江西省抚州市临川区高二上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案
江西省抚州市数学高二上学期理数第一次月考试卷
江西省抚州市数学高二上学期理数第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分）已知且则x=（）A . 10B .C . 3D .2. （2分）(2018·榆林模拟) 已知是双曲线的左右两个焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）已知F1,F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是（）A . 直线B . 圆C . 椭圆D . 双曲线4. （2分）下列全称命题中假命题的个数是（）①2x+1是整数（x∈R）②对所有的x∈R ，x＞3③对任意一个x∈z，2x2+1为奇数（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A .B .C .D . 06. （2分）．给定命题:若，则；命题:已知非零向量则“”是“”的充要条件.则下列各命题中,假命题的是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·湖南期中) 双曲线x2﹣ =1位于第一象限内的点P到该双曲线的右焦点的距离为2，则由双曲线的两焦点及点P构成的三角形面积S=（）A .B . 4C . 2D . 58. （2分） (2016高二下·桂林开学考) 下列判断错误的是（）A . 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”B . 命题“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”的否定是“ ”C . 若p，q均为假命题，则p∧q为假命题D . 命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是a≥49. （2分）(2016·花垣模拟) 已知D是△ABC中边BC上的中点，若 = ， = ，则 =（）A . +B . （ + ）C . ﹣D . （﹣）10. （2分） (2019高二上·南通月考) 在平面直角坐标系中，已知是抛物线的焦点，过点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线交于点和，记的中点为，的中点为，则的最小值是（）A . 3B . 4C . 5D . 611. （2分）设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是（）A . 1B .C . 2D .二、解答题 (共6题；共36分)12. （1分） (2019高二下·上海月考) 以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．13. （10分） (2018高二上·江苏月考) 设椭圆的焦点为，且该椭圆过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点满足，求的值.14. （5分）(2017·西城模拟) 已知函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x ，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．15. （5分） (2018高二上·阳高期末) 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.16. （5分） (2019高二下·佛山月考) 如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．17. （10分）(2018·辽宁模拟) 椭圆 : 的左、右焦点分别为、，若椭圆过点 .（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的左、右顶点，（）为椭圆上一动点，设直线分别交直线：于点，判断线段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.三、填空题 (共4题；共13分)（t为参数）过椭圆C：18. （1分）(2013·湖南理) 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为________．19. （1分）(2017·洛阳模拟) 已知P是抛物线y2=4x上的动点，Q在圆C：（x+3）2+（y﹣3）2=1上，R是P在y轴上的射影，则|PQ|+|PR|的最小值是________．20. （1分） (2018高二下·黑龙江月考) 已知双曲线的左顶点为，点.若线段的垂直平分线过右焦点，则双曲线的离心率为________.21. （10分）(2018高二下·重庆期中) 已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，， .（1）若是的中点，求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.参考答案一、单选题 (共11题；共22分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、解答题 (共6题；共36分)12-1、13-1、13-2、14-1、15-1、17-1、17-2、三、填空题 (共4题；共13分) 18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、。
2022-2023学年江西省临川第二中学高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
2022-2023学年江西省临川第二中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列直线中，倾斜角为锐角的是（ ） A ．10x y -+= B ．21y x =-+ C ．1y = D ．2x =【答案】A【分析】先由直线方程找到直线的斜率，再推导出直线的倾斜角即可. 【详解】选项A ：直线10x y -+=的斜率1k =，则直线倾斜角为4π，是锐角，判断正确；选项B ：直线21y x =-+的斜率20k =-<，则直线倾斜角为钝角，判断错误； 选项C ：直线1y =的斜率0k =，则直线倾斜角为0，不是锐角，判断错误； 选项D ：直线2x =没有斜率，倾斜角为直角，不是锐角，判断错误. 故选：A2．已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=， 所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．3．直线34120x y ++=与圆()()22119-++=x y 的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.【详解】圆心坐标为()11-，，半径3r =，圆心到直线34120x y ++=的距离115d r =<，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．故选:D4．2a =-是直线230ax y ++=和()5370x a y a +-+-=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两直线平行求出参数a ，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】解：因为直线230ax y ++=和()5370x a y a +-+-=平行， 所以()3100a a --=，解得2a =-或5，当2a =-时，两直线分别为2230,5590x y x y -++=--=，两直线平行， 当5a =时，两直线分别为5230,5220x y x y ++=+-=，两直线平行， 所以2a =-或5，所以2a =-是直线230ax y ++=和()5370x a y a +-+-=平行的充分不必要条件. 故选：A.5．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的A ．焦距相同B ．焦点相等C ．离心率相等D ．渐近线相同【答案】A【分析】由题可知两个曲线一个为椭圆、一个为双曲线，然后根据两个曲线的方程及椭圆、双曲线的相关性质即得．【详解】根据题意，曲线221(6)106x y m m m +=<--方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 曲线221(59)59x y m m m +=<<--即22195y x m m -=--，表示焦点在y 轴上的双曲线，椭圆焦距为4，双曲线焦距为4，故A 正确；椭圆焦点在x 轴上，双曲线焦点在y 轴上，故B 错误；椭圆的离心率小于1，双曲线离心率大于1，故C 错误； 椭圆无渐近线，故D 错误. 故选：A ．6．已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【分析】作出图形，求出,PA PB 的斜率，数形结合可求得直线l 的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-． 由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-， 因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C7．已知椭圆22:143x y C +=，过左焦点F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，（点A 在x 轴上方），若2AF FB =，则直线l 的斜率的值为（ ） A 5B ．5C ．12D ．12-【答案】A【分析】设出直线方程为(1)y k x =+，1122(,),(,)A x y B x y ．直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，再转化为1212,y y y y +，由2AF FB =得122y y =-，与1212,y y y y +消去12,y y 得k 的方程，解方程可得，注意0k >．【详解】由已知1c =，所以(1,0)F -， 设直线l 方程为(1)y k x =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由22=(+1)+=143y k x x y ⎧⎪⎨⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， 则2122834k x x k+=-+，212241234k x x k -=+， 121226(2)34ky y k x x k +=++=+①，2221212121229(1)(1)(1)33k y y k x x k x x x x k =++=+++=-+②， 2AF FB =，则122y y -=，122y y =-③，③代入①得22634k y k -=+，22634ky k =-+④， ③代入②得22229234k y k -=-+⑤，④⑤消去2y 并整理得254k =，由于A 在x 轴上方，所以0k >，所以k =故选：A ．8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π=3F PF ∠，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（ ） ABC ．1D ．12【答案】B【分析】利用椭圆和双曲线的定义及12π3F PF ∠=可以列出关于1e ，2e 的方程，再利用均值定理即可得到12e e ⋅的最小值【详解】设椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴长为2a '，1PF m =，2PF n =，（m n >） ，122F F c =则+=2=2m n am n a -'⎧⎨⎩，解之得=+=m a a n a a ⎧⎨-''⎩ 又222π41cos 322m n c mn +-== 则()()()()2224a a a a c a a a a ''''++--=+-则222340a a c '+-=，则2212134e e +=则221212134e e =+≥12e e ⋅≥（当且仅当12e e ==则12e e ⋅故选：B二、多选题9．下列说法正确的有（ ）A ．若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则()k b ，在第二象限B ．直线32y ax a =-+过定点()32，C ．过点()21-，斜率为)12y x +=- D ．斜率为2-，在y 轴截距为3的直线方程为23y x =-±． 【答案】ABC【解析】由直线y kx b =+过一、二、四象限，得到斜率0k <，截距0b >，可判定A 正确；由把直线方程化简为()()320a x y -+-+=，得到点()32，都满足方程，可判定B 正确；由点斜式方程，可判定C 正确；由斜截式直线方程可判定D 错误．【详解】对于A 中，由直线y kx b =+过一、二、四象限，所以直线的斜率0k <，截距0b >， 故点()k b ，在第二象限，所以A 正确；对于B 中，由直线方程32y ax a =-+，整理得()()320a x y -+-+=，所以无论a 取何值点()32，都满足方程，所以B 正确； 对于C 中，由点斜式方程，可知过点()21-，斜率为)12y x +=-，所以C 正确；由斜截式直线方程得到斜率为2-，在y 轴上的截距为3的直线方程为23y x =-+， 所以D 错误． 故选：ABC ．【点睛】本题主要考查了直线的方程的形式，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的点斜式的概念及形式，以及直线的斜率与截距的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10．已知过点()4,2P 的直线l 与圆()()22:334C x y -+-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则（ ） A ．AB 的最大值为4 B ．AB 的最小值为2C ．点O 到直线l 的距离的最大值为D ．POC △【答案】AC【分析】求得圆C 的圆心坐标为(3,3)C ，半径为=2r ，结合圆的性质和圆的弦长公式，三角形面积公式，即可求解.【详解】解：由题意，圆22:(3)(3)4C x y -+-=的圆心坐标为(3,3)C ，半径为=2r ， 又由点()4,2P 在圆C 内部，因为过点()4,2P 的直线l 与圆22:(3)(3)4C x y -+-=交于,A B 两点， 所以AB 的最大值为24r =，所以A 正确；因为PC当直线l 与PC 垂直时，此时弦AB 取得最小值，最小值为AB ==B 错误； 当直线l 与OP 垂直时，点O 到直线l 的距离有最大值，且最大值为OP ==C 正确； 由30231,13043OC PC k k --====---，可得1P OC C k k ⋅=-，即OC PC ⊥，所以POC △的面积为11322OC PC ⋅=⨯=，所以D 错误. 故选：AC.11．（多选题）光线自点()2,4射入，经倾斜角为135的直线:1l y kx =+反射后经过点()5,0，则反射光线还经过下列哪个点（ ）A ．()14,2B ．914,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()13,2D ．()13,1【答案】BD【分析】求出点()2,4关于直线l 的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项. 【详解】因为直线l 的倾斜角为135，所以直线l 的斜率为1k =-， 设点()2,4关于直线:1l y x =-+的对称点为(),m n ， 则41242122n m n m -⎧=⎪⎪-⎨++⎪=-+⎪⎩，解得31m n =-⎧⎨=-⎩，所以，反射光线经过点()3,1--和点()5,0，反射光线所在直线的斜率为101358--=--， 则反射光线所在直线的方程为()158y x =-， 当14x =时，98y =；当13x =时，1y =.故选：BD.【点睛】结论点睛：若点()11,P x y 与点()222,P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，由方程组121222210221x x y y A B C y y A x x B ++⎧⋅+⋅+=⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⋅-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩可得到点1P 关于直线l 的对称点2P 的坐标()22,x y （其中0B ≠，12x x ≠）.12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右两焦点分别是1F ，2F ，其中122F F c =.直线:()(R)l y k x c k =+∈与椭圆交于A ，B 两点.则下列说法中正确的有（ ） A ．当0k ≠时，2ABF 的周长为4a B ．当0k ≠时，若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C ．若2123AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是12⎤⎥⎣⎦ D ．若AB 的最小值为3c ，则椭圆的离心率12e = 【答案】AC【分析】利用椭圆定义判断A ；联立直线l 与椭圆C 的方程求出点M 坐标判断B ； 求出12AF AF ⋅取值范围计算判断C ；利用椭圆过焦点的最短弦列式判断D 作答. 【详解】对于A ，由椭圆定义得：2ABF 的周长222112||||||||||||||4AF AB BF AF AF BF BF a ++=+++=，A 正确；对于B ，由222222()y k x c b x a y a b =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得：22222222222()20a k b x a ck x a c k a b +++-=，则弦AB 中点222222222(,)a ck b ck M a k b a k b -++，而0k ≠，则22OM b k a k =-，即22OM b k k a⋅=-，B 不正确；对于C ，设00(,)A x y ，则2222002b y b x a=-，2200x a ≤≤，而12(,0),(,0)F c F c -， 于是得2222222120000002(,)(,)c AF AF c x y c x y x y c x b c a⋅=---⋅--=+-=+-2222[,]b c a c ∈--，由222223b c c a c -≤≤-得22245c a c ≤≤12e ≤≤，C 正确； 对于D ，由椭圆的性质知，椭圆的通径是过焦点的椭圆的最短弦，当223b c a=时，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，解得12e =，因直线l 不垂直于x 轴，则弦AB 不能取到22b a，即12e ≠，D 不正确. 故选：AC三、填空题13．已知直线(1)y k x =+截圆22(1)(1)4x y -+-=所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则k =__________．【答案】0或4343或0 【分析】利用圆的性质可得圆心到直线的距离为半径的一半，然后利用点到直线的距离公式即求.【详解】由22(1)(1)4x y -+-=可知圆心为()1,1C ，半径为2，设直线与圆交于A 、B 两点，又直线(1)y k x =+截圆22(1)(1)4x y -+-=所得两段圆弧的弧长之比为1：2，∴120ACB ∠=，∴圆心到直线的距离为半径的一半， 22111k k -=+，解得0k =或43k =. 故答案为：0或43.14．设双曲线221916x y -=的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，若1232PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=______． 【答案】0【分析】先由双曲线的定义结合已知求得12PF PF ⊥，进而可求出12PF PF ⋅. 【详解】由题意得，221,916265c PF PF +-===，联立1212632PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22221212121223664100PF PF PF PF PF PF F F ⇒+=-+=+==，因此12PF PF ⊥，则120PF PF ⋅=． 故答案为：0.15．点P 在椭圆221169x y +=上，点P 到直线3424x y -=的最大距离与最小距离的和为______. 【答案】4859.6 【分析】利用椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质进行求解.【详解】因为点P 在椭圆221169x y +=上，所以设点[)(4cos 3sin ),0,2πP θθθ∈，，则点P 到直线3424x y -=的距离π122cos 244|12cos 12sin 24|55d θθθ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭==， 因为[)0,2πθ∈，所以π122cos 122,1224θ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭， 所以π122cos 2442412224122,555θ⎛⎫+- ⎪⎡⎤-+⎝⎭∈⎢⎥⎣⎦， 所以P 到直线3424x y -=的最大距离与最小距离的和241222412248555-++=. 故答案为：485. 16．已知O 为坐标原点，定点()1,0F ，M 是圆22:4O x y +=内一动点，圆O 与以线段FM 为直径的圆内切，则动点M 的轨迹方程为________. 【答案】()221243x y x +=≠± 【分析】取点()1,0E -，设线段FM 的中点为P ，圆P 与圆O 的切点为Q ，利用中位线的几何性质并结合椭圆的定义可求得点M 的轨迹方程.【详解】取点()1,0E -，设线段FM 的中点为P ，圆P 与圆O 的切点为Q ，易知O 为线段EF 的中点，则2ME OP =， 所以，2224ME MF OP PQ OQ EF +=+==>，故点M 的轨迹是以点E 、F 为焦点，长轴长为4（去除长轴端点）的椭圆， 且24a =，则=2a ，=1c ，则223b a c =- 因此，点M 的轨迹方程为()221243x y x +=≠±. 故答案为：()221243x y x +=≠±.四、解答题17．已知()1,1M -，()2,2N ，()3,0P ．(1)若点Q 满足PQ MN ⊥，PN MQ ∥，求点Q 的坐标；(2)若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ ∠=∠，求直线MQ 的倾斜角．【答案】(1)()0,1Q(2)90°【分析】第（1）问中，若12,k k 存在，两直线垂直，则有121k k ，两直线平行，则有12k k =,设出点Q 的坐标，列方程即可求解.第（2）问中，根据NQP NPQ ∠=∠，可知NQ NP k k =-，设点坐标列方程即可.【详解】(1)设(),Q x y ，由题意得3MN k =，2PN k =-．因为PQ MN ⊥，所以1PQ MN k k ⋅=-， 即313y x ⨯=--．① 又PN MQ ∥，所以PN MQ k k =，即121y x +=--．② 由①②，得0x =，1y =，即()0,1Q ．(2)如图所示：设(),0Q x ，因为NQP NPQ ∠=∠，所以NQ NP k k =-．又22NQ k x=-，2NP k =-，所以222x =-，即1x =， 所以()1,0Q ，又()1,1M -，所以MQ x ⊥轴，故直线MQ 的倾斜角为90°．18．已知圆1C ：²²4230x y x y +---=，圆2:?²20C x y x m +-+=，其中51m -<<.（1）若1m =-，判断圆1C 与2C 的位置关系，并求两圆公切线方程（2）设圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线为l ，且圆2C 的圆心到直线l 直线l 的方程以及公共弦长【答案】（1）两圆内切，10x y ++=；（2）直线l 的方程为0x y +=【分析】（1）由1m =-，分别得到圆1C 和圆2C 的圆心，半径，然后利用圆圆的位置关系判断，再由两圆方程相减得到公切线；（2）先得到两圆公共弦所在直线l 的方程，再利用弦长公式求解.【详解】（1）当1m =-时，圆1C 的圆心()12,1C ，半径1r =圆2C 的圆心()21,0C ，半径2r圆心距1212C C r r ==-，所以两圆内切；因为两圆内切，所以公切线只有一条，两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：10x y ++=；（2）两圆公共弦所在直线l 的方程为：2230x y m +++=，圆2C 的圆心()21,0C 到直线l =， 于是52m +=，3m =-或7(-舍)，所以直线l 的方程为0x y +=；因为圆2C 半径22r =，弦心距d ==19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为短轴长为2，直线l 过点()2,1P -且与椭圆C 交于A 、B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为1，求三角形OAB 的面积.【答案】(1)2219x y += (2)910【分析】（1）由已知求得,,c b a 后得椭圆方程；（2）写出直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点,A B 坐标，计算AB ，求出原点到直线AB 的距离后可得面积．【详解】(1)椭圆焦点为2c ，则2c =，c =又22b =，1b =，所以3a =， 椭圆方程为2219x y +=； (2)直线l 方程为12y x -=+，即3y x =+， 由22=+3+=19y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩，解得11=3=0x y -⎧⎨⎩，2212=53=5x y -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 即(3,0)A -，123(,)55B -，AB == O 到直线AB的距离为d ==所以19210OAB S ==． 20．已知直线l 的方程为()()()14232140m x m y m +--+-=.(1)证明：无论m 为何值，直线l 恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在直线l 使得ABO 的面积为9.若存在，求出直线l 的方程；若不存，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；()2,2(2)存在，2211660x y +-=或922660x y +-=【分析】（1）在直线的方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x 、y 的值，可得直线经过定点的坐标.（2）求出A 、B 的坐标，根据ABO 的面积为9，求出m 的值，可得结论.【详解】(1)直线l 的方程为()()()14232140m x m y m +--+-=，即()()4314220m x y x y +-+-+=，令43140x y +-=，可得220x y ，求得2x =，2y =，可得该直线一定经过43140x y +-=和220x y 的交点()2,2.(2)若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点， 则142,014m A m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭、1420,32m B m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭，且142014m m ->+，142032m m ->- ，∴14m <-，或23m >. 则ABO 的面积为1142142921432m m m m --⨯⨯=+-， 即()()()227194132m m m ⨯-+-=，即21017200m m --=， ∴52m =，或 45m =-. 故存在直线l 满足条件，且满足条件的出直线l 的方程为2211660x y +-=，或922660x y +-=.21．已知动点P 与两个顶点(0,0)O ，(3,0)A 的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)过点(0,3)B -且斜率为k 的直线l ，交曲线C 于、N 两点，若9OM ON ⋅=，求斜率k【答案】(1)22(4)4x y -+=；(2)1k =.【分析】（1）设出动点P 的坐标，借助两点间距离公式列式，化简计算作答.（2）根据给定条件写出l 的方程，联立l 与C 的方程，借助韦达定理计算判断作答.【详解】(1)设点(,)P x y ，依题意，||2||PO PA =，则22224[(3)]x y x y +=-+，化简整理得：22(4)4x y -+=，所以曲线C 的轨迹方程是：22(4)4x y -+=.(2)依题意，设直线l 的方程为：3y kx =-，由223(4)4y kx x y =-⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得：22(1)2(34)210k x k x +-++=，由224(34)84(1)0k k ∆=+-+>得11k << 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则有1212226821,11k x x x x k k ++==++， 2121212121212(3)(3)(1)3()99OM ON x x y y x x kx kx k x x k x x ⋅=+=+--=+-++=， 即22221680(1)311k k k k k +⋅-++⋅=+，整理得2870k k -+=，解得1k =或7k =（舍去）， 所以斜率1k =.【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．22．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>(-是椭圆1C 上的点． (1)求椭圆1C 的方程；(2)已知点P 为椭圆1C 上的任意一点，过点P 作1C 的切线与圆2C ：2212x y +=交于A ，B 两点，设OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值，并求该定值．【答案】(1)22184x y +=；(2)证明见解析，定值为12-.【分析】（1）由离心率、点在椭圆上及椭圆参数关系求椭圆参数，即可得椭圆方程. （2）讨论AB 斜率，并设直线方程联立椭圆方程，应用韦达定理及斜率两点式得到12k k ⋅关于参数的表达式，进而化简即可证结论.【详解】(1)由题设，e=c a =222a c =，而222b a c =-，则22b c =， 设椭圆1C 的方程为222212x y c c+=，又点(-在椭圆1C 上， 所以224212c c +=，可得：24c =，故椭圆1C 的方程为22184x y +=. (2)①当直线AB 斜率不存在时，直线AB的方程为x =x =-若x =A，2)B -，则1k =，2k =1212k k ⋅=-．若x =-(A -，(2)B --，则1k =2k =1212k k ⋅=-． ②当直线AB 斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 直线与椭圆联立2228y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4280k x kmx m +++-=， 由直线与椭圆相切，则∆=2222164(12)(28)0k m k m -+-=，化简得：2248m k =+．直线与圆联立：2212y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：()22212120k x kmx m +++-=， 12221km x x k -+=+，2122121m x x k -=+，(*)，而OA ，OB 的斜率分别为111y k x =，222y k x =，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅===， 将(*)式代入：222222221222(12)2(1)121212k m k m m k k m k k m m --++-+⋅==--， 将2248m k =+代入：2122441882k k k k -+⋅==--． 综上：12k k ⋅为定值，该定值为12-．。
2019-2020学年江西省临川第一中学度高二上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年江西省临川第一中学度高二上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．若直线//l α，且l 的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为(1,1,2)-，则m 为（ ） A ．-4 B ．-2C ．2D ．4【答案】D【解析】由题可得l 与平面α的法向量垂直,再利用垂直的数量积公式求解即可. 【详解】由题有l 与平面α的法向量垂直,故(2,,1)(1,1,2)0220m m ⋅-=⇒-+=,所以4m =. 故选：D 【点睛】本题主要考查了线面平行得出线和法向量垂直的关系,同时也考查了空间向量垂直的计算,属于基础题.2．下列说法正确的是（ ）A ．若()p q ⌝∧为真命题，则p ，q 均为假命题；B ．命题“若2340x x --=，则1x =-”的逆否命题为真命题；C ．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若“10a >”则“20192018S S >”的否命题为真命题；D ．“平面向量a r与b r的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<rr ” 【答案】C【解析】根据逻辑连接词的性质判断A;根据逆否命题与原命题同真假判断B;根据逆否命题同真同假判断C;再根据数量积的公式判断D 即可. 【详解】对A, 若()p q ⌝∧为真命题,则p q ∧为假命题,故p ,q 至少有一个假命题,故A 错误. 对B, 因为2340x x --=有1x =-或4x =,故命题“若2340x x --=,则1x =-”为假命题,故其逆否命题也为假命题.故B 错误.对C, 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“10a >”则“20192018S S >”的逆命题为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“20192018S S >”则“10a >”.又因为当20192018S S >时201920180S S ->即2018201911000a a q a >⇒>⇒>成立.而原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，故C 正确.对D, 当0a b ⋅<rr 时, a r与b r也可能反向,此时夹角为π.故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定,包括四种命题之间的关系与充分必要条件的性质判定等.属于基础题.3．命题“[2,3]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．0a ≤ B ．1a ≤C ．2a ≤D ．3a ≤【答案】D【解析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可. 【详解】命题“[2,3]x ∀∈,220x a -≥”为真命题的充要条件：[2,3]x ∀∈,22x a ≥恒成立.即42a ≥,2a ≤.故其必要不充分条件为3a ≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进行判定.属于基础题.4．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于2a 的是（ ）A ．2AB CA ⋅u u u r u u u rB ．2AC FG ⋅u u u r u u u r C ．2AD DC ⋅u u u r u u u rD ．2EF DB ⋅u u u r u u u r【答案】B【解析】根据向量的数量积公式分析向量的夹角与模长逐个判断即可. 【详解】对A, 2222cos 3AB CA AB CA a π⋅=⋅⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r .不满足对B, 222cos022a AC FG AC FG a a ⋅=⋅⋅︒=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r .满足 对C, 2222cos 3AD DC AD DC a π⋅=⋅⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r .不满足 对D, 222cos 22a EF DB EF DB a a π⋅=⋅⋅=-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .不满足故选：B 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积,需要根据几何关系判断向量的夹角与模长,属于基础题.5．命题p :函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数.命题q :直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0. 若p q ∨为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a > B ．0a ≥C ．04a ≤<D ．04a <≤【答案】A【解析】根据二次函数对称轴与区间的位置关系判断a 的取值范围,再求得直线0x y a +-=在y 轴上的截距令其小于0计算a 的取值范围.再根据p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题再分析即可.【详解】当函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数时,对称轴满足242aa ≤⇒≤. 当直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0时有0a <. 又p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题.故440a a a >⎧⇒>⎨≥⎩.故选：A 【点睛】本题主要考查了利用命题间的关系求解参数的范围问题,需要根据题意先求出命题均为真命题时的参数范围,再根据复合命题的真假求取值范围即可.6．设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（ ）A．4B．4±CD．4±【答案】B【解析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S ︒=⨯=V 设P 点的纵坐标为h 则1221F F h h ⋅⋅=⇒=故选：B 【点睛】本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积运用,属于中档题.7．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG m m =<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCD【答案】D【解析】易得11//A B 平面1D EF ,故点G 到平面1D EF 的距离为点1A 到平面1D EF 的距离,再分析线面垂直的关系求解即可. 【详解】作11A P ED ⊥于P ,因为,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点,故11//EF A B ,EF ⊥平面11A ADD .故1EF A P ⊥,又11A P ED ⊥,1EF ED E ⋂=.故11A P ED F ⊥平面.又11//EF A B 所以点G 到平面1D EF 的距离为点1A 到平面1D EF 的距离1A P .又11111111111111225A E A D A P ED A E A D A P ED ⨯⋅⋅=⋅⇒===故选：D 【点睛】本题主要考查了点到平面距离的计算,根据题意可直接找到11A P ED F ⊥再根据等面积法计算1A P ,属于中档题.8．我们把由半椭圆22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222a b c =+，0a b c >>>).如图，设点0,F 1,F 2F 是相应椭圆的焦点，1,A 2A 和1,B 2B 是“果圆”与,x y 轴的交点，若012F F F △是等腰直角三角形，则ab的值为（ ）A ．7 B 2C 6D ．54【答案】C【解析】根据题意分别利用椭圆中的基本量关系计算0,F 2F 对应的坐标,再根据012F F F △是等腰直角三角形可得02OF OF =计算即可.【详解】根据题意有()0,0F c ,(222b Fc -,又根据012F F F △是等腰直角三角形的性质可得02OF OF =,即()22222222322a b c c b a bb -=⇒=-⇒=.故6a b 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据椭圆的基本量关系列式求解的方法,需要求出对应点的坐标,利用等腰直角三角形的性质列式化简求解.属于基础题.9．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为4，2AC BC ==，90ACB ︒∠=，点D 是11A B 的中点，F 是侧面11AA B B (含边界)上的动点.要使1AB ⊥平面1C DF ，则线段1C F 的长的最大值为（ ）A ．5B ．22C 13D ．5【答案】A【解析】分析可得当1AB ⊥平面1C DF 时1AB DF ⊥,故F 在边界1BB 时1C F 取最大值,再根据平面中的边角比例关系求解即可. 【详解】由题,当1AB ⊥平面1C DF 时1AB DF ⊥,故F 在边界1BB 时1C F 取最大值,此时因为1AB DF ⊥,故111111190FDB AB A B AA AB A ∠+∠=∠+∠=︒.故111FDB B AA ∠=∠.故111tan tan FDB B AA ∠=∠即1111111111FB A B A B DB FB DB AA AA ⋅=⇒== 2222222224++11BB =<满足题意 .此时221111145C F FB C B =+=+=故选：A 【点睛】本题主要考查了根据线面垂直计算边长的关系的方法.需要根据题意找到对应的角度等量关系,利用正切值相等进行列式求解.属于中档题.10．椭圆22143x y +=上有n 个不同的点123,,,,n P P P P ⋅⋅⋅，椭圆右焦点F ，数列{}n P F 是公差大于12019的等差数列，则n 的最大值为（ ） A ．4036B ．4037C ．4038D ．4039【答案】C【解析】根据题意分析最大最小的n P F 的值,再利用等差数列的通项公式求解n 的最大值即可. 【详解】根据题意有,当1P 为椭圆的右顶点,n P 为左顶点时n 取得最大值.此时121PF ==.23n P F ==.又数列{}n P F 是公差12019d >的等差数列, ()2131112019n d d n =+-⇒=>-,所以140384039n n -<⇒<. 故n 的最大值为4038. 故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点的距离最值以及等差数列的基本量运用,属于中档题. 11．已知正四棱锥S ABCD -，E 是线段AB 上的点且13AE AB =，设SE 与BC 所成的角为1θ，二面角S AB C --的平面角为2θ，SE 与平面ABCD 所成的角为3θ，则（ ） A ．123θθθ<< B ．321θθθ<<C ．132θθθ<<D ．231θθθ<<【答案】B【解析】作出立体图形,分别构造关于123,,θθθ的直角三角形,利用正切值的大小判断即可. 【详解】如图,作SO ⊥平面ABCD 于O ,取AB 中点J ,在DC 上取F 使得13DF DC =,I 为EF 中点.连接各点如图所示.易得//EF BC ,故SE 与BC 所成的角1SEF θ=∠,二面角S AB C --的平面角2SJO θ=∠,SE 与平面ABCD 所成的角3SEO θ=∠. 又OJ AB ⊥,故EO JO >,所以32tan tan SO SO EO JOθθ=<=. 又12EI JO BC ==,SO OI ⊥,故SI SO >,21tan tan SO SI JO EIθθ=<=. 综上有321tan tan tan θθθ<<.又1230,,2πθθθ<<.故321θθθ<< 故选：B 【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面角与线线角等之间的关系,需要找到对应的角度,利用正切函数的单调性进行大小的判断.属于中档题.12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的下顶点，,M N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．6⎫⎪⎪⎝⎭B ．63⎝⎭C ．3⎛ ⎝⎭D ．6⎛ ⎝⎭【答案】D【解析】由题四边形OPMN 为平行四边形可知,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,再代入椭圆方程可求得,M N 的坐标,再利用35,46ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,根据斜率等于倾斜角的正切值求斜率的表达式再计算即可. 【详解】∴,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即,M N 两点关于x 轴对称,MN OP a ==,可设,,,22a a M x N x ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,代入椭圆方程得：x =,因为35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故0x <得2a N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, α为直线ON 的倾斜角,tan aα==,又35,46ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以tan 1,3α⎛∈-- ⎝⎭,即1133b a -<<-⇒<<.故0,3e ⎛= ⎝⎭∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的几何关系列出关于基本量的不等式求解离心率的问题,重点是根据题设找到对应的等量关系列式求解.属于中档题.二、填空题13．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若1AC 与底面ABCD 所成角为45︒，则11A C 和底面ABCD 的距离是________.【解析】确定1AC 与底面ABCD 所成角,再利用直角三角形中的边角关系求解即可. 【详解】连接1AC ,因为1CC ⊥平面ABCD ,故1AC 与底面ABCD 所成角为145C AC ∠=︒. 所以1C AC V 为等腰直角三角形.所以11A C 和底面ABCD 的距离221112CC AC ==+=.2【点睛】本题主要考查了线面角的辨析与立体几何中的求解,属于基础题.14．给定两个命题，P :对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q :方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆.如果P Q ∧⌝为真命题，则实数a 的取值范围是_________.【答案】30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦U【解析】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.再分别根据恒成立以及椭圆的标准方程性质求解即可. 【详解】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.又对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立则显然0a ≥ ：①当0a =时10>恒成立满足题意,②当0a >时24004a a a ∆=-<⇒<<. 综上有04a ≤<又方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆有33032a a a >->⇒<<.又Q 为假命题故32a ≤或3a ≥.故实数a 的取值范围是30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦U故答案为：30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦U【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围问题.需要根据题意分析命题的真假,再求解对应的参数范围最后再求参数的交集.属于中档题.15．函数()1g x ax =+(0)a >，2()2f x x x =-，对1[1,2]x ∀∈-，0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立，则a 的取值范围是_________.【答案】(0,1]【解析】由题意可知()f x 的值域包含()g x 的值域,再分别根据定义域求对应函数的值域,再根据包含关系列不等式求解即可. 【详解】由题,当[]11,2x ∈-时,因为0a >,故[]()11,21g x ax a a =+∈-++.又0[0,3]x ∈则[]2()21,3f x x x =-∈-.又1[1,2]x ∀∈-,0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立,所以()f x 的值域包含()g x 的值域. 所以111213a a a -+≥-⎧⇒≤⎨+≤⎩,因为0a >,所以a 的取值范围是(0,1].故答案为：(0,1] 【点睛】本题主要考查了根据函数恒成立与能成立的问题求解参数范围的问题,需要根据题意判定出函数值域满足的关系式,再分别列式求解.属于中档题.16．已知O 为坐标原点,平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：22221(0)x y a b a b+=>>,点E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ,OF 的斜率之积为12-,则椭圆Ω的离心率为______．【答案】2【解析】设()11,C x y ,则()22,D x y ,由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --,由可得2211221x ya b+=,2222221x ya b+=,相减可得：AB，AD斜率之积为()()()()2121221212.y y y y bx x x x a-+=--+由E,F分别为AB,AD的中点,可得OE，OF的斜率之积等于AB,AD斜率之积．即2212ba=,即可求得椭圆Ω的离心率．【详解】解：设()11,C x y,则()22,D x y,由对称性可得：()11,A x y--，则()22,B x y--，可得2211221x ya b+=,2222221x ya b+=．相减可得：2222121222x x y ya b--+=AB∴,AD斜率之积为()()()()2121221212y y y y bx x x x a-+=--+．EQ,F分别为AB,AD的中点,且OE，OF的斜率之积为12-，则OE,OF的斜率之积等于AB，AD斜率之积．2212ba=∴,则椭圆Ω的离心率为22212bea=-=,故答案为:22．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三、解答题17．已知集合{}2|320A x x x =-+≤，集合{}2|2B y y x x a ==--，集合{}2|20C x x ax =+-≤，命题:p A B ⋂≠∅，命题:q A C ⊆.（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； （2）若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3a <-（2）31a -≤≤-【解析】(1)由题意A B =∅I ,再根据区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】由题, {}{}2|320|12A x x x x x =-+≤=≤≤,{}{}2|2|1B y y x x a y y a ==--=≥--（1）由命题p 是假命题,可得A B =∅I ,即得12,3a a --><-. （2）p q ∧Q 为真命题,,p q ∴都为真命题,即A B ⋂≠∅,且A C ⊆.∴有121204220a a a --≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩,解得31a -≤≤-.【点睛】本题主要考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题,需要根据题意求出对应的区间端点满足的不等式再求解.属于中档题.18．如图，在几何体ABCDE 中，//CD AE ，90EAC ︒∠=，平面EACD ⊥平面ABC ，22CD EA ==，2AB AC ==，23BC =，F 为BD 的中点.（1）证明://EF 平面ABC ； （2）求直线BC 与平面BDE 所成角. 【答案】（1）证明见解析（2）30°. 【解析】(1)取BC 中点G ,连接FG ,AG ,再证明四边形AGFE 是平行四边形即可. (2) 以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再用空间向量求解直线BC 与平面BDE 所成角即可. 【详解】（1）取BC 中点G ,连接FG ,AG ,又F Q 为BD 的中点,2CD EA =,//CD AE ,12FG CD EA ∴==,且//FG AE , ∴四边形AGFE 是平行四边形, //EF AG ∴,而且EF ⊄平面ABC ,AG ⊂平面ABC , //EF ∴平面ABC ；（2）90EAC ︒∠=Q ,平面EACD ⊥平面ABC ,且交于AC , ∴平EA ⊥面ABC ,由（1）知//FG AE ,FG ∴⊥平面ABC ,又AB AC =Q ,G 为BC 中点, AG BC ∴⊥,如图,以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则3,0)B ,(0,3,0)C ,(0,3,2)D -,(1,0,1)E ,(0,23,0)BC ∴=-u u u r ,(0,23,2)BD =-u u u r ,(1,3,1)BE =u u u r,设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =r ,则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ,即3030z x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,令1y =,得3)n =r, ∴直线BC与平面BDE 所成角的正弦值为12||||BC n BC n ⋅=r u u ur r .∴直线BC 与平面BDE 所成角为30°. 【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的问题,需要找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再求面的法向量与直线的向量,进而求得线面所成角的正弦求解.属于中档题.19．已知:()P f x =的定义域为R ，:q x ∃∈R ，使得不等式20x x a -+<成立，关于x 的不等式(1)(2)0x m x m -+-≤的解集记为B .（1）若p q ∧为真，求实数a 的取值集合A ；（2）在（1）的条件下，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭；（2）1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）先确定p ，q 为真的等价条件，若p q ∧为真则p 真q 真，求交集即可； （2）利用x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，即A ⊊B ，确定条件关系，即可求实数m 的取值范围． 【详解】（1）:p 真 f （x）=R ，则ax 2﹣ax +14≥0对任意实数x 都成立，当a ＝0时显然满足，当a ≠0时，有2()0a a a ⎧⎨--≤⎩＞，解得0＜a ≤1． 综上： []a 0,1∈:q 真 x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，∴14a 0=->n 即a 1,4⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭ Q p q ∧为真，即p 真，q 真，∴ 10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭（2）①12m m -<，即1m >-，此时[]1,2B m m =-Q x A ∈是x B ∈的充分不必要条件∴ 10124m m -≤⎧⎪⎨≥⎪⎩1,18⎡⎤⇒⎢⎥⎣⎦；②12m m -=，即1m =-，此时{}2B =- 不符合题意。
江西省临川第一中学2021-2022学年度高二上学期第一次月考数学理科试卷
临川一中2021—2021学年度上学期第一次月考高二数学（理科）试卷卷面满分：150分 考试时间：120分钟命题人：罗玉娇 审题人：黄维京 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
）1．若直线α//l ，且l 的方向向量为(2,m,1)，平面α的法向量为()1,1,2-，则m 为( ) A.－4 B. －2 C. 2 D. 4 2．下列说法正确的是（ ）A.若¬(p ∧q )为真命题，则p ，q 均为假命题；B.命题“若x 2−3x −4=0,则x =−1”的逆否命题为真命题；C.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若“a 1>0”则“S 2019>S 2018”的否命题为真命题；D.“平面向量a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为钝角”的充要条件是“0<⋅b a”3．命题“[]2,3∀∈x ，220-≥x a ”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．0≤a B ．1≤a C ．2≤a D ．3≤a4．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A.2⋅AB CAB.2⋅AC FGC.2⋅AD DCD.2⋅EF DB5．命题p ：函数21y x ax =-+在()∞+，2上是增函数. 命题q ：直线+0-=x y a 在y 轴上的截距小于0. 若∨p q 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4>a B ．0≥a C ．04≤<a D ．04<≤a6．设P 为椭圆221259x y +=上一点，1F ,2F 为左右焦点，若1260F PF ∠=︒，则P 点的纵坐标为( )A.433 B.433± C. 439 D. 439±7．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)=<<AG m m ，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A.BC D 8．我们把由半椭圆()222210x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222,a b c =+ 0a b c >>>).如图,设点012,,F F F 是相应椭圆的焦点, 12,A A 和12,B B是“果圆”与,x y 轴的交点,若012F F F ∆是腰长为1的等腰直角三角形,则ab的值分别为( )A B C D ．549．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为4，AC =2=BC ，90ACB ∠=︒，点D 是11A B 的中点，F 是侧面11AA B B （含边界）上的动点.要使1AB ⊥平面1C DF ， 则线段1C F的长的最大值为（ ）A B ． C D ．10．椭圆22143+=x y 上有n 个不同的点123,,,,n P P P P ，椭圆右焦点F ，数列{}n P F 是公差大于12019的等差数列，则n 的最大值为（ ）A ．4036B ．4037C ．4038D ．403911．已知正四棱锥S −ABCD ，E 是线段AB 上的点且AB AE 31=，设SE 与BC 所成的角为θ1，二面角S −AB −C 的平面角为θ2，SE 与平面ABCD 所成的角为θ3，则（ ） A ．321θθθ<< B ．123θθθ<< C ．231θθθ<< D ．132θθθ<<12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：()012222>>=+b a bx a y 的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈65,43ππα，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,36 B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛2336， C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛230， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛360， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，若AC 1与底面ABCD 所成角为45°，则A 1C 1和底面ABCD 的距离是________.14．给定两个命题，P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立； Q ：方程2213+=-x y a a表示焦点在x 轴上的椭圆。
江西省抚州市数学高二上学期理数第一次调研考试试卷
江西省抚州市数学高二上学期理数第一次调研考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2016 高一下·枣阳期中) 等差数列{an}中，a3=2，a5=7，则 a7=（ ）A . 10B . 20C . 16D . 122. （2 分） (2019 高一下·安吉期中) 下列命题中正确的有（ ）①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在角形；③若为锐角三角形的两个内角，则通项.中，若 ；④若 为数列，则为直角三的前 项和，则此数列的A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④3. （2 分） (2019 高二上·沈阳月考) 已知 是等比数列，则（）A.B. C.第 1 页 共 18 页D.4. （2 分） 在中角则的面积为（ ）的对边分别为， 已知，且，，A.B.C.D.5. （2 分） (2020 高二上·洛南月考) 已知 是等比数列，，则＝（ ）A.B.……+C.D. 6. （2 分） (2019 高一下·宾县期中) 在 A . 锐角三角形 B . 直角三角形 C . 钝角三角形 D . 等腰三角形中，若，则的形状为（ ）7. （2 分） 计算机的成本不断降低，若每隔 3 年计算机价格降低 ， 现在价格为 8100 元的计算机，9 年后 的价格可降为（ ）第 2 页 共 18 页A . 2400 元 B . 900 元 C . 300 元 D . 3600 元8. （2 分） (2019 高一上·昌吉月考) 在，则的周长为（ ）中，角的对边分别为，且，，A.B.C.D.9. （2 分） (2019·江南模拟) 计算机内部运算通常使用的是二进制，用 1 和 0 两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个 2019 位的二进制数，其第一个数字为 1，第二个数字为 0，且在第 个 0 和第个0之间有个 1（ ），即，则该数的所有数字之和为（ ）A . 1973B . 1974C . 1975D . 197610. （2 分） (2019 高三上·安徽月考) 在中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知，，若的面积为，则（）A.B.第 3 页 共 18 页C. D.11.（2 分）在中，已知,A . 等边三角形B . 等腰直角三角形C . 锐角非等边三角形D . 钝角三角形则为（ ）12. （2 分） (2018 高一下·六安期末) 设等差数列 的前 项和为 ，且，足的最大自然数 的值为（ ）A . 12B . 13C . 22D . 23二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)，则满13. （1 分） (2017 高二上·南阳月考) 若等差数列 的前 项和最大．满足，则当________时14. （1 分） (2017 高一下·淮安期末) 已知△ABC 中，AB= ，BC=1，A=30°，则 AC=________． 15. （1 分） 已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 若 S3=3，S9﹣S6=12，则 S6=________ 16. （1 分） (2012·广东) 已知递增的等差数列{an}满足 a1=1，a3=a22﹣4，则 an=________．三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)第 4 页 共 18 页17. （10 分） (2019 高三上·苏州月考) 已知数列 、 满足：，，.（1） 证明：是等差数列，并求数列 的通项公式；（2） 设，求实数 为何值时恒成立．18.（10 分）(2020 高一下·乌拉特前旗月考) 设的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且，， cosB= .（1） 求 a，c 的值；（2） 求的值.19. （10 分） (2019 高二上·河南期中) 已知数列 满足，．（1） 求证：数列是等差数列，并求数列 的通项公式；（2） 记 数 的最小值．， 为数列的前 项和，若对任意的正整数 都成立，求实20. （10 分） (2019 高二上·中山月考) 在中，角所对的边分别为，的面积为 ，.（1） 求角 的大小；（2） 若，，求的值.21. （10 分） (2015 高三上·潮州期末) 已知正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 且满足，S7=56．（1） 求数列{an}的通项公式 an；（2） 若数列{bn}满足 b1=a1 且 bn+1﹣bn=an+1 ， 求数列的前 n 项和 Tn ．第 5 页 共 18 页22. （15 分） 据俄罗斯新罗西斯克 2015 年 5 月 17 日电 记者吴敏、郑文达报道：当地时间 17 日，参加中俄 “海上联合﹣2015（Ⅰ）”军事演习的 9 艘舰艇抵达地中海预定海域，混编组成海上联合集群．接到命令后我军在 港口 M 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的俄军轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 M 北偏西 30°且与 该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以 v 海 里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇．（1） 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （2） 为保证小艇在 30 分钟内（含 30 分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值并说明你的推理过 程； （3） 是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在， 试确定 v 的取值范围；若不存在，请说明理由．第 6 页 共 18 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、 考点：第 7 页 共 18 页解析：答案：4-1、 考点： 解析： 答案：5-1、 考点： 解析：第 8 页 共 18 页答案：6-1、 考点：解析： 答案：7-1、 考点：解析： 答案：8-1、 考点： 解析：第 9 页 共 18 页答案：9-1、 考点： 解析：答案：10-1、 考点：第 10 页 共 18 页解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。
5—16学年高二(上)第一次月考数学试卷(附解析)
2015-2016学年江西省抚州市临川一中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体500名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将500名学生从1到500进行编号．已知从21～30这10个数中取的数是24，则在第1小组1～10中随机抽到的数是（）A．2 B．4 C．6 D．82．已知△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=，b=，B=60°那么角A 等于（）A．30°B．45°C．135°D．135°或45°3．以下给出的函数中，以π为周期的奇函数是（）A．y=cos2x﹣sin2x B．y=sin|x|C．y=sinx•cosx D．y=tan4．设a=tanπ，b=cos，c=（1+sinπ）0，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a5．已知直线l1经过A（﹣1，4），B（﹣6，﹣1）两点，直线l2倾斜角为135°，那么l1与l2（）A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直6．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8C．k＜8 D．k＞87．圆O 1：x 2+y 2﹣2x=0和圆O 2：x 2+y 2﹣4y=0的公切线条数（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A ．12B ．4C ．D ．9．下列对应是从集合S 到T 的映射的是（ ）A ．S={0，1，4，9}，T={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，对应法则是开平方B ．S={0，1，2，5}，T=，对应法则是取倒数C ．S=N ，T={﹣1，1}，对应法则是n→（﹣1）n ，n ∈SD ．S={x|x ∈R}，T={y|y ∈R}，对应法则是x→y=10．已知函数y=cosx 与y=sin （2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ=（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知A，B是圆O：x2+y2=1上的两个点，P是AB线段上的动点，当△AOB的面积最大时，则•﹣的最大值是（）A．﹣1 B．0 C．D．12．若不等式组表示的平面区域是三角形，则实数k的取值范围是（）A．﹣＜k≤B．k＜﹣或k≥C．﹣＜k＜0或k≥D．k＜﹣或0＜k≤二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，对应的城市数分别为8，16，24．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则中型组中应抽取的城市数为．14．已知甲、乙两个球的表面积分别为S1，S2，且=，体积分别为V1，V2，则=．15．已知函数f（x）=，则函数y=2[f（x）]2﹣3f（x）+1有个不同的零点．16．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是C1D的中点，P是棱CC1所在直线上的动点．则下列四个命题：①CD⊥PE②EF∥平面ABC1③④不存在过P的直线与正四棱柱的各个面都成等角．其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某校200位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生物理成绩的平均分．18．如图，为对某失事客轮AB进行有效援助，现分别在河岸MN选择两处C、D用强光柱进行辅助照明，其中A、B、C、D在同一平面内．现测得CD长为100米，∠ADN=105°，∠BDM=30°，∠ACN=45°，∠BCM=60°．（1）求△BCD的面积；（2）求船AB的长．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E 为PC的中点，F为PB上一点，且EF⊥PB．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；（3）求三棱锥B﹣ADF的体积．20．在等差数列{a n}中，已知a1=13，a2=10（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．21．（2015春•汕头期末）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2为整数，且S n≤S5．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．22．对于函数f（x），若存在x0=f（x0），则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下若函数f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A，B两点关于直线对称，求b的最小值．23．如图，圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0．（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．2015-2016学年江西省抚州市临川一中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体500名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将500名学生从1到500进行编号．已知从21～30这10个数中取的数是24，则在第1小组1～10中随机抽到的数是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】由已知条件利用系统抽样的性质直接求解．【解答】解：现将500名学生从1到500进行编号，已知从21～30这10个数中取的数是24，则该抽样为系统抽样，由系统抽样的性质得在第1小组1～10中随机抽到的数是4．故选：B．【点评】本题考查样本数据的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．2．已知△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=，b=，B=60°那么角A 等于（）A．30°B．45°C．135°D．135°或45°【考点】正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】由正弦定理的式子，解得sinA=，结合A是三角形的内角且a＜b，可得A的大小．【解答】解：∵△ABC中，a=，b=，B=60°∴由正弦定理，得sinA===∵A是三角形的内角，且a＜b∴A=45°故选：B【点评】本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角．着重考查了正弦定理和特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．3．以下给出的函数中，以π为周期的奇函数是（）A．y=cos2x﹣sin2x B．y=sin|x|C．y=sinx•cosx D．y=tan【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）、y=Acos（ωx+φ）的周期为，可得结论．【解答】解：由于y=cos2x﹣sin2x=cos2x，为偶函数，故排除A；由于y=sin|x|为偶函数，故排除B；由于y=sinx•cosx=sin2x，为奇函数，且周期为=π，故满足条件；由于y=tan的周期为=2π，故排除D，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）、y=Acos（ωx+φ）的周期为，属于基础题．4．设a=tanπ，b=cos，c=（1+sinπ）0，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【考点】正切函数的图象．【专题】三角函数的求值．【分析】由题意可求出a、b、c的值，比较可得大小．【解答】解：由题意可得a=tanπ=ta n（π﹣）=﹣tan=﹣1；b=cos=，c=（1+sinπ）0=1，∴c＞b＞a，故选：A．【点评】本题考查特殊角的三角函数值的大小比较，属基础题．5．已知直线l1经过A（﹣1，4），B（﹣6，﹣1）两点，直线l2倾斜角为135°，那么l1与l2（）A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直【考点】直线的倾斜角．【专题】直线与圆．【分析】由斜率公式可得直线l1的斜率，由倾斜角可得直线l2的斜率，可判垂直关系．【解答】解：由题意可得直线l1的斜率k1=，又∵直线l2的倾斜角为135°，∴其斜率k2=tan135°=﹣1，显然满足k1•k2=﹣1，∴l1与l2垂直．故选：B．【点评】本题考查直线的垂直关系的判断，属基础题．6．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8C．k＜8 D．k＞8【考点】程序框图．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】运行程序框图，确定条件．【解答】解：如图：可知，10，9时条件成立，8时不成立．故选D．【点评】本题考查了程序框图中条件的确定，属于基础题．7．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的公切线条数（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】两圆的公切线条数及方程的确定．【专题】直线与圆．【分析】判断两个圆的位置关系，然后判断公切线条数．【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0的圆心（1，0）半径为1；圆O2：x2+y2﹣4y=0的圆心（0，2）半径为2，O1O2==，∵1，∴两个圆相交，所以圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的公切线条数：2．故选：B．【点评】本题考查两个圆的位置关系，两个圆相离公切线4条，相交2条，外切3条，内切1条．8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．4 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积．【解答】解：由三视图复原几何体，如图，它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：，故选B．【点评】本题考查三视图、棱锥的体积；考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力；是中档题．9．下列对应是从集合S到T的映射的是（）A．S={0，1，4，9}，T={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，对应法则是开平方B．S={0，1，2，5}，T=，对应法则是取倒数C．S=N，T={﹣1，1}，对应法则是n→（﹣1）n，n∈SD．S={x|x∈R}，T={y|y∈R}，对应法则是x→y=【考点】映射．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据映射的定义进行判断即可．【解答】解：A．不是映射，4的对应元素有2，﹣2，不满足对应的唯一性．B．不是映射，0没有倒数，没有对应元素．C．满足映射的定义．D．不是映射，1没有对应元素．故选：C．【点评】本题主要考查映射的定义，比较基础．10．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ=（）A．B．C．D．【考点】三角方程．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得sin（π+ϕ）=cos=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin（π+ϕ）=cos=．∵0≤φ＜π，∴≤π+ϕ≤，∴π+ϕ=，解得φ=．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题11．已知A，B是圆O：x2+y2=1上的两个点，P是AB线段上的动点，当△AOB的面积最大时，则•﹣的最大值是（）A．﹣1 B．0 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意知当∠AOB=时，S取最大值，此时⊥，建立坐标系可得A、B、P的坐标，可得•﹣为关于x的二次函数，由二次函数的最值可得．【解答】解：由题意知：△AOB的面积S=||||sin∠AOB=×1×1×sin∠AOB=sin∠AOB，当∠AOB=时，S取最大值，此时⊥，如图所示，不妨取A（1，0），B（0，1），设P（x，1﹣x）∴•﹣=•（﹣）==（x﹣1，1﹣x）•（﹣x，x﹣1）=﹣x（x﹣1）+（1﹣x）（x﹣1）=（x﹣1）（1﹣2x）=﹣2x2+3x﹣1，x∈[0，1]当x==时，上式取最大值故选：C【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式和二次函数的最值，属中档题．12．若不等式组表示的平面区域是三角形，则实数k的取值范围是（）A．﹣＜k≤B．k＜﹣或k≥C．﹣＜k＜0或k≥D．k＜﹣或0＜k≤【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】画出图形，y+3=k（x+1）表示一条经过点M（﹣1，﹣3）、斜率等于k的直线，当斜率k满足大于零且小于或等于MC的斜率、或者斜率k满足小于MA的斜率时，表示的平面区域是三角形，求出MC、MA的斜率即可求得实数k的取值范围．【解答】解：如图所示：，由于|x|+|y|表示正方形ABCD内部区域，包含边界．而y+3=k（x+1）表示一条经过点M（﹣1，﹣3）、斜率等于k的直线．故当斜率k满足大于零且小于或等于MC的斜率、或者斜率k满足小于MA的斜率时，表示的平面区域是三角形．而MC的斜率等于，MA的斜率等于﹣，故应有0＜k≤，或k≤﹣，故选：D．【点评】本题主要考查直线过定点问题，二元一次不等式组表示平面区域，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，对应的城市数分别为8，16，24．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则中型组中应抽取的城市数为4．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：由分层抽样的定义可知，用分层抽样的方法抽取12个城市，则中型组中应抽取的城市数为12×=4人，故答案为：4．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键14．已知甲、乙两个球的表面积分别为S1，S2，且=，体积分别为V1，V2，则=．【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用球的表面积公式求出半径的比，然后利用体积公式得到体积的比．【解答】解：由已知甲、乙两个球的表面积分别为S1，S2，且=，得到球的半径比为3：2，所以体积分别为V1，V2，则=；故答案为：．【点评】本题考查了球的表面积公式和体积公式与其半径的关系；属于基础题．15．已知函数f（x）=，则函数y=2[f（x）]2﹣3f（x）+1有7个不同的零点．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数和方程之间的关系由2[f（x）]2﹣3f（x）+1=0得f（x）=1或f（x）=，然后利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出f（x）对应的图象如图：由y=2[f（x）]2﹣3f（x）+1=0得[f（x）﹣1][2f（x）﹣1]=0，即f（x）=1或f（x）=，当f（x）=1时，方程有3个根，当f（x）=时，方程有4个根，综上函数有7个不同的零点，故答案为：7．【点评】本小题主要考查函数的零点、方程的解法等基础知识，利用换元法结合数形结合是解决本题的关键．16．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是C1D的中点，P是棱CC1所在直线上的动点．则下列四个命题：①CD⊥PE②EF∥平面ABC1③④不存在过P的直线与正四棱柱的各个面都成等角．其中正确命题的序号是①③（写出所有正确命题的序号）．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据标榜的结构特征，结合线面垂直的判定与性质，面面平行的判定与性质，锥体的体积公式，直线与平面的夹角等知识点，分别判断4个结论的真假，可得答案．【解答】解：在①中：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是C1D的中点，P是棱CC1所在直线上的动点，∴CD⊥平面ECC1，又PE⊂平面ECC1，∴CD⊥PE，故①正确；在②中：EF⊂平面EC1D，延长C1E与B1B交于H，连接DH，得DH平行于EF，DH与平面ABC1相交，故②EF∥平面ABC1不正确；在③中：=，=，故③正确；在④中：过P做一条与以ABCD为底面的正方体的对角线平行的直线，则该直线与正四棱柱的各个面都成等角．故④不正确；故正确命题的序号为：①③．故答案为：①③．【点评】本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，面面平行的判定与性质，锥体的体积公式，直线与平面的夹角，是立体几何知识的综合考查，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某校200位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生物理成绩的平均分．【考点】极差、方差与标准差；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a的值．（2）利用频率分布直方图，能估计出这200名学生物理成绩的平均分．【解答】解：（1）由频率分布直方图得（a+0.02+0.03+0.04+a）×10=1，解得a=0.005．（2）频率分布直方图，估计这200名学生物理成绩的平均分：=55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73．【点评】本题考查实数值的求法，考查利用频率分布直方图求数据的平均值，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．18．如图，为对某失事客轮AB进行有效援助，现分别在河岸MN选择两处C、D用强光柱进行辅助照明，其中A、B、C、D在同一平面内．现测得CD长为100米，∠ADN=105°，∠BDM=30°，∠ACN=45°，∠BCM=60°．（1）求△BCD的面积；（2）求船AB的长．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）根据题意求得∠CBD，进而求得BC，BD，进而根据三角形面积公式求得答案．（2）利用正弦定理求得AD，进而利用余弦定理分别求得BD，AB．【解答】解：（1）由题，∠BDM=30°，∠ACN=45°，∠BCM=60°，得∠CBD=30°，所以BC=BD=100，所以=平方米．（2）由题，∠ADC=75°，∠ACD=45°，∠BDA=45°，在△ACD中，，即，所以，在△BCD中，，在△ABD中，==，即船长为米．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的重要步骤就是建立数学模型．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E 为PC的中点，F为PB上一点，且EF⊥PB．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；（3）求三棱锥B﹣ADF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）连接AC交BD于点G，连接EG．通过中位线定理及线面平行的判定定理即得结论；（2）证明DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD；（3）利用等体积法，求三棱锥B﹣ADF的体积．【解答】证明：（1）连接AC交BD于点G，连接EG．因为四边形ABCD是正方形，所以点G是AC的中点，又因为E为PC的中点，因此EG∥PA．而EG⊂平面EDB，所以PA∥平面EDB．（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE②由①和②推得DE⊥平面PBC而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD…（3）解：过点F作FH∥PD，交BD于H．因为PD⊥底面ABCD，FH∥PD，所以FH⊥底面ABCD．由题意，可得，，．由Rt△PFE∽Rt△PCF，得，．由Rt△BFH∽Rt△BPD，得，．所以，所以，即三棱锥B﹣ADF的体积为…【点评】本题考查间中线面垂直、线面平行的判定定理，三棱锥B﹣ADF的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．在等差数列{a n}中，已知a1=13，a2=10（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用已知及等差数列的性质可求d=﹣3，根据等差{a n}的通项公式即可得解．（2）由裂项法可得，可求T n=，即可求解．【解答】解：（1）∵a1=13，a2=10，a2为整数，∴d=﹣3，∴{a n}的通项公式为a n=16﹣3n．…7分（2）∵，…9分∴T n=b1+b2+…+b n=，=，…12分【点评】本题主要考查了等差数列的性质，用裂项法求数列的和，属于基本知识的考查．21．（2015春•汕头期末）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2为整数，且S n≤S5．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）通过S n≤S5得a5≥0，a6≤0，利用a1=13、a2为整数可得d=﹣3，进而可得结论；（2）通过a n=16﹣3n，分离分母可得b n=（﹣），并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由S n≤S5得：a5≥0，a6≤0，又∵a1=13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2为整数，∴d=﹣3，∴{a n}的通项为：a n=16﹣3n；（2）∵a n=16﹣3n，∴b n===（﹣），∴T n=（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．22．对于函数f（x），若存在x0=f（x0），则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下若函数f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A，B两点关于直线对称，求b的最小值．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；新定义．【分析】（1）根据所给的a，b的值写出函数f（x）=x2 ﹣x﹣3，根据当x0=f（x0），称x0为f（x）的不动点，得到x2﹣x﹣3=x，得两个不动点为﹣1，3．（2）f（x）恒有两个不动点，等价于关于x的方程ax2+bx+b﹣1=0有两个相异的实根，得到△=b2﹣4a（b﹣1）＞0，即b2﹣4ab+4a＞0恒成立，又要用二次函数的判断时来求出结果．（3）设出A，B两个点的坐标，写出两个点的中点坐标，根据中点在一条直线上，代入直线的方程，把b整理成含有a的代数式的形式，根据基本不等式求出最小值．【解答】解：（1）当a=1，b=﹣2时，函数f（x）=x2 ﹣x﹣3．∵当x0=f（x0），称x0为f（x）的不动点∴x2﹣x﹣3=x，得两个不动点为﹣1，3；（2）f（x）恒有两个不动点，等价于关于x的方程ax2+bx+b﹣1=0有两个相异的实根，∴△=b2﹣4a（b﹣1）＞0，即b2﹣4ab+4a＞0恒成立．∴△′=16a2﹣16a＜0，解得0＜a＜1．（3）设A、B两点的横坐标分别为x1，x2，则AB中点的横坐标为，A，B两点关于直线对称则k=﹣1从A，B中点的纵坐标为，又AB的中点在直线y=x上，∴，得，当且仅当，即时，．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，本题解题的关键是读懂不动点的含义，特别是第二问中两次应用二次函数的判别式，这是题目的亮点．23．如图，圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0．（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）在圆的方程中，令y=0，可得关于x的一元二次方程的判别式等于零，由此求得a的值，从而求得所求圆C的方程．（Ⅱ）先求出所以M（1，0），N（a，0），假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入x2+y2=4，利用韦达定理，根据NA、NB的斜率之和等于零求得a的值．经过检验，当直线AB与x轴垂直时，这个a值仍然满足∠ANM=∠BNM，从而得出结论．【解答】（Ⅰ）因为由可得x2﹣（1+a）x+a=0，由题意得△=（1+a）2﹣4a=（a﹣1）2=0，所以a=1，故所求圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣y+1=0．（Ⅱ）令y=0，得x2﹣（1+a）x+a=0，即（x﹣1）（x﹣a）=0，求得x=1，或x=a，所以M（1，0），N（a，0）．假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入x2+y2=4得，（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），从而．因为NA、NB的斜率之和为，而（x1﹣1）（x2﹣a）+（x2﹣1）（x1﹣a）=2x1x2﹣（a+1）（x2+x1）+2a==，因为∠ANM=∠BNM，所以，NA、NB的斜率互为相反数，，即，得a=4．当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM=∠BNM，即NA、NB的斜率互为相反数．综上，存在a=4，使得∠ANM=∠BNM．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率，属于中档题．。
高二数学上学期第一次月考试题理含解析试题_1
临川第一中学2021-2021学年高二数学上学期第一次月考试题 理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一､选择题//l α，且l 的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为(1,1,2)-，那么m 为〔 〕A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由题可得l 与平面α的法向量垂直,再利用垂直的数量积公式求解即可.【详解】由题有l 与平面α的法向量垂直,故(2,,1)(1,1,2)0220m m ⋅-=⇒-+=,所以4m =. 应选：D【点睛】此题主要考察了线面平行得出线和法向量垂直的关系,同时也考察了空间向量垂直的计算,属于根底题.2.以下说法正确的选项是〔 〕A. 假设()p q ⌝∧为真命题，那么p ，q 均为假命题；B. 命题“假设2340x x --=，那么1x =-〞的逆否命题为真命题；C. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设“10a >〞那么“20192018S S >〞的否命题为真命题；D. “平面向量a 与b 的夹角为钝角〞的充要条件是“0a b ⋅<〞 【答案】C 【解析】 【分析】根据逻辑连接词的性质判断A;根据逆否命题与原命题同真假判断B;根据逆否命题同真同假判断C;再根据数量积的公式判断D 即可.【详解】对A, 假设()p q ⌝∧为真命题,那么p q ∧为假命题,故p ,q 至少有一个假命题,故A 错误. 对B, 因为2340x x --=有1x =-或者4x =,故命题“假设2340x x --=,那么1x =-B 错误. 对C, 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设“10a >〞那么“20192018S S >〞的逆命题为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设“20192018S S >〞那么“10a >〞.又因为当20192018S S >时201920180S S ->即2018201911000a a q a >⇒>⇒>成立.而原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，故C 正确.对D, 当0a b ⋅<时, a 与b 也可能反向,此时夹角为π.故D 错误. 应选：C【点睛】此题主要考察了命题的真假断定,包括四种命题之间的关系与充分必要条件的性质断定等.属于根底题.3.命题“[2,3]x ∀∈，220x a -≥〞为真命题的一个必要不充分条件是〔 〕 A. 0a ≤ B. 1a ≤C. 2a ≤D. 3a ≤【答案】D 【解析】 【分析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可. 【详解】命题“[2,3]x ∀∈,220x a -≥〞为真命题的充要条件：[2,3]x ∀∈,22x a ≥恒成立.即42a ≥,2a ≤.故其必要不充分条件为3a ≤. 应选：D【点睛】此题主要考察了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进展断定.属于根底题.4.如图，空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，那么以下向量的数量积等于2a 的是〔 〕A. 2AB CA ⋅B. 2AC FG ⋅C. 2AD DC ⋅D. 2EF DB ⋅【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积公式分析向量的夹角与模长逐个判断即可. 【详解】对A, 2222cos3AB CA AB CA a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对B, 222cos022aAC FG AC FG a a ⋅=⋅⋅︒=⨯=.满足对C, 2222cos3AD DC AD DC a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对D, 222cos 22aEF DB EF DB a a π⋅=⋅⋅=-⨯=-.不满足应选：B【点睛】此题主要考察了空间向量的数量积,需要根据几何关系判断向量的夹角与模长,属于根底题.p :函数21y x ax =-+在(2,)+∞q :直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0. 假设p q ∨为假命题，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. 4a > B. 0a ≥ C. 04a ≤< D. 04a <≤【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴与区间的位置关系判断a 的取值范围,再求得直线0x y a +-=在y 轴上的截距令其小于0计算a p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题再分析即可. 【详解】当函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数时,对称轴满足242aa ≤⇒≤. 当直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0时有0a <. 又p q ∨为假命题可知,p q 440a a a >⎧⇒>⎨≥⎩.应选：A【点睛】此题主要考察了利用命题间的关系求解参数的范围问题,需要根据题意先求出命题均为真命题时的参数范围,再根据复合命题的真假求取值范围即可.P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，假设1260F PF ︒∠=，那么P 点的纵坐标为〔 〕B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S︒=⨯=.设P 点的纵坐标为h 那么12421F F h h ⋅⋅=±⇒=. 应选：B【点睛】此题主要考察了椭圆焦点三角形的面积运用,属于中档题.1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG m m =<<，那么点G 到平面1D EF 的间隔 为〔 〕A. 3B. 2C.23m D.55【答案】D 【解析】【分析】易得11//A B 平面1D EF ,故点G 到平面1D EF 的间隔 为点1A 到平面1D EF 的间隔 ,再分析线面垂直的关系求解即可.【详解】作11A P ED ⊥于P ,因为,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点,故11//EF A B ,EF ⊥平面11A ADD .故1EF A P ⊥,又11A P ED ⊥,1EF ED E ⋂=.故11A P ED F ⊥平面.又11//EF A B 所以点G 到平面1D EF 的间隔 为点1A 到平面1D EF 的间隔 1A P .又111111111212111152225112A E A D A P ED A E A D A P ED ⨯⋅⋅=⋅⇒===⎛⎫+ ⎪⎝⎭应选：D【点睛】此题主要考察了点到平面间隔 的计算,根据题意可直接找到11A P ED F ⊥再根据等面积法计算1A P ,属于中档题.22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆〞(其中222a b c =+，0a b c >>>).如图，设点0,F 1,F 2F 是相应椭圆的焦点，1,A 2A 和1,B 2B 是“果圆〞与,x y 轴的交点，假设012F F F △是等腰直角三角形，那么ab的值是〔 〕A.72B. 2C.62D.54【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别利用椭圆中的根本量关系计算0,F 2F 对应的坐标,再根据012F F F △是等腰直角三角形可得02OF OF =计算即可.【详解】根据题意有()0,0F c ,()2220,b F c -,又根据012F F F △是等腰直角三角形的性质可得02OF OF =,即()22222222322a b c c b a bb -=⇒=-⇒=.故62a b =应选：C【点睛】此题主要考察了根据椭圆的根本量关系列式求解的方法,需要求出对应点的坐标,利用等腰直角三角形的性质列式化简求解.属于根底题.9.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为4，2AC BC ==，90ACB ︒∠=，点D 是11A B 的中点，F 是侧面11AA B B 1AB ⊥平面1C DF ，那么线段1C F 的长的最大值为〔 〕5 B. 2213 D. 5【答案】A【解析】 【分析】分析可得当1AB ⊥平面1C DF 时1AB DF ⊥,故F 在边界1BB 时1C F 取最大值,再根据平面中的边角比例关系求解即可.【详解】由题,当1AB ⊥平面1C DF 时1AB DF ⊥,故F 在边界1BB 时1C F 取最大值,此时因为1AB DF ⊥,故111111190FDB AB A B AA AB A ∠+∠=∠+∠=︒.故111FDB B AA ∠=∠.故111tan tan FDB B AA ∠=∠即1111111111FB A B A B DB FB DB AA AA ⋅=⇒==2411BB =<满足题意 .此时1C F ===应选：A【点睛】此题主要考察了根据线面垂直计算边长的关系的方法.需要根据题意找到对应的角度等量关系,利用正切值相等进展列式求解.属于中档题.22143x y +=上有n 个不同的点123,,,,n P P P P ⋅⋅⋅，椭圆右焦点F ，数列{}nP F 是公差大于12019的等差数列，那么n 的最大值为〔 〕 A. 4036 B. 4037C. 4038D. 4039【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析最大最小的n P F 的值,再利用等差数列的通项公式求解n 的最大值即可.【详解】根据题意有,当1P 为椭圆的右顶点,n P 为左顶点时n 121PF ==. 23n P F ==.又数列{}n P F 是公差12019d >的等差数列,()2131112019n d d n =+-⇒=>-,所以140384039n n -<⇒<. 故n 的最大值为4038. 应选：C【点睛】此题主要考察了椭圆上的点到焦点的间隔 最值以及等差数列的根本量运用,属于中档题. S ABCD -，E 是线段AB 上的点且13AE AB =，设SE 与BC 所成的角为1θ，二面角S AB C --的平面角为2θ，SE 与平面ABCD 所成的角为3θ，那么〔 〕 A. 123θθθ<< B. 321θθθ<<C. 132θθθ<<D. 231θθθ<<【答案】B 【解析】 【分析】作出立体图形,分别构造关于123,,θθθ的直角三角形,利用正切值的大小判断即可. 【详解】如图,作SO ⊥平面ABCD 于O ,取AB 中点J ,在DC 上取F 使得13DF DC =,I 为EF 中点.连接各点如下图.易得//EF BC ,故SE 与BC 所成的角1SEF θ=∠,二面角S AB C --的平面角2SJO θ=∠,SE 与平面ABCD 所成的角3SEO θ=∠. 又OJ AB ⊥,故EO JO >,所以32tan tan SO SO EO JOθθ=<=.又12EI JO BC ==,SO OI ⊥,故SI SO >,21tan tan SO SI JO EIθθ=<=. 综上有321tan tan tan θθθ<<.又1230,,2πθθθ<<.故321θθθ<< 应选：B【点睛】此题主要考察了立体几何中的线面角与线线角等之间的关系,需要找到对应的角度,利用正切函数的单调性进展大小的判断.属于中档题.xOy 中，点P 为椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的下顶点，,M N 在椭圆上，假设四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，假设35,46ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，那么椭圆C 的离心率的取值范围为〔 〕A. ,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B. ,32⎛ ⎝⎭C. 0,2⎛ ⎝⎭D. 0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题四边形OPMN 为平行四边形可知,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,再代入椭圆方程可求得,M N 的坐标,再利用35,46ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,根据斜率等于倾斜角的正切值求斜率的表达式再计算即可. 【详解】∴,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即,M N 两点关于x 轴对称,MN OP a ==,可设,,,22a a M x N x ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,代入椭圆方程得：x =,因为35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故0x <得2a N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, α为直线ON 的倾斜角,tan aα==,又35,46ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以tan 1,3α⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭,即1133ba -<<-⇒<<.故e ⎛= ⎝⎭∴椭圆C 的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭. 应选：D.【点睛】此题主要考察了根据椭圆中的几何关系列出关于根本量的不等式求解离心率的问题,重点是根据题设找到对应的等量关系列式求解.属于中档题. 二､填空题1111ABCD A B C D -的底面边长为1，假设1AC 与底面ABCD 所成角为45︒，那么11A C 和底面ABCD 的间隔 是________.【解析】 【分析】确定1AC 与底面ABCD 所成角,再利用直角三角形中的边角关系求解即可.【详解】连接1AC ,因为1CC ⊥平面ABCD ,故1AC 与底面ABCD 所成角为145C AC ∠=︒. 所以1C AC 为等腰直角三角形.所以11A C 和底面ABCD 的间隔 1CC AC ===2【点睛】此题主要考察了线面角的辨析与立体几何中的求解,属于根底题.14.给定两个命题，P :对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q :方程2213x ya a+=-表示焦点在x P Q ∧⌝为真命题，那么实数a 的取值范围是_________.【答案】30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.再分别根据恒成立以及椭圆的HY 方程性质求解即可. 【详解】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题. 又对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立那么显然0a ≥ ：①当0a =时10>恒成立满足题意,②当0a >时24004a a a ∆=-<⇒<<. 综上有04a ≤<又方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆有33032a a a >->⇒<<.又Q 为假命题故32a ≤或者3a ≥.故实数a 的取值范围是30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】此题主要考察了根据命题的真假求参数的范围问题.需要根据题意分析命题的真假,再求解对应的参数范围最后再求参数的交集.属于中档题.()1g x ax =+(0)a >，2()2f x x x =-，对1[1,2]x ∀∈-，0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立，那么a 的取值范围是_________. 【答案】(0,1] 【解析】 【分析】由题意可知()f x 的值域包含()g x 的值域,再分别根据定义域求对应函数的值域,再根据包含关系列不等式求解即可.【详解】由题,当[]11,2x ∈-时,因为0a >,故[]()11,21g x ax a a =+∈-++.又0[0,3]x ∈那么[]2()21,3f x x x =-∈-.又1[1,2]x ∀∈-,0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立,所以()f x 的值域包含()g x 的值域.所以111213a a a -+≥-⎧⇒≤⎨+≤⎩,因为0a >,所以a 的取值范围是(0,1]. 故答案为：(0,1]【点睛】此题主要考察了根据函数恒成立与能成立的问题求解参数范围的问题,需要根据题意断定出函数值域满足的关系式,再分别列式求解.属于中档题.16.O 为坐标原点,平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：22221(0)x y a b a b+=>>,点E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ,OF 的斜率之积为12-,那么椭圆Ω的离心率为______．【答案】22【解析】 【分析】设()11,C x y ,那么()22,D x y ,由对称性可得：()11,A x y --，那么()22,B x y --,由可得2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,相减可得：AB ，AD 斜率之积为()()()()2121221212.y y y y b x x x x a -+=--+由E ,F 分别为AB ,AD 的中点,可得OE ，OF 的斜率之积等于AB ,AD 斜率之积．即2212b a =,即可求得椭圆Ω的离心率．【详解】解：设()11,C x y ,那么()22,D x y , 由对称性可得：()11,A x y --，那么()22,B x y --，可得2211221x y a b +=,2222221x y a b +=．相减可得：22221212220x x y y a b--+= AB ∴,AD 斜率之积为()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+． E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ，OF 的斜率之积为12-，那么OE ,OF 的斜率之积等于AB ，AD 斜率之积．2212b a =∴,那么椭圆Ω的离心率为22212b e a =-=, 故答案为:22．【点睛】此题考察了椭圆的HY 方程及其性质、斜率计算公式,考察了推理才能与计算才能,属于中档题． 三､解答题{}2|320A x x x =-+≤，集合{}2|2B y y x x a ==--，集合{}2|20C x x ax =+-≤，命题:p A B ⋂≠∅，命题:q A C ⊆.〔1〕假设命题p 为假命题，务实数a 的取值范围； 〔2〕假设命题p q ∧为真命题，务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕3a <-〔2〕31a -≤≤- 【解析】 【分析】 (1)由题意AB =∅,再根据区间端点满足的关系式求解即可.【详解】由题, {}{}2|320|12A x x x x x =-+≤=≤≤,{}{}2|2|1B y y x x a y y a ==--=≥--〔1〕由命题p 是假命题,可得A B =∅,即得12,3a a --><-.〔2〕p q ∧为真命题,,p q ∴都为真命题,即A B ⋂≠∅,且A C ⊆.∴有121204220a a a --≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩,解得31a -≤≤-.【点睛】此题主要考察了根据集合间的根本关系求解参数范围的问题,需要根据题意求出对应的区间端点满足的不等式再求解.属于中档题.18.如图，在几何体ABCDE 中，//CD AE ，90EAC ︒∠=，平面EACD ⊥平面ABC ，22CD EA ==，2AB AC ==，BC =，F 为BD 的中点.〔1〕证明://EF 平面ABC ； 〔2〕求直线BC 与平面BDE 所成角. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕30°. 【解析】 【分析】(1)取BC 中点G ,连接FG ,AG ,再证明四边形AGFE 是平行四边形即可.(2) 以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再用空间向量求解直线BC 与平面BDE 所成角即可.【详解】〔1〕取BC 中点G ,连接FG ,AG ,又F 为BD 的中点,2CD EA =,//CD AE ,12FG CD EA ∴==,且//FG AE , ∴四边形AGFE 是平行四边形, //EF AG ∴,而且EF ⊄平面ABC ,AG ⊂平面ABC , //EF ∴平面ABC ；〔2〕90EAC ︒∠=,平面EACD ⊥平面ABC ,且交于AC , ∴平EA ⊥面ABC ,由〔1〕知//FG AE ,FG ∴⊥平面ABC ,又AB AC =,G 为BC 中点, AG BC ∴⊥,如图,以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,那么3,0)B ,(0,3,0)C -,(0,3,2)D -,(1,0,1)E ,(0,23,0)BC ∴=-,(0,23,2)BD =-,(1,3,1)BE =-,设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =,那么00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即3030z x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,令1y =,得(0,1,3)n =, ∴直线BC 与平面BDE 所成角的正弦值为12||||BC n BC n ⋅=.∴直线BC 与平面BDE 所成角为30°.【点睛】此题主要考察了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的问题,需要找到适宜的坐标原点建立空间直角坐标系,再求面的法向量与直线的向量,进而求得线面所成角的正弦求解.属于中档题.19.21:()4P f x ax ax =-+R ，:q x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，关于x 的不等式(1)(2)0x m x m -+-≤的解集记为B . 〔1〕假设p q ∧为真，务实数a 的取值集合A ；〔2〕在〔1〕的条件下，假设x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，务实数m 的取值范围. 【答案】〔1〕10,4⎡⎫=⎪⎢⎣⎭A ；〔2〕1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】〔1〕先确定p ，q 为真的等价条件，假设p q ∧为真那么p 真q 真，求交集即可；〔2〕利用x ∈A 〞是“x ∈B 〞的充分不必要条件，即A ⊊B ，确定条件关系，即可务实数m 的取值范围．【详解】〔1〕:p 真 f 〔x〕=R ，那么ax 2﹣ax +14≥0对任意实数x 都成立，当a ＝0时显然满足，当a ≠0时，有2()0a a a ⎧⎨--≤⎩＞，解得0＜a ≤1． 综上： []a 0,1∈:q 真 x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，∴14a 0=->即a 1,4⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭p q ∧为真，即p 真，q 真，∴ 10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭〔2〕①12m m -<，即1m >-，此时[]1,2B m m =-x A ∈是x B ∈的充分不必要条件∴ 10124m m -≤⎧⎪⎨≥⎪⎩1,18⎡⎤⇒⎢⎥⎣⎦； ②12m m -=，即1m =-，此时{}2B =- 不符合题意． ③①12m m ->，即1m <-，此时[]2,1B m m =-10,4A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为[]2,1B m m =-的充分不必要条件 ∴ 11420m m ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 无解；综上所述：1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】此题考察实数的取值范围的求法，考察且命题、交集运算、不等式解法、充分条件和必要条件的应用等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．ABCD中，2=AB AD M 是DC 中点〔图1〕.将ADM 沿AM 折起，使得AD BM ⊥〔图2〕在图2中:〔1〕求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；〔2〕在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --5，说明理由. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕存在，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明BM ⊥平面ADM 即可.(2) 以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系. 设(01)BE BD λλ=<<,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.【详解】〔1〕在长方形ABCD 中,连结BM ,因为2AB AD =,M 是DC 中点, 所以2AM BM AD ==,从而222AM BM AB +=,所以AM BM ⊥ 因为AD BM ⊥,ADAM A =,所以BM ⊥平面ADM . 因为BM ⊂平面ABCM , 所以平面ADM ⊥平面ABCM .〔2〕因为平面ADM ⊥平面ABCM ,交线是AM ,所以在面ADM 过M 垂直于AM 的直线必然垂直平面ABCM .以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系.那么()2,0,0A ,()0,2,0B ,()1,0,1D ,(1,2,1)BD =-.设(01)BE BD λλ=<<,那么(),22,ME MB BE λλλ=+=-.设1(,,)x y z =n 是平面AME 的法向量,那么1100n ME n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即(22)020x y z x λλλ+-+=⎧⎨=⎩,取()10,,22n λλ=-, 平取面AMD 的一个法向量是()20,1,0n =. 依题意122cos ,2n n =, ()222525λλ=+-,解方程得12λ=, 因此在线段BD 上存点E ,使得二面角E AM D --5. 【点睛】此题主要考察了面面垂直的断定与利用空间直角坐标系求解是否存在点满足条件的问题.一般做法是先假设存在,再设对应的向量的参数,再根据二面角的余弦列出关于参数的表达式最后进展求解即可.属于中档题.21.动点G(x,y)2222(1)(1)4x y x y ++-+= 〔1〕求动点G 的轨迹C 的方程；〔2〕过点Q(1,1)作直线L 与曲线C 交于不同的两点,A B ,且线段AB OAB ∆的面积；【答案】〔1〕22143x y +=；〔2105【解析】【分析】〔1〕先由椭圆的定义得知轨迹C 为椭圆，并利用椭圆定义求出a ，从条件中得出c ，并求出b 值，结合椭圆焦点位置得出椭圆C 的HY 方程；〔2〕由条件得知直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为()11y k x -=-，将直线L 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由Q 为AB 的中点求出k 的值，从而得出直线L 的方程，再利用弦长公式求出AB ，由点到直线的间隔 公式计算出原点O 到直线L 的间隔 ，再利用三角形的面积公式可求出OAB ∆的面积．【详解】〔1〕由动点(),G x y4=可知，动点G 的轨迹是以()1,0-和()1,0为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为22143x y +=；〔2〕由于直线L 与曲线C 相交所得线段AB 中点恰好为()1,1Q 可知， 直线L 的斜率一定存在，设直线L 的方程为()11y k x -=-，联立221431(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y 可得2222(43)(88)(488)0k x k k x k k +--+--=， 所以21222122884348843k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩， 又线段AB 中点的横坐标为1，∴212288243k kx x k -+==+，解得34k =-， 12122121x x x x +=⎧⎪∴⎨=⎪⎩， 直线L 的方程为3470x y +-=，弦长AB ==L 的间隔 为75d =，1725ABC S ∆∴==．【点睛】此题考察椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，考察椭圆方程的求法，韦达定理的应用，以及弦长、三角形面积的计算，对于直线与圆锥曲线的综合问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，应用韦达定理进展求解，此类问题易错点是复杂式子的变形才能缺乏，导致错解，能较好地考察学生的逻辑思维才能、运算求解才能以及分析问题解决问题的才能等．1，F 2分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F 1的最大间隔 等于4，离心率等于13，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形F 2MN ； 〔1〕求椭圆的HY 方程〔2〕求圆E 半径的最大值【答案】〔1〕22198x y ；〔2〕max 89r = 【解析】【分析】 〔1〕根据椭圆上点与1F 的最大间隔 和离心率列方程组，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得椭圆方程.〔2〕设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用与三角形内切圆有关的三角形面积公式列式，求得内切圆半径的表达式，利用换元法结合根本不等式求得圆半径的最大值.【详解】由条件知13314c a a c a c ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩，所以2228b a c =-=. 故椭圆的HY 方程为22198x y +=； 〔2〕由条件l 不为x 轴，设1l x my =-：交椭圆于()()1122,,,M x y N x y ，设圆E 的半径为r ， 由221198x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()228916640m y my +--=， 1212221664,8989m y y y y m m -+==++ 22221(2F MN F MN F MN S C r C F MN ∆∆∆=⨯∆为的周长）2121166F MN r S y y ∴==- 即r ==令21t m =+，〔1t ≥〕，那么r ==当1,0t m ==即时，max 89r =. 【点睛】本小题主要考察椭圆HY 方程的求法，考察直线和椭圆位置关系，考察三角形内切圆半径有关计算，考察换元法和根本不等式求最值，属于中档题.本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
江西省临川第一中学2020-2021学年度高二上学期第一次月考数学理科试卷
江西省临川第一中学2020-2021学年度高二上学期第一次月考数学理科试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线//l α，且l 的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为(1,1,2)-，则m 为（ ） A ．-4 B ．-2 C ．2 D ．42．下列说法正确的是（ ）A ．若()p q ⌝∧为真命题，则p ，q 均为假命题；B ．命题“若2340x x --=，则1x =-”的逆否命题为真命题；C ．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若“10a >”则“20192018S S >”的否命题为真命题；D ．“平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<”3．命题“[2,3]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．0a ≤ B ．1a ≤ C ．2a ≤ D ．3a ≤ 4．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于2a 的是（ ）A ．2AB CA ⋅ B ．2AC FG ⋅ C ．2AD DC ⋅ D ．2EF DB ⋅ 5．命题p :函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数.命题q :直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0. 若p q ∨为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a >B ．0a ≥C ．04a ≤<D ．04a <≤6．设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（ ）A B ． C D ．7．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG m m =<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）A B C ．3 D 8．我们把由半椭圆22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222a b c =+，0a b c >>>).如图，设点0,F 1,F 2F 是相应椭圆的焦点，1,A 2A 和1,B 2B 是“果圆”与,x y 轴的交点，若012F F F △是等腰直角三角形，则a b的值为（ ）A ．2BC ．2D ．549．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为4，2AC BC ==，90ACB ︒∠=，点D 是11A B 的中点，F 是侧面11AA B B (含边界)上的动点.要使1AB ⊥平面1C DF ，则线段1C F 的长的最大值为（ ）A B ．C D ．10．椭圆22143x y +=上有n 个不同的点123,,,,n P P P P ⋅⋅⋅，椭圆右焦点F ，数列{}n P F 是公差大于12019的等差数列，则n 的最大值为（ ） A ．4036 B ．4037 C ．4038 D ．403911．已知正四棱锥S ABCD -，E 是线段AB 上的点且13AE AB =，设SE 与BC 所成的角为1θ，二面角S AB C --的平面角为2θ，SE 与平面ABCD 所成的角为3θ，则（ ）A ．123θθθ<<B ．321θθθ<<C ．132θθθ<<D ．231θθθ<<12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的下顶点，,M N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若35,46ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭二、填空题 13．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若1AC 与底面ABCD 所成角为45︒，则11A C 和底面ABCD 的距离是________.14．给定两个命题，P :对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q :方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆.如果P Q ∧⌝为真命题，则实数a 的取值范围是_________.15．函数()1g x ax =+(0)a >，2()2f x x x =-，对1[1,2]x ∀∈-，0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立，则a 的取值范围是_________.16．已知O 为坐标原点,平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：22221(0)x y a b a b+=>>,点E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ,OF 的斜率之积为12-,则椭圆Ω的离心率为______．三、解答题17．已知集合{}2|320A x x x =-+≤，集合{}2|2B y y x x a ==--，集合{}2|20C x x ax =+-≤，命题:p A B ⋂≠∅，命题:q A C ⊆.（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围.18．如图，在几何体ABCDE 中，//CD AE ，90EAC ︒∠=，平面EACD ⊥平面ABC ，22CD EA ==，2AB AC ==，BC =F 为BD 的中点.（1）证明://EF 平面ABC ；（2）求直线BC 与平面BDE 所成角.19．已知:()P f x =R ，:q x ∃∈R ，使得不等式20x x a -+<成立，关于x 的不等式(1)(2)0x m x m -+-≤的解集记为B .（1）若p q ∧为真，求实数a 的取值集合A ；（2）在（1）的条件下，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.20．长方形ABCD 中，2=AB AD M 是DC 中点（图1）.将ADM 沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中:（1）求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --，说明理由.21．已知动点G(x,y)4=（1）求动点G 的轨迹C 的方程；（2）过点Q(1,1)作直线L 与曲线C 交于不同的两点,A B ,且线段AB 中点恰好为Q.求OAB ∆的面积；22．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F 1的最大距离等于4，离心率等于13，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形F 2MN ；（1）求椭圆的标准方程（2）求圆E半径的最大值参考答案1．D【解析】【分析】由题可得l 与平面α的法向量垂直,再利用垂直的数量积公式求解即可.【详解】由题有l 与平面α的法向量垂直,故(2,,1)(1,1,2)0220m m ⋅-=⇒-+=,所以4m =. 故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行得出线和法向量垂直的关系,同时也考查了空间向量垂直的计算,属于基础题.2．C【分析】根据逻辑连接词的性质判断A;根据逆否命题与原命题同真假判断B;根据逆否命题同真同假判断C;再根据数量积的公式判断D 即可.【详解】对A, 若()p q ⌝∧为真命题,则p q ∧为假命题,故p ,q 至少有一个假命题,故A 错误. 对B, 因为2340x x --=有1x =-或4x =,故命题“若2340x x --=,则1x =-”为假命题,故其逆否命题也为假命题.故B 错误.对C, 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“10a >”则“20192018S S >”的逆命题为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“20192018S S >”则“10a >”.又因为当20192018S S >时201920180S S ->即2018201911000a a q a >⇒>⇒>成立.而原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，故C 正确.对D, 当0a b ⋅<时, a 与b 也可能反向,此时夹角为π.故D 错误.故选：C【点睛】本题主要考查了命题的真假判定,包括四种命题之间的关系与充分必要条件的性质判定等.属于基础题.【分析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可.【详解】命题“[2,3]x ∀∈,220x a -≥”为真命题的充要条件：[2,3]x ∀∈,22x a ≥恒成立. 即42a ≥,2a ≤.故其必要不充分条件为3a ≤.故选：D【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进行判定.属于基础题.4．B【分析】根据向量的数量积公式分析向量的夹角与模长逐个判断即可.【详解】对A, 2222cos 3AB CA AB CA a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对B, 222cos022a AC FG AC FG a a ⋅=⋅⋅︒=⨯=.满足 对C, 2222cos 3AD DC AD DC a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对D,222cos 22a EF DB EF DB a a π⋅=⋅⋅=-⨯=-.不满足 故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积,需要根据几何关系判断向量的夹角与模长,属于基础题. 5．A【分析】根据二次函数对称轴与区间的位置关系判断a 的取值范围,再求得直线0x y a +-=在y 轴上的截距令其小于0计算a 的取值范围.再根据p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题再分析即【详解】当函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数时,对称轴满足242a a ≤⇒≤. 当直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0时有0a <.又p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题.故440a a a >⎧⇒>⎨≥⎩. 故选：A【点睛】本题主要考查了利用命题间的关系求解参数的范围问题,需要根据题意先求出命题均为真命题时的参数范围,再根据复合命题的真假求取值范围即可.6．B【分析】 根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan2S b θ=求解即可. 【详解】由题知12609tan 2F PF S ︒=⨯=.设P 点的纵坐标为h 则1221F F h h ⋅⋅==故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积运用,属于中档题.7．D【分析】易得11//A B 平面1D EF ,故点G 到平面1D EF 的距离为点1A 到平面1D EF 的距离,再分析线面垂直的关系求解即可.【详解】作11A P ED ⊥于P ,因为,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点,故11//EF A B ,EF ⊥平面11A ADD .故1EF A P ⊥,又11A P ED ⊥,1EF ED E ⋂=.故11A P ED F ⊥平面. 又11//EF A B 所以点G 到平面1D EF 的距离为点1A 到平面1D EF 的距离1A P .又11111111111111225A E A D A P ED A E A D A P ED ⨯⋅⋅=⋅⇒===故选：D【点睛】本题主要考查了点到平面距离的计算,根据题意可直接找到11A P ED F ⊥再根据等面积法计算1A P ,属于中档题.8．C【分析】根据题意分别利用椭圆中的基本量关系计算0,F 2F 对应的坐标,再根据012F F F △是等腰直角三角形可得02OF OF =计算即可.【详解】根据题意有()0,0F c,(2F ,又根据012F F F △是等腰直角三角形的性质可得 02OF OF =,即()22222222322a b c c b a b b -=⇒=-⇒=.故a b 故选：C【点睛】本题主要考查了根据椭圆的基本量关系列式求解的方法,需要求出对应点的坐标,利用等腰直角三角形的性质列式化简求解.属于基础题.9．A分析可得当1AB ⊥平面1C DF 时1AB DF ⊥,故F 在边界1BB 时1C F 取最大值,再根据平面中的边角比例关系求解即可. 【详解】由题,当1AB ⊥平面1C DF 时1AB DF ⊥,故F 在边界1BB 时1C F 取最大值,此时因为1AB DF ⊥,故111111190FDB AB A B AA AB A ∠+∠=∠+∠=︒.故111FDB B AA ∠=∠.故111tan tan FDB B AA ∠=∠即1111111111FB A B A B DB FB DB AA AA ⋅=⇒==2411BB =<满足题意 .此时1C F ===故选：A 【点睛】本题主要考查了根据线面垂直计算边长的关系的方法.需要根据题意找到对应的角度等量关系,利用正切值相等进行列式求解.属于中档题. 10．C 【分析】根据题意分析最大最小的n P F 的值,再利用等差数列的通项公式求解n 的最大值即可.【详解】根据题意有,当1P 为椭圆的右顶点,n P 为左顶点时n 取得最大值.此时121PF ==. 23n P F ==.又数列{}n P F 是公差12019d >的等差数列, ()2131112019n d d n =+-⇒=>-,所以140384039n n -<⇒<. 故n 的最大值为4038. 故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点的距离最值以及等差数列的基本量运用,属于中档题. 11．B作出立体图形,分别构造关于123,,θθθ的直角三角形,利用正切值的大小判断即可. 【详解】如图,作SO ⊥平面ABCD 于O ,取AB 中点J ,在DC 上取F 使得13DF DC =,I 为EF 中点.连接各点如图所示.易得//EF BC ,故SE 与BC 所成的角1SEF θ=∠,二面角S AB C --的平面角2SJO θ=∠,SE 与平面ABCD 所成的角3SEO θ=∠. 又OJ AB ⊥,故EO JO >,所以32tan tan SO SO EO JOθθ=<=. 又12EI JO BC ==,SO OI ⊥,故SI SO >,21tan tan SO SI JO EIθθ=<=. 综上有321tan tan tan θθθ<<.又1230,,2πθθθ<<.故321θθθ<< 故选：B 【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面角与线线角等之间的关系,需要找到对应的角度,利用正切函数的单调性进行大小的判断.属于中档题. 12．D 【分析】由题四边形OPMN 为平行四边形可知,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,再代入椭圆方程可求得,M N 的坐标,再利用35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,根据斜率等于倾斜角的正切值求斜率的表达式再计算即可. 【详解】∴,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即,M N 两点关于x 轴对称,MN OP a ==,可设,,,22a a M x N x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,代入椭圆方程得：2x =,因为35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故0x <得,22a N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, α为直线ON 的倾斜角,tan aα==,又35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan 1,3α⎛∈-- ⎝⎭,即1133b a -<<-⇒<<.故e ⎛= ⎝⎭∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭.故选：D . 【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的几何关系列出关于基本量的不等式求解离心率的问题,重点是根据题设找到对应的等量关系列式求解.属于中档题. 13【分析】确定1AC 与底面ABCD 所成角,再利用直角三角形中的边角关系求解即可. 【详解】连接1AC ,因为1CC ⊥平面ABCD ,故1AC 与底面ABCD 所成角为145C AC ∠=︒. 所以1C AC 为等腰直角三角形.所以11A C 和底面ABCD 的距离1CC AC ===.【点睛】本题主要考查了线面角的辨析与立体几何中的求解,属于基础题. 14．30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.再分别根据恒成立以及椭圆的标准方程性质求解即可. 【详解】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.又对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立则显然0a ≥ ：①当0a =时10>恒成立满足题意,②当0a >时24004a a a ∆=-<⇒<<. 综上有04a ≤<又方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆有33032a a a >->⇒<<.又Q 为假命题故32a ≤或3a ≥.故实数a 的取值范围是30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围问题.需要根据题意分析命题的真假,再求解对应的参数范围最后再求参数的交集.属于中档题. 15．(0,1] 【分析】由题意可知()f x 的值域包含()g x 的值域,再分别根据定义域求对应函数的值域,再根据包含关系列不等式求解即可. 【详解】由题,当[]11,2x ∈-时,因为0a >,故[]()11,21g x ax a a =+∈-++.又0[0,3]x ∈则[]2()21,3f x x x =-∈-.又1[1,2]x ∀∈-,0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立,所以()f x 的值域包含()g x 的值域.所以111213a a a -+≥-⎧⇒≤⎨+≤⎩,因为0a >,所以a 的取值范围是(0,1]. 故答案为：(0,1] 【点睛】本题主要考查了根据函数恒成立与能成立的问题求解参数范围的问题,需要根据题意判定出函数值域满足的关系式,再分别列式求解.属于中档题.16．2【分析】设()11,C x y ,则()22,D x y ,由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --,由可得2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,相减可得：AB ，AD 斜率之积为()()()()2121221212.y y y y b x x x x a -+=--+由E ,F分别为AB ,AD 的中点,可得OE ，OF 的斜率之积等于AB ,AD 斜率之积．即2212b a =,即可求得椭圆Ω的离心率． 【详解】解：设()11,C x y ,则()22,D x y ,由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --， 可得2211221x y a b +=,2222221x y a b+=． 相减可得：22221212220x x y y a b --+=AB ∴,AD 斜率之积为()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+．E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ，OF 的斜率之积为12-，则OE ,OF 的斜率之积等于AB ，AD 斜率之积．2212b a =∴,则椭圆Ω的离心率为e ==, 故答案为:2．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．17．（1）3a <-（2）31a -≤≤- 【分析】 (1)由题意AB =∅,再根据区间端点满足的关系式求解即可.【详解】由题, {}{}2|320|12A x x x x x =-+≤=≤≤,{}{}2|2|1B y y x x a y y a ==--=≥--（1）由命题p 是假命题,可得A B =∅,即得12,3a a --><-.（2）p q ∧为真命题,,p q ∴都为真命题,即A B ⋂≠∅,且A C ⊆.∴有121204220a a a --≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩,解得31a -≤≤-.【点睛】本题主要考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题,需要根据题意求出对应的区间端点满足的不等式再求解.属于中档题. 18．（1）证明见解析（2）30°. 【分析】(1)取BC 中点G ,连接FG ,AG ,再证明四边形AGFE 是平行四边形即可.(2) 以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再用空间向量求解直线BC 与平面BDE 所成角即可. 【详解】（1）取BC 中点G ,连接FG ,AG ,又F 为BD 的中点,2CD EA =,//CD AE ,12FG CD EA ∴==,且//FG AE , ∴四边形AGFE 是平行四边形, //EF AG ∴,而且EF ⊄平面ABC ,AG ⊂平面ABC , //EF ∴平面ABC ；（2）90EAC ︒∠=,平面EACD ⊥平面ABC ,且交于AC , ∴平EA ⊥面ABC ,由（1）知//FG AE ,FG ∴⊥平面ABC ,又AB AC =,G 为BC 中点, AG BC ∴⊥,如图,以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则B,(0,C,(0,2)D ,(1,0,1)E ,(0,BC ∴=-,(0,2)BD =-,(1,BE =,设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =,则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即00z x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,令1y =,得(0,1,3)n =, ∴直线BC 与平面BDE 所成角的正弦值为12||||BC n BC n ⋅=.∴直线BC 与平面BDE 所成角为30°.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的问题,需要找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再求面的法向量与直线的向量,进而求得线面所成角的正弦求解.属于中档题. 19．（1）10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭；（2）1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）先确定p ，q 为真的等价条件，若p q ∧为真则p 真q 真，求交集即可；（2）利用x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，即A ⊊B ，确定条件关系，即可求实数m 的取值范围． 【详解】（1）:p 真 f （x ）=的定义域为R ，则ax 2﹣ax +14≥0对任意实数x 都成立，当a ＝0时显然满足，当a ≠0时，有2()0a a a ⎧⎨--≤⎩＞，解得0＜a ≤1． 综上： []a 0,1∈:q 真 x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，∴14a 0=->即a 1,4⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭p q ∧为真，即p 真，q 真，∴ 10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭（2）①12m m -<，即1m >-，此时[]1,2B m m =-x A ∈是x B ∈的充分不必要条件∴ 10124m m -≤⎧⎪⎨≥⎪⎩1,18⎡⎤⇒⎢⎥⎣⎦； ②12m m -=，即1m =-，此时{}2B =- 不符合题意。
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临川一中2017—2018学年度上学期第一次月考
高二理科数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤-+=013x x x
M ，{}3-≤=x x N ，则R R C M C N ⋂=（ ）
A ．{}1<x x
B ．{}1>x x
C ．{}1≤x x
D ．{}
1≥x x 2．下列命题中为真命题的是（ ） A ．命题“若1>x ，则12>x ”的否命题 B ．命题“若y x >，则||y x >”的逆命题 C ．命题“若1=x ，则022=-+x x ”的否命题 D ．命题“若3tan =x ，则3
π
=
x ”的逆否命题
3.函数2log ,0
()2,0
x x x f x a x >⎧=⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）
A ．
112a << B.1
02
a << C. 0a < D.0a ≤或1a > 4.下列说法中不正确的是（ ）
A.“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的必要不充分条件
B.存在无数个,R αβ∈，使得等式sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=+成立
C.命题“在ABC ∆中，若sin sin A B =,则A B =”的逆否命题是真命题
D.若命题0:p x R ∃∈，使得20010x x -+<，则0:p x R ⌝∀∈，都有20010x x -+≥ 5.在空间直角坐标系Oxyz 中,
已知(2,0,0)2)(0,2,0)2)A B C
D ，，，.若123,,S S S
分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．321S S S <= B ．3
21S S S >=
C ．321S S S =<
D ．321S S S =>
6.函数y = ）
A ．[0,1)
B ．(0,1)
C ．[0,)+∞ D. [0,)π
7.若当x R ∈时，函数()x
f x a =始终满足0()1f x <≤，则函数1
log a y x
=的图象大致为（ ）
8. 在中，角的对边分别为，
若，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9.已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示,则该几何体的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.能够把椭圆:的周长和面积同时分为相等
的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，
下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（ ）
A ． B. C ． D ．
11．已知椭圆Γ：的离心率为，过右焦点F 且斜率为
正视图
1
1
2
2
2
2
侧视图
俯视图
的直线与Γ相交于A，B两点．若，则
（）
A．B．C．
D．
12.已知函数若，且，则的最小值为（）
A．B．C．
D．
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在椭圆上有两个动点，，若
为定点，且，则
的最小值为.
14.设，若直线与轴相交于点
，与轴相交于点，且与圆
相交所得弦的长为，为坐标原点，则
面积的最小值为.
15.已知数列满足，则.
16.正方体的棱长为，为的
中点，为线段的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的序号是.
①当时，的面积为；
②当时，为六边形；
③当时，与的交点满足
；
④当时，为等腰梯形；
⑤当时，为四边形.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）
已知函数上的一个最高点的坐标为, 由此点到相邻最低点间的曲线与轴交于点.
（1）求函数解析式；
（2）求函数的单调递减区间和在内的对称中心．
18. (本小题满分12分)
已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“关于
的不等式成立”
（1）若“且”是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
19. (本小题满分12分)
在中，角、、的对边分别为、、，且满足
．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面
，底面是直角梯形，
，，，
是上的点．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）若是的中点，且二面角的正切值为
A
B
C
D
E
P
，求直线与平面所成角的正弦值．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于、
两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与圆相切，探究是否为定值，如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为且
.
（1）求证为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，是否存在正整数，对任意，不等式
恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.
临川一中2017—2018学年度上学期第一月考
高二数学理科试卷参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置）
13、 14、 15、
16、①③④⑤
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：（1）
…………….5分
（2）单调递减区间为…………….8分
对称中心为
则内的对称中心为
…………….10分
18.解：（1）若为真：
解得或
若为真：则
解得或
若“且”是真命题，则
解得或…… 6分
（2）若为真，则，即
由是的必要不充分条件，
则可得或
即或解得或……12分
19.解：（1）由得
解得，…………3分
由，所以…………5分
（2）取中点，则
在中，…………7分
（注：也可将两边平方）
即，…………9分
所以，当且仅当，时取等号
此时，其最大值为…………12分
20．解：（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，
，.................1分
，，
，...........................................2分
又，面，面...................3分
平面，.................................................................4分
∵平面，平面平面...........................5分
（2）以为原点，
B 则C（0，0，0），（1，1，0），
（1，－1，0）
设（0，0，）（），则
（，，），
，，，.......6分
取=（1，－1，0）
则，为面的法向量
设为面的法向量，则，
即，取，，，则，.............. 8分
依题意，，则...............9分
于是.........................................10分
设直线与平面所成角为，则
，
即直线与平面所成角的正弦值为............................12分
21.解：（1）由题意得
…………4分
（2）当直线轴时，因为直线与圆相切，所以直线方程为…………5分
当时，得M、N两点坐标分别为，
………6分
当时，同理；…………7分
当与轴不垂直时，
设，由,
, …………8分
联立得…………9分
，，…………10分
=
………… 11分
综上，（定值）………… 12分
22. 解：（1）证明………2分
作差得
为首项为1，公比为2等比数列
………4分（2）代入得
………8分
，………10分
存在正整数，对任意………12分。