九年级数学上册(北师大版)1.2.3矩形的性质与判定的综合运用

A．8cm
B．10cm
C．16cm
D．24cm
3．如图，矩形 OBCD 的顶点 C 的坐标为(1，3)，则对角线 BD 的长等于( D ) A. 7 B．2 2 C ．2 3 D. 10
4．在四边形 ABCD 中，AC 和 BD 的交点为点 O，下列条件中 不能判定四边形 ABCD 是矩形的是( C ) A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90° C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC D．AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°
平用
1．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF
边上，若矩形ABCD和矩形AEFC 的面积分别是S1，S2，则S1，S2 的大小关系是( B ) A．S1>S2 C．S1<S2D．3S1＝2S2 B．S1＝S2
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10cm，则EH等于( ) B
解： (1)∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴ AD ∥ BC ， ∴∠ ANM ＝ ∠CMN，由折叠知∠CNM＝∠ANM，∴∠CNM＝∠CMN，∴CN ＝CM (2)∵AD∥BC，S△CMN∶S△CDN＝3∶1，∴CM∶DN＝3∶1， 设 DN＝x，则 CM＝3x，过点 N 作 NK⊥BC 于点 K，∵DC⊥BC， ∴NK∥DC，又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x，由(1)知 CN ＝ CM ＝ 3x ， ∴ NK2 ＝ CN2 － CK2 ＝ (3x)2 － x2 ＝ 8x2 ， ∴ MN ＝ MN 2 3x MK2＋NK2＝ （2x）2＋8x2＝2 3x，∴ DN ＝ x ＝2 3
1 解：(1)∵点 E，F 分别是 AD，AB 的中点，∴EF 綊2DB， 1 同理 GH 綊2DB，∴EF 綊 GH，∴四边形 EFGH 是平行四边 形，又∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥AC，∴ FG⊥EF， ∴∠GFE＝90°， ∴四边形 EFGH 是矩形 (2)由(1) 1 1 1 知 EF＝2DB，FG＝2AC，∴S 矩形 EFGH＝EF· FG＝4AC· BD＝ 1 1 1 (2· AC· BD)＝2×50＝25 2·
解：连接 OE，∵四边形 ABCD 是矩形，∴OA＝OC，OB 1 1 ＝OD，AC＝BD，∵AE⊥CE，∴OE＝2AC，∴OE＝2BD，∴ OE＝OB＝OD，可证∠BED＝90°，∴BE⊥DE
14．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F，G，H分别是AD，AB，
BC，CD的中点．
(1)求证：四边形EFGH是矩形； (2)若菱形ABCD的面积是50，求四边形EFGH的面积．
12．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O， 点E是AC上的一点，且BO＝2AE，∠AOD＝120° ，求证： BE⊥AC.
解：证明△AOB为等边三角形，点E是OA的中点即可
13．如图，矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，点 E 为矩 形 ABCD 外一点，若 AE⊥CE，求证：BE⊥DE.
15．如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于 点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形． 解： (1) 证△ AMD≌△CMN 得 AD ＝ CN ， 又 ∵ AD∥CN ， ∴ 四 边 形 ADCN 是 平 行 四 边 形 ， ∴ CD ＝ AN (2)∵∠AMD ＝
矩形． 则这个四边形是____
8 ． 在四边形 ABCD 中 ， 对角线 AC ， BD 交于点 O ， 从① AB ＝ CD ；② AB∥CD ；③ OA ＝ OC ；④ OB ＝ OD ；⑤ AC ＝ BD ；⑥ ∠ABC＝90° .这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩 形 ， 如①②⑤ ⇒ 四边形 ABCD 是矩形 ， 请再写出符合要求的两 个： ①②⑥⇒四边形ABCD是矩形；③④⑤⇒四边形ABCD是矩形；
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂 直平分线分别交 AD ， AC 于点 E ， O ， 连接 CE ， 则 CE 的长为 (
) C
A．3 C．2.5D．2.8 B．3.5
11．矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE⊥BD 8 4 或5 5 于点 E，若 OE∶ED＝1∶3，AE＝ 3，则 BD＝ ．
第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
第3课时 矩形的性质与判定的综合运用
平行四边形 1．矩形的性质：(1)矩形具有的一切性质； (2)矩形的四个角都是； 直角 (3)矩形的对角线． 直角 四边形 角是的是矩形；(3)对角线的 相等
2．矩形的判定：(1)有一个角是的平行四边形是矩形； (2)有三个 直角 相等
5．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC 75 于点E，若∠CAE＝15° ，则∠BOE＝____度．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴， x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30° ，那么点C的 坐标为．
(1＋2 3，2)
7．平行四边形的四个内角平分线相交，如果能构成四边形，
(另外③④⑥，②③⑤⇒四边形ABCD是矩形)
9．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD＝BE； (2)若∠DBC＝30° ，BO＝4，求四边形ABED的面积．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴BD＝AC，AB∥CE，又∵BE∥AC，∴四边 形 ABEC 是平行四边形，∴BE＝AC，∴BD＝ 1 1 BE (2)S 四边形 ABED ＝ 2 (AB ＋ DE)· BC ＝ 2 (4 ＋ 8)×4 3＝24 3
2∠MCD，∠AMD＝∠ MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC，由(1)知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN ＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴▱ADCN是矩形
16．如图，将一张矩形纸片 ABCD 沿直线 MN 折叠，使点 C 落在点 A 处，点 D 落在点 E 处，直线 MN 交 BC 于点 M，交 AD 于点 N. (1)求证：CM＝CN； MN (2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为 3∶1，求 DN 的值．