最新江西省抚州市临川一中高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年江西省抚州市临川一中高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|(1)(4)0}A x x x =--≤， 5{|0}2x B x x -=≤-，则A B =I ( ) A ．{|12}x x ≤≤ B ．{|12}x x ≤<C ．{|24}x x ≤≤D ．{|24}x x <≤【答案】D【解析】依题意[](]1,4,2,5A B ==，故(]2,4A B ⋂=.2．已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则5a =（ ） A ．2 B ．2或32C ．2或-32D ．-1【答案】B【解析】根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q 的值，可得5a 的值. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q （q 0≠），Q 1324,,2a a a 成等差数列，321224a a a ∴=+，10a ≠Q ， 220q q ∴--=，解得：q=2q=-1或， 451a =a q ∴，5a =232或，故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键. 3．给出下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③若直线,,a b c 满足a b b c ⊥∥，，则a c ⊥；④若直线1l ，2l 是异面直线，则与1l ，2l 都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】利用空间直线的位置关系逐一分析判断得解. 【详解】①为假命题.可举反例，如a ，b ，c 三条直线两两垂直； ②平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题；③若直线,,a b c 满足a b b c ⊥∥，，则a c ⊥，是真命题；④是假命题，如图甲所示，c ，d 与异面直线1l ，2l 交于四个点，此时c ，d 异面，一定不会平行；当点B 在直线1l 上运动（其余三点不动），会出现点A 与点B 重合的情形，如图乙所示，此时c ，d 共面且相交. 故答案为B 【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a ba+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】A【解析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a b a+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC V 的形状．【详解】22cos 2a baC +=Q1cos sin sin 22sin C A BA++\=化简得sin cos sin A C B = ()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90ABC ∴V 是直角三角形故选A 【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a ba+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略． 5．过点(2,4)M -作圆22:(2)(1)25C x y -+-=的切线l ,且直线1:320l ax y a ++=与l 平行，则1l 与l 间的距离是（ ） A ．85B ．25C ．285D ．125【答案】D【解析】由题意知点(2,4)M －在圆C 上，圆心坐标为(2,1)C ，所以413224CM k -==---，故切线的斜率为43l k =，所以切线方程为44(2)3y x -=+，即43200x y －＋＝．因为直线l 与直线1 :320l ax y a ＋＋＝平行， 所以433a -=，解得4a =-， 所以直线1l 的方程是－4x ＋3y －8＝0，即4x －3y ＋8＝0. 所以直线1l 与直线l 125=．选D ． 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．7616π+B ．6012π+C ．4416π+D ．4412π+【答案】D【解析】先还原几何体，再根据形状求表面积. 【详解】由三视图知，该几何体的直观图如图所示，∴其表面积为2134453422242ππ⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯4412π=+，故选D .【点睛】本题考查三视图以及几何体表面积，考查空间想象能力以及基本求解能力，属中档题. 7．若直线y x b =+与曲线234y x x =-b 的取值范围是（ ） A ．[12,12]-+ B ．[3,12]+ C ．[1,12]-+ D ．[122,3]-【答案】D【解析】将本题转化为直线与半圆的交点问题，数形结合，求出b 的取值范围 【详解】将曲线的方程234y x x =-()()()2223413,04x y y x -+-=≤≤≤≤即表示以()23A ，为圆心，以2为半径的一个半圆，如图所示：由圆心到直线y x b =+ 的距离等于半径22322b-+=解得122b =+或122b =- 结合图象可得1223b -≤≤ 故选D 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了转化能力，在解题时运用点到直线的距离公式来计算，数形结合求出结果，本题属于中档题8．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234y x a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4- B ．()1,4-C ．[]4,1-D ．()4,1-【答案】B 【解析】根据1444y y x x x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式可求得44yx +≥，从而得到关于a 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】 由题意知：1442444y y x y x x x y y x⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0x Q >，0y > 40x y ∴>，04yx> 442244x y x yy x y x∴+≥⋅=（当且仅当44x y y x =，即4x y =时取等号） 44yx ∴+≥ 234a a ∴-<，解得：()1,4a ∈- 本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，公差0d <，10210a S ⋅<，则n S 最大时，n 的值为( ) A ．11 B ．10C ．9D ．8【答案】B【解析】由等差数列前n 项和公式得出21S 1121a =，结合数列{}n a 为递减数列确定10110,0a a ><，从而得到n S 最大时，n 的值为10.【详解】由题意可得()2111112120212110212S a d a d a ´=+=+= 10210a S ?Q 10110a a \?等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d < 则数列{}n a 为递减数列10110,0a a \><即当10n =时，n S 最大 故选B 。

【点睛】本题对等差数列前n 项和以及通项公式，关键是将21S 转化为1121a ，结合数列{}n a 的单调性确定n S 最大时，n 的值为10.10．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．3【答案】B【解析】首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最大值. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示，由2230y x x y =⎧⎨--=⎩，得：12x y =-⎧⎨=-⎩，即C 点坐标为（－1，－2），平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平面区域内， 所以，m ≤－1，即实数m 的最大值为－1.【点睛】本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.11．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．22C ．62-D 62+【答案】D【解析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】解：由()2243S a b c =+-，得222143sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=， ∴ 23sin 2cos 2ab C ab C ab =+， 3cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ 0C π<<， ∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3212622+⨯+⨯=， 故选D ． 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BDC ∆内（不含边界）的一个动点，若11A P BC ⊥，则线段1A P 的长的取值范围为（ ） A ．43(2,] B ．43[,6) C ．43[,22) D ．(6,22)【答案】C【解析】先判断11A BDC -是正四面体，可得正四面体的棱长为22，则1A P 的最大值为1A B 的长，1A P 的最小值是1A 到平面1BDC 的距离，结合P 不在三角形1BDC 的边上，计算可得结果. 【详解】由正方体的性质可知，11A BDC -是正四面体，且正四面体的棱长为22P Q 在1BDC ∆内，1A P ∴的最大值为1111AC A B A D ===， 1A P 的最小值是1A 到平面1BDC 的距离，设1A 在平面1BDC 的射影为H ,则H 为正三角形1BDC 的中心，BH =，1A H ===1A P ∴， 又因为P 不在三角形1BDC 的边上，所以1A P 的范围是，故选C. 【点睛】本题主要考查正方体的性质及立体几何求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义以及平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.二、填空题13．若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P ，Q 两点，且120POQ ∠=o（其中O为原点），则k 的值为________．【答案】【解析】首先根据题意画出图形，再根据120POQ ∠=o求出直线的倾斜角，求斜率即可. 【详解】 如图所示直线与圆恒过定点(0,1)，不妨设(0,1)P ， 因为120POQ ∠=o， 所以30OPQ OQP ∠=∠=o， 两种情况讨论，可得1120∠=o ，260∠=o . 所以斜率3k =故答案为：3【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，同时考查了数形结合的思想，属于简单题. 14．已知圆锥的母线长为1，侧面展开图的圆心角为43π，则该圆锥的体积是______. 45【解析】根据题意得4123r ππ⨯=，解得23r =，求得圆锥的高22513h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭利用体积公式，即可求解． 【详解】设圆锥底面的半径为r ，根据题意得4123r ππ⨯=，解得23r =， 所以圆锥的高22513h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以圆锥的体积22112545333V r h ππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了圆锥的体积的计算，以及圆锥的侧面展开图的应用，其中解答中根据圆锥的侧面展开图，求得圆锥的底面圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．若数列{}n a 的首项12a =，且112133n n Sa ++=+（n z +∈），则数列{}n a 的通项公式是n a =__________． 【答案】【解析】n 1n 121S a 33++=+，得n n 21S a 33=+（2n ≥）,两式相减得112233n n n a a a ++=-，即12n n a a +=-（2n ≥），25a =-，得25(2)(2)n n a n -=-⨯-≥，经检验n=1不符合。