大学高数A2模拟卷
高数A2(A卷)
……………………………… 密 ……………………………… 封 ………………………………… 线 ………………………………安 徽 工 业 大 学 工 商 学 院 试 题 纸（一）2007 ~ 2008学年第二学期期末考试《 高等数学A2》试卷(A 卷)一、选择题(共4分×6)(将结果填入下表中: ) 1、函数),(y x f z =在),(y x 点有偏导数是它在该点连续的( ).(A)充分而非必要条件； （B ）必要而非充分条件；(C)充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件.2、设),2ln(),(xy x y x f += 则=)0,1(y f ( ）.(A) 21-； (B)21； (C) 0； (D) 1.3、函数3121x cx y -=(c 为任意常数)是微分方程222x dxy d -=的（ ).(A)解,但既非通解又非特解； (B)通解;(C)特解; (D)不是解.4、函数y x xy y x z 84222-+++-=的驻点是（ ）. （A ）(-1,3); （B ）(3,-1); （C ）(3, 1); （D ）(-1,-3).5、二阶线性非齐次方程xe x y y y )1(2-=+'-''的特解形式是（ ）.(A)x e b ax )(+; （B ）xe bx ax )(2+; (C)xe bx ax )(23+; （D ）xe bx ax )(3+.6、设级数∑∞=1)1(!3n nn nn 与级数∑∞=1)2(!2n nnnn , 则成立（ ）.(A)级数(1)、(2)均收敛; (B)级数(1)、(2)均发散.; (C)级数(1)收敛, 级数(2)发散; (D)级数(1)发散, 级数(2)收敛二、填空题(共4分×6)1、设),(v u f 有连续偏导数,且),(yxe ef z =, 则=dz __________________.2、级数∑∞=+1623n nnn 的和是__________.3、)(x f 在某区域内有连续导数, 若积分⎰+Ly dy x f xdx e ])([2与路径无关, 则.____________________)(=x f4、设一个二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程有两个特征根,为-2和3,则此微分方程是________________________, 其通解为___________________________.5、设Ω是由光滑闭曲面∑围成的空间区域,其体积是V , 则沿∑内侧的曲面积分⎰⎰∑=-+-+-.______________)2()3()(dxdy y z dzdx x y dydz z x6、设平面上力j xy i y F 32+-=, 在力F 的作用下, 质点沿曲线L 运动, 则力F 所做的功用曲线积分表示为__________________________.三、解答题(共47分) 1、[5分]求曲面1232=+z xy 在点(1,-2,2)处的切平面与法线方程.2、[5分]计算积分: ⎰⎰ππydx xx dy sin 0.3、[5分]求微分方程满足初始条件的特解: ⎪⎩⎪⎨⎧==+1)0(y ey dx dy x .高数试卷A2(A 卷)（第1页）……………………………… 密……………………………… 封 ………………………………… 线 ………………………………安 徽 工 业 大 学 工 商 学 院 试 题 纸（二）4、[5分]用重积分算出半球体0,2222≥≤++z a z y x 的体积V .(用其它方法不给分)5、[5分]),(v u f 可微, 且32),(x x x f =, 422),(x x x x f u -=,求 ),(2x x f v .6、 [5分]设L 是圆周x y x 222=+的正向曲线,计算第二类曲线积分dy y xydx y x x I L⎰-+-=)()(3223. (注:163cossin204204πππ⎰⎰==xdx xdx )7、[6分]求幂级数∑∞=-1)3(n nnx 的收敛域(含端点讨论).8、[6分]求幂级数∑∞=-11n n nx 在(-1,1)上的和函数.9、[5分]设222),,(z y x z y x f ++= ，求函数在点M （1，1，0）沿方向)1,2,1(=l的方向导数lf ∂∂.四、[5分]计算二重积分：,)1ln(2dxdy y y x I D⎰⎰++=其中D 由x y 3-=，24x y -=，x = 1 所围成的闭区域.五、附加题 [6分]设微分分方程0)4(32='++''y ey y(1)若把x 看成未知函数，y 看成自变量，则方程化成什么形式； (2)求此方程的通解.高数试卷A2(A 卷)（第2页）。
燕山大学高等数学 A2 考试题汇编
4 2 33
3. 极限 lim
x 0
。
1 x
ln 5 0
ex
ex 1 ex 3
ln 5 0 2 0
dx
ex
x 2 0
ex 1 e 3
x
0
(1 sin 2t ) dt =
2x
1 t
dx
e2
ex 1 e 3
x
d ( e )
x
u e x
2
5 1
u 1 u3
燕山大学高等数学 A2 考试题汇编
说明：2012 年之前，秋季学期高数只考一次，本文试题从 2007 年至 2011 年统考试卷中抽取而得。电子版版权所有，未经许可，请勿传播。
一．选择题（每小题 4 分）
1. 设 f ( x) 连续， F ( x)
x2 0
f (t ) dt ，则 F ( x) 【 C 】
（A） f ( x 2 ) ； （B） x 2 f ( x 2 ) ； （C） 2 x f ( x 2 ) ； （D） 2 x f ( x) . 2. 若 f ( x) 为连续函数，则 f (3x ) dx 【 B 】 （A）f (3x) C ； （B） 3. 曲线 y x2 1
1 f (3x) C ； （C） 3 f (3x) C ； （D）f ( x) C . 3
1 2 ( x 1) , x0 1 2 2 ( x 1) , x 0 ； （B） 2 ； （ A） 1 (1 2 cos x ) , x 0 , x0 cos x 2 1 2 1 2 , x0 , x0 x x C （ C） 2 ； （D） 2 . x x x C x 1 cos , 0 1 cos , 0 5．有一椭圆形薄板，长半轴为 a ，短半轴为 b ，薄板垂直立于液体中， 而其短轴与液面相齐，液体的比重为 ，则液体对薄板的侧压力为（ B ） 4 2 4 2 （A） a 2 b ； （B） a 2 b ； （C） a b 2 ； （D） a b 2 . 3 3 3 3
湖南大学高等数学A2试题及答案
湖南⼤学⾼等数学A2试题及答案诚信应考,考试作弊将带来严重后果！湖南⼤学期中考试试卷课程名称：⾼等数学A （2）；课程编码： 10015 试卷编号：；考试时间：120分钟题号⼀⼆三四五六七⼋九⼗总分应得分 15 15 40 16 14 100 实得分签名⼀. 填空题（每⼩题3分，共15分）1.⽅程22222440x y z yz ++--=所表⽰的⼆次曲⾯是 .2. 若向量375472+⊥--⊥-(a b)(a b),(a b)(a b),则 (,)a b = . 3. 曲线22222z x y x y y=++=在点(1,1,2)的切线的参数⽅程为 . 4. 设22u xy z =-，则u 在点()2,1,1-处⽅向导数的最⼤值为 . 5. 函数2 1)(+=x x f 展开成)1(-x 幂级数，则展开式中3)1(-x 的系数是 . ⼆. 选择题（每⼩题3分，共15分） 1. 设有以下命题：①若2121()n n n uu ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛.②若1nn u∞=∑收敛，则10001n n u∞+=∑收敛. ③若1lim 1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.④若∑∞=+1)(n n nv u收敛，则∑∑∞=∞=11,n n n n v u 都收敛.则以上命题中正确的是（）(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D) ①④ 2. 直线z y x =-=+222与?=++=++02012z y y x 之间的关系是( ) (A) 重合 (B) 相交 (C) 异⾯ (D) 平⾏3. 直线:326x y zL ==绕z 轴旋转⽽产⽣的旋转曲⾯⽅程为（） (A) 2221436()z x y =- (B) 2221336()z x y =+ (C) 2221436()x z y =- (D) 2221436()x z y =+4. 设幂级数∑∞=1n nn x a 与∑∞=1n nn x b 的收敛半经分别为3135与，则幂级数∑∞=122n n nn x b a 的收敛半经为（）(A) 5 (B)31 (C) 35(D) 15 5. 设),(y x z z =由⽅程0),(=x z x y f 确定, 其中f 可微, 且0x f '≠,则yzy x z x ??+??=( ) (A) x (B) x - (C) z (D) z - 三、解答下列各题（每⼩题8分，共40分）1. (8分) 设222222221()cos , 0;(,)0, 0.x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 讨论),(y x f 在(0,0)处（1）偏导数是否存在;（2）偏导数是否连续; (3)是否可微..2. (8分) 判断两直线L 1：11112x y z +-==；L 2：12134x y z +-==是否在同⼀平⾯内?若在同⼀平⾯内, 则求两直线的交点; 若不是在同⼀平⾯内, 则求两直线之间的距离.3. (8分) 设 0sin (1,2,...)n n a x x dx n π==?，试判别级数∑∞=13n n na 敛散性.4. (8分) 设),(y x u u =具有⼆阶连续偏导数，试适当选取b a ,的值, 使⽅程2222260u u ux x y y -++=?经过变换by x ay x +=+=ηξ,后化为⽅程02=ηξu.5. (8分) 求函数2u xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最⼤值和最⼩值. .四、证明下列各题（每⼩题8分，共16分）1. 从椭球⾯外的⼀点作椭球⾯的⼀切可能的切线, 证明全部切点在同⼀平⾯上.2. 已知,a b 为两个⾮零且不共线的向量.令λ=+c a b ,λ是实数, 试证: 使得c 最⼩的向量c 垂直于a .五、（14分)设∑∞=--=1113)(n n n xn x f ，（1）证明)(x f 在)31,31(-内连续; （2）计算?810)(dx x f .⼀. 填空题（每⼩题3分，共15分）: 1.椭圆柱⾯ 2. 33. 1,1,22x y t z t ==+=+4. 2 6.5. 181-⼆. 选择题（每⼩题3分，共15分）: 1. B 2. D 3. B 4. A 5. C 三、解答下列各题（每⼩题8分，共40分）1. 解：(1) 2001cos0(,0)(0,0)(0,0)limlim 0x x x x xf x f f xx→?→?-??-===??同理可得0)0,0(=y f ，因此，),(y x f 在(0,0)处偏导数存在. 2分（2）2222222222112cos sin , 0;(0,0)0, 0.x x x x y x y x y x y f x y ?++≠?'+++=??+=?当(,)x y 沿直线0y =趋向(0,0)时，有0011lim (0,0)lim2cossin x x x y x f x x x x→→='=+，不存在，故(,)x f x y '在(0,0)处不连续. 同理可得, (,)y f x y '在(0,0)处不连续. 5分 (3) 因为0 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)limlimx y f x y f f x f yz dzρρρρ→→''+?+?--?-??-=22221[]cos 1lim cos0x y x y ρρρρρ→→?+??+?===. 因此,函数),(y x f 在(0,0)处可微．8分2. 解1: 直线L 1与L 2的⽅向向量分别为12{1,1,2},{1,3,4}s s ==, 且分别过(1,0,1),(1,1,2)P Q -- 1分从⽽{1,1,1},=-PQ 所以12112()13420111==≠-s s PQ , 3分故直线L 1与L 2为异⾯直线. 4分过L 1作平⾏于直线L 2的平⾯π, 其法向量可取为121122().134=?==-+-i j kn s s i j k所以平⾯π的⽅程为(1)(1)0x y z ++--=, 即20x y z +-+=. 6分⼜因点(0,1,2)-在直线L 2上,故两直线L 1与L 2之间的距离即为点(0,1,2)-到平⾯π的距离, 故所求的距离为: 2221223.311(1)d --+==++- 8分解2: 直线L 1与L 2的⽅向向量分别为12{1,1,2},{1,3,4}s s ==, 且分别过(1,0,1),(1,1,2)P Q -- 1分从⽽{1,1,1},=-PQ 所以12112()13420111==≠-s s PQ , 3分故直线L 1与L 2为异⾯直线. 4分过L 1作平⾏于直线L 2的平⾯π, 其法向量可取121122().134=?==-+-i j kn s s i j k所以平⾯π的⽅程为(1)(1)0x y z ++--=, 即20x y z +-+=. 6分⼜因点(1,0,1)A -和点(0,1,2)B -分别在直线L 1与L 2上, 故所求两直线的距离为:22211111(1)3.311(1)d prj ?-?+?-==++-n AB 8分 3. 解：令t n x -=π, 则??-=-=πππππn n n n dt t t dt t n dt t t n a 0sin sin sin )(,从⽽),2,1(,sin 2sin 220 0==?==n n tdt n n dt t n a n n πππππ,于是∑∑∞=∞==12133n n n n n n a π. 4分∵2112(1)31lim lim 133n n n n n nu n u n ++→∞→∞+=?=< ∴由⽐值判别法得级数13nnn a ∞=∑收敛 8分4.解：ηξ??+??=??u u x u ，ηξ??+??=??u b u a y u ， 2分 22222222ηηξξ??++??=??u u u x u ，222222)(ηηξξ+++??=uu b a u a y x u ， 2222222222ηηξξ??++??=??u b u ab u a y u ， 5分于是，原⽅程化为：2222222(6)(212)(6)0u u u a a ab a b b b ξξηη+-+++-++-=? 6分令2260,60,2120a a b b ab a b +-=+-=++-≠, 7分解得当23a b =??=-?或32a b =-??=?时，原⽅程化为：02=ηξu． 8分5. 解：引⼊拉格朗⽇函数222(,,,)2(10)L x y z xy yz x y z λλ=++++-， 1分为求(,,,)L x y z λ的驻点，解如下⽅程组22220 220 220 100Ly x x L x z y yL y z z L x y z zλλλ??=+==++==+=?=++-=? 3分从前三个式中消去λ可得驻点(,,)x y z 应满⾜222 2522x z y x z yx y x y z =?+==??=?代⼊第四个式⼦即可求得四个驻点1234(1,5,2),(1,5,2),(1,5,2),(1,5,2),P P P P =-==---=-- 6分代⼊计算得1234()55,()55,()55,()5 5.u P u P u P u P =-===-从⽽知在1P 与4P 两点处u 取得最⼩值55-，在2P 与3P 两点处u 取得最⼤值55.即函数2u xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最⼤值是55，最⼩值是55-. 8分四、证明下列各题（每⼩题8分，共16分）1. 证明：设椭球⾯的∑的⽅程为2222221x y z a b c++=. 1分椭球⾯外⼀点设为222000000222(,,),1x y z P x y z a b c++>，由P 向∑作切平⾯，设切点为(,,)Q x y z ，因曲⾯∑过点Q 的切平⾯⽅程为2221xX yY zZa b c++=. 4分令000(,,)(,,)X Y Z x y z =代⼊上式得0002221(*) x y z x y z a b c ++= 6分这表明切点Q 位于同⼀平⾯（*）上.因切点和的连线就是从向椭球⾯所作的切线，因此所有切点位于同⼀平⾯（*）上. 8分2.证明: 因为2222222()()()2()()λλλλλ??=+?+=+?+=++-a b a b c a b a b a a b b a b a a2分故当2λ?=-a b a时, c 最⼩, 222min ()?=-a b c b a此时, 2λ?=+=-+a b c a a b a, 5分因为22()()=-+?=-+=-+=a b a b c a a b a a a b a a b a b 0aa, 7分所以c 最⼩的向量c 垂直于a . 8分五. 证明（1）∵11lim ||lim 33n n n na n a n +→∞→∞+=?=, ∴级数∑∞=--1113n n n x n 收敛半径31=R 2分⼜31±=x 时，级数1n n ∞=±∑显然发散, 故幂级数∑∞=--113n n n x n 收敛域为)31,31(- 4分幂级数∑∞=--1113n n n x n 的和函数)(x f 在)31,31(-内连续. 6分（2）⼜由∑∑?∑?∞=∞=-∞=--===111111)3(3133)(n n n nn xn n xn x x dx xn dx x fx x x x 3131331-=-=)3131(<<-x 9分那么 2)311()31()(xx x x f -='-= 即求得 2111)31(13)(x x n x f n n n -=-∞=-∑)3131(<<-x 11分 dx x dx x f ?-=8102810)31(1)(?---=812)31()31(131x d x 5131131810=-=x . 14分。
07-08高数A2期末考试卷(A)及答案
学院 专业 班级 学 姓名封线内不要答题 密封线内不要答题江 苏 科 技 大 学 07 － 08 学年（2）学期高等数学A2课程试题(A )卷一． 填空题(每小题4分，共20分)1．设),,(22xy e y x f z -=其中f 具有一阶连续偏导数,则____________________=∂∂xz2._____________________222=++⎰ds z y x L,其中3,sin ,cos :===z t y t x L)0(π≤≤t3.微分方程065=-'+''y y y 的通解_____________________=4.幂级数nn n xn n 11)1(21+--∑∞=-的收敛域为___________________________5.⎰=++-Lxxdy x e dx y ye_______________________________)()(33,其中L 是顺时针方向的圆周122=+y x二、单项选择题(每小题4分，共20分)1.曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(P 处的法线方程是( ))(A 001122-=-=-z y x )(B 101122--=-=-z y x )(C02112-=-=-z y x )(D102112--=-=-z y x2.),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 处存在是),(y x f 在该点的方向导数存在的( ))(A 充分条件)(B 必要条件 )(C 充要条件 )(D 无关条件3.设{}0,1),(22≥≤+=x y x y x D ,),(y x f 为D 上的连续函数,则dxdyy x f D)(22⎰⎰+为( ))(A rdr r f )(12⎰π⎰1)()(r d r r f B π ⎰1)(2)(r d r r f C π⎰12)(2)(r d r r f D π4.级数)cos1()1(1na n n --∑∞=(常数0>a )( ))(A 发散 )(B 条件收敛 )(C 绝对收敛 )(D 收敛性与a 的取值有关5.方程x e y y y x 2sin 52=+'-''的一个特解应具有的形式( )x Ae A x 2cos )()2s i n 2c o s ()(x B x A xe B x +)2sin 2cos ()(x B x A e C x+)2s i n 2c o s ()(2x B x A e x D x +三.解下列各题(3⨯6分=18分)1.计算dxdy x y x D)(22-+⎰⎰ 其中D 是由直线x y y ==,2及x y 2=所围成的闭区域2.判别级数nn n 5sin31π∑∞=的敛散性3．求微分方程sin =-+xx x y dxdy 满足初始条件1==πx y的特解四 .解下列各题(3⨯7分=21分) 1．设)11(11x y f x z -+=求证:222z yz yxz x =∂∂+∂∂2．计算dSy x z )342(⎰⎰∑++,其中∑为平面1432=++z y x 在第一卦限中的部分3．将积分dzz dy dx y x yx x⎰⎰⎰--+-2222222110化为球面坐标系下的积分并求其值五（本题共8分）计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ,其中∑为半球面222yx R z --=的上侧六.(本题共7分) 将651)(2++=x x x f 展开成1+x 的幂级数七．(本题6分)设)(x f 与)(x g 在()+∞∞-,内可导,0)(≠x g ,且有)()(x g x f =', )()(x f x g =',)()(22x g x f ≠,试证明方程0)()(=x g x f 有且仅有一个实根07-08高等数学A2课程试题（A ）卷参考答案及评分标准一．填空题（每小题4分，共20分） 1．122xy xf yf e ''+ 2．2π3．612x x y c e c e -=+ 4．(1,1)- 5．32π-二．单项选择题（每小题4分，共20分） 1（C ） 2（D ） 3（A ） 4（C ） 5（B ）三.解下列各题（每小题6分，共18分） 1. 22()Dx y x dxdy +-⎰⎰解:222102()yydy x y x dx =+-⎰⎰3分=1366分2．解：1113sin5limlim3sin5n n n n n nnnu u ππ+++→∞→∞=2分=315< 5分因此原级数收敛 6分 3．解：1sin (),()x P x Q X xx==1分()()()P xdx Px dx y e Q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 2分=11sin dx x x dx e dx c x x e⎰⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰3分=1(cos )x c x-+ 4分 当,1x y ππ==时,c=-1 5分1(cos 1)y x xπ∴=-+-特解为6分三．解下列各题（每小题7分，共21分） 1.证明：令1111(,,)()F x y z f zx yx=--1分则221111()x F f xy x x ''=--2分22111111()()()y F f f yxyyx y'''=---=-3分21z F z'=-4分22111()x z F zz f x F x y x '⎡⎤∂'∴=-=--⎢⎥'∂⎣⎦ 5分2211()z z f yyyx∂'=-∂ 6分因此222z z x yz x y∂∂+=∂∂ 7分2..解:4423z x y =--42,3z z xy∂∂=-=-∂∂2分原式=44(42)233Dx y x y ⎡--++⎢⎣⎰⎰ 5分 (其中D 是0,0,123x y x y ==+=直线围攻成的区域)=43Ddxdy ⎰⎰= 7分3.解:001z y x ≤≤⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎪⎩在球面坐标系下变为在球面坐标系下变为: 00402r πϕπθ⎧⎪≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩ 4分原式=42240cos sin d d drππθϕϕϕ⎰⎰157分五.(本题8分)解:,,P x Q y R z ===1,1,1P Q R xyZ∂∂∂===∂∂∂ 1分x d y d zy d z d xz d x d yx d y d zy d z'∑∑+++++⎰⎰⎰⎰ =3dxdydz Ω⎰⎰⎰(其中'∑为平面0z =的下侧,Ω为'∑∑与围成的封闭区域) 4分=314323R π⨯⨯=32R π 5分又xdydz ydzdx zdxdy '∑++⎰⎰=0 7分则xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰=32R π 8分六. (本题7分)21()56f x x x =++111(2)(323x x x x ==-++++=1111(1)2(1)2x x -++++2分而1(1)(1)201(1nnn x x x ∞==-+-<<++∑4分11(1)(1)311222(1)2nnnn x x x ∞=+=--<<++∑6分因此2111()(1)(1)(1)562nnn n f x x x x ∞+===--+++∑20x -<< 7分七.证明:()()()()f x g x g x f x ''==()()f x f x ''∴= 1212()()x xx x f x c e c e g xc ec e--=+=-2分04)()(2122≠=-c c x g x f 则21c c 与都不为零 又210)(c c x g 与∴≠是异号的常数不妨设0021<>c c 和 则-∞=+∞=+∞→+∞→)(lim )(lim x f x f x x()+∞∞-∴,)(在x f 内至少有一个实根 4分又)()(x g x f ='>0 )(x f ∴单调增加 0)(=∴x f 有且仅有一个实根 0)(≠x g 0)()(=∴x g x f 有且仅有一个实根0021><c c 和的情况同理可证. 6分。
(A)高等数学A2(答案与评分标准)
装订线2010—2011 学年第二学期闽江学院考试试卷考试课程：高等数学A2试卷类别：A 卷 B 卷□ 考试形式：闭卷 开卷□ 适用专业年级：班级 姓名 学号一、选择题(2%*10 =20 %) 请把你认为正确的答案填入下表1、设(1,0,1)a = , (1,1,0),b = 则同时垂直于a b + 和a b -的单位向量为 ( A ).A. 111(-; B. 111-;C. -;D. --.2、设直线L ：30;0,x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面π：10x y z --+=的夹角为 （A ）A. 0;B.2π; C.3π; D.4π.3、函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂与z y∂∂在点00(,)x y 存在且连续是(,)z f x y =在点00(,)x y 可微的（ A ）条件。
A 、 充分B 、 必要C 、充要D 、无关4. 对于函数22(,)f x y x y =-，点(0,0)(B ).A. 不是驻点B. 是驻点而非极值点C. 是极大值点D. 是极小值点 5、1100(,)x dx f x y dy -⎰⎰=( D )(A)1100(,)x dy f x y dx -⎰⎰； (B)1100(,)x dy f x y dx -⎰⎰； (C)11(,)dy f x y dx ⎰⎰； (D)110(,)y dy f x y dx -⎰⎰6、设D 是xO y 平面由直线上,1,1y x y x ==-=围成的区域，1D 是D 在第一象限的部分，则2(sin )xDx xye dxdy +⎰⎰（C ）（A ）212xD xye dxdy ⎰⎰； （B ）0;（C ）12sin D xdxdy ⎰⎰； （D ）214(sin )x D x xye dxdy +⎰⎰7、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z ++=1所围成的空间区域,则2d d d x y z Ω⎰⎰⎰=( D ).A ．112-；B ．16-； C ．112； D ．16.8. 曲线积分22()Ly x ds +⎰ , 其中L 是圆心在原点, 半径为a 的圆周, 则积分是( C ).A. 22a π B. 3a π C. 32a π D. 34a π9. 曲线积分 2(2cos sin )(sin cos )ABI x y y x dx x y x dy =+-+⎰, 其中 A B 为位于第一象限中的圆弧221:(1,0),(0,1),y A B x += 则I =( C ). A. B. 1- C. 2- D. 210. 幂级数211(1)3(1)nnnn n x n ∞=+-+∑的收敛域为( B ).A. (-3, 3);B. (-3, 3];C. [-3, 3);D. [-3, 3]. 二、填空题 24%=3%*811、设(1,2,3)a = , (3,4,2)b = , 则与a b -平行的单位向量为1(2,2,1)3±--.12、(,)(0,0)limx y xy→= ___-0.25_____.13、曲线2311x t y t z t ⎧=-⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,2,1)处的切线方程为 21213x y z --==. 14、 设(,,)f x y z xyz =，则grad (1,2,3)f = ____（6,3,2）_____. 15、(,,)d d d I f x y z x y z Ω=⎰⎰⎰, 其222,1z x y z Ω=+=中为围成的立体, 则I 的三次积分为211(cos ,sin ,).rI d rdr f r r z dz πθθθ=⎰⎰⎰16. 设L 为椭圆22143xy+=，其周长为a ，则224(2)3Ly ds xy x ++=⎰ 12a .17. 设S 为球面: 2222,y z x R ++=则曲面积分222)(Sy z dS x ++=⎰⎰44R π.18．设Ω是由曲面222x ya +=和0,1z z ==所围成的区域，则22(1s )x yd x d y d z Ω+=⎰⎰⎰2a π.19、设sin uz e v =，而u xy =，v x y =+。
高数A2练习题
⾼数A2练习题1、选择题：1.⽅程是( )(a)、柱⾯ (b)、椭球⾯ (c)、双曲抛物⾯ (d)、锥⾯2、设平⾯⽅程为，其中A，C，D均不为零，则平⾯（）A．平⾏于x轴 B. 平⾏于y轴 C. 经过x轴， D. 经过y轴。
3．已知向量a ，b的模分别为，则 ( )(a)、2 (b)、 (c)、(d)、14．设平⾯⽅程为，且，则平⾯( )(a)、平⾏于x轴 (b)、平⾏于y轴(c)、经过y轴 (d)、垂直于y轴5.向量为共线的单位向量，则它们的內积 ( )(a)、1 (b)、-1 (c)、0 (d)、(a)、 (b)、(c)、 (d)、以上均不正确7、向量（）是单位向量A：（1，1，1） B：（，，） C：（0，-1，0） D：（，0，）8．双曲线绕z轴旋转⽽成的旋转曲⾯的⽅程为（）(a)、 (b)、(c)、 (d)、9、直线的标准⽅程是（）ABCD10、曲⾯z=xy在M0(1,2,2)处的切平⾯为（）A： 2x+y-z=2 B:2x-y+z=2 C:x+2y-z=2 D:2x+y+z=02．函数11.在点处连续是它在该点偏导数存在的（）(a)、必要⽽⾮充分条件， (b)、充分⽽⾮必要条件，(c)、充分必要条件， (d)、既⾮充分以⾮必要条件。
12.已知为某函数的全微分，则为 ( )(a)、－1 (b) 、0 (c)、1 (d)、2。
13、函数在点(0,0)处： ( )(A)连续但不可导 (B)不连续但可导(C)可导且连续 (D)既不连续⼜不可导14、函数在点可微分且在该点取极值，则在点处必有( )(A) (B)且仅与有关(C)且仅与有关 (D)且与和均有关15．函数在点处偏导数存在，是在该点连续的( )(a)、充分条件，但不是必要条件。
(b)、必要条件，但不是充分条件。
(c)、充分必要条件。
(d)、既⾮充分条件，⼜⾮必要条件。
16、⼆元函数在处关系表述正确的是 ( )A. 可微可偏导连续B. 可微可偏导连续C. 可偏导连续, 但可偏导未必可微D. 可微可偏导,可微连续 ,但可偏导未必连续17．函数z=f(x,y)在P0(x0,y0)处有f x/(x0,y0) =0,f y/(x0,y0)=0 则P0点是( ) A：连续点 B：极⼤值点 C：驻点 D：极⼩值点18. 函数在点（0，0）处【】(a)、连续，偏导数存在 (b)、连续，偏导数不存在(c)、不连续，偏导数存在 (d)、不连续，偏导数不存在19.⼆元函数在点的偏导数存在，是在该点可微的（）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．⽆关条件20.设函数在单连通域D上具有⼀阶连续偏导数，则曲线积分在D域内与路径⽆关的充要条件是( )(a)、 (b)、 (c)、 (d)、21.曲线积分，其中C是圆⼼在原点，关径为的圆周，则积分值为( )(a)、， (b)、， (c)、， (d)、22．设L是圆周，取逆时针⽅向，则曲线积分( )(a)、-1 (b)、1 (c)、0 (d)、223．设，则三重积分等于(a)、0 (b)、 (c)、 (d)、2。
广西科技大学-18-19- 高数A2 卷期末试题及答案
2018-2019(2)高数A2（A 卷）一、填空题（每空3分，共18分）：12:2332:43___1_6_.x y z x y z λλππ++=-+=1.设平面平行，则=与2______..yz z x x y ∂==∂∂2设则二阶混合偏导数，223.:1,______.DD x y +≤=则二重积分设区域223()______Ly x x y ds =+=⎰4.设L 为上从点(0,0)到点(1,3)的一段直线，则对弧长的曲线积分1 _______?1.n n q q ∞=∑5.当且仅当的值满足条件时，比级数收敛等 _________.x y dy e dx -=6.微分方程的通解是 二、单项选择题（请把下列各题答案的序号填入括号内，每空3分，共18分）：221.1xoy x y x -=面上的曲线绕轴旋转所得旋转曲面的方程为_______.222()1;A x y z ++=； 222()1;B x y z -+= 222()1;C x y z +-=222() 1.D x y z --= ()23,,1_____1_.1x t y t z t ===--在点，，2.曲线处的法平面方程是()2360;A x y z --+= ()2340;B x y z -++=()2360;C x y z -++= ()2340.D x y z --+=2223_______.).1(x y z f x y z dV ΩΩ++=⎰⎰⎰设是由球面及三个坐标面围成的在第一卦限的那部分空间闭区域，则将三重积分化为三次积分，正确的结，，果是100()();A dx f x y z dz ⎰⎰⎰，，100()();B dx f x y z dz ⎰⎰⎰，，1000()();C dx f x y z dz ⎰⎰⎰，，1000()().D dx f x y z dz ⎰⎰⎰，，2322_4.(2sin )(cos )______.L x y mx y dx x x y y dy L m ++=++⎰已知对坐标的曲线积分在全平面内与路径无关，为平面上任一曲线，则常数()1;A ()2;B ()3;C ()4.D05.2n n n a x x ∞==∑如果幂级数在处收敛，则下列结论正确的是______.()||2A x <时级数当绝对收敛；()||2B x <时级数当条件收敛； ()||2C x >当时级数发散；()D 以上结论都不对． 226.56(1)______.xy y y x x e y *'''-+=-+=二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式可设为2();A ax bx c ++ 22()();x B ax bx c e ++ 322()();x C ax bx cx e ++4322()().x D ax bx cx e ++,.(,)z y z z z z x y z x ydz x e -∂∂=+=∂∂8三（分）、设函数由方程所确定，求偏导数及全微分 2241(,).ax by x y z x y e a b ++-+=8四（分）、设二元函数在点(1,1)处取得极值，求、的值2111.xy x I dx ye dy I =⎰⎰8五（分）、交换二次积分的积分次序，并求出的值 22(2)(2)(0,0)(1,1)(0,1)(1,0)Lx xy dx y xy dy -+-⎰8六（分）、计算对坐标的曲线积分其中积分路径L 是以为顶点的正方形区域的取正向的整,、、、个边界．1()(2)(1)(3).f x x x x =-++8七（分）、将函数展开成关于的幂级数，并指出其收敛区间 13(,.1)1n nnn x n ∞=-+∑9123八（分）、设有幂级数（）求其收敛半径；（）指出其收敛区间；（）讨论幂级数在收敛区间端点处的敛散性，并确定其收敛域.24202424x x x y y y e y y y y y y e y y y e '''-+='''-+='''-+='''-+=9123九（分）、设有二阶常系数非齐次线性微分求（）求对应的常系数齐次线性微分方程的通解；（）求的一个特解；（）求的通解．23(2)(3)32610.z x z y x y z -=-++-=6十（分）、证明曲面上任一点处的法线都平行于平面18—19(2)高等数学A2（A 卷）（正考）参考答案与评分细则解答人：出题组 考试时间：2014.07.08一、填空题（每小题3分，共18分）：1、12-． 2、1(1ln )y x y x -+． 3、23π． 45、||1q >．6、C e e x y +=．二、选择题（每小题3分，共18分）：1、D2、C3、D4、C5、A6、C三、（本题8分）：解： 设(,,)z y F x y z z x e -=+- 则11x z y z z F x F e -∂=-=∂- …2′ 1z yy z y z F z e y F e --∂=-=∂- …4′ 且dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= ……6′ 11z y dx e -=- 1z y z y e dy e --+- …8′四、（本题8分）：解：因为)42(1422+=+-++ax e z y x by axx ， …2′ )12(1422-=+-++by e z y x by ax y ， …4′ )1,1(而函数在处取得极值，所以有⎪⎩⎪⎨⎧=-==+=++++0)12()1,1(0)42()1,1(44b e z a e z b a y b a x …6′ ⇒⎩⎨⎧=-=212b a ． …8′ 五、（本题8分）： 解：2111xyxy x DI dx ye dy ye dxdy ==⎰⎰⎰⎰ …2′12112xyydy ye dx =⎰⎰ ……4′ ()112211122xy yy e dx e e dy ⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰ …6′121212y e ey ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ ……7′212e e =-． ……8′六、（本题8分）：解：由2y P xy =-，2x Q y =-及格林公式有： …2′ ⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()2(22 2(1)Dy x dxdy =-⎰⎰ …4′ 1100(1)2x dx ydy =-⎰⎰ …6′ 121200122x x y ⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …8′七、（本题8分）： 解：1111()2123f x x x =-++ …2′1111226101135x x =⋅-⋅--⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …4′ 00121263105n n n n x x ∞∞==--⎡⎤⎡⎤=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ …6′ 110111(1)(2)235n n n n n x ∞++=⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦∑， …7′ 收敛范围是：|2|3x -<．…8′ 八、（本题9分）：解：1、nn n a a 1lim +∞→=ρ…1′ 11(1)3(1)lim (2)(1)3n n n n n n n ++→∞-+=⋅+- …2′ 13lim 32n n n →∞+==+， …3′ 113R ρ==．…4′ 2、收敛区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．…6′ 3、13x =时，级数1(1)1nn n ∞=-+∑收敛；…7′ 13x =-时，级数111n n ∞=+∑发散，…8′ 收敛域为11,33⎛⎤- ⎥⎝⎦．…9′九、（本题9分）：解：1、特征方程：2210r r -+= …1′⇒11=r ，21r =， …3′ ⇒通解：12x x y C e C xe =+． …4′2、设特解为21x y ax e = …5′⇒21(2)x y ax ax e '=+， 21(24)x y a ax ax e ''=++ ⇒2a =6′ ⇒特解为212x y x e =．…7′ 3、原方程通解：2122x x x Y C e C xe x e =++．…9′ 十、（本题6分）：解：令23(,,)(2)(3)F x y z z x z y =---， …1′ 则4(2)x F z x =--，29(3)y F z y =-，22(2)3(3)z F z x z y =---， 故曲面在任意点的法线的方向向量为 (),,x y z s F F F =， …3′ 而平面的法向量为()3,2,6n =， …4′ 则由于：0s n ⋅=， …5′ 从而结论成立． …6′。
2017-2018第二学期高等数学A2试题
武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试高等数学A2试题（A）1、（9分）设(,)z z x y 是由方程222(2)x z f y z 所确定的隐函数，其中f 可微，求证z z y x xy x y.2、（9分）设{(,)||||1}D x y x y ，计算二重积分2(1)Dx y dxdy .3、（9分）设C 为圆周曲线221x y ，计算曲线积分4224(21)Cx x y y ds .4、（9分）已知)1,2,0(),0,0,1(B A ，试在z 轴上求一点C ，使ABC 的面积最小。
5、（8分）3、设22222222, 0(,)0, 0x y xy x y x y f x y x y，求(0,0)xyf 和(0,0)yx f . 6、（9分）求过直线2210420x y z x y z 并在y 轴和z 轴上有相同的非零截距的平面方程。
7、（8分）设f 是任意二阶可导函数，并设)(x ay f z 满足方程0622222 y zy x z xz ，试确定a 的值.8、（8分）在椭球面22221x y z 上求一点，使函数222(,,)tan f x y z x y z 在该点沿曲线23,12,3x t y t z t t 在点(1,1,2) 处的切线方向的方向导数最大。
9、（9分）计算曲线积分)d d Lx y y x, 其中有向曲线弧L：y点 5,0B 到点 1,0A .10、（8分）已知10=sin (1,2,3,)n b x n xdx n ，，证明级数11(1)1n nn b n收敛，并求其和。
11、（8分）求22I xz dydz x dxdy，其中 是曲面2221x y z 夹在两平面1z 与2z 之间的部分，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。
12、（6分）设a ，b 为任意常数，()f x 在0x 的邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0,x f x x''()0f x m试讨论级数:af bf af bf af bf 的敛散性。
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一、单项选择题 16%（共8小题，每小题2分） 得分
1、微分方程2
33y y ¢=的一个特解是( )。
（A ）31y x =+；（B ）()32y x =+； （C ）()2y x C =+ ；（D ）()3
1y C x =+。
2、直线121: 236x y z L +-==-与233,: 14,7.x t L y t z t ì=+ïïï=+íïï=+ïïî（ ） （A ）垂直； （B ）平行； （C ）相交；（D ）异面但不垂直。
3、考虑二元函数(, )f x y 的下面4 条性质：
①函数(, )f x y 在点(, )x y o o 处连续；
②函数(, )f x y 在点(, )x y o o 处两个偏导数连续；
③函数(, )f x y 在点(, )x y o o 处可微；
④函数(, )f x y 在点(, )x y o o 处两个偏导数存在。
则下面结论正确的是（ ）
（A ）②⇒③⇒①；（B ）③⇒②⇒①；（C ）③⇒④⇒①；（D ）③⇒①⇒④。
4、函数332233z x y x y =+--的极小值点是（ ）
（A ）（0，0）； （B ）（2，2）； （C ）（0，2）； （D ）（2，0）。
5、更换累次积分210d (,)d x x I x f x y y =
⎰⎰的次序，则I =（ ）. （A ）210d (,)d x x y f x y x ⎰⎰ （B ）10d (,)d y
y
y f x y x ⎰⎰ （C ）210d (,)d y
y y f x y x ⎰⎰ （D ）10d (,)d y
y y f x y x ⎰⎰. 6、设D 是Oxy 平面上以（1，1），（-1，1），（-1，-1）为顶点的三角形的区域，1D 是D 在第一象限的部分，则
(cos sin )D xy x y dxdy +=⎰⎰（ ） （A ）12
cos sin D x ydxdy ⎰⎰； （B ）12D xydxdy ⎰⎰； （C ）1
4
(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰； （D ） 0.
7、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z ++=1所围成的空间区域,则2d d d x y z Ω
⎰⎰⎰=( ).
（A ）112-； （B ）16-； （C ）112； （D ）16
. 8、设 a 为常数，则级数21sin()1[
]n na n n
¥
=-å（ ） （A ）绝对收敛；（B ）条件收敛；（C ）发散；（D ）敛散性与a 的取值有关。
二、填空题 24%（共8小题，每小题3分） 得分 1．()222222lim 1x y x y x y +骣÷ç- ç÷ç÷+桫= _________. 2. 已知向量,a b 互相垂直，且1,2a b ==，则(2)(2)a b a b +⋅-=__________.
3. 曲面23z z e xy -+=点(1, 2, 0)处的切平面方程为240x y +-=
4. 设(,,)f x y z xyz =，则grad (1,2,3)f = _________.
5. 设Ω是由曲面222
x y a +=和0,1z z ==所围成的区域，则222(1sin )xy x y dxdydz Ω
++=⎰⎰⎰________. 6. 设S 为球面2222x y z a ++=，则222()x y z dS S
++蝌 =_________ ___.
7. 设L 为03,02x x y
=＃,则4L ds ò的值为___________. 8. 设1
n n n a x ¥=å的收敛半径为3，则11(1)n n n na x ¥
-=-å的收敛区间为____________. 三、计算题 42%（共7题，每题6分） 得分
1．求微分方程440y y y ⅱ
++=满足00|2,|0x x y y ==¢==的特解。
2．设22201
x y z x y z ì++=ïïíï++=ïî，求dx dz ，dy dz 。
3. 22
x y D e d s --蝌，其中D 为222x y R + 在第一象限部分。
4.计算三重积分22()y z dxdydz Ω
+⎰⎰⎰，其中Ω是xoy 面曲线22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围成的闭区域.
5. 计算曲线积分(12)(cos )y y C I e xy dx xe y dy =-+-ò，其中C 曲线2y x =上从
(1, 1)A -到(1, 1)B 的一段。
6. 2yzdzdx dxdy S +蝌，其中S 是球面2224x
y z ++ 的外侧在0z ³的部分。
7.把函数23()56
x f x x x =++展开成x 的幂级数， 并确定其收敛区间。
四、解析题 10 % 得分 利用拉格朗日乘数法求曲面1x y z +
+=的一张切平面，使其在三个坐标轴
上的截距之积为最大。
百度知道答案 五、证明题 8% 得分
设(,)z z x y =是由方程(,)0z z F y x
=所确定的隐函数，且120F F = ，证明：()('')()x y y x x y z z z x y ++=+。