高考数学模拟试卷(7)课案
江苏省苏州市部分学校2025届新高三暑期调研考试暨高考模拟考试数学试题
江苏省苏州市部分学校2025届新高三暑期调研考试暨高考模拟考试数学试题一、单选题1．20240128︒所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．过原点的圆的圆心为()sin3,cos3-，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（ ） A ．3B ．π3-C ．3π62- D ．6π2- 3．已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 可能为（ ）A ．()42cos cos xf x x x =+B ．()4cos x xe ef x x x-+=+C ．()()62423cos x x f x x x-=-+D ．()62622cos x x f x x x-=-+4．已知正四棱锥S ABCD -的8条棱长均相等，O 为顶点S 在底面的射影，则（ ）A ．侧棱SA 与底面ABCD 所成角的大小为π3B ．设M ，N 为正方形ABCD 边上的两点，则二面角S MN O --的值大于π4C ．侧面SAB 与底面ABCD 所成角的大小为π4D ．设P 为正方形ABCD 上的点，则直线SP 与底面所成角的最大值为π45．命题0:p x 为3310x x --=的根，命题:q 若02cos x θ=，则1cos32θ=，则命题p 为命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在实际生活中，我们会用铁片焊接到钢管上以保证管道正常使用．更极端地，我们可以用有限个铁片焊接到钢管上绕整个钢管侧面一周，其类似下面的数学概念．称3X ⊂R 为紧致的，如果对任意满足i i IX A ∈⊂⋃的开集族()3i A i I ⊂∈R ，都存在有限的J I ⊂，使得j j JX A ∈⊂⋃．称一个集合3A ⊂R 为开集，如果对其中任意一个点P ，都存在一个0δ>，使得以P 为球心，δ为半径的球的内部包含于A ．则以下集合中，紧致的集合的个数为（ ）①(){},,,,x y z x y z ∈R ，②(){}222,,,,,1x y z x y z x y z ∈++<R ，③(){},,0,,1x y z x y z ≤<.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．奇函数()f x 于R 上连续，满足当0x ≠时，()()()()()()()272f x f x f x f x f x ''''+=，且()1632f =，若对任意使得直线()210x a y +-+=，220bx y +-=垂直的正数,a b ，都有：()()33118f x a b ≤+，则x 的最大可能值为（ ）A B C ．439441⎛⎫+ ⎝⎭D ．439441⎛⎫- ⎝⎭8．考虑从1到2024的所有正整数．我们作一个20242024⨯的数表T ，使得若i 为j 的倍数，则在(),i j 位置填入1，否则填为0，则据数表中的数之和最接近的数为（ ）（已知ln 20247.613≈）A ．13000B ．14000C ．15000D ．16000二、多选题9．1843年，Hamilton 在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Broughant Bridge ．对四元数i j k u a b c d =+++，,,,a b c d ∈R 的单位,,i j k ，其运算满足：222i j k 1===-，ij k =，jk i =，ki j =，ji k =-，kj i =-，ik j =-；记i j k u a b c d =---，()2222N u uu a b c d ==+++，u =11u u-=，记所有四元数构成的集合为V ，则以下说法中正确的有（ ）A ．集合{}1,i,j,k 的元素按乘法得到一个八元集合B ．若非零元,u v V ∈，则有：11u vu v --=C ．若,u v V ∈，则有：()()()N uv N u N v =D ．若非零元u V ∈，则有：12u u u -=三、单选题 10．考虑函数()1cos f x x=，记函数()()[]()m f mx g x f mx =，其中[]x 为x 的整数部分，定义(),,N m n y 为()m g x 在[)1,n n -上满足()1m g x y -=的根的个数，则以下说法正确的有（ ）A ．()m g x 的值域为(),-∞+∞B ．()511,,06i N i ==∑C ．()m g x 为周期函数当且仅当πm为有理数 D ．()e,,30N n ≠对0,1,...,99n =成立四、多选题11．在现实的经济生活中，投资者在面对不确定性时往往表现出风险厌恶的特征．当投资者的财富发生变化时，其用于投资风险资产的绝对量和相对量都将会发生变化．假设一名风险厌恶的投资者的效用函数()U W （W X ∈，X 为一连续区间）是可导且其导函数也可导的．若函数()()()()U W A W U W ''=-'在X 上单调递减，则称该投资者是递减绝对风险厌恶的；若函数()()()()W U W R W U W ''=-'在X 上单调递减，则称该投资者是递减相对风险厌恶的．则以下哪些效用函数对应的投资者是递减绝对风险厌恶的，但不是递减相对风险厌恶的？（ ）A ．()()()280,4U W W W W =-∈B ．()()()()2log 10,3U W W W =+∈C ．()())0,2U W W ∈D ．()()()232480,1U W W W W W =--∈五、填空题12．已知某工厂有三条流水线用于生产某产品，三条流水线的产量之比为2：1：2，根据抽样，有：则流水线2的均值为，流水线3的标准差为．13．数列{}n a 满足21n n n a pa qa ++=+，其中*,p q ∈N ，00a =，11a =．当1p =，2q =时，该数列的通项公式为，若该数列满足对任意的正整数,m n ，都有：()()gcd ,gcd ,m n m n a a a =，当2024p q +=时，符合条件的正整数对(),p q 的个数为．其中()gcd ,m n 为,m n 的最大公因数．14．已知抛物线()21:20C y px p =>的焦点为F ，满足若过点()1,1P -的直线交1C 于,U V ，则有UF VF UPVP=．在1C 上有三点构成等边三角形，其中心的轨迹记为2C ，则2C 的轨迹方程为，试给出一圆Γ，使得对2C 上任意一点T ，过点T 作Γ的两条切线分别交2C 于不同于T 的点,A B ，则AB 必为Γ的切线：．六、解答题15．双曲线()22122:1,0x y C a b a b -=>，12,F F 为两焦点，12,A A 为1C 的顶点，D 为1C 上不同于12,A A 的一点．(1)证明：12F DF ∠，12DF F ∠的角平分线的交点的轨迹为一对平行直线的一部分，并求出这对平行线的方程；(2)若平面上仅有1C 的曲线，没有坐标轴和坐标原点，请给出确定1C 的两个焦点的位置的方法并给出作长为,a b 的线段的方法．（叙述即可）16．在高中课本中，我们研究导数是在实数上研究的．实际上，求导（微分）是一个局部性质．那么我们能不能在某些范围内推广导数这一种局部性质．我们在高中课本中讲到：若()f x 在0x 附近连续，且若()()000limx xf x f x x x →--存在，则()()()0000lim x xf x f x f x x x →-'=-为0x 点处的导数．我们能不能将概念推广到复数域上呢？显然，我们是可以做到的．此时考虑函数()f z ，若()f z 在0z 附近连续（实际上可以考虑一个非常非常小的圆），且若()()000lim zzf z f z z z →--存在，则()()()0000lim z zf z f z f z z z →-'=-为0z 点处的导数．(1)按此定义，验证导数的除法公式()()()()()()()()2f z f z g z f z g z g z g z '⎛⎫''-=⎪ ⎪⎝⎭在复函数求导下仍然成立．(2)更一般地，若在某个区域D 上()f z 均可导，我们称()f z 为D 上解析的函数．考虑复函数()1z az cazτ-=-，其中a 为一个模长小于1的复数，c 为一个模长为1的复数．证明： ①该复函数将{}:1z z =∈<D C 上的点映为D 上的点，且将{}:1z z ∂=∈=D C 上的点映为∂D 上的点．②()z τ为D 上的解析函数．(3)已知：（ⅰ）若函数()f z 为D 上的解析函数，且值域在D 中，满足()()000f f '==，则有：()02f ''≤．（ⅱ）若函数()f z ，()g z 分别为D ，()(){}f D f z z D =∈上的解析函数，则()()g f z 为D 上的解析函数．此时若()f z 为D 上的解析函数，且值域在D 中，满足11022f f ⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明：13229f ⎛⎫''≤ ⎪⎝⎭．17．将全体定义在R 上的函数的集合记为()F R ．对k ∈R ，(),a b F ∈R ，定义()F R 上的函数之间的加法和数乘运算：()()()()a b x a x b x +=+，()()()ka x k a x =⋅．已知():I F →R R为一个满足线性关系的映射，即()()()I a b I a I b +=+，()()I ka k I a =⋅，这里k ∈R ，(),a b F ∈R ，且满足对任意整数n ，有()cos 0I nx =，数列2sin sin 54cos n x nx a I x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，cos 54cos n nx b I x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，其中1n ≥．(1)求{}n a ，{}n b 的递推公式；（不需要提供初值，递推公式可以由n a ，n b 组成）(2)若{}n a满足1sin b =1π0,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且{}n a 为单调递减的正项数列：①求{}n a ，{}n b 的通项公式；②记tan n n n c a b =，记n S 为n c 的前n 项和，证明：4n n n c S 为定值，并求出该定值．18．在ABC V 中，:AB AC =ABC V 的外接圆圆心为O ，内切圆I e 的圆心为I ，垂心为H ，V 为OH 的中点，A 在BC 上的投影为D ，以DV 为半径作V ⊙． (1)证明：V ⊙，I e 相切；(2)记V ⊙，I e 的切点为F ，直线AF 交BC 于点E ，G 为线段BC 上一点，满足3BE BG CE CG ⋅=⋅，证明：直线OI 和AG 的交点在BOC V 的外接圆上．19．设S 为空间直角坐标系E 中的一个非空闭凸集，即S ≠∅，且若,x y S ∈，则对任意[]0,1k ∈有()1kx k y S +-∈，且对任意的E y S ∈ð，都存在0ε>，使得{}E x E y x S ε∈-<⊆ð，这里a 为线段a 的长度．称T ⊂R 的下确界或最大下界为inf T ，定义为小于等于在T 中的所有数的最大实数，如果不存在这样的实数，则记为-∞．已知若D 为闭集，则E D ð为开集.(1)设点()0,1,0w ，(){}3,,00S x y xy =≤≤≤，证明：S 为非空闭凸集，并求inf x Sw x ∈-． (2)证明：对任意E y S ∈ð，存在唯一的一个x S ∈，使得inf x Sy x y x ∈-=-； (3)证明：对任意E y S ∈ð，存在非零向量p 以及实数0c >，使得对任意x S ∈，都有：p y p x c ⋅≥⋅+．。
河北省“五个一”名校2024年高考数学押题试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，为了测量A、B两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45︒的方向上，B在C的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得B在E的北偏西30的方向上，再开回C处，由C向西开26百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5︒的方向上，则A、B两座岛屿间的距离为（）A．3 B．32C．4 D．422．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤000 0震001 1坎010 2兑011 3依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18 B．17 C．16 D．153．已知命题p:直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q:直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（非q）C．（非p）∧q D．p∧（非q）4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B C ．D7．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =A ．{|34}x x <<B ．{|4x x <或6}x >C ．{|21}x x -<<-D ．{|14}x x -<<8．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )A ．3B ．3-C ．3±D ．139．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( )A ．409B ．40C ．16D ．16310．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直11．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC 的面积为（ ） A ．2534B ．1534C ．154D ．353412．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28B ．14C ．7D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学一轮复习 第2章 函数与基本初等函数 第7课时 对数函数练习 理-人教版高三全册数学试题
第7课时 对数函数1．(log 29)·(log 34)的值为( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4答案 D解析 原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.2．(2018·某某某某模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜c D ．a ＞b ＞c 答案 B解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B.3．若log a 23<1(a>0且a≠1)，则实数a 的取值X 围是( )A ．(0，23)B ．(1，＋∞)C ．(0，23)∪(1，＋∞)D ．(23，1)答案 C解析 当0<a<1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a<23；当a>1时，log a 23<log a a ＝1，∴a>1.∴实数a 的取值X 围是(0，23)∪(1，＋∞)． 4．函数y ＝ln 1|2x －3|的图像为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x≠32，排除C ，D 项．当x>32时，函数为减函数，当x<32时，函数为增函数，所以选A.5.如图，函数f(x)的图像为折线ACB ，则不等式f(x)≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x|－1<x≤0} B ．{x|－1≤x≤1} C ．{x|－1<x≤1} D ．{x|－1<x≤2}答案 C解析 作出函数y ＝log 2(x ＋1)的大致图像，如图所示．其中函数f(x)与y ＝log 2(x ＋1)的图像的交点为D(1，1)，结合图像可知f(x)≥log 2(x ＋1)的解集为{x|－1<x≤1}，故选C.6．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x<1，2x －1，x ≥1，则f(－2)＋f(log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 因为－2<1，所以f(－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3. 因为log 212>1，所以f(log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. 所以f(－2)＋f(log 212)＝9.故选C.7．若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a D ．a<c<b答案 C解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c<0，即log 2c<log 2b<log 2a<0，可得c<b<a<1.故选C. 8．(2014·某某，理)函数f(x)＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞) B．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2) 答案 D解析 函数y ＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f(x)是由y ＝log 12t 与t ＝g(x)＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D.9．(2018·某某金陵中学模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案 C解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a>1或－1<a<0，故选C.10．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f(log 0.53)，b ＝f(log 25)，c ＝f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ．c<a<b D ．c<b<a答案 C解析 因为f(x)＝2|x －m|－1为偶函数，所以m ＝0.因为a ＝f(log 123)＝f(log 23)，b ＝f(log 25)，c ＝f(0)，log 25>log 23>0，而函数f(x)＝2|x －m|－1在(0，＋∞)上为增函数，所以f(log 25)>f(log 23)>f(0)，即b>a>c.故选C.11．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a 的取值X 围是( ) A ．(0，1) B ．[2，＋∞) C ．[2，3) D ．(1，3)答案 C解析 当0<a<1时，由复合函数与对数函数的性质知，不合题意；当a>1时，要满足⎩⎪⎨⎪⎧12－a ＋2>0，a 2≥1，解得2≤a<3.12．已知函数f(x)＝2＋log 2x ，x ∈[1，2]，则函数y ＝f(x)＋f(x 2)的值域为( ) A ．[4，5] B ．[4，112]C ．[4，132]D ．[4，7]答案 B解析 y ＝f(x)＋f(x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f(x)＋f(x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x≤2，从而4≤y≤112.13．已知函数f(x)＝xln(e 2x＋1)－x 2＋1，f(a)＝2，则f(－a)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2答案 B解析 f(x)＋f(－x)＝xln(e 2x＋1)－x 2＋1＋[－xln(e －2x＋1)－(－x)2＋1]＝x[ln(e 2x＋1)－ln(e－2x＋1)]－2x 2＋2＝xln e 2x ＋1e －2x ＋1－2x 2＋2＝xlne 2x－2x 2＋2 ＝2x 2－2x 2＋2＝2， 所以f(a)＋f(－a)＝2，因为f(a)＝2，所以f(－a)＝2－f(a)＝0.故选B.14．(2017·课标全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x<3y<5z B ．5z<2x<3y C ．3y<5z<2x D ．3y<2x<5z答案 D解析 ∵2x＝3y＝5z，∴ln2x＝ln3y＝ln5z， ∴xln2＝yln3＝zln5.∴x y ＝ln3ln2，∴2x 3y ＝2ln33ln2＝ln32ln23＝ln9ln8>1， ∴2x>3y ，同理可得2x<5z. ∴3y<2x<5z.故选D. 15．log 327－log 33＋(5－1)0－(94)12＋cos 4π3＝________．答案 0解析 原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.16．若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则x∈________，a ∈________． 答案 (1，＋∞)(1，＋∞)17．(1)若log a 3<log a π，则实数a 的取值X 围是________． (2)若log 3a<log πa ，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (1)a>1 (2)0<a<1 18．设函数f(x)＝|lgx|，(1)若0<a<b 且f(a)＝f(b)．证明：a·b＝1； (2)若0＜a ＜b 且f(a)＞f(b)．证明：ab ＜1. 答案 略解析 (1)由|lga|＝|lgb|，得－lga ＝lgb.∴ab ＝1. (2)由题设f(a)＞f(b)，即|lga|＞|lgb|.上式等价于(lga)2＞(lgb)2，即(lga ＋lgb)(lga －lgb)＞0，lg(ab)lg a b ＞0，由已知b ＞a ＞0，得0＜a b ＜1.∴lg ab＜0，故lg(ab)＜0.∴ab＜1.1．已知a>b>1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则ab ＋2＝________．答案 1解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a>b>1，∴log a b<log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b＝b a，∴(b 2)b＝bb 2，∴b 2b＝bb 2，∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4，∴ab ＋2＝1. 2．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．如果实数t 满足f(lnt)＋f(ln 1t )≤2f(1)，那么t 的取值X 围是________．答案 [1e，e]解析 由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f(lnt)＝f(ln 1t )．由f(lnt)＋f(ln 1t )≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)．又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|lnt|≤1，－1≤lnt ≤1，故1e ≤t ≤e.3．已知函数f(x)＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f(x)的定义域为R ，某某数a 的取值X 围； (2)若f(x)的值域为R ，某某数a 的取值X 围． 答案 a≤－1或a>53 (2)1≤a≤53解析 (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>1或a<－1，a ＞53或a<－1. ∴a<－1或a>53.又a ＝－1时，f(x)＝0，满足题意． ∴a ≤－1或a>53.(2)依题意，只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R ，故有a 2－1>0，Δ≥0，解之1<a≤53，又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴1≤a ≤53.。
甘肃省兰州市五十九中2022-2023学年高三下学期高考模拟考试数学(理科)试题(含答案解析)
甘肃省兰州市五十九中2022-2023学年高三下学期高考模拟考试数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}(,)8,,,(,)1A x y x y x y N B x y y x *=+=∈=>+，则A B ⋂中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知复数21iz =-+，则A ．2z =B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为1-D ．z 的共轭复数为1i+3．已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ．若//AB OC，则实数m 的值为（）A ．15B ．35-C ．3-D ．17-4．执行如图所示的程序框图,输出的s 值为()A ．2B ．32C ．53D ．855．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）6．若等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足44S =，612S =，则2S =（）A ．1-B ．0C ．1D ．37．若xy 是正数，则221122⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y y x 的最小值是（）A ．3B ．72C ．4D ．928．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R)在x ＝3π4处取得最小值，则函数π()4y f x =-是（）A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点3π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．奇函数且它的图象关于点3π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称9．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有A ．18种B ．24种C ．36种D ．54种10．若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上存在一点P 满足以OP 为边长的正方形的面积等于2ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．2⎫+∞⎪⎪⎣⎭11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1,2)，在圆C 上存在点P ，使得|PA |2＋|PB |2＝12，则点P 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．412．设函数3()2ln(3f x x x =+(22)x -<<，则使得(2)(43)0f x f x +->成立的x 的取值范围是A ．(1,1)-B ．1(,1)2C ．(1,14)D ．15(,)44二、填空题13．已知在直角三角形ABC 中，90,2ACB AC BC ∠=== ，点P 是斜边AB 的中点.则CP CB CP CA ⋅+⋅=__________.14．已知直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若1AB AC ==，12AA =，120BAC ︒∠=，则此球的表面积等于______．15．若函数21()ln 22f x x ax x =--存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________.16．命题p：实数a满足260a a+-≥；命题q：函数y=R．若命题p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围为________.三、解答题17．已知△ABC中，C＝2π3，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值.18．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列.19．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.20．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．21．已知曲线S 的参数方程为3sin 13cos x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数，02θπ≤<)．点1,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭在曲线S 上，直线l 过点P ，且倾斜角为3π．（1）求点P 在曲线S 上对应的参数θ的值；（2）求直线l 被曲线S 截得的线段的长度．22．已知函数()|3|f x x =-.(1)解不等式(24)4f x +≥；(2)若a ，R b ∈，1a <，1b <，求证：(2)(3)f ab f a b +>-+.参考答案：1．B【分析】求得集合A 的元素，由此求得A B ⋂的元素，从而确定正确选项.【详解】依题意()()()()()()(){}1,7,2,6,3,5,4,4,5,3,6,2,7,1A =，其中满足1y x >+的有()()()1,7,2,6,3,5，所以()()(){}1,7,2,6,3,5A B = ，有3个元素.故选：B 2．C【详解】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法.详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--，则z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误；z 的虚部为1-，选项C 正确；z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．C【分析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.【详解】因为//AB OC，所以()()3,1//2,1m m +,3(1)2 3.m m m ⨯+=∴=-选C.【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题.4．C【详解】试题分析：0k =时，03<成立，第一次进入循环：111,21k s +===；13<成立，第二次进入循环：2132,22k s +===；23<成立，第三次进入循环：31523,332k s +===，33<不成立，输出53s =，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.5．B【详解】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ．考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．6．B【详解】根据等差数列的性质624,,246S S S 仍成等差数列，则6422426S S S ⨯=+，则6423S S S =+，62412444033S S S =-=-=-=，选B.7．C【分析】首先根据题意得到22222211112244⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x y x y y x x y x y ，再利用基本等式求最小值即可.【详解】22222211112244⎛⎫⎛⎫+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y x y x y y x y y x x222211444⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x y x y x y当且仅当2x y ==或2x y ==时取等号.故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查学生分析问题的能力，属于简单题.8．D【分析】由辅助角公式化f (x )＝a sin x －b cos x (x ＋φ)，tan φ＝－ba，再由最小值点求得ϕ，得出函数π()4y f x =-的表达式，然后判断各选项．【详解】f (x )＝a sin x －b cos x (x ＋φ)，tan φ＝－b a.∵f (x )在x ＝3π4处取得最小值，∴3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)，∴φ＝2k π－5π4(k ∈Z)，∴π()4f x -π5π(2π)44x k -+-(－x )x ，∴π()4f x -是奇函数，且图象关于点(k π，0)(k ∈Z)对称.故选：D.9．D【分析】分两类求解：(1)甲选《春秋》；(2)甲不选《春秋》；分别求出可能的选择情况，再求和即可得出结果.【详解】(1)若甲选《春秋》，则有133318C A =种情况；(2)若甲不选《春秋》，则有233336A A =种情况；所以5名同学所有可能的选择有183654+=种情况.故选D【点睛】本题主要考查计数原理，熟记排列组合的概念等即可，属于常考题型.10．C【详解】试题分析：由条件，2||2OP ab =，又P 为双曲线上一点，从而OP a ≥，∴22ab a ≥，∴2b a ≥，又∵222222544a c a b a a =+≥+=，∴2c e a =≥．考点：双曲线的离心率．11．B【分析】设P (x ,y )，由2212PA PB +=求得P 点轨迹是圆，又P 在已知圆上，判断出两圆相交后可得P 点个数．【详解】设P (x ,y )，则(x －2)2＋y 2＝4，|PA |2＋|PB |2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，圆心为(0,1)，半径为2，又圆C 圆心为(2,0)，半径为2，因为2222-<<+，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.故选：B.12．B【分析】本道题目结合奇函数的判定条件和单调函数满足的条件，建立不等式，即可得出答案．【详解】()(()32ln 3f x x x f x -=--=-,所以()f x 为奇函数,()2'60f x x >,所以()f x 单调递增()()2430f x f x +->,转化成()()234f x f x >-得到222{2342234x x x x-<<-<-<>-,解得x 满足1,12⎛⎫⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本道题目考查了奇函数判定条件和单调函数的性质，注意判断()()f x f x +-与0的关系．13．4【分析】由题意以C 为坐标原点，CA 边为x 轴，CB 边为y 轴建立直角坐标系，求出各点坐标，利用向量坐标和向量数量积的坐标计算方法即可求解.【详解】由题意以C为坐标原点，建立直角坐标系，可得C (0，0)，()2,0A ，()0,2B ，()1,1P ，故可得()1,1CP = ，()2,0CA = ，()0,2CB =，∴()()()2,00,22,2CA CB +=+=，故()224CP CB CP CA CP CB CA ⋅+⋅=⋅+=+=.故答案为：4.14．8π【分析】根据球和直三棱柱的对称性可知，直三棱柱的外接球球心是上下底面的三角形的外接圆的圆心连线的中点，根据几何关系，在直角三角形内利用勾股定理即可求出外接球半径.【详解】设直三棱柱111ABC A B C -的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点,P M ，∴直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心O 为线段PM 的中点，设ABC 的外接圆半径为r ，直三棱柱111ABC A B C -的外接球的半径为R ，如图所示：在ABC 中，1,120AB AC BAC ∠=== ，∴由余弦定理得：22201cos120,22AB AC BCBC AB AC+-==-∴=⋅∴由正弦定理得：22,1sin120BCr r ==∴=，∴在Rt OMC 中，11,1,12OC R OM AA MC r =====，222112R ∴=+=，∴直三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为：248R ππ=，故答案为：8π.15．(1,)-+∞【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可.【详解】2112()2x ax f x ax x x--'=--=，由题意知，()0f x '<在(0,)+∞上有实数解，即2210ax x +->有实数解，当0a ≥时，显然满足，当a<0时，只需440a ∆=+>10a ∴-<<综上所述1a >-故答案为：(1,)-+∞【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题.16．(,3][0,2)(4,)-∞-⋃⋃+∞【分析】分别求出当命题,p q 为真命题时a 的取值范围，由p q ∧为假，p q ∨为真可得“p 真q 假”或“p 假q 真”，分两种情况分别求解即可．【详解】当命题p 为真时，即260a a +-≥，解得2a ≥或3a ≤-；当命题q 为真时，可得210ax ax +≥-对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若0a ≠，则有20Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤,所以04a ≤≤，∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q 假时，则2340a a a a >≤-⎧⎨><⎩或或，∴4a >或3a ≤-；②当p 假q 真时，则3204a a -<<⎧⎨≤≤⎩，∴02a ≤<．综上，实数a 的取值范围是(,3][0,2)(4,)-∞-⋃⋃+∞.故答案为：(,3][0,2)(4,)-∞-⋃⋃+∞.17．(1)7(2)2【分析】（1）由等差数列的性质把,a b 用c 表示，然后由余弦定理可求得c ；（2）设B ＝θ，求出外接圆半径后由正弦定理把,,a b c 用θ表示，从而把三角形周长表示为θ的函数，由三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数后，利用正弦函数性质得最大值．【详解】（1）∵a ，b ，c 依次成等差数列，且公差为2，∴b －a ＝c －b ＝2，∴b ＝c －2，a ＝c －4，∵C ＝2π3，由余弦定理得cos 2π3＝2222a b c ab+-＝222(4)(2)2(2)(4)c c c c c -+----＝－12，整理得c 2－9c ＋14＝0，解得c ＝7或c ＝2，又a ＝c －4>0，则c >4，∴c ＝7.（2）设B ＝θ，外接圆的半径为R ，则πR 2＝π，解得R ＝1，由正弦定理可得sin a A ＝sin b B ＝sin c C＝2R ＝2，∴sin b θ＝πsin()3a θ-＝2sin 3πc ＝2，可得b ＝2sin θ，a ＝2sin (π)3θ-，c∴△ABC 的周长＝2sin θ＋2sin (π)3θ-＝2sin θ＋2sin π3cos θ－2cos π3sin θ＝sin θθ2sin ()3πθ+又θ∈(0,π3，∴π3<θ＋π233π<，∴当θ＋π3＝π2，即θ＝π6时，△ABC 的周长取得最大值218．(1)2.3(2)分布列见解析【分析】（1）人均次数等于总的“爱心送考”次数除以200；（2）由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，求出对应概率，进而得出分布列．【详解】（1）由统计图，得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为2011002803200⨯+⨯+⨯＝2.3．（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A ，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝P(D)＝22220100802200C C CC++＝83199，P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝11201002200C CC＋11100802200C CC＝100199，P(X＝2)＝P(C)＝1120802200C CC＝16199.所以X的分布列为X012P831991001991619919．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ．【详解】（Ⅰ）由已知得.取的中点T，连接，由为中点知，.又，故=TN AM∥，四边形AMNT为平行四边形，于是MN AT∥.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且.以A为坐标原点，A E的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，(0,2,4)PM =-，(2)2PN =-，(2)2AN = .设(,,z)x y =n 为平面PMN 的一个法向量，则0,{0,n PM n PN ⋅=⋅=即240,20,2y z x y z -=+-=可取(0,2,1)n =.于是cos ,25n AN n AN n AN⋅〈〉==.【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．20．(Ⅰ)24x y =-，1y =；(Ⅱ)见解析.【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =.(Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=.故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-，直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==，则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．（1）76θπ=；（2）6．【分析】（1）由题知1sin 2cos θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再结合02θπ≤<得76θπ=；（2）根据题意得直线l0y -=，再把曲线S 化为普通方程得()2219x y -+=，进而得直线l 过圆心，进而得答案.【详解】解：（1）曲线S 的参数方程为3sin 13cos x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数，02θπ≤<)．点1,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭在曲线S 上，所以1sin 2{cos 2θθ=-=-，由于02θπ≤<，所以76θπ=．（2）曲线S 的参数方程为3sin 13cos x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数，02θπ≤<)转换为直角坐标方程为()2219x y -+=，直线l 过点1,22P ⎛-- ⎝⎭，且倾斜角为3π，0y -=，由于圆心()1,0在直线上，故直线l 被曲线S 截得的线段成为圆的直径6．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，考查运算求解能力，本题解题的关键在于写出直线l 的方程，曲线S 的普通方程得直线l 过圆心，进而得答案.22．(1)5|2x x ⎧≤-⎨⎩或32x ⎫≥⎬⎭(2)证明见解析【分析】（1）根据绝对值不等式的解法求解即可；（2）由(2)(3)f ab f a b +>-+，得||1ab a b ->-，两边平方后利用作差法证明即可.【详解】（1）由(24)4f x +≥，得|2|14x +≥，即214x +≥或214x +≤-，解得32x ≥或52x ≤-，综上所述，不等式的解集为5|2x x ⎧≤-⎨⎩或32x ⎫≥⎬⎭.（2）证明：由(2)(3)f ab f a b +>-+，得||1ab a b ->-，因为1a <，1b <，所以21a <，21b <，所以222222|2|112||ab a b a b ab a ab b ---=-+-+-2222220((11))1a b a b a b =--+=-->，所以22||1||ab a b >--，则||1ab a b ->-，则(2)(3)f ab f a b +>-+.。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷202525
高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 【热点题型】题型一 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 设函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【提分秘籍】作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【举一反三】设函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．题型二利用三角函数图象求其解析式例2、(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f(0)＝( )A ．－23B ．－12 C.23 D.12(2)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．【提分秘籍】已知f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2πT 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．【举一反三】(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( )A ．－32B ．－62 C.3 D ．－ 3(2)函数f(x)＝Asin(ω＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为______．题型三函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质应用【例3】已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b ，且y ＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图象，若y ＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．【提分秘籍】解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f(x)化为y ＝asin x ＋bcos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再借助y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【举一反三】已知函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值； (2)求函数y ＝f(x)＋f⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值． 【高考风向标】【高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ35π6sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点最近的对称中心.5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，1．(·天津卷) 已知函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx(ω＞0)，x ∈R.在曲线y ＝f(x)与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π2．(·安徽卷) 若将函数f(x)＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π43．(·重庆卷) 将函数f(x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．4．(·北京卷) 函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．图1-4(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．.5．(·福建卷) 已知函数f(x)＝2cos x(s in x ＋cos x)．(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．6．(·广东卷) 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A ．l1⊥l4B ．l1∥l4C ．l1与l4既不垂直也不平行D ．l1与l4的位置关系不确定7．(·湖北卷) 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．8．(·辽宁卷) 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 9．(·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 10．(·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③11．(·山东卷) 函数y ＝32sin 2x ＋cos2x 的最小正周期为________． sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .12．(·陕西卷) 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π134．(·浙江卷) 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( ) A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向左平移π4个单位14．(·四川卷) 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度15.(·四川卷) 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【高考押题】1．函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π2．将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin 2x ＋2C ．y ＝cos 2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π43．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象 ( ) A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位4．函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π3解析 由图象知f(x)的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，又T ＝2πω，ω>0，∴ω＝2.由于f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的一个最高点为⎝⎛⎭⎫5π12，2，故有2×5π12＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，即φ＝2kπ－π3，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π3，选A.答案 A5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( ) A ．y ＝f(x)是奇函数 B ．y ＝f(x)的周期为πC ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝π2对称 D ．y ＝f(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称 6．将函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝______．7．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式f(x)＝________．8．设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f(x)的最小正周期为________．9．已知函数f(x)＝4cos x·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.(1)求a 的值及f(x)的最小正周期； (2)在坐标系上作出f(x)在[0，π]上的图象．10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
高三数学教案设计(通用8篇)
高三数学教案设计(通用8篇)高三数学教案设计篇1一、教学目标知识与技能：理解任意角的概念（包括正角、负角、零角）与区间角的概念。
过程与方法：会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角，会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写。
情感态度与价值观：1、提高学生的推理能力；2、培养学生应用意识。
二、教学重点、难点：教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写。
教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写。
三、教学过程（一）导入新课回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
（二）教学新课1、角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
②角的名称：注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α=0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角。
请说出角α、β、γ各是多少度？2、象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
高三数学教案设计篇2一、指导思想今年是我省使用新教材的第八年，即进入了新课程标准下高考的第六年。
高三数学教学要以《数学课程标准》为依据，全面贯彻教育方针，积极实施素质教育。
提高学生的学习能力仍是我们的奋斗目标。
近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。
高考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。
更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。
二、注意事项1、高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。
“基础知识，基本技能和基本方法”是高考复习的重点。
2021版《大高考》高考数学(理)一轮总复习模拟创新题：第2章 第7节函数与方程
全国新课标区模拟精选题：依据高考命题大数据分析，重点关注基础题2，4，力量题9，13. 专项基础测试 模拟精选题 一、选择题1.(2022·陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0B.－2，0C.12D.0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又由于x >1，所以此时方程无解，函数f (x )的零点只有0.故选D. 答案 D2.(2022·黑龙江佳木斯模拟)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln x 的零点个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析依题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ，x >1，0，x ＝1，－1－ln x ，0<x <1，令f (x )＝0得x ＝e ，1，1e ，所以函数有3个零点，故选C. 答案 C3.(2021·青岛市模拟)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(2，e)D.(3，4)解析 利用零点存在性定理得到f (1)·f (2)＝(ln 2－2)·(ln 3－1)<0，故选B. 答案 B4.(2021·济宁高三期末)设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( )A.4B.2C.－4D.与m 有关解析 方程ln|x －2|＝m 的根即函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 的交点的横坐标，由于函数y ＝ln|x －2|的图象关于x ＝2对称，且在x ＝2两侧单调，值域为R ，所以对任意的实数m ，函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 必有两交点，且两交点关于直线x ＝2对称，故x 1＋x 2＝4，选A. 答案 A 二、填空题5.(2022·江西十校二联)给定方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋sin x －1＝0，下列命题中：①方程没有小于0的实数解； ②方程有很多个实数解；③方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解； ④若x 0是方程的实数解，则x 0>－1. 正确命题是________.解析 在同一坐标系中画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1与y ＝－sin x (该函数的值域是[－1，1])的大致图象，结合图象可知，它们的交点中，横坐标为负的交点，有且只有一个，因此方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋sin x－1＝0在(－∞ ，0)内有且只有一个实数解，故③正确，①不正确，由图象易知②，④均正确. 答案 ②③④ 三、解答题6.(2021·长春模拟)设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x ).(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标.解 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2，1)对称的点为P ′(4－x ，2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝[－(m ＋6)]2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3，0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5，4). 创新导向题利用函数零点个数求参数取值范围7.函数y ＝|x 2－1|x －1－kx 恰有两个零点，则实数k 的范围是( )A.(0，1)B.(0，1)∪(1，2)C.(1，＋∞)D.(－∞，2)解析 令y ＝0，得|x 2－1|x －1＝kx ，令y 1＝|x 2－1|x －1(x ≠1)，y 2＝kx ，则y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x <－1或x >1，－x －1，－1≤x <1，图象如图所示，y 2＝kx 表示过点(0，0)的直线，∴由题意及图可知k 的取值范围是(0，1)∪(1，2)，故选B.答案 B 专项提升测试 模拟精选题 一、选择题8.(2022·湖北荆门模拟)对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内( )A.肯定有零点B.肯定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点解析 利用排解法，f (a )·f (b )<0是函数f (x )在区间(a ，b )内有零点的充分不必要条件，故选C. 答案 C9.(2021·湖南衡阳模拟)设方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，设函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )＋2，则( ) A.f (2)＝f (0)<f (3) B.f (0)<f (2)<f (3) C.f (3)<f (2)＝f (0)D.f (0)<f (3)<f (2)解析 ∵方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2 x ＋x ＋2＝0的根分别为函数y ＝2x ，y ＝log 2 x 与直线y ＝－x －2的交点横坐标，而函数y ＝2x ，y ＝log 2 x 互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，又直线y ＝－x －2与直线y ＝x 垂直，且两直线的交点坐标为(－1，－1)，∴p ＋q ＝－2， 则f (x )＝x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＋2＝x 2－2x ＋pq ＋2， ∵该二次函数的对称轴为x ＝1，∴f (2)＝f (0)<f (3).故选A. 答案 A 二、填空题10.(2022·天津南开中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－x 2－2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－（x ＋1）2＋1，x ≤0，图象如图：由g (x )＝f (x )－m 有3个零点，知f (x )＝m 有三个根，则实数m 的范围是(0，1).答案 (0，1)11.(2022·广西南宁模拟)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )其中常数a ，b 满足2a ＝3，3b ＝2，则n ＝________.解析 a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x＝－x ＋b ，在同一坐标系中画出函数y ＝ax和y ＝－x ＋b 的图象，如图所示；由图可知，两函数的图象在区间(－1，0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1，0)内有零点，所以n ＝－ 1.答案 －1 三、解答题12.(2021·青岛模拟)已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.解 f (x )＝⎩⎨⎧（x －2）2－1，x ∈（－∞，1]∪[3，＋∞），－（x －2）2＋1，x ∈（1，3），作出图象如图所示.原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象.如图.则当直线y ＝x ＋a 过点(1，0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时， 由⎩⎨⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根.创新导向题利用方程根的个数和函数性质求参数取值范围13.函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x ，若在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________. 解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数f (x )的周期是2，作出函数y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a 的部分图象，如图，要使方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则直线y ＝ax ＋2a ＝a (x ＋2)的斜率a 满足k AH <a <k AG ，由题意可知G (1，2)，H (3，2)，A (－2，0)，所以k AH ＝25，k AG ＝23，所以25<a <23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，23。
2024年新高考数学模拟卷A卷(解析版)
2024年新高考数学模拟卷A 卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}2468M =，，，，{}2|280N x x x =--≤，则M N ⋂=（）A ．{}2,4B ．{}2,4,6C ．{}2,4,6,8D ．[]24，【答案】A【详解】由题意{}2|280{|24}N x x x x x =--≤=-≤≤，∴{2,4}M N ⋂=．故选：A ．2．复数2(2)i z i-=i 为虚数单位，则A ．25B ．C ．5D ．【答案】C【详解】()()()223443,1i i i z i i--⨯-===--()()2243 5.z -+-=3．已知()1,3a =-，()2,1b =- ，且()()2//a b ka b +-，则实数k =（）A ．2-B ．2C ．12D ．12-【答案】D【详解】 (1,3)=- a ，()2,1b =- ，(1ka b k ∴-= ，3)(2---，1)(2k =+，13)k --，2(3,1)a b +=--，()//(2)ka b a b +-，(2)3(13)k k ∴-+=---，∴解得：12k =-．故选：D ．4．已知函数2,(1)()4,(1)x a x ax x f x a x ⎧-++<⎪=⎨⎪≥⎩，若()y f x =在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．[]2,4B ．()2,4C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】A【详解】()f x 在(),-∞+∞上单调递增；∴2112211414aa a a a a a a⎧≥⎪≥⎧⎪⎪>⇒>⎨⎨⎪⎪≤⎩⎪-++≤⎩，解得24a ≤≤；所以实数a 的取值范围为[]2,4．故选：A ．5．若椭圆X ：()22211x y a a +=>与双曲线H ：2213x y -=的离心率之和为736，则=a （）A ．2B 3C 2D ．1【答案】A【详解】椭圆X ：()22210x y aa +=>H ：2213x y -==，=2a=.故选：A.6．设过点(0,P 与圆22:410C x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A ．19BC ．19-D ．【答案】A【详解】解法1：如图，圆22410x yx +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r ，过点(0,P 作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB .因为3PC =，则2PA PB ==，得2sin 3APC APC ∠∠=，则221cos cos sin 09APB APC APC∠=∠-∠=-<，即APB ∠为钝角，且α为锐角，所以1cos cos(π)9APB α=-∠=.故选A.解法2：如图，圆22410x y x +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r =，过点(0,P 作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB .因为3PC =，则2PA PB ==，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB+-⋅∠=+-⋅∠，且πACB APB ∠=-∠，则448cos 5510cos APB ACB +-∠=+-∠，即44cos 55cos APB ACB -∠=-∠，解得1cos 09APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，且α为锐角，则1cos cos(π)9APB α=-∠=.故选：A.解法3：圆22410x y x +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r =线方程为0x=，则圆心到切点的距离2d r =<，不合题意；若切线斜率存在，则设切线方程为y kx =，即0kx y -=，则圆心到切线的距离d =120,k k ==-1212sin tan 1cos k k k k ααα-==+，又α为锐角，由22sin cos 1αα+=解得1cos 9α=.故选：A.7．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为常数，n ∈N ，1n ≥），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（）．A ．甲是乙的充分非必要条件B ．甲是乙的必要非充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既非充分也非必要条件【答案】B【详解】若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()222112n n n n a a q p a a ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，p 为常数，所以{}2n a 成等比数列，即{}n a 是等方比数列，故必要性满足.若{}n a 是等方比数列，即{}2n a 成等比数列，则{}n a 不一定为等比数列，例如23452,2,2,2,2,...--，有()221224n na a +=±=，满足{}n a 是等方比数列，但{}n a 不是等比数列，充分性不满足.故选：B8．若ππ2sin sin sin 44βααβ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan αβ+=（）A ．－1B ．1C ．－2D ．2【答案】A【详解】解法一：由题得()()2sin sin cos 2222βαααβαβ⎫-=-+-⎪⎪⎝⎭，所以2sin sin 2cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-=-++，即sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ++-=，即()()sin cos 0αβαβ+++=，显然()cos 0αβ+≠，故()tan 1αβ+=-.解法二：令π4αθ-=，则π4αθ=+，所以ππ2sin sin sin 44βααβ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化为π2sin sin sin 2βθθβ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()2sin sin cos βθθβ=-，所以2sin sin cos cos sin sin βθθβθβ=+，即cos cos sin sin 0θβθβ-=，所以()cos 0θβ+=，则ππ2k θβ+=+，k ∈Z ，所以()πππ3πtan tan tan πtan 14424k αβθβ⎛⎫⎛⎫+=++=++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈Z .故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
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2016年甘肃省白银市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）（2016•白银模拟）若集合A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}，集合B={x|1﹣x＞0}，则A∩B等于（）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）2．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）（2016•白银模拟）设向量，，且，则实数m的值为（）A．﹣10 B．﹣13 C．﹣7 D．44．（5分）（2016•白银模拟）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°5．（5分）（2016•白银模拟）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均甲、乙和中位数y甲、y乙进行比较，下面结论正确的是（）A．甲＞乙，y甲＞y乙B．甲＜乙，y甲＜y乙C．甲＜乙，y甲＞y乙D．甲＞乙，y甲＜y乙6．（5分）（2016•白银模拟）如图，是一个几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，正视图（主视图）、侧视图（左视图）都是矩形，则该几何体的体积是（）A．24 B．12 C．8 D．47．（5分）（2016•白银模拟）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．则输出的S=（）A．B．C．D．8．（5分）（2016•白银模拟）如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=（）A．﹣1 B．0 C．2 D．49．（5分）（2016•白银模拟）在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（）A．[6，15]B．[7，15]C．[6，8]D．[7，8]10．（5分）（2016•白银模拟）已知直线ax+by﹣1=0（ab＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，则最小值是（）A．9 B．8 C．6 D．411．（5分）（2014•广西）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）（2016•白银模拟）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+]C．（e2+，+∞]D．（﹣e2﹣，e2+]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016•白银模拟）若的展开式中x9的系数为的值为．14．（5分）（2016•白银模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．15．（5分）（2016•白银模拟）在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+ax﹣b 在区间[﹣1，1]上有且只有一个零点的概率是．16．（5分）（2016•白银模拟）已知曲线C：y2+4ax=0，（a≠0），过点（﹣a，0）的直线L与曲线C交于A，B两点，则以AB为直径的圆与直线L：x=a的关系．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016•孝义市模拟）已知{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）证明：S1+S2+S3+…+S n＜．18．（12分）（2016•白银模拟）正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在线段EC上且不与E，C重合．（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．19．（12分）（2016•白银模拟）在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行（单位：人）”与性别有关？（Ⅱ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中．①求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；②记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．参考公式：．20．（12分）（2016•白银模拟）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2=2py（p＞0）有一公共焦点，抛物线C2的准线l与椭圆C1有一交点坐标是（，﹣2）．（1）求椭圆C1与抛物线C2的方程；（2）若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求•的取值范围．21．（12分）（2016•白银模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•湖南四模）如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•河南模拟）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•白银模拟）已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜m的解集不是空集．（Ⅰ）求参数m的取值范围的集合M；（Ⅱ）设a，b∈M，求证：a+b＜ab+1．2016年甘肃省白银市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）（2016•白银模拟）若集合A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}，集合B={x|1﹣x＞0}，则A∩B等于（）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）【解答】解：A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）．故选：D．2．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【解答】解：（）2===﹣1，故选：B．3．（5分）（2016•白银模拟）设向量，，且，则实数m的值为（）A．﹣10 B．﹣13 C．﹣7 D．4【解答】解：∵向量，，∴=++（1，4）=（m+1，3），∵，∴•=0，即（m+1）+3×4=0，即m=﹣13，故选：B．4．（5分）（2016•白银模拟）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解答】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选D．5．（5分）（2016•白银模拟）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均甲、乙和中位数y甲、y乙进行比较，下面结论正确的是（）A．甲＞乙，y甲＞y乙B．甲＜乙，y甲＜y乙C．甲＜乙，y甲＞y乙D．甲＞乙，y甲＜y乙【解答】解：根据茎叶图有：①甲地树苗高度的平均数为28cm，乙地树苗高度的平均数为35cm，∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数；②甲地树苗高度的中位数为27cm，乙地树苗高度的中位数为35.5cm；∴甲地树苗高度的中位数小于乙地树苗的高度的中位数；故选B．6．（5分）（2016•白银模拟）如图，是一个几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，正视图（主视图）、侧视图（左视图）都是矩形，则该几何体的体积是（）A．24 B．12 C．8 D．4【解答】解：由三视图可知该几何体是由两个并排全等的直三棱柱组成如图所示的几何体；∴V=．故选B．7．（5分）（2016•白银模拟）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．则输出的S=（）A．B．C．D．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，n=1满足条件n≤5，S=2，n=3满足条件n≤5，S=2+=，n=5满足条件n≤5，S=+=，n=6不满足条件n≤5，退出循环，输出S的值为．故选：B．8．（5分）（2016•白银模拟）如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=（）A．﹣1 B．0 C．2 D．4【解答】解：∵直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，∴f（3）=1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2=1，从而k=，∴f′（3）=k=，∵g（x）=xf（x），∴g′（x）=f（x）+xf′（x）则g′（3）=f（3）+3f′（3）=1+3×（）=0，故选：B．9．（5分）（2016•白银模拟）在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（）A．[6，15]B．[7，15]C．[6，8]D．[7，8]【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：B（1，2）．当s=3时，可行域为四边形OABC及内部区域，当直线z=3x+2y过B（1，2）时，z有最大值，等于3×1+2×2=7；当s=5时，可行域为三角形OAD及内部区域，当直线z=3x+2y过D（0，4）时，z有最大值，等于3×0+2×4=8．∴当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是[7，8]．故选：D．10．（5分）（2016•白银模拟）已知直线ax+by﹣1=0（ab＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，则最小值是（）A．9 B．8 C．6 D．4【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心为（1，2），由题意可得a+2b=1（a，b＞0），则=（）×1=（）（a+2b）=5++≥5+2=5+4=9．当且仅当a=b=时，取得最小值9．故选：A．11．（5分）（2014•广西）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E 做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===．故选：B．12．（5分）（2016•白银模拟）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+]C．（e2+，+∞]D．（﹣e2﹣，e2+]【解答】解：∵f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定义域为（0，+∞），又∵g（x）=，∴函数g（x）至少存在一个零点可化为函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一个零点；即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，m′=﹣2x+2e+=﹣2（x﹣e）+；故当x∈（0，e）时，m′＞0，当x∈（e，+∞）时，m′＜0；则m=﹣x2+2ex+在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，故m≤﹣e2+2•e•e+=e2+；又∵当x+→0时，m=﹣x2+2ex+→﹣∞，故m≤e2+；故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016•白银模拟）若的展开式中x9的系数为的值为1﹣cos2．【解答】解：通项T r+1=（﹣1）r C9r•a﹣r x18﹣3r，当18﹣3r=9时，r=3，所以系数为﹣C93•a﹣3=﹣，得a=2．∫02sinxdx=（﹣cosx）|02=1﹣cos2故答案为：1﹣cos214．（5分）（2016•白银模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．【解答】解：由函数的图象可得A=，•T=﹣=•，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，故f（x）=sin（2x+），∴f（0）=sin=，故答案为：．15．（5分）（2016•白银模拟）在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且只有一个零点的概率是．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a∈[0，2]，∴f'（x）=3x2+a≥0，∴f（x）是增函数，若f（x）在[﹣1，1]有且仅有一个零点，则f（﹣1）•f（1）≤0∴（﹣1﹣a﹣b）（1+a﹣b）≤0，即（1+a+b）（1+a﹣b）≥0，由线性规划内容知全部事件的面积为2×2=4，满足条件的面积4﹣=，∴P==，故答案为：．16．（5分）（2016•白银模拟）已知曲线C：y2+4ax=0，（a≠0），过点（﹣a，0）的直线L与曲线C交于A，B两点，则以AB为直径的圆与直线L：x=a的关系相切．【解答】解：∵曲线C：y2+4ax=0，（a≠0），∴y2=﹣4ax，（a≠0），抛物线y2=﹣4ax的焦点为C（﹣a，0），抛物线y2=﹣4ax的准线为L：x=a过点（﹣a，0）的直线L与曲线C交于A，B两点，过A作AM⊥准线L：x=a，交l于M点，过B作BN⊥准线L：x=a，交l于N点，则由抛物线的性质得AM+BN=AB，设AB的中点为O，由梯形中位线定理得O到直线L：x=a的距离为|OP|=（AM+BN）=AB，∴以AB为直径的圆与直线L：x=a的关系是相切．故答案为：相切．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016•孝义市模拟）已知{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）证明：S1+S2+S3+…+S n＜．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，…（2分）即S n﹣1﹣S n=2S n S n﹣1，则﹣，…（4分）从而{}构成以1为首项，2为公差的等差数列．…（6分）（Ⅱ）∵{}构成以1为首项，2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，即S n=，∴当n≥2时，S n===（﹣）．…（9分）从而S1+S2+S3+…+S n＜1+（1﹣）＜﹣．…（12分）18．（12分）（2016•白银模拟）正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在线段EC上且不与E，C重合．（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．【解答】（I）证明：取ED的中点N，连接MN．又∵点M是EC中点．∴MN∥DC，MN=．而AB∥DC，AB=DC．∴，∴四边形ABMN是平行四边形．∴BM∥AN．而BM⊄平面ADEF，AN⊂平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．（Ⅱ）取CD的中点O，过点O作OP⊥DM，连接BP．∵AB∥CD，AB=CD=2，∴四边形ABOD是平行四边形，∵AD⊥DC，∴四边形ABOD是矩形．∴BO⊥CD．∵正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，∴ED⊥平面ADCB．∴平面CDE⊥平面ADCB．∴BO⊥平面CDE．∴BP⊥DM．∴∠OPB是平面BDM与平面ABF（即平面ABF）所成锐二面角．∵cos∠OPB=，∴sin∠OPB=．∴=，解得BP=．∴OP=BPcos∠OPB=．∴sin∠MDC==．而sin∠ECD==．∴DM=MC，同理DM=EM．∴M为EC的中点，∴，∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE与CD相交于D∴AD⊥平面CDE．∵AB∥CD，∴三棱锥B﹣DME的高=AD=2，∴V M﹣BDE=V B﹣DEM==．19．（12分）（2016•白银模拟）在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行（单位：人）”与性别有关？（Ⅱ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中．①求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；②记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．参考公式：．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k==≈4.582＞3.841．…（2分）所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．…（4分）（Ⅱ）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．①方法一：令事件A为“这名班级学委被抽到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，则P （A∩B）=，P（A）=．所以P（B|A）====．…（7分）方法二：令事件C为“在这名学委被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到”，则P（C）===．②由题知X的可能值为0，1，2．依题意P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==．于是E（X）=0×+1×+2×==．…（12分）20．（12分）（2016•白银模拟）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2=2py（p＞0）有一公共焦点，抛物线C2的准线l与椭圆C1有一交点坐标是（，﹣2）．（1）求椭圆C1与抛物线C2的方程；（2）若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求•的取值范围．【解答】解：（1）抛物线C2的准线方程是y=﹣2，所以，所以抛物线C2的方程是：x2=8y，椭圆的焦点坐标是（0，﹣2），（0，2），所以c=2，，所以，即椭圆C1的方程是+=1；（2）设点P（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），F（x4，y4），抛物线方程可以化为：，，所以AP的方程为：，所以，即，同理：，所以直线AB的方程为：，将直线AB方程代入椭圆C1的方程得到：（t2+32）x2+16tx﹣64=0，则△=256t2+256（t2+32）＞0，且，所以，因为，所以的取值范围是（﹣8，2]．21．（12分）（2016•白银模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．令f'（x）＞0，解得x＞；令f'（x）＜0，解得0＜x＜．从而f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．所以，当x=时，f（x）取得最小值﹣．（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+，设h（x）=2lnx+x+，则h′（x）=+1﹣==∵x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（1）=4故a≤4即实数a的取值范围为（﹣∞，4]证明：（III）若则，由（I）得：lnx•x≥，当且仅当x=时，取最小值；设m（x）=，则m′（x）=，∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，故当x=1时，m（x）取最大值故对一切x∈（0，+∞），都有成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•湖南四模）如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．【解答】（1）证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴AB•PC=PA•AC．…（4分）（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=40，BC=30，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，∴AC=12，AB=6，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴，∴．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•河南模拟）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•白银模拟）已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜m的解集不是空集．（Ⅰ）求参数m的取值范围的集合M；（Ⅱ）设a，b∈M，求证：a+b＜ab+1．【解答】解：（Ⅰ）设函数y=|x﹣3|+|x﹣4|，则y=，画出其图象，由图可知y min=1，要使不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜m的解集不是空集，需且只需m＞1，∴m的取值范围的集合M=（1，+∞）；（Ⅱ）∵a，b∈M，∴a＞1，b＞1，∵a+b﹣（ab+1）=（a﹣ab）+（b﹣1）=（a﹣1）（1﹣b），∵a﹣1＞0，1﹣b＜0，∴（a﹣1）（1﹣b）＜0，∴a+b＜ab+1．第21页（共21页）。