高中数学2019届温州九校第一次联考
专题06 平面向量 (解析版)
专题06 平面向量【真题感悟】1.（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（）A．B．C．2 D．【答案】A【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.2.（2017年浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则A．I１<I２<I３B．I１<I３<I２C．I３<I１<I２D．I２<I１<I３【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C．3.（2019年浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】(1)0 (2)【解析】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min 0AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正. 比如1234561,1,,1,1,11λλλ=-λλ=-=λ===则123456max AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ==4.（2017年浙江卷）已知向量a,b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______.【答案】 4【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有： 212a b -=+=212212cos 4cos a b θ+=+-⨯⨯⨯=，则：54cos a b a b ++-=+令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin2025,164a b a b a b a b++-==++-==，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是25．5.（2016年浙江文）已知平面向量a ，b ，|a|=1，|b|=2，a·b=1.若e 为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______.【解析】由已知得,60<>=︒a b ，不妨取(1,0)=a ，=b ，设(cos ,sin )αα=e ，则cos cos ααα⋅+⋅=++a e b e 2cos αα，取等号时cos α与sin α同号．所以2cos 2cos αααα=αα=)αθ=+（其中sinθθ==θ为锐角）．)αθ+≤ 易知当2αθπ+=时，sin()αθ+取最大值1，此时α为锐角，sin ,cos αα同为正，因此上述不等式中等．6.（2016年浙江理）已知向量a ，b ，｜a ｜ =1，｜b ｜=2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a·e ｜+｜b·e ｜≤,则a·b 的最大值是 ．【答案】12【解析】()221||||262a b e a e b e a b a b a b a b +⋅≤⋅+⋅≤+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12. 7.（2015年浙江文）已知1e ， 2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b = ．【解析】由题可知，不妨()11,0e =，212e ⎛=⎝⎭，设(),b x y =，则11b e x ⋅==，2112b e x y ⋅=+=，所以31,3b ⎛⎫= ⎪ ⎝⎭，所以113b =+=.8.（2015年浙江理）已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ．【答案】1，2，22.【解析】问题等价于12()b xe ye -+当且仅当0x x =，0y y =时取到最小值1，两边平方即xy y x y x |+--++5422在0x x =，0y y =时，取到最小值1，2245|b |x y x y xy ++--+ 22(4)5||x y x y b =+--+22243()(2)7||24y x y b -=++--+，∴⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=-+22||211||702024002000y x y y x . 【考纲要求】1．理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念. 2．掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.3．理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题. 4．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 5．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.6．理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 7．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.8．会用坐标表示平面向量的平行与垂直.9．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.【考向分析】1.平面向量的线性运算2.平面向量的坐标运算3.平面向量的数量积、模、夹角.【高考预测】平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年浙江卷主要考查平面向量的坐标运算、模的最值等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等或中等偏难.【迎考策略】1.向量线性运算的解题策略（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．2. 准确理解共线向量定理（1）a∥b等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．对于向量a(a≠0)，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a，b共线；若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0⇔a∥b；（2）共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具：解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB 外任意一点O ，总存在非零实数λ，使()1OP O OB A λλu u u r u u u u r u r＝＋－成立”．3. 基底的“唯一”与“不唯一”“不唯一”：只要同一平面内两个向量不共线，就可以作为表示平面内所有向量的一组基底，对基底的选取不唯一；“唯一”：平面内任意向量a 都可被这个平面内的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．4.平面向量数量积的计算方法①定义法求平面向量的数量积：已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b|cos θ求解； ②坐标法求平面向量的数量积： (a)已知或可求两个向量的坐标；(b)已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积．③基底法求平面向量的数量积：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解．(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． 5.向量数量积的性质（1）如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . （2）a ⊥b ⇔a ·b ＝0.（3）a ·a ＝|a |2，|a （4）cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)（5）|a ·b |≤|a ||b |.6.利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．同时应注意： (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围． 7.巧建坐标系系，妙解向量题：坐标是向量代数化的媒介，若能建立适当的直角坐标系，往往能很快实现问题的转化．常见的建系方法如下：（1）利用图形中现成的垂直关系若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系． （2）利用图形中的对称关系图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限． （3）三角形中有唯一一个特殊角(30°、45°、60°等)时，有以下两种建系方法（4）圆(或半圆、扇形)与其他图形的综合图形通常以圆心为坐标原点建系．（5）所给向量中任意两向量之间的夹角为特殊角，将所给向量平移为共起点，以该起点为坐标原点建系．【强化演练】1．(2019年高考北京卷理)设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．2.(2019届北京市通州区三模)设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a ，b 均为单位向量， 若a 与b 夹角为2π3，则||1+=a b ， 因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||+=a b ”；若||+=a b||+=a b 解得1cos ,2=a b ，即a 与b 夹角为π3， 所以，由“||+=a b 不能推出“a 与b 夹角为2π3” 因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D3.(浙江省温州市2019届高三2月高考适应)在平面上，，是方向相反的单位向量，||＝2 ，(-) •(-) ＝0 ，则|-|的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．3【答案】D【解析】由题意(-) •(-) ＝0，即-（=0，又，是方向相反的单位向量，所以有，即||＝1，记,则A,B两点的轨迹分别是以原点为圆心，以2和1为半径的圆上，当反向共线时，如图：|-|的最大值为1+2=3，故选D.4．(浙江省金华十校2019届高三上期末)已知向量，满足：，，，且，则的最小值为A．B．4 C．D．【答案】A【解析】由题意可知，把看作，，，则可表示为，点B在直线上，设，，，，，，，则的最小值可转化为在直线取一点B，使得最小，作点C关于的对称点，则最小值即可求出，设，由，解得，，则，故的最小值为．故选：A．5．(浙江省嘉兴市2019届高三上期末)已知向量，满足，，则的取值范围是( )A．B．C．[D．[【答案】D【解析】设点M为平面中任意一点，点是关于原点对称的两个点，设，根据题意，根据椭圆的定义得到点M的轨迹是以为焦点的椭圆，方程为.,即.故答案为：D.6．(浙北四校2019届高三12月模拟)已知向量，满足，，则的最小值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因为，，由绝对值向量三角不等式得：===1，故选A.7．(浙江省2019届高考模拟卷（一)）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )A．B．C．3 D．【答案】D【解析】，得到，所以，结合的面积为，得到,得到，所以，故选D.8．(浙江省温州九校2019届高三第一次联考)已知是不共线的两个向量，的最小值为，若对任意m,n，的最小值为1, 的最小值为2，则的最小值为（）A．2 B．4 C．D．【答案】B【解析】设的夹角为，则，则由的最小值为,的最小值为，可得，两式相乘可得（*）而，结合（*）可得，解得则故选B.9.(浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考)均为单位向量，且它们的夹角为，设满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴，建立平面直角坐标系则，，则满足，故，如图其轨迹图象则其最小值为故选.10．（天津市和平区2019届高三下学期第三次质量调查）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为( ) A ．3 B ．2C ．23D ．52【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭， 且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-， 故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=.故选：B.11．(湖北省黄冈中学2019届高三三模)已知m ，n 是两个非零向量，且||2m =，|2|4m n +=，则||||m n n ++的最大值为______.【答案】【解析】设m 的起点为坐标原点，因为||2m =，所以设m 的终点坐标为(2,0)，即(2,0)m =，设(,)n x y =，因为|2|4m n +=，所以2222(22)(2)16(1)4x y x y ++=⇒++=，21x -≤≤，||||(m n n x ++=+，而2222(1)423x y x x y ++=⇒++=，所以有||||72m n n ++=+≤==1x =-时，取等号，即||||m n n ++的最大值为12．(浙江省七彩联盟2019届高三11月期中】已知向量，满足，，若对任意实数x 都有，则的最小值为______【答案】【解析】如图，由，知在上的投影为2，即，，对任意实数x 都有，．由摄影定理可得，．设，取，可得P在直线BC上，线段OP的最小值为O到直线BC的距离，当时，．故答案为：．13．(浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末)若向量满足，且，则的最小值是_ _.【答案】【解析】设，，，由可知，所以点C在以AB为直径的圆上；设,，则，而表示点O到以AB为直径的圆上任一点的距离，所以最大值即是点O到圆心E的距离加半径，即，所以，即最小值为2.故答案为2.14．(浙江省台州市2019届高三上期末)设圆，圆半径都为1，且相外切，其切点为．点，分别在圆，圆上，则的最大值为__ __．【答案】【解析】以为原点，两圆圆心所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系．则，，令，，所以所以，令，则，所以当时，有最大值，填．15.(2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________． 【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B ，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BEy x =-， 直线AE的斜率为3-，其方程为3y x =-.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x 1y =-，所以1)E -. 所以35(,)(3,1)12BD AE =-=-.16. (2019年高考江苏卷)如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE交于点O .若6ABAC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故ABAC=。
2018-2019学年浙江省温州九校联盟高一第一学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省温州九校联盟高一第一学期期末数学试题一、单选题1．（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用诱导公式，化简所求的表达式，由此求得正确选项.【详解】根据诱导公式得.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查特殊角的三角函数值.属于基础题.2．下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对四个选项逐一分析，从而得出正确选项.【详解】对于A选项，，故函数为偶函数.对于C选项，，故为奇函数.对于D选项，正切函数是奇函数，排除A,C,D三个选项，则B选项符合题意.对于B选项由，解得，定义域不关于原点对称，即不是奇函数也不是偶函数.故选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性的定义以及函数奇偶性的判断，属于基础题.3．将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】的图象沿轴向右平移个单位，即，化简后求得的表达式.【详解】依题意的图象沿轴向右平移个单位，得到，即，故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，属于基础题.变换过程中要注意的系数的影响. 4．已知点，，向量，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求得的坐标，然后利用减法求得的坐标.【详解】依题意，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.5．若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据正切值判断所在的象限，然后对逐一分析，得出正确选项.【详解】由于，故为第二或者第四象限角.为第二象限时，.当为第四象限时，.故A,B选项错误，C选项正确.不妨设，，，故D选项错误.综上所述，本题选C.【点睛】本小题主要考查三角函数在各个象限的正负，考查二倍角公式，属于基础题.6．已知向量，，为实数，则的最小值是（）A．1 B．C．D．【答案】B【解析】先求得的坐标，利用模的运算列出表达式，用二次函数求最值的方法求得最小值.【详解】依题意，故，当时，取得最小值为.故选B.【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查向量模的坐标表示，考查二次函数最值的求法，属于中档题.7．若是函数的零点，则在以下哪个区间（）A．B．C．D．【答案】C【解析】计算的值，利用零点的存在性定理判断所在的区间.【详解】由于，，根据零点的存在性定理可知，在区间，故选C.【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的应用，考查函数零点区间的判断，属于基础题. 8．已知为常数，函数在区间上的最大值为2，则的值为（）A．-1或B．或C．1或D．1或【答案】A【解析】注意到为上的增函数，按，两类，求得的最大值并由此列方程，解方程求得的值.【详解】令，为上的增函数.当，即时，，，舍去.当，即时，由于单调递增，故函数的最值在端点处取得..若，解得.当时，符合题意.当时，不符合题意.当，解得.当时，，不符合题意.当时，符合题意.故或.所以选A.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查含有绝对值的函数的最值有关的问题，考查分类讨论的数学思想方法.由于函数是含有绝对值的，对于绝对值内的函数的符号就是解题的关键.而绝对值内的函数是单调递增函数，加了绝对值后，最大值会在区间的端点取得，由此分类讨论求得的的值.9．在中，，若，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用向量数量积模的表示化简，利用余弦定理求得的表达式，求得的最小值，由此求得的最大值.【详解】由得，故为钝角，且，.由余弦定理得，即，所以的最大值为，故选B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的表示，考查余弦定理的应用，考查利用基本不等式求最小值，考查余弦函数的性质，综合性较强，属于中档题.向量在本题中是一个工具的作用，由此得到三角形的边角关系.要求角的最大值，则要求得其余弦值的最小值，利用基本不等式可以求得这个最小值.10．已知函数是偶函数，且，若，，则下列说法错误的是（）A．函数的最小正周期是10B．对任意的，都有C．函数的图像关于直线对称D．函数的图像关于中心对称【答案】A【解析】根据的为偶函数以及，可得到函数是周期为的周期函数，假设出符合题意的函数.对四个选项逐一分析，由此得出说法错误的选项.【详解】由于是偶函数，且，所以函数是周期为的周期函数，不妨设.对于选项，由于，所以函数的最小正周期为，故A选项说法错误.对于B选项，函数，由于是的周期，故是的周期，故，故B选项说法正确.对于C选项，由于，结合前面分析可知，故C选项判断正确.对于D选项.，，故函数关于对称，D选项说法正确.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查函数的周期性等知识，属于中档题.二、填空题11．已知向量，，则______；与的夹角为______.【答案】【解析】利用数量积的坐标运算取得，利用夹角公式求得两个向量夹角的余弦值，由此求得两个限量的夹角.【详解】依题意，而，所以，所以两个向量的夹角为.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量的夹角公式，属于基础题.12．已知，且，则______；______.【答案】【解析】先求得的范围，然后利用同角三角函数关系求得的值，利用，展开后求得的值.【详解】由得，所以..【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，属于基础题. 13．已知函数，则的最小正周期是______；的对称中心是______.【答案】，【解析】根据取得函数的最小正周期，利用求得的对称中心.【详解】依题意的，即函数的最小正周期为.令，解得，所以函数的对称中心是.【点睛】本小题主要考查三角函数的最小正周期，考查三角函数零点的求法，属于基础题.对于函数以及函数，最小正周期的计算公式为.对于，最小正周期的计算公式为.对称中心的求法是类比的对称中心来求解.14．已知二次函数的两个零点为1和，则______；若，则的取值范围是______.【答案】-3【解析】利用求得，进而求得另一个零点.解一元二次不等式求得的取值范围.【详解】依题意可知，即，，所以另一个零点为即.由得，即，解得.【点睛】本小题主要考查二次函数零点问题，考查十字相乘法，考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.已知二次函数的一个零点，可以将零点代入函数的表达式，求出里面未知参数的值，从而求得另一个零点.解一元二次不等式主要步骤是先求零点，然后根据开口方向写出不等式的解集.15．已知对数函数的图像过点，则不等式的解集为______. 【答案】【解析】设，利用点求得的值，利用对数运算化简不等式后求得不等式的解集.【详解】设，代入点得，故，即.故原不等式可化为，即，解得，故不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查对数函数解析式的求法，考查对数不等式的解法，属于中档题.16．函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是______.【答案】【解析】画出函数的图像，根据图像与有三个不同的交点，判断出的位置，由此求得的取值范围.【详解】画出函数的图像如下图所示，由图可知，由于，关于，即.所以.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查指数函数和三角函数图像的画法，考查三角函数的对称性，属于中档题.17．如图，已知正方形的边长为1，点，分别为边，上动点，则的取值范围是_______.【答案】【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设出两点的坐标，利用坐标表示，由此求得的取值范围.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，设故.由于，故当时，取得最大值为.令，则，由于关于的一元二次方程有解，故，即，而，故.综上所述，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标表示，考查最大最小值的求法，考查分析和截距问题的能力，属于难题.三、解答题18．已知，（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（I）当是，解一元二次不等式求得，解对数不等式求得，求得在求得.（II）构造函数，根据是集合的子集，可知，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，由得：则所以（Ⅱ）若，则当时，恒成立令则所以.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集和交集的概念，考查子集的概念，属于中档题.19．已知向量，.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（I）将两边平方后，利用辅助角公式，化简合并，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.（II）利用求得的值，进而求得的值，利用两角和的正弦公式，求得的值.【详解】解：（Ⅰ）则∴（Ⅱ）若由得则∴【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查三角函数辅助角公式，考查两角和的正弦公式，属于中档题.20．已知函数为偶函数（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）是否存在实数，使得当时，函数的值域为？若存在请求出实数，的值，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）不存在【解析】（I）利用偶函数的定义，通过列方程，由此求得的值.（II）由（I）求得的解析式，并判断出函数在上为增函数，根据函数的值域列方程组，求得的值，由此判断出不存在符合题意的的值.【详解】解：（Ⅰ）函数为偶函数，∴，∴（Ⅱ），∴在上是增函数若的值域为则解得又∵，所以不存在满足要求的实数，【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性以及函数的值域，属于中档题. 21．已知函数.（Ⅰ）当时，求的值域；（Ⅱ）若方程有解，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】（I）当时，利用降次公式化简，然后利用换元法将函数转化为二次函数，结合二次函数的知识求得的值域.（II）解法一：同（I）将函数转化为二次函数的形式.对分成三类，讨论函数的是否有解，由此求得的取值范围.解法二：化简的表达式，换元后分离常数，再由此求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，令，令，则，所以的值域为（Ⅱ）法一：令，令，①当，即时，，解得②，即时，，无解③当，即时，，解得综上所述或法二：令，当，不合题意，∴∴，∵在，递减∴或∴或【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查利用换元法转化函数，考查二次函数求最值，考查方程有解的问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想，属于难题.解决含有参数的方程有解问题，可以考虑分离常数法将参数分离出来，然后根据表达式的范围，求得参数的范围.22．已知函数在上是减函数，在上是增函数.若函数，利用上述性质（Ⅰ）当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）；（Ⅱ）设在区间上最大值为，求的解析式；（Ⅲ）若方程恰有四解，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（I）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间.（II）对分成三种情况，结合函数的解析式，讨论函数的最大值，由此求得的解析式.（III）分成两种情况，去掉的绝对值，根据解的个数，求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，的单调递增区间为，（Ⅱ）∵①当时，，②当时，，，③当时，，，，当，即时，当，即时，综上所述（Ⅲ）时，方程为，且；所以对任意实数，方程有且只有两正解时，方程为或所以时，恰有四解【点睛】本小题主要考查含有绝对值函数的单调性的判断，考查含有绝对值函数的最值的求法，考查含有绝对值的方程的求解策略，考查分类讨论的数学思想，考查化归与转化的数学思想方法.属于难题.对于含有绝对值的函数，主要是对自变量分类，去绝对值，将函数转化为分段函数来求解.。
浙江省浙南名校联盟(温州九校)2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题
浙江省浙南名校联盟（温州九校）2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.A. B. C. D.【答案】B【】【分析】直接利用诱导公式化简求值.【详解】，故选：B．【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考察学生对该知识的理解掌握水平.2.下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是A. B.C. D.【答案】B【】【分析】对四个选项逐一分析，从而得出正确选项.【详解】对于A选项，，故函数为偶函数.对于C选项，，故为奇函数.对于D选项，正切函数是奇函数，排除A,C,D三个选项，则B选项符合题意.对于B选项由，解得，定义域不关于原点对称，即不是奇函数也不是偶函数.故选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性的定义以及函数奇偶性的判断，属于基础题.3.将函数的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数的图象，则是A. B. C. D.【答案】D【】【分析】的图象沿轴向右平移个单位，即，化简后求得的表达式.【详解】依题意的图象沿轴向右平移个单位，得到，即，故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，属于基础题.变换过程中要注意的系数的影响.4.已知点，，向量，则向量A. B. C. D.【答案】A【】【分析】先求得的坐标，然后利用减法求得的坐标.【详解】依题意，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.5.若，则A. B. C. D.【答案】C【】【分析】先根据已知确定位于第二或第四象限，再根据x的范围讨论选项三角函数值的符合得解. 【详解】，位于第二或第四象限，若x位于第二象限，则，，此时，若x位于第四象限，则，，此时，综上，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的象限符合，考察二倍角的公式，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.已知向量，，t为实数，则的最小值是A. 1B.C.D.【答案】B【】【分析】先求得的坐标，利用模的运算列出表达式，用二次函数求最值的方法求得最小值.【详解】依题意，故，当时，取得最小值为.故选B.【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查向量模的坐标表示，考查二次函数最值的求法，属于中档题.7.若m是函数的零点，则m在以下哪个区间A. B. C. D.【答案】C【】【分析】计算的值，利用零点的存在性定理判断所在的区间.【详解】由于，，根据零点的存在性定理可知，在区间，故选C.【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的应用，考查函数零点区间的判断，属于基础题.8.已知t为常数，函数在区间上的最大值为2，则t的值为A. B. C. D.【答案】A【】【分析】注意到为上的增函数，按，两类，求得的最大值并由此列方程，解方程求得的值. 【详解】令，为上的增函数.当，即时，，，舍去.当，即时，由于单调递增，故函数的最值在端点处取得..若，解得（舍去）.当时，符合题意. 当，解得.当时，，不符合题意.当时，符合题意.故或.所以选A.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查含有绝对值的函数的最值有关的问题，考查分类讨论的数学思想方法.由于函数是含有绝对值的，对于绝对值内的函数的符号就是解题的关键.而绝对值内的函数是单调递增函数，加了绝对值后，最大值会在区间的端点取得，由此分类讨论求得的的值.9.在中，，若，则的最大值是A. B.C.D.【答案】B 【】 【分析】利用向量数量积模的表示化简，利用余弦定理求得的表达式，求得的最小值，由此求得的最大值.【详解】由得，故为钝角，且，.由余弦定理得，即，所以的最大值为，故选B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的表示，考查余弦定理的应用，考查利用基本不等式求最小值，考查余弦函数的性质，综合性较强，属于中档题.向量在本题中是一个工具的作用，由此得到三角形的边角关系.要求角的最大值，则要求得其余弦值的最小值，利用基本不等式可以求得这个最小值.10.已知函数是偶函数，且，若，，则下列说法错误的是A. 函数的最小正周期是10B. 对任意的，都有C. 函数的图象关于直线对称D. 函数的图象关于中心对称【答案】A【】【分析】根据的为偶函数以及，可得到函数是周期为的周期函数，假设出符合题意的函数.对四个选项逐一分析，由此得出说法错误的选项.【详解】由于是偶函数，且，所以函数是周期为的周期函数，不妨设.对于选项，由于，所以函数的最小正周期为，故A选项说法错误.对于B选项，函数，由于是的周期，故是的周期，故，故B选项说法正确.对于C选项，由于，结合前面分析可知，故C选项判断正确.对于D选项.，，故函数关于对称，D选项说法正确.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查函数的周期性等知识，属于中档题.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知向量，则______；的夹角为______．【答案】 (1). (2).【】【分析】利用数量积的坐标运算取得，利用夹角公式求得两个向量夹角的余弦值，由此求得两个限量的夹角.【详解】依题意，而，所以，所以两个向量的夹角为.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量的夹角公式，属于基础题.12.已知，且，则______；______．【答案】 (1). (2).【】【分析】先求得的范围，然后利用同角三角函数关系求得的值，利用，展开后求得的值.【详解】由得，所以..【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，属于基础题.13.已知函数，则的最小正周期是______；的对称中心是______．【答案】 (1). (2). ，【】【分析】根据取得函数的最小正周期，利用求得的对称中心.【详解】依题意的，即函数的最小正周期为.令，解得，所以函数的对称中心是.【点睛】本小题主要考查三角函数的最小正周期，考查三角函数零点的求法，属于基础题.对于函数以及函数，最小正周期的计算公式为.对于，最小正周期的计算公式为.对称中心的求法是类比的对称中心来求解.14.已知二次函数的两个零点为1和n，则______；若，则a 的取值范围是______．【答案】 (1). -3 (2).【】【分析】利用求得，进而求得另一个零点.解一元二次不等式求得的取值范围.【详解】依题意可知，即，，所以另一个零点为即.由得，即，解得.【点睛】本小题主要考查二次函数零点问题，考查十字相乘法，考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.已知二次函数的一个零点，可以将零点代入函数的表达式，求出里面未知参数的值，从而求得另一个零点.解一元二次不等式主要步骤是先求零点，然后根据开口方向写出不等式的解集.15.已知对数函数的图象过点，则不等式的解集______．【答案】【】【分析】设，利用点求得的值，利用对数运算化简不等式后求得不等式的解集.【详解】设，代入点得，故，即.故原不等式可化为，即，解得，故不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查对数函数式的求法，考查对数不等式的解法，属于中档题.16.函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是______.【答案】【】【分析】画出函数的图像，根据图像与有三个不同的交点，判断出的位置，由此求得的取值范围.【详解】画出函数的图像如下图所示，由图可知，由于，关于对称，即.所以.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查指数函数和三角函数图像的画法，考查三角函数的对称性，属于中档题.17.如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为边AB，DC上动点，则的取值范围是_____．【答案】【】【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设出两点的坐标，利用坐标表示，由此求得的取值范围.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，设故.由于，故当时，取得最大值为.令，则，由于关于的一元二次方程有解，故，即，而，故.综上所述，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标表示，考查最大最小值的求法，考查分析和截距问题的能力，属于难题.三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知，，Ⅰ当时，求；Ⅱ若，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【】【分析】（I）当是，解一元二次不等式求得，解对数不等式求得，求得在求得.（II）构造函数，根据是集合的子集，可知，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，由得：则所以（Ⅱ）若，则当时，恒成立令则所以.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集和交集的概念，考查子集的概念，属于中档题.19.已知向量．Ⅰ求的取值范围；Ⅱ若，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【】【分析】（I）将两边平方后，利用辅助角公式，化简合并，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.（II）利用求得的值，进而求得的值，利用两角和的正弦公式，求得的值.【详解】解：（Ⅰ）则∴（Ⅱ）若由得则∴【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查三角函数辅助角公式，考查两角和的正弦公式，属于中档题.20.已知函数为偶函数，Ⅰ求实数t的值；Ⅱ是否存在实数，使得当时，函数的值域为？若存在请求出实数a，b的值，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）不存在【】【分析】（I）利用偶函数的定义，通过列方程，由此求得的值.（II）由（I）求得的式，并判断出函数在上为增函数，根据函数的值域列方程组，求得的值，由此判断出不存在符合题意的的值.【详解】解：（Ⅰ）函数为偶函数，∴，∴（Ⅱ），∴在上是增函数若的值域为则解得又∵，所以不存在满足要求的实数，【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性以及函数的值域，属于中档题.21.已知函数Ⅰ当时，求的值域；Ⅱ若方程有解，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【】【分析】（I）当时，利用降次公式化简，然后利用换元法将函数转化为二次函数，结合二次函数的知识求得的值域.（II）解法一：同（I）将函数转化为二次函数的形式.对分成三类，讨论函数的是否有解，由此求得的取值范围.解法二：化简的表达式，换元后分离常数，再由此求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，令，令，则，所以的值域为（Ⅱ）法一：令，令，①当，即时，，且，解得②，即时，，无解③当，即时，且，解得综上所述或法二：令，当，不合题意，∴∴，∵在，递减∴或∴或【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查利用换元法转化函数，考查二次函数求最值，考查方程有解的问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想，属于难题.解决含有参数的方程有解问题，可以考虑分离常数法将参数分离出来，然后根据表达式的范围，求得参数的范围.22.已知函数在上是减函数，在上是增函数若函数，利用上述性质，Ⅰ当时，求的单调递增区间只需判定单调区间，不需要证明；Ⅱ设在区间上最大值为，求的式；Ⅲ若方程恰有四解，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，（Ⅱ）（Ⅲ）【】【分析】（I）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间.（II）对分成三种情况，结合函数的式，讨论函数的最大值，由此求得的式.（III）分成两种情况，去掉的绝对值，根据解的个数，求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，的单调递增区间为，（Ⅱ）∵①当时，，②当时，，，③当时，，，，当，即时，当，即时，综上所述（Ⅲ）时，方程为，且，其中.若，即时，由于为增函数，故有且只有两正解. 若，即时，由于为增函数，故无解.所以时，方程有且只有两正解.时，方程为或，只需，可使有且只有两解. 综上所述时，恰有四解【点睛】本小题主要考查含有绝对值函数的单调性的判断，考查含有绝对值函数的最值的求法，考查含有绝对值的方程的求解策略，考查分类讨论的数学思想，考查化归与转化的数学思想方法.属于难题.对于含有绝对值的函数，主要是对自变量分类，去绝对值，将函数转化为分段函数来求解.。
浙江省浙南名校联盟(温州九校)2019学年高一上学期期末联考数学试题-f6a85d62d04e4b0a9f7abc8c7be9aed0
绝密★启用前【校级联考】浙江省浙南名校联盟（温州九校)2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1． A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是 A ． B ． C ．D ．3．将函数 的图象沿x 轴向右平移个单位，得到函数 的图象，则 是A ．B ．C ．D ．4．已知点 ， ，向量 ，则向量 A ．B ．C ．D ．5．若 ，则 A ．B ．C ．D ．6．已知向量 ， ，t 为实数，则 的最小值是 A ．1B ．C ．D ．7．若m 是函数 的零点，则m 在以下哪个区间 A ．B ．C ．D ．9．在中，，若，则的最大值是A．B．C．D．10．已知函数是偶函数，且，若，，则下列说法错误的是A．函数的最小正周期是10B．对任意的，都有C．函数的图象关于直线对称D．函数的图象关于中心对称装…………○_姓名：___________班装…………○第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．已知向量，则 ______； 与 的夹角为______．12．已知，且，则______； ______． 13．已知函数，则 的最小正周期是______； 的对称中心是______．14．已知二次函数 的两个零点为1和n ，则 ______；若 ，则a 的取值范围是______．15．已知对数函数 的图象过点 ，则不等式 的解集______． 16．函数，若方程 恰有三个不同的解，记为 ， ， ，则 的取值范围是______.17．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别为边AB ，DC 上动点，则 的取值范围是_____．三、解答题18．已知 ， ， Ⅰ 当 时，求 ；Ⅱ 若 ，求实数a 的取值范围． 19．已知向量 ． Ⅰ 求 的取值范围；Ⅱ 若 ，求的值．20．已知函数为偶函数，Ⅰ 求实数t 的值；21．已知函数Ⅰ当时，求的值域；Ⅱ若方程有解，求实数a的取值范围．22．已知函数在上是减函数，在上是增函数若函数，利用上述性质，Ⅰ当时，求的单调递增区间只需判定单调区间，不需要证明；Ⅱ设在区间上最大值为，求的解析式；Ⅲ若方程恰有四解，求实数a的取值范围．参考答案1．B【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求值.【详解】，故选：B．【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考察学生对该知识的理解掌握水平.2．B【解析】【分析】对四个选项逐一分析，从而得出正确选项.【详解】对于A选项，，故函数为偶函数.对于C选项，，故为奇函数.对于D选项，正切函数是奇函数，排除A,C,D三个选项，则B选项符合题意.对于B选项由，解得，定义域不关于原点对称，即不是奇函数也不是偶函数.故选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性的定义以及函数奇偶性的判断，属于基础题.3．D【解析】【分析】的图象沿轴向右平移个单位，即，化简后求得的表达式. 【详解】依题意的图象沿轴向右平移个单位，得到，即，故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，属于基础题.变换过程中要注意的系数的影响.4．A【解析】【分析】先求得的坐标，然后利用减法求得的坐标.【详解】依题意，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.5．C【解析】【分析】先根据已知确定位于第二或第四象限，再根据x的范围讨论选项三角函数值的符合得解. 【详解】，位于第二或第四象限，若x位于第二象限，则，，此时，若x位于第四象限，则，，此时，综上，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的象限符合，考察二倍角的公式，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6．B【解析】【分析】先求得的坐标，利用模的运算列出表达式，用二次函数求最值的方法求得最小值. 【详解】依题意，故，当时，取得最小值为.故选B.本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查向量模的坐标表示，考查二次函数最值的求法，属于中档题.7．C【解析】【分析】计算的值，利用零点的存在性定理判断所在的区间.【详解】由于，，根据零点的存在性定理可知，在区间，故选C.【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的应用，考查函数零点区间的判断，属于基础题.8．A【解析】【分析】注意到为上的增函数，按，两类，求得的最大值并由此列方程，解方程求得的值.【详解】令，为上的增函数.当，即时，，，舍去.当，即时，由于单调递增，故函数的最值在端点处取得..若，解得（舍去）.当时，符合题意.当，解得.当时，，不符合题意.当时，符合题意.故或.所以选A.本小题主要考查函数的单调性，考查含有绝对值的函数的最值有关的问题，考查分类讨论的数学思想方法.由于函数是含有绝对值的，对于绝对值内的函数的符号就是解题的关键.而绝对值内的函数是单调递增函数，加了绝对值后，最大值会在区间的端点取得，由此分类讨论求得的的值.9．B【解析】【分析】利用向量数量积模的表示化简，利用余弦定理求得的表达式，求得的最小值，由此求得的最大值.【详解】由得，故为钝角，且，.由余弦定理得，即，所以的最大值为，故选B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的表示，考查余弦定理的应用，考查利用基本不等式求最小值，考查余弦函数的性质，综合性较强，属于中档题.向量在本题中是一个工具的作用，由此得到三角形的边角关系.要求角的最大值，则要求得其余弦值的最小值，利用基本不等式可以求得这个最小值.10．A【解析】【分析】根据的为偶函数以及，可得到函数是周期为的周期函数，假设出符合题意的函数.对四个选项逐一分析，由此得出说法错误的选项.【详解】由于是偶函数，且，所以函数是周期为的周期函数，不妨设.对于选项，由于，所以函数的最小正周期为，故A选项说法错误.对于B选项，函数，由于是的周期，故是的周期，故，故B选项说法正确.对于C选项，由于，结合前面分析可知，故C选项判断正确.对于D选项.，，故函数关于对称，D选项说法正确.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查函数的周期性等知识，属于中档题. 11．【解析】【分析】利用数量积的坐标运算取得，利用夹角公式求得两个向量夹角的余弦值，由此求得两个限量的夹角.【详解】依题意，而，所以，所以两个向量的夹角为.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量的夹角公式，属于基础题.12．【解析】【分析】先求得的范围，然后利用同角三角函数关系求得的值，利用，展开后求得的值.【详解】由得，所以..【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，属于基础题. 13．，【解析】【分析】根据取得函数的最小正周期，利用求得的对称中心.【详解】依题意的，即函数的最小正周期为.令，解得，所以函数的对称中心是.【点睛】本小题主要考查三角函数的最小正周期，考查三角函数零点的求法，属于基础题.对于函数以及函数，最小正周期的计算公式为.对于，最小正周期的计算公式为.对称中心的求法是类比的对称中心来求解.14．-3【解析】【分析】利用求得，进而求得另一个零点.解一元二次不等式求得的取值范围.【详解】依题意可知，即，，所以另一个零点为即.由得，即，解得.【点睛】本小题主要考查二次函数零点问题，考查十字相乘法，考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.已知二次函数的一个零点，可以将零点代入函数的表达式，求出里面未知参数的值，从而求得另一个零点.解一元二次不等式主要步骤是先求零点，然后根据开口方向写出不等式的解集.15．【解析】【分析】设，利用点求得的值，利用对数运算化简不等式后求得不等式的解集. 【详解】设，代入点得，故，即.故原不等式可化为，即，解得，故不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查对数函数解析式的求法，考查对数不等式的解法，属于中档题.16．【解析】【分析】画出函数的图像，根据图像与有三个不同的交点，判断出的位置，由此求得的取值范围.【详解】画出函数的图像如下图所示，由图可知，由于，关于对称，即.所以.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查指数函数和三角函数图像的画法，考查三角函数的对称性，属于中档题.17．【解析】【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设出两点的坐标，利用坐标表示，由此求得的取值范围.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，设故.由于，故当时，取得最大值为.令，则，由于关于的一元二次方程有解，故，即，而，故.综上所述，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标表示，考查最大最小值的求法，考查分析和截距问题的能力，属于难题.18．（Ⅰ）（Ⅱ），【解析】【分析】（I）当是，解一元二次不等式求得，解对数不等式求得，求得在求得.（II）构造函数，根据是集合的子集，可知，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，由得：则所以（Ⅱ）若，则当时，恒成立令则所以 —，.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集和交集的概念，考查子集的概念，属于中档题.19．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）将两边平方后，利用辅助角公式，化简合并，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.（II）利用求得的值，进而求得的值，利用两角和的正弦公式，求得的值.【详解】解：（Ⅰ）则∴（Ⅱ）若由得则∴【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查三角函数辅助角公式，考查两角和的正弦公式，属于中档题.20．（Ⅰ）1（Ⅱ）不存在【解析】【分析】（I）利用偶函数的定义，通过列方程，由此求得的值.（II）由（I）求得的解析式，并判断出函数在上为增函数，根据函数的值域列方程组，求得的值，由此判断出不存在符合题意的的值.【详解】解：（Ⅰ）函数为偶函数，∴，∴（Ⅱ），∴在上是增函数若的值域为则解得又∵，所以不存在满足要求的实数，【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性以及函数的值域，属于中档题. 21．（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】【分析】（I）当时，利用降次公式化简，然后利用换元法将函数转化为二次函数，结合二次函数的知识求得的值域.（II）解法一：同（I）将函数转化为二次函数的形式.对分成三类，讨论函数的是否有解，由此求得的取值范围.解法二：化简的表达式，换元后分离常数，再由此求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，令，令，则，所以的值域为（Ⅱ）法一：令，令，①当，即时，，且，解得②，即时，，无解③当，即时，且，解得综上所述或法二：令，当，不合题意，∴∴，∵在，递减∴或∴或【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查利用换元法转化函数，考查二次函数求最值，考查方程有解的问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想，属于难题.解决含有参数的方程有解问题，可以考虑分离常数法将参数分离出来，然后根据表达式的范围，求得参数的范围.22．（Ⅰ）单调递增区间为，（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】（I）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间.（II）对分成三种情况，结合函数的解析式，讨论函数的最大值，由此求得的解析式.（III）分成两种情况，去掉的绝对值，根据解的个数，求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，的单调递增区间为，（Ⅱ）∵①当时，，②当时，，，③当时，，，，当，即时，当，即时，综上所述（Ⅲ）时，方程为，且，其中.若，即时，由于为增函数，故有且只有两正解.若，即时，由于为增函数，故无解. 所以时，方程有且只有两正解.时，方程为或，只需，可使有且只有两解.综上所述时，恰有四解【点睛】本小题主要考查含有绝对值函数的单调性的判断，考查含有绝对值函数的最值的求法，考查含有绝对值的方程的求解策略，考查分类讨论的数学思想，考查化归与转化的数学思想方法.属于难题.对于含有绝对值的函数，主要是对自变量分类，去绝对值，将函数转化为分段函数来求解.。
浙江省浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考数学试题(含答案)
浙南名校联盟（温州九校）2019届高三上学期期末联考数学试题考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸。
参考公式：若事件A ，B 互斥，则 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =若事件A ，B 相互独立，则 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率为p ， 13V Sh =则n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24S R =π11221()3V S S S S h =++ 球的体积公式其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积 343V R =πh 表示台体的高 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{|02}A x x =∈<<R ，{|||1}B x x =∈<R ，则AB =A .(0,1)B .(0,2)C .(1,2)D .(1,2)- 2.双曲线222=2x y -的焦点坐标为A .(1,0)±B .(3,0)±C .(0,1)±D .(0,3)±3.设实数,x y 满足1020210x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤，≤，≥，则x y -的最小值为A .1 B .0 C .1- D .2-4.若复数12i z =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为A .51-B .512-C .51+D .512+ 5.函数sin xy x=的图象可能是6.已知a ，b ∈R ，则a b =“”是e e a ba b -=-“”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃，则他们一共吃到了3种不同食品的情况有 A .84种 B .100种 C .120种 D .150种 8.已知随机变量X 的分布列如下表：X -1 0 1 Pabc其中,,0a b c >.若X 的方差13DX ≤对所有(0,1)a b ∈-都成立，则 A .13b ≤B .23b ≤C .13b ≥D .23b ≥ 9.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点P 在平面111A B C 内运动，使得二面角P AB C --的平面角 与二面角P BC A --的平面角互余，则点P 的轨迹是A .一段圆弧B .椭圆的一部分C .抛物线D .双曲线的一支10.设,αβ是方程210x x --=的两个不等实根，记()n n n a n αβ*=+∈N .下列两个命题：①数列{}n a 的任意一项都是正整数；②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A .①正确，②错误 B .①错误，②正确 C .①②都正确 D .①②都错误非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
温州九校2019届高三上学期期末联考数学试题及解析
温州九校 2019 届高三上学期期末联考 数学试题
1.设集合 A = {x ∈ R|0 < x < 2}，B = {x ∈ R||x| < 1}，则 A ∩ B =（ ） A. (0,1) B. (0,2) C. (1,2) D. ( − 1,2)
【点睛】本题主要考查函数的图像，特殊值法在处理函数图像中非常实用，属于基础题型. 6.已知 a，b ∈ R，则“a = b”是“ea − eb = a − b”的( ) A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
温州九校 2019 届高三上学期期末联考数学试题及解析
0 + 则a0 =___， 1
a
a1 2
+
a2 3
+
a3 4
+
a4 5
+
a5 6
=____.
15.已知抛物线y2 = 2px(p > 0)的焦点为 F.若抛物线上存在点 A,使得线段 AF 的中点的横坐标为 1， 则|AF| =___. 16.若向量a,b,c满足a ≠ b，c ≠ 0 且(c − a) ⋅ (c − b) = 0，则
5−1
B.
5−1 2
C.
5+1
D.
5+1 2
【答案】C 【解析】 【分析】 由复数的几何意义可得|z1 − z2 |表示复数z1 = 2 + i，z2 = cosα + isinα对应的两点间的距离，由两点 间距离公式即可求解. 【详解】由复数的几何意义可得，复数z1 = 2 + i 对应的点为(2,1)，复数z2 = cosα + isinα对应的点为
浙江省浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考数学试题(WORD版)
浙南名校联盟（温州九校）2019届高三上学期期末联考数学试题考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸。
参考公式：若事件A ，B 互斥，则 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =若事件A ，B 相互独立，则 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率为p ， 13V Sh =则n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24S R =π11221()3V S S S S h =++ 球的体积公式其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积 343V R =πh 表示台体的高 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{|02}A x x =∈<<R ，{|||1}B x x =∈<R ，则AB =A .(0,1)B .(0,2)C .(1,2)D .(1,2)- 2.双曲线222=2x y -的焦点坐标为A .(1,0)±B .(3,0)±C .(0,1)±D .(0,3)±3.设实数,x y 满足1020210x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤，≤，≥，则x y -的最小值为A . 1B .0C .1-D .2-4.若复数12i z =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为 A .51- B .512- C .51+ D .512+ 5.函数sin xy x=的图象可能是6.已知a ，b ∈R ，则a b =“”是e e a ba b -=-“”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃，则他们一共吃到了3种不同食品的情况有 A .84种 B .100种 C .120种 D .150种 8.已知随机变量X 的分布列如下表：X -1 0 1 Pabc其中,,0a b c >.若X 的方差13DX ≤对所有(0,1)a b ∈-都成立，则 A .13b ≤B .23b ≤C .13b ≥D .23b ≥9.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点P 在平面111A B C 内运动，使得二面角P AB C --的平面角 与二面角P BC A --的平面角互余，则点P 的轨迹是A .一段圆弧B .椭圆的一部分C .抛物线D .双曲线的一支10.设,αβ是方程210x x --=的两个不等实根，记()n n n a n αβ*=+∈N . 下列两个命题：①数列{}n a 的任意一项都是正整数；②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A .①正确，②错误 B .①错误，②正确 C .①②都正确 D .①②都错误非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
浙江省浙南名校联盟(温州九校)2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题(解析版)
．
故选：A．
⃗ = (2,2) ⃗ = (2,1) ⃗ = ⃗−⃗ ⃗ 根据条件可求出������������ ，且������������ ，从而根据������������ ������������ ������������即可求出������������的坐标．
考查根据点的坐标求向量坐标的方法，向量减法的几何意义，以及向量坐标的减法运算． 若������������������������ < 0，则( )
������ −������ C. ������(������) = 2 −2
2.
D. ������(������) = ������������������������
【答案】B 【解析】解：������.������(−������) = |−������| = |������| = ������(������)，则������(������)是偶函数； B.由 1−������ ≥ 0得 ������ ≤ 1，即������ = 1，即函数的定义域为{1}， 则函数定义域关于原点不对称，则������(������)为非奇非偶函数，
1.732 × 1.414 −2 2
× 1.414 + 2 = 1.224−2.828 + 2 = 3.224−2.828 > 0
，
即
������(2)������(2) < 0 [2,2]
3
则在
内函数������(������)存在零点，
故选：C． 根据函数零点存在定理，确定满足������(������)������(������) < 0的区间[������,������]即可． 本题主要考查函数零点判断定理，根据条件判断������(������)������(������) < 0的区间[������,������]是解决本题的关键．
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2019届温州九校第一次联考
一、选择题：每小题4分，共40分
1. （2019届温州九校第一次联考1）已知U R =，{}1M x x =≥，{}
2280N x x x =+->，则()U N M =
I ð（ ）
A ．{}4x x <-
B ．{}41x x -≤≤
C ．{}12x x ≤≤
D ．{}14x x ≤≤
2. （2019届温州九校第一次联考2）已知双曲线22
:1169
x y C -=，则双曲线C 的焦点坐标为（ ）
A ．()5,0±
B
．()
C ．()0,5±
D
．(0,
3. （2019届温州九校第一次联考3）如图，某几何体三视图（单位：cm ）为三个直角三角形，则该几何
体的体积为（ ）
A ．313
cm
B ．32
3
cm
C ．31cm
D ．32cm
4. （2019届温州九校第一次联考4）已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数为（ ）
A ．33+i 22
B ．13i 22-
C ．33i 22
- D ．13+i 22
5. （2019届温州九校第一次联考5）函数cos x
y x
=-的图象可能是（ ）
6. （2019届温州九校第一次联考6）已知m 为一条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中正确
的是（ ）
D
C
B
俯视图
侧视图
正视图
A ．若m α∥，αβ∥，则m β∥
B ．若m α⊥，αβ⊥，则m β∥
C ．若m α⊥，αβ∥，则m β⊥
D ．若m α∥，αβ⊥，则m β⊥
7. （2019届温州九校第一次联考7）抽奖箱中有15个形状一样、颜色不一样的乒乓球（2个红色，3个
黄色，其余为白色），抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖．有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是（ ） A ．6，0.4
B ．18，14.4
C ．30，10
D ．30，20
8. （2019届温州九校第一次联考8）正四面体ABCD ，CD 在平面α内，点E 是线段AC 的中点，在该四
面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与平面α所成的角不可能是（ ） A ．0
B ．
6
π
C ．
3
π D ．
2
π
9. （2019届温州九校第一次联考9）已知a ，b 是不共线的两个向量，⋅a b
的最小值为m ，n ∈R ，m +a b 的最小值为1，n +b a 的最小值为2，则b 的最小值为（ ）
A ．2
B ．4 C
．D
．10. （2019届温州九校第一次联考10）已知数列{}n a 的通项()()()
1211n nx
a x x nx =+++L ，*n ∈N ，若
1220181a a a +++<L ，则实数x 可以等于（ ）
A ．23-
B ．512-
C ．1348
-
D ．11
60
-
二、填空题：多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分
11. （2019届温州九校第一次联考11）若23a =，3log 2b =，则ab = ，33b b -+= ．
12. （2019届温州九校第一次联考12）已知点(),P x y 在不等式组5020x y y a y x -+≥⎧⎪
≥⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域D 上运动，
若区域D 表示一个三角形，则a 的取值范围是 ，若2a =，则2z x y =-的最大值是 ．
13. （2019届温州九校第一次联考13）已知函数()()1tan sin 2f x x x =+，则()f x 的定义域为 ，
()f x 的最大值为 ．
14. （2019届温州九校第一次联考14）已知()()()()525
01251111x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-，则5a = ． 15. （2019届温州九校第一次联考15）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，
B 两点，则11=AF BF + ，2
16BF AF -的最大值为 ． 16. （2019届温州九校第一次联考16）4名学生参加3个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么
3个兴趣小组都恰有2人参加的不同的分组共有 种．
α
E
D
C
B A
17. （2019届温州九校第一次联考17）若232x x a a +-+≤对[]1,1x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题：5小题，共74分
18. （2019届温州九校第一次联考18）
在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 为其面积，若2224S a c b =+-． （1）求B 的大小；
（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，且3AD =
，BD =cos C 的值．
19. （2019届温州九校第一次联考19）如图，将矩形ABCD 沿AE 折成二面角1D AE B --，其中E 为CD
的中点，已知2AB =，=1BC ，11BD CD =，F 为1D B 的中点． （1）求证：CF P 平面1AD E ；
（2）求AF 与平面1BD E 所成角的正弦值．
20. （2019届温州九校第一次联考20）已知数列{}n a 中，10a =，()
*12n n a a n n N +=+∈．
（1）令11n n n b a a +=-+，求证：数列{}n b 是等比数列；
（2）令,3n
n n a c =当n c 取得最大项时，求n 的值．
B
C
D
E
D 1F
A
C
B
A
21. （2019届温州九校第一次联考21
的椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>过点()2,1P ，过点
P 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A ，B ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求证：直线AB 过定点，并求出此定点坐标．
22. （2019届温州九校第一次联考22）已知函数()1
ln f x x x x
=-
-． （1）若()f x 在1x x =，2x ()12x x ≠处导数相等，证明：()()1232ln 2f x f x +>-；
（2）若对于任意()1k ∈-∞，
，直线y kx b =+与曲线()y f x =都有唯一公共点，求实数b 的取值范围．。