最新高考数学总复习-6-3-等比数列但因为测试-新人教B版

2013年高考数学总复习 6-3 等比数列但因为测试 新人教B 版1.(2011·北京朝阳一模)已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和，若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 5的值是( )A.692B ．69C ．93D ．189[答案] C[解析] 由a 2a 4＝a 23＝144得a 3＝12(a 3＝－12舍去)，又a 1＝3，各项均为正数，则q ＝2. 所以S 5＝a 1－q 51－q＝－1－2＝93.2．(2011·潍坊一中期末、湖南湘西联考)各项都是正数的等比数列{a n }的公比q≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－12[答案] B[解析] ∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1， ∴q 2－q －1＝0，∵q>0，∴q ＝5－12. ∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q＝5＋12.3．(文)(2011·青岛一模)在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则数列{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192[答案] B[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，根据题意及等比数列的性质可知：a 5a 2＝27＝q 3，所以q ＝3，所以a 1＝a 2q ＝3，所以S 4＝－341－3＝120.(理)(2011·吉林长春模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.8532B.3116C.158D.852[答案] B[解析] ∵9S 3＝S 6，∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6， ∴8＝q 3，∴q ＝2， ∴a n ＝2n －1，∴1a n ＝(12)n －1，∴{1a n }的前5项和为1－1251－12＝3116，故选B. 4．(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1、S 3、S 2成等差数列，则{a n }的公比等于( )A.1B.12C.－12D.1＋52[答案] C[解析] 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ， 得q ＝－12，故选C.5．(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n ＋1－13B.2n ＋1－23C.22n －13D.22n －23[答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1.∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为1－22n 1－22＝22n －13，故选C.(理)(2011·泉州市质检)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．16[答案] D [解析]a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1， 即a 1·1－q 41－q ＝1，∴a 1＝q －1，又S n ＝15，即a 1－q n1－q＝15，∴q n ＝16，又∵q 4＝2，∴n ＝16.故选D.6．(2011·安徽皖南八校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q 等于( )A ．－43B ．－32C ．－23或－ 32D ．－34或－43[答案] C[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q ＝－32或－23.7．已知f(x)是一次函数，若f(3)＝5，且f(1)、f(2)、f(5)成等比数列，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)的值是________．[答案] 10000[解析] 设f(x)＝kx ＋b ，f(3)＝3k ＋b ＝5，由f(1)、f(2)、f(5)成等比数列得(2k ＋b)2＝(k ＋b)·(5k ＋b)，可得k ＝2，b ＝－1.∴f (n)＝2n －1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝100×1＋100×992×2＝10000.8．(文)(2010·安徽皖西四校联考)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n ＝________.[答案] n ＋1[解析] 设等差数列首项a 1，公差d ，则∵a 1、a 3、a 7成等比，∴a 23＝a 1a 7，∴(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋6d)，∴a 1＝2d ，又S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35，∴d ＝1，∴a 1＝2，∴a n ＝n ＋1.(理)(2010·浙江金华)如果一个n 位的非零整数a 1a 2…a n 的各个数位上的数字a 1，a 2，…，a n 或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a 1a 2…a n 为n 位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案] 27[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．9．(2011·锦州模拟)在等比数列{a n }中，若公比q>1，且a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.[答案] 23[解析] ∵a 2a 8＝6，∴a 4a 6＝6，又∵a 4＋a 6＝5，且q>1，∴a 4＝2，a 6＝3， ∴a 5a 7＝a 4a 6＝23. 10．(文)(2011·大纲全国文，17)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .[解析] 设{a n }的公比为q ，由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝66a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝3(1)当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝a 1·q n －1＝3×2n －1S n ＝a 1－q n1－q ＝－2n1－2＝3×(2n －1)(2)当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝a 1·q n －1＝2×3n －1 S n ＝a 1－q n1－q＝－3n1－3＝3n －1.综上，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n －1)或a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1.(理)(2011·山东临沂一模)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＝32(1a 3＋1a 4)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，由已知得a 1＋a 1q ＝2(1a 1＋1a 1q )，a 1q 2＋a 1q 3＝32(1a 1q 2＋1a 1q3)．化简得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋＝＋，a 21q5＋＝＋，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32. 又∵a 1>0，q>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n ＝4n －1＋(n －1)， ∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n －1)＝4n －14－1＋－2＝4n －13＋－2.11.(文)(2011·辽宁六校模考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n[答案] D[解析] 数列{a n }为等比数列，由8a 2＋a 5＝0，知8a 2＋a 2q 3＝0，因为a 2≠0，所以q ＝－2，a 5a 3＝q 2＝4；S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113；a n ＋1a n ＝q ＝－2；S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q n，其值与n 有关，故选D. (理)(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为( )A.5－12 B.12 C.5－14D.5＋14[答案] A[解析] 设三内角A<B<C ， ∵sinA 、sinB 、sinC 成等比数列， ∴a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴c 2－a 2＝ac ，∴⎝⎛⎭⎫a c 2＋ac －1＝0.∵a c >0，∴ac ＝5－12＝sinA ，故选A. [点评] 在△ABC 中，由正弦定理a ＝2RsinA 、b ＝2RsinB 可知，a<b ⇔A<B ⇔sinA<sinB. 12．(文)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∵a n >0，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.(理)已知等比数列{a n }的公比q>0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( ) A ．S 4a 5<S 5a 4 B ．S 4a 5>S 5a 4 C ．S 4a 5＝S 5a 4 D ．不确定[答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0.(2)当q≠1且q>0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q 31－q (q －1)＝－a 21q 3<0.[点评] 作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：已知等比数列{a n }中，a 1>0，q>0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小．[解析] 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5；当q>0且q≠1时， S 3a 3－S 5a 5＝a 1－q 3a 1q 2－－a 1－q 5a 1q 4－＝q 2－q 3－－q 5q 4－＝－q －1q 4<0，所以有S 3a 3<S 5a 5.综上可知有S 3a 3<S 5a 5.13．(文)(2011·长春模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 3na 2n ＋1，且{b n }的前n 项和为T n ，若对一切正整数n 都有S n >T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围是( )A ．0<q<1B ．q>1C ．q> 2D ．1<q< 2[答案] B[解析] 由于{a n }是等比数列，公比为q ，所以b n ＝a 3na 2n ＋1＝1q 2a n ，于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝1q 2(a 1＋a 2＋…＋a n )，即T n ＝1q 2·S n .又S n >T n ，且T n >0，所以q 2＝S nT n >1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立，所以q>0，因此公比q 的取值范围是q>1.(理)(2011·榆林模拟)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，n 的值等于( ) A ．8 B ．9 C ．8或9 D ．17[答案] C[解析] ∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，又a n >0，∴a 3＋a 5＝5， 又q ∈(0,1)，∴a 3>a 5， ∵a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n ，b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝－2，∴S n n ＝9－n 2，∴当n≤8时，S n n >0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n>9时，S nn <0，∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S nn最大．14．(2011·新课标全国文，17)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n) ＝－＋2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－＋2.15．(文)(2011·山东淄博一模)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝lna 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设数列{a n }的公比为q(q>1)， 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，1＋＋3＋2＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1－6a 2＋a 3＝－7，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q ＋q 2＝7，a 1－6q ＋q 2＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝lna 3n ＋1＝ln23n ＝3nln2， 又b n ＋1－b n ＝3ln2，∴{b n }是以b 1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋b n2＝＋2＝＋2即T n ＝＋2ln2.(理)(2011·安庆模拟)已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3….(1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项．[解析] (1)由已知得2a n ＋1＝a n ＋n ，又a 1＝12，∴a 2＝34，b 1＝a 2－a 1－1＝34－12－1＝－34，又∵b n ＝a n ＋1－a n －1，∴b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1－1a n ＋1－a n －1 ＝a n ＋1＋＋2－a n ＋n2－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－a n －12a n ＋1－a n －1＝12. ∴{b n }是以－34为首项，以12为公比的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝－34×(12)n －1＝－3×(12)n ＋1∴a n ＋1－a n ＝1－3×(12)n ＋1，∴a 2－a 1＝1－3×(12)2a 3－a 2＝1－3×(12)3……a n －a n －1＝1－3×(12)n各式相加得a n ＝n －1－3×[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]＋12＝n －12－3×14×[1－12n －1]1－12＝32n ＋n －2.1．(2010·常德市检测)已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n －1 B.13(4n －1) C.43(4n －1) D ．(2n －1)2[答案] B[解析] n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 1＝S 1＝21－1＝1也满足，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．设b n ＝a 2n ，则b n ＝(2n －1)2＝4n －1， ∴数列{b n }是首项b 1＝1，公比为4的等比数列，故{b n }的前n 项和T n ＝n－4－1＝13(4n－1)． 2．(2010·宁波市模拟)等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 由题意知，85q ＝170，∴q ＝2， ∴85＋170＝1×2n －12－1，∴n ＝8.3．(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 由题意可知，a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.4．已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则a x ＋c y ＝________.[答案] 2[解析] 由条件知x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋c 2，c ＝bq ，a ＝bq ，∴a x ＋c y ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝2b q b q ＋b ＋2bqb ＋bq＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 5．已知{a n }是首项为a 1、公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，求出a 1的值；若不是，请说明理由．[解析] (1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 1－q 21－q ，S 4＝a 1－q 41－q，∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，又q>0，∴q ＝12. (2)∵S n ＝a 11－q n 1－q ＝2a 1－a 1⎝⎛⎭⎫12n －1， 于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝⎛⎭⎫12n －1，若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0， ∴a 1＝－14.此时，b n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1. ∵b n ＋1b n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＋2⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列． 所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列． 6．(2010·福建龙岩一模)已知数列{a n }和{b n }，数列{a n }的前n 项和记为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式．∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n＝2n，a n b n＝(－2n＋5)2n.T n＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n＋5)×2n，2T n＝3×22＋1×23＋…＋(－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n＋1，两式相减可得T n＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)×2n＋1＝23－2n－11－2＋(－2n＋5)×2n＋1－6＝(7－2n)×2n＋1－14.。