2.3.1《离散型随机变量的均值》课件
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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.3.1 离散型随机变量的均值
3．两点分布与二项分布的均值． (1) 如 果 随 机 变 量 X 服 从 两 点 分 布 ， 那 么 E(X) ＝ p ________( p为成功概率)． (2)如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则 E(X)＝________. np
栏 目 链 接
自 测 自 评
1．分布列为 ξ P 的期望值为( C ) A．0 B．－1 C．－ 2．设 ξ 的分布列为： 1 1 P 6 又设 η＝2ξ＋5，则 E(η)＝( 7 17 17 32 A. B. C. D. 6 6 3 3 ξ 2 1 6 3 1 3 4 1 3 －1 1 2 0 1 3 1 1 6 1 3 D. 1 2
栏 目 链 接
每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机 确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与数
学期望．
解析：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事 件数． (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则－ A 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 C2 1 4 3 － P(A)＝1－P( A )＝1－ 2＝1－ ＝ . C6 5 5 (2)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4，且 5 1 4 4 3 1 2 P(ξ＝0)＝ 2＝ ， P(ξ＝1)＝ 2＝ ， P(ξ＝2)＝ 2＝ ， P(ξ＝3)＝ 2 C6 3 C6 15 C6 5 C6 2 1 1 ＝ ，P(ξ＝4)＝ 2＝ . 15 C6 15
栏 目 链 接
(1)求 m 的值； (2)求 E(X)； (3)若 Y＝2X－3，求 E(Y)．
解析：(1)由随机变量分布列的性质，得 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋m＋ ＝1，解得 m＝ . 4 3 5 20 6
栏 目 链 接
自 测 自 评
1．分布列为 ξ P 的期望值为( C ) A．0 B．－1 C．－ 2．设 ξ 的分布列为： 1 1 P 6 又设 η＝2ξ＋5，则 E(η)＝( 7 17 17 32 A. B. C. D. 6 6 3 3 ξ 2 1 6 3 1 3 4 1 3 －1 1 2 0 1 3 1 1 6 1 3 D. 1 2
栏 目 链 接
每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机 确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与数
学期望．
解析：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事 件数． (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则－ A 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 C2 1 4 3 － P(A)＝1－P( A )＝1－ 2＝1－ ＝ . C6 5 5 (2)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4，且 5 1 4 4 3 1 2 P(ξ＝0)＝ 2＝ ， P(ξ＝1)＝ 2＝ ， P(ξ＝2)＝ 2＝ ， P(ξ＝3)＝ 2 C6 3 C6 15 C6 5 C6 2 1 1 ＝ ，P(ξ＝4)＝ 2＝ . 15 C6 15
栏 目 链 接
(1)求 m 的值； (2)求 E(X)； (3)若 Y＝2X－3，求 E(Y)．
解析：(1)由随机变量分布列的性质，得 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋m＋ ＝1，解得 m＝ . 4 3 5 20 6
2.3.1离散型随机变量的均值(第一课时)
X P
0
1
… …
m
m n m CM CN M n CN
0 n 0 1 n 1 CM CN C C M M N M n n CN CN
（3）二项分布： 一般地，在n次独立重复试验中，若事件A每次发生 的概率都是p，则称事件A发生的次数X服从二项分布.
X P
0 n
0
1
0 n
…
k
…
n
C pq
五、小结巩固
掌握离散型随机变量的均值的概念、性质及计算:
1.离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … …
则称 EX＝x1 p1＋x2 p2＋…＋xi pi＋… 为X的均值或数 学期望，数学期望又简称为期望． 它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
∴ EX=1×P(X=1)＋0×P(X=0) =1×0.7＋0×0.3 =0.7 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 EX=1×p+0× (1-p)=p 于是有 若X服从两点分布，则EX=p
3.两点分布的均值：
若X服从两点分布，则EX=p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中 得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚 2 次球的得分X的期望.
2、随机变量ξ的分布列是
.
ξ P
4 0.3
7 a
0.1 b=
9 b
10 0.2
0.4.
Eξ=7.5,则a=
练习二
1.（1）若 E(ξ)=4.5,则 E(－ξ)= -4.5 （2）E(ξ－Eξ)= 0 . .
2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0 分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次 的得分ξ的期望为 ． 这是一个两点分布随机变量的期望
原创1：2.3.1 离散型随机变量的均值(习题课)
3
7
a
7
∵E(Y)＝ ，∴－ ＋3＝ ，
3
3
3
∴a＝2.
两点分布与二项分布的均值
例4.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保
险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X
3
27
32 (21 43 +42 22 ൯
P(ξ＝2)＝
34
＝
14
,
27
P(ξ＝3)＝
3 42 2
34
4
＝
9
8
.
27
典例解析
综上知，ξ的分布列
ξ
1
2
3
P
1
27
14
27
4
9
1
14
4 65
从而有：Eξ＝1× ＋2× ＋3× ＝ .
27
27
9 27
典例解析
例2.某学校为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间(指除了完成
第二章
随机变量及其分布
§2.3.1离散型随机变量的均值(习题课)
高中数学选修2-3·精品课件
自主练习
1．若随机变量X的分布列如下表所示，已知E(X)＝1.6，则a－b＝(
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A. 0.2
B．0.1
C．－0.2
D．－0.4
)
解析：由题意知，a＋b＝0.8，
且E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6.
7
a
7
∵E(Y)＝ ，∴－ ＋3＝ ，
3
3
3
∴a＝2.
两点分布与二项分布的均值
例4.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保
险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X
3
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32 (21 43 +42 22 ൯
P(ξ＝2)＝
34
＝
14
,
27
P(ξ＝3)＝
3 42 2
34
4
＝
9
8
.
27
典例解析
综上知，ξ的分布列
ξ
1
2
3
P
1
27
14
27
4
9
1
14
4 65
从而有：Eξ＝1× ＋2× ＋3× ＝ .
27
27
9 27
典例解析
例2.某学校为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间(指除了完成
第二章
随机变量及其分布
§2.3.1离散型随机变量的均值(习题课)
高中数学选修2-3·精品课件
自主练习
1．若随机变量X的分布列如下表所示，已知E(X)＝1.6，则a－b＝(
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A. 0.2
B．0.1
C．－0.2
D．－0.4
)
解析：由题意知，a＋b＝0.8，
且E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6.
2.3离散型随机变量的均值与方差 PPT课件
（1）环数为X的可能所取的值为什么，1，2，3，4，其分布列
X
1
2
3
4
P
4
3
10
10
2 10
1 10
权数
加
X 1 4 2 3 3 2 4 1 2 10 10 10 10
权 平 均
(2)X 1111 2 2 2 3 3 4 2 10
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
解：把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
X 18 24 36
P
3
2
1
6
6
6
X 18 1 24 1 36 1 23(元 / kg)
2
3
6
例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其
中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满 分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每 题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩的均值.
②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。 ③、求出均值(期望)。
1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
从以数据你能否说明谁的射击水平高？
解 EX1 9, EX2 9
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，
显然,采取方案2的损失最小,所以可以选择方案2.
值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失” 而得出的．
一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：
新人教A版选修2-32.3离散型随机变量的均值与方差 课件三
24元 / kg
36元 / kg
? 元 / kg
它是三种糖果价格的一 种加权平均.这里 1 1 1 的权数分别是 , 和 . 2 3 6
权是秤锤,权数是起权衡轻重作用 的数
值.加权平均是指在计算若 干个数量的平 均数时, 考虑到每个数量在总量 中所具有 的重要性不同 , 分别给予不同的权数 .
思考 随机变量的均值与样本 的平均值有何联系 与区别? 可以看到 ,随机变量的均值是常数 ,而样本的平均值 是随机变量 .对于简单随机样本 ,随着样本容量增加 , 样本平均值越来越接近 于总体均值 . 思考 在实际问题中 ,如何估计随机变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的总 体均 值呢?
例1 在篮球比赛中 , 罚球命中 1次得1分,不 中得0分.如果某运动员罚球命中 率为 0.7, 那么他罚球 1次的得分X的均值是多少 ?
解 因为PX 1 0.7,PX 0 0.3,
1 0.7 0 0.3 0.7 .
所以 EX 1 PX 1 0 PX 0
根据两点分布的均值公 式,如果罚球命中率 为0.8,那么罚球 1 次的得分均值是多少 ?
一般地, 如果随机变量X服从两点分布, 那么EX 1 p 0 1 p p. 于是有
若X服从两点分布 ,则EX p.
k k 1 如果X ~ Bn, p , 则由kC nC n 1, 可得 n n n k 1 k 1 n 1 k 1 q k k n k npC n 1p EX kCnp q k 1
np C p q
k k n 1 k 0
2.3.1 离散型随机变量的均值
18元 / kg
思考 某商场要将单价分别为 18元 / kg,24元 / kg,36元 / kg的三 种糖果按 3 : 2 : 1的比例混合销 售,如何对混合糖果定价才 合理 ?
离散型随机变量的均值课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
‧‧‧
pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.即：均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征.
权数
加权平均数
观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图 (1)和(2)所示. 观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别?
分析：各方案的总损失分别为多少？没有洪水的概率又是多少？
例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案: 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施. 工地的领导该如何决策呢?
规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的公益基金额/元
1000
2000
3000
X的分布列为
X的均值为
变式:如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同?若不同，那个大?
解：
则aX+b的数学期望（或均值）为 ：
E(aX+b)＝(ax1+b)p1＋ (ax2+b)p2 ＋…＋ (axn+b)pn
pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.即：均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征.
权数
加权平均数
观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图 (1)和(2)所示. 观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别?
分析：各方案的总损失分别为多少？没有洪水的概率又是多少？
例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案: 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施. 工地的领导该如何决策呢?
规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的公益基金额/元
1000
2000
3000
X的分布列为
X的均值为
变式:如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同?若不同，那个大?
解：
则aX+b的数学期望（或均值）为 ：
E(aX+b)＝(ax1+b)p1＋ (ax2+b)p2 ＋…＋ (axn+b)pn
最新-2021高中数学选修23课件：第二章23231离散型随机变量的均值 精品
温馨提示 离散型随机变量的均值 E(X)是一个常数
值，是随机变量 X 的一个固有的数字特征，不具有随机
性．
2．离散型随机变量的性质
如果 X 为(离散型)随机变量，则 Y＝aX＋b(其中 a，b 为常数)也是(离散型)随机变量，且 P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋ b)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
解析：(1)错，随机变量 X 的数学期望是一个常量． (2)错，随机变量的均值与样本的平均值是两个不同 的概念． (3)对，E(2X)＝2E(X)＝2×3＝6. 答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知 ξ 的分布列为：
ξ －1 0 1 2
P
1 4
311 848
则 ξ 的均值为( )
A．0
B．－1
法二 由于 Y＝2X－3，
所以 Y 的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
1 4
1 3Leabharlann 1 511 6 20所以
E(Y) ＝
(
－
7)× 14
＋(－
5)×
1 3
＋
(
－ 3)× 15 ＋ ( －
1)×16＋1×210＝－6125.
归纳升华 若给出的随机变量 ξ 与 X 的关系为 ξ＝aX＋b，a，b 为常数．一般思路是先求出 E(X)，再利用公式 E(aX＋b) ＝aE(X)＋b 求 E(ξ)．也可以利用 ξ 的分布列得到 η 的分 布列，关键由 ξ 的取值计算 η 的取值，对应的概率相等， 再由定义法求得 E(η)．
防范措施：在求随机变量取各值的概率时，务必理解
各取值的实际意义，以免失误．另外，可以利用分布列的
n
性质：(1)pi≥0(i＝1，2，3，…，n)，(2) pi＝1 来检验．
值，是随机变量 X 的一个固有的数字特征，不具有随机
性．
2．离散型随机变量的性质
如果 X 为(离散型)随机变量，则 Y＝aX＋b(其中 a，b 为常数)也是(离散型)随机变量，且 P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋ b)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
解析：(1)错，随机变量 X 的数学期望是一个常量． (2)错，随机变量的均值与样本的平均值是两个不同 的概念． (3)对，E(2X)＝2E(X)＝2×3＝6. 答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知 ξ 的分布列为：
ξ －1 0 1 2
P
1 4
311 848
则 ξ 的均值为( )
A．0
B．－1
法二 由于 Y＝2X－3，
所以 Y 的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
1 4
1 3Leabharlann 1 511 6 20所以
E(Y) ＝
(
－
7)× 14
＋(－
5)×
1 3
＋
(
－ 3)× 15 ＋ ( －
1)×16＋1×210＝－6125.
归纳升华 若给出的随机变量 ξ 与 X 的关系为 ξ＝aX＋b，a，b 为常数．一般思路是先求出 E(X)，再利用公式 E(aX＋b) ＝aE(X)＋b 求 E(ξ)．也可以利用 ξ 的分布列得到 η 的分 布列，关键由 ξ 的取值计算 η 的取值，对应的概率相等， 再由定义法求得 E(η)．
防范措施：在求随机变量取各值的概率时，务必理解
各取值的实际意义，以免失误．另外，可以利用分布列的
n
性质：(1)pi≥0(i＝1，2，3，…，n)，(2) pi＝1 来检验．
高中数学选修2-3精品课件：2.3.1 离散型随机变量的均值
所以X的分布列为
X 10 20 100 －200
P
3 8
3 8
1 8
1 8
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝18. 所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P(A1A2A3)＝1－(18)3＝1－5112＝551112. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是551112.
且事件 E 与 F，E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立.
(1)记 H＝{至少有一种新产品研发成功}，则 H ＝ E F ， 于是 P( H )＝P( E )P( F )＝13×25＝125， 故所求的概率为 P(H)＝1－P( H )＝1－125＝1135.
(2) 设 企 业 可 获 利 润 为 X 万 元 ， 则 X 的 可 能 取 值 为
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.
解 X可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有 P(X＝10)＝C13×(21)1×(1－21)2＝83， P(X＝20)＝C23×(21)2×(1－21)1＝83， P(X＝100)＝C33×(12)3×(1－12)0＝18， P(X＝－200)＝C03×(21)0×(1－21)3＝81.
1234
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B 队最后所得总分分别为X，Y. (1)求X，Y的分布列； 解 X的可能取值分别为3,2,1,0. P(X＝3)＝23×25×25＝785，
P(X＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2785， P(X＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25， P(X＝0)＝13×35×35＝235； 根据题意X＋Y＝3，
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2.3.1离散型随机变量的均值
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
X
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · · · · ·Pp1 Nhomakorabeap2
pi
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
复习引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平， 很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.
P 0.3 C 0.7 0.3
3
1 3 2
C 0.7 0.3 0.7 3
2 3 2
1 E ( X ) 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C32 0.72 0.3 3 0.73
(2)
E ( X ) 2.1 3 0.7
归结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布， X 1 0 P p 1－ p 则
一、离散型随机变量取值的平均值(数学期望)
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
P
则称:
x1
x2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
p1
p2
E ( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或(数学期望)。它反映了 离散型随机变量取值的平均水平。
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？ 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列： 18 24 36 X P
3 6
2 6
1 6
1 1 1 X 18 24 36 23(元 / kg) 2 3 6
aE( X ) b
一、离散型随机变量取值的平均值(数学期望)
X
P
x1
x2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
p1
p2
E ( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、数学期望的性质
E (aX b) aEX b
p1
x2
p2
x · · · i · · · pi
x · · · n · · · pn
x2 X x1 · · · xi · · · xn Y ax1 b ax2 b · · · axi b · · ·axn b p1 p2 P · · · pi · · · pn
E (Y ) (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
三、基础训练 1、随机变量ξ的分布列是
ξ P
1 0.5
(1)则E（ξ）= (2)若η=2ξ+1，则E（η）=
2、随机变量ξ的分布列是
3 0.3 2.4 .
5 0.2 5.8 . 9 b 10 0.2 0.4 .
ξ P
4 0.3
7 a
E（ξ）=7.5,则a=
0.1 b=
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。 解： (1) X～B（3，0.7） 0 1 2 3 X
E ( X ) 1 p 0 (1 p) p
一般地，如果随机变量X服从二项分布，即 X～B（n,p），则
E ( X ) np
X
P
x1
x2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
p1
p2
E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
思考： 设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随 机变量． （1） Y的分布列是什么？ （2） E(Y)=？
P
X
x1
二、互动探索
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2， 2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列： X P
1
4 10
2
3 10
3
2 10
4
1 10
权数
加 权 平 均
4 3 2 1 X 1 2 3 4 2 10 10 10 10
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
X
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · · · · ·Pp1 Nhomakorabeap2
pi
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
复习引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平， 很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.
P 0.3 C 0.7 0.3
3
1 3 2
C 0.7 0.3 0.7 3
2 3 2
1 E ( X ) 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C32 0.72 0.3 3 0.73
(2)
E ( X ) 2.1 3 0.7
归结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布， X 1 0 P p 1－ p 则
一、离散型随机变量取值的平均值(数学期望)
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
P
则称:
x1
x2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
p1
p2
E ( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或(数学期望)。它反映了 离散型随机变量取值的平均水平。
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？ 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列： 18 24 36 X P
3 6
2 6
1 6
1 1 1 X 18 24 36 23(元 / kg) 2 3 6
aE( X ) b
一、离散型随机变量取值的平均值(数学期望)
X
P
x1
x2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
p1
p2
E ( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、数学期望的性质
E (aX b) aEX b
p1
x2
p2
x · · · i · · · pi
x · · · n · · · pn
x2 X x1 · · · xi · · · xn Y ax1 b ax2 b · · · axi b · · ·axn b p1 p2 P · · · pi · · · pn
E (Y ) (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
三、基础训练 1、随机变量ξ的分布列是
ξ P
1 0.5
(1)则E（ξ）= (2)若η=2ξ+1，则E（η）=
2、随机变量ξ的分布列是
3 0.3 2.4 .
5 0.2 5.8 . 9 b 10 0.2 0.4 .
ξ P
4 0.3
7 a
E（ξ）=7.5,则a=
0.1 b=
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。 解： (1) X～B（3，0.7） 0 1 2 3 X
E ( X ) 1 p 0 (1 p) p
一般地，如果随机变量X服从二项分布，即 X～B（n,p），则
E ( X ) np
X
P
x1
x2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
p1
p2
E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
思考： 设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随 机变量． （1） Y的分布列是什么？ （2） E(Y)=？
P
X
x1
二、互动探索
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2， 2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列： X P
1
4 10
2
3 10
3
2 10
4
1 10
权数
加 权 平 均
4 3 2 1 X 1 2 3 4 2 10 10 10 10