选修2-3教案2.3.1离散型随机变量的均值
高中数学选修2-3精品教案6：2.3.1 离散型随机变量的均值教学设计
2.3.1 离散型随机变量的均值学习目标：1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望.(重点)2.掌握二点分布、二项分布的数学期望.(重点)3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题.(难点) 知识梳理：[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的数学期望 1.定义一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概率是p 1，p 2，…，p n ，则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望).2.意义刻画了离散型随机变量的平均取值水平.1.下列说法正确的有________(填序号).①随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4； ④随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x nn.【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E (X )是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征.②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.③正确，由均值的性质可知.④错误，因为E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .【答案】 ③2.已知离散型随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E (X )＝________. 【解析】 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.【答案】 323.设E (X )＝10，则E (3X ＋5)＝________. 【解析】 E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 35教材整理2 常见几种分布的数学期望名称 二点分布 二项分布 超几何分布 公式E (X )＝pE (X )＝npE (X )＝nMN1.若随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫4，13，则E (X )的值为________. 【解析】 E (X )＝np ＝4×13＝43.【答案】 432.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X 的期望是________.【解析】 因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2，所以 E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 【答案】 0.8[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 疑难探究：[小组合作型]二点分布与二项分布的数学期望某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望.【精彩点拨】 (1)利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解. 【自主解答】 (1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：X 0 1 P0.40.6则E (X )＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)，则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.1.常见的两种分布的均值设p 为一次试验中成功的概率，则 (1)二点分布E (X )＝p ； (2)二项分布E (X )＝np .熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度. 2.二点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生. (2)不同点：①随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x ＝0,1,2，…，n .②试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n 次试验. [再练一题]1.(1)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A.100B.200C.300D.400 (2)已知某离散型随机变量X 服从的分布列如下，则随机变量X 的数学期望E (X )等于( )X 0 1 Pm 2mA.19 B.29 C.13D.23【解析】 (1)由题意可知，补种的种子数记为X ，X 服从二项分布，即X ～B (1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.(2)由题意可知m ＋2m ＝1，所以m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23.【答案】 (1)B (2)D求离散型随机变量的数学期望在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值.【精彩点拨】 (1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值.【自主解答】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数. (1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215，P (ξ＝4)＝1C 26＝115. 从而知ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1341515215115所以E (ξ)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.求离散型随机变量ξ的数学期望的步骤1.根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值.2.求出ξ的每个值的概率.3.写出ξ的分布列.4.利用定义求出数学期望.其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识. [再练一题]2.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及数学期望.【解】 X 可取的值为1,2,3，则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为X 1 2 3 P35310110E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.[探究共研型]离散型随机变量的均值实际应用探究1 某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X 可以取哪些值？X 取每个值时的概率是多少？【提示】 随机变量X 可能取值为0,1.X 取每个值的概率分别为P (X ＝0)＝0.3，P (X ＝1)＝0.7.探究2 在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】 每次平均得分为810＝0.8. 探究3 在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】 在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分).因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X 的数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X 的均值的一个分数.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X .(1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】 根据利润的意义写出ξ的取值→写出ξ的分布列 →求出数学期望E X→利用期望回答问题【自主解答】 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2.P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1，P (X ＝－2)＝4200＝0.02.故X 的分布列为：X6 21 －2P 0.630.250.10.02(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29).依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1.实际问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.2.概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望.(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论.[再练一题]3.甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环.将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图2-3-1甲和图乙所示.图2-3-1(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).【解】(1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E (X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7， 则有E (X 甲)>E (X 乙)，所以估计甲的水平更高.[构建·体系]达标检测：1.一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X 的数学期望是( )A.0.83B.0.8C.2.4D.3【解析】 E (X )＝3×0.8＝2.4. 【答案】 C2.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的均值为( )A.13B.23 C.2D.83 【解析】 X 的取值为2,3.因为P (X ＝2)＝1C 23＝13，P ＝(X ＝3)＝C 12C 23＝23.所以E (X )＝2×13＋3×23＝83.【答案】 D3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ 7 8 9 10 Px0.10.3y已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为________.【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，解得y ＝0.4. 【答案】 0.44.设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3).又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.【解析】 ∵P (X ＝1)＝a ＋b ，P (X ＝2)＝2a ＋b ，P (X ＝3)＝3a ＋b ， ∴E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3， ∴14a ＋6b ＝3.①又∵(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1， ∴6a ＋3b ＝1.②∴由①②可知a ＝12，b ＝－23，∴a ＋b ＝－16.【答案】 －165.袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X 表示取得的分数.求：(1)X 的分布列； (2)X 的均值.【解】 (1)由题意知，X 可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝C 24C 29＝16，P (X ＝1)＝C 13C 14C 29＝13，P (X ＝2)＝C 14C 12＋C 23C 29＝1136，P (X ＝3)＝C 12C 13C 29＝16， P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1613113616136(2)E (X )＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149.我还有这些不足： (1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)。
2020-2021学年数学人教A版选修2-3学案：2.3.1 离散型随机变量的均值
2．3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值[目标] 1.能记住离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值.2.能记住离散型随机变量的均值的性质，能记住两点分布、二项分布的均值.3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．[重点] 离散型随机变量的均值的概念与计算；离散型随机变量的性质以及两点分布与二项分布的均值．[难点] 离散型随机变量的性质与应用．知识点一离散型随机变量的均值[填一填]1．离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)数学期望＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n.(2)数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，(1)Y也是随机变量，(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.[答一答]1．随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系？提示：随机变量的均值与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．2．离散型随机变量的分布列反映了随机变量各个取值的概率，离散型随机变量的均值反映了随机变量的哪些内容？提示：离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平．3．离散型随机变量的取值与离散型随机变量均值的单位是否相同？提示：由定义可知离散型随机变量均值的单位与离散型随机变量的取值单位相同．知识点二两点分布、二项分布的均值[填一填]1．两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝p.2．二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.[答一答]4．若某人投篮的命中率为0.8，那么他投篮10次一定会进8个球吗？提示：某人投篮的命中率为0.8，是通过大量重复的试验来推断出来的一个均值．由于每次试验是相互独立的，投一次可能成功，也可能失败．也就是说投篮10次可能一个球也没进，也可能进了几个球，但并不一定会是8个，只是从平均意义上讲10次投篮进8个球．1．正确理解离散型随机变量的均值(1)随机变量的均值反映的是离散型随机变量取值的平均水平．由定义可知，离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位．(2)离散型随机变量的分布列全面地刻画了它的取值规律，而随机变量的均值是从一个侧面刻画随机变量的取值特点．2．离散型随机变量数学期望的性质设ξ是离散型随机变量，则其数学期望具有如下性质：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b(a，b∈R)；(2)E(ξ1＋ξ2)＝E(ξ1)＋E(ξ2)．3．求随机变量ξ的均值的一般步骤(1)写出ξ的分布列，在求ξ取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识，如分布列、古典概型、独立事件的概率等；(2)由分布列求E(ξ)；(3)如果随机变量是线性关系或服从两点分布、二项分布、超几何分布，那么根据它们的期望公式计算．类型一求离散型随机变量的均值【例1】甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．【解】(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”，则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)·P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜”， B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”． 则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18， P (X ＝2)＝P (B 1·B 3)＝P (B 1)P (B 3)＝14， P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58. E (X )＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.求随机变量X 的均值的方法和步骤：①理解随机变量X 的意义，写出X 所有可能的取值；②求出X 取每个值的概率P (X ＝k )；③写出X 的分布列；④利用均值的定义求E (X ).某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．解：(1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.ξ可能取0,1,2三个值，P(ξ＝0)＝C29C212＝611，P(ξ＝1)＝C19·C13C212＝922，P(ξ＝2)＝C23C212＝122.ξ的分布列为：ξ01 2P611922122故E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.类型二离散型随机变量的均值的性质【例2】已知随机变量ξ的分布列为ξ－10 1P 1213m若η＝aξ＋3，E(η)＝3，则a＝()A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】 先由分布列的性质求出m ，从而可求E (ξ)，利用期望的性质E (η)＝aE (ξ)＋3求出a .【解析】 由分布列的性质得12＋13＋m ＝1， ∴m ＝16.∴E (ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13.∴E (η)＝E (aξ＋3)＝aE (ξ)＋3＝－13a ＋3＝73，∴a ＝2. 【★★答案★★】 B若给出的随机变量ξ与X 的关系为ξ＝aX ＋b ，a ，b 为常数.一般思路是先求出E (X )，再利用公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 求E (ξ).(1)设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)＝( A ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15解析：∵E (ξ)＝10，∴E (3ξ＋5)＝3E (ξ)＋5＝3×10＋5＝35. (2)设ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 P16161313，又设η＝2ξ＋5，则E (η)＝323.解析：E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝16＋26＋66＋86＝176. ∴E (η)＝E (2ξ＋5)＝2E (ξ)＋5＝2×176＋5＝323. 类型三 二项分布的均值【例3】 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列． (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．【分析】 由题目可获取以下主要信息： ①该顾客共消费2 300元； ②得奖券4张，且每张中奖率为12； ③求ξ的分布列及η的数学期望．解答本题中的(1)可利用独立重复试验求解． (2)可先求出E (ξ)，进而求出E (η)．【解】 (1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此ξ～B (4，12)．∴P (ξ＝0)＝C 04(12)4＝116，P (ξ＝1)＝C 14(12)4＝14， P (ξ＝2)＝C 24(12)4＝38， P (ξ＝3)＝C 34(12)4＝14，P (ξ＝4)＝C 44(12)4＝116，其分布列为ξ 0 1 2 3 4 P116143814116(2)∵ξ～B (4，12)，∴E (ξ)＝4×12＝2. 又由题意可知η＝2 300－100ξ，∴E (η)＝E (2 300－100ξ)＝2 300－100E (ξ)＝2 300－100×2＝2 100.即所求变量η的期望为2 100元．(1)如果随机变量X 服从两点分布，则其期望值E (X )＝p (p 为成功概率).(2)如果随机变量X 服从二项分布即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程.某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次，在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知某参赛选手在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别是910和13.如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由．解：(1)设该选手在A 区投篮的进球数为X ，则X ～B (2，910)，故E (X )＝2×910＝95，则该选手在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设该选手在B 区投篮的进球数为Y ，则Y ～B (3，13)，故E (Y )＝3×13＝1，则该选手在B 区投篮得分的期望为3×1＝3.所以该选手应该选择在A 区投篮．因不理解二项分布导致错误【例4】 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．【错解】 2.4【错因分析】 二项分布的特征是事件的相互独立性，彼此之间无任何制约关系，而本例中条件“直到第一次命中为止”说明了随机变量并非服从二项分布．【正解】 X 的可能取值为3,2,1,0， P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24； P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096； P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376. 【★★答案★★】 2.376设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数，则ξ的期望值E (ξ)＝12.解析：由题意，相当于从有2个次品的12个同类型的零件中取3个，取出次品的个数可能为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 02C 310C 312＝611，P (ξ＝1)＝C 12C 210C 312＝922，P (ξ＝2)＝C 22C 110C 312＝122，则根据期望公式可知ξ的期望值E (ξ)＝12.1．随机变量ξ的分布列为ξ123P 0.2 0.5 m则ξ的数学期望是(A ．2 B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化 解析：∵0.2＋0.5＋m ＝1，∴m ＝0.3， ∴E (ξ)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.2．设随机变量X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p ＝( D ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 解析：∵E (X )＝40×p ＝16，∴p ＝0.4.3．已知ξ的分布列如下，若η＝3ξ＋2，则E (η)＝152.ξ 1 2 3 P12t13解析：∵12＋t ＋13＝1，∴t ＝16. ∴E (ξ)＝1×12＋2×16＋3×13＝116.E (η)＝E (3ξ＋2)＝3E (ξ)＋2＝3×116＋2＝152.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为代表参加演讲，若用随机变量ξ表示选出的演讲者中女生的人数，则数学期望E (ξ)＝47.(结果用最简分数表示)解析：ξ可取0,1,2，因此P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021， P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121，E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝47. 5．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为ξ，求E (ξ)． 解：记“甲解出该题”为事件A ，“乙解出该题”为事件B ，ξ可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝P (A )P (B )＝(1－23)×(1－45)＝115，P (ξ＝1)＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×(1－45)＋(1－23)×45＝25，P (ξ＝2)＝P (A )P (B )＝23×45＝815.所以，ξ的分布列为故E (ξ)＝0×115＋1×25＋2×815＝2215.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
高中数学选修2-3优质学案：2.3.1 离散型随机变量的均值
2．3 离散型随机变量的均值与方差 2．3.1 离散型随机变量的均值[学习目标] 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．[知识链接]1．某商场要将单价分别为18元/kg 、24元/kg 、36元/kg 的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？答 由于平均在每1kg 的混合糖果中，3种糖果的质量分别是12kg 、13kg 和16kg ，所以混合糖果的合理价格应该是18×12＋24×13＋36×16＝23(元/kg)．这里的23元/kg 就是混合糖果价格的均值． 2．已知随机变量ξ的分布列为则x ＝________，P (1≤ξ答 x ＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3； P (1≤ξ<3)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5. [预习导引]1．离散型随机变量的均值或数学期望 若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量型随机变量取值的平均水平． 2．离散型随机变量的性质如果X 为(离散型)随机变量，则Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)也是(离散型)随机变量，且P (X ＝x i )＝P (Y ＝ax i ＋b )，i ＝1,2,3，…，n .E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . 3．两点分布与二项分布的均值(1)如果随机变量X 服从两点分布，那么E (X )＝p (p 为成功概率)． (2)如果随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .要点一 利用定义求离散型随机变量的均值例1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X 的均值． 解 取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135，故X 的分布列如下：∴E (X )＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447(分)．规律方法 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X 的可能取值；(2)计算出P (X ＝k )；(3)写出分布列；(4)利用E (X )的计算公式计算E (X )．跟踪演练1 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布列和均值E (X )． 解 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518.(2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”， 故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363； 于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的概率分布列如下表：因此随机变量X 的均值E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.要点二 二项分布的均值例2 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列． (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×(12)1×(1－12)2＝38， P (X ＝20)＝C 23×(12)2×(1－12)1＝38， P (X ＝100)＝C 33×(12)3×(1－12)0＝18， P (X ＝－200)＝C 03×(12)0×(1－12)3＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i i P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－(18)3＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)X 的均值为E (X )＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．规律方法 将实际问题转化为独立重复试验的概率问题是解决二项分布问题的关键． 二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的； ②每次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；④随机变量X 是这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．跟踪演练2 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的均值．解 (1)依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故ξ＝2时的概率P ＝C 24(23)2(13)2＝827. (2)方法一 ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4， 依题意知：P (ξ＝k )＝C k 4(23)k (13)4－k (k ＝0,1,2,3,4)． ∴ξ的概率分布列为∴E (ξ)＝0×181＋1×881＋2×2481＋3×3281＋4×1681＝83.方法二 ∵ξ服从二项分布，即ξ～B (4，23)，∴E (ξ)＝4×23＝83.要点三 离散型随机变量均值的应用例3 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35， P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220.因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215， P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615，故所求的分布列为均值为E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋132015＝210015＝140.规律方法 解答此类题目时，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率．跟踪演练3 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求η的分布列及均值E (η)．解 (1)由题意可知每一位顾客不采用1期付款的概率为0.6，记A 的对立事件“购买该商品的3位顾客中，都不采用1期付款”为A ，则 P (A )＝0.63＝0.216， ∴P (A )＝1－P (A )＝0.784.(2)由题意可知η可以取200,250,300，分布列如下∴E (η)＝200×0.4＋250×0.4＋1．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的均值为( ) A ．0.6B ．1C ．3.5D ．2 [答案] C[解析] 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为所以，E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.2．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.64[答案] C[解析] ∵ξ～B (n,0.6)，E (ξ)＝3，∴0.6n ＝3，即n ＝5.故P (ξ＝1)＝C 15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 300·(13)k ·(23)300－k(k ＝0,1,2，…，300)，则E (X )＝________. [答案] 100[解析] 由P (X ＝k )＝C k 300·(13)k ·(23)300－k， 可知X ～B (300，13)，∴E (X )＝300×13＝100.4．A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：X ，Y . (1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )． 解 (1)X 的可能取值分别为3,2,1,0.P (X ＝3)＝23×25×25＝875，P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875，P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25，P (X ＝0)＝13×35×35＝325； 根据题意X ＋Y ＝3，所以P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875；P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325.X 的分布列为Y 的分布列为(2)E (X )＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝2215；因为X ＋Y ＝3，所以E (Y )＝3－E (X )＝2315.1．求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式求出均值．2．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．。
高中数学人教A版选修2-3教案：2.3.1+离散型随机变量的均值1
§2.3.1离散型随机变量的均值（1）教学目标：1．理解并应用数学期望来解决实际问题；2．各种分布的期望．教学过程：一、课前准备（预习教材P69~ P72，找出疑惑之处）复习1：甲箱子里装错误！未找到引用源。
个白球，错误！未找到引用源。
个黑球，乙箱子里装错误！未找到引用源。
个白球，错误！未找到引用源。
个黑球，从这两个箱子里分别摸出错误！未找到引用源。
个球，则它们都是白球的概率？，则错误！未找到引用源。
天内至少有错复习2：某企业正常用水的概率为错误！未找到引用源。
误！未找到引用源。
天用水正常的概率为．二、新课导学学习探究探究：某商场要将单价分别为错误！未找到引用源。
元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按错误！未找到引用源。
的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？新知1：均值或数学期望：若离散型随机变量错误！未找到引用源。
的分布列为：错误！未找到引用源。
．为随机变量错误！未找到引用源。
的均值或数学期望．它反映离散型随机变量取值的．新知2：离散型随机变量期望的性质：若错误！未找到引用源。
，其中错误！未找到引用源。
为常数，则错误！未找到引用源。
也是随机变量，且错误！未找到引用源。
．注意：随机变量的均值与样本的平均值的：区别：随机变量的均值是，而样本的平均值是；联系：对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值．例1在篮球比赛中，罚球命中错误！未找到引用源。
次得错误！未找到引用源。
分，不中得错误！未找到引用源。
分．如果某运动员罚球命中的概率为错误！未找到引用源。
，那么他罚球错误！未找到引用源。
次的得分错误！未找到引用源。
的均值是多少？变式：．如果罚球命中的概率为错误！未找到引用源。
，那么罚球错误！未找到引用源。
次的得分均值是多少？新知3：①若错误！未找到引用源。
服从两点分布，则错误！未找到引用源。
；②若错误！未找到引用源。
～错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
【优选整合】高中数学人教A版 选修2-3 2.3.1 离散型随机变量的均值 教案
第二章随机变量及其分布列2.3.1离散型随机变量的均值一、教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或数学期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望．过程与方法：理解公式“E(aX＋b)＝aE(X)＋b”，以及“若X～B(n，p)，则E(X)＝np”，能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或数学期望．情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：离散型随机变量的均值或数学期望的概念．难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望．三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新1．分布列：设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝x i)＝p i，则称表X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n为随机变量X的概率分布，简称X的分布列．2．分布列的两个性质：(1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；(2) i ＝1np i ＝1.教师指出：前面，我们认识了随机变量的分布列．对于离散型随机变量，确定了它的分布列，可以方便地得出随机变量的某些特定的概率，也就掌握了随机变量取值的统计规律．但在实际上，分布列的用途远不止于此，提出问题：已知某射手射击所得环数X 的分布列如下X 4 5 6 7 8 9 10 P0.020.040.060.090.280.290.22设计意图：抛砖引玉，引出课题．教师指出：在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或数学期望．提出问题：如何估计该射手n 次射击的平均环数，还需知道哪些信息？如何得到？ 学情预测：学生联系以前所学样本平均数的求法，自然想到需要估计各射击成绩的项数． 活动结果：根据射手射击所得环数X 的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有 P(X ＝4)×n ＝0.02n 次得4环；P(X ＝5)×n ＝0.04n 次得5环；………… P(X ＝10)×n ＝0.22n 次得10环． 故n 次射击的总环数大约为4×0.02×n ＋5×0.04×n ＋…＋10×0.22×n ＝(4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22)×n ， 从而，预计n 次射击的平均环数约为4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22＝8.32.这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．(二) 探究新知推而广之，对于任一射手，若已知其射击所得环数X 的分布列，即已知各个P(X ＝i)(i ＝0,1,2，…，10)，我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数：0×P(X ＝0)＋1×P(X ＝1)＋…＋10×P(X ＝10)． 接下来我们一起学习一下均值的定义1．均值(或数学期望)：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称E(X)＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为X 的均值或数学期望． ※教师补充：(1)区别ξ与Eξ.随机变量ξ是可变的，可取不同的值；均值Eξ是不变的，它是离散型随机变量的一个特征数，由ξ的分布列唯一确定，它反映了ξ取值的平均水平．(2)区别随机变量的均值与相应数值的算术平均数．均值表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义上的平均值，不同于相应数值的算术平均数．章首问题回顾：商场内的促销活动可获得经济效益2万元； 商场外的促销活动，如果不遇雨天则带来经济效益10万元， 如果遇到雨天则带来经济损失4万元．假设国庆节有雨的概率是40%，请问商场应该选择哪种促销方式较好？(商场外) 解：商场外平均效益为10×P(ξ＝10)＋(－4)×P(ξ＝－4)＝10×0.6－4×0.4＝4.4. 提出问题：离散型随机变量X 的数学期望E(X)与x 1，x 2，…，x i ，…，x n 的平均数 x ＝(x 1＋x 2＋…＋x n )×1n，有何关系？活动结果：一般地，在有限取值的离散型随机变量X 的概率分布中，若p 1＝p 2＝…＝p n ，则有p 1＝p 2＝…＝p n ＝1n ，E(X)＝(x 1＋x 2＋…＋x n )×1n，所以此时X 的数学期望就是x 1，x 2，…，x i ，…，x n 的平均数．继续探究：根据以前所学我们知道，若一组数据x i (i ＝1,2，…，n)的平均数为x ，那么另一组数据ax i＋b(a 、b 是常数且i ＝1,2，…，n)的平均数为a x ＋b.类似地，我们可以联想得到离散型随机变量X 的均值也具有类似的性质：2．均值的一个性质：若Y ＝aX ＋b(a 、b 是常数)，X 是随机变量，则Y 也是随机变量，它们的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Y ax 1＋b ax 2＋b … ax i ＋b … ax n ＋b Pp 1p 2…p i…p n于是E(Y)＝(ax 1＋b)p 1＋(ax 2＋b)p 2＋…＋(ax i ＋b)p i ＋…＋(ax n ＋b)p n＝a(x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n )＋b(p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n )＝aE(X)＋b ，由此，我们得到了期望的一个性质：E(aX ＋b)＝aE(X)＋b.运用新知（三）应用巩固例1篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的均值．解：因P(ξ＝1)＝0.7，P(ξ＝0)＝0.3，所以Eξ＝1×0.7＋0×0.3＝0.7. 活动结果：此为两点分布，可猜想当X 服从两点分布时，有E(X)＝p.继续发问：两点分布是一个特殊的二项分布，那么一般地，若X ～B(n ，p)，则E(X)＝？ 活动结果：若X ～B(n ，p)，则E(X)＝np.证明如下：设1－p ＝q.∵P(X ＝k)＝C k n p k (1－p)n －k ＝C k n p k qn －k ， ∴E(X)＝0×C 0n p 0q n ＋1×C 1n p 1q n －1＋2×C 2n p 2q n －2＋…＋k×C k n p k q n －k ＋…＋n×C n n p n q 0.又∵kC k n＝k·n ！k ！(n －k)！＝n·(n －1)！(k －1)！[(n －1)－(k －1)]！＝nC k －1n －1， ∴E(X)＝np(C 0n －1p 0q n －1＋C 1n －1p 1q n －2＋…＋C k －1n －1pk －1q (n－1)－(k －1)＋…＋C n －1n －1pn －1q 0)＝np(p ＋q)n －1＝np. 故若X ～B(n ，p)，则E(X)＝np.例2袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．(Ⅰ)求ξ的分布列，均值；(Ⅱ)若η＝aξ＋4，Eη＝1，求a 的值． 解：(Ⅰ)ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 P1212011032015ξ的均值：Eξ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝32.(Ⅱ)Eη＝aEξ＋4＝1，又Eξ＝32，则a×32＋4＝1，∴a ＝－2.例3为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(Ⅰ)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望． 解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P(A i )＝12，P(B i )＝13，P(C i )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P(A 1B 2C 3)＝6P(A 1)P(B 2)P(C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B(3，13)，且ξ＝3－η.所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C 33(13)3＝127，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C 23(13)2(23)＝29， P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C 13(13)(23)2＝49，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C 03(23)3＝827. 故ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P1272949827ξ的数学期望Eξ＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.解法2：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ， i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P(D i )＝P(A i ＋C i )＝P(A i )＋P(C i )＝12＋16＝23.所以ξ～B(3，23)，即P(ξ＝k)＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P1272949827ξ的数学期望Eξ＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.【变练演编】有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场赌博对你是否有利？解：Eξ＝16×8＋12×(－3)＋13×0＝－16.对你不利，劝君莫赌博！变式：准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样．每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红 赢得100元 5红1白 赢得50元 4红2白 赢得20元 3红3白 输100元 2红4白 赢得20元 1红5白 赢得50元 6个全白 赢得100元 这一次你动心了没有？ 略解：结果 出现的概率6个全红 0.1% 5红1白 3.9% 4红2白 24.4% 3红3白 43.2% 2红4白 24.4% 1红5白 3.9% 6个全白 0.1% （四）当堂达标1．随机地抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ 1 2 3 4 5 6 P161616161616所以Eξ＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．2．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km 时租车费为10元，若行驶路程超出4 km ，则按每超出1 km 加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η.(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为ξ15 16 17 18P 0.1 0.5 0.3 0.1求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？解：(Ⅰ)依题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2；(Ⅱ)Eξ＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.∵η＝2ξ＋2，∴Eη＝2Eξ＋2＝34.8.故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38＝2ξ＋2，得ξ＝18,5×(18－15)＝15.所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟．五、小结1．离散型随机变量的均值，反映了随机变量取值的平均水平；2．求离散型随机变量ξ的均值的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由均值的定义求出Eξ.公式E(aξ＋b)＝aEξ＋b，以及服从二项分布的随机变量的均值Eξ＝np.六、作业1.课时检测七、教学反思：本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法．通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用．教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上．。
高中数学选修2-3精品学案：2.3.1 离散型随机变量的均值
2．3.1 离散型随机变量的均值学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．知识点一离散型随机变量的均值或数学期望设有12个西瓜，其中4个重5kg,3个重6kg,5个重7kg.思考1任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？思考2X取上述值时，对应的概率分别是多少？思考3如何求每个西瓜的平均重量？梳理(1)离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝了离散型随机变量取值的__________．(2)均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，①Y也是随机变量；②E(aX＋b)＝__________.知识点二两点分布、二项分布的均值1．两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝________.2．二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝________.类型一离散型随机变量的均值命题角度1一般离散型随机变量的均值例1某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布列和均值；(2)求这名同学总得分不为负分(即X≥0)的概率．反思与感悟求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值；(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)；(3)写出X的分布列；(4)利用均值的定义求E(X)．跟踪训练1在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？命题角度2二项分布与两点分布的均值例2某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．引申探究在重复5次投篮时，命中次数为Y，随机变量η＝5Y＋2，求E(η)．反思与感悟(1)常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则①两点分布E(X)＝p；②二项分布E(X)＝np.熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度．(2)两点分布与二项分布辨析①相同点：一次试验中要么发生要么不发生．②不同点：a．随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值X ＝0,1,2，…，n.b．试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．跟踪训练2根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值．类型二超几何分布的均值例3一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是35.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的均值E (ξ)．反思与感悟 (1)超几何分布模型一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. (2)超几何分布均值的计算公式若一个随机变量X 的分布列服从超几何分布，则E (X )＝nMN.跟踪训练3 设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回，若以X 表示取出次品的个数，求均值E (X )．1．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16，12，13.随机变量X 表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X 的均值为( )A ．1.18B ．3.55C ．1.23D ．2.382．若p 为非负实数，随机变量ξ的分布列为则E (ξ)A ．1B.32C.23D ．23．设随机变量X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p 等于( ) A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.44．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列、均值；(2)若η＝aξ＋4，E (η)＝1，求a 的值．1．求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定离散型随机变量X 的取值； (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值．2．若X、Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．[答案]精析问题导学 知识点一 思考1 X ＝5,6,7.思考2 P (X ＝5)＝412＝13，P (X ＝6)＝312＝14，P (X ＝7)＝512.思考35×4＋6×3＋7×512＝5×13＋6×14＋7×512＝7312.梳理 (1)x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 平均水平 (2)aE (X )＋b 知识点二 1．p 2．np 题型探究例1 解 (1)X 的可能取值为－300，－100,100,300. P (X ＝－300)＝0.23＝0.008，P (X ＝－100)＝C 13×0.8×0.22＝0.096， P (X ＝100)＝C 23×0.82×0.21＝0.384，P (X ＝300)＝0.83＝0.512， 所以X 的概率分布列为所以E (X )＝(－300)×＝180(分)． (2)这名同学总得分不为负分的概率为P (X ≥0)＝P (X ＝100)＋P (X ＝300)＝0.384＋0.512＝0.896.跟踪训练1 解 设一张彩票的中奖额为随机变量X ，显然X 的所有可能取值为0,5,25,100.依题意，可得X 的分布列为所以E (X )＝0×391400＋5×150＋25×1500＋100×12000＝0.2，所以一张彩票的合理价格是0.2元．例2 解 (1)投篮1次，命中次数X 的分布列为则E (X )＝0.6.(2)由题意知，重复5次投篮，命中次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)， E (Y )＝np ＝5×0.6＝3. 引申探究解 E (η)＝E (5Y ＋2)＝5E (Y )＋2＝5×3＋2＝17.跟踪训练2 解 设该车主购买乙种保险的概率为p ，由题意知p ×(1－0.5)＝0.3，解得p ＝0.6.(1)设所求概率为P 1，则P 1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8. (2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2. ∴X ～B (100,0.2)，∴E (X )＝100×0.2＝20.∴X 的均值是20. 例3 解 p ＝35，∴3n ＝35，∴n ＝5，∴5个球中有2个白球． 方法一 白球的个数ξ可取0,1,2.则P (ξ＝0)＝C 33C 35＝110，P (ξ＝1)＝C 23C 12C 35＝35，P (ξ＝2)＝C 13C 22C 35＝310.∴E (ξ)＝110×0＋35×1＋310×2＝65.方法二 取到白球的个数ξ服从参数为N ＝5，M ＝2，n ＝3的超几何分布，则 E (ξ)＝nM N ＝3×25＝65.跟踪训练3 解 方法一 P (X ＝0)＝C 313C 315＝2235，P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (X ＝2)＝C 22C 113C 315＝135，则E (X )＝0×2235＋1×1235＋2×135＝25.方法二 由题意可知，X 服从N ＝15，M ＝2，n ＝3的超几何分布． ∴E (X )＝Mn N ＝2×315＝25.当堂训练 1．A 2.B 3.D 4．解 (1)ξ的分布列为ξ的均值为E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝32.(2)E (η)＝aE (ξ)＋4＝1，又E (ξ)＝32，则a ×32＋4＝1，∴a ＝－2.。
2.3.1离散型随机变量的均值教案
2．3．1离散型随机变量的均值教学目标： 知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望． 过程与方法：理解公式“E （aX+b ）=a E(X)+b ”，以及“若X ~B （n,p ），则E(X)=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 授课类型：新授课 教 具：小黑板 教学过程： 一、复习引入：离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率是P ，则在这n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数 二、讲解新课：1.问题情境前面我们学习了离散型根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数X 的分布列如下X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数X 的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010 +⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数X 的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量X 的概率分布为X x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为X 的均值或数学期望，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量X 的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以X 的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，X 是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为Xx 1 x 2 … x n … ηb ax +1 b ax +2… b ax n +… Pp 1p 2…p n…于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(…＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)( 5.若X B （n,p ），则EX=np证明如下：∵ k n k k n kn kkn q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴ =ξE 0×nn q p C 0＋1×111-n n qp C ＋2×222-n n qp C ＋…＋k ×kn k k n qp C -＋…＋n ×q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴ =ξE (np 001n n C pq --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(． 故 若X ～B (n ，p )，则=ξE np ．三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ， 所以7.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水． 方案3：不采取措施，希望不发生洪水． 试比较哪一种方案好．解：用X 1 、X 2和X 3分别表示三种方案的损失．采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X 1 = 3 800 .采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即⎧⎨⎩262000，有大洪水；X =2000,无大洪水. 同样，采用第 3 种方案，有⎧⎪⎨⎪⎩360000，有大洪水；X =10000,有小洪水；0,无洪水.于是，EX 1＝3 800 ,EX 2＝62 000×P (X 2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X 2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,EX 3 = 60000×P (X 3 = 60000) + 10 000×P(X 3 =10 000 ) + 0×P (X 3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 . 值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1ξ≤≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前1-k 次取出正品而第k 次（k =1，2，…，10）取出次品的概率：15.085.0)(1⨯==-k k P ξ（k =1，2， (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：985.0)10(==ξP 由此可得ξ的概率分布如下：ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P0.150.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316根据以上的概率分布，可得ξ的期望35.52316.0101275.0215.01=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X 的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数X 的概率分布为X 1 2 3 4 5 6P6161 61 61 61 61 所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数X 的数学期望，就是X 的所有可能取值的平均值．例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程X 是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程X 的关系式； (Ⅱ)若随机变量X 的分布列为X 15 16 17 18 P0.10.50.30.1求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得 η=2(X -4)十10，即 η=2X +2；(Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯ ∵ η=2X +2∴ =ηE 2EX +2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2X +2，得X =18，5⨯(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（ ）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75 答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分X 的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分X 的数学期望．解：⑴因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以=ξE 1×)1(=ξP ＋0×7.0)0(==ξP⑵η的概率分布为η0 1 2P23.0 3.07.012⨯⨯C 27.0所以 =ξE 0×09.0＋1×42.0＋2×98.0＝1.4． ⑶X 的概率分布为X ０ １ 2 3P33.02133.07.0⨯⨯C 3.07.0223⨯⨯C37.0所以 =ξE 0×027.0＋1×189.0＋2×98.0＝2.1.3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为X ，求X 的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m1，事件“X =k ”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算方法可求出P (X =k ),进而可求EX .解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=m1． ∴ P (X =k )=P n (k )=C knm 1)k (1－m1)n －k（k =0,1,2,….,n ）． ∴ X ～B (n ,m 1)，故 EX =n ×m 1=mn五、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量X 的期望的基本步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX 公式E （aX+b ）= aEX+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望EX=np六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A 组1,2,31.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答）解：令取取黄球个数ξ (=0、1、2)则ξ的要布列为ξ 012p103 53101 于是 E （ξ）=0×103+1×53+2×101=0.8故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数 ①求ξ的概率分布列 ②求ξ的数学期望解：①依题意ξ的取值为0、1、2、3、4ξ=0时，取2黑 p(ξ=0)=612924=C Cξ=1时，取1黑1白 p(ξ=1)=31291314=⋅C C C ξ=2时，取2白或1红1黑p(ξ=2)= 2923C C +3611291412=⋅C C C ξ=3时，取1白1红，概率p(ξ=3)= 61291213=⋅C C C ξ=4时，取2红，概率p(ξ=4)= 3612922=C C∴ξ分布列为（2）期望E ξ=0×61+1×31+2×3611+3×61+4×361=914 3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p 1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望 解：设ξ表示产生故障的仪器数，A i 表示第i 台仪器出现故障（i=1、2、3）i A 表示第i 台仪器不出现故障，则：p(ξ=1)=p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·3A )+ p(1A ·2A ·A 3) =p 1(1－p 2) (1－p 3)+ p 2(1－p 1) (1－p 3)+ p 3(1－p 1) (1－p 2) = p 1+ p 2+p 3－2p 1p 2－2p 2p 3－2p 3p 1+3p 1p 2p 3p(ξ=2)=p(A 1· A 2·A )+ p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·A 3) = p 1p 2 (1－p 3)+ p 1p 3(1－p 2)+ p 2p 3(1－p 1) = p 1p 2+ p 1p 3+ p 2p 3－3p 1p 2p 3 p(ξ=3)=p(A 1· A 2·A 3)= p 1p 2p 3∴ξE =1×p(ξ=1)+2×p(ξ=2)+3×p(ξ=3)= p 1+p 2+p 3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.2ξ 0 1 2 3 4p61 31 3611 61 361解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为ξ12P1.02522=C C 6.0251213=⋅C C C 3.02523=C C 2.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=∴ξE5. A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是321,,A A A ，B 队队员是321,,B B B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员 A 队队员胜的概率B 队队员胜的概率A 1对B 1 32 31 A 2对B 2 52 53 A 3对B 352 53 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得分分别为ξ，η （1）求ξ，η的概率分布； （2）求ξE ，ηE 解：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0()()()()2535353310,525253315352315353321,75285253325252315352322,2785252323=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξξξP P P P 根据题意知3=+ηξ，所以 ()()()()()()()()25303,5212,752821,75830================ξηξηξηξηP P P P P P P P （Ⅱ）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ； 因为3=+ηξ,所以15233=-=ξηE E七、板书设计（略）八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量X的期望的基本步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX公式E（aX+b）= aEX+b，以及服从二项分布的随机变量的期望EX=np 。
高中数学 2.3.1离散型随机变量的均值导学案 新人教a版选修2-3
课题：§2．3．1离散型随机变量的均值【三维目标】：知识与技能：1．记住并理解离散型随机变量的期望的概念。
2．能熟练应用概念解决问题。
3．理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξ B （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
过程与方法：通过具体例子，理解离散型随机变量的期望的概念。
同时理解离散型随机变量的期望与样本平均值的关系。
通过应用概念解决实际问题，提高分析问题、解决问题的能力； 情感态度与价值观：通过学习，体会数学在解决实际问题中的作用。
【重 点】：1离散型随机变量的均值或期望的概念2几种典型的离散型随机变量的分布列及均值或期望的求法【难 点】：将实际问题转化为求离散型随机变量的分布列及均值或期望的问题 【学法指导】：认真阅读教材，结合实例理解概念和应用，并注意解题步骤。
【知识链接】：1. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若ξ是离散型随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是离散型随机变量 2. . 离散型随机变量分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列3. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P 1+P 2+…=1。
4.恒等式：11--=k n knCkCn【学习过程】引入：对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。
但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
一、对随机变量ξ的均值的理解问题1：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？问题2：某商场要将单价分别为18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？问题3：结合问题1、2，记住并理解随机变量ξ的均值或数学期望的概念: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．注： 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平问题4：在初中，我们学过n 个数据的平均数为+1(x +2x …nx n 1)⨯+，你能解释一下它与“随机变量ξ的均值”之间的关系吗？问题2：离散型随机变量的期望与样本平均值的关系：问题5：设Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量．（1） Y 的分布列是什么？（2）试推导 EY基础训练：1、随机变量ξ的分布列是(1)则E ξ= .(2)若η=2ξ+1，则E η= . 2、随机变量ξ的分布列是E ξ=7.5,则a= b= . 二、典例分析：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，aEX b =+求他罚球一次得分ξ的期望小结： 一般地，如果随机变量X 服从两点分布：则:例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X 的分布列； （2）求X 的期望。
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§2.3.1 离散型随机变量的均值
教学目标
（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义； （2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题． 教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义． 教学过程 一．问题情境 1．情景：
前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不
合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．
2．问题：
如何比较甲、乙两个工人的技术？ 二．学生活动
1． 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率
比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论． 2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ 3． 引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法． 三．建构数学 1．定义
在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值．
其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ． 2．性质
（1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）
四．数学运用 1．例题：
例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望．
分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品，随机变量X 为5个球中的红球的
个数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ．
从而
2584807585503800700425
()012345 1.66672375123751237512375123751237513
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667．
说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0
()r n r n
M N M
n
r N r C C M E X n C N --===∑ ． 例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品
率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望
()E X ．
解：由于批量较大，可以认为随机变量~(10,0.05)X B ，
1010()(1),0,1,2, (10)
k k k P X k p C p p k -===-=
故10
()0.5k
k E X kp
==
=∑
即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件．
说明：例2中随机变量X 服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当
~(,)X B n p 时，()E X np =．
例3．设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B 在每场比赛中获胜的概率都是
1
2
，试求需要比赛场数的期望． 分析：先由题意求出分布列，然后求期望 解：（1）事件“4X =”表示，A 胜4场或B 胜4场（即B 负4场或A 负4场），且两两互斥．
4400
044411112(4)()()()()222216
P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=；
（2）事件“5X =”表示，A 在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A 负且4场中A 负了3场），且这两者又是互斥的，所
以
33431141441111114(5)()()()()22222216
P X C C --==+=
（3）类似地，事件“6X =”、 “7X =”的概率分别为
33532252551111115
(6)()()()()22222216P X C C --==+=，
33633363661111115
(7)()()()()22222216
P X C C --==+=
故比赛的期望为()4567 5.812516161616
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（场）
这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．
2．练习：
据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案： 方案1：运走设备，此时需花费3800元；
方案2：建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；
方案：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失1000元．
试选择适当的标准，对3种方案进行比较．
五．回顾小结：
1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；
2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；
3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法．。