2013版高中全程复习方略配套课件：9.11离散型随机变量的均值与方差(人教A版·数学理)浙江专用
离散型随机变量的期望与方差第课时0000-PPT精选
• 设随机变量ξ具有分布 P( k) k1=，1，2 ，3，4，5，求E(ξ+2)2，D(2ξ-1)，σ5(ξ-1).
• (4)若联合采取甲、乙两种预防措施，则预 防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发 事件的概率为(1-0.9)×(1-0.85)=0.015，损 失期望值为400×0.015=6(万元)，所以总 费用为75+6=81(万元).
• 综上分析，选择联合采用甲、乙两种预防 措施，可使总费用最少.
第十一章 概率与统计
第讲
（第二课时）
题型4 求随机变量的方差 • 1. 已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
-1
0
1
P
1
1
1
2
3
6
• 设η=2ξ+3，求Eη，Dη.
• 解：因为
E(1)1111，
2 63
D• 所以1E 1 3 22 1 2 E 03 1 37 ， 2D 1 3 4 1D 1 3 22 0 1 6.9 5，
• 1. 对离散型随机变量的方差应注意：
• (1)Dξ表示随机变量ξ对Eξ的平均偏离程度， Dξ越大，表明平均偏离程度越大，说明ξ的取 值越分散；反之Dξ越小，ξ的取值越集中，在 Eξ附近.统计中常用Dξ来描述ξ的分散程度.
• (2)Dξ与Eξ一样也是一个实数，由ξ的分布列 唯一确定.
• 2.分布列、期望、方差常与应用问题 结合，对此首先必须对实际问题进行 具体分析，一般要将问题中的随机变 量设出来，再进行分析，求出分布列 ，然后按定义求期望、方差等.
高中数学离散型随机变量的期望及方差课件
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
(2)∵该同学的得分 η， η＝10ξ＋(5－ξ)×(－1)＝11ξ－5， ∴得分 η 的期望为 Eη＝E(11ξ－5)＝11Eξ－5 ＝11×130－5＝935， 方[思差维D拓η＝展D] (11(1ξ－)当5求)＝随11机2×变D量ξ＝ξ的12期1×望1与90＝方1差291时0.，可首先分析 ξ是否服从二项分布，如果服从，则用公式求解，可大大减少运算 量．(2)注意利用E(aξ＋b)＝aEξ＋b及D(aξ＋b)＝a2Dξ求期望与方 差．
B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32
D．n＝7，p＝0.45
解析：由已知nnpp＝1－1.6p，＝1.28， 解得np＝ ＝80， .2. 答案：A
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
2．如果ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，那么( ) A．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Dξ B．Eη＝3Eξ，Dη＝3Dξ＋2 C．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Eξ＋4 D．Eη＝3Eξ＋4，Dη＝3Dξ＋2 答案：A
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
离散型随机）
1．离散型随机变量的均值与方差
(1)均值 若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn …
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
则ξ的数学期望(或平均数、均值，简称期望)为 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11，
即a＝±2.
又Eη＝aEξ＋b，
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ∴ab＝ ＝2－2 或ab＝ ＝－ 4 2 即为所求．
离散型随机变量的均值与方差-期望值 人教课标版精品课件
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
学习小结:
1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式： （1）E(aξ+b)=aEξ+b; （2）若ξ～B（n,p），则Eξ=np 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。
aE b
即 E(a b) aE b
练习一 (巩固定义)
练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ=
2.4 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4.
小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭……我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。
高考数学一轮总复习课件：离散型随机变量的分布列、均值与方差
超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次
CMkCN－Mn－k
品，则P(X＝k)＝________C_N_n __，k＝0，1，2，…，m，其中m
＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列：
X
0
P
CM0CN－Mn－0 CNn
为超几何分布列．
1
…
m
CM1CN－Mn－1 CNn
…
CMmCN－Mn－m CNn
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，那么称随机变量
X服从超几何分布，记作X～H(N，M，n)．
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量． (2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概 率之和可以小于1. (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥 的．
思考题2 (1)(2021·吉林省汪清县高三月考)已知随机变 量ξ的分布列如下表，则x＝____12____．
ξ01 2
P x2 x
1 4
【解析】
由随机变量概率分布列的性质可知：x2＋x＋
1 4
＝1，且0≤x≤1，解得x＝12.
(2)(2021·青铜峡市高三期末)设随机变量ξ的概率分布列如下
表，则P(|ξ－3|＝1)＝( A )
3．设ξ是一个离散型随机变量，则下列不一定能成为ξ的概
率分布列的一组数是( C )
A．0，0，0，1，0
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，1－p(p为实数)
D.1×1 2，2×1 3，…，（n－11）·n，1n(n∈N*，n≥2)
解析
显然A、B满足分布列的两个性质；对于D，有
离散型随机变量的均值与方差-方差 人教课标版精品课件
(3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
D 1.2 1.095
下面的分析对吗？ ∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9
E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
显然两名选
手的水平是不同 的,这里要进一步 去分析他们的成 绩的稳定性.
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差
(1) 若 a b, 则 D ? ;
(2)若ξ~B(n，p)，则 Dξ= ?.
可以证明,对于方差有下面两个重要性质：
⑴ D(a b) a2D
⑵ 若 ~ B(n, p)，则 D npq
(其中
1.已知随机变量的分布列为则E与D的值为( D)
是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差 教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大
小，从而解决实际问题 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多
媒体、实物投影仪
离散型随机变量的方差
复习引入
问题提出
方差定义
方差的两 个性质
本课小结
思考三
作业:课本 P79 A 组第 1，4 题
高考数学 第十章第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 新A
2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b . (2)D(aX＋b)＝ a2D(X) ．(a，b 为常数)
3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝ p，D(X)＝ p(1－p) ． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ np ，D(X)＝ np(1－p) ．
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多 投3次：在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分； 如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三 次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2， 该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用X表示该 同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
P(ξ＝k)＝C3k(16)k(56)3－k，k＝0,1,2,3.…………………(8 分)
所以中奖人数 ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
3
P 125 216
25 5
1
72 72 216
………………………………………………………(10 分)
Eξ＝0×122156＋1×2752＋2×752＋3×2116＝12………(12 分)
P(a<X≤b)＝ a φμ，σ(x)dx ，则称X的分布为正态
分布，记作X～N(μ，σ2) ．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝
0.；6826
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝
0.；9544
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝
0.9.974
考点一
离散型随机变量的数学期望
高考高三数学总复习教案：离散型随机变量的均值与方差
第十一章计数原理、随机变量及分布列第6课时离散型随机变量的均值与方差（对应学生用书（理）１77～１78页）考情分析考点新知离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的计算问题结合在一起进行考查，这是当前高考命题的热点，因为概率问题不仅具有很强的综合性，而且与实际生产、生活问题密切联系，能很好地考查分析、解决问题的能力．１了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义．２会求离散型随机变量的均值、方差和标准差，并能解决有关实际问题.１．（选修２３P67习题４改编）某单位有一台电话交换机，其中有8个分机．设每个分机在１h内平均占线１0min，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的数学期望为________．答案：错误!解析：每个分机占线的概率为错误!，X～B错误!，即X服从二项分布，所以期望E（X）＝8×错误!＝错误!.２．（选修２３P66例２改编）有一批数量很大的商品的次品率为１%，从中任意地连续取出２00件商品，设其中次品数为X，则E（X）＝________，V（X）＝________.答案：２１．98解析：X～B（２00, 0．0１），所以期望E（X）＝２00×0．0１＝２，V（X）＝２00×0．0１×（１—0．0１）＝１．98．３．（选修２３P7１习题４改编）某人进行射击，每次中靶的概率均为0．8，现规定：若中靶就停止射击，若没中靶，则继续射击，如果只有３发子弹，则射击数X的均值为________．（填数字）答案：１．２４解析：射击次数X的分布列为∴E（X）＝0．8×１＋0．１6×２＋0．0４×３＝１．２４．习题１改编）随机变量X的分布列如下：４．（选修２３P7１答案：错误!解析：a、b、c成等差数列，有２b＝a＋c，又a＋b＋c＝１，E（X）＝—１×a＋１×c＝c—a＝错误!.得a＝错误!，b＝错误!，c＝错误!，∴V（X）＝错误!２×错误!＋错误!２×错误!＋错误!２×错误!＝错误!.５．一高考考生咨询中心有A、B、C三条咨询热线．已知某一时刻热线A、B占线的概率均为0．５，热线C占线的概率为0．４，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ条热线占线，则随机变量ξ的期望为________．答案：１．４解析：随机变量ξ可能取的值为0、１、２、３．依题意，得P（ξ＝0）＝0．１５, P（ξ＝１）＝0．４，P（ξ＝２）＝0．３５，P（ξ＝３）＝0．１∴ξ的分布列为ξ0１２３P0．１５0．４0．３５0．１∴它的期望为E（ξ）＝0×0．１５＋１×0．４＋２×0．３５＋３×0．１＝１．４．１．均值（１）若离散型随机变量ξ的分布列为：ξx１x２…x nP p１p２…p n则称E（ξ）＝x１p１＋x２p２＋…＋x n p n为ξ的均值或数学期望，简称期望．（２）离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．（３）数学期望的性质．E（c）＝c，E（aξ＋b）＝aEξ＋b（a、b、c为常数）．２．方差（１）若离散型随机变量ξ所有可能的取值是x１，x２，…，x n且这些值的概率分别是p１，p２，…，p n，则称：V（ξ）＝（x１—E（ξ））２p１＋（x２—E（ξ））２p２＋…＋（x n—E（ξ））２p n为ξ的方差．（２）σ＝错误!，叫标准差．（３）随机变量ξ的方差反映了ξ取值的稳定性．（４）方差的性质a、b为常数，则V（aξ＋b）＝a２Vξ.３．若ξ～B（n，p），则E（ξ）＝np，V（ξ）＝np（１—p）．４．期望与方差的关系均值（期望）反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值（期望）的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的，且有关系式V（ξ）＝E（ξ２）＋（E（ξ））２.[备课札记]题型１离散型随机变量的期望例１已知离散型随机变量ξ１的概率分布为ξ１１２３４５67P错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!离散型随机变量ξ２的概率分布为ξ２３．7３．8３．9４４．１４．２４．３P错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!求这两个随机变量数学期望、方差与标准差．解：E（ξ１）＝１×错误!＋２×错误!＋…＋7×错误!＝４；V（ξ１）＝（１—４）２×错误!＋（２—４）２×错误!＋…＋（7—４）２×错误!＝４，σ１＝错误!＝２．E（ξ２）＝３．7×错误!＋３．8×错误!＋…＋４．３×错误!＝４；V（ξ２）＝0．0４，σ２＝错误!）＝0．２．错误!甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，１0的概率分别为0．２，0．6，0．２；射手乙击中环数8，9，１0的概率分别为0．４，0．２，0．４．用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平．解：Eξ１＝8×0．２＋9×0．6＋１0×0．２＝9，V（ξ１）＝（8—9）２×0．２＋（9—9）２×0．6＋（１0—9）２×0．２＝0．４；同理有E（ξ２）＝9，V（ξ２）＝0．8．由上可知，E（ξ１）＝E（ξ２），V（ξ１）<V（ξ２）．所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、１0环的次数多些．题型２离散型随机变量的方差与标准差例２某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作１0件，该厂质检部每天从每位师傅制作的１0件产品中随机抽取４件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有２件、１件次品．（１）求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；（２）若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过１天、２天分别得１分、２分，求李师傅在这两天内得分的数学期望．解：（１）设李师傅产品第一天通过检查为事件A；第二天产品通过检查为事件Ｂ．则有P（A）＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!，由事件A、B独立，∴P（AB）＝P（A）P（B）＝错误!.答：李师傅这两天产品全部通过检查的概率为错误!.（２）记得分为ξ，则ξ的可能值为0，１，２．∵P（ξ＝0）＝错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝１）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝２）＝错误!×错误!＝错误!.∴E（ξ）＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＝错误!.答：李师傅在这两天内得分的数学期望为错误!.错误!一盒中装有零件１２个，其中有9个正品，３个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，１，２，３当ξ＝0时，即第一次取得正品，试验停止，则P（ξ＝0）＝错误!＝错误!.当ξ＝１时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P（ξ＝１）＝错误!×错误!＝错误!.当ξ＝２时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P（ξ＝２）＝错误!×错误!×错误!＝错误!.当ξ＝３时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ＝３）＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!.所以，E（ξ）＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!.题型３期望、方差的性质及应用例３某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列为P（ξ＝i）＝错误!（i＝１，２，…，１２）；设每售出一台电冰箱，电器商获利３00元．如销售不出，则每台每月需花保管费１00元. 问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使月平均收益最大？解：设x为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑１≤x≤１２的情况．设电器商每月的收益为y元，则y是随机变量ξ的函数，且y＝300(),300100()()x xx x于是电器商每月获益的平均数，即为数学期望Ey＝３00x（P x＋P x＋１＋…＋P１２）＋[３00—１00（x—１）]P１＋[２×３00—１00（x—２）]P２＋…＋[（x—１）×３00—１00]P x—１＝３00x（１２—x＋１）·错误!＋错误!错误!＝错误!（—２x２＋３8x）．因为x∈N*，所以当x＝9或x＝１0时，数学期望最大．故电器商每月初购进9或１0台电冰箱时，月收益最大，最大收益为１５00元．错误!甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，且ξ、η分布列为（１）求a、b的值；（２）计算ξ、η的期望和方差，并以此分析甲、乙的技术状况．解：（１）由离散型随机变量的分布列性质可知a＋0．１＋0．6＝１，即a＝0．３，同理0．３＋b＋0．３＝１，b＝0．４．（２）E（ξ）＝１×0．３＋２×0．１＋３×0．6＝２．３，E（η）＝１×0．３＋２×0．４＋３×0．３＝２．V（ξ）＝0．8１，V（η）＝0．6．由计算结果E（ξ）>E（η），说明在一次射击中甲的平均得分比乙高，但V（ξ）>V（η），说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术都不够全面．１．（２0１３·广东）已知离散型随机变量X的分布列为X１２３P错误!错误!错误!则X的数学期望E（X）＝________．答案：错误!解析：E（X）＝１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!＝错误!.２．（２0１３·湖北理）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成１２５个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E（X）＝________．答案：错误!解析：用分布列解决这个问题，根据题意易知X＝0，１，２，３．列表如下：X0１２３ξ错误!错误!错误!错误!所以E（X）＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!＝错误!.３．（２0１３·上海理）设非零常数d是等差数列x１，x２，x３，…，x１9的公差，随机变量ξ等可能地取值x１，x２，x３，…，x１9，则方差V（ξ）＝________．答案：错误!|d|解析：Eξ＝x１0，V（ξ）＝错误!＝错误!|d|.４．（２0１３·浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得１分，取出一个黄球得２分，取出一个蓝球得３分．（１）当a＝３，b＝２，c＝１时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）２个球，记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和，求ξ分布列；（２）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）１个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E （η）＝错误!，V（η）＝错误!，求a∶b∶Ｃ．解：（１）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时ξ＝２，此时P（ξ＝２）＝错误!＝错误!；当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ＝４时，P（ξ＝４）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时ξ＝３时，P（ξ＝３）＝错误!＋错误!＝错误!；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时ξ＝５时，P（ξ＝５）＝错误!＋错误!＝错误!；当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ＝6时，P（ξ＝6）＝错误!＝错误!.所以ξ的分布列为（２）由已知得到：η有三种取值即１，２，３，所以η的分布列为所以，2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b ca b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩所以b ＝２c ，a ＝３c ，所以a∶b∶c＝３∶２∶１．１． 袋中有５只红球，３只黑球，现从袋中随机取出４只球，设取到一只红球得２分，取到一只黑球得１分，则得分ξ的数学期望Eξ＝________．答案：错误!解析：ξ可取５、6、7、8，P （ξ＝５）＝错误! （３黑１红）; P （ξ＝6）＝错误! （２黑２红）； P （ξ＝7）＝错误! （３红１黑）；P （ξ＝8）＝错误! （４红）．∴Eξ＝错误!＝6．５．２． 为防止山体滑坡，某地决定建设既美化又防护的绿化带，种植松树、柳树等植物．某人一次种植了n 株柳树，各株柳树成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活柳树的株数，数学期望E （ξ）＝３，标准差σ（ξ）为错误!.（１） 求n 、p 的值并写出ξ的分布列；（２） 若有３株或３株以上的柳树未成活，则需要补种，求需要补种柳树的概率．解：（１） 由E （ξ）＝np ＝３，（σ（ξ））２＝np （１—p ）＝错误!，得１—p ＝错误!，从而n ＝6，p ＝错误!，ξ的分布列为ξ 0 １ ２ ３ ４ ５ 6 P错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!（２） 记“需要补种柳树”为事件A,则P （A ）＝P （ξ≤３），得P （A ）＝错误!＝错误!.３．将一枚硬币抛掷6次，求正面次数与反面次数之差ξ的概率分布列，并求出ξ的期望Eξ.解：设正面的次数是η，则η服从二项分布B（6，0．５），概率分布为P（η＝k）＝C错误!0．５6，k＝0，１，…，6，且Eη＝３．而反面次数为6—η，ξ＝η—（6—η）＝２η—6．于是ξ的概率分布为P（ξ＝２k—6）＝P（η＝k）＝C错误!0．５6，k＝0，１， (6)故E（ξ）＝E（２η—6）＝２E（η）—6＝２×３—6＝0．４．（２0１３新课标Ⅰ理）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取４件作检验，这４件产品中优质品的件数记为n.如果n＝３，再从这批产品中任取４件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝４，再从这批产品中任取１件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为５0%，即取出的产品是优质品的概率都为错误!，且各件产品是否为优质品相互独立．（１）求这批产品通过检验的概率；（２）已知每件产品检验费用为１00元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．解：（１）设第一次取出的４件产品中恰有３件优质品为事件A，第一次取出的４件产品中全为优质品为事件B，第二次取出的４件产品都是优质品为事件C，第二次取出的１件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，∴P（E）＝P（A）P（B|A）＋P（C）P（D|C）＝C错误!错误!错误!×错误!×错误!错误!＋错误!错误!×错误!＝错误!.（２）X的可能取值为４00，５00，800，并且P（X＝４00）＝１—C错误!错误!错误!×错误!—错误!错误!＝错误!，P（X＝５00）＝错误!，P（X ＝800）＝C错误!错误!错误!×错误!＝错误!，∴X的分布列为X４00５00800P错误!错误!错误!EX＝４00×错误!＋５00×错误!＋800×错误!＝５06．２５．数学期望中的注意问题：（１）数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（２）E（X）是一个常数，由随机变量X的概率分布唯一确定，即随机变量X是可变的，而E（X）是不变的，它描述X取值的平均状态．（３）随机变量的方差和标准差既反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，也反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．（４）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．错误![备课札记]。
高中数学选修2.3.1-离散型随机变量的均值人教版ppt课件
aE(X)＋b
想一想
均值E(X)是一个常数还是一个变量？
提示:常数．
做一做
1.已知X的分布列为
X －1
0
1
2
P
1 4
则X的均值为__________．
3
1
1
8
4
8
解析:E(X)＝－1×14＋0×38＋1×14＋2×18＝14. 答案:14
2．两点分布与二项分布的均值
做一做
X E(X)
X～B(n,p) np
题型四 均值问题的实际应用
例4 某游戏射击场规定:①每次游戏射击5发子弹;②5发全部命中奖励 40元;命中4发不奖励,也不必付款;命中3发或3发以下,应付款2元．现有一 游客,其命中率为0.5. (1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率; (2)求该游客在一次游戏中获得资金的均值．
【解】 (1)设 5 发子弹命中 ξ(ξ＝0,1,2,3,4,5)发,ξ～B(5,0.5), 则由题意有 P(ξ＝5)＝C550.55＝312.
跟踪训练 3．某电视台开展有奖答题活动,每次要求答30个选择题,每个选择题有4 个选项,其中有且只有一个正确答案,每一题选对得5分,选错或不选得0分, 满分150分,规定满100分拿三等奖,满120分拿二等奖,满140分拿一等奖, 有一选手选对任意一题的概率是0.8,则该选手有望能拿到几等奖？ 解:选对题的个数X～B(30,0.8), 故E(X)＝30×0.8＝24, 由于24×5＝120(分), 所以该选手有望能拿到二等奖．
X －2 －1
0
1
2
P
1 4
1 3
1 5
m
1 20
(1)求E(X);
(2)若Y＝2X－3,求E(Y)．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5
的次数，则ξ～B(4， )，所以E（ξ）=4× 3＝12 .
5
3 5
5
答案：(1)1
3 4
(2)
12 5
均值与方差的实际应用
【方法点睛】 均值与方差的实际应用 (1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明 平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X 的取值越集中在E(X)附近，统计中常用 D(X) 来描述X的分散程 度.
E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9， 所以E(X)>E(Y)，故乙的技术较好. 答案：乙
2.均值与方差的性质
（1）E(aX+b)=________， aE(X)+b
a2D(X) (2)D(aX+b)=______.（a,b为常数）
(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映 了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随 机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般
先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.
【例3】(2012·宁波模拟）某突发事件，在不采取任何预防措 施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损
失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、
乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防 措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许 甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预 防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用+发生突发 事件损失的期望值）
（2）随机变量X的分布列如表，则X的数学期望是_____. X 1 2 3
P
0.2
0.5
m
【解析】由题知：0.2＋0.5＋m＝1，∴m＝0.3，
∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.
答案：2.1
（3）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件， 若X表示取到次品的个数，则E(X)＝_____. 【解析】X的取值为0,1,2,3，则
【例2】（1）某同学参加科普知识竞赛，需回答4个问题，每一 道题能否正确回答是相互独立的，且回答正确的概率是 3 ，若
4
回答错误的题数为ξ ，则E(ξ )=_____，D(ξ )=_____.
（2）罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再
放回，连续取4次，设ξ 为】 （1）设15 000件产品中有1 000件次品，有放回地从中抽取 150件进行检查，则查得次品数的数学期望为_____. （2）设ξ 是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E(ξ )＝15， D(ξ )＝ 45 ，则n的值为______,p的值为_____.
4
【解析】（1）设查得次品数为随机变量ξ，由题意得
第十一节 离散型随机变量的均值与 方差
三年22考
高考指数:★★★★
1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实 际问题.
1.离散型随机变量的均值是高考考查的重点； 2.数形结合、分类讨论是解决均值与方差问题的重要思想方 法； 3.题型以解答题为主，常与分布列等知识综合考查.
用期望公式求期望；
（3）根据“性价比”公式求两工厂的产品的性价比，“性价比”
大的产品更具可购买性.
【规范解答】（1）因为E(X1)＝6, 所以5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即6a+7b=3.2，
又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5.
由 6a 7b 3.2 ，解得
1.离散型随机变量的均值与方差 (1)离散型随机变量X的分布列
X P
x1 p1
x2 p2
„ „
xi pi
„ „
xn pn
(2)离散型随机变量X的均值与方差
均值(数学期望) 计算 公式 作 用 标 准 差
E（X） ___________________ x1p1 x 2 p2 x i pi x n pn _________
28 70 70 140 4
答案：3
4
(4)甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变
量X、Y，其分布列分别为：
X 0 1 2 3
P
Y P
0.4
0 0.3
0.3
1 0.5
0.2
0.1
2 0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是 _____.
【解析】甲、乙一天中出现废品数的均值分别为
（1）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示： X1 5 6 7 8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数学期望E（X1）=6，求a，b的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随 机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7
a b 0.5 a 0.3 b 0.2
.
（2）由已知得，样本的频率分布表如下： X2 f 3 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得 等级系数X2的概率分布列如下：
X2 P
3 0.3
4 0.2
3 2 C12 11 C12 C1 33 P(X＝0)＝ 3 ＝ ；P(X＝1)＝ 3 4 ＝ ； C16 28 C16 70
C1 C2 9 C3 P(X＝2)＝ 123 4 ＝ ；P(X＝3)＝ 34 ＝ 1 ， C16 70 C16 140
∴E(X)＝ 0 11 ＋1 33＋2 9 ＋3 1 ＝ 3 .
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另
一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ +b)=
aE(ξ )+b以及E(ξ )=np求出E(aξ +b)，同样还可求出D(aξ +b).
提醒：E(aξ+b)=aE(ξ)+b ，但注意D(aξ+b)≠aD(ξ)+b， D(aξ+b)≠aD(ξ).
定与转化，如古典概型、互斥事件的概率、相互独立事件同时 发生的概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等.
与二项分布有关的期望与方差 【方法点睛】 与二项分布有关的期望与方差的求法 (1)求随机变量ξ 的期望与方差时，可首先分析ξ 是否服从二项 分布，如果服从ξ ～B(n,p)，则用公式E(ξ )=np,D(ξ )=np(1-p) 求解，可大大减少计算量.
【解题指南】两题中的ξ都服从二项分布，故可直接套用公式 求解.
【规范解答】（1）∵回答正确的概率是 3 ，∴回答错误的概率
3 1 1 = ，故ξ～B(4， )，∴E（ξ）=4× 1 ＝1， 4 4 4 4 3 D（ξ）=4× 1 ×(1- 1 )= . 4 4 4 4
是1-
（2）因为是有放回的摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等
级系数X2的数学期望.
（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标
准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：（1）产品的“性价比”
= 产品的等级系数的数学期望；
产品的零售价
（2）“性价比”大的产品更具可购买性.
【解题指南】（1）利用期望公式和E(X1)=6以及分布列中的所有 概率和为1，联立关于a,b的方程组，解方程组求得a,b的值； （2）根据题中提供的数据，列等级系数X2的概率分布列，再利
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为 45+30=75（万元），发生突发事件的概率为 （1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为 400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）. 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取 甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.
∴X～B（3，1 ），D（X）＝3× 1 ×（1－
9 故D（Y）＝D（2X）＝4D（X）＝4× 9 ＝ .
3.两点分布与二项分布的均值、方差
均值 随机变量X服 从 两点分布 方差
p E（X）=____
p(1-p) D（X）=______
X～B(n,p)
np E(X)=____
np(1-p) D(X)=_______
ξ～B(150， 1 )，所以E(ξ)=150× 1 =10.
15 15
（2）由ξ～B(n，p)，有E(ξ)＝np＝15， D(ξ)＝np(1－p)＝ 45 ，∴p＝ 1 ，n＝60.
4
4 1 4
答案：（1）10
（2）60
离散型随机变量的均值与方差
【方法点睛】
求离散型随机变量ξ 的均值与方差的方法
（1）理解ξ 的意义，写出ξ 可能取的全部值；
（2）求ξ 取每个值的概率；
（3）写出ξ 的分布列； （4）由均值的定义求E(ξ )； （5）由方差的定义求D(ξ ).
【例1】(2011·福建高考）某产品按行业生产标准分成8个等 级，等级系数X依次为1,2，„„，8，其中X≥5为标准A， X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价 为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为 4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准
5 0.2