第三章三角恒等变换章末复习课
必修4第三章三角恒等变形复习课
(2)条件恒等式的证明． 这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细 探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是 代入法和消元法．
2．证明三角恒等式常用的方法． (1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等； 在证明过程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着 目标“奔”． (2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子． (3)把要证的等式进行等价变形． (4)作差法，证明其差为0.
基本公式： 1、两角和与差的三角函数公式：
sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
sin( )
tan tan . tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) . 1 tan tan
2、辅助角公式
a sin x b cos x a b sin x cos x ) 2 2 ( a b a 2 b2 a 2 b2 2 2 (cos sinx sin cos x ) a b
三角恒等变换复习
基本思想：
理解三角函数中的4个“三”： （1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线 ——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、 倍角）. （2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化 简、证明. （3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数 问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算 结构”方面思考. （4）从算法层面看：使用公式的三重境——顺用、变换是三角函数的重要内容， 搞清公式间的关系 是学习的关键．对于和、差角的三角函数公式，关键是弄清楚 角的变化，从整体上把握公式，既要学会正向运用，也要学会 α 逆向运用； 对于倍、 半角公式， 可从α与 之间的关系出发思考， 2 通过这种关系的思考而建立函数式之间的联系． 对于和积互化 公式， 应抓住公式特点进行变形， 辅助角公式则是应用较为广 泛的公式，讨论三角函数的最值、周期、单调性等性质时， 常 使用此公式变换．
《三角恒等变换》复习课
小结：
（1）三角恒等变换解决三角函 数性质问题的基本思路
（2）三角函数最值问题的常见 形式及解决方法
谢 谢！
7
14
解：，为锐角,0
又cos 1 ,cos( ) 11
7
14
sin 4 3 ,sin( ) 5 3 ,
7
14
cos cos( )
cos( ) cos sin( )sin 1
2
变式 1.已知cos( ) 1 ，求sin 2 .
4
7
变式 2.已知, 都是锐角，cos 1 ,sin( ) 5 3 , 求cos 的值.
7
14
【回归教材】(P147.9) 例 2.已知函数 y (sin x cos x)2 2 cos2 x .
（1)求它的递减区间； (2)求它的最大值和最小值.
变式 1：求函数 y (sin x cos x)2 4 cos2 x 的最大和最小值.
变式 2：求函数 y (sin x cos x)2 cos2 2x 的最大和最小值
例 1.已知, 都是锐角，cos 1 ,cos( ) 11 , 求cos 的值.
7
14
变式 1.已知cos( ) 1 ，求sin 2 .
4
7
变式 2.已知, 都是锐角，cos 1 ,sin( ) 5 3 , 求cos 的值
7
14
回归教材：P137.4
例1：已知，为锐角，cos 1 ,cos( ) 11 ,求cos的值.
三角恒等变换复习课
1、熟练应用两角和与差的正弦、余弦正切 公式解决恒等变换问题
2、了解各公式间的逻辑关系，能构建三角 恒等变换的知识网络
必修4第三章--三角恒等变换复习(学生用)
A、 B、 C、 D、
9. 已知 ，则 的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题10. =____________
12．已知 ，则 的值为
`
三、解答题
14.（本题满分12分）已知 ,且 ，求 的值。
15.（本题满分14分）已知α为第二象限角，且sinα= 求 的值.
；；
。
3．半角公式（扩角降幂公式）
;
;
.
4．三角函数式的化简
、
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
5.辅助角公式
。
题型5：三角函数求值
例7.已知函数 .
（1）求 的最小正周期；（2）当 时，求 的最小值以及取得最小值时x的集合.
)
A层拓展提升：求 那么 的值
@
^
四、达标检测
一、选择题
1. 已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
2．在 则这个三角形的形状是( )
%
A.锐角三角形B.钝角三角形 C.直角三角形D.等腰三角形
三角恒等变换
一．基本要求：
1．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
2．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积1．两角和与差的三角函数
；；
。
—
2．二倍角公式（缩角升幂公式）
16、（本题满分14分）已知函数 的最大值是2，试确定常数 的值.
第三章 三角恒等变换 章末复习课
.
解析
π π π 24 sin2α＋ ＝2sinα＋ cosα＋ ＝ ， 3 6 6 25 π π π ∴sin2α＋ ＝sin2α＋ － 12 3 4 2 π π 17 2 ＝ sin 2α＋ －cos2α＋ ＝ . 2 3 3 50
第三章 三 角 恒 等 变 换
章末复习课
学习目标
1.进一步掌握三角恒等变换的方法. 2.会利用正弦、余弦、正切的两角和差公式与二倍角公式.
3.对三角函数式进行化简、求值和证明.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β .
解析答案
1
2
3
4
5
59 － 1 1 2.已知 sin α＋cos β＝ ，sin β－cos α＝ ，则 sin(α－β)＝ 72 3 2
.
解析
13 (sin α＋cos β) ＋(sin β－cos α) ＝ ， 36
2 2
59 2sin(α－β)＝－ ， 36 59 即 sin(α－β)＝－ . 72
新知探究 点点落实
cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
.
.
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β tan(α＋β)＝
tan(α－β)＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
tan α－tan β 1＋tan αtan β
所以
π f(x)＝sin2x＋ ，x∈R， 6
三角恒等变换章末复习课件
专题一 三角函数式的化简三角函数式的化简，主要有以下几类：①对和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数值；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段．【例1】 化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β. 解 法一 原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1) ＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2α(1－cos 2β)＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二 原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－cos 2β⎝⎛⎭⎫sin 2α＋12cos 2α ＝1＋cos 2β2－cos 2β⎣⎡⎦⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12. 法三 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2αcos 2β＝14(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2αcos 2β＝14＋14＝12. 法四 原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin β·cos αcos β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2(α＋β)＋12sin 2αsin 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2(α＋β)－12cos(2α＋2β) ＝cos 2(α＋β)－12[2cos 2(α＋β)－1]＝12. 专题二 三角函数求值三角函数求值主要有三种类型，即(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．【例2】 求tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°的值．解 tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝tan 60°(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35° ＝3－3tan 25°tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝ 3.【例3】 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4α1＋cos 2α的值． 解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13， 即cos 2α＝13. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，2α∈(π，2π)，∴sin 2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223. ∴sin 4α1＋cos 2α＝2sin 2α·cos 2α1＋1＋cos 2α2＝2×⎝⎛⎭⎫－223×131＋1＋132＝－4215. 【例4】 已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值． 解 法一 ∵α，β均为锐角且sin α＝55，cos β＝1010， ∴cos α＝255，sin β＝31010.又sin α<sin β，∴α<β. cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵α<β，∴－π2<α－β<0.∴α－β＝－π4. 法二 ∵α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010， ∴cos α＝255，sin β＝31010， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22. ∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2. ∴α－β＝－π4. 专题三 三角恒等式的证明三角恒等式的证明主要是利用sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α，二倍角公式等结论证明等式成立．一般思路是从左向右或两头凑，注意函数名的统一，一般是切化弦．【例5】 求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos 4x )1－cos 4x.证明 法一 左边＝sin 2x cos 2x ＋cos 2x sin 2x ＝sin 4x ＋cos 4x sin 2x cos 2x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x 14sin 22x ＝1－12sin 22x 14sin 22x ＝1－12sin 22x 18(1－cos 4x )＝8－4sin 22x 1－cos 4x ＝4＋4cos 22x 1－cos 4x ＝4＋2(1＋cos 4x )1－cos 4x＝2(3＋cos 4x )1－cos 4x＝右边． ∴原式得证．法二 右边＝2(2＋1＋cos 4x )2sin 22x ＝2(2＋2cos 22x )8sin 2x cos 2x ＝2(1＋cos 22x )4sin 2x cos 2x＝(sin 2x ＋cos 2x )2＋(cos 2x －sin 2x )22sin 2x cos 2x ＝2(sin 4x ＋cos 4x )2sin 2x cos 2x ＝tan 2x ＋1tan 2x＝左边． 原式得证．专题四 三角函数与向量的综合应用三角函数与向量的综合问题是近几年高考题的热点，目的在于考查学生对三角函数基本关系式的变形、运算和推理能力，一般来说题目难度不大，解决这类问题，应利用平面向量的坐标、数量积、平行与垂直的条件、夹角公式等知识将向量转化为三角函数问题．【例6】 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 长度相等(其中k 为非零实数)，求β－α的值．(1)证明 法一 ∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)，a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，∴(a ＋b )·(a －b )＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＋(sin α＋sin β)(sin α－sin β)＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝0.∴(a ＋b )⊥(a －b )．法二 ∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴|a |2＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |2＝cos 2β＋sin 2β＝1.∴|a |2＝|b |2.∴(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)解 ∵k a ＋b ＝(k cos α，k sin α)＋(cos β，sin β)＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，∴|k a ＋b |2＝(k cos α＋cos β)2＋(k sin α＋sin β)2＝k 2cos 2α＋2k cos αcos β＋cos 2β＋k 2sin 2α＋2k sin αsin β＋sin 2β＝k 2＋2k cos(α－β)＋1.(注：cos α·cos β＋sin α·sin β＝cos(α－β))同理可求|a －k b |2＝k 2－2k cos(α－β)＋1.又∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴|k a ＋b |2＝|a －k b |2.∴2k cos(α－β)＝－2k cos(α－β)．∵k ≠0，∴cos(α－β)＝0.∴cos(β－α)＝0.又∵0<α<β<π，∴β－α＝π2. 专题五 三角恒等变换与三角函数的综合问题利用三角公式和基本的三角恒等变换的思想方法，可以化简三角函数的解析式，进而才能顺利地探求三角函数的有关性质．反过来，利用三角函数性质，可确定解析式，进而可求出有关三角函数值．因而三角恒等变换与三角函数的综合问题是高考命题的热点．解决三角恒等变换与三角函数的综合问题关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切割化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化，角的代换)的运用；还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用．【例7】 已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4－23sin 2x 4＋ 3. (1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由． 解 (1)∵f (x )＝sin x 2＋3⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 4＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3. ∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. 当sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2；当sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，又g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2＝2cos x 2. ∵g (－x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＝2cos x 2＝g (x )， ∴函数g (x )是偶函数．。
三角恒等变换章末复习参考题课件
当堂训练
练习1 已知，为锐角，cos = 4 , tan( ) 1 ,
5
3
求cos的值.
解 ∵α 是锐角，cos α＝45，
∴sin α＝35，tan α＝34.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1ta＋ntαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，∴cos β＝95010.
12
解答
类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
例1
已知
tanα=
1 2
，
tan(
)
2 5
，那么 ta
B.
1 12
C.
9 8
9
D. 8
问题一：如何选择恰当公式？
一看角： 由已知条件中的两个角分别为和 ，所
求 问 题 中 一 个 角 2 ， 这 三 个 角 关 系 如 下 ：
1、熟练记忆三角恒等变换公式;
规律与方法
2、三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、
名、形的变换，即:
（1）找差异：角、名、形的差别；
（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可
以用哪个公式联系起来；
（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形
后运用或逆用公式。
3.应用辅助角公式a sinx b cosx a2 b2 sin(x ),其中tan b
12345
解析 答案
2 ＋2k 2x 5 2k,k Z
3
3
＋k x 5 k,k Z
3
6
所以f(x)的单调增区间为 [ ＋k , 5 k ],k Z 36
解答
类型二 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
高中数学第三章三角恒等变换阶段复习课第4课三角恒等变换课件新人教A版必修
一级达标重点名校中学课件
3．半角公式 1－cos α α sin2＝± . 2 1＋cos α α cos2＝± 2 .
1－cos α sin α 1－cos α α 1＋cos α ＝__________ 1＋cos α ＝__________. sin α tan2＝±____________
一级达标重点名校中学课件
1 －2sin xcos x＋2 [ 解] (1)原式＝ π π 2sin4－xcos24－x π cos4－x
2 2
1 1 2 2 21－sin 2x 2cos 2x 1 ＝ π π ＝ π ＝2cos 2x. 2sin4－xcos4－x sin2－2x
一级达标重点名校中学课件
[ 规律方法] 三角函数式化简的基本技巧 (1)sin α，cos α→凑倍角公式． (2)1±cos α→升幂公式． (3)asin α＋bcos α→辅助角公式asin α＋bcos α＝ a2＋b2· sin(α＋φ)，其中tan b a 2 2 φ＝a或asin α＋bcos α＝ a ＋b · cos(α－φ)，其中tan φ＝b.
一级达标重点名校中学课件
4．辅助角公式
b a ＋b sin(α＋φ)tan φ＝ (1)asin α＋bcos α＝_________________________. a
2 2
(2)与特殊角有关的几个结论： π 2sinα± 4 ， sin α±cos α＝_____________ π α± 2sin 3sin α±cos α＝_____________ ， 6 π α± 2sin sin α± 3cos α＝______________. 3
第三章 三角恒等变形 章末复习方案 课件北师大必修.ppt
[解] (1)f(x)＝m·n
＝ 3Asin xcos x＋A2cos 2x
＝A(
3 2 sin
2x＋12cos
2x)
＝Asin(2x＋π6)．
因为 A>0，由题意知 A＝6.
(2)由(1)f(x)＝6sin(2x＋π6)． 将函数 y＝f(x)的图像向左平移1π2个单位后得到 y＝6sin[2(x＋1π2)＋π6]＝6sin(2x＋π3)的图像； 再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不 变，得到 y＝6sin(4x＋π3)的图像． 因此 g(x)＝6sin(4x＋π3)． 因为 x∈[0，52π4]，所以 4x＋π3∈[π3，76π]， 故 g(x)在[0，52π4]上的值域为[－3,6]．
函数式的化简、求值及恒等式证明中有三个技巧：“1”的代换，
sin2α＋cos2α＝1；切化弦；sin α±cos α 平方整体代换．
2．和(差)角公式 (1)公式Cα－β，Cα＋β的公式特点：同名相乘，符号相反；公 式Sα－β，Sα＋β的公式特点：异名相乘，符号相同；Tα±β的符号 规律为“分子同，分母反”． (2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律， 公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数．
[借题发挥] 1．“给值求角”的一般规律是先求出所求角的一种三角函数 值，然后确定所求角的范围，最后根据三角函数值和角的范围求 出角． 2．确定的所求角的范围最好是所求三角函数的一个单调区 间．例如，若所求角的范围是(0，π2)，选择求所求角的正弦或余弦 函数值均可；若所求角的范围为(0，π)，选择求所求角的余弦函数 值；若所求角的范围是(－π2，π2)，选择求所求角的正弦函数值．
[答案]
17 2 50
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第三章 三角恒等变换
学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β.
tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β.
2.二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α
1－tan 2α.
3.升幂缩角公式 1＋cos 2α＝2cos 2α. 1－cos 2α＝2sin 2α.
4.降幂扩角公式
sin x cos x ＝sin 2x
2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2， sin 2x ＝1－cos 2x 2. 5.和差角正切公式变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). 6.辅助角公式
y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋θ).
类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
例1 已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－1
3，求cos β的值.
跟踪训练1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为31010，25
5.
(1)求tan(α－β)的值； (2)求α＋β的值.
类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用
例2 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值.
跟踪训练2 求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R )的值域.
类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
例3 已知函数f (x )＝23sin(x －3π)sin ⎝
⎛⎭
⎫x －π2＋2sin 2⎝
⎛⎭
⎫x ＋5π2－1，x ∈R .
(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣
⎡⎦
⎤0，π2上的最大值和最小值；
(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦
⎤π4，π2，求cos 2x 0的值.
跟踪训练3 已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π
4，求sin 2x ＋2sin 2
x 1－tan x 的值.
类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 例4 已知sin x ＋2cos y ＝2，求2sin x ＋cos y 的取值范围.
跟踪训练4 已知关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0，2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值.
1.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α
2等于( ) A.－5 B.－513 C.12
13 D.5
2.已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝5
9，则sin 2θ等于( ) A.223 B.－223 C.23
D.－23
3.已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝1
2，则sin(α－β)＝ . 4.设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭
⎫2α＋π12的值为 .
5.已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋3
4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在闭区间[－π4，π
4]上的最大值和最小值.
课时作业
一、选择题
1.cos 2 017°cos 1 583°－sin 2 017°sin 1 583°等于( ) A.0 B.12 C.2
2 D.1 2.函数y ＝1
2sin 2x ＋sin 2x (x ∈R )的值域是( )
A.⎣⎡⎦⎤－12，32
B.⎣⎡⎦
⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－
22＋12，22＋12 D.⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－22－12，22－12 3.函数f (x )＝sin x cos x ＋3
2cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A.π，1 B.π，2 C.2π，1
D.2π，2
4.已知tan(α＋π4)＝－12，且π
2＜α＜π，则sin 2α－2cos 2αsin (α－π4)等于( )
A.255
B.－255
C.－355
D.－31010
5.已知向量a ＝(sin α，1)，b ＝(2，2cos α－2)(π2<α<π)，若a ⊥b ，则sin(α－π
4)等于( ) A.－32 B.－12 C.12
D.32
6.若1tan θ＝3，则cos 2θ＋1
2sin 2θ的值是( ) A.－65 B.－45 C.45
D.65
7.函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图象的一个对称中心为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫2π
3
，－32 B.⎝
⎛⎭⎪⎫5π
6
，－32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π
3，32 D.⎝⎛⎭
⎫π3，－3 二、填空题
8.若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝ .
9.函数y ＝(a cos x ＋b sin x )cos x 有最大值2，最小值－1，则实数a ＝ ，b ＝ . 10.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)＝ . 三、解答题
11.已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin
⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；
(2)若x ∈⎣⎡⎦
⎤π12，π2，求f (x )的取值范围.
12.已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →
＝b ，且a ，b 满足：a ·b ＝－9，|a |＝3，|b | ＝5，θ为a ，b 的夹角.求sin(B ＋θ).
13.设函数f (x )＝sin 2x ＋cos(2x ＋π3).
(1)求函数f (x )的最大值及此时x 的取值集合；
(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，已知cos B ＝13，f (C 2)＝－1
4，且C 为锐角，求sin A 的值.
四、探究与拓展
14.若tan(α＋π
4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝ .
15.已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0].向量m ＝(2，1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA →
－n ).
(1)求向量OA →
；
(2)若cos(β－π)＝2
10，0<β<π，求cos(2α－β)的值.。