分6.解：（1）特征方程为：
2
1
1
024
1E A λλλλ03
+−−−=−−−．由得特征值为：2
||(1)(2)E A λλλ−=+−=01231,2λλλ=−==．
3LLL 分对1231,2λλλ=−==分别求得基础解系为：；
123110,4,010ξξξ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟
===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
14 故，A 的特征值11λ=−的全部特征向量为11
1(0k k )ξ≠；
A 的特征值232λλ==的全部特征向量为1122
12(,0)k k k k ξξ+不全为
6LL 分
（2）由于特征值互不相同，所以可逆矩阵为：
111040104P ⎛⎞
⎜⎟
=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
使得．
1
-100=020002P AP −⎛⎞⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎟9LLL 分四、证明题（共6分）
证：设123=,,A ααα（）
102102124022157000A ⎛⎞⎛⎞
⎟⎟⎟
⎠⎜⎟⎜
=→⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝
2L 分 LL
, 则向量组()2r A =Q 123,,ααα线性相关
6LLL 分。