05-结构矩阵和稀疏矩阵
数据结构之稀疏矩阵稀疏矩阵的存储方式和操作分析
数据结构之稀疏矩阵稀疏矩阵的存储方式和操作分析稀疏矩阵是指矩阵中大部分元素为零的特殊矩阵。
在实际应用中，稀疏矩阵经常出现，如图像处理、网络分析和科学计算等领域。
对于稀疏矩阵的存储和操作是数据结构中的重要内容。
本文将介绍稀疏矩阵的存储方式和相关操作的分析。
一、稀疏矩阵存储方式稀疏矩阵的存储方式有多种，其中三元组顺序表和二维数组是比较常用的方法。
1. 三元组顺序表三元组顺序表是一种基于行优先存储的方式，可以将稀疏矩阵以非零元素的形式存储起来。
主要包括行号、列号和元素值三个信息。
以一个4x5的稀疏矩阵为例，其中有三个非零元素分别为A[1][2]=3, A[2][3]=4, A[3][4]=5。
可以使用三元组顺序表来存储：```行号列号元素值1 2 32 3 43 4 5```三元组顺序表的优点是可以节省存储空间，同时也方便进行矩阵的操作。
但是在进行元素的查找和修改时，效率较低。
2. 二维数组二维数组是一种常见的矩阵表示方法，可以直接使用二维数组来表示稀疏矩阵。
其中非零元素的位置用实际的值表示，其余位置用零值表示。
以同样的4x5的稀疏矩阵为例，使用二维数组存储如下：```0 0 0 0 00 0 3 0 00 0 0 4 00 0 0 0 5```二维数组的优点是简单直观，并且可以快速进行元素的查找和修改。
但当稀疏矩阵的规模较大时，会造成较高的存储资源浪费。
二、稀疏矩阵的操作分析对于稀疏矩阵的操作，主要包括矩阵的转置、相加、相乘等。
1. 转置操作稀疏矩阵的转置是指将原始矩阵的行与列对调。
对于三元组顺序表来说，转置操作主要涉及到行号和列号的交换。
而对于二维数组来说，可以直接在取值的时候将行号和列号对调即可。
2. 相加操作稀疏矩阵的相加操作是指将两个矩阵对应位置的元素相加。
对于三元组顺序表来说，可以通过遍历两个矩阵的非零元素，并将其对应位置的元素相加。
而对于二维数组来说，可以直接将对应位置的元素相加即可。
3. 相乘操作稀疏矩阵的相乘操作是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
数据结构稀疏矩阵运算器
数据结构稀疏矩阵运算器引言：稀疏矩阵是指在一个二维矩阵中，绝大多数元素为0或者没有意义的元素。
与之相对，稠密矩阵则是指大部分元素都有意义且不为0的矩阵。
稀疏矩阵在很多实际问题中经常出现，例如图论、网络分析、自然语言处理等领域。
为了高效地处理稀疏矩阵的运算，我们可以使用稀疏矩阵运算器。
一、稀疏矩阵的表示方法对于一个m×n的稀疏矩阵，我们可以使用三元组(Triplet)的方式进行表示。
三元组表示法包括三个数组：行数组row、列数组col 和值数组value。
其中，row[i]和col[i]分别表示第i个非零元素的行和列，value[i]表示第i个非零元素的值。
通过这种方式，我们可以用较少的空间来表示一个稀疏矩阵，从而提高运算效率。
二、稀疏矩阵的加法运算稀疏矩阵的加法运算可以通过遍历两个稀疏矩阵的非零元素，并将相同位置的元素相加得到结果。
具体步骤如下：1. 初始化一个新的稀疏矩阵result，其行数和列数与原始稀疏矩阵相同。
2. 遍历两个稀疏矩阵的非零元素，将相同位置的元素相加，并将结果存储在result中。
3. 返回result作为加法运算的结果。
三、稀疏矩阵的乘法运算稀疏矩阵的乘法运算可以通过矩阵的数学定义来实现。
具体步骤如下：1. 初始化一个新的稀疏矩阵result，其行数等于第一个稀疏矩阵的行数，列数等于第二个稀疏矩阵的列数。
2. 遍历第一个稀疏矩阵的每个非零元素，将其与第二个稀疏矩阵相应位置的元素相乘，并将结果累加到result中。
3. 返回result作为乘法运算的结果。
四、稀疏矩阵的转置运算稀疏矩阵的转置运算可以通过交换行数组row和列数组col来实现。
具体步骤如下：1. 初始化一个新的稀疏矩阵result，其行数等于原始稀疏矩阵的列数，列数等于原始稀疏矩阵的行数。
2. 将原始稀疏矩阵的行数组row赋值给result的列数组col，将原始稀疏矩阵的列数组col赋值给result的行数组row。
稀疏矩阵存储和操作稀疏矩阵的数据结构与算法
稀疏矩阵存储和操作稀疏矩阵的数据结构与算法稀疏矩阵是指具有大量零元素和少量非零元素的矩阵。
在实际场景中，由于矩阵中大部分元素为零，传统的矩阵存储方式会造成大量的存储空间的浪费以及数据操作的低效性。
因此，为了节省存储空间和提高数据操作的效率，稀疏矩阵的存储和操作需要借助于特定的数据结构和算法。
一、稀疏矩阵存储的数据结构1.1. 压缩存储方法压缩存储方法是一种常用的稀疏矩阵存储方法。
常见的压缩存储方法有三种：行压缩法（CSR）、列压缩法（CSC）和十字链表法。
1.1.1. 行压缩法（CSR）行压缩法是通过两个数组来存储稀疏矩阵的非零元素。
第一个数组存储非零元素的值，第二个数组存储非零元素在矩阵中的位置信息。
1.1.2. 列压缩法（CSC）列压缩法与行压缩法相似，只是存储方式不同。
列压缩法是通过两个数组来存储稀疏矩阵的非零元素。
第一个数组存储非零元素的值，第二个数组存储非零元素在矩阵中的位置信息。
1.1.3. 十字链表法十字链表法是一种更加灵活的稀疏矩阵存储方法。
通过使用链表的方式，将非零元素存储在链表中，并且每个非零元素还具有行和列的指针，方便进行数据操作。
1.2. 坐标存储法坐标存储法是一种简单直观的稀疏矩阵存储方法。
每个非零元素包括行列坐标和元素值，通过三元组的方式进行存储。
二、稀疏矩阵的操作算法2.1. 矩阵转置矩阵转置是指将原矩阵的行变为列，列变为行的操作。
对于稀疏矩阵，常用的转置算法为快速转置算法。
该算法通过统计每列非零元素的个数，并根据列的非零元素个数确定每个非零元素转置后的位置。
2.2. 矩阵相加矩阵相加是指将两个矩阵对应位置上的元素相加得到一个新的矩阵。
对于稀疏矩阵的相加，可以遍历两个矩阵的非零元素，对相同位置上的元素进行相加。
2.3. 矩阵相乘矩阵相乘是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于稀疏矩阵的相乘，常用的算法为稀疏矩阵乘法算法。
该算法通过遍历两个矩阵的非零元素，按照矩阵乘法的规则计算得到新矩阵的非零元素。
高效的稀疏矩阵计算算法
高效的稀疏矩阵计算算法稀疏矩阵是一种具有大量零元素的矩阵，其特点是在矩阵中零元素的数量远远超过非零元素的数量。
在实际应用中，稀疏矩阵经常出现在各种领域，如图像处理、网络分析等。
由于其特殊的结构，传统的矩阵计算算法在稀疏矩阵上的计算效率较低。
因此，针对稀疏矩阵的特点，研究和设计高效的稀疏矩阵计算算法成为了一个重要的课题。
一、稀疏矩阵的表示方法稀疏矩阵的表示方法分为两种，一种是按照行压缩的方式表示，另一种是按照列压缩的方式表示。
按照行压缩的方式表示，是指将矩阵的每一行转化为一条记录，记录中包含了非零元素的列索引以及对应的值。
按照列压缩的方式表示，是指将矩阵的每一列转化为一条记录，记录中包含了非零元素的行索引以及对应的值。
这两种表示方法各有优劣，具体的选择可根据实际问题的需求来确定。
二、稀疏矩阵的加法运算稀疏矩阵的加法运算是指对两个稀疏矩阵进行相应位置的元素相加。
传统的矩阵加法运算算法需要对整个矩阵进行遍历，导致了计算效率低下。
而对于稀疏矩阵来说，由于其大部分元素为零，只需对非零元素进行相加，能够大大提高计算效率。
三、稀疏矩阵的乘法运算稀疏矩阵的乘法运算是指将两个稀疏矩阵相乘得到一个新的稀疏矩阵。
传统的矩阵乘法运算算法的时间复杂度为O(n^3)，对于大规模的稀疏矩阵计算来说，计算时间将会非常长。
而对于稀疏矩阵来说，可以通过优化算法减少计算量，提高计算效率。
其中一种常用的优化算法是CSR压缩存储格式。
四、稀疏矩阵的逆运算稀疏矩阵的逆运算是指找到一个矩阵，使其与原矩阵相乘得到单位矩阵。
传统的矩阵逆运算算法的时间复杂度为O(n^3)，对于稀疏矩阵来说，计算效率较低。
因此，需要设计一种高效的稀疏矩阵逆运算算法，以提高计算效率。
五、实例分析以图像处理领域为例，图像通常可以表示为一个大规模的稀疏矩阵。
对于图像的处理算法，如图像旋转、图像缩放等，都需要对稀疏矩阵进行计算。
如果使用传统的矩阵计算算法，将会消耗大量的时间和计算资源。
稀疏矩阵的特征
稀疏矩阵的特征稀疏矩阵是指矩阵中大部分元素为零的矩阵。
相对于密集矩阵，稀疏矩阵在存储和计算上具有很大的优势。
稀疏矩阵的特征主要包括稀疏度、存储格式以及稀疏矩阵的运算。
一、稀疏度稀疏度是指矩阵中非零元素的比例。
稀疏度越高，矩阵中的非零元素越少，矩阵越稀疏。
稀疏度可以用非零元素个数与矩阵总元素个数的比值来表示。
对于一个n×n的矩阵，如果非零元素的个数为m，则稀疏度为m/(n×n)。
稀疏度的高低直接影响着存储和计算的效率。
当稀疏度很高时，矩阵中的零元素占据了很大一部分，此时可以通过合理的存储格式来减少存储空间的占用，提高存储效率。
同时，在进行矩阵运算时，可以通过跳过大量的零元素来减少计算量，提高计算效率。
二、存储格式稀疏矩阵的存储格式有多种，常见的有压缩稀疏矩阵（Compressed Sparse Matrix，简称CSR）、坐标存储法（Coordinate Storage，简称COO）和对角线存储法（Diagonal Storage，简称DIA）等。
1. 压缩稀疏矩阵（CSR）是一种广泛应用的存储格式。
它将矩阵分为三个部分：非零元素数组、行偏移数组和列索引数组。
非零元素数组存储矩阵中的非零元素，行偏移数组记录每一行的非零元素在非零元素数组中的起始位置，列索引数组记录每个非零元素所在的列号。
2. 坐标存储法（COO）是最简单的存储格式之一。
它将矩阵中的每个非零元素存储为一个三元组，包括元素的行号、列号和值。
COO 格式适用于非结构化的稀疏矩阵。
3. 对角线存储法（DIA）适用于具有大量对角线元素的稀疏矩阵。
它将矩阵中的每个对角线存储为一个数组，数组的长度为对角线元素的个数，每个元素对应一个对角线的偏移量。
不同的存储格式适用于不同的稀疏矩阵，选择合适的存储格式可以提高存储效率和计算效率。
三、稀疏矩阵的运算稀疏矩阵的运算包括加法、减法、乘法等。
在进行矩阵运算时，由于稀疏矩阵的特殊性，可以通过跳过大量的零元素来减少计算量，提高运算效率。
稀疏矩阵PPT课件
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优化存储结构
并行计算
采用稀疏矩阵的压缩存储方式， 减少存储空间占用，提高数据访 问速度。
利用多核处理器和分布式计算资 源，实现并行计算，提高计算速 度。
线性系统求解优化
预处理技术
采用预处理技术，如共轭梯度法、双共轭梯度法 等，减少迭代次数和计算量。
迭代算法
选择适合的迭代算法，如雅可比迭代法、高斯-赛 德尔迭代法等，提高求解速度。
研究现状
随着大数据和计算技术的发展，稀疏矩阵在许多领域如机器学习、图像处理、数值计算 等得到了广泛应用。目前，稀疏矩阵的研究主要集中在算法优化、存储压缩和并行计算
等方面。
挑战
尽管取得了一些进展，但稀疏矩阵的研究仍面临诸多挑战。例如，如何更有效地压缩存 储稀疏矩阵以提高计算效率，如何设计更高效的算法处理大规模稀疏矩阵等问题仍需进
稀疏矩阵PPT课件
• 稀疏矩阵简介 • 稀疏矩阵的压缩方法 • 稀疏矩阵的运算优化 • 稀疏矩阵库介绍 • 稀疏矩阵应用案例 • 总结与展望
01
稀疏矩阵简介
定义与特性
定义
稀疏矩阵是一种矩阵，其中大部分元 素为零。
特性
稀疏矩阵具有稀疏性，即矩阵中非零 元素的数量远小于矩阵元素总数。
稀疏矩阵的应用场景
MATLAB中的稀疏矩阵处理
MATLAB是一个广泛使用的科学 计算软件，支持丰富的矩阵和向 量操作、数值计算和科学计算等
功能。
MATLAB提供了多种工具箱和函 数用于处理稀疏矩阵，如 spalloc、spdiags等。
MATLAB的语法简单易懂，易于 学习和使用，同时具有高效的性
能和可视化能力。
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稀疏矩阵的压缩方法
稀疏矩阵的三元组表示和实现
稀疏矩阵的三元组表示和实现
稀疏矩阵是指其中大部分元素为0的矩阵。
为了节省存储空间和提高计算效率，常常使用三元组表示法来表示稀疏矩阵。
稀疏矩阵的三元组表示由三个数组组成，分别存储非零元素的行号、列号和值。
具体实现如下：
1. 定义一个结构体来表示稀疏矩阵的三元组，包括行号、列号和值。
```C++
struct SparseMatrix {
int row;
int col;
int value;
};
```
2. 创建一个数组，用来存储稀疏矩阵中的非零元素的三元组。
```C++
SparseMatrix sparseMatrix[maxSize]; // maxSize为稀疏矩阵中非零元素的个数
```
3. 初始化稀疏矩阵的三元组表示。
4. 对于每个非零元素，将其行号、列号和值存入稀疏矩阵的三元组数组中。
```C++
sparseMatrix[i].row = ...; // 非零元素的行号
sparseMatrix[i].col = ...; // 非零元素的列号
sparseMatrix[i].value = ...; // 非零元素的值
```
稀疏矩阵的三元组表示将只有非零元素的信息存储，从而节省了存储空间。
同时，通过遍历只包含非零元素的数组，可以高效地进行各种矩阵运算。
数据结构-稀疏矩阵的三元组表存储方法
a .data 3 3 1 -3
b .data 3 2 1 12
a .data 4 3 6 14 求得 b .data 4 2 5 18
a .data 5 a .data 6 a .data 7
4 3 24
5 2 18 无!
6 1 15
b .data 5 b .data 6 b .data 7
31 9 3 4 24 4 6 -7
b .data 2 1 6 15
a .data 3 3 1 -3
b .data 3 2 1 12
a .data 4 3 6 14 求解 b .data 4 2 5 18
a .data 5 4 3 24
b .data 5 3 1 9
a .data 6 5 2 18
b .data 6 3 4 24
a .data 7 6 1 15
a .data 5 4 3 24
b .data 5
a .data 6 5 2 18
b .data 6
a .data 7 6 1 15
b .data 7
a .data 8 6 4 -7
b .data 8
a. mu=6 a. nu=7 a. tu=8 注:p=1:8,寻找 j=col 的a.data[ p]
a .data 2 1 3 9 Col=6 b .data 2 1 6 15
a .data 3 a .data 4
3 1 -3
b .data 3
3 6 14 求得 b .data 4
2 1 12 2 5 18
a .data 5 4 3 24
b .data 5 3 1 9
a .data 6 5 2 18
2.求解步骤分析：p=1:8, q的值=7
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total(1)叫什么呢？ total(1)叫做total(1)的第一个元素。(有的 语言称为一个记录，矩阵中的第一行)
>> total(1) ans = name: '23' id: 'T02' x: 7.8354e+004 y: 8.9342e+004 h: 437.5570 code: '0203'
NIKON全站仪的数据结构
13,80253.8280,50217.7410,45.8970,D30 24,80234.5080,50215.7800,46.1130,DG 25,80216.5830,50211.5710,46.2830,H
GPSRTK观测的数据结构
89,79708.155,50282.579,65.745,D87 90,79691.916,50278.890,66.738,D89 91,79672.513,50274.457,67.839,D91 92,79655.687,50270.593,68.775,D93
B=[-1 0 0 0 0 0 0 0 0;0 -1 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 -1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 -1 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 -1 0;0 0 0 0 0 0 0 0 -1; 1 0 0 0 0 0 -1 0 0;0 1 0 0 0 0 0 -1 0; 0 0 1 0 0 0 0 0 -1;1 0 0 -1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 -1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 -1 0 0 0; 0 0 0 1 0 0 -1 0 0;0 0 0 0 1 0 0 -1 0; 0 0 0 0 0 1 0 0 -1];%某水准网，15个观 测高差，8个未知点。B中区有135个元素， 24个非0元素，0元素比例82.2%
93,79629.174,50264.642,70.268,D95 94,79607.239,50259.710,71.824,D97
结构矩阵的高级操作(了解)
在进行「并排」时，必须确认被并排的域值有相 同的行数（上下并排）或列数（左右并排）， 否则就会因为维度不和而产生错误信息。 若要计算平均坐标 >> average1 = mean(cat(1, total.xyh)) 若要把 xyh 域值进行左右合并，可以输入如 下：>> allxyh = [total.xyh]
第二章: 结构矩阵和稀疏矩阵
上节主要内容回顾
构造对角矩阵、矩阵的转置、矩阵的逆、 秩、条件数、特征值和特征向量。 矩阵加、减、乘 sort、det、rank、trace、cond、mean、 std、dot、cross 字符串处理函数。upper、strcat、 strcmp、findstr、str2num、int2str、 num2str.
控制网平差的几个典型结构
GPS三维网平差的结构矩阵 %结构体survey(qdm＝起点名 zdm＝终点 名 qdh＝起点号 zdh＝终点号 bc＝边长 qdx=起点X qdy=起点Y qdz=起点Z zdx= 终点X zdy=终点Y zdz=终点Z) %结构体coor(dm=点名 dh=点号 x=X坐 标 y=Y坐标 z=Z坐标 xwc=X坐标中误差 ywcX坐标中误差 zwcX坐标中误差 dwwc 点位中误差)
结构矩阵的引用
>> total(1).x ans = 7.8354e+004 结构矩阵的引用规则是 结构矩阵名.成员名(元素序号)┙ num2str(total(1).x) ans = 78354.344 可见：字符输出要比数值输出好，习惯!视觉舒服!
3、CAT指令(并排输出)
MATLAB 提供了 cat 指令，以达到 「并排域值」的目的，其语法为：A = cat(dim, structureField) 其中，dim 代表并排后所改变的维 度。例如，一次要输出2个点坐标：
2、结构数据和建立和引用
建立全站仪和GPSRTK观测的数据结构 点号、ID，X，Y，H，CODE。第一种方法： 如23,T02,78354.344,89342.333,437.557,0203 clear total % 清除 total 变量 = ‘23’; % 加入 name total.x =78354.344; %加入X坐标 total.y =89342.333; %加入Y坐标 total.h =437.557; %加入高程 total.code =‘0203’; %加入高程
第三种方法是直接用大括号一次把所有元素括起 來。表示不同的数据类型和不同大小的矩阵
>> B = {'James Bond', [1 2;3 4;5 6]; pi, magic(5)} >> C = {rand(3), ones(2); zeros(5), randperm(4)} B = 'James Bond' [ 3.1416] [3x2 double] [5x5 double]
C =
[3x3 double] [5x5 double]
[2x2 double] [1x4 double]
2.8稀疏矩阵
稀疏矩阵指大量元素为0的矩阵，为了节省 计算机内存空间，MATLAB能处理一种数据 结构(本节属了解内容)。主要用于较大规 模的控制网平差，如光束法空中三角测量， 上100点的GPS网平差等。 本节介绍稀疏矩阵存储方式
2.8单元数据和稀疏矩阵
单元矩阵（Cell Arrays奇异矩阵） 将不同的资料性能储存于同一个矩阵之 中，主要内容是建立奇异矩阵、显示奇 异矩阵和取用奇异矩阵 稀疏矩阵指大量元素为0的矩阵，为了 节省计算机内存空间，MATLAB能处理一 种数据结构(本节属了解内容)
2.7.2单元数据(奇异矩阵) -- 使用大括号 {}建立，查看与矩阵相同
结构矩阵的修改和删除
结构矩阵的修改 >> total(1).x=76434.455 结构矩阵的删除元素 结构矩阵名.成员名(元素序号)=［］ >> total(1)=[] %删除第一个元素(记录) 结构矩阵成员的删除和增加 >> rmfields(total,’code’) >> total(2).code=‘T04’)
本节主要内容
结构数据的意义； 结构矩阵的建立和引用； 结构成员的修改； 稀疏矩阵的应用
1、引入结构数据的意义
MATLAB通过使用结构(structure)数据类型， 把一组不同类型但又是在逻辑上相关的数据组 成一个有机整体，便于管理和引用。如全站仪 和GPSRTK观测数据格式：点号、ID，X，Y，H， CODE，类型不同，但都是描述一个点(几何位 置和属性)，要放一起进行处理。 ‘23,T02,78354.344,89342.333,437.557,0203’ 每一个结构矩阵（Structure Array）可以包 含很多个元素，每一个元素可以看成是一个数 据。因此每个元素可以包含域（Fields)。
结构矩阵描述
total:称为结构矩阵名
name，x，y，h，code称为total的 成员，第一个成员名是name、第二 个成员名是x…………….. 建立结构矩阵的赋值格式为： 结构矩阵名.成员名=表达式
建立全站仪和GPSRTK观测的数据结构的 第二种方法： clear total % 清除 total 变量 total(1) = struct(‘name’, ‘23’, ‘x’, 78354.344,‘y’, 89342.333,’h’, 437.557,’code’, ‘0203’); %一个表达式赋完值 第三种方法： clear total % 清除 total 变量 total2(1) = struct(‘name’, ‘23’, ‘xyh’, [78354.344,89342.333,437.557],’code’, ‘0203’); %成员xyh定义为一个矩阵
实验三：结构矩阵
上机主要内容： 建立一个结构矩阵，手工输入最少四个全站仪测量 点(结构名称用自己的姓名拼音)； 用一个字符矩阵存放四个点数据，每行一个点，用 findstr()找出逗号位置，取出每个数据项(点号、X， Y，H，CODE)，把相应的字符变成数值，存入结构矩 阵中。 结构矩阵的操作(查看和修改删除等) 把坐高程作为一个成员进行操作，并建立第二种结 构矩阵 计算平均坐标
控制网平差的几个典型结构
%结构体survey(qdm＝起点名 zdm＝终点 名 gcha＝高差观测值 line=水准路线长 度 qdgc=起点高程 zdgc=终点高程 qdh= 起点号 zdh=终点号 quan=权 gcgj=高差 估计值 surveyw=高差平差值中误差) %结构体height(dm=点名 gc=高程 surveyw=高程中误差)
>> a=sparse(B)
a=
(1,1) (7,1) (10,1) (2,2) (8,2) (11,2) (3,3) (9,3) (12,3) (10,4) (13,4) (11,5) -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 (14,5) (12,6) (15,6) (4,7) (7,7) (13,7) (5,8) (8,8) (14,8) (6,9) (9,9) (15,9) 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1