2016届浙江省高考冲刺卷 数学(理)08(浙江卷)(word版)

2016届浙江省高考冲刺卷 数学（理）08（浙江卷）（word 版）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.）1．设全集为U =R ，集合{}2|||≤=x x A ，}011|{>-=x x B ，则()B U C A ⋂= ( ) A.[2,1]- B.(2,)+∞ C.]2,1( D.(,2)-∞-【答案】B2. 若p ：θ=2π+2kπ，k ∈Z ，q ：y =cos(ωx +θ)（ω≠0）是奇函数，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要的条件 【答案】B3．将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如右图所示，则该几何体的正视图为（ ）【答案】C4．如图，直线x =m 与抛物线x 2=4y 交于点A ，与圆4)1(22=+-x y 的实线部分（即在抛物线开口内的圆弧）交于点B ，F 为抛物线的焦点，则∆ABF 的周长的取值范围是( )A ．()4,2B ．()6,4C ．[]4,2D ． []6,4 【答案】B5．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D6．如图：边长为4的正方形ABCD 的中心为E ，以E 为圆心，1为半径作圆．点P 是圆E 上任意一点，点Q 是边CD BC AB ,,上的任意一点（包括端点），则DA PQ ⋅的取值范围为（ ） A ．[-12,12] B ．[-6,6] C ．[0,12] D ．[6,12]【答案】A7．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AA 1⊥平面1111A B C D ，底面1111A B C D 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1的长为b ，E 为侧棱BB 1上的动点（包括端点），则（ ）A ．对任意的a ，b ，存在点E ，使得11EC DB ⊥ B ．当且仅当a =b 时，存在点E ，使得11ECD B ⊥ C ．当且仅当a ≤b 时，存在点E ，使得11EC D B ⊥ D ．当且仅当a ≥b 时，存在点E ，使得11EC D B ⊥【答案】C8．已知R 上的奇函数(),(2)()f x f x f x +=，[0,1]x ∈时()121f x x =--．定义：1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，……，1()(())n n f x f f x -=，2,n n N ≥∈，则39()8(1)f x x =-在[1,3]-内所有不等实根的和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C二、填空题（本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上．）9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，且11=S ，则q = ，2a = ，n a = ．【答案】2-；2-；()12n --.10．设F 1、F 2分别为双曲线C 1：12222=-by a x （a >0,b >0）的左、右焦点，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆C 2与双曲线的右支交于P 、Q 两点，若△PF 1F 2的面积为4，∠F 1PF 2=75°，则圆C 2的方程为 ；双曲线C 1的离心率为 ．【答案】(x +2)2+y 2=16；6222-+11．若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域被直线2y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值为 ；若该平面区域存在点00(,)x y 使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】12；1a ≤-.12．定义⎩⎨⎧<≥=y x y yx x b a M ,,},{，设a =x 2+xy +x ，b =4y 2+xy +2y （x ,y ∈R ），则M (a ,b )的最小值为 ，当M取到最小值时，x = ，y = . 【答案】61-，31-， 61- 13．已知x ,y ∈)2,0(π，且有2sin x =6sin y ，tan x =3tan y ，则cos x = .【答案】2114．设关于x 的方程210x ax --=和220x x a --=的实根分别为12,x x 和34,x x ，若1324x x x x <<<，则实数a 的取值范围为 ．.【答案】)233,0(-ABCD15．如图，设Rt ∆ABC 中，∠A =90º，AB =1，AC =3，D 是线段AC （除A 、C ）上的点，将∆ABD 沿BD 翻折至平面A 'BD ，使平面A 'BD ⊥平面ABC ，当A '在平面ABC 的射影H 到平面AB A '的距离最大时，AD 的长度为 .【答案】42.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（本题满分14分）已知△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=，且152AB AC ⋅=-.(1)求△ABC 的面积； (2)若5AB =，求AD 的长. .【解析】(1)∵152AB AC ⋅=-，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-, （2分） 即15AB AC ⋅=， （3分）∴315311sin 152224ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯⨯=. （7分）解法2：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =， （8分） 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD =∠∠， 得35sin 532sin 714AB BACACD BC⨯∠∠===， （10分） ∵090ACD <∠< ∴211cos 1sin 14ACD ACD ∠=-∠=， （13分） 在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 解得192AD =. （14分）17．（本题满分15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，E AM AD DAB ,1,2,600===∠是AB 的中点．（1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角D EC P --的大小为6π？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．【解析】（1）证明 由已知，MN ∥AD ∥BC ，连结BN ，设CM 与BN 交于F ，连结EF ，如图所示． 又MN ＝AD ＝BC ，所以四边形BCNM 是平行四边形，F 是BN 的中点．又E 是AB 的中点，所以AN ∥EF ． （4分） 因为EF ⊂平面MEC ，AN ⊄ 平面MEC ，所以AN ∥平面MEC ． (6分)（2）解法1：如图所示，假设在线段AM 上存在点P ，使二面角P －EC －D 的大小为6π． 延长DA ，CE 交于点Q ，过A 作AH ⊥EQ 于H ，连结PH ． 因为四边形ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ， 所以MA ⊥平面ABCD ，又CQ ⊂平面ABCD ，所以MA ⊥EQ ， 又MA ∩AH ＝A ，所以EQ ⊥平面P AH ，所以EQ ⊥PH ，∠PHA 为二面角P －EC －D 的平面角． （10分） 由题意，知∠PHA ＝6π 在△QAE 中，AE ＝1，AQ ＝2，∠QAE ＝120°，则EQ ＝7120cos 21221022=⨯⨯-+，所以AH ＝73120sin 0=⨯EQ AQ AE ． 又在Rt △P AH 中，∠PHA ＝6π， 则AP ＝AH ×tan 30°＝177713373<==⨯． 所以在线段AM 上存在点P ，使二面角P －EC －D 的大小为6π，此时AP 的长为77． （15分）解法2：如图，四边形ABCD 是菱形，连接AC 、BD 相交于O ，则AC ⊥BD ，又1,2,600===∠AM AD DAB ，∴OA =3，OB =1，以O 为原点，OA 、OB 分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系.∴A (3,0,0)，B (0,1,0)，C (-3,0,0)，∴E (23,21,0)，设P (3,0,h )， 则，CE =(233,21,0)，CP =(23,0,h )， （9分） 设平面PCE 的法向量为1n=(x ,y ,z )，于是，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CP n CE n ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+032021233hz x y x ，取)32,33,(1h h n -= （11分）而MA ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量为2n=AM =(0,0,1)， （13分） 由已知面角P －EC －D 的大小为6π，∴cos<1n ,2n >=23，∴2312273222=++h h ,∴h=77. （15分） 18.（本题满分15分）已知函数()()||()f x x t x t R =-∈．（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当0t >时，若()f x 在区间[1,2]-上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，求()()M t m t -的最小值．【解析】（1）22,0(),0x tx x f x x tx x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，当0>t 时，()f x 的单调增区间为[,)2t +∞，(,0)-∞，单调减区间为[0,]2t，当0=t 时，)(x f 的单调增区间为),(+∞-∞，当0<t 时，)(x f 的单调增区间为),0[+∞，]2,(t -∞，单调减区间为)0,2[t ； （7分） （2）由（1）知0>t 时)(x f 在)0,(-∞上递增，在)2,0(t 上递减，在),2(+∞t 上递增，从而当22≥t即4≥t 时，0)0()(==f t M ，}24,1min{)}2(),1(min{)(t t f f t m ---=-=， （9分） ∴当54≤≤t 时，t t m --=1)(，故51)()(≥+=-t t m t M ， （10分） 当5>t 时，t t m 24)(-=，故642)()(>-=-t t m t M ，当t t≤<22即42<≤t 时，0)0()(==f t M ，t t t t f f t m --=---=-=1}4,1min{)}2(),1(min{)(2，∴31)()(≥+=-t t m t M ， （12分）当20<<t 时，t f t M 24)2()(-==，2()min{(1),()}min{1,}124t t m t f f t t =-=---=--，（14分）∴35)()(>-=-t t m t M ，综上所述，当2=t 时， ()()M t m t -取得最小值为3． （15分） 19．（本题满分15分）设直线l 与抛物线x 2=2y 交于A 、B 两点，与椭圆13422=+y x 交于C 、D 两点，直线OA 、OB 、OC 、OD （O 为坐标原点）的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，若OA ⊥OB . （1）是否存在实数t ，满足k 1+k 2=t (k 3+k 4)，并说明理由； （2）求∆OCD 面积的最大值.（1） ∵k 1+k 2=k x x x x k x kx x kx x y x y =++=+++=+212122112211)(2222， k 3+k 4=k x x x x k x kx x kx x y x y 6)(2222434344334433-=++=+++=+，∴k 1+k 2=61-( k 3+k 4) 即存在t =61-，使得k 1+k 2=t (k 3+k 4). （10分） （2）根据弦长公式：|,|1||432x x k CD -+=得：2224314134||kk k CD +-⋅+⋅=， 点O 到直线CD 的距离为： d =212k+，∴22431434||21k k d CD S OCD+-⋅=⋅=∆ （或：由于直线l 过定点M (0,2)，∴S ∆OCD =||||2143x x OM -⋅=|x 3-x 4|=22431434k k +-⋅）设t k =-142>0，则tt t t S OCD 4344342+=+=∆≤3， ∴当t =2时，即k =55±时，S ∆OCD 有最大值3. （15分） 20.（本题满分15分）已知数列{}n a 满足：212(*)n n a a n +=-∈N ，且)10(11<<+=a aa a ．（1）证明：n n a a >+1；（2）若不等式211111321321211<++++n a a a a a a a a a a 对任意*N ∈n 都成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1) 211>+=aa a且)2)(2(4221+-=-=-+n n n n a a a a 2>∴n a又0)1)(2(221>+-=--=-+n n n n n n a a a a a a n n a a >∴+1 （5分）(2) a a a a a 1121+=+=2422212112a a a a a a +=+=-=∴4844223112a a a a a a +=+=-=┉1222112-+=-=-n na a a a n n)111(1121+-=∴a a a])1)(1(111[111142242221++-+=+⋅+=∴a a a a a a a a a a ┉])1()1)(1(1)1()1)(1(1[112422423211+++-+++=-n n a a a a a a a a a a a n n a a a a a a a a a a 3213212111111++++∴])1()1)(1(11[1242+++-=n a a a aa a a a a a n =--<---=+)]1(1[1)111(12221 由题意21≤a 所以210≤<a （15分）。