2018_2019学年高中数学第一章三角函数章末小结与测评教案(含解析)新人教A版
2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数章末小结与测评教案(含解析)新人教A版必修4
第一章 三角函数考点一 三角函数的概念1．在直角坐标系中，设任意角α终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r ＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ；cos α＝x r ；tan α＝y x. 2．任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P 在终边上的位置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应．3．三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限．[典例1] 已知角α的终边经过点P (12m ，－5m )(m ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．解：r ＝12m 2＋－5m 2＝13|m |，若m >0，则r ＝13m ，α为第四象限角，sin α＝y r ＝－5m 13m ＝－513，cos α＝x r ＝12m 13m ＝1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512. 若m <0，则r ＝－13m ，α为第二象限角，sin α＝y r ＝－5m －13m ＝513，cos α＝x r ＝12m －13m ＝－1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512. [对点训练]1．(1)α是第四象限角，P (5，x )为其终边上一点，且sin α＝24x ，则cos α的值为( )A.104B.64C.24 D ．－104 (2)若－π2<α<0，则点P (tan α，cos α)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：(1)由定义可得sin α＝x x 2＋5＝24x ，x <0，可得x ＝－3，∴cos α＝522＝104. (2)∵－π2<α<0，∴tan α<0，cos α>0，∴点P (tan α，cos α)位于第二象限． 答案：(1)A (2)B考点二同角三角函数基本关系式和诱导公式三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．化简的顺序是：(1)先用诱导公式化为同角三角函数．(2)再用同角三角函数关系化简．用同角三角函数关系化简时，有两种思路：①化弦法：当切函数的项比较少时，常常化弦达到化简的目的；②化切法：当弦函数的项比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时，常常化切，便于化简．[典例2] 已知2＋tan θ－π1＋tan 2π－θ＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．解：2＋tan θ－π1＋tan 2π－θ＝2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)＝sin θcos θ－sin 2 θ－3cos 2 θ＋3sin θcos θ ＝4sin θcos θ－sin 2 θ－3cos 2 θsin 2 θ＋cos 2 θ ＝4tan θ－tan 2 θ－3tan 2 θ＋1＝4×2－22－322＋1＝15. [对点训练]2．化简下列各式：(1)sin 3π＋αcos －αcos π－αtan 3π＋αcos 3－α－π＋ cos α＋3πsin 2α＋3πcos 2⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan α＋5πtan π＋αcos 3π＋α；(2)tan －510°cos －210°cos 120°tan －600°sin －330°＋sin 29°cos 61°－tan 36°·tan 54°. 解：(1)原式＝－sin 3αcos α－cos αtan 3α－cos α3＋－cos αsin 2αsin 2αtan αtan α－cos α3 ＝－sin 3αcos 2αsin 3αcos 3α·cos 3α＋cos αsin 4αsin 2αcos 2α·cos 3α ＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1.(2)原式＝－tan 510°cos 210°cos 120°－tan 600°－sin 330°＋sin 29°cos 61°－tan 36°·tan 54° ＝－tan 360°＋150°cos 180°＋30°cos 180°－60°tan 2×360°－120°sin 360°－30°＋1－tan 36°tan 54°＝－tan 150°－cos 30°－cos 60°tan －120°－sin 30°＝tan 180°－30°cos 30°cos 60°tan －180°＋60°sin 30° ＝－tan 30°cos 30°cos 60°tan 60°sin 30°＝－36. 考点三三角函数图象及变换(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x 轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线．(2) ]函数y =sin x 的图象变换到函数y =A sin （ωx +φ）的图象时，法则是针对自变量x 和因变量y ，左加右减，上加下减.途径是相位变换φ（φ≠0）→周期变换ω(ω>0)→振幅变换A (A >0)和周期变换ω(ω>0)→相位变换φ(φ≠0)→振幅变换A (A >0)．注意二者平移量的不同．(3)由已知条件确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，需要确定A ，ω，φ，其中A ，ω易求，下面介绍求φ的几种方法．①平衡点法由y ＝A sin(ωx ＋φ)＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω知它的平衡点的横坐标为－φω，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x 1＝－φω，则可求φ.②确定最值法这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程． ③利用单调性将函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与y ＝sin x 的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ.[典例3] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0， ⎭⎪⎫0<φ<π2的图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式； (3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)由题可知T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又f (x )min ＝－2， ∴A ＝2.由f (x )的最低点为M ，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1. ∵0<φ<π2，∴4π3<4π3＋φ<11π6. ∴4π3＋φ＝3π2.∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π62(−−−−−−−−→横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π66x π−−−−−−→沿轴向右平移个单位 y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝2sin x ，∴g (x )＝2sin x . (3)∵0≤x ≤π12，∴π6≤2x ＋π6≤π3. ∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )min ＝2sin π6＝1， 当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )max ＝2sin π3＝ 3. [对点训练]3．(1)把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4 C ．x ＝π8 D ．x ＝π4(2)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 解析：(1)将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin2x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴的方程． (2)由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.答案：(1)A (2)C4.如图，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？解：(1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1. 当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象. 考点四三角函数的性质(1)函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的周期是2π，y ＝tan x 的周期是π；函数y ＝A sin(ωx＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期是2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期是π|ω|. (2)函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的有界性为：－1≤sin x ，cos x ≤1，函数y ＝tan x 没有最值．有界性可用来解决三角函数的最值问题．(3)函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π上递减；函数y ＝cos x 在[－π＋2k π，2k π]上递增，在[2k π，2k π＋π]上递减；函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π上递增，以上k ∈Z . (4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内；求形如f (ωx ＋φ)的单调区间时，采用整体代换的方法将ωx ＋φ视为整体求解相应x 的范围即可，注意ω的符号及f 对单调性的影响．[典例4] 函数f (x )＝3sin2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3. [对点训练]5．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C . ①图象C 关于直线x ＝11π12对称； ②函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . 以上三个论断中，正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝3sin 3π2＝－3， ∴直线x ＝11π12为对称轴，①对；②由－π12<x <5π12⇒－π2<2x －π3<π2，由于函数y ＝3sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内单调递增，故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内单调递增，②对；③f (x )＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，而由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，得不到图象C ，③错．。
2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数章末小结与测评教学案 北师大版必修4
第一章 三角函数一、角的概念1．角不仅有大小而且有正负，角的概念的推广重在“旋转”两字．其旋转方向决定了角的正负，由此确定了角的分类．2．象限角及非象限角，都是相对于坐标系而言的，应注意平面直角坐标系的建立方法，即角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，只有在这一前提下，才能讨论象限角与非象限角．3．终边相同的角有无数个，在所有与角α终边相同的角的集合可表示为S ＝{}β|β＝k ×360°＋α，k ∈Z .终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．二、角度制与弧度制弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，两种单位不能混用，如π6＋k ×360°或60°＋2k π，k ∈Z 的写法是不允许的，尤其是当角是用字母表示时更要注意，如角是在弧度制下，就不能写成k ×360°＋α，k ∈Z 等．三、三角函数的定义 1．三角函数的定义有两种(1)角α的终边上任取一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝yr ，cos α＝x r ；tan α＝y x. (2)角α的终边与以原点为圆心，以单位长为半径的圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.2．用三角函数线解基本的三角不等式的步骤为： (1)先作出取等号的角；(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角范围． 3．诱导公式2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k 的奇偶．四、三角函数的图像与性质五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像1．由y ＝sin x 的图像变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(1)三角函数图像的变化规律和方法，由y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)，此步骤只是平移，而由y ＝sin x →y ＝sin(ωx ＋φ)可由两条思路：①y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)即先平移后伸缩；②y ＝sin x →y ＝sin ωx →y ＝sin(ωx ＋φ)即先伸缩再平移．不论哪一条路径，每一次变换都是对字母x 而言的．(2)“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”，两条路径平移的单位不同 ；“先平移后伸缩”平移|φ|个单位，“先伸缩后平移”则须平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位．主要程序如下：①y ＝sin x ――→平移变换平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)；②y ＝sin x ――→周期变换 y ＝sin ωx ――→平移变换平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． 2．由图像确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，主要从以下三个方面来考虑 (1)A 的确定：根据图像的“最高点、最低点”确定A .(2)ω的确定：结合图像先求周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)确定ω.(3)φ的确定：根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)最开始与x 轴的交点(靠近原点)的横坐标为－φω⎝ ⎛⎭⎪⎫即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω确定φ. 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过列不等式的方法求解，列不等式的原则是：把“ωx ＋φ”视为一个“整体”；再根据y ＝sin x 的增减区间列不等式．(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，当φ＝k π，k ∈Z 时，是奇函数；当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，是偶函数．(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|.[典例1] 已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan （α＋5π）tan （－α－π）sin （α－3π），(1)化简f (α)；(2)若α＝－13π3，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝cos α（－sin α）tan α（－tan α）（－sin α）＝－cos α.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－13π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－3×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.[借题发挥] (1)灵活运用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，以达到统一角的目的； (2)在求值中有已知三角函数值求值与已知角求值两种情况，已知三角函数值求值时，要分清已知的三角函数与未知的三角函数之间的关系，特别是角的关系；已知角求值时，利用诱导公式．[对点训练]1．已知cos(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：∵cos(3π＋θ)＝13，∴－cos θ＝13即cos θ＝－13.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos （2π－θ）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝94.[典例2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝sin x ＋cos x tan x ；(2)y ＝sin x ＋tan x .[解] (1)要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan x ≠0.∴有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，x ≠k π.(k ∈Z ) ∴函数y ＝sin x ＋cos xtan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z .(2)当sin x ≥0且tan x 有意义时，函数有意义， ∴有⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤（2k ＋1）π，x ≠k π＋π2.(k ∈Z ) ∴函数y ＝sin x ＋tan x 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，（2k ＋1）π(k ∈Z )． [借题发挥] 1.求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)，通常可用三角函数的图像或单位圆来求解．2．求三角函数的值域(最值)问题常用的方法有：(1)将所给的三角函数转化为二次函数并通过配方法求值域(最值)；(2)将所给的函数转化为sin(ωx ＋φ)或cos(ωx ＋φ)的函数，利用sin x ，cos x 的有界性求值域．[对点训练]2．已知函数y ＝lg cos 2x ，求它的定义域和值域． 解：函数f (x )＝lg cos 2x 有意义，则cos 2x >0，即 2k π－π2<2x <2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z .∴函数的定义域为{x |k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z }． 由于0<cos 2x ≤1，∴lg cos 2x ≤0，所以函数的值域为(－∞，0].[典例3]如右图，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图像． (1)求此函数解析式；(2)说明该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ [解] (1)由图像知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图像．[借题发挥] 三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π.(2)对于y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)已知函数图像来求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式时，要先求A 、ω，再求φ.[对点训练]3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，0<φ>π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式．解：因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3，又当x ＝π6时函数f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，因为0<φ<π，故φ＝π6， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.[典例4] (重庆高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图像与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．(提示：cos 2x ＝2cos 2x －1)[解] (1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π， 即2πω＝π，解得ω＝2. 因f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π<φ≤π得φ＝π6，故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos 2x＝（2cos 2x －1）（3cos 2x ＋2）2（2cos 2x －1） ＝32cos 2x ＋1⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x ≠12.因cos 2x ∈[0，1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，74∪⎝ ⎛⎦⎥⎤74，52. [借题发挥] 在考查三角函数的性质时，一般与后面的三角恒等变换相联系，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等有关性质．研究三角函数的性质时，除了熟悉y ＝sin x ，y ＝cos x 和y ＝tan x 的性质外，还要注意整体代换和方程的思想的应用．[对点训练]4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2－1 (1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6的最小值和最大值；(3)若x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，π3，求使f (x )≥2的x 的取值范围． 解：(1)T ＝2π2＝π，由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，解得－38π＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π，(k ∈Z )．(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，712π.所以f (x )的最大值为22－1，最小值为2－2. (3)由f (x )≥2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥22， 由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，π3可得2x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－74π，1112π.故满足条件的2x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－74π，－54π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π，解得x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－π，－34π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.故使f (x )≥2的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－π，－34π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列各角中与－π3终边相同的是( )A ．－5π3 B.2π3C.4π3 D.5π3解析：选D ∵2π－π3＝5π3，∴－π3与角5π3的终边相同．2．cos 330°＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：选C cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°) ＝cos 30°＝32. 3．设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B ∵α是第三象限角， ∴2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，∴k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，∴α2是第二象限或第四象限角． 又∵|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2＜0，∴α2是第二象限角． 4．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增加的，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上是减小的，则ω＝( )A ．3B ．2 C.32 D.23解析：选C 由题意知，函数在x ＝π3处取得最大值1，所以1＝sin ωπ3，ω＝32.5．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的一个单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，7π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4解析：选B y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，检验各选项知，只有B 项中的区间是单调递减区间．6．(全国高考)若函数f (x )＝sin x ＋φ3，φ∈[0，2π]是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3 C.3π2 D.5π3解析：选C 若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1， 即sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．只有C 项符合．7．(山东高考)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3. 8．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根解析：选C 构造两个函数y ＝|x |和y ＝cos x ，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察图像知有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．9. 已知函数图像的一部分如图，则函数的解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：选D 由图像知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π.∴ω＝2，排除选项A 、C.∵图像过⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1代入选项B ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π6＝0≠1，故B 错误． 10．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3 D.π2解析：选A ∵函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)中心对称，∴2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )． φ＝k π＋13π6(k ∈Z )，由此易得|φ|min ＝π6.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．设扇形的半径长为4 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 解析：由S ＝12αr 2，得α＝2S r 2＝12.答案：1212．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若p (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，故y <0，由sin θ＝y16＋y2＝－255得y ＝－8. 答案：－813．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________．解析：由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，知周期T＝4π3＝2πω，ω＝32. 答案：3214．函数y ＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2的定义域是________． 解析：要使函数有意义，必须有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2>0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4>－22. 设z ＝2x ＋π4，则sin z >－22.由图知，－π4＋2k π<z <5π4＋2k π(k ∈Z )，即－π4＋2k π<2x ＋π4<5π4＋2k π(k ∈Z )，解得－π4＋k π<x <π2＋k π(k ∈Z )．答案：(－π4＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan （π－α）tan （－α－π）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)原式＝－cos αsin α（－tan α）－tan αsin α＝－cos α.(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝sin(π2＋α)＝cos α， ∴cos α＝15.故f (α)＝－15.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法作出y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6闭区间上的简图；(3)说明f (x )的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到？ 解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴所求值域为[－3，2]． (2)①列表：(3)法一：可由y ＝sin x 的图像先向左平移π3个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．法二：可由y ＝sin x 的图像先将图像上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图像向左平移π6个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．17．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像如图，试依图指出：(1)f (x )的最小正周期；(2)f (x )的单调递增区间和递减区间； (3)图像的对称轴方程与对称中心． 解：(1)由图像知f (x )的最小正周期为2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4－π4＝3π.(2)∵半个周期是3π2，π4－3π2＝－5π4，由图像可知，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋3k π，π4＋3k π(k ∈Z )，f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋3k π，7π4＋3k π(k ∈Z )． (3)f (x )的图像的对称轴方程是x ＝π4＋3k π2(k ∈Z )，对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋3k π2，0(k ∈Z )．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6，(0<φ<π2，ω>0)．(1)若函数y ＝f (x )图像的两相邻对称轴间的距离为π2，且它的图像过(0，1)点，求函数y ＝f (x )的表达式；(2)将(1)中的函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数y ＝g (x )的单调递增区间；(3)若f (x )的图像在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋1100(a ∈R )上至少出现一个最高点或最低点，求正整数ω的最小值．解：(1)由题意得2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π6.又因为y ＝f (x )的图像过点(0，1)， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝12.又∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)将f (x )的图像向右平移π6个单位长度后， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像， 再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图像． 即g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6. 令2k π－π2≤12x －π6≤2k π＋π2，则4k π－2π3≤x ≤4k π＋4π3，(k ∈Z )，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3(k ∈Z )． (3)若f (x )的图像在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋1100(a ∈R )上至少出现一个最高点或最低点，则πω<错误!， 即ω>100π，又ω为正整数，∴ωmin ＝315.。
第一章三角函数全章教案
第一章三角函数本章教材分析1.本章知识结构如下:2.本章学习的内容主要是:三角函数的定义、图象、性质及应用.三角函数是高中教材中的一种重要函数,与其他的函数相比,具有许多重要的特征:它以角为自变量,是周期函数.三角函数是解决其他问题的重要工具,是高中阶段学习的最后一个基本初等函数,是深化函数性质的极好素材.本章的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识,特别强调了单位圆的直观作用,借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数.3.本章教学的重点是三角函数的定义,同角三角函数的基本关系式,正弦函数的图象及基本性质.难点是弧度制和图象变换的准确理解和掌握.关键是学好三角函数定义.从实际教学情况来看,教学中应重视学生的画图.“五点画图”虽然简单,但却易学难掌握.在本章教学中,教师应根据学生的生活经验和已有的数学知识,通过列举熟知的实例,创设丰富的情境,使学生体会三角函数模型的意义.教学时,可结合本章引言的章头图,让学生围绕这些问题展开讨论,通过思考,让学生知道三角函数可以刻画这些周期变化规律,从而激发学生的求知欲.4.三角函数的内容一直是高考的重要内容,特别是三角函数的图象和性质,及结合三角形的基础知识为背景的三角函数知识,频频在各省高考试题中出现,难度虽有降低,却是经久不衰的高考考查内容.5.本章教学时间约需16课时,具体分配如下(仅供参考):1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务.学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义.三维目标1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.重点难点教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.教学难点:用集合来表示终边相同的角.课时安排1课时教学过程导入新课图1思路 1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释?在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广.进而引入角的概念的推广的问题.思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的?所学的角的范围是什么?用这些角怎样解释现实生活的一些现象,比如你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能解释这些现象?由此让学生展开讨论,进而引入角的概念的推广问题.推进新课新知探究提出问题①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角?②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中,他们各转体了多少度?活动:让学生到讲台利用准备好的教具——钟表,实地演示拨表的过程.让学生站立原地做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角α,点O 是角的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边和终边.我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记作“α”.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角,零角的始边和终边重合,如果α是零角,那么α=0°.讨论结果:①顺时针方向旋转了30°;逆时针方向旋转了450°.②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 080°……提出问题①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°.②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思? 0°角又是什么意思?活动:先让学生看书、思考、并讨论这些问题,教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生,教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角,使用一条射线作为始边,没有固定的参照,所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样呢?并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.讨论结果:①能.②使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.这样:210°角是第三象限角;-45°角是第四象限角;-150°角是第三象限角.特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0°角.可以借此进一步设问:锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是第几象限角?反之如何?将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?提出问题①在直角坐标系中标出210°,-150°的角的终边,你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来?活动:让学生从具体问题入手,探索终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体给学生演示:演示象限角、终边相同的角,并及时地引导:终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系,从而为终边相同的角的表示作好准备.为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32°角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,形成-32°角后提问学生这是第几象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.至此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破.同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比学习知识本身更重要的.讨论结果:①210°与-150°角的终边相同;328°,-32°,-392°角的终边相同.终边相同的角相差360°的整数倍.设S={β｜β=-32°+k·360°,k∈Z},则328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此时k=0).因此,所有与-32°角的终边相同的角,连同-32°在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同.②所有与α终边相同的角,连同角α在内,可以构成一个集合S={β｜β=k·360°+α,k∈Z}.即任一与角α终边相同的角,都可以表示成α与整数个周角的和.适时引导学生认识:①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.应用示例例1 在0°—360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角. 解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范围内,与-950°12′角终边相同的角是129°48′,它是第二象限的角.点评:教师可引导学生先估计-950°12′大致是360°的几倍,然后再具体求解.例2 写出终边在y轴上的角的集合.活动:终边落在y轴上,应分y轴的正方向与y轴的负方向两个.学生很容易分别写出所有与90°,270°的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步思考:能否化简这两个式子,用一个式子表示出来.让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.图2解:在0°—360°范围内,终边在y轴上的角有两个,即90°和270°角,如图2.因此,所有与90°的终边相同的角构成集合S1={β｜β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有与270°角的终边相同的角构成集合S2={β｜β=270°+k·360°,k∈Z}.于是,终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β｜β=90°+n·180°,n∈Z}.点评:本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中,应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简约的形式.变式训练①写出终边在x轴上的角的集合.②写出终边在坐标轴上的角的集合.答案:①S={β｜β=(2n+1)·180°,n∈Z}.②S={β｜β=n·90°,n∈Z}.例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.图3解:如图3,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45°,在0°—360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°和225°,因此,终边在直线y=x上的角的集合S={β｜β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β｜β=225°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β<720°的元素是:45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角,并找出某一范围的所有的角,即按一定顺序取k的值,应训练学生掌握这一方法.例4 写出在下列象限的角的集合:①第一象限; ②第二象限;③第三象限; ④第四象限.活动:本题关键是写出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此类推即可,如果学生阅读例题后没有解题思路,或者把①中的范围写成0°—90°,可引导学生分析360°—450°范围的角是不是第一象限的角呢?进而引导学生写出所有终边相同的角.解:①终边在第一象限的角的集合:{β｜n·360°<β<n·360°+90°,n∈Z}.②终边在第二象限的角的集合:{β｜n·360°+90°<β<n·360°+180°,n∈Z}.③终边在第三象限的角的集合:{β｜n·360°+180°<β<n·360°+270°,n∈Z}.④终边在第四象限的角的集合:{β｜n·360°+270°<β<n·360°+360°,n∈Z}.点评:教师给出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗?充分让学生思考、讨论后形成共识,并进一步深刻理解终边相同角的意义.知能训练课本本节练习.解答:1.锐角是第一象限角,第一象限角不一定是锐角;直角不属于任何一个象限,不属于任何一个象限的角不一定是直角;钝角是第二象限角,但是第二象限角不一定是钝角.点评:要深刻认识锐角、直角、钝角和象限角的区别与联系,并理解记忆.为弄清概念的本质属性,还可以再进一步启发设问:锐角一定小于90°吗?小于90°的角一定是锐角吗?钝角一定大于90°吗?大于90°的角一定是钝角吗?答案当然是:不一定.让学生展开讨论,在争论中,将对问题的认识进一步升华,并牢牢的记忆这些基础知识.2.三、三、五.点评:本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上.题目联系实际,把教科书中除数360换成每个星期的天数7,利用了“同余”来确定7k天后、7k天前也是星期三,这样的练习难度不大,可以口答.3.(1)第一象限角.(2)第四象限角.(3)第二象限角.(4)第三象限角.点评:能作出给定的角,并判断是第几象限的角.4.(1)305°42′,第四象限角.(2)35°8′,第一象限角.(3)249°30′,第三象限角.点评:能在给定的范围内找出与指定角终边相同的角,并判断是第几象限的角.5.(1){β｜β=1 303°8′+k·360°,k∈Z},-496°42′,-136°42′,223°18′.(2){β｜β=-225°+k·360°,k∈Z},-585°,-225°,135°.点评:用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合,并在给定的范围内找出与指定的角的终边相同的角.课堂小结以提问的方式与学生一起回顾本节所学内容并简要总结:让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都学到了哪些数学方法?让学生自己得到以下结论:本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在第几象限,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角α终边相同的角,这些角的集合为S={β｜β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°内找与已知角终边相同的角α,其方法是用所给的角除以360°,所得的商为k,余数为α(α必须是正数),α即为所找的角.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.作业①课本习题1.1 A组1、3、5.②预习下一节:弧度制.设计感想1.本节课设计的容量较大,学生的活动量也较大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件,在课堂上演示给学生;有条件的学校,可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.2.本节设计的指导思想是加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.在学生得出象限角的概念后,可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律,为研究三角函数的周期性奠定基础.3.几点说明:(1)列举不在0°—360°的角时,应注意所有的角在同一个平面内,且终边在旋转的过程中,角的顶点不动.(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k 的正确取值是关键,应让学生独立思考领悟.(3)在写出终边相同的角的集合时,可根据具体问题,对相应的集合内容进行复习.1.1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的3601,记作1°. 通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.三维目标1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣.重点难点教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数.随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上说,圆心角有正角、零角、负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度数有正数、０、负数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心角对应着不同的弧,反之亦然.推进新课新知探究提出问题问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?图1活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半径r,AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角,即rl =1. 讨论结果:①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.②能,用弧度制.提出问题问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?问题②:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的3601;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角.②α=r 1;将角度化为弧度:360°=2π rad,1°=180πrad≈0.017 45 rad,将弧度化为角度:2π rad=360°,1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为α rad=(πa 180)°,n°=n 180π(rad). 提出问题问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示? 问题②:填写下列的表格,找出某种规律.的长 πr 对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.由上表可知,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是a1这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,。
高中数学 第1章《三角函数》三角函数小结导学案 北师大版必修
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》三角函数小结导学案 北师大版必修4【学习目标】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.3.能画出函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像.会利用单位圆或三角函数图像 推导出诱导公式，并能借助图像理解正弦函数、余弦函数在]2,0[π，正切函数 在)2,2(ππ-上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴交点等）.4.了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义；会画)sin(ϕω+=x A y 的图像，体会参数ϕω,,A 对函数图像的影响.2.弧度制（1）1弧度的角： （2）弧度与角度的互化： （3）弧长公式和扇形面积公式： 3.任意角的三角函数 （1）定义：（2）三角函数值的符号：（3）诱导公式的口诀：4.正弦、余弦、正切函数的图像及性质 函数x y sin =x y cos =x y tan =图像定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性【合作探究】1. 已知角α的终边在函数x y 21-=的图像上，求ααcos ,sin 和.tan α2. )sin()cos()23sin()2cos()3sin()(απαππααππαα----+---=f .（1）化简)(αf ； （2）若331πα-=，求)(αf 的值. 3. 函数)||,0,0()sin(πϕωϕω≤>>++=A b x A y 在一个周期内，当6π=x 时，y 取最小值1；当65π=x 时，y 取最大值3.请求出此函数的解析式.4. 求下列函数的值域： （1）)34cos(32π--=x y ； （2）2sin 1sin 3-+=x x y .【课堂检测】 1. 求函数)343sin(51π-=x y 的最小正周期、单调递增区间、最大值及对应的x 值 的集合.2. 判断下列函数的奇偶性： （1）x x y cos 2+=；（2）x y sin 21=；（3）x x y sin 2=；（4）x x y tan cos -=.3. 一个扇形的弧长和面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数.4. 比较下列各组函数值的大小：（1）532sin π和427sin π； （2）)2037cos( -和852cos ； （3）)718tan(π-和)843tan(π-.【课后训练】。
2018-2019学年高一数学教学案：第一章 章末小结与测评
\一、角的概念1．角不仅有大小而且有正负，角的概念的推广重在“旋转”两字．其旋转方向决定了角的正负，由此确定了角的分类．2．象限角及非象限角，都是相对于坐标系而言的，应注意平面直角坐标系的建立方法，即角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，只有在这一前提下，才能讨论象限角与非象限角．3．终边相同的角有无数个，在所有与角α终边相同的角的集合可表示为S ＝{}β|β＝k ×360°＋α，k ∈Z .终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．二、角度制与弧度制弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，两种单位不能混用，如π6＋k ×360°或60°＋2k π，k ∈Z 的写法是不允许的，尤其是当角是用字母表示时更要注意，如角是在弧度制下，就不能写成k ×360°＋α，k ∈Z 等．三、三角函数的定义 1．三角函数的定义有两种(1)角α的终边上任取一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝yr ，cos α＝x r ；tan α＝y x. (2)角α的终边与以原点为圆心，以单位长为半径的圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.2．用三角函数线解基本的三角不等式的步骤为： (1)先作出取等号的角；(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角范围． 3．诱导公式2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k的奇偶．四、三角函数的图像与性质五、函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像1．由y＝sin x的图像变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图像(1)三角函数图像的变化规律和方法，由y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)，此步骤只是平移，而由y ＝sin x →y ＝sin(ωx ＋φ)可由两条思路：①y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)即先平移后伸缩；②y ＝sin x →y ＝sin ωx →y ＝sin(ωx ＋φ)即先伸缩再平移．不论哪一条路径，每一次变换都是对字母x 而言的．(2)“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”，两条路径平移的单位不同 ；“先平移后伸缩”平移|φ|个单位，“先伸缩后平移”则须平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位．主要程序如下：①y ＝sinx ――→平移变换平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)；②y ＝sin x ――→周期变换 y ＝sin ωx ――→平移变换平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． 2．由图像确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，主要从以下三个方面来考虑 (1)A 的确定：根据图像的“最高点、最低点”确定A .(2)ω的确定：结合图像先求周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)确定ω.(3)φ的确定：根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)最开始与x 轴的交点(靠近原点)的横坐标为－φω⎝ ⎛⎭⎪⎫即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω确定φ. 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过列不等式的方法求解，列不等式的原则是：把“ωx ＋φ”视为一个“整体”；再根据y ＝sin x 的增减区间列不等式．(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，当φ＝k π，k ∈Z 时，是奇函数；当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，是偶函数．(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|.[典例1] 已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan （α＋5π）tan （－α－π）sin （α－3π），(1)化简f (α)；(2)若α＝－13π3，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝cos α（－sin α）tan α（－tan α）（－sin α）＝－cos α.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－13π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－3×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.[借题发挥] (1)灵活运用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，以达到统一角的目的； (2)在求值中有已知三角函数值求值与已知角求值两种情况，已知三角函数值求值时，要分清已知的三角函数与未知的三角函数之间的关系，特别是角的关系；已知角求值时，利用诱导公式．[对点训练]1．已知cos(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：∵cos(3π＋θ)＝13，∴－cos θ＝13即cos θ＝－13.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos （2π－θ）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝94.[典例2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝sin x ＋cos x tan x ；(2)y ＝sin x ＋tan x .[解] (1)要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan x ≠0.∴有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，x ≠k π.(k ∈Z ) ∴函数y ＝sin x ＋cos xtan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z .(2)当sin x ≥0且tan x 有意义时，函数有意义， ∴有⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤（2k ＋1）π，x ≠k π＋π2.(k ∈Z ) ∴函数y ＝sin x ＋tan x 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，（2k ＋1）π(k ∈Z )． [借题发挥] 1.求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)，通常可用三角函数的图像或单位圆来求解．2．求三角函数的值域(最值)问题常用的方法有：(1)将所给的三角函数转化为二次函数并通过配方法求值域(最值)；(2)将所给的函数转化为sin(ωx ＋φ)或cos(ωx ＋φ)的函数，利用sin x ，cos x 的有界性求值域．[对点训练]2．已知函数y ＝lg cos 2x ，求它的定义域和值域． 解：函数f (x )＝lg cos 2x 有意义，则cos 2x >0，即 2k π－π2<2x <2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z .∴函数的定义域为{x |k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z }． 由于0<cos 2x ≤1，∴lg cos 2x ≤0，所以函数的值域为(－∞，0].[典例3]如右图，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图像． (1)求此函数解析式；(2)说明该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ [解] (1)由图像知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图像．[借题发挥] 三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π.(2)对于y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)已知函数图像来求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式时，要先求A 、ω，再求φ.[对点训练]3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，0<φ>π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式．解：因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3，又当x ＝π6时函数f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，因为0<φ<π，故φ＝π6， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.[典例4] (重庆高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图像与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．(提示：cos 2x ＝2cos 2x －1)[解] (1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π， 即2πω＝π，解得ω＝2. 因f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π<φ≤π得φ＝π6，故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos 2x＝（2cos 2x －1）（3cos 2x ＋2）2（2cos 2x －1） ＝32cos 2x ＋1⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x ≠12.因cos 2x ∈[0，1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，74∪⎝ ⎛⎦⎥⎤74，52. [借题发挥] 在考查三角函数的性质时，一般与后面的三角恒等变换相联系，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等有关性质．研究三角函数的性质时，除了熟悉y ＝sin x ，y ＝cos x 和y ＝tan x 的性质外，还要注意整体代换和方程的思想的应用．[对点训练]4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2－1 (1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6的最小值和最大值；(3)若x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，π3，求使f (x )≥2的x 的取值范围． 解：(1)T ＝2π2＝π，由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，解得－38π＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π，(k ∈Z )．(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，712π.所以f (x )的最大值为22－1，最小值为2－2. (3)由f (x )≥2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥22， 由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，π3可得2x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－74π，1112π.故满足条件的2x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－74π，－54π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π，解得x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－π，－34π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.故使f (x )≥2的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－π，－34π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列各角中与－π3终边相同的是( )A ．－5π3 B.2π3C.4π3 D.5π3解析：选D ∵2π－π3＝5π3，∴－π3与角5π3的终边相同．2．cos 330°＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：选C cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°) ＝cos 30°＝32. 3．设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B ∵α是第三象限角， ∴2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，∴k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，∴α2是第二象限或第四象限角． 又∵|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2＜0，∴α2是第二象限角． 4．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增加的，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上是减小的，则ω＝( )A ．3B ．2 C.32 D.23解析：选C 由题意知，函数在x ＝π3处取得最大值1，所以1＝sin ωπ3，ω＝32.5．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的一个单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，7π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4解析：选B y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，检验各选项知，只有B 项中的区间是单调递减区间．6．(全国高考)若函数f (x )＝sin x ＋φ3，φ∈[0，2π]是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3 C.3π2 D.5π3解析：选C 若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1， 即sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．只有C 项符合．7．(山东高考)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3. 8．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根解析：选C 构造两个函数y ＝|x |和y ＝cos x ，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察图像知有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．9. 已知函数图像的一部分如图，则函数的解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：选D 由图像知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π.∴ω＝2，排除选项A 、C.∵图像过⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1代入选项B ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π6＝0≠1，故B 错误． 10．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3 D.π2解析：选A ∵函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)中心对称，∴2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )． φ＝k π＋13π6(k ∈Z )，由此易得|φ|min ＝π6.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．设扇形的半径长为4 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 解析：由S ＝12αr 2，得α＝2S r 2＝12.答案：1212．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若p (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，故y <0，由sin θ＝y16＋y2＝－255得y ＝－8. 答案：－813．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________．解析：由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，知周期T＝4π3＝2πω，ω＝32. 答案：3214．函数y ＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2的定义域是________． 解析：要使函数有意义，必须有⎝⎭4即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4>－22. 设z ＝2x ＋π4，则sin z >－22.由图知，－π4＋2k π<z <5π4＋2k π(k ∈Z )，即－π4＋2k π<2x ＋π4<5π4＋2k π(k ∈Z )，解得－π4＋k π<x <π2＋k π(k ∈Z )．答案：(－π4＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan （π－α）tan （－α－π）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)原式＝－cos αsin α（－tan α）－tan αsin α＝－cos α.(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝sin(π2＋α)＝cos α， ∴cos α＝15.故f (α)＝－15.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法作出y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6闭区间上的简图；(3)说明f (x )的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到？ 解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，2⎝⎭3∴所求值域为[－3，2]． (2)①列表：(3)法一：可由y ＝sin x 的图像先向左平移π3个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．法二：可由y ＝sin x 的图像先将图像上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图像向左平移π6个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．17．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像如图，试依图指出：(1)f (x )的最小正周期；(2)f (x )的单调递增区间和递减区间； (3)图像的对称轴方程与对称中心． 解：(1)由图像知f (x )的最小正周期为2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4－π4＝3π.(2)∵半个周期是3π2，π4－3π2＝－5π4，由图像可知，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋3k π，π4＋3k π(k ∈Z )，f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋3k π，7π4＋3k π(k ∈Z )． (3)f (x )的图像的对称轴方程是x ＝π4＋3k π2(k ∈Z )，对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋3k π2，0(k ∈Z )．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6，(0<φ<π2，ω>0)．(1)若函数y ＝f (x )图像的两相邻对称轴间的距离为π2，且它的图像过(0，1)点，求函数y ＝f (x )的表达式；(2)将(1)中的函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数y ＝g (x )的单调递增区间；(3)若f (x )的图像在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋1100(a ∈R )上至少出现一个最高点或最低点，求正整数ω的最小值．解：(1)由题意得2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π6.又因为y ＝f (x )的图像过点(0，1)， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝12.又∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)将f (x )的图像向右平移π6个单位长度后， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像， 再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图像． 即g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6. 令2k π－π2≤12x －π6≤2k π＋π2，则4k π－2π3≤x ≤4k π＋4π3，(k ∈Z )，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3(k ∈Z )． (3)若f (x )的图像在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋1100(a ∈R )上至少出现一个最高点或最低点，则πω<错误!， 即ω>100π，又ω为正整数，∴ωmin ＝315.。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(2)学案(含解析)新人教A版必修4(20
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1。
2.1 任意角的三角函数(二）班级:__________姓名:__________设计人：__________日期：__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语谁有进取的意志,谁就干得成.-—罗曼·罗兰学习目标1．理解三角函数线的概念.2．会利用三角函数线比较三角函数值的大小，会解简单的三角不等式.学习重点三角函数线的做法及其简单应用学习难点利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的集合形式表示出来自主学习有向线段和三角函数线（1)有向线段：______________的线段。
(2）三角函数线:如图为角α的三种三角函数线，sinα =____________，cos α =____________,tan α=____________。
预习评价1．有三个说法:①和的正弦线相等；②和的正切线相等；③和的余弦线相等。
其中正确的有A.1个 B。
2个 C.3个 D。
0个2．若角α的余弦线的长度为且方向与x轴的正方向相反，则cosα=___.3．利用单位圆中的三角函数线求不等式的解集是___。
♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．三角函数线已知任意角α与单位圆交于点P(x，y），过P点作PM丄x轴于点M，根据三角函数的定义知：，这些值是否有一定的几何意义呢？请根据图形思考下面的问题:(1）由图知，问怎样规定一个适当的方向使线段OM，MP的取值与点P的坐标一致？(2)如何在单位圆中找像OM，MP这样的线段来表示角α的正切？2．如图为角α，β的三角函数线，请根据图中的三角函数线，完成下列填空：（用“〉”或“<'’填空)(1)sinβ________________sinα. (2）cosα________________cosβ.(3)tanβ________________tan α.教师点拨对三角函数线的三点说明（1)余弦线是以原点为起点，正弦线和正切线是以此线段与坐标轴的交点为起点.（2）三角函数线不只是一条线段，它们是有起点和终点的，即三角函数线是有方向的。
高中数学 第一章 三角函数教案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案
三角函数模块专题复习 ——任意角的三角函数及诱导公式一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等. 二、教学目标1、知识与技能：掌握三角函数的基础知识及简单应用. 2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
3、情态与价值：掌握三角函数的基础知识及简单应用，培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。
三、教学重点与难点教学重点:三角函数的图形和性质. 教学难点: 三角函数的图形和性质. 四．要点精讲 1．任意角的概念 旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、区间角与象限角 3．弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分.角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。
2018版高中数学第一章三角函数章末复习课学案苏教版
第一章 三角函数学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象.4.理解三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的性质.5.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义，掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的变换．1．任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的________，记作______，即____________； (2)x 叫做α的________，记作______，即____________； (3)y x叫做α的________，记作______，即____________． 2．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：____________________.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .3．诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． 4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质类型一 三角函数的概念例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.反思与感悟 (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r ＞0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边经过点P (3,4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t ＝______.类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2 已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：(1)cos 2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋－π－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ1＋π－θ；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．反思与感悟 (1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. (2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．跟踪训练2 已知f (α)＝sin2π－απ－α－π＋α－π＋α－α＋3π.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值．类型三 三角函数的图象与性质例3 将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的π3倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y ＝3sin x 的图象． (1)求f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最小值和最大值．反思与感悟 研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性、最值问题，把ωx ＋φ看作一个整体来解决． 跟踪训练3 函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．类型四 三角函数的最值和值域 命题角度1 可化为y ＝A ωx ＋φ＋k 型例4 求函数y ＝－2sin(x ＋π6)＋3，x ∈[0，π]的最大值和最小值．反思与感悟 利用y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响．跟踪训练4 已知函数y ＝a sin(2x ＋π6)＋b 在x ∈[0，π2]上的值域为[－5,1]，求a ，b 的值．命题角度2 可化为sin x 或cos x 的二次函数型例5 已知|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．反思与感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错．跟踪训练5 已知函数f (x )＝－sin 2x －a sin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a >0，求a ，b 的值．类型五 数形结合思想在三角函数中的应用例6 已知方程sin(x ＋π3)＝m2在[0，π]上有两个解，求实数m 的取值范围．反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想． 跟踪训练6 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)．若f (x )在区间[π6，π2]上是单调函数，且f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，则f (x )的最小正周期为________．1．若一个角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为_______． 2．已知f (α)＝π－απ－α－π－αα，则f (－31π3)的值为________．3．函数y ＝|sin x |＋sin|x |的值域为________．4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是____________．5．已知函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．答案精析知识梳理1．(1)正弦 sin α sin α＝y (2)余弦 cos α cos α＝x (3)正切 tan α tan α＝y x(x ≠0)2．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 4．[－1,1] [－1,1] R 奇函数 偶函数 奇函数 2π 2π π π2＋2k π 题型探究 例1 －8 跟踪训练1 －916例2 解 由根与系数的关系，得 sin θ＋cos θ＝3＋12， sin θcos θ＝m2.(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)由sin θ＋cos θ＝3＋12， 两边平方可得1＋2sin θcos θ＝4＋234，1＋2×m 2＝1＋32，m ＝32. (3)由m ＝32可解方程 2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，得两根12和32.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32或 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.∵θ∈(0,2π)， ∴θ＝π6或π3.跟踪训练2解 (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α－sin α－tan α＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0， ∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－47π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.例3 解 (1)函数y ＝ 3 sin x 的图象向下平移1个单位长度得y ＝3sin x －1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的3π倍，得到y ＝3sin π3x －1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y ＝3sin(π3x －π3)－1的图象，∴函数y ＝f (x )的最小正周期为T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，∴函数y ＝f (x )的单调增区间是[6k －12，6k ＋52]，k ∈Z .(2)∵函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最值． ∵当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈[2π3，π]，∴sin(π3x －π3)∈[0，32]，∴f (x )∈[－1，12]．∴当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最小值是－1，最大值为12.跟踪训练3 解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.例4 解 ∵x ∈[0，π]， ∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴－12≤sin(x ＋π6)≤1.当sin(x ＋π6)＝1，即x ＝π3时，y 取得最小值1.当sin(x ＋π6)＝－12，即x ＝π时，y 取得最大值4.∴函数y ＝－2sin(x ＋π6)＋3，x ∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.跟踪训练4 解 ∵x ∈[0，π2]， ∴2x ＋π6∈[π6，76π]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．∴当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－a2＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3；当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋b ＝1，a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝－1.∴a ，b 的取值分别是4，－3或－4，－1.例5 解 y ＝f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1.令t ＝sin x ，∵|x |≤π4， ∴－22≤sin x ≤22. 则y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54(－22≤t ≤22)， ∴当t ＝－22，即x ＝－π4时，f (x )有最小值，且最小值为－(－22－12)2＋54＝1－22. 跟踪训练5 解 令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2－at ＋b ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a 22＋a 24＋b ＋1， 且t ∈[－1,1]．根据对称轴t 0＝－a 2与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论． ①当－a 2≤－1，即a ≥2时， ⎩⎪⎨⎪⎧ y max ＝g －＝a ＋b ＝0，y min ＝g ＝－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2.②当－1<－a2<0，即0<a <2时， ⎩⎪⎨⎪⎧ y max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋b ＋1＝0，y min ＝g＝－a ＋b ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，b ＝－10(舍)，综上所述，a ＝2，b ＝－2.例6 解 函数y ＝sin(x ＋π3)，x ∈[0，π]的图象如图所示，方程sin(x ＋π3)＝m 2在[0，π]上有两个解等价于函数y 1＝sin(x ＋π3)，y 2＝m 2在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点，所以32≤m 2＜1，即3≤m ＜2.跟踪训练6 π当堂训练1．－43或－433 2.－123.[0,2] 4．2，－π3 5.[3,4]。
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第一章 三角函数1．在直角坐标系中，设任意角α终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r ＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ；cos α＝x r ；tan α＝yx.2．任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P 在终边上的位置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应．3．三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限．[典例1] 已知角α的终边经过点P (12m ，－5m )(m ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．解：r ＝m2＋－5m2＝13|m |，若m >0，则r ＝13m ，α为第四象限角，sin α＝y r ＝－5m 13m ＝－513，cos α＝x r ＝12m 13m ＝1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.若m <0，则r ＝－13m ，α为第二象限角， sin α＝y r ＝－5m －13m ＝513，cos α＝x r ＝12m －13m ＝－1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.[对点训练]1．(1)α是第四象限角，P (5，x )为其终边上一点，且sin α＝24x ，则cos α的值为( )A.104 B.64 C.24 D ．－104(2)若－π2<α<0，则点P (tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：(1)由定义可得sin α＝x x 2＋5＝24x ，x <0，可得x ＝－3，∴cos α＝522＝104. (2)∵－π2<α<0，∴tan α<0，cos α>0，∴点P (tan α，cos α)位于第二象限．答案：(1)A (2)B三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．化简的顺序是：(1)先用诱导公式化为同角三角函数． (2)再用同角三角函数关系化简．用同角三角函数关系化简时，有两种思路：①化弦法：当切函数的项比较少时，常常化弦达到化简的目的；②化切法：当弦函数的项比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时，常常化切，便于化简．[典例2] 已知2＋θ－π1＋π－θ＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．解：2＋θ－π1＋π－θ＝2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)＝sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ＋3sin θcos θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2 θ＋cos 2θ ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1 ＝4×2－22－322＋1＝15. [对点训练] 2．化简下列各式： (1)sin 3π＋α－απ－αtan 3π＋α3－α－π＋α＋3π2α＋3π2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αα＋5ππ＋α3π＋α；(2)－－－－＋sin 29°cos 61°－tan 36°·tan 54°.解：(1)原式＝－sin 3αcos α－cos αtan 3α－cos α3＋－cos α2αsin 2αtan αtan α－cos α3＝－sin 3αcos 2αsin 3αcos 3α·cos 3α＋cos αsin 4αsin 2αcos 2α·cos 3α＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1.(2)原式＝－tan 510°cos 210°cos 120°－－＋sin 29°cos 61°－tan 36°·tan 54°＝－＋＋－－－＋1－tan 36°tan54°＝－－－－－＝－－180°＋＝－tan 60°sin 30°＝－36.(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x 轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线．(2) ]函数y =sin x 的图象变换到函数y =A sin （ωx +φ）的图象时，法则是针对自变量x 和因变量y ，左加右减，上加下减.途径是相位变换φ（φ≠0）→周期变换ω(ω>0)→振幅变换A (A >0)和周期变换ω(ω>0)→相位变换φ(φ≠0)→振幅变换A (A >0)．注意二者平移量的不同．(3)由已知条件确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，需要确定A ，ω，φ，其中A ，ω易求，下面介绍求φ的几种方法．①平衡点法由y ＝A sin(ωx ＋φ)＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω知它的平衡点的横坐标为－φω，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x 1＝－φω，则可求φ.②确定最值法这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程． ③利用单调性将函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与y ＝sin x 的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ.[典例3] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，⎭⎪⎫0<φ<π2的图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)由题可知T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又f (x )min ＝－2，∴A ＝2.由f (x )的最低点为M ，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1. ∵0<φ<π2，∴4π3<4π3＋φ<11π6.∴4π3＋φ＝3π2.∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62(−−−−−−−−→横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π66x π−−−−−−→沿轴向右平移个单位y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝2sin x ，∴g (x )＝2sin x .(3)∵0≤x ≤π12，∴π6≤2x ＋π6≤π3.∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )min ＝2sin π6＝1，当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )max ＝2sin π3＝ 3.[对点训练]3．(1)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4(2)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 解析：(1)将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin2x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴的方程． (2)由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.答案：(1)A (2)C4.如图，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图象． (1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？解：(1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象.(1)函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的周期是2π，y ＝tan x 的周期是π；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期是2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期是π|ω|.(2)函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的有界性为：－1≤sin x ，cos x ≤1，函数y ＝tan x 没有最值．有界性可用来解决三角函数的最值问题．(3)函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π上递减；函数y ＝cos x 在[－π＋2k π，2k π]上递增，在[2k π，2k π＋π]上递减；函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π上递增，以上k ∈Z .(4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内；求形如f (ωx ＋φ)的单调区间时，采用整体代换的方法将ωx ＋φ视为整体求解相应x 的范围即可，注意ω的符号及f 对单调性的影响．[典例4] 函数f (x )＝3sin2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3. [对点训练]5．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C .①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C ①f ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝3sin 3π2＝－3，∴直线x ＝11π12为对称轴，①对；②由－π12<x <5π12⇒－π2<2x －π3<π2，由于函数y ＝3sinx 在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2内单调递增，故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内单调递增，②对；③f (x )＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，而由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，得不到图象C ，③错．。